TINJAUAN PUSTAKA. t D t . ( 3 )

TINJAUAN PUSTAKA

Persamaan-Persamaan Maxwell

Radiasi gelombang EM dideskripsikan

oleh vektor medan listrik dan medan magnetik. Propagasi dari kedua vektor medan tersebut ditentukan oleh persamaan Maxwell. Sejajar dengan Hukum Newton sebagai landasan hukum mekanika klasik, maka persamaan Maxwell merupakan perumusan hukum-hukum alam yang melandasi semua fenomena elektromagnetik. Dalam papernya “A Dynamic Theory Of Electromagnetic Field” Maxwell mengungkapkan 4 persamaaan yang mendasari semua gejala makroskopik listrik dan magnet (Tjia.M.O, 1994), yakni:

0,

t

∂

∇× +

=

∂

B

E

( 1 )

J

D

H

=

∂

∂

−

×

∇

t

( 2 )

ρ

=

∇

.

D

( 3 )

0

.

=

∇

B

( 4 )

Dimana E dan H adalah vektor medan

makroskopik listrik dan mgnet, D dan B

adalah medan perpindahan listrik dan induksi magnet yang muncul sebagai respon bahan terhadap medan,

ρ

dan J adalah

rapat muatan listrik bebas dan rapat arus listrik bebas.

Gambar 1. Gelombang Elektromagnetik (EM) (Encarta

Encyclopdia, 2002)

Keempat persamaan ini merupakan hukum dasar dari kelistrikan dan kemagnetan dalam bentuk diferensialnya. Persamaan (2.1) merupakan bentuk

diferensial dari hukum Faraday tentang induksi, yang menggambarkan pembentukan medan listrik induksi akibat perubahan fluks magnet terhadap waktu. Persamaan (2.2) merupakan bentuk diferensial dari hukum Ampere yang diperumum dan menggambarkan timbulnya medan magnet induksi akibat adanya muatan listrik yang mengalir pada suatu penghantar. Persamaan (2.3) merupakan bentuk diferensial dari hukum Coulomb, yang menyatakan hubungan antara distribusi medan listrik yang ditimbulkan oleh suatu distribusi muatan. Persamaan (2.4) timbul sebagai akibat dari belum ditemukannya monopol magnet di alam semesta ini.

Persamaan Maxwell ini tidak dapat dicari solusi khususnya apabila tak ada hubungan lain yang mengaitkan lima vektor tersebut. Hubungan tersebut adalah respon bahan terhadap medan gangguan luar (D

dengan E, B dengan H ) yang dikenal

sebagai persamaan konstitutif:

o

ε

ε

=

=

+

D

E

E

P

( 5 ) O

μ

μ

=

=

+

B

H

H

M

( 6 )

dimana ε dan μ merupakan besaran tensor dan dikenal sebagai permitivitas listrik dan permeabilitas magnetik. P dan M adalah

polarisasi listrik dan magnetik. Berdasarkan fakta, P dan M berasal dari tingkat atomik (mikroskopik), yaitu ketika medan listrik dan medan magnetik diberikan pada bahan; medan listrik akan “mengganggu” gerakan elektron dan menghasilkan polarisasi momen dipole listrik persatuan volume (=P), sedangkan medan magnet akan “mengganggu” arah spin elektron dan menghasilkan polarisasi magnetik persatuan volume (= M) (Yonan,2005). Secara umum, P dan M mempunyai hubungan yang non-linier dengan E dan H melalui hubungan :

P =

ε

₀

χ

E

+

εχ

(1)

E

2

+

εχ

(2)

E

3

+

....

( 7 )

Persamaan Gelombang Datar Monokromatik

Persamaaan gelombang datar monokromatik untuk TE merupakan salah satu solusi persamaan Maxwell yang bisa didapatkan

dengan mensubstitusi persamaan konstitutif ke dalam empat persamaan Maxwell.

Gunakan hubungan konstitutif (6) untuk B pada persamaan (1), kemudian bagi

E

ke dua sisi dengan

μ

dan aplikasikan operator curl, sehingga didapat:

0

1

_∇

_×

₌

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

_×

×

∇

E

H

t

μ

( 8 )

Differensiasikan persamaan (2) terhadap waktu, kemudian gunakan persamaan (5) dan gabungkan dengan persamaan (8), maka didapatkan:

0

1

2 2 0 2 2

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

_∇

_×

×

∇

t

t

t

J

P

E

E

ε

μ

( 9 )

Gunakan identitas vektor:

(

)

1

1

1

(

)

μ

μ

μ

⎛

⎞

⎛

⎞

∇×

_⎜

∇× = ∇× ∇× + ∇

_⎟

_⎜

_⎟

× ∇×

⎝

E

⎠

E

⎝

⎠

E

Dan

(

∇

×

E

)

=

∇

( )

∇

.

E

−

∇

2

E

×

∇

Maka persamaan diatas menjadi:

2 2 2 0 2 2

( ln ) (

)

( . ) 0

t

t

t

με

μ

μ

μ

∂

∂

∂

∇ −

−

−

+

∂

∂

∂

∇

× ∇ ×

− ∇ ∇

=

J

E

E

P

E

E

( 10 ) Dengan mensubstitusi untuk D dari

persamaan (5) ke persamaan (3):

(

ε

+

)

=

ε

∇

+

∇

=

ρ

∇

.

₀

E

P

₀

.

E

.

P

)

.

(

1

.

0 0

P

E

=

−

∇

∇

ε

ε

ρ

( 11 ) Dan mensbstitusikan pada persamaan (10) akan diperoleh: 2 2 2 0 2 2 0 0

1

ln

(

)

( . ) 0

t

t

t

με

μ

μ

ρ

μ

ε

ε

∂

∂

∂

∇ −

−

−

+

∂

∂

∂

∇

× ∇ ×

− ∇

−

∇ ∇

=

J

E

E

P

E

P

( 12 )

Seperti yang terlihat pada persamaan terakhir bahwa solusi persamaan tersebut sangatlah rumit, maka untuk menyelesaikannya digunakan beberapa asumsi-asumsi sbb :

1. Pada bahan tidak terdapat rapat muatan statis (

ρ

= 0) maupun dinamis (J = 0).

Jika melihat persamaan diatas, maka :

0

t

μ

∂

−

=

∂

J

dan

0

0

=

∇

−

ε

ρ

. Ini berarti bahwa medan EM dapat ada meskipun tanpa ada muatan dan arus. 2. Bahan bersifat isotropis homogen,

sehingga tensor μ dan ε akan berubah menjadi skalar tetap. Jika melihat persamaan diatas maka

0

)

(

ln

×

∇

×

=

∇

μ

E

3. Kuat medan yang diberikan harus berada pada daerah linier sehingga efek non-liniernya dapat diabaikan.

0

ε χ

=

P

E

dan 0

1

( . ) 0

ε

−

∇ ∇

P

=

Dengan memasukkan asumsi-asumsi diatas persamaan menjadi: 2 2 2 0 2 2

0

t

t

με

∂

μ

∂

∇ −

−

=

∂

∂

E

P

E

2 2 2 0 2 2

(

0

) 0

t

t

με

∂

μ

∂

ε χ

∇ −

−

=

∂

∂

E

E

E

2 2 0 2

(1

) 0

t

με

∂

χ

∇ −

+

=

∂

E

E

2 2 2

0

t

εμ

∂

∇ −

=

∂

E

E

( 13 ) Persamaan terakhir merupakan persamaan gelombang EM standar yang mempunyai banyak solusi dan salah satu solusi yang dipakai adalah gelombang datar harmonis monokromatik (lihat lampiran c):

) . ( 0

)

,

(

i t

e

t

r

=

E

kr−ω

E

( 14 ) Sebutan datar berkaitan dengan muka

gelombang yang berbentuk bidang datar tegak lurus padah arah vektor perambatan k

dan dinyatakan oleh :

.

=

k r

konstan 0

E

dan

H

₀ adalah vektor amplitude. Frekuensi sudut

ω

dan vektor gelombang k

dihubungkan oleh:

με

ω

=

k

( 15 )

Gelombang pada persamaan (14) merupakan gelombang transversal. Ini dapat dibuktikan dengan mensubstitusikan pers. (14) ke dalam persamaan Maxwell

0

.

=

∇

D

dan

∇

.

B

=

0

untuk masing-masing medan sehingga diperoleh hubungan

E

k

E

k

.

=

0

→

⊥

dan

H

k

H

k

.

=

0

→

⊥

(Yonan.W, 2005).

Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Datar

Gambar 2. Pemantulan dan pembiasan gelombang datar

Gelombang yang tiba pada bidang batas, pada umumnya akan terbagi menjadi dua gelombang, yakni gelombang bias yang terus bergerak ke dalam medium dua dan gelombang pantul yang berberak kembali ke dalam medium 1. Gelombang datang, gelombang pantul, dan gelombang bias masing-masing dapat diungkapkan oleh gelombang datar berikut ini :

( .i )

_,

( r. )

_,

( .t ) i t i t i t i

e

r

e

t

e

ω ω ω − − − k r k r k r

E

E

E

Pada gambar diatas, syarat kontinuitas akan berlaku setiap saat, dan pada setiap titik dipermukaan batas. Ini berarti dipenuhinya secara terpisah hubungan-hubungan:

1.

ω

_i

t

=

ω

_r

t

=

ω

_e

t

, untuk setiap waktu t sehingga:

ω

_i

=

ω

_r

=

ω

_e

2.

k

_i

.

r

=

k

_r

.

r

=

k

_t

.

r

Kondisi batas pada z = 0 yang memenuhi semua titik pada bidang pada setiap waktu mengimplikasikan bahwa ruang dan waktu bervariasi terhadap medan harus memenuhi z = 0. Konsekensinya faktor fase harus sama pada z = 0 (Yonan.W, 2005) . 0 '' 0 ' 0

(

.

)

(

.

)

)

.

(

k

x

_z=

=

k

x

_z=

=

k

x

_z=

Persamaan diatas mengandung aspek kinematik dari refleksi dan refraksi.Tiga vektor ruang yang terletak pada bidang harus memenuhi:

sin

sin

sin

i

θ

i

=

r

θ

r

=

t

θ

t

k

k

k

Karena

θ θ

i

=

r dan

n

c

ω

=

k

, maka: 1

sin

i 2

sin

t

n

θ

=

n

θ

( 16 ) Ini dikenal sebagai hukum Snellius.

Syarat batas tangensial menyatakan bahwa

E E H H

y

,

z

,

y

,

z harus kontinu pada x = 0. Dalam menggunakan syarat batas ini,

vektor madan E harus dipecah menjadi

komponen yang sejajar dan tegak lurus bidang datar. Medan E yang tegak lurus

bidang datang (medan H-nya sejajar bidang

datang) disebut gelombang s atau TE (transverse electric). Medan E yang sejajar

bidang datang (medan H-nya tegak lurus

bidang datang) disebut gelombang p atau TM (transverse magnetic). Kedua

komponen gelombang tersebut saling bebas satu sama lainnya meskipun medium dielektriknya homogen dan isotropis. Dengan kata lain, masing-masing gelombang mempunyai karateristik refleksi dan teransmisi yang berbeda.

Berdasarkaan hukum Bragg, dua gelombang yang datang sefase dan membentuk sudut terhadap arah normal bidang dapat dituliskan melalui persamaan:

θ

λ

cos

2

a

n

=

( 17 )

Gambar 3. Pemantulan pada hukum Bragg Besarnya panjang gelombang dalam medium kristal akan berubah secara periodik sesuai dengan indeks biasnya (Lecture

No.1). 1 1 1

2

₂

cos

n

a

_θ

λ

=

=

an

₁

cos

θ

₁ 2 2 2

cos

2

2

a

θ

n

λ

=

=

an

₂

cos

θ

₂ Jika

n

₁<

n

₂ maka

λ

₁<

λ

₂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

−

2 1 2 1

1

1

2

λ

λ

π

ω

ω

c

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2 1 2 1 1 1 2 2

cos

cos

cos

cos

2

θ

θ

θ

θ

π

n

n

n

n

a

c

Untuk kasus normal incident (

θ

₁ dan

θ

₂=

0) maka

cos

θ

₁

=

cos

θ

₂

=

1

, sehingga persamaan diatas menjadi:

(

n

n

)

n

n

n

n

n

a

c

₋

₌

_Δ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

−

_{2 1} 1 2 1 2 2 1

~

2

π

ω

ω

( 18 ) Makna fisis persamaan diatas adalah bahwa lebar frekuensi terjadinya bend gap

tergantung pada selisih indeks bias antara medium satu dengan medium dua.

Gambar 4. Hubungan

Δ

n

dengan

Δ

ω

Besarnya sudut datang

θ

i dapat

memepengaruhi posisisi band gap, yakni

selang panjang gelombang yang tidak dapat menembus struktur kristal. Pengaruh sudut datang yang dibentuk oleh gelombang EM terhadap arah normal kristal adalah berubahnya posisi band gap. Pada sudut

0

0

<

θ

₀<

90

0band gap akan semakin

bergeser kearah kanan ( kearah frekuensi yang lebih besar ) untuk polarisasi TE maupun TM. Pada kasus omnidirectional,

terdapat suatu selang frekuensi dimana gelombang EM tidak dapat menembus struktur kristal untuk setiap sudut datang yakni frekuensi diantara gap saat normal incidence dan gap pada TM saat sudut

0

90

(Fink.Y, 1998). Selang frekuensi terebut dinamakan total omnidirectional reflection yang dimanfaatkan sebagai

sebagai alat penyekat atau bahan isolasi fotonik (Chirgin, 1998).

Gambar 5. Variasi sudut datang terhadap reflektansi

Kristal Fotonik Sempurna Satu Dimensi, Kondisi Bragg dan Matriks Transfer Unit Sel Bragg

Sifat-sifat optik dari kristal ditentukan oleh tensor dielektrik dan permeabilitasnya yang menggambarkan kesimetrisan translasi dari medium dan merupakan fungsi periodik dari r

( ) ( ),

ε r =ε r+a μ( )r =μ(r+a), (19)

dimana a merupakan vektor kisi sembarang.

Kedua persamaan ini menyatakan bahwa medium di r tepat sama dengan medium di r

+ a. Dalam tulisan ini ditinjau kristal fotonik

satu dimensi dimana bahan yang digunakan bersifat isotropik dan nonmagnetik serta memiliki absorbsivitas yang rendah terhadap gelombang EM (low-loss media) maka

diperoleh

( )z (z l ),

ε =ε + Λ

(20) dimana εmerupakan permitivitas, Λ adalah periode, dan l integer (Yarif, 1984).

Ketika gelombang EM datang memasuki susunan lapisan periodik (misalnya n1 dan n2), sebagian gelombang

tersebut akan direfleksikan oleh setiap permukaan batas lapisan n1-n2. Jika seluruh

gelombang yang direfleksikan sebagian tersebut sefase, maka akan terjadi interferensi konstruktif pada refleksi sehingga gelombang datang tidak dapat menembus struktur kristal seperti pada gambar 6. Selang panjang gelombang datang yang terefleksi total disebut photonic band gap (PBG) (Takayama, 2004).

Gambar 6. Mekanisme terjadinya PBG dalam kristal fotonik 1-dimensi. (a) Gelombang datang dengan nilai

λ dalam selang PBG memasuki struktur periodik n1-n2.

(b) Gelombang datang direfleksikan oleh tiap permukaan batas. (c) Jika setiap gelombang refleksi sefase, maka gelombang tersebut terefleksi total dan tidak dapat menembus struktur kristal (Takayama, 2004).

Pada kasus lainnya, ketika frekuensi dari gelombang datang tidak berada dalam selang PBG, terjadi interferensi destruktif pada gelombang yang terefleksi, sehingga saling meniadakan dan gelombang datang akan diteruskan oleh struktur kristal seperti pada gambar 7 (Takayama, 2004) .

Gambar 7. Interferensi destruktif. (a) Gelombang datang dengan nilai λ di luar selang PBG memasuki struktur periodik. (b) Gelombang datang direfleksikan oleh tiap permukaan batas, setiap gelombang refleksi tidak sefase dan saling berinterferensi destruktif. (c) tidak terjadi refleksi dan gelombang datang dapat menembus struktur kristal (Takayama, 2004).

Kristal fotonik sempurna yang paling sederhana terdiri dari dua bahan dielektrik transparan dengan indeks refraksi tinggi (nH)

dan indeks refraksi rendah (nL) yang

tersusun secara periodik (Gambar 8). Perkembangan terbaru dalam teknik penumbuhan kristal, terutama melalui metode epitaksi molekuler (molecular-beam epitaxy), memungkinkan dibuat suatu media

periodik berlapis dengan periodisitas dan ketebalan terkontrol hingga ukuran atomik (Yarif, 1984).

Pada difraksi gelombang EM (contohnya sinar-x) oleh kristal, gelombang yang datang pada sudut tertentu akan direfleksikan sebagian oleh setiap titik kisi kristal (Gambar 8). Panjang gelombang

cahaya yang direfleksikan oleh kisi-kisi kristal bergantung pada sudut datang θ dan nilai konstanta kisi (a) dari kristal.

Gambar 8. Skema dari kristal fotonik sempurna satu

dimensi paling sederhana yang tersusun dari dua bahan dielektrik dengan indeks refraksi (nH - nL) dan ketebalan

orde mikrometer (dH - dL).

Kristal fotonik seperti pada gambar 8 memiliki profil indeks refraksi sebagai berikut

nH = < <0 z a

n

(

z

)

=

nL = < < Λa z

Dengan syarat periodisitas

n (z) = n(z+Λ )

(21)

Gambar 9. Kondisi Bragg pada kisi-kisi kristal. Dalam kasus kristal fotonik, masing-masing titik kisi dapat berupa bahan dielektrik atau lubang udara yang diselubungi bahan dielektrik (Takayama, 2004).

Dari fisika optik, interferensi konstruktif hanya akan terjadi jika perbedaan lintasan optik antara dua gelombang pantul sebanding dengan nilai integer panjang gelombang yang datang, sehingga

mλ =2a Sinθ (22)

Ini disebut sebagai kondisi Bragg. Dengan m = 1, 2, 3, …(Omar, 1993).

Kondisi ini dipenuhi oleh kristal fotonik, dimana jarak antara satu lapisan medium dengan medium yang lainnya adalah sama (periodik) sehingga gelombang dengan panjang gelombang tertentu yang bersesuaian dengan periodisitas kristal akan dihamburkan sefase dan saling bertumpangan (superimposed) (Takayama,

2004).

Gelombang transverse electric (TE)

datar stasioner merambat melalui kristal fotonik, akan direfleksikan dan direfraksikan pada tiap permukaan indeks modulasi periodik (nH-nL). Dimana untuk kasus yang

ditinjau gelombang TE datang pada arah z

normal terhadap bidang permukaan kristal fotonik sehingga sudut θ = 90o_{, yang berarti}

tidak ada gelombang yang akan direfraksikan, gelombang datang akan ditransmisikan atau direfleksikan sebagian ataupun seluruhnya. Λ adalah periodisitas kristal (dH + dL) yang nilainya setengah dari

panjang lintasan optiknya (analogi dengan

a). Dari persamaan 22 diperoleh

mλB = 2 neff Λ (23)

dengan neff merupakan indeks refraksi

efektif, H H L L eff d n d n n = + Λ (24)

Kondisi ini terpenuhi ketika tepat setengah dari panjang gelombang sinar yang datang menempati masing-masing periode dari kristal (Sopaheluwakan, 2002). Sinar dengan panjang gelombang sama dan kelipatan integer dengan λB akan

direfleksikan oleh setiap permukaan periodik kristal, sehingga terjadi interferensi konstruktif pada refleksi dan terbentuk selang panjang gelombang di sekitar λB

dimana gelombang EM tidak dapat menembus struktur kristal fotonik yang disebut photonic band gap (PBG).

Dari hubungan panjang gelombang dan frekuensi diperoleh frekuensi Bragg

Bragg eff c m n π ω = Λ (25)

dengan m merupakan bilangan integer 1, 2,

3, dst, c kecepatan cahaya dalam vakum.

Perbedaan indeks refraksi yang kontras memiliki peranan penting terhadap pembentukan PBG, terdapat dua alasan. Pertama, setiap lapisan batas kristal fotonik dengan indeks refraksi kontras, lebih cenderung untuk menghamburkan gelombang yang datang dari segala arah,

sehingga PBG lebih mudah terbentuk. Kedua, semakin tinggi perbedaan indeks refraksi, semakin sedikit jumlah lapisan kristal fotonik yang dibutuhkan untuk menghasilkan efek PBG. Seperti dijelaskan dalam gambar 6, setiap lapisan dari kristal fotonik dapat merefleksikan sebagian gelombang yang melaluinya. Jika setiap lapisan mampu merefleksi lebih banyak gelombang karena perbedaan indeks refraksi yang besar, maka jumlah lapisan yang dibutuhkan untuk membentuk PBG akan lebih sedikit dibanding struktur dengan perbedaan indeks refraksi yang lebih kecil (Takayama, 2004).

Perambatan gelombang TE dalam kristal fotonik satu dimensi direpresentasikan dengan baik oleh persamaan Helmholtz satu dimensi, dengan memodifikasi persamaan (26) untuk gelombang TE yang datang secara normal pada bidang kristal fotonik satu dimensi maka diperoleh

( ) ( )

( ) i ik zi i ik zi

j j

E z =A e +B e− (26) dengan (i) merupakan indeks medium (H)

atau(L), j merupakan indeks lapisan ke-, dan

i i n k c ω = bilangan gelombang. ω

merupakan frekuensi, ni indeks refraksi ke-i.

Persamaan 2.32 merepresentasikan medan listrik sebagai hasil penjumlahan antara amplitudo gelombang TE yang datang (bagian kiri atau ( )i

j

A

) dan yang direfleksikan (bagian kanan atau ( )i

j

B

) pada setiap bagian batas lapisan homogen fotonik kristal tertentu.

Sekarang akan ditinjau penggunaan persamaan 26 tersebut dalam menganalisis translasi gelombang TE dalam kristal fotonik satu dimensi menggunakan metode matriks transfer. Perhatikan gambar 8, translasi TE antara dua medium nH dan nL

dalam satu unit sel (X) memenuhi syarat kontinuitas pada kondisi batas berikut

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) H H L z d E z E z = = dan ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) H H L z d dE z dE z dz dz = = (27)

maka diterapkan pada solusi persamaan Helmholtz satu dimensi (26) diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) 1H ik dH H 1H ik dH H 1L ik dL H 1L ik dL H A e +B e− =A e +B e− (27) dan

(

( ) ( )

)

( ) ( ) 1H ik dH H 1H ik dH H 1L ik dL H 1L ik dL H H L k A e B e A e B e k − − − = − (28) persamaan 27 dan 28 dapat dimodifikasi ke dalam notasi matriks

( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 H H H H L H L H L H L H ik_Hd ik_Hd H ik d ik d H H H H H L L L ik d ik d L ik d ik d e e A k k e e B k k A e e B e e − − − − ⎛ ⎞_{⎛ ⎞} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ _{⎟⎜ ⎟} − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (29.a)

atau dapat dituliskan

( ) ( ) 1 1 1 _{( )} 2 _{( )} 1 1 H L H L A A M M B B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (29.b)

Selanjutnya translasi TE antara dua unit sel (Y) memenuhi syarat kontinuitas pada kondisi batas berikut

( ) ( ) 1L ( ) 2H ( )_z E z E z =Λ = − Λ dan ( ) ( ) 1L ( ) 2H ( ) z dE z dE z dz dz _=Λ − Λ = (30) sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) 1L ikL 1L ikL 2H 2H A e Λ+B e− Λ= A +B (31) dan

(

( ) ( )

)

( ) ( ) 1L ikL 1L ikL 2H 2H L H k A e B e A B k Λ₋ − Λ _{= −} (32) persamaan (31) dan (32) dalam notasi matriks ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 1 1 1 1 L L L L ik ik L ik ik L L L H H H H e e A k k e e B k k A B Λ − Λ Λ − Λ ⎛ _{⎞⎛ ⎞} ⎜ _{⎟⎜ ⎟ =} ⎜ _{− ⎟⎜ ⎟} ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⎜ _{− ⎟⎜ ⎟} ⎝ _{⎠⎝ ⎠} (34.a)

atau dapat dituliskan

( ) ( ) 1 2 3 _{( )} 4 _{( )} 1 2 L H L H A A M M B B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (34.b)

sehingga dari persamaan (29) dan (34) dapat dituliskan ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 3 4 ( ) ( ) 1 2 H H H H A A M M M M B B − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (35) dan jika MT M₁1M M_{2 3}1M₄ − − = , maka MT

merupakan matriks translasi untuk satu unit sel (lapisan 1), menghubungkan amplitudo kompleks dari gelombang TE yang merambat dari satu unit sel ke unit sel lainnya yang ekuivalen dalam suatu fotonik kristal sempurna, dan dapat dituliskan

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 H H H N N N T H H H N N N A A A B A M C D B B B − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _{⎛ ⎞}⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟_{= ⎜ ⎟}⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠} ⎝ ⎠ (36)

Matriks MT disebut juga matriks unit sel

Bragg dan karena MT ini menghubungkan

amplitudo-amplitudo medan pada dua lapisan kristal fotonik dengan susunan indeks refraksi yang ekuivalen maka matriks ini bersifat unimodular, dengan nilai determinan sama dengan satu. Jika terdapat

N lapisan fotonik kristal sempurna seperti

pada gambar 5, maka ( ) 1 ( ) 1 H H A B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ( MT)N ( ) ( ) H N H N A B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (37)

persamaan 37 telah dibuktikan berlaku untuk

N unit sel Bragg melalui solusi pemecahan

matriks.

Pada prinsipnya matriks (MT)N ini

mentranslasikan medan TE dari medium nH

pada unit sel pertama hingga medium nH

pada unit sel ke (N+1) dalam kristal fotonik,

yang berarti MT belum realistis untuk

digunakan dalam eksperimen yang sebenarnya, karena interaksi antara medan TE dengan medium eksternal belum dipertimbangkan.

Refleksi dan Transmisi Gelombang TE

Andaikan suatu gelombang merambat diantara dua medium (bahan) yang berbeda

(

ε

₁

,

μ

₁

)

dan

(

ε

₂

,

μ

₂

)

, maka akan terjadi pemantulan dan pembiasan gelombang. Pemantulan dan pembiasan gelombang terjadi karena adanya kontinuitas dari komponen gelombang EM pada batas muka medium. Kontinuitas ini disebut sebagai syarat batas dan dapat diturunkan melalui persamaan Maxwell (Yonan.W, 2005) .

Solusi dari persamaan gelombang : 2 2 2

0

t

εμ

∂

∇ −

=

∂

E

E

dapat berupa

superposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul. Dengan mengambil salah

satu bentuk solusi :

(

,

)

₀ i( . t)

e

t

=

E

kr−ω

r

E

,

bentuk medan listrik E pada setiap medium menjadi: t i i i

e

e

e

)

ω

(

' . 1 . 1 1 1 2 r k r k

E

E

E

=

+

− − , untuk x < 0 (38) t i i i

e

e

e

)

ω

(

' . 2 . 1 2 2 2 r k r k

E

E

E

=

+

− , untuk x > 0 (39) Vektor medan H bisa didapatkan melalui persamaan (1) dan persamaan (6)

E

H

=

∇

×

ωμ

i

(40)

Gambar 10. Pemantulan dan pembiasan pada gelombang TE

Pada gambar 10 terjadi syarat kontinuitas komponen

E

y dan

H

zpada x =

0, sehingga: 1 2 y

=

y

E

E

' ' 1

+

1

=

2

+

2

E

E

E

E

(41) 1 2 z

=

z

H

H

' '

1

cos

θ

1 1

cos

θ

1 2

cos

θ

2 2

cos

θ

2

−

H

+

H

=−

H

+

H

(42) karena

μ

μ

c

nE

B

H

=

=

, maka persamaan diatas menjadi:

(

)

(

2 '2

)

2 2 2 1 ' 1 1 1 1

_cos

_cos

θ

μ

θ

μ

E

−

E

=

E

−

E

n

n

(43)

Jika persamaan (41) dan (43) diatas dibuat dalam bentuk matriks:

1 2

1 1 ' 2 2 '

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1 1 1

cos cos cos cos

n _θ n _θ n _θ n _θ μ μ μ μ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ₌⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟_{⎝ ⎠} ⎜ ₋ ⎟_{⎝ ⎠} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E E E E

atau dapat ditulis:

1 2 ' ' 1 2

(1)

(2)

s s

D

⎛ ⎞

_{⎜ ⎟}

=

D

⎛

_⎜

⎞

_⎟

⎝ ⎠

⎝

⎠

E

E

E

E

(44) Dimana

( )

s

D i

=

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

i i i i

n

n

cos

θ

cos

θ

1

1

i = 1,2,3,…. dengan asumsi

μ

₁

=

μ

₂ i

n

adalah indeks bias medium i, dan

i

θ

adalah sudut datang atau sudut bias. Koeffisien refleksi dan transmisi untuk gelombang TE diberikan oleh:

0 1 ' 1 ' 2=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

E

E

E

s

r

dan 0 1 2 ' 2=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

E

E

E

s

t

(45)

Dari persamaan (45) diatas dan syarat batas (41) dan (43), kita dapatkan ( untuk

2 1

μ

μ

=

) 2 2 1 1 2 2 1 1

cos

cos

cos

cos

θ

θ

θ

θ

n

n

n

n

r

_s

+

−

=

(46) 2 2 1 1 1 1

cos

cos

cos

2

θ

θ

θ

n

n

n

t

s

+

=

(47)

Maka reflektansi dan transmisinya menjadi: 2 s

r

R

=

(48) 2 1 1 2 2

cos

cos

s

t

n

n

T

θ

θ

=

(49) Untuk kasus gelombang TM dapat diturunkan dengan cara yang sama sehingga didapat reflektansi dan transmitansi yang berbeda. ' 1

E

2

E

1 2

E

1

H

' 1

H

1

E

' 2

H

' 2

H

Kasus-Kasus Khusus

Gambar 11. Gelombang EM yang menuju kristal

fotonik pada kasus TE

• Untuk kasus insidensi normal maka

berlaku

θ

₁

,

θ

₂

=

0

, bidang datang menjadi tak terdefinisikan sehingga tidak lagi terdapat perbedaan antara komponen TE dan TM dan koefisien Fresnel menjadi: 2 1 2 1

n

n

n

n

r

_s

+

−

=

dan 2 1

2

n

n

n

t

n s

=

₊

• Untuk gelombang yang datang dengan sudut datang

0 1

=

90

θ

(grazing angle) koefisien

Fresnel menjadi:

1

−

=

r

r

dan

t

s

=

0

• Ketika indeks bias medium lebih kecil dari bias background (

n

₁

>

n

₂), maka pembiasan dengan

0 1

=

90

θ

akan terjadi pada sudut datang kritis yang memenuhi persamaan: 1 2

sin

n

n

c

=

θ

Maka ketika sudut datang

θ

₁

=

θ

_c dan

θ

₂

=

90

0koefisien Fresnel untuk polarisasi TM menjadi:

0

=

s

r

dan 1

2

n

t

_s

=

Propagasi Gelombang dalam Struktur Periodik

Gambar 12. Struktur Periodik

Struktur periodik sederhana mengandung profil indeks bias yang berbeda, yakni:

⎩

⎨

⎧

<

<

<

<

L

n

b

n

b

n

n

,

0

,

2 1 dengan

)

(

)

(

z

n

z

L

n

=

+

Arah z adalah tegak lurus tehadap permukaan layer dan

L

adalah periodik Solusi umum vektor medan listrik dari persamaan gelombang bisa berbentuk:

) (

)

(

i y t

e

z

k y−ω

E

dimana diasumsikan bidang gelombang merambat dalam bidang yz. Ketika gelombang EM berpropagasi di dalam struktur periodik 1D dengan sudut miring terhadap permukaan layer, hanya komponen normal dari vektor gelombang

k

_z yang mempengaruhi band gap, sedangkan

komponen tangensial dari vektor gelombang

y

k

bernilai konstan sepanjang sepanjang medium (Chirgin.D.N, 1999). Medan listrik di dalam layer

α

(

α

= 1,2 ) dari n unit sel bisa ditulis sebagai vektor kolom (P.Yeh, 1983):

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

α α n n

B

A

Secara umum medan listrik di dalam layer bisa ditulis:

[

k z k z

]

ky

z

y

E

z i z n i y n n i n

e

B

e

e

A

− −Λ

+

−Λ −

=

( ) ( )

)

,

(

α α α α (48)

Matriks transfer dengan dikopel background untuk struktur periodik dapat ditulis sebagai berikut:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

_{− −} s s s N a a a

B

A

D

D

P

M

D

D

B

A

₁ 1 1 1 1 (49)

...

1 1 2 2 2 1 1 1 22 21 12 11

D

D

P

D

D

P

m

m

m

m

N _{− −}

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(50) 2 1

,

,

D

D

D

a … adalah matriks dinamik

yang telah didapat, yaitu:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

l l l l l

n

n

D

θ

θ

cos

cos

1

1

untuk TE (51)

Sedangkan untuk polarisasi TM dapat ditulis:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

l l l l l

n

n

D

cos

θ

cos

θ

(52) 2 1

,

P

P

… disebut matriks propagasi yang bisa dibuktikan melalui syarat kontinuitas dan periodisitas.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

− l lx l lx d i d i l

e

e

P

_k k

0

0

(53) dimana

d

_l

=

x

_l

−

x

_l−1 adalah lebar masing-masing lapisan dan

k

_lzadalah komponen z dari vektor gelombang yang diberikan oleh: l l l lz

c

n

c

n

ω

_β

ω

_θ

cos

2 / 1 2 2

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

k

l =a,1,2,….,N,s

Untuk bamyak lapisan matriks N

M

dapat disederhanakan dengan menggunakan identitas Chebysev. Matriks

M

N dapat dinyatakan dalam matriks M sebagai berikut:

( )

(

cos

)

sin

(

)

cos(

)

sin

N

NKL

M

M I

KL

I

NKL

KL

=

−

+

(54)

dimana

K

adalah vektor gelombang Bloch, yakni:

(

)

_⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₊

=

− 22 11 1

2

1

cos

1

)

(

m

m

L

K

ω

(55)

L

adalah jarak satu lapisan pada kristal, yakni

d

₁

+

d

₂. Nilai K ini memainkan peranan penting terhadap perambatan medan EM. Saat K bernilai riil medan elektromagnet berpropagasi menembus kristal, sedangkan saat K bernilai kompleks medan EM tidak berpropagasi sehingga menimbulkan fenomena band gap.

Perambatan gelombang EM datar pada kristal fotonik periodik sederhana dapat menimbulkan fenomena band gap jika

syarat interferensi konstruktif terpenuhi. Fotonik band gap adalah selang panjang

gelombang EM yang tidak dapat menembus struktur PC.

Gambar 13. Selang frekuensi band gap pada kurva

transmitansi

Kondisi Quarter-Wave Stack

Kasus Spesifik dari fotonik kristal adalah struktur kuarter wave stack (Sopaheluwakan, 2003). Kondisi quarter-wave stack (QWS) adalah kondisi saat ketebalan lapisan medium (

n

₁

−

n

₂) memenuhi: 1 0 1

₄

n

d

=

λ

dan 2 0 2

₄

n

d

=

λ

sehingga kedua lapisan tersebut memiliki panjang optik yang sama (

n

₁

d

₁

=

n

₂

d

₂).

λ

₀disebut panjang gelombang operasi dan merupakan pusat dari frekuensi PBG pertama yang terbentuk. Analogi dari perumusan Bragg, maka:

L

n

m

λ

B

=

2

eff (56)

dimana

n

_effadalah indeks bias effektif yang dapat dinyatakan:

L

d

n

d

n

n

_eff

=

1 1

+

2 2 (57) d

L

adalah periodisitas kristal, yakni

2 1

d

d

+

.

Light in the multilayer

β

conserved

d

₁

d

₂

d

₁

n

₁

=d

₂

n

₂

=

λ

/4

Quaterwave stack condition

Light in the multilayer

β

conserved

Light in the multilayer

β

conserved

d

₁

d

₂

d

₁

n

₁

=d

₂

n

₂

=

λ

/4

Quaterwave stack condition

Gambar 14. Kondisi quarter-wave-stack pada kristal Kondisi QWS ini terpenuhi ketika tepat setengah dari panjang gelombang sinar yang datang menempati masing-masing periode dari kristal. Sinar dengan panjang gelombang sama dan kelipatan integer dari

B

λ

akan direfleksikan oleh setiap permukaan periodik kristal, sehingga terjadi interferensi konstrukif pada refleksi dan terbentuk selang panjang gelombang disekitar

λ

B dimana gelombang EM tidak

dapat menembus struktur kristal fotonik yang disebut PBG.

Dari hubungan panjang gelombang dan frekuensi diperoleh frekuensi Bragg

L

n

c

m

eff B

π

ω

=

(58) Pada persamaan ( 56 ), jika m = 1 maka:

2 2 1 1 0

2

n

eff

L

4

n

d

4

n

d

B

=

λ

=

=

=

λ

→

QWS (59) atau jika dinyatakan dalam bentuk frekuensi:

2 2 1 1 0 0

2

2

2

d

n

c

d

n

c

c

π

π

λ

π

ω

=

=

=

(60)

Jika persamaan (58) dan persamaan (60) digabungkan, maka:

0

ω

ω

_B

=

m

(61) dengan m = 1, 3, 5, dst, untuk kasus quarter-wave stack.

Struktur Defek Geometris

Struktur kristal fotonik dengan satu cacat geometris adalah memvariasikan lebar salah satu layer dalam struktur kristal. Jika strukturnya simetrik jumlah lapisan pada

sebelah kiri defek (N) sama dengan jumlah lapisan pada sebelah kanan defek (M) dengan indeks bias pada ujung kiri dan kanan material adalah sama. Indeks bias pada lapisan cacat dapai dipilih sama dengan pada indeks bias lapisan pertama atau sama dengan indeks bias pada lapisan kedua (untuk melihat strukturnya lihat pada pembahasan). Matriks transfer pada struktur satu defek dapat dengan mudah diturunkan dari matriks transfer untuk struktur periodik.

Gambar 15. Fenomena band pass pada kurva

transmitansi

Jika kristal fotonik disisipkan cacat pada strukturnya, maka foton akan terlokalisasi disekitar cacat sehingga menimbulkan peningkatan medan yang besar yang membentuk mode resonansi di dalam PBG dimana frekuensi gelombang EM datar yang datang sama dengan frekuensi mode cacat kristalnya. Penguatan medan yang besar mengakibatkan transmitansi penuh di dalam PBG pada frekuensi resonanasinya (sering disebut mode cacat atau frekuensi band pass).

Lebar dan posisi frekuensi band pass sangat bergantung pada sudut datang

vektor [ropagasi k terhadap arah normal

bidang material dan geometri lapisan cacat yang diberikan. Pada penelitian ini akan dianalisis pengaruh karateristik material ( variasi indeks bias medium, pengaruh indeks bias background) maupun geometri lapisan

cacat yang diberikan (susunan N-M) terhadap band pass.

Susunan kristal yang memiliki defek geometris simetrik memiliki jumlah lapisan sebelah kiri dan kanan defek yang sama sehingga menghasilkan transmitansi

band pass yang bernilai satu. Pada penelitian

ini juga akan dianalisis susunan dengan dua defek geometris untuk kasus polarisasi TE-TM omnidirectional.

Transmitansi Gelombang TE dalam Kristal Fotonik

Analisis terhadap transmitansi gelombang TE dalam kristal fotonik sempurna, kristal fotonik dengan satu cacat (one-defect), dan kristal fotonik dengan dua

cacat (two-defects) menjadi perhatian utama

dalam tulisan ini, guna optimalisasi disain kristal fotonik untuk berbagai aplikasi yang mungkin. Transmitansi (T) merupakan nilai

kuadrat rasio antara amplitudo medan TE yang diteruskan (Atr) melalui kristal fotonik

dengan amplitudo medan TE yang datang (Ain) digambarkan pada gambar 8, sehingga

2 tr in A T A = (62)

Jika ditinjau suatu sistem kristal fotonik sempurna seperti pada gambar 8 dengan mengabaikan pengaruh translasi medan pada medium background n0, maka perambatan

medan TE dalam strukturnya dapat dituliskan kembali dari persamaan 2.43,

(

)

[ ]

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 H H H H N N N T H H H N N A A A M B B B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜_⎜ ⎟_⎟= ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎜ ⎟ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠} ⎝ ⎠ (63) dengan _A1( )H _{menyatakan amplitudo medan}

TE yang datang dari nH lapisan pertama (=

Ain), B1( )H menyatakan amplitudo medan TE total yang direfleksikan oleh strukur kristal fotonik menuju nH (= Bref), ( )

H N

A menyatakan amplitudo medan TE yang diteruskan oleh struktur kristal fotonik (=

Atr), dan ( ) H N

B sama dengan nol. Dengan membagi kedua ruas persamaan (63) dengan

( )H N A diperoleh ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 1 (1,1) [H] . 0 (2,1) H H N H H N A A H H B A × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟ ⎜}= _⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (64)

dengan membandingkan persamaan tersebut dengan persamaan (62) diperoleh

2 2 _{( )} ( ) 2 1 1 ( ) [ (1,1)] H tr N H in A A T A A H ω = = = (65)

transmitansi (T) sebagai fungsi frekuensi (ω) dengan H(1,1) merupakan komponen

matriks [H] baris ke-1 dan kolom ke-1. Persamaan (65) digunakan untuk mendapatkan grafik-grafik hubungan

transmitansi terhadap frekuensi, dimana nilai frekuensi yang digunakan ternormalisasi terhadap frekuensi operasi kristal fotonik (ω0) dan dapat ditulis T(ω/ω0). Persamaan

(65) bersifat umum, dengan menyesuai mariks transfer [H] yang digunakan untuk setiap struktur kristal fotonik.

0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 i s n a t i m s n a r T

Pada gambar 16, diperlihatkan kurva transmitansi sebagai fungsi dari frekuensi gelombang EM dalam sistem kristal fotonik sempurna yang memenuhi quarter-wave stack (QWS). Sistem kristal fotonik tersusun

atas 12 lapisan dielektrik (hitam) dengan nH

= 1.4, yang dipisahkan oleh udara (nL= 1).

Dengan ketebalan masing-masing lapisannya dH = 0.25 x 1.4λ0 = 0.1785λ0 dan

dL=0.25λ0. Terdapat “gap” pada kurva

transmisinya dengan nilai transmitansi sangat mendekati nol. Gap inilah yang

disebut photonic band gap (PBG). Titik

tengah dari PBG tersebut terletak pada nilai frekuensi operasi ω0, sehingga nilai

frekuensi ternormalisasinya sama dengan

ω/ω0 = 1.

Pada gambar 17, diperlihatkan PBG untuk harmonik ketiga (m=3), dengan

ωBragg=3ω0. PBG berfungsi sebagai cermin

“distributed Bragg reflector” (DBR) yang

dapat merefleksikan selang panjang gelombang tertentu dari gelombang EM yang datang (Gilles, 2002).

Pada kristal fotonik yang disisipkan cacat (gambar 18), akan muncul mode

resonansi di dalam selang PBG dimana frekuensi gelombang EM datar yang datang sama dengan frekuensi mode cacat kristal

yang diberikan (Sopaheluwakan, 2002). Gelombang dengan mode atau frekuensi

resonansi cacat tersebut akan dipantulkan terus-menerus secara harmonik (back and forth) disekitar mode cacat oleh DBR Gambar 16. Kurva transmitansi terhadap frekuensi (PBG) untuk struktur quarter wave reflector yang diperlihatkan pada gambar. (Diplotkan kembali dari Sopaheluwakan, 2002)

sebelah kiri dan kanan lapisan cacat yang berfungsi sebagai cermin PBG (Villar, 2003). 0 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 i s n a t i m s n a r T

Akibatnya, foton-foton akan terlokalisasi di sekitar cacat menimbulkan peningkatan medan (field enhancement) yang besar

(Gilles, 2002). Peningkatan medan yang besar pada daerah cacat mengakibatkan transmitansi penuh dalam PBG pada frekuensi resonansinya atau sering disebut

mode cacat atau frekuensi bandpass.

Transmitansi dari bandpass sangat

bergantung pada kesimetrian struktur kristal (Groesen, 2003).

Gambar 18. Struktur kristal fotonik satu dimensi yang

tersusun atas dua cermin Bragg (DBR) dengan 30 unit sel di masing-masing sisi kiri dan kanan lapisan cacat (cavity) (Villar, 2003).

Lebar dan posisi frekuensi bandpass

sangat bergantung pada karakteristik material dan geometri lapisan cacat, seperti Indeks refraksi (nC) dan ketebalan (dC).

Fenomena ini sangat bermanfaat terutama dalam aplikasi sensor dan piranti filter (Sopaheluwakan, 2002). Kristal fotonik dengan satu cacat pada gambar 9, memiliki

nH = 1.8 (hijau), nL = 1.424 (kuning)dan λ0

= 1.55 μm untuk unit sel Bragg, sedangkan lapisan cacat (merah) memiliki nC = 1.65

dan dC = 2.37 μm. Gambar 10

memperlihatkan kurva transmitansi terhadap panjang gelombang (pada PBG) untuk struktur kristal fotonik tersebut, dimana

bandpass muncul dalam PBG di posisi

berbeda sesuai dengan ketebalan lapisan cacat (dC) seperti tertera pada gambar

(Villar, 2003).

Kurva transmitansi terhadap panjang gelombang pada gambar 19 merupakan hasil simulasi program yang menggunakan metode “Rigorous Coupled Wave Analysis”.

Pergeseran bandpass ke arah kanan PBG

terjadi ketika dC diperbesar, 2.17 μm

(merah), 2.27 μm (hitam) dan 2.37 μm (hijau).

Gambar 19.Bandpass (defect state) dalam PBG untuk tiga ketebalan cacat dC berbeda (Villar, 2003).

Matlab

Matlab 7.5.0 merupakan software

program aplikasi yang digunakan untuk komputasi teknik. Matlab merupakan singkatan dari Matrix laboratory.Matlab

mampu mengintegrasikan komputasi, visualisasi, dan pemrograman untuk dapat digunakan secara mudah.

Penggunaan Matlab diantaranya adalah pada:

1. Matematika dan Komputansi 2. Pengembangan algoritma

3. Pemodelan, simulasi, dan prototyping

4. Analisa, eksplorasi, dan visualisasi data

5. Pengolahan grafik untuk sains dan teknik

6. Pengembangan Aplikasi berbasis GUI (Graphical User Interface)

Pada penelitian ini Matlab 7.5.0 digunakan untuk proses pengolahan data, yakni proses yang berkaitan dengan analisa, visualisasi data, dan pengembangan aplikasi berbasis GUI.

ω/ω0

Gambar 17. Dua profil PBG pada harmonik pertama

(m=1) dan ketiga (m=3) untuk struktur quarter wave reflector pada gambar 7. (Diplotkan kembali dari Sopaheluwakan, 2002)

High Index film (nH)

Gambar 20. Tampilan utama Matlab

Lingkup Matlab

Ada beberapa tools yang disediakan oleh Matlab 7.5.0 diantaranya sebagai berikut:

• Command Window, yang berfungsi

untuk tempat memasukkan dan menjalankan variabel (fungsi) dari Matlab dan M File.

• Command History, yang berfungsi

menampilkan fungsi-fungsi yang telah dikerjakan pada command window.

• Launch Pad, yang berfungsi untuk

akses tools, demo, dan dokumentasi semua produk Math Works.

• Help Browser, yang berfungsi

untuk menampilkan dan mencari dokumentasi yang ada pada Matlab.

• Current Directory Browser, yang

berfungsi menampilkan file-file Matlab dan file yang terkait serta mengerjakan operasi file seperti membuka dan mencari isi file. • Workspace Browser, yang memuat

variabel-variabel yang dibuat dan yang disimpan dalam memori saat penggunaan Matlab.

• Editor / Debugger, yang berfungsi

untuk membuat dan memeriksa M File.

Beberapa tools ini merupakan tools yang secara umum digunakan pada Matlab, namun sebenarnya selain itu ada banyak tools tambahan lainnya pada Matlab.

M File Editor

M File merupakan file teks yang memuat variabel- variabel dan fungsi yang ada pada Matlab. M File berupa nama file script dalam Matlab yang disimpan dengan ekstensi ‘.m’. M File memudahkan dalam penulisan (pembuatan) program dalam Matlab. Dimana fungsi-fungsi yang ada pada M File tersebut dapat mengakses semua variabel Matlab dan menjadi bagian dari ruang kerja Matlab.

Gambar 21. Tampilan layout M File

Matlab GUI (Graphical User Inerface)

GUI (Graphical User Interface)

merupakan software aplikasi dari Matlab yang mampu menampilkan secara visualisasi program yang telah dibuat pada Matlab (M-File), dengan melalui bantuan komponen- komponen yang ada seperti icons, pushbutton, radio button, dan sebagainya.

GUIDE (GUI Development

Environtment) merupakan tools Matlab yang

diaplikasikan untuk pembuatan Gui. Guide menyediakan seperangkat tools yang digunakan untuk mendesain dan menampilkan GUI. Salah satunya adalah tools Layout Editor, yang berfungsi sebagai

tempat peletakan komponen-komponen yang dibutuhkan. Dimana ukuran, jarak antar komponen dan align dari komponen tersebut dapat diatur. Tools ini secara otomatis tampil, pada saat pertama kali menjalankan software aplikasi GUI pada Matlab 7.5.0.

Gambar 22. Layout editor dari GUIDE

Programer dapat memanfaatkan tools dan komponen Guide lainnya yang merupakan bagian dari user interface control (uicontrols) dan user interface menus (uimenus) untuk memudahkan dalam

pembuatan GUI. Beberapa tools dasar dari Guide, antara lain:

ƒ Layout Editor, digunakan untuk menambah atau mengatur object pada figure window.

ƒ

Aligment Tool, digunakan untuk mengatur jarak antar object.

ƒ Property Inspector, digunakan untuk mengatur properti dari object

ƒ Object Browser, digunakan untuk menampilkan secara hirarki object yang sedang digunakan dalam layout.

ƒ Menu Editor, digunakan untuk menambahkan menu dan contect yang ada didalamnya pada layout.

Sementara dalam component pallete

terdapat beberapa object yang bisa digunakan untuk tampilan pada figure yang akan dibuat. Object – object tersebut adalah Select, Push Button, Toggle Button, Radio Button, Checkbox, Edit Text, Static Text, Slider, Frame, Listbox, Popup Menu, dan Axes. Objects tersebut mempunyai fungsi sebagai berikut :

1. Radio Button berfungsi untuk memilih satu pilihan dari beberapa pilihan.

2. Check Box sama seperti radio button namun dapat berfungsi untuk memilih lebih dari satu pilihan dari beberapa pilihan. 3. Push Button berfungsi untuk

menjalankan eksekusi seketika jika ditekan.

4. Toggle Button berfungsi untuk menjalankan eksekusi secara on ,off.

5. List Box berfungsi menampilkan keseluruhan list.

6. Editable Text berfungsi untuk menampilkan teks dan teks ini dapat sewaktu-waktu diedit. 7. Frame berguna untuk

menampilkan dan mengelompokkan beberapa

kontrol fungsi yang masih berkaitan.

8. Pop Up Menu untuk memilih satu list dari beberapa list yang ada (ditampilkan).

9. Slider digunakan untuk menampilkan range suatu nilai dan kita dapat memilih nilai yang diinginkan dengan melakukan drag.

10. Static Text berfungsi untuk menampilkan teks secara statis. 11. Axes berfungsi untuk

menampilkan gambar atau grafik. 12. Figure merupakan tempat untuk meletakkan komponen Gui yang telah didesain dengan Layout Editor.

Semua object diatas dikendalikan lewat command dalam fungsi callback untuk

setiap browser yang berada pada file tipe “.m“ dari figure yang dibuat. Sementara data yang digunakan dalam mendesign figure disimpan dalam struktur handles.

BAHAN DAN METODE

Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini akan dilaksanakan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi Departemen Fisika Institut Pertanian Bogor. Waktu yang diperlukan melakukan penelitian ini adalah 1 tahun, meliputi kegiatan penelusuran literatur, penelitian pendahuluan, pembuatan program, analisis output, pengolahan data, dan penyusunan laporan.

Bahan dan Alat

Peralatan yang digunakan dalam

penelitian ini adalah sebuah komputer berprosessor AMD Opteron 64 Bit di laboratorium Fisika Teori dan Komputasi