Respon Frekuensi pada FIR Filter. Oleh:Tri Budi Sanrtoso ITS

1

Respon

Respon

Frekuensi

_Frekuensi

pada

_pada

FIR Filter

FIR Filter

Oleh:Tri

Oleh:Tri

Budi

Budi

Sanrtoso

Sanrtoso

Lab

Respon

Respon

sinusoida

sinusoida

pada

pada

sistem

sistem

FIR

FIR

Suatu sistem FIR dinyatakan:

[ ]

∑

[

]

∑

[ ] [

]

= =

−

=

−

=

M k M k k

x

n

k

h

k

x

n

k

b

n

y

0 0 (1)

(

n k

)

j j n j j s s

e

Ae

k

n

x

e

Ae

n

x

−

=

−

=

ω φ ω φ

]

[

]

[

Sinyal input secara umum merupakan bentuk komplek diskrit

Karena φ = 0 dan A = 1, maka bentuk tsb menjadi:

(

n k

)

j _s

e

k

n

x

[

−

]

=

ω −

3

Sehingga

Sehingga

bentuk

bentuk

umum

umum

FIR

FIR

menjadi

menjadi

:

:

( )

j

n

s

n

j

k

j

M

k

k

k

n

j

M

k

k

s s s s

e

H

n

y

e

e

b

n

y

e

b

n

y

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

−

=

−

=

∑

∑

]

[

]

[

]

[

0

)

(

0

dimana:

∑

∑

= − = −

₌

=

M k k j M k k j k s s s

h

k

e

e

b

H

0 0

]

[

)

(

ω

ω ω (2)

yang lebih dikenal sebagai fungsi respon frekuensi untuk sistem tersebut, dan seperti anda kenal dalam istilah komunikasi sebagai “respon frekuensi”

Respon Frekuensi Æ merupakan bentuk komplek

( )

{

( )

}

{

( )

}

( )

( )

Im

Re

j H s s s s s

H

j

H

H

e

H

ω

=

ω

+

ω

=

ω

∠ ω (3) dimana:

|H(ωs)|=magnitudo dan

∠

_H

₍

ω

_s

₎

= fase Maka persamaan (2) menjadi:

( )

j H

( )

_s j j _sn

(

( )

)

j

(

H

( )

_s

)

j _sn

e

e

A

H

e

Ae

e

H

n

y

[

]

=

ω

∠ ω φ ω

=

ω

∠ ω −φ ω

5

Contoh

Contoh

1:

1:

Suatu sistem LTI memiliki koefisien-koefisien pada persamaan beda sbb: {bk}={1 , 2 , 1}. Bagaimana bentuk respon frekuensinya?

Penyelesaian:

Dengan persamaan (1) diperoleh

s s s j j M k k j k M k k

e

e

e

b

H

k

n

x

b

n

y

ω ω ω

ω

2 0 0

2

1

)

(

]

[

]

[

− − = − =

+

+

=

=

−

=

∑

∑

Untuk mendapatkan respon magnitudo dan respon fasenya:

(

s s

)

s s s j j j j j s

e

e

e

e

e

H

(

ω

)

=

1

+

2

− ω

+

− 2ω

=

− ω ω

+

2

+

− ω

Contoh Program Matlab

clear all;

w=-3:.1:3;

y = 1 + 2*exp(-j*w*pi) + 2*exp(-j*2*w*pi);

plot(w,abs(y),'linewidth',2)

grid

xlabel('w (radiant)')

Anda coba untuk mengingat kembali persamaan Euler: s j j s s j s s j s s s s

e

e

j

e

j

e

ω

ω

ω

ω

ω

ω ω ω ω

cos

2

________

__________

sin

cos

sin

cos

=

+

+

−

=

+

=

− − Maka:

( )

(

)

(

)

j s s s s j s

e

e

H

ω ω

ω

ω

ω

− −

+

=

+

=

cos

2

2

cos

2

2

dimana:

2+2cosωs Îmerupakan magnitudo -ωs Æ fase

9 9

Contoh

Contoh

2:

2:

Jika input sinyal x[n]=2ejπ/4 ejπn/3 diberikan ke sistem FIR pada soal sebelumnya, bagaimana bentuk outputnya?

Penyelesaian:

(

)

(

( )

)

∑

= + ∠

=

−

=

M k n j H j s s s

e

e

A

H

k

n

x

k

h

n

y

0

)

(

]

[

]

[

]

[

ω

ω φ ω

ganti ωs dengan π/3 maka:

H(ωs) = H(π/3) = 2 + 2cos(π/3) = 2 + 2( ½ ) + 3

( )

ω

=

π

/

3

∠

H

_s sementara φ = 0 sehingga:

(

)

(

1

)

/3 4 / 3 / 12 / 3 / 3 / 4 / 3 / 4 / 3 /

)

6

(

)

6

(

)

2

(

)

3

(

2

3

]

[

− − − −

=

=

=

=

n j j j j j j j j j j

e

e

e

e

e

e

e

e

e

n

y

π π π π π π π π π π

Sifat

Sifat

-

-

sifat

sifat

Respon

Respon

Frekuensi

Frekuensi

Æ

Æ

FIR Filter

FIR Filter

1.

1.

Hubungan

Hubungan

dengan

dengan

Respon

Respon

Impuls

Impuls

dan

dan

Persamaan

Persamaan

Beda

Beda

Respon

Respon

impulse

impulse

Î

Î

tersusun

tersusun

dari

dari

sekuen

sekuen

impulse

impulse

koefisien

koefisien

-

-koefisien

koefisien

FIR

FIR

Secara

Secara

umum

umum

:

:

Time Domain:

Time Domain:

Frequency Domain:

Frequency Domain:

k j k j k k s s

h

k

e

e

b

k

h

b

=

[

]

⇒

− ω

=

[

]

− ω

∑

=

−

=

M k

k

n

k

h

n

h

0

]

[

]

[

]

[

δ

∑

= −

=

M k k j s s

e

k

h

H

0

]

[

]

[

ω

ω

11

Contoh

Contoh

1:

1:

Sebuah

Sebuah

FIR

FIR

memiliki

memiliki

respon

respon

inpulse

inpulse

seperti

seperti

berikut

berikut

:

:

h[n

h[n

] =

] =

-

-

δ

δ

[n

[n

] + 3

] + 3

δ

δ

[n

[n

-

-

1]

1]

–

–

δ

δ

[n

[n

-

-

2]

2]

Sistem

Sistem

ini

ini

memiliki

memiliki

{

{

bk

bk

} = {

} = {

-

-

1, 3,

1, 3,

-

-

1}

1}

Maka

Maka

bentuk

bentuk

persamaan

persamaan

ini

ini

dapat

dapat

ditransformasi

ditransformasi

:

:

Persamaan

Persamaan

Beda

Beda

:

:

REspon

REspon

Frekuensi

Frekuensi

:

:

]

2

[

]

1

[

3

]

[

]

[

]

[

0

−

−

−

+

−

=

−

=

∑

=

n

x

n

x

n

x

k

n

x

b

n

y

M k k s s

j

j

s

e

e

H

(

ω

)

=

−

1

+

3

−

ω

−

−

2

ω

Contoh

Contoh

2:

2:

JIka

JIka diketahuidiketahui responrespon frekuensifrekuensi FIR filter FIR filter sbbsbb::

Bagaimana

Bagaimana bentukbentuk persamaanpersamaan bedabeda--nyanya??

Jawab

Jawab::

Persamaan

Persamaan Euler:Euler:

Persamaan

Persamaan BedaBeda::

( )

j

(

_s

)

s s

e

H

ω

=

− ω

3

−

2

cos

ω

(

j s j s

)

s e e ω ω ω _{= +} − 2 1 cos

( )

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

− −

2

2

3

s s s j j j s

e

e

e

H

ω ω ω

ω

13

2.

2.

Periodisitas

Periodisitas

H(

H(

ω

ω

_s

_s

)

)

Respon

Respon frekuensifrekuensi H(H(ωω_ss) ) selaluselalu periodikperiodik sebagaisebagai fungsifungsi ωω_sspadapada setiap

setiap nilainilai 22ππ radiant.radiant.

H(

H(ωω_ss) = ) = H(H(ωω_ss+ 2+ 2ππ) ???) ??? Î

Î dapatdapat dibuktikandibuktikan sepertiseperti berikutberikut iniini

(

)

( )

( )

_s M k k j k M k k j k j k M k k j k s

H

eger

k

dengan

e

b

e

e

b

e

b

H

s s s

ω

π

ω

ω π ω π ω

=

=

=

=

=

+

∑

∑

∑

= − = − − = + −

int

;

2

0 0 2 0 2

Representasi

Representasi

Grafik

Grafik

pada

pada

Respon

Respon

Frekuensi

Frekuensi

Dua

Dua poinpoin pentingpentingyang yang harusharus““didi--emhpasizedemhpasized” ” tentangtentang responrespon frekuensi

frekuensi::

1.

1. ResponRespon frekuensifrekuensi biasanyabiasanya memilikimemiliki nilainilai bervariasibervariasi sesuaisesuai

perubahan

perubahan nilainilai frekuensinyafrekuensinya

2.

2. PemilihanPemilihan koefisienkoefisien bb_kk akanakan menentukanmenentukan bentukbentuk responrespon

frekuensinya

frekuensinya

Untuk memvisualisasikan H(ω_s)

Harus menggambarkan dalam sistem koordinat berikut ini

H(ω_s)

ω

Magnitudo

15 Kasus pada suatu system dengan delay:

y[n] = x[n-n0]

Sistem ini memiliki koefisien filter non-zero di bn0 =1, sehingga respon frekuensinya adalah:….

Coba anda kembali melihat persamaan dasar

[

]

∑

= − = M k k x n k b n y 0 ] [ k = n0 b_k Î b_n0 =1 Maka 0 0

.

1

)

(

_s

e

j sn

e

j sn

H

ω

=

− ω

=

− ω

Kasus

Kasus

pada

pada

sistem

sistem

persamaan

persamaan

beda

beda

orde

orde

1

1

y[n] = x[n]-x[n-1]

Respon Frekuensinya adalah

(

)

(

)

(

)

/2

(

)

(

/2 /2

)

2 / 2 / 2 / 2 /

2

/

sin

2

2

/

sin

2

2

/

sin

2

.

sin

cos

1

1

)

(

s s s s s s s j s j s s j j j j s s j s

e

e

e

e

e

e

e

H

ω π ω ω ω ω ω ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

− − − − − −

=

=

=

−

=

+

−

=

−

=

17

Program Matlab

clear all; w=-3:.1:3; y=1-exp(-j*w*pi); subplot(2,1,1) plot(w,abs(y),'linewidth',2) grid xlabel('w (radiant)') subplot(2,1,2) plot(w,y_phase,'linewidth',2) grid xlabel('w (radiant)')

19

Re{H(

Re{H(

ω

ω

_ss

)}= 1

)}= 1

-

-

cos

cos

ω

ω

_ss

;

;

dan

dan

Im{H(

Im{H(

ω

ω

_ss

)}= sin

)}= sin

ω

ω

_ss

;

;

( )

(

) (

)

( )

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

∠

+

−

=

− s s s s s s

H

H

ω

ω

ω

ω

ω

ω

cos

1

sin

tan

sin

cos

1

1 2 2

clear all;

w=-3:.1:3;

y=1-exp(-j*w*pi);

subplot(2,1,1)

plot(w,real(y),'linewidth',2)

grid

xlabel('w (radiant)')

ylabel('Real Part')

subplot(2,1,2)

plot(w,imag(y),'linewidth',2)

grid

xlabel('w (radiant)')

ylabel('Iamaginary Part')

21

Contoh

Contoh

3:

3:

Suatu input diskrit diketahui sebagai berikut: x[n] = 4 + 2cos(0.3 πn – π/4) Pada saat sistem diuji, keluar output sebagai berikut:

y[n] = x[n]-x[n-1]

Cari bentuk respon frekuensi sistem dan cari bentuk output pada saat H(0) = 0 terjadi.

Penyelesaian:

Dengan melihat kembali hasil pada kasus sistem persamaan beda orde 1:

(

)

( )

(

)

( )

2

2

/

3

.

0

sin

2

)

3

.

0

(

2

/

sin

2

)

(

2 / 3 . 0 2 / 2 / 2 / ₂

≈

=

=

− − π π ω π

π

π

ω

ω

j j s

e

H

e

H

z

z KembaliKembali keke prinsipprinsip awalawal

x[n

x[n

] = A

] = A

₀₀

+ A

+ A

₁₁

cos(

cos(

ω

ω

_{1 1}

n +

n +

φ

φ

₁₁

)

)

y[n

y[n

] = H(0)A0 + |H(

] = H(0)A0 + |H(

ω

ω

₁₁

)|A1cos(

)|A1cos(

ω

ω

₁₁

n +

n +

φ

φ

₁₁

+ H(

+ H(

ω

ω

₁₁

))

))

Maka

Maka

:

:

y[n

y[n

] = 4H(0) + 2|H(

] = 4H(0) + 2|H(

ω

ω

₁₁

)|A1cos(0,3

)|A1cos(0,3

π

π

n

n

–

–

π

π

/4+ H(0,3

/4+ H(0,3

π

π

))

))

dengan

dengan

kondisi

kondisi

H(0)= 0,

H(0)= 0,

maka

maka

:

:

y[n

y[n

] = 2(2)sin(0,3

] = 2(2)sin(0,3

π

π

/2)cos(0,3

/2)cos(0,3

π

π

n

n

–

–

π

π

/4

/4

–

–

0,3

0,3

π

π

/2)

/2)

= 1,816 cos(0,3

23

Kasus

Kasus

pada

pada

Low Pass Filter

Low Pass Filter

Sederhana

Sederhana

:

:

Suatu sistem memiliki frekuensi respon

(

)

s s s j s j j s

e

e

e

H

ω ω ω

ω

ω

− − −

+

=

+

+

=

cos

2

2

2

1

)

(

2

Nilai (2 + 2 cosω

_s

) > 0 untuk semua

ω

Kita juga memiliki:

|H(ω

_s

)| = (2 + 2 cos(ω

_s

) dan H(ω

_s

) = -ω

_s

clear all;

clear all;

ws

ws

=

=

-

-

pi:pi/17:pi;

pi:pi/17:pi;

H_ws

H_ws

=(2+2*

=(2+2*

cos(ws

cos(ws

)).*exp(

)).*exp(

-

-

j*

j*

ws

ws

*pi);

*pi);

subplot(2,1,1)

subplot(2,1,1)

plot(ws,abs(H_ws),'linewidth',2)

plot(ws,abs(H_ws),'linewidth',2)

grid

grid

xlabel('w(radiant

xlabel('w(radiant

)')

)')

subplot(2,1,2)

subplot(2,1,2)

plot(ws,phase(H_ws),'linewidth',2)

plot(ws,phase(H_ws),'linewidth',2)

grid

grid

xlabel('w(radiant

xlabel('w(radiant

)')

)')

Contoh

Contoh

4:

4:

Jika diketahui suatu input adalah x[n] = 4 + 3cos((π/3)n –π/2) + 3cos((20π/21)n) Dapatkan output dari y[n] =………

Penyelesaian:

Dengan gambar yang terbangkit, coba anda hitung H(ws) pada ws =0, π/3, dan 20π/21 π₁ H(0) = (2 + 2cos(0)) e-j0 = 4 H(π/3) = (2 + 2cos(π/3)) e-jπ/3 = (2 + 1) e-jπ/3 = 3e-jπ/3 H(20π/21) = 0,0223 e-j20π/21

27

z

z

Outputnya

_Outputnya

:

:

y[n

y[n] = 4.4 + 3.3 cos((] = 4.4 + 3.3 cos((ππ/3)n /3)n –– ππ/3 /3 ––ππ/2) + (0,0223) 3cos((20/2) + (0,0223) 3cos((20ππ/21)n /21)n –– 2020ππ/21)/21) =16 + 9 cos(

=16 + 9 cos(ππ/3(n /3(n ––1) 1) ––ππ/2) + 0,067 cos(20/2) + 0,067 cos(20ππ/21(n/21(n--1))1))

Gambarkan

Gambarkan

outputnya

outputnya

….

….

n=1:1:30;

n=1:1:30;

x_n

x_n

= 4 + 3*

= 4 + 3*

cos(n

cos(n

*pi/3

*pi/3

-

-

pi/3) + 3*

pi/3) + 3*

cos(n

cos(n

*20*pi/21);

*20*pi/21);

subplot(2,1,1)

subplot(2,1,1)

stem(n,x_n

stem(n,x_n

)

)

ylabel('Input

ylabel('Input

x[n

x[n

]')

]')

xlabel('Time

xlabel('Time

Index n')

Index n')

subplot(2,1,2)

subplot(2,1,2)

y_n

y_n

= 16 + 9*cos(pi/3*(n

= 16 + 9*cos(pi/3*(n

-

-

1)

1)

-

-

pi/2) + 0.067*cos(20*pi/21*(n

pi/2) + 0.067*cos(20*pi/21*(n

-

-

1));

1));

stem(n,y_n

stem(n,y_n

)

)

ylabel('Output

ylabel('Output

y[n

y[n

]')

]')

xlabel('Time