BEBERAPA HUKUM URUTAN TERBALIK PADA INVERS GRUP DARI PERKALIAN DUA MATRIKS ABSTRACT

BEBERAPA HUKUM URUTAN TERBALIK PADA INVERS GRUP DARI PERKALIAN DUA MATRIKS

Elvina^1∗, Asli Sirait², Musraini M.²

1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

2 Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

∗elvina.math@gmail.com

ABSTRACT

This paper discusses some equivalent conditions for reverse order law of group inverses of product of two matrices. Several sufficient conditions which enable both (AB)^#= B^(1,2)A^(1,2) and (AB)^#= B^(1,2)A^(1,2) hold are also given.

Keywords: group inverses, reverse order law ABSTRAK

Dalam artikel ini dibahas kondisi yang setara pada hukum urutan terbalik pada invers grup dari perkalian dua matriks. Kondisi yang diberikan adalah (AB)^#= B^(1,2)A^(1,2) dan (AB)^#= B^(1,2)A^(1,2).

Kata kunci: invers grup, hukum urutan terbalik

1. PENDAHULUAN

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Secara umum suatu matriks mempunyai invers apabila matriks tersebut merupakan matriks persegi dan nonsingular. Dalam perkembangannya dibutuhkan generalized inverses untuk mengetahui invers suatu matriks jika matriks tersebut singular. Ada beberapa jenis generalized inverses diantaranya invers kiri dan invers kanan (invers satu sisi), invers drazin, invers grup dan invers Bott-Duffin [1].

Invers matriks mempunyai beberapa sifat salah satunya, invers hasil perkalian matriks adalah perkalian dari invers matriks dalam urutan terbalik. De Pierro, A. R. dan Wei, M. [8] telah mengembangkan konsep hukum urutan terbalik pada generalized inverses terhadap perkalian matriks, serta Shinozaki, N. dan Sibuya, M.

[10] telah mempelajari lebih lanjut tentang hukum urutan terbalik.

Selanjutnya artikel ini merupakan penjabaran dari artikel yang ditulis oleh Cao, C. G, Zhang, X. dan Tang, X. [5] yang dibahas mengenai kondisi yang setara pada hukum urutan terbalik pada invers grup dari perkalian dua matriks. Berkaitan

dengan kondisi yang setara, dalam artikel ini kondisi yang diberikan yaitu (AB)^#= B^(1,2)A^(1,2) dan (BA)^# = A^(1,2)B^(1,2) [5].

2. INVERS GRUP

Pada bagian ini diberikan beberapa definisi dan lema yang digunakan untuk pem- bahasan selanjutnya.

Definisi 1 [3, h. 165] Misalkan A adalah matriks m × n, maka subruang R^m yang direntang oleh vektor-vektor kolom A dinamakan ruang kolom (column space) A. Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen Ax = 0, yang merupakan subruang dari Rⁿ, disebut ruang nul (null space) dari A. Ruang kolom dan ruang nul dari A selanjutnya dilambangkan dengan R(A) dan N (A).

Definisi 2 [3, h. 169] Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan dengan rank A dan dinyatakan dengan rank(A).

Definisi 3 [5] Untuk sebarang matriks A ∈ C^m×n, persamaan matriks:

AA^#A = A, (1)

A^#AA^# = A^#, (2)

AA^# = A^#A. (3)

A{1, 2} menunjukkan himpunan semua matriks yang memenuhi persamaan (1) dan (2) dan dilambangkan dengan A^(1,2). Sedangkan A^# adalah invers grup dari A jika A^#memenuhi persamaan (1)-(3). Jika A^#ada maka A^#adalah tunggal dan m = n.

Definisi 4 [3, h. 426] Jika A adalah matriks kompleks, maka transpose konjugat dari A dilambangkan dengan A^∗, didefinisikan dengan

A^∗ = ¯A^T.

Definisi 5 [3, h. 426] Sebuah matriks persegi A dengan entri-entrinya bilangan kompleks disebut uniter jika A⁻¹ = A^∗.

Definisi 6 [7] Misalkan matriks A berukuran m×n dan matriks B berukuran p×q.

Direct sum dari A dan B ditulis A ⊕ B, yang artinya matriks (m + p) × (n + q) dalam bentuk

 A O O B

 , dimana O adalah matriks nol.

Lema 7 [5] Misalkan A ∈ C^n×n kemudian A^# ada jika dan hanya jika rank(A) = rank(A²).

Bukti: dapat dilihat pada [9].

Lema 8 [5] Misalkan A ∈ C^n×n dan A^# ada, maka terdapat matriks yang mempunyai invers P ∈ C^n×n dan D ∈ C^r×r sehingga

A= P (D ⊕ O)P⁻¹ dan A^# = P (D⁻¹⊕ O)P⁻¹. Bukti: dapat dilihat pada [6, h. 122].

Teorema 9 [2] Diberikan matriks A berukuran m × n yang mempunyai rank r dan nilai singularnya adalah σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr. Jika terdapat matriks U, Σ dan V maka matriks A dapat difaktorkan dalam bentuk :

A= U ΣV^∗, dimana U dan V adalah matriks uniter, Σ =  Σ1 O

O O



, dengan Σ1 adalah matriks diagonal yang entrinya adalah nilai singular dari matriks A.

Bukti: dapat dilihat pada [2].

Selanjutnya diberikan product singular value decomposition (PSVD) dari dua matriks, pada lema berikut.

Lema 10 [8] Misalkan A ∈ C^m×n dan B ∈ C^n×p. Maka ada dua matriks uniter U ∈ C^m×m, V ∈ C^p×p dan matriks nonsingular W ∈ C^n×n sehingga

A= U ΣAW⁻¹, B = W ΣBV^∗ (4) dengan

ΣA= Ir₁ 0

0 0



=



 I_r1

2 0 0 0

0 I_r1−r¹₂ 0 0

0 0 0 0





ΣB =









S₁ 0 0 0 0 0 0 S₂ 0 0 0 0









r₁ = rankA. r2 = r₂¹+ r₂² = rankB, (5)

dengan S1 dan S2 adalah matriks diagonal persegi positif (ketika r₂ⁱ >0) atau nol (ketika r₂ⁱ = 0) dimana i = 1, 2.

Bukti: dapat dilihat pada [8].

Lema 11 [8] Misalkan A ∈ C^m×n, B ∈ C^n×p dan PSVD pada persamaan (4) dan (5). Terdapat A^(1,2) ∈ A{1, 2}, B^(1,2) ∈ B{1, 2} dan (AB)^(1,2) ∈ (AB){1, 2} sehingga

A^(1,2) = W Y U^∗,

Y =









I 0 Y₁₃

0 I Y₂₃

Y₃₁ Y₃₂ Y₃₁Y₁₃+ Y32Y₂₃ Y₄₁ Y₄₂ Y₄₁Y₁₃+ Y42Y₂₃









, (6)

B^(1,2)= V ZW⁻¹, Z =





S₁⁻¹ Z₁₂ 0 Z₁₄

0 Z₂₂ S₂⁻¹ Z₂₄

Z₃₁ Z₃₁S₁Z₁₂+ Z33S₂Z₂₂ Z₃₃ Z₃₁S₁Z₁₄+ Z33S₂Z₂₄



, (7)

(AB)^(1,2) = V GU^∗, G=





S₁⁻¹ G₁₂ G₁₃ G₂₁ G₂₁S₁G₁₂ G₂₁S₁G₁₃ G₃₁ G₃₁S₁G₁₂ G₃₁S₁G₁₃



, (8)

dengan Yij, Zij dan Gij adalah sebarang submatriks yang sesuai, S1 dan S2 adalah matriks dari product singular value decomposition (PSVD) pada persamaan (5).

Bukti: dapat dilihat pada [8].

Akibat 12 [10] Misalkan (AB)^(1,2), terdapat G2 ∈ B{1, 2} dan G1 ∈ A{1, 2} se- hingga G2G₁ ∈ (AB)^(1,2).

Bukti: dapat dilihat pada [10].

Lema 13 [4] Misalkan A, B ∈ C^n×n. Jika

rank(A) = r, rank(B) = rank(AB) = rank(BA),

maka terdapat matriks-matriks yang mempunyai invers P, Q ∈ C^n×n sehingga A = P Ir 0

0 0



Q, B = Q⁻¹

 B₁ B₁X Y B₁ Y B₁X

 P⁻¹, dengan B1 ∈ C^r×r, X ∈ C^r×(n−r) dan Y ∈ C^(n−r)×r.

Bukti: dapat dilihat pada [4].

3. HUKUM URUTAN TERBALIK PADA (AB)^#= B^#A^#.

Sebelum membahas hukum urutan terbalik pada (AB)^#= B^#A^#, terlebih dahulu akan dibahas lema yang diperlukan yaitu

Lema 14 [5] Misalkan B1 ∈ C^r×r dan B = B₁ B₂

O O



∈ C^n×n, maka

1. Jika B^# ada, maka B^# = B₁^# (B₁^#)²B₂

O O

 .

2. B^# ada jika dan hanya jika B₁^# ada dan R(B2) ⊂ R(B1);

Bukti:

1. Untuk menunjukkan B^# =  B₁^# (B₁^#)²B₂

O O



adalah invers grup dari B = B₁ B₂

O O



maka harus memenuhi Definisi 3, sebagai berikut:

(a) BT = B₁ B₂

O O

  B^#₁ (B₁^#)²B₂

O O



BT = B₁B₁^# B₁B₁^#B₁^#B₂

O O



BT = B₁B₁^# B₁^#B₂

O O



T B = B₁^# (B₁^#)²B₂

O O

  B1 B₂

O O



T B = B₁^#B₁ B₁^#B₂

O O

 . Jadi, BT = T B.

(b) BT B = B₁^# (B₁^#)²B₂

O O

  B₁ B₂

O O



BT B = B₁B^#₁ B₁ B₁B₁^#B₂

O O



BT B = B₁ B₂

O O

 . Jadi, BT B = B.

(c) T BT = B^#₁ B₁ B^#₁ B₂

O O

  B₁^# (B₁^#)²B₂

O O



T BT = B^#₁ BB₁^# B₁^#B₁(B₁^#)²B₂

O O



T BT = B^#₁ (B₁^#)²B₂

O O

 . Jadi, T BT = T .

Karena Definisi 3 terpenuhi maka T adalah invers grup dari B dan B^# ada.

2. ⇐ Misalkan T =  B₁^# (B₁^#)²B₂

O O



mengikuti dari keberadaan B₁^#. Untuk menunjukkan B^# ada maka harus memenuhi Definisi 3, berdasarkan pembuk- tian 1 terbukti bahwa Definisi 3 terpenuhi, maka B^# ada.

⇒ B^# ada, maka rank(B) = rank(B²). Untuk sebarang x1 ∈ C^r, x2 ∈ C^n−r dan y₁ ∈ C^r, y₂ ∈ C^n−r sehingga

 B₁ B₂

O O

  x1

x₂



= B₁² B₁B₂

O O

  y₁ y₂

 .

Maka B1x1 = B₁²y₂ artinya rank(B1) =rank(B²₁), maka B^#₁ ada.

Untuk menunjukkan R(B2) ⊂ R(B1) adalah dengan cara menunjukkan (I − B₁B₁^#)B₂ = O. Berdasarkan Lema 8 maka terdapat matriks yang mempunyai invers P ∈ C^n×n dan D ∈ C^r×r sehingga B1 = P (D⁻¹⊕ O)P⁻¹ dan misalkan B2 = P M1 M₂

M₃ M₄



P⁻¹,maka

(I − B1B^#₁ )B2 =

 1 O O 1



− P D O O O



P⁻¹P D⁻¹ O

O O

 P⁻¹



P M1 M₂ M₃ M₄

 P⁻¹

=

 1 O O 1



− P

 I O O O

 P⁻¹



P M₁ M₂ M₃ M₄

 P⁻¹

=P O O O I



P⁻¹P  M₁ M₂ M₃ M₄

 P⁻¹ (I − B1B^#₁ )B2 =P

 O O

M₃ M₄

 P⁻¹.

Untuk menunjukkan (I − B₁B₁^#)B₂ = O, perlu dibuktikan M₃ = 0 dan M₄ = 0, selanjutnya

B = B₁ B₂

O O



= P O O O











D O M₁ M₂ O O M₃ M₄

O O O O

O O O O









 P⁻¹ O

O O

 .

Karena matriks B persegi dan matriks P dapat dibalik maka matriks P da-

pat mendiagonalkan matriks B, sehingga B ∼









D O M₁ O O O O M₄

O O O O

O O O O









. Karena

B^# ada dan M3 = O, maka diperoleh C^# =  O M4

O O

#

. Jelas, C² = O.

Sehingga C = C²C^#= O dan M3 = 0, M4 = 0.

Teorema 15 [5] Misalkan A, B ∈ C^n×n, A^# dan B^# ada, maka kondisi berikut setara:

1. (AB)^# ada dan (AB)^#= B^#A^#.

2. R(AB) = R(BA) dan N (AB) = N (BA).

3. Terdapat matriks yang mempunyai invers P ∈ C^n×n sehingga (A= P (A₁⊕ . . . ⊕ At)P⁻¹

B = P (B₁⊕ . . . ⊕ Bt)P⁻¹,

dengan Ai = O dan Bi = O atau Ai dan Bi adalah matriks yang mempunyai invers dengan orde di Ai dan Bi adalah sama untuk semua i, dan AjB_j = 0 untuk setiap j ≥ 2.

Bukti: 1 ⇒ 2 Karena (AB)^#ada berdasarkan Lema 7 maka R(AB) = R(ABAB) dan (AB)^#= B^#A^# sehingga

R(AB) = R(ABAB) = R(BABA) = R(BA).

Menggunakan cara yang sama, maka diperoleh N (AB) = N (BA).

1 ⇒ 3 Menggunakan induksi pada n. Jika n = 1 buktinya benar. Andaikan lema benar ketika n < k, dimana k ≥ 2, akan dibuktikan bahwa benar ketika n = k.

Tanpa menghilangkan bentuk umum, diasumsikan 0 < rank(A) < n. Karena A^# ada maka berdasarkan Lema 8 terdapat matriks yang mempunyai invers P₁ ∈ C^n×n dan D ∈ C^r×r sehingga

A = P1(D ⊕ O)P₁⁻¹, A^#= P1(D⁻¹⊕ O)P₁⁻¹ (9) dimana r = rank(A). Misalkan

B = P1

 B₁ B₂ B₃ B₄



P₁⁻¹, B^#= P1

 C₁ C₂ C₃ C₄



P₁⁻¹, (10) dimana B₁, C₁ ∈ C^r×r, sehingga

AB = P1

 DB₁ DB₂

O O



P₁⁻¹, B^#A^#= P1

 C₁D⁻¹ O C₃D⁻¹ O

 P₁⁻¹. Dari Lema 14 dan (AB)^#= B^#A^#, diperoleh

 (DB1)^# [(DB1)^#]²DB₂

O O



= C₁D⁻¹ O C₃D⁻¹ O

 , sehingga

[(DB1)^#]²DB₂ = O (11)

dan

C₃ = O. (12)

Selanjutnya mengikuti Lema 8 dan (AB)^# ada maka R(DB2) ⊂ R(DB1). Se- hingga DB₂ = DB₁X untuk matrik X berukuran r × (n − r) yaitu B₂ = B₁X.

Mengganti B2 dengan B1X di (11), diperoleh [(DB1)^#]²DB₁X = O. Dari (DB1)²[(DB1)^#]²DB₁X = O. Yaitu DB1X = O dengan menerapkan definisi dari invers grup. Sehingga

B₂ = D⁻¹(DB2) = D⁻¹(DB1X) = O. (13) Menggabungkan persamaan (10), (12) dan (13), diperoleh

 B₁ O B₃ B₄



= B = (B^#)^# = C^#= C₁ C₂ O C₄

#

.

Bentuk polinomial dari  C₁ C₂ O C₄



dapat ditulis sebagai  C₁ C₂ O C₄

#

[6, h. 130] . Oleh karena itu B3 = O, sehingga,

A= P1(D ⊕ O)P⁻¹, B = P1(B1⊕ B4)P⁻¹. (14) Dengan menggunakan (AB)^# = B^#A^# diperoleh

(DB₁)^#= B₁^#D⁻¹, (OB₄)^# = B^#₄ O.

Dengan hipotesis induksi, maka 3 terpenuhi.

3 ⇒ 1 Menggunakan persamaan (14), diperoleh

(AB)^#= (P (D ⊕ O)P⁻¹P(B1⊕ B4)P⁻¹)^#

= (P (DB₁⊕ OB₄)P⁻¹)^#

= P (B₁^#D⁻¹⊕ B₄^#O)P⁻¹

= P (B₁^#⊕ B₄^#)P⁻¹P(D⁻¹⊕ O)P⁻¹ (AB)^#= B^#A^#,

maka 1 terpenuhi.

2 ⇒ 3 Menggunakan induksi pada n. Jika n = 1 buktiya benar. Andaikan lema benar ketika n < k, dimana k ≥ 2, dibuktikan benar ketika n = k. Misalkan 0 < rank(A) < n. Tanpa menghilangkan bentuk umum, diasumsikan bahwa (9) dan (10) terpenuhi. Menggunakan R(AB) = R(BA) diperoleh

R DB₁ DB₂

O O



= R B₁D O B₃D O

 ,

dan karena B3D = O, sehingga B3 = O. Selanjutnya dengan menerapkan N(AB) = N (BA), diperoleh

N DB₁ DB₂

O O



= N (B₁D⊕ O).

Diketahui  O y



∈ N (B1D⊕ O) untuk setiap y ∈ C^n−r, diperoleh

 O y



∈ N DB₁ DB₂

O O



∀ y ∈ C^n−r, karena DB2y = O, maka B2 = O.

Sehingga (14) terpenuhi. Menerapkan 2, diperoleh R(DB1) = R(B1D), N(DB1) = N (B1D), R(OB4) = R(B4O). Dengan induksi hipotesis, maka 3 ter- penuhi.

3 ⇒ 2 Berdasarkan persamaan (14), diperoleh

R(AB) = R(P1(D ⊕ O)P⁻¹P₁(B1⊕ B4)P⁻¹)

= R(P (DB₁⊕ OB₄)P⁻¹)

= R(P (B1D⊕ B4O)P⁻¹)

= R(P (B1⊕ B4)P⁻¹P₁(D ⊕ O)P⁻¹) R(AB) = R(BA).

Menggunakan cara yang sama diperoleh N (AB) = N (BA), maka 2 terpenuhi.

4. HUKUM URUTAN TERBALIK PADA (AB)^#= B^(1,2)A^(1,2)

Pada bagian ini matriks A dan B menjadi matriks yang masing-masing beruku- ran m × n dan n × m. Sebelum membahas hukum urutan terbalik pada (AB)^#= B^(1,2)A^(1,2), terlebih dahulu akan dibahas lema yang diperlukan, yaitu Lema 16 [5] Misalkan A ∈ C^m×n dan B ∈ C^n×p, maka diperoleh

(AB){1, 2} ⊆ B{1, 2}A{1, 2}.

Bukti: Lema ini dibuktikan dengan menerapkan product singular value decom- position (PSVD) dari A dan B. Misalkan PSVD adalah A dan B pada persamaan (4) dan (5). Perhatikan bahwa (AB){1, 2} ⊆ B{1, 2}A{1, 2} jika dan hanya jika untuk setiap G pada (8), diberikan Y dan Z pada (6) dan (7), sehingga ZY = G.

Selanjutnya substitusi dari ZY = G, diperoleh

Y₄₁ = (I − Z₁₄⁺Z₁₄)Y41, Z₁₂ = G12− Z14Y₄₂, Y₃₁ = S2(G21− Z24Y₄₁), Z₂₂ = G₂₁S₁G₁₂− S₂⁻¹Y₃₂− Z₂₄Y₄₂,

Y₁₃ = S1(G13− Z12Y₂₃− Z14(Y41Y₁₃+ Y42Y23)) = S1(G13− G12Y₂₃), Z₃₁ = G31− Z33Y₃₁− (Z31S₁Z₁₄+ Z33S₂Z₂₄)Y41= G31− Z33S₂G₂₁.

(15) Kemudian untuk setiap pilihan submatriks Gij dari G di persamaan (8), dapat memilih

Z₁₄ = 0, Z₂₄= 0, Z₃₃= 0, Y₂₃ = 0, Y₃₂= 0, Y₄₁ = 0, Y₄₂= 0, (16) menggabungkan persamaan (16) dengan persamaan (15), sehingga merubah matriks Y, Z pada persamaan (6) dan (7) menjadi bentuk

Y =









I 0 S₁G₁₃

0 I 0

S₂G₂₁ 0 S₂G₂₁S₁G₁₃

0 0 0









, Z =





S₁⁻¹ G₁₂ 0 0 0 G₂₁S₁G₁₂ S₂⁻¹ 0 G₃₁ G₃₁S₁G₁₂ 0 0





sehingga ZY = G. Jadi untuk setiap (AB)^(1,2) = V GU^∗ terdapat (AB)^(1,2)∈ B{1, 2}A{1, 2}.

Dari Lema 16, diketahui jika (AB)^# ada maka A^(1,2) dan B^(1,2) ada sehingga (AB)^# = B^(1,2)A^(1,2). Berikut ini adalah kondisi yang memenuhi (AB)^#= B^(1,2)A^(1,2) dan (BA)^#= A^(1,2)B^(1,2).

Teorema 17 [5] Jika rank(B) = rank(AB), dan (AB)^# ada, maka (BA)^# ada dan terdapat G1 ∈ A{1, 2} dan G2 ∈ B{1, 2} sehingga (BA)^# = G1G₂ dan (AB)^#= G2G₁.

Bukti: Berdasarkan Lema 13 A = M N = P

 Ir O

O O



Q, untuk P dan Q nonsingular, dimana M = P  Ir

O



dan N = Ir O  Q, sehingga

AB = P

 B₁ B₂

O O



P⁻¹, dimana B1 ∈ C^r×r.

Menurut Lema 14 karena (AB)^# ada, maka B₁^# ada dan B₂ = B₁X. Diperoleh AB = Q⁻¹

 B₁ B₁X Y B₁ Y B₁X

 P⁻¹, dari Definisi 13 rank(B) = rank(AB). Selanjutnya

B = Q⁻¹ Ir

Y



B₁ I_r X  P⁻¹ = NrB₁M_l,

dengan N_r = Q⁻¹ Ir

Y



, M_l =  I_r X  P⁻¹. Sehingga diperoleh AB = M N NrB₁M_l = M B₁M_l, BA = NrB₁M_lM N = NrB₁N, dan (AB)^# = M B₁^#M_l, (BA)^# = NrB₁^#N. Misalkan G1 = NrM_l dan G2 = M B₁^#N. Maka G2G₁ = M B₁^#M_l = (AB)^# dan G1G₂ = NrB₁^#N = (BA)^#.

Teorema 18 [5] Jika rank(A) = rank(AB) dan (AB)^# ada, maka (BA)^# ada dan terdapat G1 ∈ A{1, 2} dan G2 ∈ B{1, 2} sehingga (BA)^# = G1G₂ dan (AB)^#= G₂G₁.

Bukti: Untuk membuktikan (BA)^# ada, perlu dibuktikan N (BA) = N ((BA)²).

Untuk x ∈ N ((BA)²), diperoleh x ∈ N (A(BA)²). Dari keberadaan (AB)^# diperoleh Ax ∈ N ((AB)²) = N (AB). Karena rank(A) = rank(AB) dapat ditulis Ax = ABy untuk setiap y ∈ C^m. Berarti ABy ∈ N (AB). Oleh karena itu y ∈ N ((AB)²) = N (AB), yakni ABy = 0, dengan demikian Ax = 0, jadi BAx = 0.

Selanjutnya, x ∈ N (BA). Maka diperoleh N (BA) = N ((BA)²).

Adapun mengikuti rank(BA) ≥ rankAB) dari rank(AB) = rank((AB)²), dan rank(BA) ≤ rank(AB) dari rank(BA) = rank((BA)²). Jadi rank(AB) = rank(BA), sehingga rank(A) = rank(BA).

Berdasarkan Teorema 17 diketahui A = M N = P  I_r O O O



Q, untuk P dan Q nonsingular. Karena rank(A) = rank(BA), maka diperoleh A = M N dan BA = NrB₁M_lM N = NrB₁N, AB = M N NrB₁M_l = M B1M_l dan (BA)^# = NrB₁^#N, (AB)^# = M B₁^#M_l. Misalkan G₂ = M B₁^#N dan G₁ = NrM_l. G1G₂ = NrB₁^#N = (BA)^# dan G2G₁ = M B^#₁ M_l= (AB)^#.

Teorema 19 [5] Jika rank(A) = rank(BA) dan rank(B) = rank(AB), maka 1. (AB)^# dan (BA)^# ada,

2. Terdapat G1 ∈ A{1, 2} dan G2 ∈ B{1, 2} sehingga (BA)^# = G1G₂ dan (AB)^# = G2G₁.

Bukti:

1. Berdasarkan Teorema 17 hanya perlu membuktikan (AB)^# ada, karena rank(A) = rank(BA) dan rank(B) = rank(AB), diperoleh N (A) = N (BA) dan N(B) = N (AB). Untuk setiap x ∈ N ((AB)²), diperoleh ABx ∈ N (AB) = N (B). Ini memperlihatkan Bx ∈ N (BA) = N (A), oleh karena itu x ∈ N (AB). Diperoleh N (AB) = N ((AB)²) jadi (AB)^# ada.

2. Berdasarkan Teorema 17 dan 18 terbukti bahwa untuk rank(A) = rank(BA) dan rank(B) = rank(AB), terdapat G1 ∈ A{1, 2} dan G2 ∈ B{1, 2} sehingga (BA)^# = G₁G₂ dan (AB)^# = G₂G₁.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Adetunde, I. A. 2009. Application of Generalized Inverse of A Matrix to Models Not of Full Rank. Researcher, 1(2): 41–53.

[2] Ahmad, I. H. & Ratnasari, L. 2010. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Menggunakan Analisis SVD. Jurnal Matematika, 13(1): 40–45.

[3] Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Terj. dari Elementary Linear Algebra, Fifth Edition, oleh Silaban, Ph. D. & Susila, I. N. Penerbit Erlangga, Jakarta.

[4] Bu, C. G, Zhao, J. & Zhang, K. 2009. Some Results on Group Inverses of Block Matrices Over Skew Fields. Electronic Journal of Linear Algebra, 18:117–125.

[5] Cao, C. G, Zhang, X. & Tang, X. M. 2004. Reverse Order Law of Group Inverses of Products of Two Matrices. Applied Math. and Computation, 158: 489–495.

[6] Campbell, S. L. & Meyer, C. D. 1979. Generalized Inverses of Linear Transfor- mations. Pitman, London.

[7] Cwoo. 2013. Direct Sum of Matrices. http://www.planetmath.org/direct- sumofmatrices, 15 Oktober 2014. pk : 11.17.

[8] De Pierro, A. R. & Wei, M. 1998. Reverse Order Law for Reflexive Generalized Inverses of Products of Matrices. Linear Algebra and Its Applications, 277:

299–311.

[9] Erdelyi, I. 1967. On the Matrix Equation Journal of Mathematical Analysis and Applications,17: 119–132.

[10] Shinozaki, N. & Sibuya, M. 1979. Further Results on the Reverse Order Law.

Linear Algebra and Its Applications,27: 9–16.