METODE MODIFIKASI PROYEKSI GRADIEN UNTUK MENYELESAIKAN PEMROGRAMAN LINEAR DAN ANALISIS SENSITIVITAS KARYA ILMIAH OLEH

(1)

METODE MODIFIKASI PROYEKSI GRADIEN UNTUK MENYELESAIKAN PEMROGRAMAN LINEAR DAN

ANALISIS SENSITIVITAS

KARYA ILMIAH

OLEH

EKI NINING SAPUTRI NIM. 1603122750

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2021

(2)

METODE MODIFIKASI PROYEKSI GRADIEN UNTUK MENYELESAIKAN PEMROGRAMAN LINEAR DAN

ANALISIS SENSITIVITAS

Eki Nining Saputri

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

eki.nining2750@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This article discusses linear programming solutions and sensitivity analysis. The method used is an iterative method, which is modified from Rosen’s gradient projection method. This discussion aims to find the optimal solution by tracing the points in the feasible region, and sensitivity analysis on changes in the coefficient of the objective function to obtain the range of optimal parameters in the optimal solution. Thus the problem that is disturbed can be conditioned to remain optimal.

This is a review of the Tantawy’s article, [Trends in Applied Sciences Research, 14 (2019), 7-11].

Keywords: Linear programming, Rosen’s gradient projection method, sensitivity analysis

ABSTRAK

Artikel ini membahas penyelesaian pemrograman linear dan analisis sensitivitas.

Metode yang digunakan merupakan metode iteratif, yang dimodifikasi dari metode proyeksi gradien Rosen. Pembahasan ini bertujuan untuk mencari solusi optimal dengan menelusuri titik-titik di dalam daerah fisibel, dan analisis sensitivitas pada perubahan koefisien fungsi tujuan untuk memperoleh rentang parameter keoptimalan pada solusi optimal. Dengan demikian masalah yang terganggu bisa dikondisikan tetap optimal. Skripsi ini merupakan kajian ulang dari artikel Tantawy, [Trends in Applied Sciences Research, 14 (2019), 7-11].

Kata kunci: Pemrograman linear, metode proyeksi gradien Rosen, analisis sensi- tivitas

(3)

1. PENDAHULUAN

Pemrograman matematika disebut pemrograman linear jika fungsi tujuannya linear dalam variabel-variabelnya, jika tidak demikian maka disebut pemrograman nonlinear, baik dengan kendala linear maupun nonlinear. Penyelesaian pemrograman nonlinear dapat dilakukan secara analitik maupun numerik. Beberapa metode numerik untuk menyelesaikan pemrograman nonlinear berkendala dibagi menjadi dua kategori, yaitu metode langsung, dan metode tidak langsung. Salah satu jenis dari metode langsung adalah metode arah layak yang dikategorikan menjadi beberapa jenis yaitu metode Topkis-Velnott, metode Zoutendijk, metode proyeksi gradien Rosen, dan metode teknik gradien dari Wolfe.

Metode proyeksi gradien Rosen diperkenalkan oleh Rosen [6] pada tahun 1960, sebagai prosedur iterasi numerik untuk memperoleh nilai minimum (atau maksimum) pemrograman nonlinear dengan kendala linear. Pada tahun 1961, Rosen [7]

mengembangkannya untuk menyelesaikan pemrograman nonlinear dengan kendala nonlinear. Penyelesaian dengan metode proyeksi gradien Rosen terdiri dari beberapa tahap yaitu menentukan nilai awal, menentukan matriks proyeksi, dan menentukan arah layak. Jika nilai arah layak sama dengan nol, maka dilanjutkan dengan menentukan vektor dan proses iterasi berhenti. Jika nilai arah tidak sama dengan nol, maka dilanjutkan dengan menentukan panjang langkah dan menentukan nilai vektor. Jika nilai vektor tidak negatif maka nilai optimal telah diperoleh. Proses iterasi diulangi sampai diperoleh penyelesaian yang optimal.

Tertarik dengan pengaplikasian metode proyeksi gradien Rosen untuk menyelesaikan pemrograman nonlinear, dengan mereview artikel Tantawy [9], penulis menggunakan metode modifikasi proyeksi gradien Rosen untuk menyelesaikan pemrograman linear. Untuk pembahasannya, pada bagian dua dijelaskan algoritma modifikasi proyeksi gradien Rosen yang digunakan dalam menghitung nilai maksimum pemrograman linear dan analisis sensitivitas pada perubahan koefisien fungsi tujuan. Kemudian dilanjutkan di bagian ketiga dengan menjelaskan kesimpulan dari pembahasan artikel ini.

2. ALGORITMA MODIFIKASI PROYEKSI GRADIEN ROSEN Masalah pemrograman linear dapat dirumuskan sebagai berikut:

maks F (x ) = p₁x₁ + p₂x₂ + · · · + pnx_n kendala

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + · · · + a_1nx_n ≤ b1

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + · · · + a_2nx_n ≤ b2

...

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn ≤ bn

a_m+nx₁ + a_m+nx₂ + · · · + a_(m+n)nx_n ≤ bm+n

x₁, x₂, . . . , x_n≥ 0.









 (1)

(4)

dengan x ∈ Rⁿ, p ∈ Rⁿ, A ∈ R^(m+n)^×n, dan b ∈ R^m+n. Parameter p adalah koeﬁsien fungsi tujuan, x adalah variabel keputusan dan b merupakan jumlah masing-masing sumber daya yang menjadi kendala.

Bentuk masalah (1) dapat dituliskan sebagai berikut:

maks F (x ) = p^Tx kendala

a^T_i x ≤ bi, i = 1, 2, . . . , m + n x ≥ 0









(2)

dengan p^T = (p₁, p₂, . . . , p_n), x = (x₁, x₂, . . . , x_n)^T, b_i = (b₁, b₂, . . . , b_n, b_m+n)^T dan a^T_i merupakan baris ke-i dari matriks A.

Pada metode modifikasi proyeksi gradien, pemrograman linear diselesaikan de- ngan mengambil sebarang titik fisibel awal x₀, selanjutnya melalui titik tersebut akan ditentukan titik fisibel berikutnya hingga diperoleh solusi optimal dengan n iterasi. Pada setiap iterasinya akan membentuk sebuah matriks proyeksi H_k. Ma- triks proyeksi H_k adalah matriks simetris yang didefinisikan ke dalam dua kasus sebagai berikut:

Hk = {

I , jika k = 0

H^q_k, jika k ≥ 1. (3)

Berdasarkan persamaan (3) dinyatakan bahwa I adalah matriks identitas dan H^q_k adalah matriks proyeksi, dengan q sebagai jumlah dari kendala aktif pada k sekarang. Matriks H^q_kdirumuskan sebagai berikut:

H^q_k = H_k₋₁−H_k₋₁ a_s a^T_s H_k₋₁ a^T_s Hk−1 as

. (4)

Kemudian dari matriks proyeksi dapat dibentuk vektor arah d^k, yang dirumuskan sebagai berikut:

dk = Hkp, (5)

dan panjang langkah α_k yang dirumuskan sebagai berikut:

α_k= |{z}min

i=1,...,m+n

{

g_i, g_i = b_i− a^T_i x_k

a^T_i d_k , dengan g_i > 0 }

. (6)

Dengan menggunakan vektor arah d^k, dan panjang langkah αk diperoleh solusi ﬁsibel pada k sekarang, dirumuskan sebagai berikut:

x_k = x_k₋₁+ α_k₋₁d_k₋₁. (7) Selanjutnya titik x_k menjadi solusi optimal apabila dual dari masalah (2) terdapat u ≥ 0 sehingga

u^TA_r = p^T atau u^T = p^T(A_r)⁻¹, (8) dengan A_r ∈ Rⁿ^×n merupakan submatriks dari A ∈ R^(m+n)^×n yang hanya memuat koeﬁsien dari kendala aktif. A_r dipilih dari matriks A dengan menghi-

(5)

langkan paling sedikit satu kendala. Hal ini mengakibatkan diperoleh F (u ) = bu^T = F (xk),

yang artinya nilai optimal masalah dual sama dengan nilai optimal masalah primal, menjadi pengakhiran langkah dari algoritma ini.

Adapun langkah-langkah untuk menggunakan algoritma modiﬁkasi proyeksi gradien adalah sebagai berikut:

(i) Langkah awal

Ambil k = 0, H₀ = I , d₀ = p, dan x₀ sebagai solusi awal yang memenuhi nilai b_i pada setiap persamaan kendala. Kemudian persamaan (6) digunakan untuk menghitung α₀.

(ii) Langkah iterasi

(a) Langkah 1: x_k ditetapkan sebagai solusi baru dengan menggunakan per- samaan (7). Kemudian x_k digunakan untuk menentukan kendala yang aktif pada masalah (2).

(b) Langkah 2: Keoptimalan x_ksekarang diuji, jika nilai F (u ) = F (x ) maka langkah berhenti karena solusi optimal telah diperoleh, jika tidak sama maka pencarian solusi optimal dilanjutkan ke langkah 3.

(c) Langkah 3: Ambil k = k + 1 , kemudian H_k, d_k dan α_k dihitung berturut-turut menggunakan persamaan (4),(5) dan (6), selanjutnya kem- bali pada langkah 1.

Perubahan pada koefisien fungsi tujuan melibatkan penambahan ataupun pengu- rangan sebuah parameter skalar µ. Parameter µ dapat mempengaruhi keoptimalan dari solusi optimal karena adanya perubahan koefisien fungsi tujuan. Oleh karena itu, untuk mempertimbangkan masalah pemrograman linear yang terganggu akibat perubahan koefisien fungsi tujuan dirumuskan sebagai berikut:

maks F (x ) = (p + µp¹)^Tx kendala

a^T_i x ≤ b, i = 1, 2, . . . , n x ≥ 0 ,









dengan p¹ ∈ Rⁿ. Kemudian untuk menghitung rentang parameter µ dirumuskan sebagai berikut:

u^T(µ) = (p + µp¹)(A_r)⁻¹, (9) pada titik optimal u^T(µ)≥ 0 harus terpenuhi, sehingga pada rentang parameter µ keoptimalan untuk titik optimal tetap terpenuhi.

(6)

3. PENYELESAIAN PEMROGRAMAN LINEAR DAN ANALISIS SENSITIVITAS DENGAN METODE MODIFIKASI PROYEKSI

GRADIEN

Masalah primal sebuah perusahaan dapat dirumuskan sebagai berikut:

maks F (x ) = 2x1+ 4x2+ x3+ x4

kendala

x₁+ 3x₂+ x₄ ≤ 4 2x1+ x2 ≤ 3 x₂+ 4x₃+ x₄ ≤ 3

x₁ ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0.











(10)

Masalah dual (10) dapat dirumuskan sebagai berikut:

min F (u ) = 4u₁+ 3u₂+ 3u₃ kendala

u1+ 2u2 ≥ 2 3u₁+ u₂+ u₃ ≥ 4 4u₃ ≥ 1

u1+ u3 ≥ 1

u₁ ≥ 0, u2 ≥ 0, u3 ≥ 0.











(11)

Sebelum menentukan solusi primal, terlebih dahulu akan ditentukan solusi du- alnya. Dengan menggunakan persamaan (9) diperoleh u^T sebagai solusi dual dari masalah (11) sebagai berikut:

u^T =[

1, 1 0, 45 0, 25 ]

. (12)

Dengan mensubstitusikan solusi (12) ke dalam fungsi tujuan masalah (11) diperoleh nilai minimum masalah dual sebagai berikut:

F (u ) = 4(1, 1) + 3(0, 45) + 3(0, 25) = 6, 5. (13) Setelah diperoleh solusi optimal masalah (11), selanjutnya ditentukan solusi optimal masalah (10) menggunakan algoritma modiﬁkasi proyeksi gradien sebagai berikut:

Iterasi 1

(i) Langkah awal Ambil k = 0,

H₀ =







1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1





 ,

(7)

d₀ =





 2 4 1 1





 ,

dan solusi awal x₀ yang memenuhi nilai b_i pada setiap kendala masalah (10), yaitu

x₀ =





 0, 5 0, 5 0, 25 0, 5





 .

Selanjutnya, persamaan (6) digunakan untuk menentukan nilai α₀, sehingga diperoleh

α₀ = 0, 11 atau α₀ = 0, 1.

(ii) Langkah 1

Selanjutnya, persamaan (7) digunakan untuk menentukan x₁ sebagai solusi baru, yaitu

x₁ =





 0, 7 0, 9 0, 35 0, 6





 . (14)

Kemudian solusi (14) digunakan untuk menguji kendala aktif pada masalah (10) sebagai berikut:

0, 7 + 3(0, 9) + 0 + 0, 6 = 4 2(0, 7) + 0, 9 + 0 + 0 = 2, 3 0 + 0, 9 + 4(0, 35) + 0, 6 = 2, 9



 (15)

Dari hasil uji (15) diperoleh kendala pertama sebagai kendala aktifnya.

(iii) Langkah 2

Dengan mensubstitusikan solusi (14) ke dalam fungsi tujuan masalah (10) diperoleh

F (x₁) = 2(0, 7) + 4(0, 9) + 0, 35 + 0, 6 = 5, 95.

Dari nilai minimum masalah dual (13) diperoleh F (u )̸= F (x1) , sehingga x₁ bukan solusi optimal untuk masalah (10). Oleh karena itu, pencarian solusi optimal dilanjutkan ke langkah 3.

(iv) Langkah 3

Ambil k = 1, dari langkah 1 terdapat satu kendala aktif, selanjutnya persa- maan (4) digunakan untuk menentukan H₁, sehingga diperoleh

(8)

H₁ =







0, 91 −0, 27 0 −0, 09

−0, 27 0, 18 0 −0, 27

0 0 1 0

−0, 09 −0, 27 0 0, 91





 .

Selanjutnya, persamaan (5) digunakan untuk menentukan d₁, sehingga diperoleh

d₁ =





 0, 65

−0, 09 1

−0, 35





 .

Selanjutnya, persamaan (6) digunakan untuk menentukan nilai α₁, sehingga diperoleh

α₁ = 0, 03.

Selanjutnya, H₁, d₁, dan α₁ digunakan untuk menentukan solusi optimal pada iterasi 2.

Iterasi 2

(i) Langkah 1

Selanjutnya, persamaan (7) digunakan untuk memperoleh x₂ sebagai solusi baru, yaitu

x₂ =





 0, 72 0, 89 0, 38 0, 59





 (16)

0, 72 + 3(0, 89) + 0 + 0, 59 = 4 2(0, 72) + 0, 89 + 0 + 0 = 2, 33 0 + 0, 89 + 4(0, 38) + 0, 59 = 3



 (17)

Dari hasil uji (17) diperoleh kendala pertama dan ketiga sebagai kendala aktifnya.

(ii) Langkah 2

F (x2) = 2(0, 72) + 4(0, 89) + 0, 38 + 0, 59 = 5, 97.

Dari nilai minimum masalah dual (13) diperoleh F (u ) ̸= F (x2) , sehingga x₂ bukan solusi optimal untuk masalah (10). Oleh karena itu, pencarian solusi optimal dilanjutkan ke langkah 3.

(9)

(iv) Langkah 3

Ambil k = 2, dari langkah 1 terdapat dua kendala aktif, selanjutnya persa- maan (4) digunakan untuk menentukan H₂ sehingga diperoleh

H₂ =







0, 9 −0, 27 0, 09 −0, 08

−0, 27 0, 18 0, 02 −0, 27 0, 09 0, 02 0, 03 −0, 15

−0, 08 −0, 27 −0, 15 0, 88





 .

Selanjutnya, persamaan (5) digunakan untuk menentukan d₂, sehingga diperoleh

d₂ =





 0, 73

−0, 07 0, 14

−0, 5





 .

Selanjutnya, persamaan (6) digunakan untuk menentukan nilai α2, sehingga diperoleh

α2 = 0, 48.

Selanjutnya, H₂, d₂, dan α₂ digunakan untuk menentukan solusi optimal pada iterasi 3.

Iterasi 3

(i) Langkah 1

Selanjutnya, persamaan (7) digunakan untuk menentukan x3 sebagai solusi baru, yaitu

x₃ =





 1, 07 0, 85 0, 44 0, 35





 . (18)

1, 07 + 3(0, 85) + 0 + 0, 35 = 3, 97 2(1, 07) + 0, 85 + 0 + 0 = 2, 99 0 + 0, 85 + 4(0, 44) + 0, 35 = 2, 96



 (19)

Dari hasil uji (19) diperoleh kendala pertama, kedua dan ketiga sebagai kendala aktifnya.

(ii) Langkah 2

F (x₃) = 2(1, 07) + 4(0, 85) + 0, 44 + 0, 35 = 6, 33.

(10)

Dari nilai minimum masalah dual (13) diperoleh F (u ) ̸= F (x3) , sehingga x₃ bukan solusi optimal untuk masalah (10). Oleh karena itu, pencarian solusi optimal dilanjutkan ke langkah 3.

(iii) Langkah 3

Ambil k = 3, dari langkah 1 terdapat tiga kendala aktif, selanjutnya persa- maan (4) digunakan untuk menentukan H₃, sehingga diperoleh

H₃ =







0, 03 −0, 07 −0, 02 0, 16

−0, 07 0, 13 0, 05 −0, 33

−0, 02 0, 05 0, 02 −0, 12 0, 16 −0, 33 −0, 12 −0, 81





 .

Selanjutnya, persamaan (5) digunakan untuk menentukan d₃, sehingga diperoleh

d₃ =







−0, 08 0, 1 0, 06

−0, 31





 .

Selanjutnya, persamaan (6) digunakan untuk menentukan nilai α₀, sehingga diperoleh

α₃ = 0, 3.

Selanjutnya, H₃, d₃, dan α₃ digunakan untuk menentukan solusi optimal pada iterasi 4.

Iterasi 4

(i) Langkah 1

Selanjutnya, persamaan (7) digunakan untuk memperoleh x₄ sebagai solusi baru, yaitu

x₄ =





 1, 05 0, 9 0, 45 0, 3





 . (20)

1, 05 + 3(0, 9) + 0 + 0, 3 = 4 2(1, 05) + 0, 9 + 0 + 0 = 3 0 + 0, 9 + 4(0, 45) + 0, 3 = 3



 (21)

Dari hasil uji (21) diperoleh kendala pertama, kedua dan ketiga sebagai kendala aktifnya.

(11)

(ii) Langkah 2

F (x₄) = 2(1, 05) + 4(0, 9) + 0, 45 + 0, 3 = 6, 5.

Dari nilai minimum masalah dual (13) diperoleh F (u ) = F (x₄) , oleh karena itu x4 merupakan solusi optimal, dengan F (x4) = 6, 5 sebagai nilai maksimum masalah (10).

Analisis sensitivitas masalah (10) dirumuskan ke dalam langkah-langkah berikut:

(i) Koeﬁsien fungsi tujuan pada masalah (10) ditambahkan dengan parameter skalar µ sebagai berikut:

maks F (x ) = (2 + µ)x₁+ (4− 2µ)x2+ (1 + µ)x₃ + (1− µ)x4

kendala

x₁+ 3x₂+ x₄ ≤ 4 2x1+ x2 ≤ 3 x₂+ 4x₃+ x₄ ≤ 3

x₁ ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0.









 (22) (ii) Selanjutnya, persamaan (9) digunakan untuk menentukan u^T(µ) dari masalah

(22) sebagai berikut:

u^T(µ) =[

1, 1− 1, 1µ 0, 45 + 1, 05µ 0, 25 + 0.25µ ]

. (23)

(iii) Setelah diperoleh u^T(µ), kemudian dapat ditentukan parameter µ. Dari so- lusi (23) diperoleh parameter µ sebagai berikut:

−0, 43 ≤ µ ≤ 1. (24)

Dengan demikian nilai parameter µ dari persamaan (24) memberikan alter- natif lain dalam pengambilan keputusan tanpa mengganggu keadaan optimal- itas dari masalah (10).

4. KESIMPULAN

Pada artikel ini penulis membahas masalah pemrograman linear yang dapat diselesaikan dengan metode modiﬁkasi proyeksi gradien. Metode ini mempunyai algoritma berulang, yang menelusuri titik-titik di dalam daerah ﬁsibel. Dengan syarat keoptimalan, nilai fungsi masalah dual sama dengan nilai fungsi masalah primal atau F (u) = F (x) pada pemrograman linear.

Selanjutnya, dalam artikel ini analisis sensitivitas diperhitungkan pada perubahan koeﬁsien fungsi tujuan. Oleh karena itu, analisis sensitivitas di sini bertujuan

(12)

untuk menentukan rentang parameter keoptimalan pada solusi optimal. Apabila dilakukan perubahan pada koeﬁsien fungsi tujuan maka tidak akan mempengaruhi keoptimalan, karena rentang parameter akan digunakan sebagai kriteria keoptimalan.

Dengan demikian masalah pemrograman linear yang terganggu bisa dikondisikan tetap optimal.

Pada penelitian ini, metode modiﬁkasi proyeksi gradien memberikan penyelesaian yang efektif untuk masalah pemrograman linear multivariabel dengan kendala.

Dengan demikian metode ini dapat menjadi langkah alternatif dalam penyelesaian pemrograman linear.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Drs. Endang Lily, M.Si. dan anonymous reviewer yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] H. Arsham, Construction of the largest sensitivity region for general linear pro- grams, Applied Mathematics and Computation, 189 (2007), 1435-1447.

[2] M. S. Bazaraa, H. D Sherati dan C. M. Shetty, Nonlinear Programming: Teory and Algorithms, Second Edition, Jhon Wiley and Sons, New York, 1993.

[3] M. D. H. Gamal, Program Linear dan integer, Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Riau, Pekanbaru, 2007.

[4] F. S. Hillier dan G. J. Lieberman, Introduction to Operations Research, Seventh Edition, McGraw-Hill, Boston, 2001.

[5] A. J. Laub, Matric Analysis for Scientists and Engineers, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2005.

[6] J. B. Rosen, The gradient projection method for nonlinear programming. Part I. Linear constraint, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathe- matics, 8 (1960), 181-217.

[7] J. B. Rosen, The gradient projection method for nonlinear programming. Part II. Nonlinear constraint, Journal of the Society for Industrial and Applied Math- ematics, 9 (1961), 514-532.

[8] H. A. Taha, Operations Research: An Introduction, Eighth Edition, Pearson Education, Upper Saddle River, 2007.

[9] S. Tantawy, A new procedure for solving linear programming problem with sen- sitivity analysis, Trends in Applied Sciences Research, 14 (2019), 7-11.

[10] W. L. Winston, Operations Research: Applications and Alghorithms, Fourth Edition, Thomson Learning, Belmont, 2004.