Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES

Chapter 5

GENERAL VECTOR SPACE

5.1. REAL VECTOR SPACES

5.2. SUB SPACES

• Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan l, maka perhatikan 10 aksioma berikut;

Definisi : VECTOR SPACE

1. If u and v are objects in V, then u + v is in V. 2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v) + w

4. There is an object 0 in V, called a zero vector for V, such that 0 + u = u + 0 = u for all u in V.

5. For each u in V, there is an object -u in V, called a negative of u, such that u + (-u) = (-u) + u = 0.

6. If k is any scalar and u is any object in V, then ku is in V. 7. k (u + v) = ku + kv

8. (k + l) u = ku + lu 9. k (lu) = (kl) (u) 10. 1u = u

• Skalar k, l dapat berupa bilangan real atau bilangan complex.

• Ruang vektor dengan skalar bilangan real : ruang vektor real

• Ruang vektor dengan skalar bilangan kompleks : ruang vektor kompleks.

• Setiap jenis objek bisa menjadi suatu vektor, namun ke-10 aksioma harus dipenuhi.

Definisi : VECTOR SPACE

Real Vector Spaces

Real Vector Spaces

Example Vector Spaces of 2x2 Matrices

• The set V of all 2 2 matrices with real entries is a vector space if vector addition is defined to be matrix addition and vector scalar multiplication is defined to be matrix scalar multiplication.

• Let and

• If u and v is an object in V; then u + v is a 2 2 matrix in V.

22 21

12 11

u u

u u u

22 21

12 11

v v

v v v

Axiom 1

Axiom 10

: : :

Real Vector Spaces

+

Jika V merupakan sebarang bidang yang melalui titik asal dalam R³, maka; Titik-titik dalam V membentuk suatu ruang vektor yang

memenuhi ke-10 aksioma ruang vektor untuk operasi penjumlahan dan perkalian skalar vektor –vektor dalam R³.

Suatu vektor V yang melalui titik asal memiliki persamaan : ax + by + cz = 0

Bukti :

Jika u = (u₁, u₂, u₃) dan v = (v₁, v₂, v₃) adalah titik-titik dalam V, maka:

au₁ + bu₂ + cu₃ = 0 av₁ + av₂ + av₃ = 0

a(u₁+v₁) + b(u₂+v₂) + c(u₃+v₃) = 0 Koordinat titik u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃)

Memenuhi aksioma (1), jadi u+ v terletak pada bidang V.

Example Plane Through The Origin

Real Vector Spaces

P₂ adalah himpunan semua polinomial berderajat 2 atau kurang dengan koefisien bilangan real. Didefinisikan penjumlahan dan perkalian

skalar sebagai berikut:

p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² dan q(x) = b₀ + b₁x + b₂x² maka,

p(x) + q(x) = (a₀+ b₀) + (a₁+ b₁) x + (a₂+ b₂) x²

Dan bila c suatu skalar, maka:

cp(x) =c a₀ + ca₁x +ca₂x²

P₂ merupakan ruang vektor dan dapat diperluas untuk P_n dengan n ≠0 Example Polynomial P_n

Real Vector Spaces ; Zero Vector Space

• Jika V terdiri dari suatu objek tunggal 0, maka :

0 + 0 = 0 dan k 0 = 0 untuk semua skalar k.

• Seluruh aksioma terpenuhi dan disebut zero vector space.

• Jika V adalah ruang vektor, u suatu vektor dalam V, and k suatu skalar; maka:

o 0 u = 0 o k 0 = 0 o (-1) u = -u

o Jika k u = 0 , maka k = 0 or u = 0.

5.2. SubSpaces

SubSpaces

Definisi:

Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut sub ruang dari V jika W merupakan suatu ruang vektor yang penjumlahan dan perkalian skalarnya didefinisikan pada V.

V adalah ruang vektor

W adalah sub ruang vektor jika 10 aksioma yang ada

dipenuhi oleh W

SubSpaces

Contoh 1. Titik-titik pada suatu bidang melalui titik asal R³ membentuk sub ruang R³.

Vektor u +v dan ku terletak pada bidang yang

sama dengan u dan v.

• W merupakan bidang yang melalui titik asal dan anggap u dan v

sebarang vektor dalam W^.

o u + v pasti terletak dalam W (diagonal jajaran genjang).

o ku pasti terletak di W

• W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, sehingga W merupakan sub ruang dari R^3.

SubSpaces

Contoh 2:

Garis yang Melalui Titik Asal R³ merupakan sub ruang R³

• W garis yang melalui titik asal R³ dengan 2 vektor u dan v.

• Maka u+v dan ku  terletak pada garis tersebut di R³

• Jadi W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar

• Terbukti bahwa W adalah sub ruang R³.

Subset of R

²

That Is Not a Subspace

• Jika W adalah himpunan semua titik (x, y) dalam R² dimana x 0 dan y 0 : titik-titik dalam Q1.

• Himpunan W bukan Sub Ruang R² karena tidak tertutup

terhadap perkalian skalar.

• v = (1, 1) terletak pada W, tetapi (-1)v = -v = (-1, -1) tidak terletak pada W.

Contoh 3:

W bukan Ruang Vektor

SubSpaces

PERHATIKAN !!

Setiap ruang vektor tak nol V setidaknya memiliki:

1. V sendiri sebagai suatu sub ruang dan;

2. Himpunan {0} yang terdiri dari vektor nol dalam V dan disebut sub ruang nol.

Sub-ruang dari R²:

• {0}

• Garis-garis yang melalui titik asal

• R²

Sub-ruang dari R^3:

• {0}

• Garis-garis yang melalui titik asal

• Bidang yang melalui titik asal

• R³

Subspaces of M

_nn

• Jumlah dua matriks simetris adalah simetris.

• Perkalian skalar matriks simetris adalah simetris

• Himpunan matriks simetris n x n merupakan sub ruang dari ruang vektor M_nn dari semua matriks-matriks nxn.

• Setiap himpunan matriks (matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah dan matriks diagonal) nxn tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

Contoh 4:

Matriks Simetris n x n  sub Ruang dari ruang vektor

M

_nn

A Subspace of Polynomials

Anggap n adalah suatu bilangan bulat positif dan anggap W terdiri dari semua fungsi yang dinyatakan dalam bentuk :

p(x) = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ dimana : a₀,…, a_n adalah bilangan-bilangan real ;

n bilangan bulat positif

Jika p dan q terletak pada W, maka:

p(x) = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ q(x) = b₀ + b₁x + … + b_nxⁿ (p+q)(x) = p(x) + q(x)

(p+q)(x) = (a₀+ b₀) + (a₁+ b₁)x + … + (a_n+b_n)xⁿ

dan (kp)(x) = kp (x)= (ka₀) + (ka₁)x + … + (ka_n)xⁿ

Contoh 5:

Polinom real berderajat n

Ruang Penyelesaian untuk Sistem Homogen

o Jika Ax = b adalah suatu sistem persamaan linear, maka setiap vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor penyelesaian dari sistem tersebut.

o Vektor penyelesaian dari suatu sistem linear homogen Ax = 0

membentuk suatu ruang vektor atau ruang penyelesaian dari sistem homogen tersebut.

• Theorema

Jika Ax = 0 adalah suatu sistem linear homogen dari m persamaan dalam n peubah, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah subruang dari Rⁿ.

[A] [x] = [0]

vektor penyelesaian Ruang vektor/

ruang penyelesaian

SubSpaces Example 1.

• Find the solution spaces of the linear systems.

mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk sub- ruang dari R³.

Mis al y = s, z = t, maka x = 2s - 3t, x = 2y - 3z or x – 2y + 3z = 0

This is the equation of the plane through the origin with n = (1, -2, 3) as a normal vector.

SubSpaces Example 2.

• Find the solution spaces of the linear systems.

mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk sub- ruang dari R³.

SubSpaces Example 3.

• Find the solution spaces of the linear systems.

mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk sub- ruang dari R³.

Solution

Kombinasi Linear

 Definisi

o Suatu vektor w adalah Kombinasi Linear dari vektor v₁, v₂,…, v_r jika vektor w tersebut bisa dinyatakan dalam bentuk

w = k₁v₁ + k₂v₂ + · · · + k_r v_r dimana k₁, k₂, …, k_r adalah skalar.

Setiap vektor v = (a, b, c) dalam R³ bisa dinyatakan sebagai suatu Kombinasi Linear dari vektor – vektor basis standar

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) karena

v = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = a ^{i +} b ^{j +} c ^k

Vektor in R

³

are Linear Combination of i, j, and k

Example : Checking a Linier Combination

Diketahui vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) in R³. Tunjukkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah sebuah Kombinasi Linear dari u dan v

Syarat w merupakan Kombinasi Linear dari u dan v, hrs terdpt skalar k₁ dan k₂ sedemikian hingga w = k₁u + k₂v;

(9, 2, 7) = k₁ (1,2,-1) +k₂ (6,4,2) (9, 2, 7) = (k₁ + 6k₂, 2k₁ + 4k₂, -k₁ + 2k₂) Atau : k₁ + 6k₂ = 9

2k₁+ 4k₂ = 2 -k₁ + 2k₂ = 7 Didapat k₁ = -3, k₂ = 2, sehingga

w = -3u + 2v

Kombinasi Linear

Agar w‘ merupakan Kombinasi Linear of u dan v, harus ada k₁ dan k₂ sehingga w'= k₁u + k₂v;

(4, -1, 8) = k₁(1, 2, -1) + k₂(6, 4, 2)

(4, -1, 8) = (k₁ + 6k₂, 2k₁ + 4k₂, -k₁ + 2k₂)

Atau k₁ + 6k₂ = 4

2 k₁+ 4k₂ = -1 - k₁ + 2k₂ = 8

Sistem persamaan ini tidak konsisten sehingga tidak ada k₁ dan k₂. Maka w' bukan Kombinasi Linear u dan v.

Diketahui vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) in R³. Tunjukkan bahwa w = (4, -1, 8) bukan suatu Kombinasi Linear dari u dan v.

 Theorema

Jika v₁, v₂, …, v_r adalah vektor-vektor dalam ruang vektor V^, maka:

o Himpunan W sebagai kombinasi linier v₁, v₂, …, v_r merupakan sub-ruang dari V.

o W adalah sub ruang terkecil dari V berisi v₁, v₂, …, v_r dalam arti bahwa setiap sub ruang lain dari V yang v₁, v₂, …, v_r pasti mengandung W.

Kombinasi Linear

Kombinasi Linear dan Rentang

 Definition

o Jika S = {v₁, v₂, …, v_r} adalah suatu himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka sub ruang W dari V yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang oleh v₁, v₂, …, v_r, dan disebut vektor-vektor v₁, v₂, …, v_r adalah terentang W.

o W ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S = {v₁, v₂, …, v_r}, ditulis;

W = rent(S) or W = span{v₁, v₂, …, v_r}.

Kombinasi Linear dan Rentang

• Jika v₁ and v₂ adalah vektor-vektor tak kolinear dalam R^{3 dengan} titik pangkal di titik asal, maka span{v₁, v₂} berisi semua kombinasi linear k₁^v₁ ⁺ k₂^v₂ adalah bidang yang ditentukan oleh v₁ and v₂ (a₎.

• Jika v vektor tidak nol dalam R^{2 atau} R³, maka span{v} merupakan himpunan perkalian skalar kv, adalah garis yang dibentuk oleh v (b).

Rent (v₁, v₂) adalah bidang yang melalui

titik asal yang dibentuk oleh v₁ dan v₂ Rent (v) adalah garis yang melalui titik asal yang dibentuk oleh v

Kombinasi Linear dan Rentang

Theorema

• J ika S = {v₁, v₂, …, v_r} dan S = {w₁, w₂, …, w_r} adalah dua himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka

span{v₁, v₂, …, v_r} = span{w₁, w₂, …, w_r}

jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah Kombinasi Linear dari S dan tiap vector dalam S adalah sebuah

Kombinasi Linear dari vektor-vektor dalam S.

Three Vectors that Do Not Span R

³

Tentukan apakah v₁ = (1, 1, 2), v₂ = (1, 0, 1), and v₃ = (2, 1, 3) merentang dalam ruang vektor R³.

• Misal kan vektor b = (b₁, b₂, b₃) in R³ diekspresikan sebagai Kombinasi Linear

b = k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃

b = (b₁, b₂, b₃) = k₁(1, 1, 2) + k₂(1, 0, 1) + k₃(2, 1, 3)

= (k₁+k₂+2k₃, k₁+k₃, 2k₁+k₂+3k₃) k₁ + k₂ + 2k₃ = b₁

k₁ + k₃ = b₂ 2k₁ + k₂ + 3 k₃ = b₃

• Sistem ini konsisten untuk semua b₁, b₂, b₃ jika dan hanya jika matriks koefisien memiliki invers atau determinan matriks koefisien ≠ 0.

• Buktikan bahwa det (A) = 0, sehingga v₁, v₂, and v₃, tidak terentang pada R³.