ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MARSHALL-OLKIN COPULA DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD.

(1)

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MARSHALL-OLKIN COPULA

DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD

oleh

RIRIS LISTYA DAHYITA PUTRI M0111073

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2016

(2)

(3)

ABSTRAK

Riris Listya Dahyita Putri. 2016. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MARSHALL-OLKINCOPULADENGAN METODEMAXIMUM LIKELIHOOD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Pada umumnya fungsi distribusi bersama (fdb) dapat diperoleh melalui beberapa variabel random independen menggunakan perkalian antar distribusi marginalnya. Namun, berbeda dengan fdb yang terdiri atas variabel random de-penden, fdb dengan variabel random dependen diperoleh menggunakan copula. Copula adalah fungsi yang digunakan untuk menghubungkan beberapa variabel random dependen menjadi fungsi distribusi bersama. Copula dibagi menjadi be-berapa kelas salah satunya Marshall-Olkin copula (MOC). MOC didasarkan pa-da Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) yang dapat digunakan untuk mengestimasi data nilai ekstrem. Terdapat beberapa metode untuk mengestimasi parameter salah satunya adalah metode maximum likelihood. Metode ini sering digunakan karena konsisten dan efisien. Tujuan penelitan ini adalah mengestimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan metodemaximum likelihood. Pada penelitian ini diperoleh estimasi parameter distribusi Marshall-Olkincopula dengan metodemaximum likelihood yaitu ˆθ = (1+exp(−ψ))−1. Selanjutnya dibe-rikan contoh penerapan pada data suhu dan kelembaban rata-rata kota Semarang dari Januari 2005 sampai dengan bulan Desember 2015. Diperoleh estimasi pa-rameternya adalah ˆθ= 0.4312.

Kata kunci _{: estimasi parameter, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood}

(4)

ABSTRACT

Riris Listya Dahyita Putri. 2016. MARSHALL-OLKIN COPULA DISTRI-BUTION PARAMETER ESTIMATION USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret Uni-versity.

Generally, joint distribution function can be obtained through several in-dependent random variables using a multiplication among the marginal distribu-tions. However, joint distribution function with the dependent random variables is obtained by using copula. Copula function is used to connect multiple depen-dent random variables into a joint distribution function. Copula is divided into several classes, one of them is Marshall-Olkin copula (MOC). MOC is based on Marshall-Olkin Bivariate Exponential (MOBE) that can be used to estimate the parameters of extreme value. There are several methods to estimate the parame-ter, one of which is maximum likelihood. This method is usually used because of its consistency and efficiency. The purpose of this research is to estimate the pa-rameter of Marshall-Olkin copula distribution using maximum likelihood method. The estimation of Marshall-Olkin copula distribution parameter using maximum likelihood method is ˆθ = (1 + exp(−ψ))−1. Furthermore, we give an example of the application on the data of temperature and humidity on average in Semarang from January 2005 until December 2015. We obtained the parameter’s estimation ˆ

θ = 0.4312.

Keywords : parameter estimation, Marshall-Olkin copula, maximum likelihood estimate

(5)

PERSEMBAHAN

Karya ini dipersembahkan untuk

kedua orang tua, kakak dan adik atas doa, semangat, dan kepercayaan yang diberikan.

(6)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmatNya se-hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terimakasih penulis sam-paikan kepada

1. Dr. Dewi Retno Sari Saputro, S.Si., M.Kom. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan arahan dalam penentuan judul, diskusi materi distribu-si nilai ekstrem, bimbingan, motivadistribu-si, arahan dalam hal penyusunan dan penulisan skripsi.

2. Dr. Hasih Pratiwi, S.Si, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah membe-rikan bimbingan, motivasi, arahan dalam hal penulisan skripsi dan penyu-sunan alur penulisan.

3. Teman-teman program studi Matematika angkatan 2012 dan atas doa, ban-tuan, dan semangat yang selalu diberikan.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.

Surakarta, Oktober 2016

Penulis

(7)

DAFTAR ISI

2.2.4 Fungsi Densitas Probabilitas Bersama dan Fungsi Likelihood 7 2.2.5 MetodeMaximum Likelihood . . . 8

2.2.6 Copula . . . 9

(8)

2.2.7 Distribusi Marshall-Olkin Copula . . . 10

2.2.8 Uji Kesesuaian Distribusi . . . 10

2.3 Kerangka Pemikiran . . . 11

III METODE PENELITIAN 12 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 13 4.1 Fungsi Densitas Marshall-Olkin Copula . . . 13

4.2 Estimasi Parameter Distribusi Marshall-Olkin Copula . . . 13

4.3 Penerapan . . . 17

4.3.1 Sampling Nilai Ekstrem dengan Block Maxima . . . 20

4.3.2 Uji Kesesuaian Distribusi Nilai Ekstrem . . . 21

4.3.3 Uji Dependensi Nilai Ekstrem . . . 22

4.3.4 Estimasi Parameter dengan Metode Maximum Likelihood . 23 V PENUTUP 25 5.1 Kesimpulan . . . 25

5.2 Saran . . . 25

DAFTAR PUSTAKA 26

(9)

DAFTAR GAMBAR

2.1 Contoh sampling dengan metode block maxima . . . 6 4.1 Plot data suhu udara (dalam 4 blok) pada tahun 2005 . . . 20 4.2 Plot data harian kelembaban udara (dalam 4 blok) pada tahun 2005 21