Fungsi Khusus Integral [Compatibility Mode]

(1)

FUNGSI KHUSUS

DALAM BENTUK

INTEGRAL

(2)

FUNGSI FAKTORIAL FUNGSI FAKTORIAL Definisi

∫

∞ −

₌

0

!

n

dx

e

x

n x

1 !

0 =

Buktikan bahwa :

( )

0

1

1 !

0

0 0 0 0

=

−

=

−

=

∞

_∫

−x ∞

_∫

−x −x ∞

e

dx

e

dx

e

x

Terbukti

(3)

FUNGSI Gamma FUNGSI Gamma Definisi

( )

;

0

0 1

>

=

Γ

∞

_∫

− −

p

dx

e

x

p

p x

Hubungan fungsi Gamma dengan fungsi Faktorial

(

₁

)

(

)

_!

0 0 1 1

p

dx

e

x

dx

e

x

p

+

=

p x

=

p x

=

Γ

∞

_∫

− + − ∞

_∫

−

(

p

+

1 )

=

p

!

Γ

( )

1 =

0 !

=

1 ,

Γ

( )

2 =

1 !

=

1 ,

Γ

( )

3 =

2 !

=

2 dst

Γ

(4)

Nilai Fungsi Gamma ditabulasi

untuk Gamma 1 sampai

dengan Gamma 2

(5)

Hubungan Rekursif Fungsi Gamma Hubungan Rekursif Fungsi Gamma

(

₊

)

₌

_∫

∞ −

Γ

0

1 x

e

dx

p

p x

dp

px

du

x

u

=

p

=

p−1 x x

e

v

dx

e

dv

=

−

=

−

Lakukan integrasi parsial, seperti berikut :

x x

e

v

dx

e

dv

=

−

=

−

(

₊

)

₌

₋

− ∞

₋

_∫

∞

( )

₋

− −

Γ

0 1 0

1 x

e

px

dx

p

p x x p

(

p

+

)

=

p

x

p

e

x

dx

=

p

Γ

( )

p

Γ

∞

_∫

− − 0 1

1 (

p

+

)

=

p

Γ

( )

p

Γ

1

(6)

(

p

+

)

=

p

Γ

( )

p

Γ

1 ( ) ( )

3 =

Γ

2 +

1 =

2 Γ

( ) ( )

2 =

2

1 =

2 Γ

( ) ( )

4 =

Γ

3 +

1 =

3 Γ

( )

3 =

3 Γ

( )

2 +

1 =

3 .

2 Γ

( ) ( )

2 =

6

1 =

6 Γ

dst

(7)

( )

=

1 Γ

(

+

1 )

Γ

p

( )

(

)

( )

1 ,

6

6 ,

0

1

6 ,

0

6 ,

0

1

6 ,

0 =

Γ

+

=

Γ

(

−

1 ,

5 )

=

1 Γ

(

−

1 ,

5 +

1 )

=

1 Γ

(

−

0 ,

5 )

Γ

Tabel F. Gamma

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

1 ,

5

5 ,

0

1

5 ,

0

1

5 ,

1

5 ,

0

5 ,

0

1

5 ,

1

5 ,

0

5 ,

0

1

5 ,

1

5 ,

0

5 ,

1

5 ,

1

5 ,

1

5 ,

1 Γ

−

=

Γ

−

=

+

−

=

−

Γ

−

=

+

−

Γ

−

=

−

Γ

Tabel F. Gamma

(8)

Nilai Nilai ΓΓΓΓΓΓΓΓ(0,5)(0,5)

( )

e

dt

t

dt

e

t

t −t ∞ ∞ − −

_∫

∫

=

Γ

0 0 1 5 , 0

1

5 ,

0

Misalkan t = y2_{, maka dt = 2y dy}

( )

e

ydy

y

y2

1

2

5 ,

0

− ∞

∫

=

Γ

( )

e

ydy

y

0

2

5 ,

0 =

∫

Γ

( )

e

xdx

x

x2 0

1

2

5 ,

0

− ∞

∫

=

Γ

( )

[

_Γ

]

₌

_{∫ ∫}

∞ ∞ −

(

+

)

0 0 2 2 2

4

5 ,

0 e

x y

dx

dy

(9)

( )

[

]

_{∫ ∫}

= ∞ − ∞ −

₌

−

=

Γ

/2 0 0 ₀ 2

2

4

5 ,

0

2 2 π θ

π

θ

r r

e

d

rdr

e

( )

[

Γ

0 ,

5 ]

2

=

π

Nilai Nilai ΓΓΓΓΓΓΓΓ(0,5)(0,5)

( )

[

]

( )

π

=

Γ

=

Γ

5 ,

0

5 ,

0

(10)

Contoh soal Contoh soal

Hitunglah integral berikut dengan Fungsi Gamma :

∫

∞ − 0 2 2

dx

e

x

∫

∞ − 2 2

dx

e

x

x Jawab Misal u = x2_{, maka du = 2x dx}

∫

− 0 2

dx

e

x

x Misal u = x2, maka du = 2x dx Untuk x = 0 maka u = 0 Untuk x = ∞ maka u = ∞

( )

4

5 ,

0

2

1

2

1

5 ,

1

2

1

2

1

2

₀ 2 / 1 0

π

=

Γ

=

Γ

=

_∫

∫

∞ − ∞ −

du

e

u

du

ue

u u

4

0 2 2

=

π

∫

∞ −

dx

e

x

(11)

Soal Latihan Soal Latihan

Hitunglah integral-integral berikut dengan Fungsi Gamma :

(

)

∫

− ∞ ∞ −

+

2 0 3

2 .

1

2

dy

e

y

dt

e

t

y t

(

)

( )

∫

+

1 0 3 / 1 0

ln

.

3

2 .

2 dx

x

dy

e

y

(12)

( ) (

)

p

π

sin

1 −

=

Γ

Formula penting terkait Formula penting terkait Fungsi Gamma Fungsi Gamma Untuk p = 0,5

π

( ) (

)

π

_π

5 ,

0 sin

5 ,

0

1

5 ,

0 Γ

−

=

Γ

( ) ( )

( )

[

]

( )

π

=

Γ

=

Γ

=

Γ

5 ,

0

5 ,

0

1

5 ,

0

5 ,

0

2

(13)

( )

z

π

sin

!

−

=

Contoh soal Contoh soal Bukti

( )

z

( ) ( )

z

!

−

!

=

Γ

+

1 Γ

1 −

( )

z

( ) ( )

z

!

−

!

=

Γ

1 −

Buktikan bahwa : Ingat :

(

n

+

1 )

=

n

!

Γ

dan

( )

z

( ) ( )

z

!

−

!

=

Γ

1 −

Γ

(

_n

+

₁

)

=

_n

Γ

( )

_n

( )

z

[

( ) ( )

z

]

z

!

−

!

=

Γ

1 −

dan

( ) ( )

n

π

sin

1 −

=

Γ

( )













=

−

z

π

sin

!

( )

z

π

sin

!

−

=

(14)

Fungsi Beta

Definisi 1 :

( )

,

( )

1 ;

0 ;

0 .

1 0 1 1

−

>

=

_∫

− −

q

p

dx

x

q

p

B

p q

( ) ( )

p

q

B

q

p

B

( ) ( )

p

,

q

=

B

q

,

p

B

,

=

,

Definisi 2 :

( )

_∫

₋

(

)

− − +

−

=

a q p q p

y

a

y

dy

a

q

p

B

0 1 1 1

1 ,

(15)

Fungsi Beta

Definisi 3 :

( )

₌

_∫

/2

(

) (

−

)

− 0 1 2 1 2

cos

sin

2 ,

π

θ

d

q

p

B

p q Definisi 4 :

( )

_∫

∞

₍

−

₎

₊

+

=

0 1

1 ,

_p _q p

y

dy

y

q

p

B

(16)

Hubungan Fungsi Beta

dan Fungsi Gamma

( )

₌

_∫

∞ − −

Γ

0 1

dt

e

t

p

p t ∞ ∞ Fungsi Gamma Misal t = y2_{, maka}

( )

₌

∞

_∫

− −

Γ

0 1 2 2

2 y

e

dy

p

p y

( )

∫

∞ − −

=

Γ

0 1 2 2

2 x

e

dx

q

q x

( ) ( )

_Γ

₌

∞

_{∫ ∫}

∞ − − −

(

+

)

Γ

0 1 2 0 1 2 2 2

4 x

y

e

dx

dy

q

p

q p x y

( ) ( )

_Γ

₌

∞

_{∫ ∫}

(

) (

−

)

− −

Γ

0 1 2 2 / 0 1 2 2

sin

cos

4 θ

θ

π

rdrd

e

r

q

p

q p r atau

(17)

Hubungan Fungsi Beta

dan Fungsi Gamma

( ) ( )

_Γ

₌

_∫

∞ + − −

_∫

(

) (

−

)

−

Γ

0 1 2 2 / 0 1 2 1 2 2

sin

cos

4

2

θ

π

d

dr

e

r

q

p

p q r q p

(

p

+

q

)

Γ

2

1 _B

( )

_p

_,

_q

2

1 ( ) ( )

p

q

(

p

q

) ( )

B

p

,

q

2

1 .

2

1

4 Γ

+

=

Γ

( )

( ) ( )

₍

₎

q

p

q

p

q

p

B

+

Γ

=

,

(18)

Hubungan Fungsi Beta

dan Fungsi Gamma

( )

( ) ( )

1 _{( )}

( )

1 ( )

2

1 ,

1

1 3 2 1

=

Γ

=

π

B

contoh

( )

2

2 1 2 3

Γ

_π

(19)

Contoh soal 1

dx

x

∫

/2 0 3

cos

sin

π

Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta

Solusi dengan def. Fungsi Beta 3

( )

=

∫

(

) (

−

)

−

2 / 0 1 2 1 2 cos sin 2 , π

θ

d q p B p q

(

)

_∫

(

) (

)

∫

=

2 / 0 2 / 1 2 / 3 2 / 0 2 / 1 3

cos

sin

cos

sin

π π

dx

x

dx

x

4 5 2 3

1

2 p

−

=

p

=

3₄ 2 1

1

2 q

−

=

q

=

(

)

( ) ( )

_{( )}

...

2

1 ,

2

1 cos

sin

4 3 4 5 4 3 4 5 2 / 0 3

=

Γ

=

∫

x

dx

B

π

(20)

Contoh soal 2

(

)

∫

∞

+

0 6 2

1 y

dy

y

Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta

Solusi dengan def. Fungsi Beta 4

( )

(

)

∫

∞ + −

+

=

0 1

1 ,

_p _q p

y

dy

y

q

p

B

3

2

1 =

=

−

p

(

_p

+

_q

)

=

₆

_q

=

₃

0

(

)

( ) ( ) ( )

( )

120

4

6

3

3 ,

3

1

0 6 2

=

Γ

=

+

∫

∞

B

y

dy

y

Jadi

(21)

Soal Latihan

(

)

∫

+

∞ 0 2 3

1 .

1 y

dy

y

Selesaikan integral berikut dengan fungsi Beta yang sesuai

∫

₋

2 / 0 2 0 2

sin

.

3

2 .

2

π

θ

d

x

dx

x

(22)

Aplikasi dalam persoalan Fisika

Sket grafik

_x

2

+

_y

2

=

₉

Gunakan fungsi Beta untuk menghitung : a. Luas daerah pada kuadran pertama

b. Titik pusat massa dari daerah ini (anggap rapat massanya seragam)

Jawab x y

9

2 2

+

=

y

x

a

∫∫

∫ ∫

∫

−

=

3 0 9 0 2 y

dy

dx

dy

dx

dA

A

dy

y

A

=

∫

−

3 0 2

9

(23)

Aplikasi dalam persoalan Fisika

dy

y

A

=

∫

−

3 0 2

9

Misalkan :

y

2

=

x

2 y

dy

=

dx

Batas :

9

3

0

0 =

→

=

→

=

x

y

x

y

(

)

9 9

1 dx

(

)

Gunakan Fungsi

∫

−

=

−

=

9 − 0 2 / 1 2 / 1 9 0

9

2

1

2

9 x

x

dx

x

dx

x

A

Gunakan Fungsi _{Beta kedua}

( )

_∫

₋

(

)

− − +

−

=

a p q q p

y

a

y

dy

a

q

p

B

0 1 1 1

1 ,

(

)

( )

∫

a p−

₋

q−

₌

p+q−

q

p

B

a

dy

y

a

y

0 1 1 1

,

(24)

( )

9 (

1 /

2 ,

3 /

2 )

2

1

1/2 3/2 1

B

A

=

+ −

( ) ( ) ( )

_{( )}

2

2 /

3

2 /

1

9

2

1 Γ

Γ

=

A

( )

1 /

2

9

1 π

π

=

A

( )

4

9

1

2 /

1

9

2

1 π

π

=

A

Dengan rumus luas lingkaran :

( )

4

9

3

4

1

4

1 π

₂

π

2

π

=

r

A

Sama

(25)

B. Titik pusat massa luasan tersebut dihitung dengan rumus :

∫

₌

=

dA

xdA

dM

x

_pm

ρ

∫

₌

=

dA

ydA

dM

y

_pm

ρ

∫

dM

dA

pm

ρ

Dst ...

(26)

Fungsi Error dan Pelengkapnya

Definisi Fungsi Error

( )

₌

_∫

x −t

dt

e

x

Erf

0 2

2 π

Definisi Pelengkap Fungsi Error

( )

₌

_∫

∞ − x t

dt

e

x

Erfc

2

π

(27)

Fungsi Error

( )

2

1 ( )

2

0 2

=

Γ

=

∞

=

∞

_∫

−

π

e

dt

Erf

t Selesaikan dengan

Fungsi Gamma

( )

1

2

1

2

2 1

=

Γ

=

∞

π

Erf

(28)

Fungsi Error dan Pelengkapnya

( )

_













+

=

+

_∫

x −

_∫

∞ − x t t

dt

e

dt

e

x

Erfc

x

Erf

0 2 2

2 π

( )

₊

( )

₌

2

∞

_∫

− 2

dt

e

x

Erfc

x

Erf

t

π

( )

+

( )

=

_∫

0

dt

e

x

Erfc

x

Erf

π

( )

x

+

Erfc

( )

x

=

Erf

( )

∞

=

1 Erf

( )

x

Erfc

( )

x

(29)

Fungsi Error

( )

₌

_∫





₋

₊

₋





x

dt

t

x

Erf

4 2

...

1

2

Dari deret pangkat tak hingga :

...

!

4 !

3 !

2

1

4 3 2

+

=

t

e

t

...

!

4 !

3 !

2

1

8 6 4 2 2

+

−

+

−

=

−

t

e

t

( )

_∫

_











−

+

−

=

t

dt

x

Erf

0 2

...

!

2

1

2 π

( )

t

x

t

x

Erf

0 5 3

....

!

2 .

5

3

2 











−

+

−

=

π

( )

_











−

+

−

=

....

!

2 .

5

3

2 x

3

x

5

x

Erf

π

x

<<

1

(30)

Pelengkap Fungsi Error

Definisi pelengkap fungsi error

Kita tuliskan :

(31)

Pelengkap Fungsi Error

Sekarang tuliskan lagi :













−

























=

− − 2 2

2

1

3 2 t t

e

dt

d

t

e

t

(32)

Pelengkap Fungsi Error

Jika proses ini terus dilanjutkan, maka akan didapat ungkapan deret untuk pelengkap fungsi error, sbb :

1 >>

(33)

Contoh soal

∫

2 − 0 2

.

1 e

x

dx

∫

− 10 2

2 .

2 ∫

e

−u

du

5

2 .

2 e

u

du

π

∫

∞ − 1 2 / 2

2 .

3 e

t

dt

π

(34)

Formula Stirling

Formula Stirling adalah formula pendekatan untuk fungsi Faktorial dan Fungsi Gamma, sbb :

Bukti

(35)

Formula Stirling

persamaan di atas menjadi :

untuk p besar, logaritma dapat diekspansi dalam deret pangkat berikut :

(36)

Formula Stirling Formula Stirling

π

(37)

Bandingkan

Bandingkan nilai eksaknilai eksak n! dengan formula n! dengan formula pendekatan Stirling pendekatan Stirling n n! eksak n! Formula Stirling Persen selisih

5

120 _118,0

_{1,7 %}

20 2,43 X 10

18

_{2,42 x 10}

₁₈

_{1,0 %}

50 3,04 X 10

64

(38)

1. Dalam mekanika statistik sering digunakan persamaan :

N

!

=

ln

−

ln

disini N berorde bilangan Avogadro, N = 1026

Buktikan dari Formula Stirling !

Soal 2. Hitunglah :

( )

2 2

!

2 !

2 lim

n

n n→∞ 3. Hitunglah :

Γ

( )

55 ,

5

(39)

Integral Eliptik

Bentuk Legendre

disebut juga integral eliptik tak lengkap jenis ke satu dan ke dua

k disebut modulus dan φ disebut amplitudo integral eliptik. Integral ini ditabulasi untuk nilai θ = arc sin k dan φ antara 0 dan π/2.

k2 _{dapat dilihat dari bentuk integral, dengan mengetahui k maka} θ _dapat ditentukan, sedangkan φ dapat dilihat pada batas integral, dengan mengetahui θ dan φ, maka nilai integral eliptik dapat dilihat pada tabel integral eliptik F(k,φ) dan E(k,φ).

(40)

Integral Eliptik

Integral eliptik lengkap

Integral eliptik lengkap jenis pertama dan kedua adalah nilai-nilai K dan E (sebagai fungsi k) untuk φ = π/2

Sama seperti sebelumnya, k2 _{dapat dilihat dari bentuk integral, dengan} mengetahui k maka θ dapat ditentukan, dengan mengetahui θ, maka nilai integral eliptik lengkap dapat dilihat pada tabel integral eliptik lengkap K dan E

(41)

Contoh soal

∫

−

4 / 0 2

sin

25 ,

0

1 .

1

π

φ

d

(42)

Bagaimana menghitung integral eliptik untuk φ > π/2 ???

Tinjau fungsi sin2_{x [f(sin}2_{x)] yang merupakan integran dari integral eliptik}

∫

=

∫

+

=

∫

+

=

+

4 / 0 2 / 0 4 / 0 4 / 9 0 2 0 2 0

...

....

4 ....

...

π π π π π π

A

luas

(43)

∫

=

∫

−

=

∫

−

/4

=

−

0 2 / 0 4 / 0 4 / 7 0 2 0 2 0

...

....

4 ....

...

π π π π π π

A

luas

catat

∫

≠

∫

+

=

∫

+

=

+

4 / 0 2 / 0 4 / 0 4 / 7 0 2 / 3 0 2 / 3 0

...

....

3 ....

...

π π π π π π

A

luas

(44)

Contoh soal

∫

−

4 / 5 0 2

sin

037 ,

0

1

π

φ

d

(45)

Jika batas bawah integral tidak nol, maka :

dan jika salah satu batas integral adalah negatif, maka : dan jika salah satu batas integral adalah negatif, maka :

(46)

Contoh soal

∫

−

4 / 11 8 / 7 2

sin

64 ,

0

1

π π

φ

d

(47)

Bentuk Jacobi

Jika kita ambil x = sin φ, pada bentuk Legendre, maka akan didapat integral eliptik bentuk Jacobi jenis pertama dan kedua, sbb :