PENGEMBANGAN KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS (REASONING MATHEMATICS ABILITY )
DALAM PENALARAN DEDUKTIF DAN INDUKTIF
Siita Tamba, Edy Surya
Penulisan ini bertujuan dalam rangka peningkatan mutu cara penaralan deduktif dan induktif dalam menguasai kemampuan berfikir, bersikap rasioanal dan dinamis berpandangan untuk menganalisa konsep penalaran yang bertolak dari pengetahuan yang sudah dimiliki seseorang akan sesuatu yang memang benar atau sesuatu yang memang salah dan benar. Kemampuan penalaran dan disposisi matematis adalah kemampuan kognitif dan afektif yang membutuhkan improements. Penelitian ini bertujuan untuk menguji interaksi antara kemampuan dan instruksi matematika awal siswa dalam meningkatkan kemampuan penalaran dan disposisi matematika.
PENGEMBANGAN KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIS (REASONING MATHEMATICS ABILITY )
DALAM PENALARAN DEDUKTIF DAN INDUKTIF 1.1 Latar Belakang
Matematika merupakan salah satu unsur dalam pendidikan. Menurut Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi disebutkan bahwa mata pelajaran matematika harus diberikan kepada semua peserta didik, mulai dari sekolah dasar untuk membekali mereka dengan kemampuan berpikir logis ( penalaran ), analitis, sistematis, kritis, kreatif, dan kooperatif (dalam Hasanah & Surya, 2017). Hal senada menurut Depdiknas (dalam Risqi & Surya, 2017) bahwa salah satu tujuan pembelajaran matematika di sekolah adalah untuk melatih pola pikir dan penalaran dalam mengambil kesimpulan, mengembangkan kemampuan untuk memecahkan masalah, dan mengembangkan kemampuan untuk memberikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan melalui lisan, tertulis, gambar, grafik, peta , diagram, dll.
Kemampuan konsep matematis dalam pembelajaran matematika adalah kunci yang penting,karena dengan beberapa kemampuan Konsep akan mudah belajar matematika bagi siswa. Apakah salah satu cara untuk memahami adalah salah satu yang paling ciri penting yang terkait dengan pencapaian tujuan pendidikan Selanjutnya, kita harus bisa menguasainya konsep orang untuk membedakan antara satu hal dengan hal lainnya,satu peristiwa cara lain. Matematika memainkan peran penting dalam membentuk bagaimana individu menangani berbagai aspek kehidupan pribadi, sosial, dan sipil.Matematika adalah salah satu sarana untuk menumbuhkan keterampilan matematika siswa,logis, kreatif, kritis, teliti, sistematika, pemecahan masalah, komunikasi, dan keterampilan dan representasi komunikasi.Hal ini diinginkan setelah pembelajaran matematika dapat meningkatkan kemampuan matematis.
The ability of mathematic concept in mathematics learning is the important key, because with some abilityto concept will be easy to
learning mathematics for the students. Is one way to understanding is one of the most important traits associated with the attainment of educational goals Menurut Mwakapenda (Dalam Yuniara; 2017 ). Furthermore, we should able to master to concept of person to distinguish between one thing to another thing, one event to another event menurut Dzamarah . Z (dalam Yuniara; 2017) Mathematics plays an important role in shaping how the individual deals with various aspect of personal, social, and civil life. Mathematics is one of means to cultivate students’ math skills, logical, creative, critical, meticulous, systematics, problem-solving, communication, and communication skill and representation. It is desirable aftermath learning can improve mathematically ability menurut Anthony. G ( Dalam Yuniara; 2017). In the world of education, especially in the learning of mathematics, the ability to connect a material with another material or with everyday life plays an important role in the learning process, especiallymathematics learning. In mathematics contains some capabilities that are expected to be mastere by students,one ofwhichis the ability to connect mathematically. Through the ability of mathematical connections, students' thinking ability towards mathematics is expected to become increasingly widespread. In addition, mathematical connections can also improve students' cognitive abilities such asrecall,understand the application of a concept to the environment and so on. Without applying the concept to the student's experience,it will bedifficult to recall a given material and remember too many separate concepts whereas math is rich in principles. Menurut Ball & Bass (Lithner, 2012:5)” Mathematical reasoning is no less than a basic skil” yang artinya "Penalaran matematika tidak kurang dari keterampilan dasar" dan menurut Umay (Gunhan, 2014:1)’’ Reasoning is a skill that is demonstrated during the advanced stages of thought yag diartikan dengan penalaran adalah keterampilan yang ditunjukkan selama tahap lanjutan dari pemikiran, dengan kata lain, selama proses penalaran matematis dan yang merupakan pemikiran matematika. Webster (Gunhan, 2014:1)’’ the ability to think
coherently and logically and draw inferences or conclusions from facts known or assumed ’’ yang diartikan penalaran sebagai "kemampuan berpikir runtut dan logis dalam menarik kesimpulan atau kesimpulan dari fakta-fakta yang diketahui atau diasumsikan. Matematika berarti ilmu pengetahuan yang diperoleh dari bernalar dan merupakan ilmu pengetahuan tentang penalaran yang logik dan masalah yang berhubungan dengan bilangan. Penalaran atau kemampuan untuk berpikir melalui ide-ide yang logis merupakan dasar dari matematika . Di dunia pendidikan, terutama dalam pembelajaran matematika, kemampuan untuk menghubungkan materi dengan Materi lain atau dengan kehidupan sehari-hari memainkan peran penting dalam proses pembelajaran,terutama matematika belajar. Dalam matematika mengandung beberapa kemampuan yang diharapkan bisa dikuasai oleh siswa, salah satunya adalah kemampuan untuk terhubung secara matematis. Melalui kemampuan koneksi matematis,pemikiransiswa.Kemampuan menuju matematika diharapkan semakin meluas. Selain itu, matematis Koneksi juga dapat meningkatkan kemampuan kognitif siswa seperti mengingat, memahami penerapan konsep ke lingkungan dan sebagainya. Tanpa menerapkan konsep tersebut pada pengalaman siswa, akan sulit bagi ingat suatu materi dan ingat terlalu banyak konsep terpisah sedangkan matematika kaya akan prinsip. Menurut Latief S (Dalam Siregar; 2017 ) In the world of education, especially in the learning of mathematics, the ability to connect a material with another material or with everyday life plays an important role in the learning process, especially mathematics learning. In mathematics contains some capabilities that are expected to be mastered by students, one of which is the ability to connect mathematically. Through the ability of mathematical connections ,students' thinking ability towards mathematics is expected to become in creasingly widespread.Inaddition,mathematical connections can also improve students' cognitive abilities such as recall, understand the application of a concept to the environment and so on. Without applying the concept to the
student's experience, it will be difficult torecall a given material and remember too many separate concepts whereas math is rich in principles.
Menurut Subanidro (2012:811) menyatakan bahwa “Kemampuan penalaran matematik adalah kemampuan untuk menghubungkan antara ide-ide atau objek-objek matematika, membuat, menyelidiki dan mengevaluasi dugaan matematik, dan mengembangkan argumen-argumen dan bukti-bukti matematika untuk meyakinkan diri sendiri dan orang lain bahwa dugaan yang dikemukakan adalah benar. Sedangkan menurut Zulfa, dkk (2014:2) menyatakan penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan atau membuat pernyataan baru berdasarkan pada pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan sebelumnya dan menarik kesimpulan dengan cara mengaitkan fakta-fakta yang ada. Menurut Caren dan Viktoria (2010) more recently it has been suggested that logical reasoning skills are an important aspect of good mathematical reasoning abilities yang artinya baru-baru ini telah disarankan bahwa keterampilan penalaran logis adalah aspek penting kemampuan penalaran matematika yang baik.
Penalaran dalam matematika memiliki peran yang sangat penting dalam proses berfikir seseorang. Penalaran juga merupakan pondasi dalam pembelajaran matematika. Bila kemampuan bernalar siswa tidak dikembangkan, maka bagi siswa matematika hanya akan manjadi materi yang mengikuti serangkaian prosedur dan meniru contoh-contoh tanpa mengetahui maknanya. Materi matematika dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan yaitu materi matematika dipahami melalui penalaran dan penalaran dipahami dan dilatih melalui belajar materi matematika. Kemampuan penalaran matematis embantu siswa dalam menyimpulkan dan membuktikan suatu pernyataan, membangun gagasan baru, sampai pada menyelesaikan masalah-masalah dalam matematika. Oleh karena itu, kemampuan penalaran matematis harus selalu dibiasakan dan dikembangkan dalam setiap pembelajaran matematika. Pembiasaan tersebut harus dimulai dari kekonsistenan guru
dalam mengajar terutama dalam pemberian soal-soal yang non rutin. Turmudi (Sumartini, 2015:4) menyatakan bahwa penalaran matematis merupakan suatu kebiasaan otak seperti halnya kebiasaan yang lain yang harus dikembangkan secara konsisten dengan menggunakan berbagai macam konteks.
Secara garis besar penalaran terbagi menjadi dua, yaitu penalaran deduktif dan penalaran induktif. Dapat dilihat dalam gambar dibawah ini.
Gambar a. Pendekatan Induktif VS Pendekatan Deduktif
1. 2. Tujuan Penulisan Makalah
Penulisan ini bertujuan dalam rangka peningkatan mutu cara penaralan deduktif dan induktif dalam menguasai kemampuan berfikir, bersikap rasioanal dan dinamis berpandangan untuk menganalisa konsep penalaran yang bertolak dari pengetahuan yang sudah dimiliki seseorang akan sesuatu yang memang benar atau sesuatu yang memeng salah, Selain itu tujuan penulisan makalah ini adalah untuk menambah nilai pada mata kuliah arah kecenderungan dan isu dalam pendidikan matematika.
1. 3. Rumusan masalah
1. Apa yang dimaksud dengan penalaran deduktif ? 2. Apa yang dimaksud dengan penalaran induktif ?
3. Bagaimana menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematis?
4. Bagaimana menarik kesimpulan secara generalisasi? 5. Bagaimana menarik kesimpulan secara silogisme? 6. Bagaimana memperkirakan jawaban dan proses solusi? 7. Bagaiman menarik kesimpulan logis?
1.2 PEMBAHASAN 2. Penalaran deduktif
Penalaran deduktif merupakan penarikan kesimpulan dari hal yang umum menuju hal yang khusus berdasarkan fakta-fakta yang ada. Menurut Sumarmo dan Hendriana (2014:38) penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan berdasarkan aturan yang disepakati. Nilai kebenaran dalam penalaran deduktif bersifat mutlak benar atau salah dan tidak kedua-duanya bersama-sama. Penalaran deduktif dapat tergolong tingkat rendah atau tingkat tinggi. Beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran deduktif adalah sebagai berikut:
a) Melaksanakan perhitungan berdasarkan aturan atau rumus tertentu
b) Menarik kesimpulan logis berdasarkan aturan inferensi berdasarkan proporsi yang sesuai, berdasarkan peluang, korelasi antara dua variabel, menetapkan kombinasi beberapa variabel
c) Menyusun pembuktian langsung, pembuktian tak langsung dan pembuktian dengan induksi matematika
d) Menyusun analisis dan sintesis beberapa kasus
Penalaran deduktif menjamin kesimpulan yang benar jika premis dari argumennya benar,dan argumennya valid (logis). Adapun jenis-jenis penalaran deduktif yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.
p → q q maka q p → q q maka p p → q ~q maka ~p p → q ~p maka ~q
Modus ponens merupakan hubungan antara premis-premis. Premis pertama merupakan pernyataan kondisional yaitu menggunakan “Jika.... (merupakan anteseden), maka ...“(merupakan konsekuen). Premis kedua bukan pernyataan kondisional. Ada dua jenis penalaran modus ponens yaitu memperkuat anteseden dan memperkuat konsekuen. Yang dimaksud dengan memperkuat anteseden berarti bahwa bila premis kedua memperkuat anteseden yang benar pada premis pertama. Jenis penalaran ini menuju pada kesimpulan yang valid dan sah. Bentuk formalnya adalah :
Yang dimaksud dengan memperkuat konsekuen berarti bila premis kedua memperkuat konsekuen yang benar pada premis pertama. Jenis penalaran menuju pada kesimpulan yang tidak valid atau tidak sah. Adapun bentuk formalnya adalah:
b. Modus Tollens
Ada dua jenis penalaran modus tollens, yaitu menyangkal anteseden dan menyangkal konsekuen. Yang dimaksud menyangkal konsekuen berarti bahwa bila premis kedua menyangkal konsekuen yang salah (negasi) pada premis pertama. Jenis penalaran ini menghasilkan kesimpulan yang valid atau sah. Bentuk formalnya adalah:
Yang dimaksud menyangkal anteseden berarti bahwa bila premis kedua anteseden yang salah (negasi) pada premis pertama. Jenis penalaran ini menuju pada kesimpulan yang tidak valid atau tidak sah. Bentuk formalnya adalah
Ada dua faktor yang seringkali menimbulkan kesalahan dalam penalaran modus ponens atau modus tollens yang ditemukan dalam pembelajaran, yaitu : (1) karena keabstrakan permasalahan, dan (2) karena pernyataan memuat informasi yang negatif. Siswa akan lebih memahami secara akurat pada saat permasalahan menggunakan contoh–contoh konkrit. Apabila permasalahannya bukan contoh konkrit atau permasalahannya termasuk abstrak maka mereka akan lebih sulit.
c. Silogisme
Penalaran silogisme adalah bentuk pemikiran yang kesimpulannya muncul secara signifikan setelah ada pemyataan-pernyataan yang diturunkan secara mutlak. Silogisme terdiri dari dua premis atau dua pernyataan yang harus diasumsikan benar dan ditambah dengan suatu kesimpulan. Silogisme hipotetik, kedua premisnya merupakan proposisi kondisional. Silogisme dalam bentuk umum adalah.
Silogisme bisa dinyatakan dengan kata-kata semua, beberapa, tidak satupun atau istilah-istilah lain yang sejenis.
Silogisme sebagai prosedur penalaran menurunkan konklusi yang benar atas dasar premis-premis yang benar. Argumen yang valid dapat menghasilkan kesimpulan yang benar, argumen yang tidak valid dapat pula secara sepintas masuk akal akan tetapi ada juga argumen yang valid menghasilkan kesimpulan yang tak benar. Kesalahan umum dalam penalaran silogisme yaitu siswa membuat konversi gelap, dan dipengaruhi oleh keyakinan yang bias. Keyakinan efek bias dalam penalaran silogisme terjadi ketika siswa membuat pertimbangan didasarkan prioritas keyakinan, dari pada aturan logis.
2 Penalaran induktif
Penalaran induktif merupakan suatu proses berpikir dengan mengambil suatu kesimpulan yang bersifat umum atau membuat suatu pernyataan baru dari
p → q q → r
kasus-kasus yang khusus. Sumarmo dan Hendriana (2014:33) mengemukakan beberapa kegiatan yang tergolong penalaran induktif yaitu sebagai berikut
1. Transduktif yaitu menarik kesimpulan dari suatu kasus atau sifat khusus yang satu diterapkan pada kasus yang khusus lainnya
2. Analogi yaitu penarikan kesimpulan berdasarkan keserupaan data atau proses
3. Generalisasi yaitu penarikan kesimpulan umum berdasarkan sejumlah data yang teramati.
4. Memperkirakan jawaban, solusi atau kecenderungan, interpolasi, dan ekstrapolasi.
5. Memberi penjelasan terhadap model, fakta, sifat, hubungan, atau pola yang ada.
6. Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis situasi dan menyusun konjektur
Penalaran induktif terdiri dari tiga jenis, yaitu generalisasi, analogi, dan sebab– akibat. Penalaran induktif yang penulis kaji dalam penelitian ini adalah generalisasi, analogi dan kausal.
a. Generalisasi
Penalaran ini meliputi pengamatan terhadap contoh-contoh khusus dan menemukan pola atau aturan yang melandasinya.
b. Analogi
Analogi adalah membandingkan dua hal (situasi atau kondisi) yang berlainan berdasarkan keserupaannya, kemudian menarik kesimpulan atas dasar keserupaan tersebut. Ada dua analogi, yaitu analogi induktif dan analogi deklaratif atau analogi penjelas. Analogi induktif adalah analogi yang disusun berdasarkan persamaan prinsipil yang berbeda antara dua fenomena. Sedangkan analogi deklaratif atau analogi penjelas merupakan suatu metode untuk menjelaskan belum dikenal atau masih samar, dengan menggunakan hal yang sudah dikenal.
c. Kausal
Hubungan sebab akibat dimulai dari beberapa fakta yang kita ketahui. Dengan menghubungkan fakta yang satu dengan fakta yang lain, dapatlah kita
sampai kepada kesimpulan yang menjadi sebab dari fakta itu atau dapat juga kita sampai kepada akibat fakta itu.
Berdasarkan beberapa pendapat yang telah diuraikan diatas, maka kemampuan penalaran matematis adalah satu kegiatan berpikir manusia untuk menarik kesimpulan yang sah, yang dirumuskan dalam bentuk pernyataan-pernyataan. Dalam penelitian ini, kemampuan penalaran matematis yang akan diteliti meliputi lima kemampuan. Kelima kemampuan tersebut adalah:
a. Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematis; b. Menarik kesimpulan secara generalisasi
c. Menarik kesimpulan secara silogisme d. Memperkirakan jawaban dan proses solusi. e. Menarik kesimpulan logis
Contoh Soal
….. … …
Gbr 1 Gbr 2 Gbr 3
1. Perhatikan gambar diatas! Tentukanlah berapa jumlah bola yang dibutuhkan dalam pola ke 5 agar membentuk segitga sama sisi?
Jawaban:
Pola Gambar Pola 1
Pola 3
Pola 4
Pola 5
jumlah bola yang dibutuhkan dalam pola ke 5 agar membentuk segitga sama sisi adalah 21 bola
2. Perhatikan gambar dibawah ini ! Satu segitiga membutuhkan 3 titik sudut agar membentuk segitiga sama sisi. Kesimpulan apa yang kamu peroleh pada titik sudut dalam pola ke 5?
3. Perhatikan gambar diawah ini ! tentunkanlah luas daerah segitiga tersebut!
Jawaban
Pola 1 ====== 3 titik sudut Pola 2 ====== 6 titik sudut Pola 3 ====== 10 titik sudut Pola 4 ====== 15 titik sudut Pola 5 ====== 21 titik sudut
3 Perhatikan segitiga –segitiga dibawah ini! Jika luas daerah yang diarsir pada gambar pertama adalah ¾ bagian, pada gambar kedua 3/5 bagian. Maka pada gambar ketiga adalah ……
Jawaban:
1=1 ( Terbukti)
4 Tentukan banyaknya segitiga yang terdapat dalam gambar berikut! 5 Tentukan luas daerah segitiga berikut:
2 5+ 𝑏 + 1 4= 1 2 5+ 1 4+ 𝑏 = 1 8 20+ 5 20+ 𝑏 = 1 13 20+ 𝑏 = 1 1 −13 20= 𝑏 20 20− 13 20= 𝑏 7 20= 𝑏 8 20+ 5 20+ 7 20= 1 20 20= 1
Jika luas daerah yang diarsir pada gambar pertama adalah ¾ bagian, pada gambar kedua 3/5 bagian. Maka pada gambar ketiga diperoleh dengan:
Andaikan a = 2/5, c = ¼ b =….? Jika a + b + c = 1
Maka;
Maka pada gambar yang ketiga luas daerah yang diarsir adalah 7
20
Jawab:
Maka luas daerah segitiga adalah = 1
2𝑥10𝑥4 = 40
2 = 20 satuan luas
KESIMPULAN
Setelah kita mempelajari penalaran lebih lanjut, benar bahwa kita dapat memahami konsep dari penalaran yaitu yang bertolak dari pengetahuan yang sudah dimiliki seseorang akan sesuatu yang memang benar atau sesuatu yang memang salah, dan mengetahui jenis- jenis penalaran.
Segitiga I Alas : 5 satuan Tinggi: 6 satuan
Maka luas daerah segitiga adalah = 1
2𝑥6𝑥5 = 30 2 = 15 satuan luas Segitiga II Alas: 10 satuan Tinggi: 4 satuan
DAFTAR PUSTAKA
Surya E. Hasanah,M.,. 2017. Differences in the Abilities of Creative Thinking and Problem Solving of Students in Mathematics by Using Cooperative Learning and Learning of Problem Solving. IJSBAR . Volume 34, No 1, pp 286-299.Mwakapenda, P. 2004 . Understanding student understanding in athematics.
Surya E. Rivai. A.M 2017 Analisis Model Pembelajaran Missouri Mathematics Project Terhadap Kemampuan Penalaran.
Djamarah, Z. 2010 .Strategi belajar mengajar.Jakarta:Rineka Cipta Phytagoras 60 Anthony, G. (2009). Characteristics Of Effective Teaching Of Mathematics: A View from the West. Journal Of Mathematics Education. New Zealand Vol.2, No. 2, pp. 147-164
Surya , E. Yuniara , P. 2017 Application of Problem Based Learning to Students’ Improving on Mathematics Concept of Ability. Vol 33
Subanidro 2012:811 Subanindro Pengembangan Perangkat Pembelajaran Trigonometri Berorientasikan Kemampuan Penalaran Dan Komunikasi Matematika.
Latief,S. and Irwan K. 2016. Mathematical Connection Ability In Solving Mathematics
Problem Based On Initial Abilities Of Students At SMPN 10 Bulukumba. Jurnal Day.
Surya, E. And Siregar D.N, 2017 Analysis of Students’ Junior High School Mathematical Connection Ability. Volume 33, No 2, pp 309-320
Ball & Bass Lithner, 2012:5 Mathematical reasoning is no less than a basic skil”.
Umay Gunhan, 2014:1 ’’ Reasoning is a skill that is demonstrated during the ability to think coherently and logically and draw inferences or conclusions from facts known or assumed.
Viktoria dan Caren 2010 more recently it has been suggested that logical
reasoning skills. Sumarmo, 2012. Mengembangkan kemampuan dan disposisi berpikir logis, kritis, dan kreatif matematika.
U. Sumarmo, D. Suryadi, & Nurlaelah E. Turmudi Eds., Kumpulan Makalah Berpikir dan Disposisi Matematik serta Pembelajarannya. Bandung: Faculty of Mathematics and Science Education, Indonesia University of Education.
