MODUL PRAKTIKUM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (MAM2201) DISUSUN OLEH : 1. Zulkarnain, M.Si 2. Khozin Mu tamar, M.Si

(1)

MODUL PRAKTIKUM

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (MAM2201)

DISUSUN OLEH : 1. Zulkarnain, M.Si

2. Khozin Mu’tamar, M.Si

PRODI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

2015

(2)

1 Modul 1 : Persamaan Diferensial Biaasa Orde-1

TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : 1. Mahasiswa mengenal dasar-dasar Maple untuk menyelesaikan

PDB orde 1

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 1 linier menggunakan Maple

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 1 secara manual dengan menggunakan bantuan Maple.

Materi : Bidang arah, Pemisahan variabel, Faktor integrasi.

1.1 Bidang arah

Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde 1 dy

dx = y⁰(x) = f(x) (1)

Secara geometris persamaan (??) dapat diartikan sebagai kemiringan suatu kurva yang bernilai f(x) di setiap titiknya. Bidang arah dari persamaan (??) merupakan keluarga kurva berarah dari f(x) berdasarkan nilai dari y⁰(x) yang tidak lain adalah kemiringan dari y(x). Bidang arah sendiri dapat merepresentasikan perilaku dari solusi persamaan diferensial yang akan diselesaikan.

KODE MAPLE

restart : Kode untuk memulai block dokumen baru

with(DEtools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial with(plots) : Package Maple untuk melakukan ploting kurva.

D(y)(t) : Cara menulis dy/dt

diff(y,t) : Cara menulis dy/dt versi 2

DEplot : Memplot bidang arah dari dy/dt = f(t)

plot : Memplot kurva dari fungsi peubah tunggal f(x) display : Memplot beberapa kurva dalam satu bidang

CONTOH

Misalkan diberikan PDB linier yaitu dy/dx = 2x + 2. Solusi umumnya adalah

y(x) = x²+ 2x + c

Berikut adalah bagaimana menampilkan kurva bidang arah yang sekaligus berdampingan dengan kurva solusi dari PDB di atas

Kode 1: Bidang Arah

1 r e s t a r t;

(3)

2 with(DETools) ;

3 with( plots ) ;

4 pdb:=D(y) (x)=2∗x+2;

5 yu:=(x , c )−>x^2+2∗x+c ;

6 p1:= plot (yu(x , 1 ) ,x = −2..2 , color = blue ) ;

7 p2:= plot (yu(x , 2 ) ,x = −2..2 , color=black ) ;

8 p3:= plot (yu(x , 3 ) ,x = −2..2 , color=green ) ;

9 p4:= plot (yu(x , 4 ) ,x = −2..2 , color=magenta) ;

10 p5:= plot (yu(x , 5 ) ,x = −2..2 , color=yellow ) ;

11 dp:=DEplot(pdb, y(x) ,x= −2..2 ,y= −10..10) ;

12 display({dp, p1 , p2 , p3 , p4 , p5}) ;

LATIHAN

Gambarkanlah bidang arah berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun laporan atas permasalahan berikut ini.

1. y⁰ = y(1 − y) 2. y⁰(x) + 2y(x) = 2 3. y⁰(x) = x − 2

4. y⁰(x) − 2y(x) = 2x + 2

1.2 Pemisahan Variabel

Misalkan diberikan PDB orde 1 dalam bentuk

M(x, y)dy + N(x, y)dx = 0 (2)

Jika M(x, y) hanya mengandung variabel y saja dan N(x, y) hanya mengandung variabel x saja maka solusi dari persamaan (??) dapat ditentukan dengan pemisahan variabel, yaitu dengan mengintegralkan terhadap masing-masing variabelnya.

M(x, y)dy = −N(x, y)dx (3)

Z M˜(y)dy = −^Z N˜(x)dx (4)

KODE MAPLE

with(DEtools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial dsolve : Menyelesaikan PDB menggunakan package Maple separable : Option dalam dsolve untuk separasi variabel int(f,x) : Melakukan integral fungsi f terhadap x

CONTOH

Misalkan diberikan PDB yaitu dy/dx = (1 − 2x)y²(x). Dengan manipulasi aljabar akan diperoleh

dy = (1 − 2x)dx

(4)

Dengan melakukan integral di kedua ruas akan diperoleh Z dy

y²(x) =^Z (1 − 2x)dx

−1

y(x) = x − x²+ C sehingga solusi umumny adalah

y(x) = 1 x²− x+ C

Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah sebagai berikut ini Kode 2: Pemisahan Variabel

1 r e s t a r t;

2 with(DEtools) ;

3 pdb:=D(y) ( t )=(1−2∗t ) ∗y( t ) ^2;

4 i n t(1/y^2 ,y)=int (1−2∗t , t ) ;

5 dsolve(pdb , [ separable ] ) ;

LATIHAN

Selesaikanlah PDB orde 1 berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun laporan atas permasalahan berikut ini.

1. y⁰+ y²sin x = 0 2. 3x²+ 4x + 2

2(y − 1) 3. x²

1 − y² 4. x − e^−x

y+ e^y 5. dy

dx = cos²xcos²2y

1.3 Faktor Integrasi

Misalkan diberikan persamaan diferensial biasa orde 1 dalam bentuk

P(x)y⁰(x) + Qy(x) = R(x) (5)

Persamaan (??) dapat dituliskan dalam bentuk

y⁰(x) + q(x)y(x) = r(x) (6)

Solusi persamaan (??) dapat ditentukan dengan faktor integrasi yang didefinisikan sebagai

µ(x) = exp^Z q(x) dx (7)

µ⁰(x) = µ(x)q(x) (8)

(5)

Persamaan (??) kemudian dituliskan menjadi

µ(x)y⁰(x) + µ(x)q(x)y(x) = µ(x)r(x) dµ(x)y(x)

dx = µ(x)r(x) (9)

Solusi persamaan (??) dapat ditentukan dengan mengintegralkan masing-masing ruas sehingga

Z

dµ(x)y(x) =^Z µ(x)r(x) dx

y(x) = µ⁻¹(x)^Z µ(x)r(x) dx + C (10)

KODE MAPLE

dsolve : Menyelesaikan PDB secara langsung dari maple rhs : Mengambil ruas kanan dari suatu persamaan int(y(t),t) : Mengintegralkan y(t) terhadap t atau ^R y(t) dt simplify : Menampilkan output dalam bentuk paling sederhana CONTOH

1. y⁰(x) + 2y(x) = 2

Secara manual, pertama, tentukan faktor integrasi, yaitu

µ= exp^Z 2 dx= exp (2x) Kalikan ke dalam PDB awal sehingga diperoleh

exp 2x(y⁰(x) + 2y(x)) = 2 exp 2x d(y(x) exp 2x)

dx = 2 exp 2x Z

d(y(x) exp 2x) =^Z 2 exp 2xdx y(x) exp 2x = exp 2x + C

y(x) = C exp (−2x) + 1

Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple, maka kodenya adalah Kode 3: Faktor Integrasi

1 r e s t a r t;

3 pdb:=(D(y) ) (x)+2∗y(x) =2;

4 mu:=exp( int (2 ,x) ) ;

5 pdbRKa:= mu∗rhs (pdb) ;

6 yRKa:= int (pdbRKa, x) ;

7 y:=(yRKa+C) /mu;

8 dsolve(pdb) ;

2. 2y⁰(x) + 4y(x) = e^x

(6)

Persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi

y⁰(x) + 2y(x) = e^x/2 Faktor integrasi dari persamaan di atas adalah

µ= exp^Z 2 dx= exp (2x) Kalikan ke dalam PDB awal sehingga diperoleh

exp (2x)(y⁰(x) + 2y(x)) = exp (3x)/2 d(y(x) exp 2x)

dx = exp (3x)/2 Z

d(y(x) exp 2x) = 1 2

Z exp 3xdx

y(x) exp 2x = 1

6exp 3x + C y(x) = 1

6exp x + C exp (−2x) Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah

Kode 4: Faktor Integrasi

1 r e s t a r t;

3 pdb:=2∗(D(y) ) (x)+4∗y(x) = exp(x) ;

4 pdbn:=(1/2) ∗pdb ;

5 mu:= exp( int (2 , x) ) ;

6 pdbnRA:=mu∗rhs (pdbn) ;

7 yRA:= int (pdbnRA, x) ;

8 y:= simplify ( (yRA+C) /mu) ;

9 s i m p l i f y( dsolve (pdb) ) ;

LATIHAN

Selesaikanlah PDB orde 1 berikut ini secara manual dan menggunakan Maple. Susun laporan atas permasalahan berikut ini.

1. y⁰(x) − 2y(x) = 2 2. y⁰(x) = −y − 2

3. y⁰(x) − 2y(x) = 2x + 2

4. y⁰+ 2y = te^−2t, dengan nilai awal y(1) = 0

(7)

2 Modul 2 : Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 Lanjutan

TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : 1. Mahasiswa mampu menentukan suatu persamaan diferensial eksak

atau bukan

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan Persamaan diferensial homogen 3. Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB eksak

Materi : PDB orde 1 homogen, PDB orde 1 eksak

2.1 PDB Orde 1 Homogen

Bentuk umum PDB orde 1 homogen adalah dy

dx = f(x, y) = fy x

(11)

Artinya, suku tak homogen f(x, y) dapat dibentuk dalam fungsi rasional yang terdiri atas xdan y secara eksplisit. Solusi masalah ini adalah dengan memisalkan

z= y

x −→ xz= y sehingga diperoleh PDB yang baru

xdz

dx+ z = f(z) Menggunakan operasi aljabar, akan diperoleh

dz

f(z) − z = dx x

yang penyelesaiaannya dilakukan dengan integral masing-masing ruas.

KODE MAPLE

with(DEtools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial int(f,x) : Melakukan integral fungsi f terhadap x

simplify(f) : Menampilkan bentuk fungsi f yang paling sederhana convert(f,parfrac,x) : Melakukan konversi f dengan format parfrac parfrac : Bentuk rasional partisi, yaitu bentuk a/b

CONTOH

Tentukan solusi dari PDB orde 1 berikut ini dy

dx = y²+ 2xy x²

(8)

Pertama, sederhanakan bentuk PDB di atas menjadi dy

dx = y²

x² + 2xy x² =y

x

2

+ 2y x

Terlihat bahwa suku tak homogen tersusun dalam bentuk y/x. Selanjutnya, misalkan z= y/x maka diperoleh

dy= x dz + z dx sehingga

xdz

dx + z = z²+ 2z −→ dz

z²+ z = dx x −→

Z dz

z²+ z =^Z dx x ruas kiri persamaan menjadi

Z dz

z²+ z =^Z 1 z dz −

Z 1 z+ 1 dz sehingga menghasilkan

ln z − ln (z + 1) = ln x + ln C −→ z

z+ 1 = Cx dengan mengembalikan substitusi z = y/x diperoleh

y(x) = Cx² 1 − Cx

Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah Kode 5: PDB orde 1 Homogen

1 r e s t a r t;

3 ode:= d i f f (y(x) ,x)=(y(x) ^2+2∗y(x) ∗x) /x^2;

4 ode2:=subs (y(x)=z (x) ∗x , ode) ;

5 ode3:= simplify (ode2) ;

6 ode4:= simplify (ode3−z (x) ) ;

7 ode4kiri:=convert (1/ rhs (ode4) , parfrac , z (x) ) ;

8 r u a s k i r i:= int (1/ z−1/(z+1) , z ) ;

9 ruaskanan:= int (1/x , x) ;

10 s o l:= ruaskiri = ruaskanan ;

11 s i m p l i f y( subs ( z = y/x , sol ) ) ;

LATIHAN

Tentukan solusi dari PDB orde 1 homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.

1. dy

dx = x+ 3y x − y 2. dy

dx = 4y − 3x 2x − y 3. dy

dx = x²+ xy + y² x² 4. dy

dx = x²−3y² 2xy

(9)

5. dy

dx = 2xy x²−3y²

2.2 PDB Orde 1 Eksak

Misalkan diberikan persamaan diferensial

M(x, y)dy + N(x, y)dx = 0

Persamaan diferensial di atas dikatakan PDB orde 1 Eksak jika memenuhi dM(x, y)

dx = dN(x, y) dy

Misalkan solusi persamaan di atas adalah ψ(x, y). Solusi ini memenuhi dψ(x, y)

dx = N(x, y) dψ(x, y)

dy = M(x, y)

Solusi dapat diperoleh dengan beberapa langkah substitusi, yaitu

1. Integralkan N(x, y) terhadap variabel x sehingga menghasilkan fungsi ψ(x, y) yang mengandung fungsi C = g(y).

2. Substitusikan ψ(x, y) di atas pada bentuk M(x, y) sehingga akan diperoleh dg(y)

dy

3. Integralkan bentuk di atas sehingga diperoleh hasil g(y)

4. Substitusikan pada bentuk pertama sehingga diperoleh solusi khusus.

KODE MAPLE

with(DEtools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial diff(f,x) : Melakukan diferensial fungsi f terhadap variabel x int(f,x) : Melakukan integral fungsi f terhadap x

unapply(f,x,y) : Merubah ekpresi f menjadi fungsi dengan variabel x dan y simplify(f) : Menampilkan bentuk fungsi f yang paling sederhana implicit(f) : Menampilkan fungsi f secara implicit

CONTOH

Selesaikan persamaan diferensial berikut ini

(4x + 2y)dx + (2x − 2y)dy = 0

(10)

Berdasarkan soal, diperoleh

M(x, y) = 2x − 2y −→ dM(x, y) dx = 2 N(x, y) = 4x + 2y −→ dN(x, y)

dy = 2

yang menunjukkan bahwa persamaan diferensial ini merupakan PDB orde 1 eksak. Se- lanjutnya, integralkan N(x, y) terhadap variabel x sehingga diperoleh

ψ(x, y) =^Z N(x, y) dx = 2x²+ 2xy + g(y)

Substitusikan pada M(x, y) sehingga dψ(x, y)

dy = M(x, y) −→ 2x + dg(y)

dy = 2x − 2y Sederhanakans sehingga menghasilkan

dg(y)

dy = −2y yang dengan integral biasa akan menghasilkan

g(y) = −y² Solusi akhir dari permasalahan ini adalah

ψ(x, y) = 2x²+ 2xy − y² Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple kodenya adalah

Kode 6: PDB eksak

1 r e s t a r t;

3 ode:=4∗x+2∗y(x)=−(2∗x−2∗y(x) ) ∗(D(y) ) (x) ;

4 s o l:= simplify ( dsolve (ode , implicit ) ) ;

5 N :=(x , y)−>4∗x+2∗y ;

6 M :=(x , y)−>2∗x−2∗y ;

7 Ny := d i f f (N(x , y) ,y) ;

8 Mx := d i f f (M(x , y) ,x) ;

9 p s i:=unapply( int (N(x , y) ,x)+g(y) ,x , y) ;

10 odeN:=M(x , y)−( d i f f ( psi (x , y) ,y) ) ;

11 dsolve(odeN) ;

LATIHAN

Tentukan solusi dari PDB orde 1 berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.

1. (2x + 4y) + (2x − 2y)y⁰ = 0 2. 2xy²+ 2y + (2x²y+ 2x)y⁰= 0

(11)

3. (x ln y + xy)dx + (y ln x + xy)dy = 0 4. (y/x + 6x)dx + (ln x − 2)dy = 0

5. (e^xsin y + 3y)dx − (3x − e^xsin y)dy = 0

(12)

3 Modul 3 : Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 Homogen

TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : Mahasiswa mampu menyelesaikan PDB orde 2 homogen dengan meng-

gunakan metode persamaan karateristik Materi : Metode Karateristik

Bentuk umum PDB orde 2 homogen adalah

ay⁰⁰(t) + by⁰(t) + cy(t) = 0. (12) Didefinisikan λ = d

dt sehingga persamaan (??) menjadi (aλ²+ bλ + c)y(t) = 0

Dengan asumsi y(t) 6= 0 maka akan diperoleh persamaan karateristik yaitu

aλ²+ bλ + c = 0 (13)

yang merupakan persamaan kuadrat dengan 3 kemungkinan akar,yaitu riil berbeda, riil sama dan akar imajiner. Solusi persamaan (??) ditentukan berdasarkan jenis dan nilai solusi persamaan (??)

1. Jika solusinya akar riil berbeda maka solusi umumnya berbentuk

y(t) = c1exp λ1t+ c2exp λ2t

2. Jika solusinya akar riil sama maka solusi umumnya berbentuk y(t) = c1exp λt + c2texp λt

3. Jika solusinya akar imajiner yang berbentuk z = α + ßβ maka solusi umumnya berbentuk

y(t) = exp (αt)(A cos βt + B sin βt)

KODE MAPLE

with(DETools) : Package Maple untuk masalah persamaan diferensial.

dsolve : Menyelesaikan persamaan diferensial

solve : Menyelesaikan persamaan linier atau nonlinier

Re(z) : Menyatakan nilai real dari bilangan kompleks z = a + ib.

Im(z) : Menyatakan nilai imajiner dari bilangan kompleks z = a+ib.

CONTOH

1. y⁰⁰(x) − 9y⁰(x) + 9y(x) = 0

(13)

Persamaan karateristiknya adalah

λ²−9λ + 9 = 0 Akar karateristiknya menggunakan rumus ABC adalah

λ1,2 = 9 ±√

81 − 36

2 = 9 ± 3√ 5 2 Solusi umum dari masalah di atas adalah

y(x) = C1exp 9 + 3√ 5 2

!

+ C2exp 9 − 3√ 5 2

!

Jika diselesaikan dengan menggunakan Maple maka kodenya adalah Kode 7: PDB Orde-2

1 r e s t a r t;

3 pdb:=D^(2) (y) (x) −9∗(D(y) ) (x)+9∗y(x) =0;

4 ye:=dsolve (pdb) ;

5 pk:=lambda^2−9∗lambda+9 = 0 ;

6 ak:= solve (pk) ;

7 y:=c1∗exp(ak [ 1 ] )+c2∗exp(ak [ 2 ] ) ;

2. y⁰⁰(x) + y⁰(x) + 9y(x) = 0 Persamaan karateristiknya adalah

λ²+ λ + 9 = 0 Akar karateristiknya menggunakan rumus ABC adalah

λ_1,2= −1 ±√ 1 − 36

2 = −1 ±√

35i 2 Solusi umum dari masalah di atas adalah

y(x) = exp−1 2 x

C₁cos35 2

+ C2sin35 2

Jika diselesaikan dengan Maple maka langkah penyelesaiaannya adalah Kode 8: PDB Orde-2

1 r e s t a r t;

3 pdb:=D^(2) (y) (x)+D(y) (x)+9∗y(x) =0;

5 pk:=lambda^2+lambda+9=0;

6 ak:= solve (pk) ;

7 akR:=Re(ak [ 1 ] ) ;

8 akI:=Im(ak [ 1 ] ) ;

9 y:=exp(akR∗x) ∗( c1∗cos ( akI∗x)+c2∗ sin ( akI∗x) ) ;

(14)

LATIHAN

Tentukan solusi umum dari PDB orde 2 homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.

1. 2y⁰⁰(t) − 3y⁰(t) + y(t) = 0 2. y⁰⁰(t) − 2y⁰(t) − 2y(t) = 0 3. y⁰⁰(t) + 3y(t) = 0

4. 4y⁰⁰(t) − y⁰(t) = 0

5. 2y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 4y(t) = 0 dengan nilai awal y⁰(0) = 1 dan y(0) = 1

(15)

4 Modul 4 : Persamaan Diferensial Biasa orde-2 Nonhomo- gen

TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : 1. Mahasiswa dapat menyelesaikan PDB orde 2 dengan menggunak-

an metode koefisien tak tentu

2. Mahasiswa dapat menyelesaikan PDB orde 2 dengan menggunakan metode variasi parameter

Materi : PD orde 2 nonhomogen

4.1 Metode Koefisien Tak Tentu

Bentuk umum PDB orde 2 tak homogen adalah

ay⁰⁰(x) + by⁰(x) + cy(x) = f(x) (14) Solusi PDB orde 2 nonhomogen disusun atas solusi homogen (yh) dan solusi partikular (yp). Solusi homogen diperoleh dengan mengasumsikan f(x) = 0. Selanjutnya, solusi partikular diperoleh dengan memperhatikan bentuk f(x) kemudian menyesuaikan dengan tabel berikut ini

Fungsi yp selanjutnya disubstitusikan ke persamaan (??). Dengan menggunakan manipu- lasi aljabar, maka akan diperoleh setiap nilai dari koefisien yang diinginkan.

KODE MAPLE

restart : Kode untuk memulai block dokumen baru with(DETools) : Package Maple masalah persamaan diferensial dsolve : Menyelesaikan persamaan diferensial

solve : Menyelesaikan persamaan linier atau nonlinier diff(f,x) : Melakukan diferensial fungsi f terhadap variabel x

$ : Menyatakan repetisi atau pengulangan

CONTOH

Misalkan diberikan PDB orde 2 tak homogen y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) + 3y(t) = 2. Secara manual, dihitung solusi homogen dimana

λ²−4λ + 3 = 0 (λ − 3)(λ − 1) = 0

sehingga akar karateristiknya adalah λ1 = 1 dan λ2 = 3. Solusi homogen dari PDB orde 2 di atas adalah

y_h = c1exp t + c2exp 3t

(16)

Oleh karena f(t) = 2 maka solusi partikular yang dipilih adalah yp = k·2 dengan k adalah konstanta yang akan ditentukan nilainya. Selanjutnya diperoleh

y_p = 2k y_p⁰ = 0 y⁰⁰_p = 0 Substitusikan dalam PDB awal sehingga diperoleh

0 − 4 · 0 + 3(2k) = 2 yang menghasilkan k = 1/3 dan solusi umumnya adalah

y(t) = c1exp t + c2exp 3t + 2 3 Solusi dengan Maple dilakukan dengan langkah

Kode 9: PDB Orde-2 nonhomogen

1 r e s t a r t;

3 pdb:=D^(2) (y) ( t )−4∗D(y) ( t )+3∗y( t ) =2;

4 pk:=lambda^2−4∗lambda+3;

5 ak:= solve (pk) ;

6 yh:=c1∗exp(ak [ 1 ] ∗ t )+c2∗exp(ak [ 2 ] ∗ t ) ;

7 yp:=2∗k ;

8 ypt:= d i f f (yp , t ) ;

9 yptt:= d i f f (ypt , t ) ;

10 pdbnew:= 0−4∗0+3∗yp = 2 ;

11 k:= solve (pdbnew, k) ;

12 s o l u s i:=yh+yp ;

13 s o l u s i 2:=dsolve (pdb) ;

Pada output akan terlihat bahwa solusi dengan menggunakan Maple akan menghasilkan output yang sama dengan hasil perhitungan secara manual.

LATIHAN

Tentukan solusi umum dari PDB orde 2 tak homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.

1. y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) + 3y(t) = 2t

2. y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) + 3y(t) = 2 + cos 3t 3. y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) + 3y(t) = 2t + sin 3t 4. y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) + 3y(t) = 2t + cos 3t + 4 5. y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) + 3y(t) = exp 3t

(17)

4.2 Metode Variasi Parameter

Metode variasi parameter mengasumsikan solusi partikular dari persamaan (??) berbentuk

y_p(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) Persamaan di atas kemudian didiferensialkan sehingga

y⁰= u⁰₁y1+ u1y⁰₁+ u⁰₂y2+ u2y⁰₂ dan diasumsikan u⁰1y₁+ u⁰2y₂= 0 sehingga

y⁰ = u1y⁰₁+ u2y₂⁰

y⁰⁰= u⁰1y⁰₁+ u1y₁⁰⁰+ u⁰2y₂⁰ + u2y⁰⁰₂

Persamaan ini kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (??) sehingga menghasilkan sistem

u⁰₁y⁰₁+ u⁰2y₂⁰ = f(x) u⁰₁y1+ u⁰2y2 = 0 dengan solusi sistem adalah

u₁ = −^Z y₂f(x) W(y1, y2) dx u₂ =^Z y₁f(x)

W(y1, y₂) dx

dimana y1, y₂adalah solusi homogen dari persamaan (??) dan W (y1, y₂) adalah Wronskian dari y1 dan y2 yang didefinisikan sebagai

W(y1, y₂) =

y1 y2

y⁰₁ y⁰₂

= y1y⁰₂− y⁰₁y₂

Solusi umum PDB orde-2 dengan variasi parameter adalah

y(x) = c1y₁(x) + c2y₂(x) + yp(x)

KODE MAPLE

with(LinearAlgebra) : Package Maple untuk aljabar linier.

int(f,x) : Melakukan integral fungsi f terhadap variabel x.

Re(z) : Menyatakan nilai real dari bilangan kompleks z = a + ib.

Im(z) : Menyatakan nilai imajiner dari bilangan kompleks z = a+ib.

Determinant(A) : Menghitung determinan matriks

simplify(A) : Menampilkan bentuk yang paling sederhana

(18)

CONTOH

Misalkan diberikan PDB orde 2 tak homogen y⁰⁰(x) + 4y(x) = csc 2x. csc 2x akan sulit untuk ditentukan secara koefisien tak tentu. Solusi homogen dari persamaan tersebut adalah

λ²+ 4 = 0

sehingga akar karateristiknya adalah λ1= ±2i. Solusi homogen dari PDB di atas adalah

y_h = c1cos 2x + c2sin 2x Selanjutnya dihitung Wronskian

W = cos 2x sin⁰2x − sin 2x cos⁰2x = 2 Solusi untuk u1(x) dan u2(x) adalah

u1= −1 2

Z csc 2x sin 2x dx = −1 2x u₂= 1

2

Z csc 2x cos 2x dx = 1

4ln sin 2x Solusi partikularnya adalah

yp(x) = −1

2xcos 2x +1

4sin 2x ln (sin 2x) Solusi umum dari permasalahan di atas adalah

y(x) = c1cos 2x + c2sin 2x −1

2xcos 2x +1

4sin 2x ln (sin 2x) Solusi dengan Maple dilakukan dengan langkah

Kode 10: PDB Orde-2 nonhomogen

1 r e s t a r t;

2 with( LinearAlgebra ) ;

4 f:=csc (2∗x) ;

5 pdb:=D^(2) (y) (x)+4∗y(x)=f ;

6 pk:=lambda^2+4 = 0 ;

7 ak:= solve (pk) ; akR := Re(ak [ 1 ] ) ; akI := Im(ak [ 1 ] ) ;

8 yh:=exp(akR∗x) ∗( c1∗cos ( akI∗x)+c2∗ sin ( akI∗x) ) ;

9 y1:=cos ( akI∗x) ; y2 := sin ( akI∗x) ;

10 wron:=<<y1 , d i f f (y1 , x)>|<y2 , d i f f (y2 , x)>>;

11 w:= simplify (Determinant(wron) ) ;

12 u1:=−(int ( f ∗y2/w, x) ) ;

13 u2:= int ( f ∗y1/w, x) ;

14 yp:=u1∗y1+u2∗y2 ;

15 yt:= yh+yp ;

Pada output akan terlihat bahwa solusi dengan menggunakan Maple akan menghasilkan

(19)

output yang sama dengan hasil perhitungan secara manual.

LATIHAN

Tentukan solusi umum dari PDB orde 2 tak homogen berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.

1. y⁰⁰(t) − 5y⁰(t) + 6y(t) = 2 exp t 2. y⁰⁰(t) + 2y⁰(t) + y(t) = 3 exp (−t) 3. y⁰⁰(t) + y(t) = tan t

4. y⁰⁰(t) + 9y(t) = 9 sec²3t

(20)

5 Modul 5 : Sistem Persamaan Diferensial Biasa

TIU : Mahasiswa mampu memanfaatkan teknologi untuk menyelesaikan permasalahan matematis dalam bidang persamaan diferensial biasa (PDB) TIK : 1. Mahasiswa mampu menentukan jenis kestabilan dari sistem PDB

linier

2. Mahasiswa mampu menentukan solusi dari sistem persamaan diferensial dengan subtitusi

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan solusi sistem persamaan diferensial biasa dengan matriks fundamental.

Materi : Sistem Persamaan Diferensial Linier

5.1 Sistem Persamaan Diferensial Linier

Sistem persamaan diferensial linier adalah sekumpulan persamaan diferensial yang bersifat linier. Bentuk umum yang sering dijumpai adalah

dx

dt = ax + by (15)

dy

dt = cx + dy (16)

dimana a, b, c, d adalah koefisien sedangkan x, y adalah variabel yang bergantung kepada variabel bebas t. Bentuk diatas seringkali juga dinyatakan dalam bentuk matriks persa- maan diferensial, yaitu

x⁰(t) y⁰(t)

!

= a b c d

! x(t) y(t)

!

(17)

atau yang kemudian ditulis dalam notasi matriks dan vektor sehingga

˙~x = A~x

dengan ~x = (x(t) y(t))^T dan

A= a b c d

!

5.2 Kestabilan berdasarkan Nilai Eigen

Perhatikan bahwa sistem PDB linier dapat dituliskan dalam notasi matriks dan vektor.

Kestabilan dari sistem ini dapat ditentukan dengan memeriksa nilai eigen dari matriks A.

Nilai eigen dari matriks A dapat ditentukan dengan persamaan

det (A − λI) =

a − λ b c d − λ

= 0

(21)

yang menghasilkan

(λ − a)(λ − d) − bc = 0 −→ λ²−(a + d)λ + (ad − bc) = 0 yang nilai λ dapat ditentukan dengan persamaan

λ_1,2 = (a + d) ±^p(a + d)²−4(ad − bc) 2

Berdasarkan nilai eigen matriks A, kestabilan sistem persamaan diferensial dapat diten- tukan dengan kriteria sebagai berikut ini

1. Titik simpul

Jika nilai akar λ adalah bilangan real, berbeda dan memiliki tanda yang sama.

Sistem stabil asimtotik jika akar negatif dan tidak stabil jika akar positif.

2. Titik pelana

Jika nilai akar λ adalah bilangan real, berbeda dan memiliki tanda berbeda. Sistem tidak stabil.

3. Titik bintang

Jika nilai akar λ adalah bilangan real dan sama. Sistem stabil jika akar bertanda negatif dan tidak stabil jika bertanda positif.

4. Titik spiral

Jika nilai akar λ adalah bilangan imajiner. Sistem stabil asimtotik jika bagian real dari akar bertanda negatif sedangkan sistem tidak stabil jika bagian real dari akar bertanda positif.

5. Titik pusat

Jika nilai akar λ adalah bilangan imajiner murni. Sistem stabil namun tidak stabil asimtotik.

KODE MAPLE

with(LinearAlgebra) : Package Maple untuk aljabar linier yang digunakan untuk menentukan nilai dan vektor eigen

Matriks(2,2,[[a,b],[c,d]]) : Cara menulis matriks di Maple

< <a,c>|<b,d> > : Cara lain menulis matriks di Maple Eigenvalues(A) : Menentukan nilai eigen dari suatu matriks

CONTOH

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial y⁰ = 2x + 2y dan x⁰ = x + y Kode 11: Nilai Eigen

1 r e s t a r t;

3 with( LinearAlgebra ) ;

4 sys: = [ (D(y) ) ( t )=2∗x( t )−2∗y( t ) , (D(x) ) ( t )=x( t )−y( t ) ] ;

5 A := Matrix (2 , 2 , [ [ 2 , 2 ] , [ 1 , 1 ] ] ) ; := <<2,1>|<2,1>>;

(22)

7 Eigenvalues(A) ;

8 Eigenvalues(B) ;

Pada output akan terlihat bahwa nilai eigen dari matriks A atau B adalah 0 dan 3 yang berarti sistem di atas tidak stabil.

LATIHAN

Tentukan nilai eigen dan jenis kestabilan sistem persamaan diferensial berikut ini. Ker- jakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.

1. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial di bawah ini

x⁰ = −2x y⁰ = −y

2. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial di bawah ini

x⁰ = −2x + 3y − z y⁰ = x − y − z z⁰ = y − z

5.3 Solusi dengan Substitusi

Pandang kembali sistem persamaan diferensial linier. Untuk mendapatkan solusi dengan substitusi, dilakukan dengan beberapa langkah berikut ini

1. Turunkan persamaan (??) sehingga diperoleh

¨x = a ˙x + b ˙y

2. Substitusikan persamaan (??) pada persamaan di atas menjadi

¨x = a ˙x + b (cx + dy)

3. Substitusikan persamaan (??) untuk mengganti variabel y sehingga diperoleh

¨x = a ˙x + cbx + bd˙x − ax b

−→ ¨x − (a + d) ˙x + (ad − cb)x = 0 yang merupakan PDB orde 2 homogen

4. Solusi dari persamaan di atas disubstitusikan pada persamaan (??) yang selanjutnya menjadi PDB orde 1 yang dapat diselesaikan dengan faktor integrasi.

CONTOH

(23)

Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial berikut ini dy

dt : 3x dx

dt : 8x + y

Untuk menyelesaikan SPDL di atas, dapat dilakukan dengan metode substitusi 1. Turunkan persamaan pertama sehingga diperoleh

y⁰⁰= 3x⁰

2. Substitusikan persamaan kedua pada hasil langkah pertama sehingga diperoleh

y⁰⁰= 3(8x + y) = 24x + 3y

3. Ganti variabel x menggunakan persamaan pertama pada sistem sehingga diperoleh

y⁰⁰= 24x + 3y = 24(y⁰/3) + 3y = 8y⁰+ 3y −→ y⁰⁰−8y⁰−3y = 0

yang merupakan PDB orde 2 homogen yang solusinya dapat diselesaikan dengan persamaan karateristik

λ²−8λ − 3 = 0 sehingga diperoleh

λ_1,2 = 8 ±√

64 + 12 2 dan solusinya adalah

y(t) = C1e⁴⁺

√19+ C2e⁴⁻

√19

4. Substitusi solusi y(t) pada persamaan kedua dalam sistem sehingga diperoleh PDB orde 1 dengan faktor integrasi

x⁰−8x = C1e⁴⁺

√19+ C2e⁴⁻

√19

dengan faktor integrasi

µ(t) = e^8t.

(24)

5. Menyelesaikan solusi untuk x(t) yaitu

µ(x⁰−8x) = µC1e⁴⁺

√

19+ C2e⁴⁻

√ 19

d(µx(t)) = µC1e⁴⁺

√19+ C2e⁴⁻

√19 dt Z

d(µx(t)) =^Z µC1e⁴⁺

√19+ C2e⁴⁻

√19 dt µx(t) = C1

Z e⁽¹²⁺

√19)t dt+ C2

Z e⁽¹²⁻

√19)t dt

= C1

e⁽¹²⁺

√ 19)t

12 +√

19 + C2

e⁽¹²⁻

√ 19)t

12 −√ 19 x(t) = C1

e⁽⁴⁺

√ 19)t

12 +√

19 + C2

e⁽⁴⁻

√ 19)t

12 −√ 19 Jadi solusi akhir dari SPDL adalah

x(t) = C1

e⁽⁴⁺

√ 19)t

12 +√

19+ C2

e⁽⁴⁻

√ 19)t

12 −√ 19 y(t) = C1e⁴⁺

√

19+ C2e⁴⁻

√ 19

Jika diselesaikan dengan mengunakan Maple, maka langkahnya adalah sebagai berikut ini

Kode 12: Sistem PDB Linier

1 r e s t a r t;

3 sodes:= d i f f (y( t ) , t )=3∗x( t ) , d i f f (x( t ) , t )=8∗x( t )+y( t ) ;

4 dsolve( [ sodes ] ) ;

5 l 0:=sodes [ 1 ] ;

6 l 1:= d i f f ( l0 , t ) ;

7 l 2:=sodes [ 2 ] ;

8 l 3:=subs ( l2 , l1 ) ;

9 l 4:=subs (x( t ) =(1/3)∗ lhs ( l0 ) , l3 ) ;

10 l 5:=dsolve ( l4 ) ;

11 l 6:=subs (y( t )=rhs ( l5 ) , l2 ) ;

12 dsolve( l6 ) ;

LATIHAN

Tentukan solusi dari SPDL berikut ini. Kerjakan secara manual dan komputasi serta buat laporan kerja dari tugas ini.

1. SPDL dengan 2 variabel

dy

dt = 2x + 3y dx

dt = x − y 2. SPDL dengan 2 variabel

dy

dt = x + 2y dx

dt = x + y

(25)

3. SPDL dengan 3 peubah

dx

dt = 2x + 3y − z dy

dt = x − y + z dz

dt = x + y + z 4. SPDL dengan 3 peubah

dx

dt = x + y + z dy

dt = x − y − z dz

dt = y − x + z