Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2

KK-Astronomi ITB Page 4-1

Bab 4

Integral Garis dan Teorema Green

_____________________________________

4.1 Integral Garis

Definisi : Misal

⃗

suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan

⃗

adalah medan vektor yang didefinisikan pada lintasan

⃗

. Integral

⃗

sepanjang

⃗

disebut integral garis.

   

b b

a a

W



F.ds



F s t s t dt

Untuk ruang dimensi m cara menghitungnya adalah;

 

1

( )

m b

k k

k a

W F s t s t dt





 





  Dalam hal ini



1, 2, , _m



F  F F  F , sedangkan s ( , ,s s_{1 2} ,s_m). Jadi dapat juga ditulis Dalam ruang dua dimensi (2D) pernyataannya menjadi  x s t1

 

, ys t2( )

Dalam ruang tiga dimensi (3D) pernyataannya menjadi  xs t1

 

, ys t2

 

, zs t3

 

4.2 Sifat Integral Garis

1.

 

aFbG ds



a F ds



^. b G ds a b



^{. ,} , suatu konstanta 2. Jika lintasannya adalah c  c₁ c₂ c_m maka

1 2

. . . .

c c c cm

F ds  F ds F ds F ds

   

Gambar 4- 1 Lengkungan C dipilah-pilah menjadi lengkungan C1, C2, …..,Cm

C

₁

C

2

C

m

C

_i

KK-Astronomi ITB Page 4-2 3. Bila ab lintasan disebut lintasan tertutup, simbol



biasa digunakan

Gambar 4- 2 Contoh lengkungan tertutup.

Contoh 1

Misalkan ^{F x y}

 

^{,  yi }



^{x3y j ,}



^

^{ }

x y dengan ^, y0

Hitunglah kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan suatu partikel dari titik (0,0) ke titik (1,1) sepanjang lintasan berikut:

a. Garis dengan persamaan xt y, t, 0 t 1 b. Garis dengan persamaan xt², yt³, 0 t 1

(a) (b)

Jawab:

a. Jadi ^{s t}

 

^{x t i}

 

^{y t j}

 

^{s t( )  ti tj ds t}

 

^

 

^{i  j dt}

 

^{,  }



^3



^

^{ }

^{ }



^3



F x y yi x y j F t ti t t j

 

 ^1,1 1

0,0 0

( ) ( )

W 



F ds 



F t ds t ¹

 

³

   

¹



^{12 3}



0 0

17

W ti t t j i j dt t t t dt 12

 



    



  

b. Jadi ^{s t}

 

^{x t i}

 

^{y t j}

 

^{s t( )t i2 t j3 ds t( )}



^{2ti 3t j dt2}



 

^{,  }



^3



F x y yi x y j ^{F t}

 

^{t i32 }



^t6t3



^j

b a 



C

y

x a

b

 

^{x y}

s ,

, t y

t x





y

x a

b

 

^{x y}

s ,

3 2

t y

t x





KK-Astronomi ITB Page 4-3

 

 ^1,1

0,0







W F ds ^{1 32}



^{6 3}



²

0

2 3

   





^{t i}  ^t ^{t j} ^ti  ^{t j dt}

 

1 52 8 5

0

2 3 59

42

 





    

W t t t dt

Contoh 2:

Hitung kerja yang diperlukan dari medan vektor F x y

 

^,  ^x



²2xy y – 2xy

 

i  ²



j

untuk memindahkan partikel dari (-1,1) ke (1,1) sepanjang lintasan y = x².

     

^{( ) 2}

s t x t i y t j s t  ti t j

     

     

2 2

2 3 4 3

, 2 – 2

2 – 2

F x y x xy i y xy j

F t t t i t t j

  

  

Batas integrasi:

, 1 1, 1 1

xt x    t x  t

Jadi,

 

 ^1,1

1, 1

W F ds









   

1 1

2 3 4 3 2 3 5 4

1 1

( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 2 4 ) 14 /15

W t t i t t j i tj dt t t t t dt

 

 



     



    

Contoh 3:

Carilah kerja yang dilakukan oleh medan gaya ^{F x y z}



^{, ,}



^{xi yj}



^xzy k untuk



memindahkan partikel dari (0,0,0) ke (1,2,4) sepanjang garis lurus yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Jawab: Partikel dipindahkan dari (0,0,0) ke (1,2,4) jadi lintasan tempuh = garis lurus penghubung dua titik.

Besar usaha dapat ditulis secara matematis dengan persamaan





 W F ds

Dimana ds adalah lintasan yang ditempuh oleh partikel. ds dxi dyjdzk

KK-Astronomi ITB Page 4-4

 

   

 

 

      

   





  

W F ds

xi yj xz y k dxi dyj dzk xdx ydy xz y dz

Dari garis yang menghubungkan kedua titik dapat kita lihat adanya suatu hubungan:

Partikel dipindahkan dari (0,0,0) ke (1,2,4) Maka terlihat bahwa y = 2x , dan z = 4x Apabila kita substitusikan nilai x = t maka:

x = t ⟶ dx = dt y = 2t ⟶ dy = 2 dt z = 4t ⟶ dz = 4 dt

batas integrasi adalah dari t = 0 sampai t = 1 dan persamaan diatas dapat dituliskan sebagai

       

1 1 1 1 1 1

2

0 0 0 0 0 0

1 1

2 21 3 2

0

0 0

2 2 4 2 4 4 4 4 2

1 4 1 1

2 4 2 4

2 3 2 3

3 12 8 23

6 6

W t dt t dt t t t dt t dt t dt t t dt

t t t t

       

   

           

 

 

     

Contoh 4:

 

^{,   6 2}

F x y cxy i x y j , c>0. Gaya ini bekerja pada suatu partikel yang ingin dipindahkan dari (0,0) ke garis x=1, sepanjang kurva yax^b, a > 0 dan b > 0. Tentukan nilai a (dalam bentuk c) agar kerja yang dilakukan tidak bergantung pada b.

Jawab:

Besar usaha secara dituliskan secara matematis dengan persamaan





 W F ds

Dimana ds adalah lintasan yang ditempuh partikel. ds dxi dyj



^{6 2}

  

6 2

W F ds

cxy i x y j dxi dyj cxydx x y dy

 

   

 





 

KK-Astronomi ITB Page 4-5 Apabila kita substitusikan nilai x = t dan karena lintasan tempuh adalah kurva yax^b maka:



x t ⟶ dxdt

 ^b

y at ⟶ dyabt^b1dt

Batas integrasi adalah dari t = 0 ke t = 1

Sehingga persamaan diatas dapat dituliskan sebagai

     

   

 

   

1 1

6 2 1

0 0

1 1

1 3 3 5

0 0

1 1

2 3 3 6

0 0

3

3 3

2 3 6

2 3 2

3 1 3

3 2 3 2

b b b

b b

b b

W ct at dt t at abt dt

act dt a bt dt

act a bt

b b

ac a b

b b

ac a b ac a b

b b



 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Agar tidak bergantung pada b, maka bagian pembilang, 3aca b³ , agar dapat dibagi dengan penyebutnya harus dapat dituliskan sebagai bentuk perkalian dengan (b+2).

Misalkan bagian pecahan tersebut;

 

3 3

2

  

 ac a b

b atau ^{3ac a b 3   }



^{b 2}



^{   b 2}

Yang menjadi variabel disini adalah b oleh sebab itu, ada dua persamaan;

3

2 3

  ac b a b

Dengan demikian;

 a atau 3 2a³3ac atau 2 ²

3

c a  3

 2

a c

Contoh 5:

Tentukan kerja/usaha yang diperlukan oleh gaya ( , ) ( ^{2 2}) 2

  

  

F x y x y i xy j untuk

memindahkan partikel (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sepanjang bujur sangkar yang dibatasi oleh garis x=a dan y=a, a>0

KK-Astronomi ITB Page 4-6 Penyelesaian:d s dx i dy j

  

  dalam hal ini jika x konstan d s dy j

 

  sedangkan jika y konstan maka d s dx i

 

 Perhatikan;

Sepanjang C₁: ( , )F x y F x( , 0) dengan 0 x a Sepanjang C : ₂ F x y( , )F a y( , ) dengan 0 y a

Sepanjang C : ₃ F x y( , )F x a( , ) dengan lintasan dari x=a ke x = 0 Sepanjang C₄: F x y( , )F(0, )y dengan lintasan dari y= a ke y = 0

Gambar 4- 3 Lengkungan tertutup berbentuk empat persegi panjang

1 2 3 4

0 0

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

( , ) ( , 0) ( , ) ( , ) (0, )

2 ( ) 2 ( )

C C C C C

a a a a a

a a

F x y d s F x d x F a y d y F x a d x F y d y

W x dx aydy x a dx y i jdy x dx aydy x a dx

         

 

   

          

    

      

3 3 3 3 3

1 1

3 3 2

W  a a  a a  a

Jadi usaha yang diperlukan adalah W 2a³ Contoh 6:

Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva yang dibentuk oleh irisan bola dan bidang dengan . Lintasan berlawanan dengan putaran jarum jam bila dilihat dari sumbu z. Partikel ini berada dalam pengaruh gaya yang dinyatakan oleh ^F



^{x, y, z}



^(y       ^{z i) (z x j) (x y k)} Pertanyaannya gambarkan lintasannya dan hitunglah usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel tersebut selama satu periode.

KK-Astronomi ITB Page 4-7

2 2 2

4 x y z 

2 2 2 2

4 x y y tan 

2 2 2

4 x y sec 

2 2

2

4 x y sec

 

 

2 2 2

4

y  x cos 



^{4 2}



²

y x cos



^{4 2}



y x cos

Gambar 4- 3 Lintasan sepanjang perpotongan bidang datar dan kulit bola.

Jika: xt, maka dapat ditulis



^{4 2}



^cos

y t  dan ^z



^4t2



^{cos tan  }



^4t2



^sin

0 2

z   t

Integrasi dimulai dari bidang z=0. Maka batas integral t adalah dari -2 ke 2

       

s t x t i y t jz t k dengan demikian ^{s t( ) ti}



^4t2



^{cos j }



^4t2



^{sin k}

  

^{4t 2}

 

^{4t 2}



ds t idt cos jdt sin k dt

t t

 

  

 

Sehingga

   



^{( )}



W 



F ds W 



yz i  z x j x y k ds

     

2

2 2 2 2

2

2 2

4 4 4 4

4 4

  



  

 

               

     

 

 

 



W t Cos t Sin i t Sin t j t t Cos k

tCos tSin

i j k dt

t t

   

   ^{ }  _{ }

 

  _{ }

2 2 2

2 2

2 2

2

4 4 4 .

4

4 .

4

t cos t sin t sin t t cos

t

W dt

t t cos t sin

t

   

 



       

 

  

  

   

  

 



KK-Astronomi ITB Page 4-8

   

   

2 2 2

2 2

2 2

2

4 4

4 4

t t

W t cos t sin cos t sin cos sin t sin cos dt

t t

       



 

 





          

   

   

2 2 2

2 2

2 2

2

4 4

4 4

t t

W t cos t sin cos sin dt

t t

   



 

 

     

   

 

 



   

 

2 2

2

2 2

4

4

W cos sin t t dt

t

 



 

 

   

  

 

 



 

 

2 2 2

2 2

4 4

t t

W cos sin dt

t

 



   





 

 

2

2 2

4 4

W cos sin dt

t

 



 





 

 

2

2 2

4

4 W cos sin dt

t

 



 





Berdasarkan teorema dalam integral

1

2 2

1 sin u

du C

a u a

  



 Maka,

 

2

1 2 2

1 2

sin

2 2 2 2

4

dt t t

  





   

 



Sehingga

 

4

W   cossin

Jadi kerja yang dilakukan F besarnya adalah^W4



^{cossin}



Catatan: jika suatu medan vektor F adalah gradien dari medan skalar , maka  disebut potensial untuk F level set dari disebut permukaan ekipotensial.

Dalam 2D disebut garis-garis ekipotensial (equipotential line) jika,

 menyatakan temperatur  isothermal

 menyatakan tekanan  isobaric

 menyatakan density  isodensity

Contoh: ( , , ) x y z r dengan ^m r(x²y² z²)¹²,  integer m medan vektor dapat dicari dari pernyataan;

KK-Astronomi ITB Page 4-9 ( , , ) 

F x y z =(r^m) =mr^m1( )r = ^1[   ]

  

m r r r

mr i j k

x y z

= ^m1[x  y  z ]

mr i j k

r r r = mr^m2r Jadi , F x y z( , , )mr^m2r

Sebagai latihan coba anda selesaikan soal ini. Massa m bergerak dalam orbit lingkaran dengan kecepatan sudut . Mengalami gaya sentrifugal F x y z( , , ) m ²r . Tunjukan bahwa potensial , akibat gaya F adalah ( , , ) ^{1 2}( ^{2 2 2})

 x y z  2m x y z , r      x i y j z k

Latihan

1. F x y z( , , )    yz i xz j x y(  1)k . hitung kerja yang dilakukan olah F untuk memindahkan partikel disepanjang (0,0,0) , (1,1,1) , (-1,-1,-1).

2. Hitung kerja yang dilakukan ^F



^{x, y, z}



^{  y i2 z j2 x k2} sepanjang kurva yang dibentuk oleh irisan bola x²y² z² a²dengan silinder x²y² ax, z0, a0 lintasannya berlawanan arah dengan jarum jam bila dilihat dari atas bidang xy. [a³ / 4]

3. Integral ( )

C

xy ds



dimana C merupakan segitiga dengan vertex (0.0),(1,0) dan (0,1) bergerak berlawanan arah dengan putaran jarum jam. [ 2]

4. Integral ²

C



y ds dimana C menyatakan lengkungan vektor;

( ) ( sin ) (1 cost) , 0 2

  

t a t t ia  j   t [

256 3

15 a ]

5. Integral ( ^{2 2})

C

x y ds



dengan C menyatakan kurva berbentuk;

( ) (cos in ) (sin cost) , 0 2

  

t a tt t ia tt j   t [2a³(1 2 ²)]

6. Integral

C



zds dengan C menyatakan kurva berbentuk;

( ) cos sin , 0 0

   

t t t i t t j t k  t t

[



^{(2 02 3/ 2) 2 2}



3

t 

]

KK-Astronomi ITB Page 4-10

4.3 Teorema Green (George Green 1793-1841)

Misalkan P dan Q dua fungsi sembarang dengan dua variable, kontinyu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinyu, pada suatu daerah R di bidang . Daerah R ini di batasi oleh kurva C. Maka

 

^,

 

^,

C R

Q P

P x y dx Q x y dy dA

x y

  

     

∮ ∬

Simbol

C

∮

berarti bahwa integral diambil satu kali putar pada lengkungan C dalam arah berlawanan putaran jarum jam.

Gambar 4- 4 Teorema Green pada lengkungan tertutup integrasi dilakukan berlawanan dengan arah putaran jarum jam.

Teorema:

Jika R suatu daerah macam I atau II (kombinasi), maka luas daerah R tersebut adalah.

1 2 C

A

∮

x dyy dx dengan C batas daerah R.

Jika C dapat diuraikan menjadi

1 2 3

1 , 2, .. ,.. maka

C C C Cn

i n

C C C C

∮ ∮ ∮ ∮ ∮

c    

Gambar 4- 5 Integral sepanjang lengkungan dapat dilakukan bagian demi bagian.

Bukti:

Misal

 

^,

 

^,

2 2

y x

P x y   danQ x y  Dari Teorema Green

 

^,

 

^{, 1 1}

2 2

C R R R

Q P

P x y dx Q x y dy dA dA dA

x y

    

          

∮ ∬ ∬ ∬

Jadi

2 2

C R

x y

dy dx dA

∮ ∬

^{jadi 1}

2 _C

A

∮

x dyy dx

Contoh 1: Tentukan luas daerah yang terkurung oleh ellip b x^{2 2}a y^{2 2} a b^{2 2}

Jawab :

KK-Astronomi ITB Page 4-11 Perhatikan

2 2 2 2 2 2

b x a y a b Atau dapat ditulis sebagai;

2 2

    1

   

   

x y

a b

Gambar 4- 6 Menghitung luas elips dengan cara mengubah koordinat kartesis ke koordinat polar.

Misal cos

cos t , 0 2

sin

x a t

x t

y b t

a ^  ^    Kita gunakan pernyataan 1

2 _C

A



xdyydx jadi, karena

xacost dx  asintdt dan y= bsintdy = bcostdt Subsitusi pada kedua persamaan untuk mencari A

1 [ cos cos sin sin ] 2 _C

A



a t b tab t t dt

 

2 2

2 2

0 0

1 1

cos sin

2 2

A a b t t dt ab dt ab

 







 



 satuan luas.

Contoh 2:

Ditanya : Luas daerah R yang dibatasi lengkungan yx³danyx¹² Penyelesaian:

Misal potongan kurva

C1 : yx^1/2dari (1,1) → (0,0) C₂ : yx³dari (0,0) → (1,1)

1 2

C  C  C

Gambar 4- 7 Luas daerah yang diapit oleh dua kurva.

Luas R :

1 2

1 1 1

2 _C 2_C 2_C

A



xdyydx



xdyydx



xdyydx sepanjang

KK-Astronomi ITB Page 4-12 C1 :

1 1

2 1 2

y x dy 2x dx



   , jadi dapat ditulis untuk lengkungan ini

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

xdyydx x dxx dx  x dx

C2 : yx³ dy3x dx² jadi xdyydx3x dx x dx³  ³ 2x dx³

Jadi

0 1 1

2 3

1 0

1 1 1

( ) 2 5 / 12

2 2 2

A



 x dx



x dx satuan luas

4.4 Theorema Green dalam bentuk vektor

Jika _{1 2}

  

 

F F i F j dalam hal ini F₁ dan F₂ menyatakan vector dalam arah sumbu x dan sumbu y maka

 

2 1

1 2

    

   

 

 

R c

F F

dxdy F dx F dy

x y (Skalar)

  

  

 

 

 

R c

Curl F dxdy F d r (vektor)

Dalam hal ini

1 2 3

  

    

  

i j k

Curl F

x y z

F F F

, dalam tiga dimensi (3D)

1 2 3

   

  

F F i F j F k Catatan :

1 2 3

  

  

V

V V

DivV x y z dengan 1

  

  

i j k dan 1

     

      i i j j k k

Atau _{1 2 3}

     

      

  V  i j kV i V j V k  

x y z

  

   

   

f f f

Gradf i j k

x y z

 

²2 ²2 ²2 ²

  

    

  

f f f

Div Gradf f

x y z

 

^{ }

Curl Gradf O

KK-Astronomi ITB Page 4-13 Ingat :



DivV menghasilkan skalar sedangkan



Grad V menghasilkan vektor.

4.5 Soal Latihan

1. Buktikan bahwa luas daerah yang dibentuk oleh lengkungan tertutup c dapat juga dicari dengan koordinat polar 1 ²

 2





c

A r d . Selanjutnya tentukan luas daerah berikut bila dia dibatasi

a) Oleh kardioid : ^ra



^1Cos



^{dimana 0   2 [3 2}

2

a ]

b) Oleh Cycloid : ^{r a t}



^{sint i}



^{a t}



^cost j dengan



^ 0  t 2 [3a²] 2. Selesaikan integral ( )

 





c

F r dr sepanjang lengkungan C apabila



F

a) 3 ² 4

  

 

F x i xy j dengan C adalah suatu empat persegi panjang dengan syarat;

0 x 4 dan 0 y 1 [-8]

b)

  

 

F y i x j dengan C adalah suatu elips; x²9y² 9

c) ^{3 3}

  

 

F y i x j dengan C adalah suatu lingkaran ; x² y² 1

KK-Astronomi ITB Page 4-14 Daftar Isi

Bab 4 ... 1

Integral Garis dan Teorema Green ... 1

4.1 Integral Garis ... 1

4.2 Sifat Integral Garis ... 1

4.3 Teorema Green (George Green 1793-1841) ... 10

4.4 Theorema Green dalam bentuk vektor ... 12

4.5 Soal Latihan ... 13

Daftar Gambar Gambar 4- 1 Lengkungan C dipilah-pilah menjadi lengkungan C1, C2, …..,Cm ... 1

Gambar 4- 2 Contoh lengkungan tertutup. ... 2

Gambar 4- 3 Lintasan sepanjang perpotongan bidang datar dan kulit bola. ... 7

Gambar 4- 4 Terema Green pada lengkungan tertutup integrasi dilakukan berlawanan dengan arah putaran jarum jam ... 10

Gambar 4- 5 Integral sepanjang lengkungan dapat dilakukan bagian demi bagian. ... 10

Gambar 4- 6 Menghitung luas elips dengan cara mengubah koordinat kartesis ke koordinat polar. ... 11

Gambar 4- 7 Luas daerah yang diapit oleh dua kurva ... 11