Bab 7: Beberapa Topik Lanjut

Bab 7: Beberapa Topik Lanjut

1 Representasi Low Pass dari Sinyal Bandpass

Tujuan Belajar 1

Peserta dapat melakukan sampling sinyal bandpass secara effisien, melalui teknik LP representation dari sinyal BP.

Motivasi :

Misalkan x(t) adalah band-pass signal, maka dapat dibentuk representasi matematis sebagai berikut : ) ( ) ( 2 ) (F V F X F X₊ = dimana

V(F) adalah unit step function

X(F) adalah transformasi Fourier dari x(t) maka

∫

∞ ∞ − + + t = X F e dF x ( ) ( ) j2πFt

[

2 ( )

]

*

[

( )

]

) ( 1 1 F X F F V F t

x₊ = − − yaitu analytic or preenvelope of x(t) karena

[

( )

]

( ) 1 t x F X F− = dan

[

]

t j t F V F π δ + = −1 _{2 ( ) ( )} maka ) ( * ) ( ) ( x t t j t t x     ₊ = + δ _π

Analog

A/D

x(n) BPF

) ( ˆ ) ( ) ( * 1 ) ( x t x t jx t t j t x + = + = π bila

∫

∞ ∞ − − = ≡ τ τ τ π π t d x t x t t xˆ( ) 1 * ( ) 1 ( )

∫

∞ ∞ − − = h t e dt F H( ) ( ) j2πFt     < = > − = =

∫

∞ ∞ − − 0 0 0 0 1 1 2 F j F F j dt e t Ft j π π 1 ) (F = H      < > − = 0 2 1 0 2 1 ) ( F F F π π θ

terjadi beda fasa sebesar 90o untuk semua frekuensi

Representasi lowpass dari x+(t) dapat dinyatakan sebagai :

1. X_l(F)≡ X +(F+F_c) t F j l c e t x t x( )= +( ) − 2π =

[

_x(t)+ _jxˆ_(t)

]

_e−j2πFct atau _x(t)+ _jxˆ_(t)=_xe(t)ej2πFct ) ( ) ( ) (t u t ju t e x = _c + _s → complex t F t u t F t u t x( )= _c( )cos2π _c − _s( )sin2π _c t F t u t F t u t xˆ( )= _c( )sin2π _c + _s( )cos2π _c

Komponen frekuensi rendah uc(t) dan us(t) dapat dilihat sebagai amplitude modulations

dengan sinyal carrier masing-masing adalaah cos2πFct dan sin2πFct. Karena komponen

carrier ini dalam fasa quadrature maka uc(t) dan us(t) disebut quadrature components

dari bandpass signal x(t)

2. _x(t)=_Re

{

[

_uc(t)+ _jus(t)

]

_ej2πFct

}

{

j Ft

}

e c e t x ( ) π Re = xe(t) ⇒ complex envelope of x(t)

⇒ equivalent lowpass signal 3. xe(t) a(t)ej (t) θ = dimana a(t)= u_c2(t)+u_s2(t) dan ) ( ) ( tan ) ( 1 t u t u t c s − = θ

( )

t

xˆ

h(t)

( )

t

x

maka

[

e j Ft

]

c e t x t x( )=Re ( ) 2π =Re

[

_a(_t)_ej[2πFct+θ(t)]

]

_a(t)cos

[

_{2 Ft (t)}

]

c θ π + =

a(t) adalah envelope x(t) dan θ(t) adalah sudut fasa dari x(t)

Hubungan antara spektrum bandpass signal dan representasi lowpass dari BPS.

[

]

{

}

(

)

[

]

[

( ) ( )

]

2 1 e ) ( (t)e x 2 1 ) ( 2 1 ) Re( ) ( Re ) ( ) ( * Ftdt j2 -2 * t F j2 e * 2 2 2 c c e c e t F j e Ft j t F j e Ft j F F X F F X e t x F X dt e e t x dt e t x F X c c − − + − = + = ⇒ + = = =

∫

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − π π π π π ξ ξ ξ

Spectrum dari X(F) dapat diperoleh dari XL(F) dengan frekuensi translasi.

Sampling BPS. Nyquist → 2B2 samples/sec → geser

2

2 1

B

B

F

_c

=

+

⇒ sampling terhadap low pass

⇒ shifting ⇒ xej2πFct =_cos2πF_ct+ j_sin2πF_ct

⇒ lowpass filter to remove signals at 2Fc

→ Bandwidth ⇒ 2 2 1 2 B B B _≡ − _⇒ Nyquist B samples/sec ⇒ terdapat 2B samples/sec

Sampling x(t) at comparable rates

Let upper frequency = Fc + B/2 = kB

↓ positive integer bila x(t) → sample at 2B = 1/T sample/sec

2 ) 1 2 ( sin ) ( 2 ) 1 2 ( cos ) ( 2 sin ) ( 2 cos ) ( ) ( − − − = − = k n nT U k n nT U nT F nT U nT F nT U nT x s c c s c c π π π π karena 2 B kB F_c = − dan

B

T

2

1

=

⇒ n genap = 2m ) ( (-1) ) 1 2 ( cos ) ( ) ( ) 2 ( 1 m 1 1 mT u k m mT u mT x mT x c c = − = ≡ π ⇒ n ganjil = 2m - 1

( )

1 2 2 ) 2 ( 1 1 1 1  −      ₋ =       ₋ ≡ −T x mT T u mT T mT x _s

• Jadi even-numbered samples of x(t) yang muncul dengan rate B samples/sec, menghasilkan samples dari LPF uc(t)

• Odd-numbered samples of x(t) (juga dengan B samples per second) menghasilkan us(t)

Rekonstruksi xe(t) dari uc(mT1)

Us(mT1-T1/2)

(

)

(

)

∑

∑

∞ ∞ − ∞ ∞ −       _{− +}           _{− +}     − = −     −     = ⇒ 2 2 sin ) 2 ( ) ( sin ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T mT t T T mT t T T mT u t u mT t T mT t T mT u t u s s c c π π π π

karena x(t)=u_c(t)cos2πF_ct−u_s(t)sin2πF_ct

maka

( ) (

)

₍

(

₎

)

( )

(

(

)

)

(

)

(

)

∑

∞ −∞ = +       + −       + −       − − +       + − −       − = m c m c m t F T mT t T T mT t T T M x t F mT t T mT t T mT x t x π π π π π π 2 sin 2 2 2 2 sin 1 2 1 2 cos 2 2 / 2 2 sin 2 1 ) ( 1

tetapi

( )

−1mcos2πF_ct=cos2πF_c

(

t−2mT

)

dan

( )

−1m+ksin2πF_ct=cos2πF_c

(

t−2mT+T

)

( )

(

)

(

)

(

)

∑

∞ −∞ = − − −       = ⇒ m c t mT F mT t T mT t T mT x t x π π π 2 cos 2 2 sin ) ( T = 1/2Bs Secara Umum : 2 B F_c ≥           + = B B F r c 2 B → B1⇒ r B B Fc = + 1 2 2 2 1 1 B B F F _c c = + − ⇒ 1 . 2 off cut =F_c+B =rB

B

B'

(

)

(

)

(

)

∑

∞ −∞ = −       ₋       + −       + + = ⇒ n c t mT F mT t mT t n x t x 1 1 1 1 2 cos 1 2 1 2 sin ) 1 ( ) ( π π π

⇒ x(t) can be represented by samples taken by

[ ]

1 1 1 1 dan 2 1 2 r mana di s/s, 2 1 r r B F B B F r r B T c c = + = + = =

Jadi bila Fc Bisnot rB 2

+ , sampling rate musti naik by r r1 Tetapi begitu Fc/B naik,

r r1 _→

1 % increase tends to φ of sampling rate Ctt.

( )

( )

(

)

(

)

∑

∞ −∞ = _{ −}      −       − = n n c nT t T nT t T nT x t u 1 1 1 1 1 2 2 2 2 sin 2 1 ) ( π π dan

( )

(

)

(

)

(

)

∑

∞ −∞ = + + + −       + −       − − = n r n s T nT t T T nT t T T nT x t u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 sin 2 1 ) ( π π r = [r1] ⇒ 2B ≤ Fs < 4B

↓ ↓ bila r = 1 r1≈ 2 (worst condition) bila Fc+B/2 = rB

2 Pemrosesan Sinyal Analog Secara Digital

Tujuan Belajar 2

Peserta dapat melakukan pemrosesan sinyal waktu kontinu di domain waktu diskrit.

Gambar diatas adalah konfigurasi umum pemroses digital dari sinyal analog. Pertama-tama yang perlu diperhatikan adalah besarnya bandwidth dari sinyal yang akan diproses, karena besarnya bandwidth menentukan sampling rate minimum.

Prefilter, adalah sebuah antialiasing filter yaitu filter analog dengan dua fungsi. Pertama, memastikan bahwa bandwidth dari sinyal yang akan disampling terbatas pada frekuensi yang telah ditentukan, jadi semua komponen frekuensi diatas Fs/2 diredam agar distorsi sinyal akibat aliasing dapat dihilangkan. Fungsi kedua antialiasing filter adalah untuk membatasi spektrum noise dan interferensi lainnya.

Setelah menentukan prefilter dan memilih sampling rate yang dikehendaki, selanjutnya adalah merancang algoritma pemrosesan sinyal. Pemilihan sampling rate Fs = 1/T, dimana T adalah interval sampling, tidak sekedar menentukan frekuensi tertinggi yang akan diproses tetapi juga sebagai faktor skala yang berpengaruh pada spesifikasi filter digital dan sistem waktu diskrit yang diproses.

Contoh :

Terdapat sinyal analog dengan bandwidth 3000 Hz dan disampling pada 8000 Hz, hendak dirancang sebuah differensiator. Dalam hal ini, Fs = 8000 Hz mempunyai folding frequency 4000 Hz, yang dalam sistem waktu diskrit sesuai dengan ω = π. Jadi bandwidth sinyal 3000 Hz sesuai dengan frekuensi ωc = 0.75π. Jadi, differensiator yang

dirancang akan mempunyai passband pada 0 ≤ |ω| ≤ 0.75π.

3 Multirate Signal Processing

Tujuan Belajar 3

Peserta dapat menjelaskan motivasi, definisi dan untung-rugi teknik multirate DSP, termasuk konversi sampling rate.

Sampling rate conversion dapat dilihat sebagai sebuah proses linear filtering

Tujuannya adalah untuk merubah frekuensi sampling Integers Prime Relatively → = D I F F x y

Sampling rate conversion dapat dianggapa sebagai proses digital resampling dari sinyal analog yang sama.

Fy=1/Ty

h(n,m)

y(n)

x(n)

_{Linear Filter}

y(m) adalah versi x(n) dengan waktu tergeser. Realisasi dapat dilakukan dengan menggunakan linear filter dengan

- flat magnitude response - linear phase response

i

j

e− ωτ ⇒

↓ time delay

⇒ delay τi berbeda dari sample ke sample

⇒ gunakan sejumlah e-jωτI untuk semua τI

Sampling rate convesion dapat berupa desimasi (down sampling) dengan faktor D atau interpolasi (up sampling) dengan faktor I.

Tujuan Belajar 4

Peserta mengerti proses desimasi dengan faktor D, beserta karakteristik di domain frekuensi

Misal x(n) dengan spektrum X(ω) ingin dilakukan down-sampling dengan faktor D X(ω) non zero 0 ≤ |ω| ≤ω

|F| ≤ Fx/2

Bila x(n) langsung disubsampling maka terjadi aliasing. Jadi x(t) difilter dulu agar bandwitdth menjadi Fmax= Fx/2D atau ωmax= π/D

Karena HD(ω) menghapus π/D < ω < π maka signal yang dikehendaki tidak boleh ada di

daerah yang dihapus tersebut Keluaran dari filter, v(n) adalah

∑

∞ = − = 0 ) ( ) ( ) ( k k n x k h n v

Down-sampling dengan faktor D

∑

∞ = = = 0 ) ( ) ( k ) h(k)x(mD-k mD V m y

→ time variant system] x(n) → y(m)

x(n-no) → y(n-no) kecuali bila no = kD

Misalkan    = ± ± = otherwise 0 D 2 D, 0, n ) ( ) ( ˆ _n V n V maka D perioda dengan p(n) impulses of train periodic ) ( ) ( ) ( ˆ ↑ × =v n p n n v Series Fourier 1 ) ( 1 0 / 2 ← =

∑

− = D k D kn j e D n p π Jadi vˆ(n)=v(n)p(n) dan y(m)=v(mD)=v(mD)p(mD)=v(mD)

∑

∑

∑

∞ −∞ = − ∞ −∞ = ∞ −∞ = − − = = = m D m m m m m z m v z Y z mD v z m y z Y / ) ( ˆ ) ( ) ( ˆ ) ( ) (

karena Vˆ(m)=0 kecuali pada kD

maka

∑

∑

∞ −∞ = − − =     = m D m D k D mk j z e D m v z Y / 1 0 / 2 1 ) ( ) ( π

(

)

(

)

(

) (

)

∑

∑

∑ ∑

− = − − − = − − = ∞ −∞ = − = = = 1 0 / 1 / 2 / 1 / 2 1 0 / 1 / 2 1 0 / 1 / 2 D 1 D 1 ) ( 1 ) ( D k D D k j D D k j D D k D D k j D k m D D k j z e X z e H z e V z e m v D z Y π π π π

karena V(z) = HD(z)X(z) pada z = ejω maka y y y FT F F _π π ω = 2 =2 x y x y D D F F = →ω = ω karena x x x FT F F π π ω = 2 =2 down sampling D x π ω ≤ ≤ ⇒0 ditarik ke 0≤ωy ≤π Jadi

( )

    −     − =

∑

− = D k X D k H D y Y y D k y D π ω π ω ω 1 1 2 2 0

Bila HD didesain dengan baik, tidak terjadi aliasing

( )

= _ _         = D X D D X D H D y Y ω 1 _D ωy ωy 1 ωy

D=3

0 ≤ |ωy| ≤π

Tujuan Belajar 5

Peserta mengerti proses interpolasi dengan faktor I, beserta karakteristik di domain frekuensi

Interpolasi adalah mengisi mengisi I-1 sample diantara sample dengan nilai 0.

( )

(

)

   = ± ± = otherwise 0 ,... 2 , , 0 /I m I I m x m v

rate v(m) = rate y(m)

( )

( )

( )

mI

( )

I m m m z X z m v z m v z V = = = − ∞ −∞ = − ∞ −∞ =

∑

∑

( ) ( )

I IF F F F I X V x y x y y y y ω ω π ω ω ω = → = ⇒ = = ⇒ / 2 , F terhadap relatif y y

( )









_≤

_≤

=

otherwise

0

I

0

)

(

π

ω

ω

ω

y y y

CX

I

Y

C dipilih agar y(m) = X(m/I) untuk m = 0, ±1, ±2, ±… Pada m = 0

∫

∫

− − = = I I y y y y X I d C d Y y / / ) ( 2 ) ( 2 1 ) 0 ( π π π π ω ω π ω ω π karena ωy = ωx/I,

( ) ( )

I C o x I C d X I C o y _{x x} = ⇒ = =

_∫

− ) ( 2 1 ) ( π π ω ω π Akhirnya,

( ) ( )

(

) ( )

(

) ( )

∑

∑

∞ −∞ = ∞ −∞ = − = − = = k k k x kI m h k v k m h m y n h n V m y ) ( * ) ( karena v(k) = 0, kecuali k = nI Tujuan Belajar 6

Peserta dapat melakukan konversi sampling rate dengan faktor rasional I/D

( )

(

)

   ≤ ≤ = otherwise 0 / , / min 0 D I I H ω_v ω π π dimana I IF F _x x v ω π π ω = = 2 = F F 2 v

( )

    _{= ± ±}       = otherwise 0 ,... 2 , , 0 l I I I l x l V ω(l) v(k) y(m) x(n) ↑ I h(e) ↓ D