g4et
\g
Respcms getarffifi ,rr$ru*lirtier pmdffi sistem pCIrss-rotor Bugian ll: Kaji banding rnetsde Kunge-Kutta dan metode deret
fungsiwnaI Veilt{*rra
'iegoelr
Tjalrjowitloi.iol, Kornaiiu lSaui;tinil', cli*il l-ainal Abir:jil'iz
'i-abaratatiurn
Dinai;ika, pPAl.jlR . l l Lt, Jaia;j llrrl:;i,i; 10, lSalrlrrng 4df 3l T e I p. / F a x 0 2 2 - 2 5 [/ 6 2 B 3, E - r;, a i i !eW!@ :l]fl.ati i ;", Bd_tt t t.:]h-eS] d
2PraErailt studj IeAri'k
Tiil'$::ffiy,[:{:}'#;'l'ni;';""-' P"'si:a:;a$aita' it'&
lrlasi.jk: Allrjiii,is i9ii9l ,evisi ila\rik: ]ijir 20fj0; ijit.]iir'Trr. Agrr:trs;OiU
3 & { l
blirtalaithalusdair;rtdiketahuidc,ri1art
m e r r g a k i . b a t L a n k e k a k u a n y a n g t i d a l - l i n t e i p a d a b a n t a l . l l r . } { a l i r i i l l i c i i g a } ; t 1 r . r i k a i i a l L a l a l l
tidaklinier'Berdasarkairhaltersebut,arralisisFungsiResptxsi'rtkuelsi11i1i.,tpadasisteartrantalanmeiupakaLianellsj l i n i e r . A n a l i s i s F M N o n - L i n i e r d a p a t d i l a k u k a n d e r . t g a r l r r i e i t i i ; l t r | a a t k a i l i l c , u t V t l j { r ' i r * I ) a a n l p e n l l l l i
u I 1 t u k n 1 € n e n t u k a n F R F N o n - L i n i e r d a t i b a n t a | a n y a r i g d i u r r a t i s e h i r r 5 g a d a 1 s u t . " | t r a i n a ! k i i l 1 i . { i l | X l l i c y , c t a r . ; t t | , . 9 ' a harnronik akibat siuyal pengeksitasi.
Kata kunci: deret Volterra, kel<lnggaran, nisalignrnent" h{cwt(rn.tihapstlr, itinpc h.irtia, unbt;iunr:e .
3 l
Abstract
Non*lineal' r'iLirutian i csp{,n$( rr,f hr:aring $ysrefil
Part lI: Cornparative study of Ruirge..Kul.ta mtthotl arrel Vrlitrrna-ftlu*tionat-sclico inctilo;J
i ? o t a t i r t g i i r z r c } i i n e r i s c o r r i n . i , ' t r i y u i i i i z e c j i n i h e p r ' i - l i : e s s j l i E i l ] d . i s ' 1 ' i . l ' j | r r n i i o i t , i r r o n i t o r i n g b a s c c o r r p r e d i c t r v e technt:logy is widely utilized for condition monitoring of ihe rot.rting mar"'lririrry in strvice , J'his mairrtenancc technology is trased rn the signature ofthe vibration respoflse uormally neasurctl at the bearing house" On ths other hand, the vibrarion rcsponse ofa system is detennincd by the system dynamic characteristics and its working stinrulus.'l'hrrcfblc ihr: natule of the rnajn eonponent d1'narnic characteristics results in significant influence on the prcdi<xed vibratiein response at the bearing house. As rncntioned abor.,e the:
signatr.rre of the viLrration response ineasured at thc trearing iiousl and;rresenfetl in ih* frequeirly ilonlain i:ontains ser.,eral hun:rrnic signals. Most of the higher harmonics do not have physical rneanings, but their t:list rl tJr* vrbr"rtion nleasur$irisnt results antl confused the researchcrs. Regarding those hannonie signals a hypothesis can be devr:lapc'J lor iiir:nti{vilrg its orrgin" Thci are assumed to be generated due to dyuarnic characteristic non-linearity of the vibiarion systcni contbin*i wii,[ i]rc.riiffness nou-linea:ity of the roll bearing. By analyzing halmonic signal response ducr to nonlinear pfopcrty ol thc .,,rbratiuri lil,xrel-rr^ hnpchill'i the mechanical signature of nonlinear vibratiorr systerrt can be generatc,d. 'I'hcr*forel,
niany ather mcciranrcal signatui"es cf cuini:i.rrr*lr$
failure can be formulated and the harmonic signals, whir:h arc usually occr-ire,J, car, ire prcrlicted morc accuratr-.1y.
Keywortls: clearance, misalignntent, Newton-Rhapson, Runge-Kutla, ,series Y*llcrn:, uni.tulant:t.
I Pendahuluan
Bantalan gelinding barryak digunakan dalain inesrri lotar;r sebagai penumpu strtikhrr yang berputai rn&ilpnil yang tidak berputar. Dengan mengetahui karakteristik dinamik trantaian yang digunakan, r'€spons g€tar"an yang terjarii pada stn.rktur iiapat lebih rnudah dianalisis. Mensingat bantalan gelinding nrerriiliki kekakuan yang lidak linier, digunakan rnodel Volter-r'a untrrk arialisis karak(eristrk dirram ik bantalan tersetJut.
Anaksil i;f(lL l'lcn-Lirri*i *1*ngan rni:nianlbark:ur derr.jt Volterr a te.latr,Cikenh*ngka'l rlaia.nr b*licnrpa p*nclitian itt'dalriilu iint-riil si:.itr:rrrt /':r,;r/l 5ildc(itan;i ytirfi diturupu irleh etigst:i ,"ja;r rtil 1-i,)j. t'r.nckantn kegi.;,un pcnelitian irri terletaL ;::irla asiieit irnaiisis rcsl)ofis gtuii:an dengan uretode {li:,iti r,r'riili:ita p*cir sistcrrn n,ta:i ',,aiig diturnpu rrleh trariiiiier irlh. lia,,ii airalisis tcrrsc:irut LerrrirrJiarr dibandingl'au oeirgan hasli pernodclan rirc.lalr:i metode l{.unge-K.uita. i)enp,ar-l redikit motlifikasi, rleto,Je Runge-
3 2
Kutta dapat dimanfaatkan untuk inenerrtLrkan FRF l,l,rn- Linier dcrrgan cara memberikan sinl,al eksitasi sinusoidal yang frekuensinya diubah secara bertahap sepanjang rentang frekuensi tertentu.
D;rlanr kaji teoretii< ini dilakukan analisis pengaruh kelctngguran (kelonggaran) bantalan terhatlap fungsi respons frekuensi sistern getaran barrtalan. Kelonggaran pada bantalan akan berpcngaruh karakteristik kekakuan bantalan sehingga juga akan mernpengaruhi fungsi respons frekuensi sistem. Hubungan antara fungsi respons frekuensi kelonggaran ini diharapkan dapat digunakan untuk nreramalkan keausan ban'talan yang terj adi.
Kekakuan bantalan
Kekakuan bantalan dapat ditenfukan dengair memper- hatikan geometri bantalan. Hanis, White dan t,inr [3,4,5]
telah melakukan penelitian yang rnenyeluruh, baik untuk kekakuan bantalan rol maupun bantalan bola. Adanya kelonggaran (kelonggaran) pada bantalan menrpakan salah satu faktor yang mengakibatkan kekakuan non- linier pada bantalan tersebut. Pengaruh kelonggaran pada bantalan ditunjukkan pada Gambar l. Sementara itu hubungan antara besar gaya dan defleksi yang merupa- kan parameter penentuan kekakuan bantalan diturlukkan oleh persamaan berikut [6]:
c o s y / ( l )
Dalarii hal ini, K,
PROC. ITB" I/OI, 32, NO.
Tabel 1 Spesifikasi bantalan yang digunakan I, 2000
RHP 6307
33.5 kN 1 3 . 4 9 4 m m 6.823 mm 7 . 1 7 5 m m 1 0 : 3 0 rrT __
Dari perhirungan kekakuan bantalan diperoleh hubungan antara gaya dan beban seperti pada Gambar 2
i l l
. Pongujian 1 - * - . P e n g u j i a n 2
kekakuan kontak elemen gelinding defleksi maksimum
kelonggaran pada bantalan posisi angular elemen gelinding batas daerah beban (load zone)
I ES l SG 2.GS 2.gS
Md
Gambar 2 Kurva gaya terhadap defleksi pada bantalan l{ubungan antara kekakuan dan defleksi dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan hubungan gaya-defleksi sehingga didapat kurva kekakuan seperti pada Gambar 3.
Persamaan kurva pada Gambar 3 diperoleh dengan menerapkan suaian polinomiai sedemikian rupa sehingga diperoleh kekakuan bantalan seperti pada Tabel 2.
l r n r e r
Gambar 3 Kurva kekakuan terhadap defieksi bantalan
Tabel 2 Kekakuan bantalan yang digunakan
0.G0 5.GS
F = K,
2,,?^ "o'r-|)"
xn
v
V I
x 1 0
Kekakuan bantalan keseluruhan (overall stffiess) dapar.
dihitung dengan rrienggunakan iterasi Newton-Rhapson [8,8], dan spesifikasi bantalan yang digunakan dapat dilihat pada Tabel l.
r.r, : diarnetei dalanr 4 : diameter luar
x,,,:defleksi maksimum elenren gelinding dalam arah radiai xu : defleksi elemen gelinding dalam arah radial pada posisi rgr
Gambar 1 Pengaruh kelonggaran pada daerah beban
3 r o
* 6
6
I
It _ I
?
Ii
.Ji --t
i
t i A
- : . r l
f-T
jD
Beban maksimurn statik
^ Pengujian 3
*- Pemodelan Lim
ll iI
PROC. tTB, VOL" 32, i{O. 1,2040
Fersamaan gerak sistern getaran trantalan dapat dirumus- kan dengan menghirung restoring force yang daytat terbentuk dari persamaan kekakuan bantalart,
3 Teori volterra untuk sistern non-linier
Representasi sistem nr:n-linier dalam doniain frekuensi umurnnya berdasarkan pada model Voltema [91. Suatu sistem dengan luaran y(t), bila ditinjau dari rnodel Voltena, dapat dinrliskan sebagai juntlah dari N buah komponerr y"(l):
ytr) = Iy,(r) (2)
Luaran oide ke-n didefinisikan sebagai 'ekspansi integral konvolusi dari sistern linier' sebagai berikrit:
@ o - ,
( f . T - T
! , , , ( , ) = i t , , [ . i 1 r 1 J - J J h - ( . t , . , . . . , t " ) l
I x ( t ' - r , ) i / r , ( 3 ) rlengan x(r) : sinyal i"*J"k"" sistem.
r='
Fersamaan (3) dapat dinyataican dalarn dolilain frekueusi dengan menerapkan transfonnasi Fourier aiirnensi ke-n.
Mengingat suku sebetah kiri pada persamaan (3) rnerupakan fungsi satu dimensi, maka didefinisikan:
1 , , ( t ) = y , ( t 1 , . , . J , ) 1 , , = . . = , , " , , (4) 'l'ransforurasi Fourier pada persarnaan (3) nrertghasilkan bentuk:
Y ,(.iatr,..., j d ) n ) = t I ,r(iatr,..., i t ^ , n f l l x f ; t , ) ( 5 )
i = l
dengan FII-F orde ke-n clinyatakan sepe{ti persarnaan (6) berikut ini:
- ; * i .
Ll,( i r,4,... " i,t,,) = J.. 1h,1rr,.,r,,1 - e* i{ottt t r' adt i) d rt..d r,, (6)
ilustrasi hubungan antara persartlaan-persamaan di atas dapat dilihat pada Gambar 4.
f h " ( 1 1 , . . . , r n ) [ - l x ( t - r ; ]jt,
Garnbar 4 'r{ubunEan rJonrain frekuensi darr waklu pada FRF orde {inggi
4 S'umgsi respoers liekuensi non*linier 4"1 Metode langsung
Secara matcmatis sisten gctaran nofl-linier dapat ditulisi(an sebagai berikut:
rtt;i'r t6i+ k'x +' k2xz + t3xl 't-.."... {:y(1) \-t ) dengarr k,, pada kasus ini merupakan koefisien kekakual bantalan pada orde ke-n yang dipcroleh dari perritidclan L i m [5].
Berdasarkan Llersarnaall (2), persamaan gera-k untuk getaran non hnier dapat dituliskan i:embali;
J . t
,y1r;=f ." ltnin r ci,-t-/r,n,.]+ *u,.lj:.
r . r ; i L ; : i
Setelah dieksparrsi, persarnaan (8) clapai sebagai berikut:
y(D ,"-",=1 xr(r) [";**
- *-'+{ x' ll----"f'l i-r!v
I i r e r i c e L _ _ _
" { ( t ) l ( B )
' ' Il'/'
diru;5karl
cyrrl . f c'I min + ci, i *,-r.,]+' o, i to''"' ) rn,(.i):,..,r(r)
n . l r l = i l 2 - l
@ ( o
, l " \ . \ - ' \ \ , , r t r n 2 r , . r * , , , ( , ) ; , , 2 ( t ) r " 3 ( i ; , . . . ' "t Lr Lu l-'
n l - . ' l n 2 = l n 3 - l d @ l r '
t t \ ' \ ' , . 4 r ' ' ' ; ' l - - [
r ^ N 2 r . . . . L . t . I I i , , ( r )
r l = l n N , N l r = . 1
Penyamaan koefisien c'' pa'ia kesua sisi pr:rsamaan untuk masing-rrrasing n moughasilkan persarnaan berikut.
l. Fr:rsamaan crtle pertama
K r , * i{ l r , ' -
e l ^ ' n ir2 + it,,dil
\t r .,,,. -fir s t - o r de r F' RF
?.. Fcrsarnaan onde kedua
K r l s ' , s 2 ) - - k : K r ( s 1 ) K 1 ( s 2 ) K 1 ( s 1 t s 2 ) ( 1fi) Orde kedua FRF ini dapat dinyatakan daiam diagrarn blok sebagai berikut:
(eJ
Untuk kasus resonansi diperoleh:
Kr(ja4 jnt) =- --kzK,r (iu)2Kft'20) 3. Persamaan orde ketiga:
K , ( s t , ^ r r , s : ) * --K r (ri )K r (s2 ) K ' (s..) K , ( s , " r s , + , s . , ) [ 2 A r 2 K , ( . 1 , + " . s r ) + - k r ] iliap,rarn .frlok
untuk {lrddr kctrga:
( 1 1 )
34
1l
Untuk kasus tescirrartst nada iiekucnsi e:ksitasi tt maka diperolei.;
K 3 ( . / r ' : r , i t t t , . 1 r o ) - - l r r ( y r a i ' K , ( ' 1 . u 1 [ 2 t i K , ( i . 2 a ; ) , k r j Urituit rusoflaiisr oacla ix liekutnsi eksitasi diperoleli:
K q (.7ar, i u, i tr).' *K r (.i r,;) i
K, t 1 -tt'ti[ i klK' (7?r.r) +- lr, ] Frekue ri;i icspons sistctir getaran non-linlt:r dalaiit perrelitian irri dapat diper"oleh dengan nteng,gunakan persamaai] (8) sanrpai persai-naan {i0).
4,2 lVletilde Runge-Kutta
Melalui perurirusan seperti yang diuraikan di atas.
respons sistern getaian non-linier pada frekuensi eksitasinya dapat dituliskan sebagai berikut [2.]:
Y ( a t ) - X l l , ( z o ) * ] x3H, (a, u, dt)
+ f x i H , ( a t , u , t o , * r o , t u ) + . . . ( l ' l . a ) Berciasarkan pcrsamaan (l2a), level respolts getaran non- linier pada lx frekuensi eksitasi dapat diperoleh dengan menerapkan metode Runge-Kutta pada frekucusi eksitasi tertenfu. Jika frekuensi eksitasi yang diterapkair pada metode tersebut diubah secara simultan, respons getaran non-linier sebagai fungsi frekuensi eksitasi [Y(o)] dapat diperoleh sepanjang spnn frekuensi yang diberikan.
Selanjutnya, jika level eksitasi ditetapkan sebesar satu satuan, dapat diperoleh fungsi respons frekuensi orde pertama (FRFr) yang merupakan perbandingan antara level respons pada I ^ frekuensi eksitasi dengan level gaya eksitasi. Diagrain alir unruk perhitungart FRF1 dapat dilihat pada Gambar (5).
Persamaan (l2a) menunjukl.al bahrva jika level gaya eksitasi (X) cukup kecil, suku kedua dan selaniutnya dapat diabaikan sehingga diperoleh persamaan berikut:
PROC. rT',B, VOL. t2. NO. 1. 2000
Gam"Dar 5 Diagram alir untuk perhitungan fungsi transfer dengan metode Runge-Kuttti
2Y(i2a)
I Kl'1 :
-
XUro)'
unruk level gaya eksitasi yang kecil akan diperoleh:
2 y ( i 2 c o ) 1 . .
FRF2 = -:--;t isL + H2(to, ur) (llb)
xz
5 Eksitasi getaran yang fnekuensinya jarnak
Suah.r komponen rotasi, misalnya sistem poros-r'Jtor yang menggunakan bantalan sebagai pcnumpu poros, dalam keadaan berputar umumnya akan mengalarnr gaya eksitasi getaran yang frekuensinya banyak. Gaya eksitasi getaran ini biasanya berasal dari sinyal unbalance dan misalignment" Sinyal eksitasi yang berasal dari unbalance dan misalignment sudut akan memiliki frckuensi eksitasi sebesar I x rpm, sementara misalign- ment paralel akan menyebabkan frekuensi eksitasi 2x rpm.
Berbeda dengan sistem getaran linicr yaug hanya menghasilkan respons getaran berupa superposisi dari respons masing-masing sinyal masukannya, sist€rn getaran non-linier menghasilkan respons getaran pada frekuensi yang merupakan penjumlahan frekuensi eksitasi sinyal masukannya di sarnping sr.rperposisi
( 1 2 b )
Melalui cala yafig sama dengan perumusan prrsamaan (12a), persamaan respons g,etaran pada frr:kuensi sebesar2x tiekuensi ehsitasinya dapat dinirunkan sebagai berikut:
Y (2co) =
| x?u 21nt,r,r1 + .l x{tta (or, ro, co,--or) + " ". { I 3a) Mengingat FR-F2 memiliki persamaan sebagai berikut
il01:
PROC 17',8,I/OL. 32, NO. t, )040
respons g€taran sinyal masukan tersebui. Sebagai ilustrasi, suatu sist€m operator rion-linier oi:de dua akan diberi rnasukan dua buah sinyal sinusoidal dengan frekuensi yang berbeda seperti terlihat di bawah ini:
I z ' = H t f x o + x , a + x b + x , 6 j =
= Ir zlx ol + H, [x-o ] + H2 [x, ] + Hz ["*a ] + 2 H , { x o , x _ o l * 2 H 2 \x 6 . x 6 } + 2 H , l x o , , - o \ + 2 H t { x - o , x 6 l + 2 H , {x -u, r -tl +. 2H 2 lx,, x 6}
( 1 4 )
Berdasarkan persamaan (14) dapat disimpuikan bahwa selain superposisi dari respons masing-masing masukan, keluaran sistem juga terdiri atas respons pada fi'ekuensi yang merupakan penjumlahan frekuersi masing^masing niasukan. Enam suku pefiama dalam persamaan (14) merupakan superposisi dari respons masing-masiirg ntasukan, sementara empat suku terakhir terlihat sebagai penjumlahan dan selisih dua frekuensi masukan atau intermodulasi frekuensi [11]. Gambar (6) menunjukkan titik-titik eksitasi untuk nrasukan dua frekuensi uada sistem ooerasi orde dua.
Gambar 6 Titik-titik eksitasi getaran untuk sinyal masukan dengan dua frekuensi pada operasi orde 2
35
6 K"aji baniling metode runge"kutta ttan inetode l a n g s u n g
ilasil pelhrtungan yang diperoleh dengan meriggunakan metotle Rurrge-Kutta akan dibandingkan secara kualitatit terludap metocie langsung.
Kekakuan bantalan yang diperoleh iirelalur metiide L,iin adalah kekakuan statik berdasarkan geonietri bantalan tersebut. Oleh karena ifu, massa efektif yaig akan digunakairr dalam sinrulasi sistem getaran ini rirerupakan bagian massa yang dibebankan pada bantalan tersebut.
Fungsi i:espons frekuensi sistem getaran non-lirricr sebagai hasil kedua metode tersebui dapat diiihat pada Gambai (7). Pada Garnbar (7a) dan (7b) teilitrat fiingsi transfer orde pefiam a 1Ft ,) dari i.rdi-ra \[i ) yarrg diperoleh melalui rnetode Rurrge-Kutta. serlangkan Gaurbar (ic) dan ('7tl) memJrurlihatkan kedua. FRF yairg diperoleh derrgan nretode larrgsrriig. Kurva-lii.iir,a I;ii.F yang tercantum pada Gambar (1) adalah res;t)irns frekuensi dari sistem getaran dengan pegas bariialar, jika persamaarl kekakuan pegas didekati (,lil) derrgan persamaan orde I atau lirrier (r'estori!tE; fitr',:e akatt meniliki psrsamaalr orde dua sehingga disebut sci)agdr s quare sliffne.s s re s to r ing.fbrce'1,
Gambar (8) mernperlihatkan fungsi transibr tride priianiu dan kedua yang diperoleh dengan duajenis inetode urrtuk sistern dengan cubic stffiess restoringJbrce.
Secara kualitatit", kedua jenis metode tersebut merrunjuk karr hasil yang sama. Perbedaan hasil lebiir diduininasi oleli petnbulatan darr galat inaksirirurit ililds rirelodc Runge-Kutta, Perhihrngan nurnerik dair pein[:,ulafuir 1,s11g dilakukan pada ruetode Runge-Kutta ini nrenrvebabkan sinyal masukan seolah-olah telah terdistorsi" Hal ini inenyebabkan munculnya frekuensi hannonik yarrg tiilak diinginkan, dan juga resonansi pada 'ftekuensi pribadi' sistem untuk eksitasi yang jauh dari 'frekuensi pnliarii' tersebtit (yarig dirrraksud 'frekuensi pribadr'dalan hal irn adalah frekuensi pribadi untuk sistem linier tlengan kekakuan : k1). F'enornena ini dapat dilihat pada Gaurbal (9), sedangkan Gambar (10) menunjukkan respons frekuensi untuk eksitasi yang sama dengan menggunakan metode langsung yang memantaatkan deret Volterra.
36
1 2
0 2 0 0 4 0 0 0 0 0
F r 6 q u r n c y ( B : )
M : 2 2 ; C : a 0 0 0 X l = 8 . 6 2 4 6 7 ; K 2 . 8 . 3 1 . 1 2 , K 3 r 0
F i s l O r d a ' F R F . R u n g a - ^ u r l a M e l h o d
r l
' / l
I t l
F r r t O r d e r F R F - 0 r o c t M a t h o d
. _ _ _ _:- -l _\_
- - - ) , , / - -
-____z__--
PROC. ITB, VOL,32, NO. 1,2OOO
6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
S € c o n d O r d c r F R F - D i 6 c t M e t b o d
1 0 0 8 0 0 6 0 0 1 0 0 0
F r l q u e n c y ( H 2 )
F - ! p a n : 1 0 0 0 H z
r I o { S 6 c o n d O r d . r F R F - R u n g . - K u t l . M . t h o d
0 2 0 0 a 0 0 6 0 0 6 0 0 1 0 0 0
r 1 0 ' ' o S e c o n d O t d . r F R F - O k . c l M . ! h o d o )
8 0 0 1 0 0 0
2 5
2
1 . 5
1
0 5
0
3 . 5
3
2 . 5
2
1 5
l
0 . 5
0
o ) 2 . 5
t 5
t
0 . 5
0
* 1 5
t 0 . 5
0
l r
i o e
> 0 4
0 2
0
d )
a
Gambar 7 FRF orde 1 dan 2 untuk sistem dengan square stffness rostoing force
. t 2 5
2
t '
0 . 5
0
I
; 0 6
:
0 . 4 o . 2 0
r t 0 r F i . . t O r d o r F R F - R u n ! o . K u t t . M . l h o d
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0
r l o ' F r ! t O r d . r F R F - o t r o . t M o l h o d
I
I
q ) .
3
=
t
0 2 0 0 . 0 0 6 0 0 8 0 0
F r . q u . n c y ( H z ) M . ? 2 C - . 0 0 0 ( | r L 0 0 5 7 ! 0 : K 2 . 8 . 5 a 7 4 r 1 2 . X 3 . . 6 . 7 7 I a . I 7
0 2 0 0 a 0 0 6 0 0
F ( . q u ! f , c y ( H z )
8 0 0 1 0 0 0
t , t i n e : 5 0
Gambar 8 FRF orde 1 dan 2 untuk sistem dengan cubic sllffness resloring force
Pada Gambar (9) terlihat munculnya resonansi pada Pada Gambar (10) resonansi pada frekuensi 340 Hz tidak frekuensi sekitar 340 Hz saat sistem getaran dengan akan muncul karena perhitungan dengan metode cubic stffiess restoring force (yang memiliki kekakuan langsung tidak mengandung galat maksimum seperti k1, k2 dan k3) dieksitasi pada frekuensi 200 Hz. Frekuensi yang terdapat pada kasus sebelumnya.
340 Hz pada contoh di atas dekat dengan frekuersi perubahan kelonggaran pada bantalan akan menyebab- pribadi untuk sistem getaran linier yang memiliki kan karakteristik kekakuan bantalan berubah juga. sr.uru kekakuan sama dengan kekakuan orde pertama (k1) pada tidak langsung, perubahan kelonggaran ini akan sistem dengan cubic stffiess restoring force' Pada menyebabkan berubahnya sistem getaran. pengaruh frekuensi 400 Hz terlihat harmonik kedua dari respons
kelonggaran pada bantaian dapat dilihat pada CamUar
s l s l e m . 6 l ) .
S c c o n d O r d ! r F R F - R u n g o . K u t t a M s t h o d
PROC. ITts. t',()t.. t). NA t, 2000
{
!Gambar 3 Kesarahan ,"ang terjadi akibat distorsi sinyal masul.an pada metode Runge-Kutta
Daiam gaurbar: ini terlihat pengaruh keionggaran terhadap respolls getaral) non-lir:ier dari sisiem bantalan jika sistem dieksitasi dengan satu frekuensi teftentu (dalam kasus ini srstem getaran dieksitasi pada 50 Hz).
Semakin besar kelonggaran pada bantalan, semakin besar prila nonlinieritas bantalan sehingga respons getaran akan memiliki semakin banyak fiekuensi harmonik.
4 . f i - t - - F - - l { l - - ' - - -
,t*i- i::.: -:-):;
0 1 0 r 0 0 1 5 0 2 0 0 2 3 0t . . q u . n . y ( k )
Gambar 10 Respons getaran dengan metode langsung Perubahan kelonggaran semakin mudah teridentifikasi dari respons getaran dalam domain frekuensi untuk berbagai orde Gambar (12), (13). dan (14) menunjukkan respons, frekuensi olde pertama, kedua, dan ketiga, masing-rnasing untuk berbagai variasi kelonggaran, Semakin besar kelonggaran yang terjadi, semakin besar juga nonlinieritas sistem getaran. Hal ini secara jelas dihrnjukkan pada Gambar (14) dengan meningkatnya perbandingan magnirude puncak pertama dan puncak kedua terhadap puncak ketiga pada respons frekuensi orde ketiga. Secara rratematis, dari persamaan (10) dan (l l) dapat diketahui bahwa puncak pertama dan puncak kedua terletak pada frekuensi l/3 dan % dari puncak ketiga"
Selanjutnya, sirnulasi dilakukan dengan memberikan eksitasi dengan dua tiekuensi yang diasumsikan sebagai sinyal unbalance dan misalignment sudut (lx rpm) dengan misalignment paralel (2x rym).
37
Pada Gambar (15) terlihat respons sisrem getaran pada domain waktu (a) dan domain fbekuensi (b) unruk eksitasi pada itekuensi 50 Hz. Respons yang terjadi mernperlihatkan resorratsi pada fiekuensi 50 Hz dan juga harmor-liknya pada i00 Hz dan 150 Hz,
Gambar (16) menunjukkan respons sistem untuk eksitasi 50 Hz darr l0Cl Hz. Perbandingan level gaya eksitasi antara kedua eksitasi tersebut secara berturut-turut adalah 2:l dengan level gaya eksitasi pertama sama dengan level gaya eksitasi pada kasus Gambar (15). Respons yang terjadi menunjukkan resonansi pada frekuensi fundamentalnya, yairu 50 I{z dan 100 Hz. Adanya fbnomena interrnodulasi ditunjukkan oleh resonansi yang terjadi pada frekuensi 150 Hz. Jika sistem linier, maka berdasarkan Gambar (15), resonansi pada frekuensi 150 Hz tidak akan memiliki level yang cukup besar. Jadi, level yang besar pada frekuensi 150 Hz terjadi karena fenomena intennodulasi kedua tiekuensi dasar tersebut.
. ) i
&
IJ
0 $ l d )
0 5 0 1 m 9 1 @
r$ d0 2$ s0 350
tuq0rncy {ru)
Gambar 11 Fengaruh kelonggaran bantalan terhadap respons gelaran
a) Kelonggaran 13 pm b) Kelonggaran 20 pm c) Kelonggaran 30 prm
0 5 0 r 0 0
0 r 0 1 0 0
0 t 0 1 0 0 r ! 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 1 5 0 r 0 0 4 t 0 5 0 0 ir.qil.n.t tro)
Gambar 12 Respons frekuensi pada bantalan dengan kelonggaran 13 pm
a) Respons frekuensi orde pertama (H1) b) Respons frekuensi orde kedua (H2) c) Respons frekuensi orde ketiga (H3)
38
0 5 0 ! 0 0 r 5 0 ? 0 0 ? 5 0 ! 0 0 3 5 0 . 0 0 . 5 0 5 0 0
Gambar 13 Resporrs frekuensi pada lrantalan dengan keloniggaran 20 pm
a) Respons frekuensi orde pertama (Hr) b) Respons frekuensi orde kedua (1"{2) c) Respons frekuensi orde ketiga (H3)
PRQC. rTB, t/2L. 32, NCI. t, 2000
0.or 0 05 rft tr)
0 50 1@ 150 200 250 300 350 400 450 500
ka$eEy i&)
Gambar l6 Respoirs getaran karena eksitasi ganda
Ringkasam
Distorsi respons getaran bantaian cukup besar sebagai akibat nnnlinieritas dari kekakuan bantalan. Eksitasi dengan satu ffekuensi dapat mengakibatkan munculnya frekuensi harrnonik dari respons sistem" Pengaruh eksitasi sistern getaran, misalnya karena unbalance dan misalignment, akan memainkan peranan penting dalam menentukan respons sistem getaran yang ditumpu oleh bantalan.
Respons frekuensi ordc kedua sistem getaran yang digunakan nlemiliki dua tluah komponen frekuensi resonansi dengan frekuensi resonansi pertama merupakan setengah dari frekuensi resonansi kedua. Hal ini dapat dipahami mengingat eksitasi sistem pada frekuensi resonansi pertama (pada FRF orde 2) akan memiliki harmonik kedua pada frekuensi resonansi kedua (pada FRF orde 2) yang sama dengan frekuensi resonansi pertama pada FRF orde 1.
R.espons frekuensi orde pertama untuk kedua sistem (square slffiess restoring force dan cvbic stffiess restoring force) tidak menunjukkan perbedaan karena respons ini hanya melibatkan orde pertama komponen kekakuan, yakni k1.
Metode langsung terlihat memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan metode Runge-Kutta. Hal ini disebabkan oleh munculnya resonansi di daerah 'frekuensi pribadi sistem linier' karena distorsi sinyal masukan pada metode Runge-Kutta.
Kelonggaran yang terdapat pada bantalan sangat berpengaruh dominan dalam nonlinieritas sistem getaran.
Fenomena tersebut terlihat dengan jelas,pada respons frekuensi orde tinggi. Pada kasus penelitian ini terlihat pengaruh kelonggaran yang cukup bignifikan pada respons frekuensi orde ketiga.
Eksitasi ganda (two-tone excitatian) karena unbalance dan misalignment menyebabkan tirnbulnya efek intQr- modulasi" Efek intermodulasi ini mengakibatkan respons
! 4
0
,
I
E 0 5 t
+*r--.**-J-*i:ffi
O $ 1 0 0 l $ 2 S . 2 S 3 m 3 S { 6 a S 5 0 0
0 a 0 1 @ l s 2 m 2 * 3 m 3 5 0 . @ 4 5 0 5 m
0 50 rm i50 200 250 3s 350 .@ a50 56
r r o q u . n c y i E i
Ganrbar 14 Respons frekuensi pada bantalan dengan kelonggaran 30 pm
a) Respons frekuensi orde pertama (H1) b) Respons frekuensi orde kedua (H2) c) Respons frekuensi orde ketiga (H3)
q
t
9 .
-3
2
1 5
! r
0 5
0
0 g 0 . 0 5 lfr (a,
0 0 2 0 . 0 t 0 t
0 $ lm t50 2@ 2fi 300 350 a6 ts 500
r.qu.ncy {tu)
Gambar 15 Rospons getaran karena eksitasi r:unggal
PROL ITB, r'()L. i2, !'iU. i, ){}00
getaran akibat gabungari kedua eksitasi tersebut akan cukrip besar, meskiprrn respons gstaran akibat salah satu sunrber eksitasi urtbulance atau misslignrr€nt saja cukup kecii.
I Ucapan terixna kasih
fulisan ini merupakan bagian dari peneiitian utama yang berjudul' lr,lechanical Signature Analysis of Synchronous and Asynchronous Excited Rotating Rotor Supported by Rolling Element tsearing'. Penelitian tersebut dibiayai oleh Hibah Tim Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Departemen Penclidikan dan Kebudayaan, Republik Indonesia melalui Graduate Team Research Grant dengan kontrak no. 0l 8AITPPiIVURGE/l 996
9 Daftar pustaka
l. Gifford, S.J & G,R, Tomlinson, A Functional series approach in the identification ofnon-linear structures"
Proc. 5'n International Modal Analysis Conf., I,ondoir, England ( I 987)
2. l"ee, G,M., Estin'ration of non-linear system param€ters using higher-order frequency response functions. Mechanical Systems and Signal Pro ces s in g, 1,1 (l 997 ), 2 19 -228
3. Harris, 'I'.A."
Rolling bearing analysis. John Wiley &
Sons, New York, l99l
4. White, M.F., Rolling element bearing vibration transfer characteristics: Effect ofstiffness. Journal of Applied Mechanics, 46, 677 -684 (l 979)
