E ax by c ae X be Y c. 6.1 Pengertian Umum

6.1 Pengertian Umum

Banyak permasalahan yang datanya dinyatakan oleh lebih dari sebuah variabel. Hubungan antara dua atau lebih variabel dapat dinyatakan secara matematika sehingga merupakan suatu model yang dapat digunakan untuk berbagai keperluan analisis, misalnya: peramalan (prediction), perpanjangan (extension), perbaikan atau pengecekan ketelitian data, atau pe ngisan data pada priode kosong untuk kasus hidrologi. Analisis regresi adalah analisis yang membahas hubungan fungsional dua variabel atau lebih. Analisis korelasi (correlation analisys) adalah analisis yang membahas tentang derajat hubungan dalam analisis regresi disebut. Tujuan regresi adalah untuk melihat hubungan antara 2 variabel atau lebih.

6.2 Nilai Harapan

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas 𝑓(𝑥). Mean atau ekspektasi atau nilai harapan dari X adalah

𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑓(𝑥), 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡 𝑥 (6. 1) 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 ∞ −∞ (6. 2) Ekspektasi atau nilai rata-rata atau nilai mean dari variabel acak 𝑋 dengan fungsi kerapatan peluang 𝑓 dan nilai

x

i untuk 𝑖 = 1, 2, . .. adalah

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖𝑓( ∞ 𝑖=1 𝑥𝑖) (6. 3) Teorema 1

Jika 𝑋 adalah variabel acak diskrit, nilai mean dari fungsi 𝑌 = 𝑔(𝑋) adalah 𝐸 (𝑌) = 𝐸[𝑔(𝑋)] = ∑ 𝑔(𝑥𝑖)

𝑖

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)

(6. 4) Teorema 2

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah variabel acak diskrit maka

a. untuk sembarang konstanta

a E a

,

 



a

dan

E aX

 



aE X

 

b.

E X Y









E X

 



E Y

 

c. terdapat kontanta

a b c

, ,











 



 



E aX

bY

c

aE X

bE Y

c

a. Jika X merupakan variabel acak dengan pdf fx(x) dan u(X) adalah fungsi dari X, maka ekspektasi dari u(X) adalah:

 

   

   

     _{  }    





, jika X diskrit , jika X kontinu x x x u x f x E u X u x f x dx (6. 5) b. Sifat linear ekspektasi

 

 

 

 

             E ag X bh X aE g X bE h X (6. 6) 6.3 Variansi

Mean dari variabel acak X adalah suatu nilai yang penting dalam statistik karena nilai tersebut menggambarkan dimana distribusi probabilitas berpusat. Meskipun demikian mean tidak cukup untuk memberikan gambaran tentang bentuk suatu distribusi.Untuk mengetahui bentuk suatu distrib usi, perlu diketahui variabilitas distribusi tersebut. Salah satu ukuran variabilitas dalam statistik adalah variansi. Variansi dari variabel acak X atau variansi dari distribusi probabilitas X dinyatakan dengan

 

Var X

atau dinotasikan dengan



x2 atau

2



.

Misalkan X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas

f x

 

dan mean



. Variansi dari X adalah







  



₂  _ 



2_







2 x E X x f x , jika X diskrit (6. 7)







  









    _  2_



 2 2 E X x f x dx, jika X kontinu (6. 8) Akar kuadrat positif ddari variansi

 



dinamakan standar deviasi dari 𝑋.

Teorema 3

Variansi variabel acak X adalah

 



2  2 



2

E X

(6. 9) Bukti :

Untuk kasus diskrit dapat dituliskan



  





 



₂ 







2 



₂







₂ 2 x x x f x x x f x

 



 



 





2 



 2



2 x x x x f x xf x f x

karena







 

x

xf x dan



 

1

x

f x untuk setiap distribusi probabilitas diskrit maka

 



2 



2 



2



2 2 x x f x sehingga diperoleh

 

 



2





2





2



2





2 x

x f x

E X

(6. 10) Nilai 𝑥 – 𝜇 disebut penyimpangan suatu pengamatan dari rataannya. Karena penyimpangan ini dikuadratkan lalu dirata-ratakan, maka 𝜎2 akan lebih kecil untuk kelompok nilai 𝑥 yang dekat dengan 𝜇 dibandingkan dengan kelompok nilai 𝑥 yang jauh dari 𝜇.

Dengan kata lain, jika nilai-nilai 𝑥 cenderung terkonsentrasi di dekat rataannya, maka variansinya kecil. Sedangkan jika jauh dari rataan maka variansinya besar.

Variansi untuk peubah acak lain yang bergantung pada 𝑋, yaitu 𝑔(𝑋), diberikan dalam Teorema 4.

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak dengan distribusi peluang 𝑓(𝑥). Variansi dari peubah acak 𝑔(𝑋) adalah: 𝜎_𝑔(𝑋)2 = 𝐸[( 𝑔(𝑋) − 𝜇𝑔(𝑋))]2= ∑ [( 𝑔(𝑋) − 𝜇𝑔(𝑋))] 2 𝑥 𝑓(𝑥), 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡 (6. 11) 𝜎_𝑔(𝑋)2 = 𝐸[( 𝑔(𝑋) − 𝜇𝑔(𝑋))]2= ∫ [( 𝑔(𝑋) − 𝜇𝑔(𝑋))] 2 ∞ −∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 (6. 12) 6.4 Sifat-Sifat Variansi Teorema 5.

Jika a dan b adalah konstanta maka

𝜎_{𝑎𝑋 + 𝑏}2 = 𝑎2𝜎_𝑋2 = 𝑎2𝜎2

(6. 13) Akibat 1: Jika a = 1, maka

𝜎_{𝑎𝑋 + 𝑏}2 = 𝜎_𝑋2 = 𝜎2

(6. 14) Akibat 2: Jika b = 0, maka

𝜎_𝑎𝑋 2 = 𝑎2_𝜎

𝑋2 = 𝑎2𝜎2

Teorema 6.

Jika X dan Y adalah peubah acak dengan distribusi peluang 𝑓(𝑥, 𝑦) maka : 𝜎_{𝑎𝑋 + 𝑏𝑌}2 = 𝑎2𝜎_𝑋2 + 𝑏2𝜎_𝑌2+ 2𝑎𝑏𝜎𝑋𝑌

(6. 16) Akibat 1: Jika X dan Y peubah acak saling bebas, maka:

𝜎_{𝑎𝑋 + 𝑏𝑌}2 = 𝑎2_𝜎

𝑋2 + 𝑏2𝜎𝑌2

(6. 17) Akibat 2: Jika X dan Y variabel random saling bebas, maka:

𝜎_{𝑎𝑋 − 𝑏𝑌}2 = 𝑎2_𝜎

𝑋2 + 𝑏2𝜎𝑌2

(6. 18) 6.5 Kovariansi

Salah satu ukuran kekuatan hubungan linear antara dua variabel acak kontinu adalah dengan menentukan seberapa banyak kedua variabel tersebut co-vary, yaitu bervariasi bersama-sama. Jika salah satu variabel meningkat (atau menurun) sebagai akibat peningkatan (atau penurunan) variabel pasangannya, maka dua variabel tersebut dinamakan covary. Namun jika satu variabel tidak berubah dengan meningkatnya (atau penurunan) variabel lain, maka variabel tersebut tidak co-vary. Statistik untuk mengukur berapa banyak kedua variabel covary dalam sampel pengamatan adalah kovarian. Selain mengukur besarnya kekuatan hubungan di antara dua variabel, kovarian juga menentukan arah hubungan dari kedua variabel tersebut.

 Apabila nilainya positif, berati bahwa apabila nilai x berada di atas nilai rata-ratanya, maka nilai y juga berada di atas nilai rata-rata y, dan sebaliknya (Searah).

 Nilai kovarian negatif menunjukkan bahwa apabila nilai x berada di atas nilai rata-ratanya sedangkan nilai y berada di bawah nilai rata-ratanya (berlawanan arah).

 Terakhir, apabila nilai kovarian mendekati nol, menandakan bahwa kedua variabel tersebut tidak saling berhubungan.

Jika 𝑋 dan 𝑌 dua peubah acak bebas dengan rataan



x dan



y, maka kovarians peubah acak 𝑋 dan 𝑌 didefinisikan sebagai

𝜎𝑋𝑌= 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥)(𝑌 − 𝜇𝑦)]

(6. 19) Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah variabel acak dengan distribusi peluang gabungan 𝑓(𝑥, 𝑦). Kovariansi dari 𝑋 dan 𝑌 adalah

𝜎𝑋𝑌= 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥)(𝑌 − 𝜇𝑦)] = ∑ ∑(𝑥 − 𝜇𝑥)(𝑦 − 𝜇𝑦) 𝑦

𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝑌 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑖𝑡

Dan 𝜎𝑋𝑌= 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥)(𝑌 − 𝜇𝑦)] = ∫ ∫ (𝑥 − 𝜇𝑥)(𝑦 − 𝜇𝑦) ∞ −∞ ∞ −∞ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝑌 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 (6. 21) Interpretasi:

• Kovariansi antara dua peubah acak menunjukkan sifat asosiasi (hubungan) antara keduanya; • Jika kedua peubah tersebut bergerak kearah yang sama (nilai 𝑥 berada di atas nilai

rata-ratanya, maka nilai 𝑦 juga berada di atas nilai rata-rata y) maka hasil kali (𝑋 − 𝜇𝑥)(𝑌 − 𝜇𝑦)

cenderung bernilai positif;

• Jika kedua peubah tersebut bergerak ke arah berlawanan (nilai 𝑥 berada di atas nilai rata-ratanya sedangkan nilai 𝑦 berada di bawah nilai rata-rata-ratanya), maka hasil kali (𝑋 − 𝜇𝑥)(𝑌 −

𝜇𝑦) cenderung akan bernilai negatif.

• Terakhir, apabila nilai kovarian mendekati nol, menandakan bahwa kedua variabel tersebut tidak saling berhubungan.

• Tanda kovariansi (+ atau -) menunjukkan apakah hubungan antara kedua peubah acak positif atau negatif.

Rumus alternatif untuk kovariansi:

𝜎𝑋𝑌= 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑥)(𝑌 − 𝜇𝑦)] = 𝐸(𝑋𝑌−𝜇𝑋𝜇𝑌)

(6. 22) 6.5.1 Sifat-Sifat Kovariansi

Sifat- sifat kovarian adalah sebagai berikut

 Jika X dan Y diskrit:

𝜇𝑥= < 𝑥 > = ∑ ∑ 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑥 (6. 23) 𝜇𝑥𝑦= < 𝑦 > = ∑∑ 𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑥 (6. 24) 𝜇𝑥𝑦= < 𝑥𝑦 > = ∑ ∑ 𝑥𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑥 (6. 25)

 Jika X dan Y kontinyu 𝜇𝑥= < 𝑥 > = ∫ ∫ 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ∞ −∞ ∞ −∞ (6. 26) 𝜇𝑦= < 𝑦 > = ∫ ∫ 𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ∞ −∞ ∞ −∞ (6. 27) 𝜇𝑥𝑦= < 𝑥𝑦 > = ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ∞ −∞ ∞ −∞ (6. 28) 6.6 Persamaan Korelasi

Persaman korelasi antara nilai 𝑥 dan 𝑦 adalah 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜎𝑥𝑦

𝜇𝑥𝜇𝑦

, −1 ≤ 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 1

(6. 29) hasil perhitungan dari persamaan 2.11 disebut sebagai harga/notasi Korelasi. Penjelasan dari harga/notasi korelasi adalah sebagai berikut :

• HARGA (-)

Ada hubungan tapi terbalik (jika 𝑥 mengecil maka 𝑦 membesar atau sebaliknya) • HARGA (+)

Ada hubungan tetapi sebanding (𝑥 mengecil maka 𝑦 mengecil atau sebaliknya) • HARGA (0)

Tidak ada hubungan

Contoh Soal 6.1 :

Berikut ini adalah fungsi distribusi probabilitas bersama antara variabel X dan Y. Carilah kovariansi X dg Y f(x,y) x Jumlah baris 0 1 2 h(y) y 0 3/28 29/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 6/14 2 1/28 0 0 1/28 g(x) 10/28 15/28 3/28 1

Langkah 1:

Pertama hitung mean masing-masing variabel:

Langkah 2:

Kemudian hitung E(XY)=

E(XY)=0+0+0+0+3/14+0+0+0+0 = 3/14

Langkah 3:

6.7 Analisis Regresi

Analisis regresi mempelajari bentuk hubungan antara satu atau lebih peubah bebas (𝑋) dengan satu peubah tak bebas (𝑌). Dalam penelitian peubah bebas (𝑋) biasanya peubah yang ditentukan oleh peneliti secara bebas misalnya dosis obat, lama penyimpanan, kadar zat pengawet, umur ternak dan sebagainya. Disamping itu peubah bebas bisa juga berupa peubah tak bebasnya, misalnya dalam pengukuran panjang badan dan berat badan sapi, karena panjang badan lebih mudah diukur maka panjang badan dimasukkan kedalam peubah bebas (𝑋), sedangkan berat badan dimasukkan peubah tak bebas (𝑌). sedangkan peubah tak bebas (𝑌) dalam penelitian berupa respon yang diukur akibat perlakuan/peubah bebas (𝑋). Misalnya jumlah sel darah merah akibat pengobatan dengan dosis tertentu, jumlah mikroba daging setelah disimpan beberapa hari, berat ayam pada umur tertentu dan sebagainya.

Bentuk hubungan antara peubah bebas (𝑋) dengan peubah tak bebas (𝑌) bisa dalam bentuk polinom derajat satu (linear) polinom derajat dua (kuadratik). Polinom derajat tiga (Kubik) dan seterusnya. Disamping itu bisa juga dalam bentuk lain misalnya eksponensial, logaritma, sigmoid dan sebagainya. Bentuk-bentuk ini dalam analisis regresi-korelasi biasanya ditransformasi supaya menjadi bentuk polinom.

Untuk menjelaskan bagaimana hubungan antara dua variabel, perhatikan data yang tercantum dalam tabel berikut :

HARI KE PENGUNJUNG (Xi) BELANJA (Yi) HARI KE PENGUNJUNG (Xi) BELANJA (Yi) 1 35 32 16 40 38 4 / 3 28 / 3 * 2 28 / 15 * 1 14 / 5 * 0 ) ( ] [      



x X E X xg x



2 / 1 28 / 1 * 2 7 / 3 * 1 28 / 15 * 0 ) ( ] [      



x Y EY yh y



          





0 * ) 2 * 2 ( ) 0 )( 1 * 2 ( ) 28 / 1 )( 0 * 2 ( ) 0 )( 2 * 1 ( ) 14 / 3 )( 1 * 1 ( ) 14 / 3 ( * ) 0 * 1 ( ) 28 / 3 )( 2 * 0 ( ) 28 / 9 )( 1 * 0 ( ) 28 / 3 )( 0 * 0 ( ) , ( ] [ x y y x xyf XY E 56 9 ) 2 1 )( 4 3 ( 14 3 ] [      _{X Y} XY E XY







2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 34 40 31 43 40 30 34 39 33 32 36 40 43 36 31 38 29 42 33 29 29 36 31 31 33 37 36 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 41 32 34 30 35 36 37 39 41 33 34 36 38 37 37 30 30 28 35 29 34 35 36 32 32 34 37 34

Tabel 6. 1 Banyak pengunjung dan belanja di suatu toko swalayan selama 30 hari

Tabel 2.1 merupakan gambaran banyak pengunjung (dinyatakan dengan 𝑋𝑖) dan yang

berbelanja (dinyatakan dengan 𝑌𝑖) yang telah dicatat oleh seseorang pengusaha di tokonya.

Kebiasaan yang digunakan dalam penentuan simbol-simbol yang lazim, ialah 𝑋𝑖 untuk hal yang

diperkirakan lebih tepat dapat digolongkan ke dalam variabel yang sifatnya bebas, sedangkan 𝑌𝑖untuk

variabel yang diperkirakan akan bergantung pada 𝑋𝑖.

Bentuk dari model persamaan regresi untuk populasi secara umum adalah sebgai berikut



X

X

X

_{k m}



f

Y



₁

,

₂

,...,

/



₁

,



₂

,...,



(6. 30) Dimana



1

,



2

,...,



m parameter-parameter yang terdapat dalam regresi itu. Regresi yang sederhana untuk populasi dengan sebuah variabel bebas yang dikenal dengan regresi linier dengan model:

X

Y





₁





₂ , ₁ dan



₂ parameternya.

(6. 31)

 ₁ dan



₂ dari sebuah sampel acak dapat ditaksir oleh a dan b maka persamaan regresinya adalah

bX

a

Y





(6. 32)

 Untuk fonemena dua variabel bebas ( regresi non linier):

 Parameter-parameternya ₁,



₂ dan



₃ dari sebuah sampel acak dapat ditaksir oleh a, b dan c maka persamaan regresinya berupa parabola yaitu

c bX aX Y  2   (6. 33) 6.8 Regresi Linear

Scatter diagram (diagram pencar) adalah suatu diagram yang digunakan untuk melihat secara visual apakah ada hubungan antara 2 variabel.

Gambar 6. 1 Contoh Diagram Pencar

Sumber: http://www.spcforexcel.com/files/images/scatterpic.gif

Dengan menggunakan diagram pencar dapat dilihat apakah ada sesuatu hubungan yang berarti diantara titik-titik itu pada atau sekitar garis lurus? Jika demikian halnya, cukup alasan bagi kita untuk menduga bahwa antara variabel-variabel itu ada hubungan linear. Dalam hal lainnya, antara variabel-variabel itu diduga terdapat hubungan non linear.

Setelah diketahui bentuk hubungan antara variabel itu, tugas selanjutnya ialah menentukan hubungan tersebut dirumuskan dalam suatu persamaan matematis. Kemudian disusun dalam suatu persamaan garis yang merepresentasikan persamaan matematisnya. Garis ini dikenal dengan nama garis regresi. Jika hubungan 𝑌 = 𝑓(𝑋) itu linear, maka garis yang didapat adalah garis regresi linear. Dalam hal lainnya didapat regresi nonlinear.

Oleh karena regresi linear merupakan bentuk regresi yang paling mudah ditelaah, kecuali itu juga karena banyak regresi nonlinear yang dapat diselesaikan dengan bantuan regresi linear, maka di sini terutama hanyalah regresi tersebut yang akan dibicarakan.

Bagaimanakah menentukan persamaan regresi yang linear ini? Yang paling mudah ialah dengan jalan kira-kira menurut penglihatan kita. Pada kumpulan titik-titik itu ditarik sebuah garis lurus yang akan paling dekat titik-titik itu berkerumun sekitar garis yang ditarik tadi.Sesudah itu ditentukan bagaimana persamaannya.

Meskipun cara tersebut sangat mudah dilakukan namun untuk penelitian jarang dilakukan oleh karena kecuali terlalu kasar hasilnya, juga terlalu subyektif dan ini sedapat mungkin harus dihindarkan. Karenanya akan ditinjau cara yang dianggap cukup baik dan sering digunakan. Cara yang dimaksud adalah METODA KUADRAT TERKECIL. Sebelum cara ini dibicarakan, terlebih dahulu akan ditinjau seperlunya macam-macam regresi linear yang mungkin, sehubungan dengan variabel bebas. Di atas dikatakan, bahwa jika variabel 𝑿 yang diketahui terlebih dahulu dan kemudian 𝒀 ditentukan berdasarkan 𝑿 ini, maka ditentukan hubungan 𝒀 = 𝒇(𝑿). Rumusan hubungan ini lebih dikenal dengan nama regresi 𝒀 atas 𝑿.

Jika regresi 𝑌 atas 𝑋 ini linear, maka persamaannnya dapat dituliskan dalam bentuk linear : 𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 + 𝜀

(6. 34) dengan

Y = variabel tak bebas X = variabel bebas

 = koefisien intercept

 = koefisien slope/ gradien

 = error

Model tersebut ditaksir dengan :

𝑌̂ = 𝑎 + 𝑏𝑋

(6. 35) Dengan 𝑌̂ berarti taksiran nilai 𝑋 untuk harga Y yang diketahui. Tiap pengamatan akan memenuhi :

(6. 36) Sehingga error yang terjadi :

(6. 37) Untuk menentukan koefisien-koefisien 𝑎 dan 𝑏 ini akan digunakan Metoda Kuadrat Terkecil. Ternyata bahwa untuk regresi linear, harga-harga 𝑎 dan 𝑏 dapat dihitung berdasarkan sekumpulan data sebanyak 𝑛 buah dengan menggunakan sistem persamaan :

i i

a

bX

Y

ˆ





)

(

ˆ

i i i i i



Y



Y



Y



a



bX



1 1 2 1 1 1 i n n i i i i n n n i i i i i i

Y

an b

X

X Y

a

X

b

X

    



















(6. 38) Pasangan persamaan 6.38 disebut persamaan-persamaan normal untuk bentuk regresi Setelah diselesaikan, akan didapat harga-harga 𝑎 dan 𝑏 yang dicari dengan persamaan

2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 i i n n n n i i i i i i i i i n n i i i n n n i i i i i i i n n i i i

Y

X

X

X Y

a

n

X

X

n

X Y

X

Y

b

n

X

X

          









 

_



_









 

_



_

 

 







 





(6. 39) 6.9 Regresi Non Linear

Setelah dipelajari seperlunya mengenai bentuk hubungan linear antara dua variabel X dan Y sekarang akan diperhatikan bentuk hubungan nonlinear antar dua variabel. Tidak akan dibicarakan secara luas dan mendalam mengenai regresi nonlinear ini, tetapi hanya merupakan suatu tinjauan singkat saja, tinjauan yang pada umumnya dapat ditelaah berdasarkan teori regresi linear.

Meskipun terdapat banyak sekali bentuk regresi non linear yang biasa digunakan tetapi di sini hanyalah akan ditinjau beberapa saja yang penting dan termudah. Untuk regresi nonlinear Y atas X yang akan ditinjau di sini, antara lain berbentuk lengkungan :

a. Parabola kuadratis dengan persamaan

2

Y  a bX cX

(6. 40) b. Parabola kubis dengan persamaan

2 3

Y  a bXcX dX

(6. 41) c. Logaritmis dengan persamaan :

b Y aX

(6. 42) d. Hiperbola dengan persamaan :

1 Y a bX   (6. 43) 6.10 Regresi Linear Berganda

Ada banyak kenyataan bahwa pengamatan akan terdiri atas lebih dari dua variabel. Sehingga yang harus digunakan adalah regresi dengan variabel bebas lebih dari satu.

Contoh :

1. Harga beras tidak saja hanya ditentukan oleh adanya persediaan, tetapi juga oleh harga bensin, upah buruh dan sebagainya.

2. Produksi telur ayam tidak saja bergantung pada banyaknya ayam petelur yang ada saja, tetapi juga dari banyak makanan yang diberikan, umur ayam dan barangkali masih ada faktor lainnya.

Apabila ada satu variabel terikat Y dan k variabel bebas

X X

₁

,

₂

,...,

X

_k sehingga terdapat hubungan semacam garis regresi Y atas

X X

₁

,

₂

,...,

X

_k. Dalam bagian ini akan dijelaskan secara singkat bagaimana garis regresi yang dimaksud dapat ditentukan dan yang akan ditinjau di sini hanyalah garis regresi Y atas

X X

₁

,

₂

,...,

X

_k yang paling sederhana ialah yang dikenal dengan nama regresi linear berganda. Persamaan umum untuk regresi linear berganda ini adalah :

0 1 1 ... k k Y a a X  a X

(6. 44) Dimana

a a

0

, ,...,

1

a

k harus ditentukan dari data hasil pengamatan. Mudah dilihat bahwa regresi di atas ini merupakan perluasan dari regresi linear sederhana.

Pertanyaan yang timbul adalah bagaimana koefisien-koefisien

a a

0

, ,...,

1

a

k ditentukan ? Secara sama dengan regresi linear sederhana, maka dipergunakan Metode Kuadrat Terkecil. Oleh karena ada k+1 parameter yang harus dicari maka diperlukan k+1 persamaan. Dapat dibayangkan bahwa hal itu memerlukan metode penyelesaian yang lebih baik dan karenanya memerlukan matematika yang lebih tinggi lebih-lebih untuk variabel yang cukup banyak.

6.11 Analisis Korelasi

Hubungan antara dua variabel 𝑋 dan 𝑌 yang diperoleh dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis yang dalam statistika dikenal dengan nama garis regresi. Jika 𝑋 merupakan variabel bebas dan 𝑌 variabel tak bebas, regresi 𝑌 atas 𝑋 dapat digunakan untuk meramalkan nilai 𝑌 apabila nilai 𝑋 diketahui.

Dalam banyak soal, jika nilai-nilai pengamatan terdiri atas lebih dari sebuah variabel, bukan saja regresinya yang perlu dihitung, tetapi juga kekuatan hubungan antara variabel -variabel itu. Ukuran yang digunakan untuk itu adalah koefisien korelasi. Korelasi dapat bersifat linier atau tidak

linier. Korelasi dikatakan linier jika pada scatter diagram (diagram pencar) semua titik terlihat mengelompok disekitar garis lurus.

Untuk keperluan analisis tentang korelasi ini, seperti biasa akan dibedakan antara statistik (ialah koefisien korelasi untuk data dalam sampel) dan parameter (untuk menyatakan koefisien korelasi populasi). Koefisien korelasi untuk sampel, jadi merupakan statistik, akan dinyatakan dengan 𝒓 sedangkan parameternya dengan 𝜌 (baca : rho).

Dalam bagian berikut ini akan diuraikan bagaimana 𝒓 dihitung dan selanjutnya akan diberikan penjelasan mengenai pengujian derajat asosiasi.

6.11.1 Koefisien Korelasi

Karena ternyata korelasi dan regresi berhubungan erat, maka untuk menentukan ukuran asosiasi atau koefisien korelasi, perlu terpenuhi syarat-syarat :

1. Koefisien korelasi harus besar apabila derajat asosiasi tinggi dan harus kecil apabila derajat asosiasi rendah.

2. Koefisien korelasi harus bebas daripada satuan yang digunakan untuk me ngukur variabel. Untuk mencapai kedua syarat di atas, maka untuk menentukan koefisien korelasi r biasa digunakan statistik :















1 1 n i i i x y X X Y Y r n S S     



(6. 45) Inilah rumus koefisien korelasi yang pertama yang disebut Koefisien Korelasi Person atau Product Moment.

Koefisien korelasi 𝑟 menunjukkan apakah cukup beralasan bagi kita untuk menyatakan ada atau tidak adanya hubungan linear antara variabel-variabel 𝑋 dan 𝑌. Rumus lain yang juga sering dipergunakan adalah : 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 n n n i i i i i i i n n n n i i i i i i i i n X Y X Y r n X X n Y Y           _{ }  _{ }   _  _   _{ }  _{ }           



 









(6. 46) Dengan menggunakan perhitungan matematika, ternyata dapat dibuktikan bahwa batas-batas koefisien korelasi itu berada dalam daerah / interval :

-1  r  1

Tanda positif menyatakan bahwa antara variabel-variabel itu terdapat korelasi positif atau korelasi langsung yang berarti nilai variabel 𝑋 yang kecil berpasangan dengan nilai variabel 𝑌 yang kecil serta nilai variabel 𝑋 yang besar berpasangan dengan nilai variabel 𝑌 yang besar pula.

Korelasi positif menunjukkan letak titik-titik dalam diagram pencar berada sekitar garis lurus yang koefisien arahnya positif. Makin dekat letak titik-titik itu pada garis lurus, makin kuatlah korelasi positif itu dan harganya makin dekat kepada satu.

Jika variabel 𝑋 yang besar berpasangan dengan 𝑌 yang kecil dan jika 𝑋 kecil berpasangan dengan 𝑌 yang besar, akan diperoleh Korelasi negatif atau korelasi invers.

Dilihat dari diagram pencarnya, letak titik-titik akan berada sekitar sebuah garis lurus yang koefisien arahnya negatif. Makin dekat letak titik-titik itu pada garis yang dimaksud, makin dekat pula nilai 𝑟 kepada -1. Dan akhirnya jika titik-titik itu terletak pada garis lurus yang koefisien arahnya negatif didapat harga 𝑟 = −1.

Dalam prakteknya jarang sekali didapatkan diagram pencar yang letak titik-titiknya pada sebuah garis lurus seperti dalam gambar 2.1 sangat jarang. Yang sering didapati adalah bentuk yang menyebabkan nilai koefisien korelasi tidak sama dengan 1 atau -1. Makin terpencar letak titik-titik itu dari sebuah garis lurus, makin dekatlah 𝑟 kepada nol.

Setelah dikenal apa arti koefisien korelasi, masih ada ukuran lain yang sebenarnya lebih mudah untuk ditafsirkan dalam penggunaannya. Ukuran tersebut ialah yang dinamakan koefisien determinasi yang tiada lain daripada kuadrat koefisien korelasi. Jadi :

Koefisien Determinasi = r2

(6. 47) Karena sudah diketahui bahwa koefisien korelasi berada −1  𝑟  + 1, maka tentulah koefisien determinasi mulai dari nol sampai dengan 1, atau :

0 r2  ₁

Koefisien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen. Sedangkan penafsirannya adalah jika r = 0,94 sehingga r2 _{= 0,8836 atau 88,36% maka ditafsirkan sebagai 88,36% variasi suatu variabel}

yang disebabkan oleh variabel lainnya.

Koefisien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk hasil perhitungan koefisien regresi.

6.11.2 Menghitung r Untuk Data Berkelompok

Rumus-rumus 6.45 dan 6.46 adalah rumus-rumus untuk menentukan 𝑟 apabila datanya masih belum disusun dalam daftar distribusi frekuensi. Rumus-rumus 6.45 dan 6.46 pula cukup menyenangkan untuk digunakan apabila datanya tidak terlalu banyak. Jika data yang sedang dicari korelasinya itu banyak sekali, dengan menggunakan rumus-rumus tersebut akan memakan waktu yang lama dari perhitungannya. Oleh karena itu perlu ada usaha untuk mempersingkatnya. Jalan yang lazim ditempuh ialah terlebih dahulu menyusun data ke dalam daftar distribusi frekuensi. Oleh karena kita sedang berhadapan dengan penelitian yang terdiri atas dua variabel, maka kitapun akan memperoleh dua distribusi frekuensi. Kedua distribusi frekuensi ini harus disajikan dalam daftar yang berklasifikasi dua, sedemikian sehingga dampaknya banyak seperti daftar kontingensi. Banyak baris sesuai dengan banyak kelas interval distribusi frekuensi variabel yang satu, sedangkan banyak kolom sesuai dengan banyak kelas interval dari distribusi frekuensi variabel kedua. Untuk variabel yang satu, yang terdapat dalam baris, kelas-kelas intervalnya mulai dari atas ke bawah disusun seperti biasa,

yakni dari data yang kecil hingga yang paling besar. Variabel yang terdapat dalam kolom, kelas-kelas intervalnya dari kiri ke kanan yang dimulai dari data yang kecil hingga yang besar.

Frekuensi data dalam daftar ini akan didapati dalam tiap-tiap sel. Jadi frekuensi dalam setiap sel merupakan banyak data yang ada dalam kelas interval variabel yang satu dan juga yang ada dalam kelas interval variabel yang lain.

Untuk itu dipergunakan rumus berikut :

2 2 2 2 - x y x x n f uv f u f v r n f u f u n f uv f uv   _               _{ }   _{ }   _     _ _   _ _         















(6. 48) dimana :

u = koding untuk variabel X v = koding untuk variabel Y

fx = frekuensi kelas interval dari variabel X

fy = frekuensi kelas interval dari variabel Y

f = frekuensi dalam tiap sel n = banyak data.

6.11.3 Korelasi Rank

Ada kalanya ingin diketahui korelasi antara dua variabel tidak berdasarkan pada pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui. Umpamanya saja, kita telah melakukan penelitian mengenai tingkatan menyenangi merk sepatu olahraga bagi prajurit A dan prajurit B anggota TNI AL. Hasilnya dinyatakan dalam tabel di bawah ini. Untuk sepatu yang paling disukai, diberi nilai 1 dan yang paling tidak disukai diberi nilai 10. Urut-urutan nilai tersebut dinamakan RANK. Berdasarkan rank tersebut, dapatlah ditentukan hubungan / korelasi antara keddua variabel. Ukuran yang diperoleh biasa dinamakan koefisien korelasi rank atau biasa juga dikenal dengan koefisien korelasi spearman dan disimbulkan dengan 𝑟′ (baca : er -aksen) untuk membedakan dengan koefisien korelasi yang sudah dikenal.

Rumus untuk menghitung koefisien korelasi spearman adalah:





2 1 2

6

1

1

n i i

d

r

n n



 





(6. 49) dengan di = selisih tiap pasang rank

6.11.4 Korelasi Berganda

Korelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa variabel bebas secara serentak dengan variabel terikat

Misalkan ada k variabel bebas,

X X

₁

,

₂

,...,

X

_k dan satu variabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear Y a₀a X_{1 1} ... a X_{k k} maka besarnya korelasi bergandanya adalah :

1 1 1 2 2 , ,..., 2 ... k k k y x x a x y a x y a x y r y    









(6. 50) dengan





1 1 1 2 2 2 k k k X Y x y X Y n X Y x y X Y n Y y Y n      

 





 











(6. 51) 6.11.5 Korelasi Parsial

Korelasi parsial adalah korelasi antara sebuah variabel tak bebas dengan sebuah variabel bebas tertentu dengan variabel-variabel bebas lain dianggap tetap/konstan. Koefisien korelasi parsial dinyatakan dengan perumusan

Untuk dua variabel bebas :

Korelasi parsial Y dengan X1 dengan X2 dianggap konstan adalah :



1





2 1 2



1 2 1 2 2 . 2 2 1 1 YX YX YX X X YX X X X r r r r r r     (6. 52) Korelasi parsial Y dengan X2 dengan X1 dianggap konstan adalah :



2



1 1 2



2 1 1 1 2 . 2 2 1 1 YX YX YX X X YX X X X r r r r r r     (6. 53)

Contoh soal 6.2 :

Diketahui suatu penelitian terhadap hubungan antara nilai biaya periklanan dengan tingkat penjualan dari sebuah koperasi adalah sebagai berikut : (dalam ribuan rupiah)

No Biaya periklanan Tingkat Penjualan

1 50 40

2 51 46

3 52 44

4 53 55

5 54 49

a. Tentukan persamaan regresinya ?

b. Berapa besarnya koefisien korelasi dan koefisien determinasinya ? c. Berapa besarnya kesalahan standar estimasinya ?

d. Bagaimana hubungan antara variabel biaya periklanan dengan tingkat penjualan? (r) e. Berapa proporsi keragaman tingkat penjualan yang dapat di jelaskan oleh biaya periklanan

dalam hubungan linier tersebut? (r2₎

Jawab:

a. Menentukan persamaan regresinya  Langkah 1 :

Menentukan variable X dan variable Y. Dalam soal ini variable biaya periklanan merupakan variable (X) dan tingkat penjualan merupakan variable (Y).

 Langkah 2:

Membuat table regresi sederhana

No X Y XY X2 _Y2 1 50 40 2000 2500 1600 2 51 46 2346 2601 2116 3 52 44 2288 2704 1936 4 53 55 2915 2809 3025 5 54 49 2646 2916 2401 Total 260 234 12195 13530 11078

 Langkah 3 :

Menentukan koefisien a dan koefisien b

 Langkah 4:

Menentukan persamaan regresi linier sederhana Y = a + b (X)

Maka persamaan regresi dalam soal ini adalah : Y = -93,6 + 2,7 (X)

b. Menentukan koefisien korelasi dan koefisien determinasinya.  Koefisien Korelasi

  

 





6 . 93 5 )) 260 )( 7 . 2 ( 234 ( n x b -y a x b y a 7 . 2 ) 260 ( ) 13530 )( 5 ( ) 234 )( 260 ( ) 12195 )( 5 ( x x n x -xy . n b _{2 2} 2             















y 76 . 0 ) ) 234 ( ) 11078 )( 5 )(( ) 260 ( ) 13530 )( 5 (( ) 234 )( 260 ( ) 12195 )( 5 ( } ) ( }{ ) ( { 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1         











 

       n i n i n i n i i i i i n i n i n i i i i i xy y y n x x n y x y x n r