Makalah 2 (metode sMetode Penyelesaian Akar-akar Persamaan Kuadratelain Iterasi).docx

(1)

METODE PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN

A. Metode Setengah interval (BISECTION)

Langkah – langkah penyelesaian akar – akar persamaan mengguanakan metode setengah interval adalah :

1. Tentukan nilai xn dan x(n+1) sehingga nilai f(xn) dan f(x(n+1)) berlawanan tanda

2. Tentukan nilai xt yang merupakan rata-rata dari xn dan x(n+1) yaitu

3. Buat evaluasi berikut untuk menentukan didalam sub interval mana akar persamaan berada:

a. Jika f(xn) X f(xt) < 0, akar persamaan berada pada sub interval pertama,

kemudian nilai x(n+1) pada hitungan selanjutnya = xt

b. Jika f(xn) X f(xt) > 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua,

kemudian nilai xn pada hitungan selanjutnya = xt

c. Jika f(xn) X f(xt) = 0, akar persamaan adalah xt dan penghitungan selesai.

4. Buat nilai xt baru dari akar dengan cara :

5. Apabila nilai xt yang baru sudah sangat kecil setidaknya sudah mendekati

0,00001, penghitungan selesai dan nilai akar persamaannya yang dicari adalah xt Contoh Soal

Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut: F(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

Penyelesaian

1. Kita pilih nilai xn = x1 = 1 dan xn+1 = x2 = 2

F(xn) = f(x1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = -4

F(xn+1) = f(x2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3

Mengingat fungsi adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. Titik perpotongan antara sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persaman.

(2)

n xn x(n+1) xt ke-n f(xn) f(x(n+1)) f(xt) Evaluasi pada baris ke-n 1 1,00000 2,00000 1,50000 -4,00000 3,00000 -1,87500 karena f(xn) X f(xt) > 0, maka x(n) = xt 2 1,50000 2,00000 1,75000 -1,87500 3,00000 0,17188 karena f(xn) X f(xt) < 0, maka x(n+1) = xt 3 1,50000 1,75000 1,62500 -1,87500 0,17188 -0,94336 karena f(xn) X f(xt) > 0, maka x(n) = xt 4 1,62500 1,75000 1,68750 -0,94336 0,17188 -0,40942 karena f(xn) X f(xt) > 0, maka x(n) = xt 5 1,68750 1,75000 1,71875 -0,40942 0,17188 -0,12479 karena f(xn) X f(xt) > 0, maka x(n) = xt 6 1,71875 1,75000 1,73438 -0,12479 0,17188 0,02203 - - - - - - - - - 12 1,73193 1,73242 1,73218 -0,00114 0,00349 0,00118 karena f(xn) X f(xt) < 0, maka x(n+1) = xt 13 1,73193 1,73218 1,73206 -0,00114 0,00122 0,00004

Xt pada baris ini merupakan nilai akar persamaan yg dicari

karena nilai f(xt) mendekati 0,00001

14 1,73193 1,73206 1,73200 -0,00114 0,00009 -0,00053

Penghitungan ini merupakan tanda pemberhentian perhitungan karena nilai

f(xt)nya <0

3. Nilai akar persamaan yg dicari didapat pada perhitungan iterasi ke-13 dimana nilai f(xt)nya mendekati 0,00001. Sehinggai nilai persamaannya = 1,73206

B. Metode Interpolasi linier (REGULASI FALSE)

Metode ini merupakan lanjutan dari metode setengah interval yang dirasa kurang efektif karena membutuhkan hitungan iterasi yang panjang. Metode interpolasi membutuhkan perhitungan iterasi yang lebih singkat dari metode setengah interval.

Metode ini biasa juga disebut metode false position. Langkah – langkah pengerjaanya:

1. Tentukan nilai xn dan x(n+1) sehingga nilai f(xn) dan f(xn+1) berlawanan tanda

2. Kita tentukan nilai xo dan f(xo)

Nilai xo diperoleh dari perhitungah dibawah ini:

Dari kedua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1), ditarik garis lurus sehingga terbentuk

(3)

Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun, didapat persamaan berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3. a. jika f(xo) dan f(xn) memiliki tanda yang sama, maka xn+1 = xo

b. jika f(xo) dan f(xn) memiliki tanda yang berbeda, maka xn = xo

4. Prosedur diatas diulang terus sampai didapat nilai f(xo) mendekati nol. Berikut

(4)

CONTOH SOAL

PENYELESAIAN Langkah 1

Tentukan nilai xn dan x(n+1) sehingga nilai f(xn) dan f(xn+1) berlawanan tanda.

Kita pilih nilai xn = x1 = 1 dan xn+1 = x2 = 2

F(xn) = f(x1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = -4

F(xn+1) = f(x2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3 Langkah 2

Kita tentukan nilai xo dan f(xo)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( )} ) = 1,57142 f(xo) = (1,57142)3 + (1,57142)2 – 3(1,57142) – 3 = -1,57142 Langkah 3

Karena f(xo) dan f(xn) memiliki tanda yang sama, maka xn+1 pada perhitungan iterasi

berikutnya = xo iterasi 1 Langkah 4

Lakukan Hitungan Iterasi hingga nilai f(xo) mendekati nol. Berikut Tabel Perhitungan

(5)

n xn xn+1 xo f(xn) f(x(n+1)) f(xo) keterangan

1 1,00000 2,00000 1,57143 -4,00000 3,00000 -1,36443 karena f(xo) belum mendekati atau samadengan 0, maka perhitungan berlanjut

2 1,57143 2,00000 1,70541 -1,36443 3,00000 -0,24775

Karena f(xo) dan f(xn) memiliki tanda yang

sama, maka xn+1 pada perhitungan iterasi

berikutnya = xo iterasi 1

3 1,70541 2,00000 1,72788 -0,24775 3,00000 -0,03934

4 1,72788 2,00000 1,73140 -0,03934 3,00000 -0,00611

5 1,73140 2,00000 1,73195 -0,00611 3,00000 -0,00095

6 1,73195 2,00000 1,73204 -0,00095 3,00000 -0,00015

7 1,73204 2,00000 1,73205 -0,00015 3,00000 -0,00002

8 1,73205 2,00000 1,73205 -0,00002 3,00000 0,00000 Karena f(xo) = 0 maka nilai akar persamaannya = xo

Karena nilai |f(xo)|≤ galat (0,00001), maka perhitungan iterasi dihentikan. Dan nilai akar

(6)

C. Metode Newton-Raphson

Bagan alir

Contoh Soal

Penyelesaian Langkah 1

Tentukan nilai xn sembarang. Missal x1=1 Langkah 2a

Kita mencari nilai xn+1 dengan menggunakan rumus : xn+1 = xn – f(xn)/f’(xn)

F(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0  f(x1) = -4 F’(x) = 3x2 + 2x – 3  f’(x1) = 2 Sehingga xn+1 = xn – f(xn)/f’(xn)  x2 = x1 – f(x1)/f’(x1) = 1 – (-4)/2 = 3 Langkah 2b Tentukan nilai f(xn+1) f(xn+1) = f(x2) = x23 + x22 – 3x2 – 3 = 33 + 32 – 3.3 – 3 = 24 langkah 3

karena nilai f(xn+1) / f(x2) belum mendekati atau samadengan 0, maka lakukan iterasi

hingga nilai f(xn+1) atau f(x2) mendekati atau samadengan 0. Berikut table

(7)

n xn xn+1 f(xn) f(xn+1) Keterangan

1 1,00000 3,00000 -4,00000 24,00000

karena nilai f(xn+1) belum mendekati 0,

maka nilai xn pada iterasi berikutnya = nilai xn+1 pada iterasi sebelumnya 2 3,00000 2,20000 24,00000 5,88800

maka nilai xn pada iterasi berikutnya = nilai xn+1 pada iterasi sebelumnya 6 1,73207 1,73205 0,00018 -0,00001

karena nilai f(xn+1) sudah mendekati nol.

Maka nilai akar persamaannya = xn+1 =

1,73205 Karena nilai |f(xn+1)|≤ 0,00001, maka hitungan iterasi berhenti. Dan nilai akar

(8)

D. Metode Secant

Kekurangan metode newton-raphson adalah diperlukannya turunan pertama dari f(x) dalam hitungan. Terkadang sulit untuk mencari turunan dari persamaan yang akan diselesaikan. Untuk itu maka bentuk diferensialny didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

Seperti dalam gambar dibawah ini.

Garis singgung di titik xi didekati oleh bentuk berikut:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) didapat ( )( ) ( ) ( )

dalam metode ini memerlukan dua nilai awal dari x, yang digunakan untuk memperkirakan kemiringan dari fungsi.

CONTOH SOAL

PENYELESAIAN Langkah 1

Pada itersai pertama, diambil dua nilai awal yaitu x=1 dan x=2 Untuk xi-1 = x0 = 1, sehingga f(xi-1) = -4

Untuk xi = x1 = 2, sehingga f(x1) = 3

Dengan menggunakan persamaan ( )( )

(9)

Langkah 2

Pada iterasi kedua, xi-1 = x1 = 2

xi = x2 = 1,57142

xi+1 = x3 = (menggunakan persamaan seperti diatas) = 1,70541 Langkah 3

Lakukan penghitungan iterasi hingga nilai f(xi+1) mendekati samadengan 0. Jika sudah,

maka nilai akar persamaan yang dicari = xi+1 pada iterasi terakhir.

Berikut table perhitungannya:

i xi-1 xi xi+1 f(xi-1) f(xi) f(xi+1)

1 1,00000 2,00000 1,57143 -4,00000 3,00000 -1,36443 2 2,00000 1,57143 1,70541 3,00000 -1,36443 -0,24775 3 1,57143 1,70541 1,73514 -1,36443 -0,24775 0,02926 4 1,70541 1,73514 1,73200 -0,24775 0,02926 -0,00052 5 1,73514 1,73200 1,73205 0,02926 -0,00052 0,00000

Karena nilai f(xi+1) ≤ 0,00001, maka perhitungan diberhentikan. Sehingga nilai

persamaannya  x = xi+1 = 1,73205 E. Metode Iterasi Titik Tetap

Iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses atau metode yang digunakan secara berulang-ulang (pengulangan) dalam menyelesaikan suatu permasalahan matematik

Dalam metode iterasi, digunakan suatu persamaan untuk memperkirakan akar persamaan. Parameter itu dikembangkan dari fungsi f(x) = 0, sehingga parameter x berada di sisi kiri persamaan { x = g(x) }. Misal

( ) karena f(x) = 0 maka,

persamaan ini dapat diubah menjadi

atau ( )

Persamaan x = g(x) menunjukkan bahwa nilai x merupakan fungsi dari x, sehingga dengan memberikan nilai perkiraan awal dari akar xi dapat dihitung nilai perkiraan baru

xi+1, dengan rumus interatif berikut :

(10)

Besar kesalahan dihitung dengan rumus :

|

Contoh:

Hitung akar dari persamaan dengan metode iterasi!

Cara pertama

Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk

( )

Gunakan rumus inetratif. Sehingga menjadi

( )

Apabila ditentukan perkiraan awal x1 = 2 maka

Selanjutanya nilai x2 = 1,70998. Lakukan penghitungan berulang. Sehingga diperoleh hasil seperti tabel dibawah.

n xn Xn+1 ( )

1 2,00000 1,70998 16,96071 2 1,70998 1,73313 1,33622 3 1,73313 1,73199 0,06579 4 1,73199 1,73205 0,00340

Dari tabel perhitungan di atas terlihat bahwa hasil hitungan pada iterasi yang lebih tinggi semakin dekat dengan akar persamaan yang benar atau dengan kata lain kesalahan semakin kecil. Penyelesaian ini disebut KONVERGEN

Cara kedua

Persamaan juga dapat ditulis dalam bentuk

(11)

Apabila ditentukan perkiraan awal x1 = 2 maka Besar kesalahan: | | | | | |

Selanjutanya nilai x2 = 3. Lakukan penghitungan berulang. Sehingga diperoleh hasil

seperti tabel dibawah.

n xn ( )

1 2,00000

2 3,00000 33,3333 3 11,00000 72,7273 4 483,00000 97,7226

Dari tabel langkah kedua ini dapat disimpulkan bahwa hasil hitungan pada iterasi yang lebih tinggi semakin menjauhi nilai persamaan yang benar. Keadaan ini disebut

DIVERGEN.