KAJIAN MATERI ALJABAR DAN KOMUNIKASI
MATEMATIS
Agus Prianto
SMP Negeri 1 Jepara, Jl. Sersan Sumirat No.3 Jepara; agus.mumtaz@yahoo.co.id
Abstrak. Tulisan ini menyajikan kajian tentang materi aljabar kelas VIII tingkat
SMP/MTs dengan standar komunikasi matematis sesuai standar NCTM (National
Council of Teachers of Mathenatics). Kajian ini lebih menekankan tentang proses
pengenalan konsep aljabar yang memungkinkan siswa mampu memunculkan dan meningkatkan komunikasi matematis secara tertulis maupun secara lisan. Langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk memunculkan dan meningkatkan komunikasi matematis siswa dalam pembelajaran materi aljabar yaitu dengan menyajikan masalah secara nyata (contextual problems) yang dapat dikembangkan dalam bentuk Lembar Kerja dan menyusun tahapan-tahapan proses pembelajaran yang melibatkan aktivitas siswa.
Kata Kunci: Materi Aljabar, Komunikasi Matematis dan Lembar Kerja
1. Pendahuluan
Berdasarkan perkembangan paradigma pembelajaran saat ini, bahwa proses pembelajaran matematika merupakan proses dan aktivitas siswa untuk membangun konsep dan pengetahuan baru dengan pengalaman yang telah dimilikinya, sedangkan tugas guru sebagai fasilitator membantu siswa agar pembelajaran berjalan dengan baik. Hal ini sesuai dengan NCTM (National Council of Teachers of
Mathenatics)(2000:19-20) yang menyatakan bahwa “The students must learn mathematics with understanding, actively building new knowledge from experience and prior knowledge. Effective mathematics teaching requires understanding what students know and need to learn and then challenging and supporting them to learn it well“. Salah satu kemampuan yang sangat penting dalam matematika dan pembelajaran matematika adalah komunikasi. Hal ini sesuai dengan rekomendasi NCTM (2000: 60) yang menyatakan bahwa “The communication is an essential part of mathematics and mathematics education. It is a way of sharing ideas and clarifying understanding. Through communication, ideas become objects of reflection, refinement,discussion and amendment”.
Pengembangan kemampuan matematis siswa sejalan dengan pembelajaran matematika pada Kurikulum 2013 yang menuntut siswa untuk lebih aktif ketika proses pembelajaran berlangsung. Melalui pendekatan pembelajaran saintifik dan model pembelajaran (misalnya: Discovery Learning) serta metode (misalnya: tanya jawab, diskusi kelompok, dan penugasan), pembelajaran matematika menekankan pada aktivitas mental siswa untuk mampu berkomunikasi secara tertulis dan lisan dalam memahami materi matematika yang penuh dengan berbagai ide dasar, simbol, konsep, materi abstrak, serta persoalan dan cara penyelesaiannya secara matematis.
Materi aljabar sarat dengan berbagai unsur dan simbol matematis yang mempunyai nama, makna, dan definisi yang berbeda-beda. Menurut Cooney, et al dalam Fajar Hidayati (2010:16-19), kesulitan siswa dalam belajar matematika adalah pada pengetahuan konsep dan pengetahuan prinsip. Konsep dan prinsip merupakan
pengetahuan dasar matematika yang harus dikuasai siswa agar siswa mampu menyelesaikan persoalan dan permasalahan matematika dengan baik dan benar. Dengan demikian untuk mengetahui kesulitan siswa dalam belajar aljabar dapat ditinjau dari pengetahuannya tentang konsep-konsep dan prinsip-prinsip dalam aljabar.
2. Materi Aljabar
Tujuan pembelajaran materi aljabar berdasarkan Kurikulum 2013 pelajaran matematika tingkat SMP/MTs kelas VIII di antaranya: (1) aspek sikap; melalui pengamatan, tanya jawab, diskusi kelompok, siswa mampu menunjukkan rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan dalam memahami materi aljabar; (2) aspek pengetahuan; melalui tes lisan dan tulis uraian singkat siswa dapat menyelesaikan materi aljabar; (3) aspek ketrampilan; melalui penugasan mandiri dan kelompok, siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi aljabar. Adapun pengalaman belajar siswa yang diharapkan setelah mempelajari aljabar (Buku Guru Matematika VIII, 2014:29): (1) Siswa mampu menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional pada masalah yang berbentuk simbolik; (2) Siswa mampu menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional pada masalah verbal. Sedangkan cakupan materi aljabar (Buku Guru Matematika VIII,2014:40) yaitu: (1) Bentuk dan Unsur Aljabar, meliputi: bentuk dan definisi suku aljabar, unsur-unsur aljabar (variabel, koefisien, konstanta, pangkat) dan suku sejenis; (2) Operasi Aljabar, meliputi: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan; (3) Penyederhaan Bentuk aljabar, dan (4) Pemecahan masalah
Aljabar merupakan salah satu cabang penting dari matematika yang sering dianggap
sulit dan abstrak (Laila Hayati, 2013: 398). Untuk berpikir aljabar, seorang siswa harus mampu memahami pola, hubungan dan fungsi, mewakili dan menganalisis situasi matematika dan struktur menggunakan simbol-simbol aljabar, menggunakan model matematika untuk mewakili dan memahami hubungan kuantitatif, dan menganalisis perubahan dalam berbagai konteks. Salah satu hambatan dalam aljabar adalah menyatakan ekspresi menggunakan simbol-simbol. Standar aljabar menekankan hubungan antara kuantitas, termasuk fungsi, cara untuk mewakili hubungan matematika dan analisis perubahan. Hubungan fungsional dapat dinyatakan dengan menggunakan notasi simbolis. Berpikir aljabar merupakan elemen penting dan mendasar dari kemampuan berpikir matematika dan penalaran. Salah satu cara untuk mengembangkan kemampuan berpikir siswa adalah dengan mengembangkan kemampuan berpikir aljabar siswa, dengan membiasakan siswa menyelesaikan soal-soal pemecahan masalah. Aspek penting berpikir aljabar adalah kemampuan untuk mempertimbangkan keterkaitan dan generalisasi dari situasi masalah di mana jika generalisasi bisa dipahami maka kemampuan siswa dapat berkembang. Berpikir aljabar didasarkan pada ide-ide dan konsep matematika dasar dan pada gilirannya ide-ide tersebut digunakan untuk memecahkan masalah yang semakin canggih.
Unsur-unsur dalam bentuk aljabar adalah suku (term). Suku dapat berupa sebuah
konstanta, sebuah variabel atau hasil kali/pangkat, penarikan akar konstanta maupun variabel, tetapi bukan penjumlahannya. Jadi, masing-masing suku merupakan bentuk aljabar yang lebih sederhana dari bentuk aljabar yang lebih kompleks. Misalkan
bentuk aljabar 2p merupakan satu suku aljabar yang terdiri atas unsur variabel p, koefisien 2 dan pangkat 1. Untuk bentuk aljabar 4x2 + 3, merupakan dua suku aljabar yang terdiri atas unsur variabel x, koefisien 4, pangkat 2 dan konstanta 3.
Menurut Al Krismanto (2009: 15-20) konstanta adalah lambang yang mewakili (menunjuk pada) anggota tertentu pada suatu semesta pembicaran. Variabel (peubah) adalah lambang yang mewakili (menunjuk pada) anggota sebarang pada suatu semesta pembicaraan. Pangkat/derajat adalah angka/pangkat pada sebuah variabel. Bagian konstanta dari suku-suku yang memuat (menyatakan banyaknya) variabel disebut koefisien variabel yang bersangkutan. “Banyaknya variabel” di sini bukan bermakna banyaknya objek (yang bermakna penjumlahan), melainkan bermakna “banyaknya bilangan” dari variabel tersebut yang juga lambang bilangan, sehingga koefisien dan variabel yang bersangkutan berada dalam konteks operasi perkalian. Koefisien dapat berupa sebuah atau lebih lambang, yang masing-masing menyatakan konstanta. Jika tidak satupun angka atau konstanta yang muncul dan terkait langsung dengan variabel pada suatu suku, maka koefisiennya adalah 1 atau –1.
Bentuk suku-suku aljabar 5xy, –7xy, dan 15xy adalah contoh dari suku sejenis. Ketiga suku tersebut mempunyai variabel yang sama yaitu xy dan pangkat/derajat dari setiap variabel yaitu 1. Suku sejenis bentuk aljabar yaitu suku aljabar yang lambang variabelnya sama baik bentuk maupun pangkatnya. Adapun bentuk suku aljabar xy dan x2y bukanlah suku sejenis, karena pangkatnya tidak sama, meskipun variabelnya sama xy. Demikian juga suku aljabar pq2 dan xy2, karena variabelnya dan pangkatnya berbeda, sehingga pq2 dengan xy2 bukanlah suku sejenis.
Beberapa contoh sederhana persoalan verbal “ukuran panjang bertambah 5 cm”. Alternatif jawaban dengan bentuk aljabar: tulis x sebagai ukuran panjang semula, jadi ukuran panjang sekarang adalah (x+5) cm. Misalkan permasalahan : “Misal l adalah lebar sebuah persegi panjang yang ukuran panjangnya 8 cm lebih dari dua kali lebarnya”, maka beberapa alternatif model matematika, (1) Tulis l: ukuran lebar persegipanjang dan 2l= dua kali lebar persegi panjang, jadi ukuran panjang persegi panjang, p=(2l+8)cm; (2) Lebar persegi panjang semula l cm. Panjangnya 8cm lebih dari dua kali lebarnya, sehingga ukuran panjang persegi panjang adalah p= 2l+8. Al Krismanto (2009: 30-31) menjelaskan beberapa langkah penyelesaian soal cerita: (1) Langkah awal adalah menentukan/memilih sebuah variabel. Pembelajaran yang memuat kompetensi siswa tentang dasar operasi aljabar, perlu dilakukan adanya kegiatan pendahuluan mengingatkan operasi yang berlaku dalam aritmetika. Guru perlu mencari alternatif untuk mengembangkan keingintahuan itu, misalnya dengan model permainan yang banyak memuat pemecahan masalah dan komunikasi; (2) Alternatif menyusun bentuk aljabar dari masalah verbal, masalah verbal yang banyak dikeluhkan menjadi kesulitan siswa yaitu masalah yang sering muncul pada soal-soal terapan di bagian akhir soal-soal suatu pokok bahasan. Namun jika diperhatikan lebih cermat, kesulitan tersebut disebabkan kurangnya latihan menyelesaikan soal yang memuat kalimat verbal yang cukup sederhana. Karena itu, siswa perlu diberikan pengalaman belajar mengubah kalimat sederhana menjadi model matematika, baik bentuk aljabar maupun kalimat terbuka.
Pengertian yang lebih luas tentang komunikasi matematis sebagaimana yang dikemukakan Romberg dan Chair (Abdul Qohar, 46-47) yaitu: (1) menghubungkan benda nyata, gambar, dan diagram ke dalam ide matematika; (2) menjelaskan ide, situasi dan relasi matematis secara lisan atau tulisan dengan benda nyata, gambar, grafik, dan aljabar; (3) menyatakan peristiwa sehari-hari dalam bahasa dan simbol matematika; (4) mendengarkan, berdiskusi dan menulis tentang matematika; (5) membaca dengan pemahaman suatu presentasi matematika tertulis, membuat dugaan, menyusun argumen, merumuskan definisi dan generalisasi; (6) menjelaskan dan membuat pertanyaan tentang matematika yang telah dipelajari.
Adapun standar komunikasi pembelajaran matematika yang diharapkan mulai kelas TK sampai kelas 12 berdasarkan NCTM (2000: 60, 268 dan 348) yaitu: (K1) organize and consolidate their mathematical thinking though communication; (K2) communicate their mathematical thinking coherently and clearly to peers, teachers, and others; (K3) analyze and evaluate the mathematical thinking and strategies of others; (K4) use the language of mathematicsto express mathematical ideas precisely.
Ali Mahmudi (2009:3) menjelaskan bahwa komunikasi matematika mencakup komunikasi secara tertulis maupun lisan. Komunikasi secara tertulis dapat berupa kata-kata, gambar, tabel dan sebagainya yang menggambarkan proses berpikir siswa. Komunikasi tertulis dapat berupa uraian pemecahan masalah atau pembuktian matematika yang menggambarkan kemampuan siswa dalam mengorganisasi berbagai konsep untuk menyelesaikan masalah. Sedangkan komunikasi lisan dapat berupa pengungkapan dan penjelasan verbal suatu gagasan matematika. Komunikasi lisan dapat terjadi melalui interaksi antarsiswa misalnya dalam pembelajaran dengan seting diskusi kelompok. Komunikasi matematika melibatkan tiga aspek, yaitu: (1) menggunakan bahasa matematika secara akurat dan menggunakannya untuk mengkomunikasikan berbagai aspek penyelesaian masalah; (2) menggunakan representasi matematika secara tepat dan akurat untuk mengkomunikasikan penyelesaian masalah; (3) mempresentasikan penyelesaian masalah yang terorganisasi dan terstruktur dengan baik.
4. Pembahasan Materi Aljabar Dan Komunikasi Matematis
Upaya pengembangan kemampuan matematis siswa sesuai dengan standar komunikasi pada pembelajaran materi aljabar bukanlah perkara mudah. Menurut Jaworski (Marsigit, ... :3) mengajarkan matematika saja juga tidaklah mudah karena fakta menunjukkan bahwa para siswa mengalami kesulitan dalam mempelajari matematika. Karakteristik matematika dengan konsep dan ide abstrak dan aktivitas guru dalam proses pembelajaran serta sikap siswa itu sendiri sangat mempengaruhi proses dan hasil belajar matematika. Peran guru sangat penting dalam mendukung komunikasi matematis siswa dalam pembelajaran matematika, khususnya dalam diskusi. Pertama adalah mengenai cara membangun norma diskusi yang mendukung pembelajaran untuk semua siswa. Kedua adalah tentang memilih dan menggunakan bahasa matematika dalam komunikasi untuk penyelesaian tugas. Dan ketiga mengenai cara membimbing diskusi kelas berdasarkan apa yang dipelajari dan dihasilkan (NCTM, 2000: 268).
Langkah-langkah pembelajaran yang dapat dilakukan dan diharapkan mampu memunculkan standar komunikasi matematis dalam pembelajaran materi aljabar: (1) Guru menjelaskan tujuan, metode dan teknik pembelajaran yang akan berlangsung; (2) Guru menyiapkan Lembar Kerja (LK) sesuai dengan materi; (3) Guru membentuk dan membagi siswa menjadi beberapa kelompok kecil heterogen antara (3-4 siswa) untuk berdiskusi menyelesaian LK tersebut dengan alokasi yang cukup; (4) Guru memantau kerja dan diskusi kelompok tanpa harus mengintervensi hasil jawaban; (5) Guru membimbing siswa yang mengalami kesulitan dengan memberi pertanyaan-pertanyaan pancingan dan dapat melempar pertanyaan tersebut antarsiswa dalam kelompok tersebut atau ke kelompok lainnya untuk memperoleh informasi dan ide; (Langkah ini untuk memunculkan K1: Mengorganisasi & mengkonsolidasi pemikiran matematika melalui komunikasi dan K4: Menggunakan bahasa matematika untuk menyatakan ide dasar matematika); (6) Guru menunjuk perwakilan kelompok untuk menyajikan hasil diskusinya secara tertulis maupun menjelaskannya secara lisan kepada semua siswa; (7) Guru meminta kelompok lain menanggapi dan menganalisis hasil diskusi kelompok tersebut secara tertulis dan menjelaskannya secara lisan; (8) Guru memberi kesempatan kelompok untuk menyajikan penyelasaian yang berbeda (jika ada) dan meminta menjelaskan kepada yang lainnya; (9) Guru memberi penjelasan hasil diskusi LK dan memberi kesempatan kepada setiap siswa pada masing-masing kelompok untuk menanyakan hal yang kurang paham; (10) Bersama-sama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran. (Langkah ini untuk memunculkan K2: Mengkomunikasikan pemikiran matematika secara koheren dan jelas pada teman dan guru dan K3: Menganalisis dan mengevaluasi pemikiran matematika dan strategi yang lain); (11) Guru memberikan tugas untuk pendalaman materi yang telah dipelajari.
Langkah awal dalam pembelajaran untuk mengenalkan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menghubungan materi dengan berbagai permasalahan nyata (contextual problems) yang sederhana dan sering dijumpai oleh siswa. Guru dapat memulai dengan menggunakan media/benda konkrit dan mengembangkan dengan soal-soal dan pertanyaan terbuka (open-ended question) dalam bentuk Lembar Kerja.
“Danu membeli tiga permen Kopiko dengan empat apel. Setelah sampai di rumah satu permen dan dua apel diberikan pada adiknya. Berapa sisa permen dan apel yang dimiliki Danu?”
... ...
Contoh soal cerita pertama tersebut mengambil konsep operasi pengurangan dengan
menggunakan model permen Kopiko dan buah apel, yang sebenarnya dapat diganti dengan suatu bentuk variabel. Contoh soal kedua tersebut digunakan konsep operasi perkalian dengan menggunakan model Vitamin C dan minum obat pada botol obat dalam sehari digunakan untuk model situasi tersebut.
Dengan dua contoh soal cerita tersebut siswa diharapkan: (1) Mampu mengomunikasiakan ide-ide dasar matematika yang ada dipikirannya secara tertulis, meskipun dengan cara dan aturan yang belum (tentu) sesuai dengan konsep aljabar dan matematis, misalnya siswa menuliskan jawabannya yaitu dua permen Kopiko dan dua buah apel (2) Mampu menjelaskan secara lisan dengan bahasa sendiri kepada teman-temannya. Hal ini akan semakin menguatkan pemahaman siswa itu sendiri dan mampu mengembangkan kemampuan komunikasi matematisnya. Siswa mungkin belum mampu menulis secara matematis, tetapi bisa jadi siswa mampu menjelaskan dengan penalarannya sendiri dalam menjawab soal tersebut. Ketika ide dijelaskan di depan kelas, siswa dapat keuntungan dari diskusi dan guru dapat memantau pembelajaran siswa (Lampert, 1990) (NCTM. 2000: 61); (3) Adanya solusi dan pandangan yang berbeda antarsiswa dalam penyelesaian permasalahan tersebut, hal ini untuk membedakan tentang konsep aljabar tersebut. Jawaban yang berbeda mungkin terjadi pada soal cerita kedua, (4) Munculnya proses matematisasi horisontal (horizontal mathematication), yang lebih menekankan berdasarkan pengalaman siswa dan proses berpikir siswa dalam menemukan penyelesaiannya (Sri Wardhani, 2004: 7)
No Gambar Bentuk Aljabar Keterangan
1. 2 2 apel
2. x 1 kardus
3. ... ...
“Kita semua tentunya pernah sakit? Bila kita memeriksakan diri atau berobat ke dokter biasanya dokter akan memberikan resep. Obat yang dibeli dengan resep dokter pada botol Vitamin C tertulis sehari 3 × 1 dan Pada botol obat tersebut tertulis sehari 3 × 2 sendok teh”. Apa arti “3 ×1” atau “3 × 2” itu?
... ...
4. ... 1 kardus 1 kaleng
5. ... ...
Pada tabel tersebut siswa mulai diperkenalkan konsep aljabar secara nyata tentang bentuk aljabar dan unsur-unsur aljabar seperti variabel, koefisien, pangkat dan konstanta dalam bentuk pemodelan sesuai konteksnya yang disebut proses matematisasi vertikal (Vertical Mathematication) yang lebih menekankan tentang cara penyelesaian masalah sesuai dengan kaidah matematika. (Sri Wardhani, 2004: 7).
Hal yang diharapkan pada tabel dengan model tersebut, yaitu: (1) siswa dapat
menyatakan dan mengilustrasikan ide matematika ke dalam bentuk model matematika, dalam hal ini siswa mampu mengilustrasikan dan mengenali bentuk dan suku aljabar; (2) siswa mampu mengilustrasikan ide matematika ke dalam bentuk model matematika, dalam hal ini siswa mengenali, mendefinisikan berbagai unsur aljabar dan mampu membedakan unsur-unsur tersebut. Langkah guru selanjutnya dapat memperdalam pemahaman siswa secara formal tentang unsur-unsur aljabar (koefisien, variabel, pangkat, dan konstanta) dan berbagai operasi bentuk aljabar (penjumlahan, pengurangan, pembagian, perpangkatan) dengan penjelasan bentuk baku dalam bentuk mengembangkan lembar kerja yang lebih komplek dan variatif dengan penekanan kemampuan matematis melalui diskusi dengan tujuan siswa mampu menuliskan idenya, menjelaskan dan memberi argumen secara matematis kepada siswa lain serta mau mendengarkan ide atau pendapat siswa lain.
Daftar Pustaka
Qohar, A., Jurnal: Pengembangan Instrumen Komunikasi Matematis untuk Siswa SMP. LSM XIX; Lomba dan Seminar Matematika Universitas Negeri Yogyakarta. ISBN: 978-979-17763-3-2 Al Krismanto. 2009. Modul Matematika SMP Program BERMUTU: Kapita Selekta Pembelajaran
Aljabar di Kelas VII SMP. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional Direktorat Jenderal
Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika.
Mahmudi, A., 2009. Jurnal: Komunikasi dalam Pembelajaran Matematika. Jurnal MIP MIPA UNHULU. Volume 8, Nomor 1, Februari 2009, ISSN 1412-2318.
Hidayati, F., 2010. Skripsi: Kajian Kesulitan Belajar Siswa Kelas VII SMP Negeri 1 Yogyakarta
dalam Mempelajari Aljabar. Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.
Kemdikbud. 2014. Buku Guru: Matematika Kelas VIII, Kurikulum Tahun 2013. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.
Kemdikbud. 2014. Buku Siswa: Matematika Kelas VIII, Kurikulum Tahun 2013. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.
Hayati, L., 2013. Makalah: Pembelajaran Pendidikan Matematika Realistik Untuk Mengembangkan
Kemampuan Berpikir Aljabar Siswa. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
Marsigit. Makalah : Asumsi Dasar Karakteristik Matematika, Subyek Didik dan Belajar Matematika
Sebagai Dasar Pengembangan Kurikulum Matematika Berbasis Kompetensi di SMP. FMIPA
Universitas Negeri Yogyakarta
NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. NCTM.
Wardhani, S., 2004: Permasalahan Kontekstual Mengenalkan Bentuk Aljabar di SMP. Yogyakarta: Departemen Pendidikan, Direktorat jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah. Kependidikan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (P4TK) Matematika Yogyakarta.
_____________, 2008. Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk
Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matematika. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional
Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (P4TK) Matematika.
