STUDY OF PROPERTIES OFZERO-DIVISOR GRAPH OF A COMMUTATIVE RING WITH UNITY
Satrio Adi Wicaksono (1209 100 069)
Pembimbing: Soleha, S.Si, M.Si Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2013
Abstrak
perkembangan teori graf memang sangat menarik perhatian para ilmuan, khususnya para pakar aljabar. Dalam teori aljabar konsep ring komutatif merupakan pondasi dalam mengimplementasikan graf ke bentuk aljabar atau sebaliknya. Dalam tugas akhir ini, dibahas graf pembagi-nol, yaitu graf yang simpul - simpulnya ditentukan dari anggota pembagi-nol dari suatu ring komutatif dan sisi - sisinya merupakan relasi pembagi-nol.
Pembahasan ini penting untuk mengetahui hubungan antara graf dengan aljabar, khususnya ring, yaitu dengan menyelidiki sifat - sifat graf yang dihasilkan dari suatu bentuk ring. Sifat yang dibahas antara lain;
keberhinggaan, keterhubungan, graf bintang, dan graf lengkap.
Kata Kunci: Graf Bintang, Graf Lengkap, Ideal, Pembagi-nol, Ring Komutatif
Latar Belakang
Tahun 1988 Istvan Beck memperkenalkan konsep graf pembagi-nol dalam jurnalnya, “Coloring of Commutative Rings”
Penelitian beck dilanjutkan oleh Anderson dan Naseer pada tahun 1993 dan menghasilkan daftar ring berhingga dengan bilangan kromatik maksimal adalah 4
Anderson bersama dengan Livingston menyempurnakan definisi graf pembagi-nol dari penelitian sebelumnya dalam jurnalnya, “The Zero- Divisor Graph of a Commutative Ring”
Rumusan dan Batasan Masalah
Rumusan Masalah
Permasalahan yang akan dikaji dalam Tugas Akhir ini antara lain:
1. Bagaimana sifat sifat graf pembagi-nol Γ(𝑅𝑅).
2. Apa saja syarat yang diperlukan ring agar graf pembagi-nolnya termasuk kategori sebuah graf lengkap atau graf bintang.
Batasan Masalah
Permasalahan dalam Tugas Akhir ini terbatas pada Ring 𝑅𝑅 yang bukan merupakan suatu daerah integral.
Tujuan dan Manfaat
Tujuan
Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini antara lain:
1. Mengkaji sifat sifat graf pembagi-nol Γ(𝑅𝑅).
2. Menentukan syarat syarat yang diperlukan suatu graf pembagi-nol agar termasuk dalam graf lengkap atau graf bintang
Manfaat
Penulisan Tugas Akhir ini bermanfaat dalam hal hal berikut ini:
1. Memberikan pengetahuan mengenai graf khususnya graf pembagi-nol beserta sifat sifatnya.
2. Sebagai referensi penelitian selanjutnya baik dibidang aljabar-graf maupun dibidang lainnya yang terkait.
Ring
Sebuah ring adalah himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian biner dengan syarat:
1. Grup Abelian terhadap operasi penjumlahan.
2. Assosiatif terhadap perkalian.
3. Distributif terhadap perkalian dan penjumlahan
Sebuah ring yang dinotasikan dengan 𝑅𝑅 dikatakan komutatif jika
∀ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 maka 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑏𝑏𝑎𝑎 . Pembagi nol dalam sebuah ring 𝑅𝑅 , yang dinotasikan dengan 𝑍𝑍(𝑅𝑅), adalah elemen dalam 𝑅𝑅 yang membagi nol, artinya ∃𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅 sehingga 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0
Ring
Sebuah subset tak nol 𝐼𝐼 dari ring 𝑅𝑅 dikatakan ideal kanan dari 𝑅𝑅 jika:
o 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼 ⇒ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼 o 𝑎𝑎 ∈ 𝐼𝐼, 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 ⇒ 𝑎𝑎𝑟𝑟 ∈ 𝐼𝐼 Dan dikatakan ideal kiri dari 𝑅𝑅 jika:
o 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼 ⇒ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼 o 𝑎𝑎 ∈ 𝐼𝐼, 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 ⇒ 𝑟𝑟𝑎𝑎 ∈ 𝐼𝐼
Jika memenuhi keduanya baik ideal kiri maupun ideal kanan, maka dikatakan 𝐼𝐼 adalah ideal dari 𝑅𝑅.
Suatu ideal 𝑀𝑀 dari ring 𝑅𝑅, 𝑀𝑀 ⊆ 𝑅𝑅, dikatakan ideal maksimal jika terdapat ideal 𝐼𝐼 sedemikian hingga 𝑀𝑀 ⊆ 𝐼𝐼, maka 𝐼𝐼 = 𝑀𝑀 atau 𝐼𝐼 = 𝑅𝑅.
Misalkan 𝐴𝐴 adalah suatu ideal pada ring 𝑅𝑅. Himpunan dari semua anggota ring, 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅, sedemikian hingga 𝑥𝑥𝐴𝐴 = 0 disebut sebagai ideal penghilang dari 𝐴𝐴 dinotasikan dengan 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐴𝐴).
Graf
Definisi 2.2.1 [4] Sebuah graf 𝐺𝐺 adalah pasangan dari himpunan (𝑉𝑉, 𝐸𝐸), dimana 𝑉𝑉 adalah himpunan simpul yang tak kosong, sedangkan 𝐸𝐸
adalah himpunan sisi yang mungkin merupakan himpunan kosong.
Graf sederhana adalah sebuah graf yang tidak memiliki loop ataupun sisi ganda dan ditentukan oleh himpunan simpul dan himpunan sisi. Girth dari suatu graf 𝐺𝐺 dinotasikan 𝑔𝑔(𝐺𝐺) adalah panjang sikel terpendek dari graf 𝐺𝐺. Diameter dari suatu graf 𝐺𝐺 yang dinotasikan dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑(𝐺𝐺) adalah jarak terpanjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan setiap titik pada graf tersebut.
Preposisi 2.2.3 [5] setiap graf 𝐺𝐺 yang memiliki suatu sikel memenuhi 𝑔𝑔(𝐺𝐺) ≤ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑(𝐺𝐺) + 1
Graf
Graf lengkap adalah sebuah graf sederhana yang setiap simpulnya terhubung dengan simpul yang lain. Graf lengkap dinotasikan 𝐾𝐾𝐴𝐴 , sedangkan graf lengkap bipartite adalah graf bipartite sederhana yang kedua simpulnya terhubung jika dan hanya jika keduanya berada pada himpunan partisi yang berbeda.
Gambar 1 Graf 𝐾𝐾6 Gambar 2 Graf 𝐾𝐾2,3
Graf
Sebuah graf disebut graf bintang jika hanya ada satu simpul yang terhubung dengan s etiap simpul lainya, sedangkan simpul yang lain hanya terhubung dengan simpul tersebut. Graf bintang dinotasikan dengan 𝑆𝑆𝑘𝑘 dimana 𝑘𝑘 adalah banyaknya simpul yang mengellilingi simpul pusat.
Gambar 3 Graf 𝑆𝑆4
Graf Pembagi-nol dari Ring Komutatif
Diberikan 𝑅𝑅 adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan pembagi-nol nya adalah 𝑍𝑍(𝑅𝑅). Sebuah graf pembagi nol, Γ(𝑅𝑅) adalah graf sederhana dengan simpul simpulnya adalah anggota pembagi-nol dari suatu ring komutatif tersebut. Kedua simpul misalkan 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 dikatakan terhubung jika dan hanya jika 𝑥𝑥. 𝑦𝑦 = 0 dimana 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ≠ 0
Dalam sebuah kasus misalnya, himpunan bilangan bulat modulo empat (ℤ4) dengan anggotanya {0, 1, 2, 3}, jika digambar dalam sebuah graf pembagi-nol adalah berupa sebuah titik.
contoh lain, misalkan bilangan bulat modulo tiga (ℤ3) yang beranggotakan {0, 1, 2}, graf yang dihasilkan dari ring tersebu adalah graf kosong.
Graf Pembagi-nol dari Ring Komutatif
Gambar 3 Γ(𝑍𝑍3 × 𝑍𝑍4) Gambar 4 Γ(𝑍𝑍10)
Gambar 5 Γ(𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍6)
Studi literatur
Mengkaji keterhubungan graf pembagi-nol Mengkaji sifat sifat graf pembagi-nol
Mengkonstruksi model Ring Komutatif Penarikan Kesimpulan
Keterhubungan Graf Pembagi-nol
· Setiap ring memiliki jumlah elemen pembagi-nol yang berbeda.
· setiap ring komutatif yang hanya memiliki 𝐴𝐴 pembagi-nol tak nol adalah berhingga dan memiliki elemen yang tidak lebih dari (𝐴𝐴 + 1)2
Theorema 4.1.2 diberikan suatu Ring komutatif 𝑅𝑅 . Graf Γ(𝑅𝑅) adalah berhingga jika dan hanya jika 𝑅𝑅 berhingga.
Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk setiap dua simpul yang berbeda terdapat suatu lintasan yang menghubungkan kedua simpul tersebut.
Gambar 6 Gambar 7
Keterhubungan Graf Pembagi-nol
misalkan 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅)∗ untuk 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 yang berbeda.
1. 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦
2. 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 ≠ 0, untuk 𝑥𝑥2 = 0 dan 𝑦𝑦2 = 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦
untuk 𝑥𝑥2 ≠ 0 dan 𝑦𝑦2 = 0, terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅)∗ − {𝑥𝑥, 𝑦𝑦} dengan 𝑥𝑥 ∙ 𝑎𝑎 = 0 jika 𝑎𝑎 ∙ 𝑦𝑦 = 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 − 𝑦𝑦, jika 𝑎𝑎 ∙ 𝑦𝑦 ≠ 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑦𝑦 − 𝑦𝑦
untuk 𝑥𝑥2 ≠ 0 dan 𝑦𝑦2 ≠ 0, terdapat 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅)∗ − {𝑥𝑥, 𝑦𝑦} dimana 𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥 = 0 dan 𝑏𝑏 ∙ 𝑦𝑦 = 0, jika 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 atau 𝑥𝑥 − 𝑏𝑏 − 𝑦𝑦 , jika 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 , untuk 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 = 0 , maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 𝑦𝑦, sedangkan untuk 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ≠ 0, maka 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 − 𝑦𝑦
Theorema 4.2.1 diberikan ring komutatif 𝑅𝑅, maka Γ(𝑅𝑅) terhubung dengan diameter yang tidak lebih dari tiga (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�Γ(𝑅𝑅)� ≤ 3)
Keterhubungan Graf Pembagi-nol
Berdasarkan theorema 4.2.1 bahwa jika graf terhubung Γ(𝑅𝑅) memiliki suatu sikel, maka menurut preposisi 2.2.3, graf Γ(𝑅𝑅) memiliki girth, 𝑔𝑔�Γ(R)� ≤ 7.
Selanjutnya jika 𝑅𝑅 adalah ring artinian, maka 𝑅𝑅 adalah finite direct product dari ring local artinian [7, Theorem 8.7] yang memiliki ideal maksimal 𝑀𝑀, maka 𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑥𝑥) dengan 𝑥𝑥 ∈ 𝑀𝑀∗.
Γ(𝑅𝑅) memiliki sikel, terdapat 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑀𝑀∗ − {𝑥𝑥}
· 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧 = 0 , maka 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 − 𝑦𝑦 , akibatnya 𝑔𝑔�Γ(𝑅𝑅)� = 3 . 𝑦𝑦 ∙ 𝑧𝑧 ≠ 0 , Γ(𝑅𝑅) tidak memiliki sikel.
· 𝑅𝑅 ≅ 𝑅𝑅1 × 𝑅𝑅2 , |𝑅𝑅1| = |𝑅𝑅2| ≥ 3, terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 1 − {0, 1} dan 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅2 − {0, 1}, sehingga (0, 1) − (1, 0) − (0, 𝑏𝑏) − (𝑎𝑎, 0) − (0, 1), 𝑔𝑔�Γ(𝑅𝑅)� = 4.
|𝑍𝑍(𝑅𝑅2)| ≥ 2 , terdapat 𝑏𝑏1, 𝑏𝑏2 ∈ 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏1 ∙ 𝑏𝑏2 = 0 , sehingga (1, 0) − (0, 𝑏𝑏1) − (0, 𝑏𝑏2) − (1, 0), 𝑔𝑔�Γ(𝑅𝑅)� = 3
Keterhubungan Graf Pembagi-nol
Theorema 4.2.2 diberikan 𝑅𝑅 adalah ring komutatif artinian. Jika Γ(𝑅𝑅) memiliki sikel, maka 𝑔𝑔�Γ(𝑅𝑅)� ≤ 4
Graf Pembagi-nol Bintang
ciri utama graf bintang adalah adanya simpul pusat, yaitu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya. Berikut adalah theorema yang menunjukan bentuk ring yang menghasilkan graf yang mempunyai suatu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya.
Theorema 4.3.1 diberikan suatu ring komutatif 𝑅𝑅. Γ(𝑅𝑅) memiliki suatu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐴𝐴, dimana 𝐴𝐴 adalah Integral Domain, atau 𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah
ideal penghilang
Graf Pembagi-nol Bintang
Berdasarkan [8, hal.3] bahwa 𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah gabungan dari ideal prima.
𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah ideal prima jika dan hanya jika ideal. Jika 𝑅𝑅 adalah ring noetherian, maka 𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah ideal penghilang jika dan hanya jika ideal prima [8, theorema 6 dan 82]. Ingat bahwa {0} adalah ideal prima jika dan hanya jika 𝑍𝑍(𝑅𝑅) = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑛𝑛(𝑅𝑅). jika dim 𝑅𝑅 = 0, maka 𝑍𝑍(𝑅𝑅) = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑛𝑛(𝑅𝑅) jika dan hanya jika 𝑍𝑍(𝑅𝑅) ideal prima dari 𝑅𝑅 . Jika 𝑅𝑅 berhingga, pernyataan tersebut ekuivalen terhadap 𝑅𝑅 ring local.
Akibat 4.3.2 diberikan 𝑅𝑅 ring komutatif berhingga. Terdapat suatu simpul dalam 𝛤𝛤(𝑅𝑅) yang terhubung dengan setiap simpul lainya jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹, dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga atau 𝑅𝑅 adalah ring local.
Graf Pembagi-nol Bintang
Lemma 4.3.3 diberikan 𝑅𝑅, ring komutatif berhingga. Jika Γ(𝑅𝑅) memiliki tepat satu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya dan tidak ada lagi simpul lain yang berhubungan, maka 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹 , dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga dengan |𝐹𝐹| ≥ 3, atau 𝑅𝑅 adalah ring local dengan ideal maksimanya 𝑀𝑀 memenuhi 𝑅𝑅/𝑀𝑀 ≅ 𝑍𝑍2 , 𝑀𝑀3 = 0 , dan |𝑀𝑀2| ≤ 2 , sehingga |Γ(𝑅𝑅)| adalah 𝑝𝑝𝐴𝐴 atau 2𝐴𝐴 − 1 , untuk bilangan prima 𝑝𝑝 dan integer 𝐴𝐴 ≥ 1
Graf Pembagi-nol Bintang
Theorema 4.3.4 diberikan 𝑅𝑅 adalah ring komutatif berhingga dengan
|Γ(𝑅𝑅)| ≥ 4. Γ(𝑅𝑅) adalah graf bintang jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹, dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga.
Bukti. Misalkan 𝑅𝑅 ≇ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹, dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga, maka berdasarkan akibat 4.3.2 dan lemma 4.3.3, 𝑅𝑅 adalah ring lokal dengan ideal maksimal 𝑀𝑀 . Karena 𝑀𝑀 adalah 2-grup dan |Γ(𝑅𝑅)| ≥ 4 , maka
|𝑀𝑀| = 2𝑘𝑘, untuk 𝑘𝑘 ≥ 3, dan �𝑀𝑀𝑘𝑘� = 2.
Diberikan 𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑥𝑥) , ambil sebarang 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 ∈ 𝑀𝑀∗ − {𝑥𝑥} yang berbeda. karena 𝑀𝑀2 = {0, 𝑥𝑥}, maka 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 dan tidak ada relasi pembagi-nol lainya, sehingga 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 = 𝑥𝑥
Sehingga 𝑐𝑐 = 𝑑𝑑, hal ini kontradiksi dengan permisalan bahwa 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 adalah berbeda. Maka haruslah 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹 , dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga.
Graf Pembagi-nol Lengkap
Γ(𝑅𝑅) adalah graf lengkap jika 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 0, ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅), dengan kata lain setiap anggota dari pembagi-nol 𝑍𝑍(𝑅𝑅) selalu terhubung dengan diameter satu. Theorema berikut menjelaskan bentuk ring yang dapat di implementasikan dalam graf Γ(𝑅𝑅) yang lengkap.
Theorema 4.4.1 diberikan ring komutatif 𝑅𝑅. Γ(𝑅𝑅) adalah graf lengkap jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2 atau 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 0, ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑍𝑍(𝑅𝑅)
Graf Pembagi-nol Lengkap
Jika dalam suatu 𝑍𝑍(𝑅𝑅) setiap elemen selalu terhubung dengan setiap elemen yang lain dan 𝑅𝑅 ≇ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2, maka 𝑍𝑍(𝑅𝑅) adalah ideal dari 𝑅𝑅 dengan 𝑍𝑍(𝑅𝑅)2 = 0. Oleh karena itu 𝑍𝑍(𝑅𝑅) = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑛𝑛(𝑅𝑅) adalah ideal prima dari 𝑅𝑅.
Selain itu, karena elemen elemennya saling terhubung, maka elemen dari 𝑍𝑍(𝑅𝑅) mungkin dibangun oleh satu elemen, misalkan 𝑎𝑎 , selanjutnya 𝑎𝑎 adalah satu satunya maksimal ideal dari 𝑅𝑅, sehingga 𝑅𝑅 mungkin adalah ring lokal dengan ideal maksimal 𝑎𝑎, dimana 𝑎𝑎 ≠ 0, dan 𝑎𝑎2 = 0.
Graf Pembagi-nol Lengkap
Theorema 4.4.2 diberikan 𝑅𝑅 adalah ring komutatif berhingga. Jika Γ(𝑅𝑅) merupakan graf lengkap, maka 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2 atau 𝑅𝑅 adalah ring lokal dengan 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑅𝑅 = 𝑝𝑝 atau 𝑝𝑝2 dan |Γ(𝑅𝑅)| = 𝑝𝑝𝐴𝐴 − 1 untuk bilangan prima 𝑝𝑝 dan integer 𝐴𝐴 ≥ 1
Bukti. jelas bahwa Γ(𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹) lengkap jika dan hanya jika 𝐹𝐹 = 𝑍𝑍2 . Misalkan 𝑅𝑅 ≇ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2 , berdasarkan akibat 4.3.2, 𝑅𝑅 adalah ring lokal dengan ideal makasimal 𝑀𝑀. Oleh karena itu 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑅𝑅 = 𝑝𝑝𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 ≥ 1. Jika 𝑑𝑑 ≥ 3, maka akan terdapat pembagi-nol yang tidak terhubung dengan suatu pembagi-nol yang lainya dalam 𝑅𝑅. Oleh karena itu 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑅𝑅 = 𝑝𝑝𝐴𝐴, 𝐴𝐴 = 1 dan 2. Karena 𝑀𝑀 adalah 𝑝𝑝 −grup, |Γ(𝑅𝑅)| = 𝑝𝑝𝐴𝐴 − 1. █
Graf Pembagi-nol Lengkap
Misalkan 𝑅𝑅 ≅ 𝑅𝑅1 × 𝑅𝑅2 , maka 𝑅𝑅 dapat berupa graf lengkap bipartite dengan 𝑅𝑅1, 𝑅𝑅2 adalah integral domain. Misalkan 𝑅𝑅2 bukan merupakan integral domain, artinya terdapat 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅2 dengan 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦 = 0, maka akan ada keterhubungan dalam satu partisi yang sama, yaitu (0, 𝑥𝑥) dengan (0, 𝑦𝑦).
Akibat 4.4.4 diberikan 𝑅𝑅 ring komutatif berhingga. Γ(𝑅𝑅) adalah graf lengkap bipartite dengan |Γ(𝑅𝑅)| = 𝑑𝑑 + 𝐴𝐴 − 2 jika dan hanya jika 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍𝑑𝑑 × 𝑍𝑍𝐴𝐴, dimana 𝑑𝑑, 𝐴𝐴 ∈ 𝑃𝑃, 𝑃𝑃 adalah bilangan prima.
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab IV, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan berikut:
1. Suatu ring komutatif berhingga dapat diimplementasikan menjadi suatu Graf Pembagi-nol yang terhubung dan berhingga dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�Γ(𝑅𝑅)� ≤ 3
2. Ring Komutatif 𝑅𝑅 dapat berupa Graf Bintang, atau disebut Graf Pembagi-nol Bintang dengan 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝐹𝐹 , dimana 𝐹𝐹 adalah field berhingga
3. Ring Komutatif 𝑅𝑅 adalah Graf Lengkap atau Graf Prmbagi-nol Lengkap, dengan 𝑅𝑅 ≅ 𝑍𝑍2 × 𝑍𝑍2 atau 𝑅𝑅 adalah Ring Lokal dengan 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑅𝑅 = 𝑝𝑝 atau 𝑝𝑝2, Sebagai contoh adalah 𝑍𝑍𝑝𝑝2 , dimana 𝑝𝑝 adalah bilangan prima.
[1] Beck, I. 1988, Coloring of commutative rings, Journal of Algebra, 116, 208 226
[2] Anderson, D. D. dan M. Naseer, 1993, Beck’s coloring of a commutative rings, Journal of Algebra, 159, 500-514
[3] Anderson, D. F. dan Phillip S. Livingston, 1999, The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring, Journal of Algebra, volume 217, halaman 434 – 447, Mathematic Departement, The University of Tennessee, Knoxville
[4] Hartsfied, Nora, dan Gerhard Ringel, 1994, PEARLS in GRAPH THEORY a Comprehensive Introduction, Academic Press, Inc.
[5] Diestel, R. 2000, Graph Theory, Springer-Verlag, New York
[6] Ganesan, N, 1964, Properties of rings with a finite number of zero- divisor, math. Ann. 157, 215 – 218
[7] Atiyah, M. F. dan I. G. MacDonald, 1969, Introduction to Commutative Algebra, Addison – Wesley Publishing Company, Inc
[8] Kaplansky, I. 1974, “Commutative Rings”, rev.ed, Univ. of Chicago Press, Chicago.
[9] Anderson, D.F. dkk, 2001, The zero-divisor graph of a commutative ring II, Lect. Notes Pure Appl. Math. 220, 61–72
