PEMODELAN MATEMATIS SISTEM FISIK

(1)

1

PEMODELAN MATEMATIS

SISTEM FISIK

Contoh 1. : _{Dengan menggunakan Matlab, tentukan pole, zero dan gain dari}

persamaan polinomial (1) berikut

( )

3 2 3 2 b s 5s +3s - 2s + 7 = a s 4s + 8s + 7s + 6 (1) Jawab :

Kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (1) adalah clc clear all close all % Contoh 1 % num = [ 5 3 -2 7]; den = [ 4 8 7 6]; % sys1 = tf(num,den) [z,p,k] = residue(num,den) Hasil program Transfer function: 5 s^3 + 3 s^2 - 2 s + 7 --- 4 s^3 + 8 s^2 + 7 s + 6 z = -0.0125 -0.8688 - 0.1856i -0.8688 + 0.1856i p = -1.5000 -0.2500 + 0.9682i -0.2500 - 0.9682i k = 1.2500

(2)

2

Contoh 2. :_{Dengan menggunakan Matlab, tentukan fungsi alih jika diketahui}

zero dengan nilai pada persamaan(2) s/d (4) berikut 1 z = −0.0125 (2) 2 z = −0.8688 (3) 3 z = −0.8753 (4) pole dengan nilai pada persamaan (5) s/d (6) berikut

1 p = −1.5000 (5) 2 p = −0.2500 (6) 3 p = −0.7500 (7) gain dengan nilai pada persamaan (8) berikut

k=2.2500 (8)

Jawab :

Kode Matlab untuk membentuk fungsi alih adalah clc clear all close all % Contoh 2 % z = [-0.0125; -0.8688; -0.8753]; p = [-1.5000; -0.2500; -0.7500]; k = 2.2500; % [num,den] = residue(z,p,k); printsys(num,den,'s') Hasil program num/den = 2.25 s^3 + 3.8684 s^2 + 0.2978 s - 0.67517 --- s^3 + 2.5 s^2 + 1.6875 s + 0.28125

(3)

3

Contoh 3. :_{Dengan menggunakan Matlab, tentukan pole, zero dan gain jika}

diketahui fungsi alih pada persamaan (9) berikut

( )

2

2s + 3 G s =

s + 5s + 4 (9)

Jawab :

Kode Matlab untuk membentuk fungsi alih persamaan (9) adalah clc clear all close all % Contoh 3 % num = [2 3]; den = [1 5 4]; [b,a] = eqtflength(num,den); [z,p,k] = tf2zp(num,den) Hasil program z = -1.5000 p = -4 -1 k = 2

Contoh 4. : _{Dengan menggunakan Matlab, tentukan persamaan keadaan dari}

fungsi alih pada persamaan (10) berikut

( )

3 2 s G s = s + 14s + 56s + 160 (10) Jawab : Kode Matlab clc clear all close all % Contoh 4 % num = [0 0 1 0]; den = [1 14 56 160]; sys = tf(num,den) [A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

(4)

4 Hasil program Transfer function: s --- s^3 + 14 s^2 + 56 s + 160 A = -14 -56 -160 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 C = 0 1 0 D = 0

Contoh 5. :_{Dengan menggunakan Matlab, tentukan fungsi alih dari persamaan}

keadaan pada persamaan (11) dan (12) berikut

( )

1 1 1 2 2 2 x t 0 1 x t 1 1 u = + x t 25 4 x t 0 1 u           ₋ ₋                ɺ ɺ (11)

( )

1 1 1 2 2 2 y t 1 0 x t 0 0 u = + y t 0 1 x t 0 0 u                           (12) Jawab :

Kode Matlab untuk memperoleh fungsi alih dari persamaan keadaan (11) dan (12) berikut clc clear all close all % Contoh 5 % A = [ 0 1; -25 -4]; B = [ 1 1; 0 1]; C = [ 1 0; 0 1]; D = [ 0 0; 0 0]; % Masukan 1

disp('Fungsi Alih Terhadap Masukan 1') [num1,den1] = ss2tf(A,B,C,D,1)

% Masukan 2

disp('Fungsi Alih Terhadap Masukan 2') [num1,den1] = ss2tf(A,B,C,D,2)

(5)

5 Hasil program

Fungsi Alih Terhadap Masukan 1 num1 = 0 1.0000 4.0000 0 0 -25.0000 1 den1 = 1.0000 4.0000 25.0000 Fungsi Alih Terhadap Masukan 2 num1 =

0 1.0000 5.0000 0 1.0000 -25.0000 den1 =

1.0000 4.0000 25.0000

Berdasarkan hasil program diperoleh persamaan (13) s/d (15) berikut

( )

1 2 1 Y s s + 4 = U s s + 4s + 25 (13)

( )

2 2 1 Y s -25 = U s s + 4s + 25 (14)

( )

1 2 2 Y s s + 5 = U s s + 4s + 25 (15)

( )

2 2 2 Y s s - 25 = U s s + 4s + 25 (15)

Contoh 6. : _{Dengan menggunakan Matlab, tentukan zero, pole dan gain dari}

persamaan keadaan (16) dan (17) berikut

( )

1 1 1 2 2 x t 0.4000 1.0000 x t 1.0000 = + u x t 1.0000 0.0000 x t 0.0000   − −                    ɺ ɺ (16)

( )

Kode Matlab untuk menentukan zero, pole dan gain dari persamaan keadaan (16) dan (17) adalah

(6)

6 clear all close all % Contoh 6 % A = [ -0.4000 -1.0000; 1.0000 0.0000] B = [ 1.0000;0.0000] C = [ 2.2000 -2.0000] D = 2 % [z,p,k] = ss2zp(A,B,C,D,1) Hasil program z = -1.5000 0 p = -0.2000 + 0.9798i -0.2000 - 0.9798i k = 2

Contoh 7. :_{Dengan menggunakan Matlab, tentukan fungsi alih dari nilai – nilai}

berikut

zero dengan nilai pada persamaan (18) s/d (20) berikut 1 z = −0.0125 (18) 2 z = −0.8688 (19) 3 z = −0.8753 (20) pole dengan nilai pada persamaan (21) s/d (23) berikut

1 p = −1.5000 (21) 2 p = −0.2500 (22) 3 p = −0.7500 (23) gain dengan nilai pada persamaan (24) berikut

k=5.0000 (24)

Jawab :

Kode Matlab untuk memperoleh fungsi alih dari nilai zero, pole dan gain adalah clc clear all close all % Contoh 7 % z = [-0.125; -0.8688; -0.8753];

(7)

7 p = [-1.5000; -0.2500; -0.7500]; k = 5.00; % [num,den] = zp2tf(z,p,k); sys = tf(num,den) Hasil program Transfer function: 5 s^3 + 9.345 s^2 + 4.892 s + 0.4753 --- s^3 + 2.5 s^2 + 1.688 s + 0.2813

Contoh 8. : _{Dengan menggunakan Matlab, tentukan fungsi alih dari persamaan}

keadaan (25) dan (26) berikut

( )

1 1 1 2 2 2 x t 0 1 x t 1 1 u = + x t 25 4 x t 0 1 u           ₋ ₋                ɺ ɺ (25)

( )

Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih dari persamaan keadaan (25) dan (26) adalah clc clear all close all % Contoh 8 % A = [ 0 1; -25 -4]; B = [ 1 1; 0 1]; C = [ 1 0; 0 1]; D = [ 0 0; 0 0]; % Masukan 1

disp('Fungsi Alih Terhadap Masukan 1') [num1,den1] = ss2zp(A,B,C,D,1)

% Masukan 2

disp('Fungsi Alih Terhadap Masukan 2') [num1,den1] = ss2zp(A,B,C,D,2)

Hasil program

Fungsi Alih Terhadap Masukan 1 num1 =

-4 Inf den1 =

(8)

8 -2.0000 - 4.5826i

Fungsi Alih Terhadap Masukan 2 num1 =

-5.0000 25.0000 den1 =

-2.0000 + 4.5826i -2.0000 - 4.5826i

Contoh 9. :_{Dengan menggunakan Matlab, tentukan zero, pole dan gain dari}

fungsi alih pada persamaan (27) berikut

( )

2 2 Y s s + 2s + 7 = U s s + 7s + 6 (27) Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan nilai zero, pole dan gain dari fungsi alih persamaan (27) adalah clc clear all close all % Contoh 9 % num = [ 1 2 7]; den = [ 1 7 6]; % sys1 = tf(num,den) [z,p,k] = tf2zp(num,den) Hasil program Transfer function: s^2 + 2 s + 7 --- s^2 + 7 s + 6 z = -1.0000 + 2.4495i -1.0000 - 2.4495i p = -6 -1 k = 1

(9)

9

Contoh 10. :_{Dengan menggunakan Matlab, tentukan fungsi alih gabungan dan}

persamaan keadaan gabungan dari 2 fungsi alih yang terhubung secara seri pada persamaan (28) dan (29) adalah

( )

1 2 1 Y s s + 3 = U s s + 5s + 4 (28)

( )

1 2 1 Y s 5s + 1 = U s s + 2s + 1 (29) Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih gabungan dan persamaan keadaan gabung dari 2 (dua) fungsi alih yang terhubung secara seri adalah

clc clear all close all % Contoh 10 % num1 = [ 1 3]; den1 = [ 1 5 4]; num2 = [ 5 1]; den2 = [ 1 2 1]; % [a1,b1,c1,d1] = tf2ss(num1,den1); [a2,b2,c2,d2] = tf2ss(num2,den2); % disp('Matriks Keadaan') [as,bs,cs,ds] = series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) sys1 = ss(as,bs,cs,ds) % disp('Fungsi Alih') [nums,dens] = ss2tf(as,bs,cs,ds); sys = tf(nums,dens) Hasil program Matriks Keadaan a = x1 x2 x3 x4 x1 -2 -1 1 3 x2 1 0 0 0 x3 0 0 -5 -4 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 0

(10)

10 x2 0 x3 1 x4 0 c = x1 x2 x3 x4 y1 5 1 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. Fungsi Alih Transfer function: 5.329e-015 s^3 + 5 s^2 + 16 s + 3 --- s^4 + 7 s^3 + 15 s^2 + 13 s + 4

Contoh 11. : _{Untuk diagram blok model sistem lingkar terbuka pada Gambar 1.}

berikut

Gambar 1. Diagram Blok Model Sistem Lingkar Terbuka Dimana

( )

2 1 G s = 500s (30)

( )

c s + 1 G s = s + 2 (31) Dengan mengunakan Matlab tentukan fungsi alih

( )

Y s

R s pada Gambar 1.

Jawab :

Dengan menggunakan Matlab diperoleh fungsi alih

( )

Y s R s pada Gambar 1. berikut

( )

3 2 Y s s + 1 R s =500s + 100s (32) Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih diagram blok pada Gambar 2.8 clc

clear all close all

(11)

11 % Contoh 2.13 % numG = [1]; denG = [500 0 0]; numC = [1 1]; denC = [1 2]; [num,den] = series(numG,denG,numC,denC); % printsys(num,den) Hasil program num/den = s + 1 --- 500 s^3 + 1000 s^2

Contoh 12. : _{Untuk diagram blok sistem lingkar terbuka pada Gambar 2. berikut}

G (S)₁ G (S)₂ U(s) Y(s)

Gambar 2. Diagram Blok Sistem Lingkar Terbuka Dimana

( )

1 2 2s + 3 G s = 5s + 2s + 2 (33) Untuk fungsi alih G₂

( )

s mempuyai zero di z = -2 , pole di p = -0.5 dan ₁ p = -8₂ serta penguatan sebesar 5 maka diperoleh fungsi alih persamaan (34) berikut

( )

₍

(

₎₍

)

₎

2

5 s + 2 G s =

s + 0.5 s + 8 (34)

Dengan mengunakan Matlab tentukan fungsi alih

( )

Y s U s

Jawab :

( )

Y s U s pada persamaan (35) dan (36) berikut

( )

2 4 3 2 Y s 2s + 7s + 6 U s =s + 8.90s + 7.8s + 5s + 1.6 (35) atau

(12)

12

( )

(

)(

(

)

(

)(

2

)

Y s 2 s +1.50 s + 2 = zero/pole/gain U s = s + 0.50 s + 8 s + 0.40s + 0.40 (36) Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih pada persamaan (35) dan (36) adalah clc clear all close all % Contoh 12 clc clear all close all % G1 = tf([2 3],[5 2 2]) G2 = zpk(-2,[-0.5,-8],5) Tzpk = G1*G2 T = tf(Tzpk) Hasil program Zero/pole/gain: 2 (s+1.5) (s+2) --- (s+0.5) (s+8) (s^2 + 0.4s + 0.4) Transfer function: 2 s^2 + 7 s + 6 --- s^4 + 8.9 s^3 + 7.8 s^2 + 5 s + 1.6

Contoh 13. : _{Dengan menggunakan Matlab, tentukan fungsi alih gabungan dan}

persamaan keadaan gabungan dari 2 fungsi alih yang terhubung secara paralel pada persamaan (37) dan (38) berikut

( )

1 2 1 Y s s + 3 = U s s + 5s + 4 (37)

( )

1 2 1 Y s 5s + 1 = U s s + 2s + 1 (38) Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih gabungan dan persamaan keadaan gabung dari 2 (dua) fungsi alih yang terhubung secara paralel adalah

clc

clear all close all

(13)

13 % Contoh 13 % num1 = [ 1 3]; den1 = [ 1 5 4]; num2 = [ 5 1]; den2 = [ 1 2 1]; % [a1,b1,c1,d1] = tf2ss(num1,den1); [a2,b2,c2,d2] = tf2ss(num2,den2); % disp('Matriks Keadaan') [as,bs,cs,ds] = parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2); sys1 = ss(as,bs,cs,ds) % disp('Fungsi Alih') [nums,dens] = ss2tf(as,bs,cs,ds); sys = tf(nums,dens) Hasil program Matriks Keadaan a = x1 x2 x3 x4 x1 -5 -4 0 0 x2 1 0 0 0 x3 0 0 -2 -1 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 1 x4 0 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 3 5 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model. Fungsi Alih Transfer function: 6 s^3 + 31 s^2 + 32 s + 7 --- s^4 + 7 s^3 + 15 s^2 + 13 s + 4

(14)

14

Contoh 14. : _{Untuk diagram blok sistem lingkar terbuka pada Gambar 3. berikut}

( )

1 2 s + 1 G s = 5s + 2s + 10 (39)

( )

2 s + 5 G s = s + 6 (40) Dengan mengunakan Matlab tentukan fungsi alih

( )

Y s

U s pada Gambar 3.

Jawab :

( )

Y s U s pada Gambar 3. berikut

( )

3 2 3 2 Y s 5s + 28s + 27s + 56 R s =5s + 32s + 22s + 60 (41) Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih dari diagram blok persamaan (41) adalah clc clear all close all % Contoh 14 % num1 = [ 0 1 1]; den1 = [ 5 2 10]; num2 = [1 5]; den2 = [1 6]; [num,den] = parallel(num1,den1,num2,den2); % printsys(num,den) Hasil program num/den = 5 s^3 + 28 s^2 + 27 s + 56 --- 5 s^3 + 32 s^2 + 22 s + 60

(15)

15

Contoh 15. _{Untuk diagram blok sistem lingkar terbuka pada Gambar 4. berikut}

( )

1 2 2s + 6 G s = s + s + 8 (42)

( )

(

)

(

)

(

)

2 2 s + 4 G s = s + 1 s + 4s + 1 (43)

( )

Y s

U s pada Gambar 4.

Jawab :

( )

Y s U s berikut

( )

4 3 2 5 4 3 2 Y s 2s + 17s + 45s + 44s + 38 = U s s + 6s + 18s + 46s + 41s + 8 (44) Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih persamaan (44) berikut

clc clear all close all % Contoh 15 % H1 = tf([2 6],[1 1 8]); denH2 = conv([1 1],[1 4 1]); H2 = tf([1 4],denH2); T = H1 + H2 Hasil program Transfer function: 2 s^4 + 17 s^3 + 45 s^2 + 44 s + 38 --- s^5 + 6 s^4 + 18 s^3 + 46 s^2 + 41 s + 8

(16)

16

Contoh 16. : _{Untuk diagram blok pada Gambar 5. berikut}

C(s) + + -+ + -+ G (s)₁ G (s)2 G (s)₃ G (s)4 G (s)5 G (s)₆ G (s)₇ G (s)8 R(s) + +

Gambar 5. Diagram Blok Sistem Multiloop Dimana

( )

1 1 G s = s + 7 (45)

( )

2 2 1 G s = s + 6s + 5 (46)

( )

3 1 G s = s + 8 (47)

( )

4 1 G s = s (48)

( )

5 7 G s = s + 3 (49)

( )

6 2 7 G s = s + 7s + 5 (50)

( )

7 5 G s = s + 5 (51)

( )

8 1 G s = s + 9 (52) Dengan mengunakan Matlab tentukan fungsi alih

( )

C s

R s pada Gambar 5.

Jawab :

( )

C s R s pada Gambar 5. berikut

( )

7 6 5 4 3 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 C s 10s + 270s + 2950s + 16700s + 51990s + 86830s + 69850s + 21000 = R s s + 45s + 866s + 9305s + 61160s + 253300s +657000s + 1027000s + 8909000s + 362600s + 42000 (53)

(17)

17

Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih pada persamaan (45) s/d (52) berikut clc clear all close all % Contoh 16 % G1 = tf([0 0 1],[0 1 7]) G2 = tf([0 0 1],[1 6 5]) G3 = tf([0 0 1],[0 1 8]) G4 = tf([0 0 1],[0 1 0]) G5 = tf([0 0 7],[0 1 3]) G6 = tf([0 0 1],[1 7 5]) G7 = tf([0 0 5],[0 1 5]) G8 = tf([0 0 1],[0 1 9]) % T1 = append(G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8); Q = [ 1 -2 -5 0 2 1 8 0 3 1 8 0 4 1 8 0 5 3 4 -6 6 7 0 0 7 3 4 -6 8 7 0 0]; inputs = 8; outputs = 7; Ts = connect(T1,Q,inputs,outputs); T = tf(Ts) Hasil program Transfer function: 10s^7 + 270 s^6 + 2950 s^5 + 1.67e004 s^4 + 5.199e004 s^3 + 8.683e004 s^2 + 6.985e004 s + 2.1e004

--- s^10 + 45 s^9 + 866 s^8 + 9305 s^7 + 6.116e004 s^6 + 2.533e005 s^5 + 6.57e005 s^4 + 1.027e006 s^3 + 8.909e005 s^2 + 3.626e005 s + 4.2e004

Contoh 17. : _{Untuk diagram blok sistem lingkar terbuka pada Gambar 6.}

berikut G (s)3 G (s)2 G (s)1 G (s)4 U(s) ₊ Y(s) +

Gambar 6. Diagram Blok Model Sistem Lingkar Terbuka Dimana

(18)

18

( )

1 2 2s + 3 G s = 5s + 2s + 2 (54)

( )

₍

(

₎₍

)

₎

2 5 s + 2 G s = s + 0.5 s + 8 (55)

( )

3 2 2s + 6 G s = s + s + 8 (56)

( )

(

)

(

)

(

)

4 ₂ s + 4 G s = s + 1 s + 4s + 1 (57)

( )

Y s

U s pada Gambar 6. berikut

Jawab :

( )

Y s

U s pada Gambar 6. berikut

( )

6 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 Y s 2s + 33.80s + 181.2s + 397.80s + 438.40s + 438.40s + 230.40 U s =s + 14.90s + 79.20s + 258s + 622.40s + 831.30s + 649.80s + 341s + 105.60s + 12.80 (58) Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih persamaan (54) s/d (58) adalah clc clear all close all % Contoh 17 % G1 = tf([2 3],[5 2 2]); G2 = zpk(-2,[-0.5,-8],5); G3 = tf([2 6],[1 1 8]); G4 = tf([1 4],conv([1 1],[1 4 1])); Tzpk = G4*(G3 + G2*G1) T = tf(Tzpk) Hasil program Zero/pole/gain: 2(s+4) (s+2.833) (s+9.057) (s+0.9049) (s^2 + 0.1046s + 1.24) --- (s+3.732)(s+8)(s+1(s+0.5)(s+0.2679)(s^2+0.4s+0.4)(s^2+s +8) Transfer function: 2s^6+33.8s^5+181.2s^4+397.8s^3+438.4s^2+438.4s+230.4

(19)

19

--- s^9+14.9s^8+79.2 s^7+258s^6+622.4 s^5+831.3

s^4+649.8s^3+ 341 s^2 + 105.6 s + 12.8

Contoh 18. : _{Untuk diagram blok sistem lingkar tertutup pada Gambar 7.}

berikut G(s) H(s) Y(s) R(s)

+

E (s)a

−

Gambar 7. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup Dimana

( )

2 1 G s = 500s (59)

( )

s + 1 H s = s + 2 (60) Dengan mengunakan Matlab tentukan fungsi alih

( )

Y s

R s pada Gambar 7.

Jawab :

( )

3 2 Y s s + 2 R s =500s + 1000s + s + 1 (61) Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih pada Gambar 7. adalah

clc clear all close all % contoh 18 % numg = [ 1 ]; deng = [ 500 0 0]; numh = [1 1]; denh = [1 2]; [num,den] = feedback(numg,deng,numh,denh,-1); % printsys(num,den)

(20)

20 Hasil program num/den = s + 2 --- 500 s^3 + 1000 s^2 + s + 1

Contoh 19. : _{Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 8. berikut}

G

H

+

−

Gambar 8. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup Dimana

( )

2 2 2s + 5s + 1 G s = s + 2s + 3 (62)

( )

5s + 10 H s = s + 10 (63) Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih pada Gambar 8. adalah clc clear all close all % Contoh 19 G = tf([2 5 1],[1 2 3],'inputname','torque','outputname','velocity'); H = zpk(-2,-10,5); % sys_1 = feedback(G,H); sys = tf(sys_1) Hasil Program

Transfer function from input "torque" to output "velocity":

0.1818 s^3 + 2.273 s^2 + 4.636 s + 0.9091 --- s^3 + 5.182 s^2 + 7.091 s + 3.636

(21)

21

Contoh 20. : _{Untuk diagram blok sistem lingkar tertutup pada Gambar 9. berikut}

G (s) = 500 s2 E (S)_a G (s) =_C s + 1 s + 2 1 R(s) Y(s) U(s) +

-Gambar 9. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup Dimana

( )

2 1 G s = 500s (64)

( )

c s + 1 G s = s + 2 (65) Dengan mengunakan Matlab tentukan fungsi alih

( )

Y s

R s pada Gambar 9.

Jawab :

( )

3 2 Y s s + 1 R s =500s + 1000s + s + 1 (66) Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih pada persamaan (64) s/d (66) adalah clc clear all close all % Contoh 2.22 % numG = [1]; denG = [ 500 0 0]; numC = [1 1]; denC = [1 2]; [num1,den1]= series(numG,denG,numC,denC); [num,den] = cloop(num1,den1,-1); % printsys(num,den)

(22)

22 Hasil program num/den = s + 1 --- 500 s^3 + 1000 s^2 + s + 1

Contoh 21. : _{Untuk diagram blok sistem lingkar tertutup pada Gambar 10.}

berikut G (s)1 G (s)2 H (s)₁ G (s)4 H (s)₃ H (s)2 Y(s) R(s) + + + + -G (s)3

Gambar 10. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup Dimana

( )

1 1 G s = s + 10 (67)

( )

2 1 G s = s + 1 (68)

( )

2 3 2 s + 1 G s = s + 4s + 4 (69)

( )

4 s + 1 G s = s + 6 (70)

( )

1 s + 1 H s = s + 2 (71)

( )

2 H s = 2 (72)

( )

3 H s = 1 (73)

Tentukan fungsi alih

( )

Y s

(23)

23

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih pada Gambar 11. adalah clc clear all close all % Contoh 21 % numG1 = [1]; denG1 = [1 10]; numG2 = [1]; denG2 = [1 1]; numG3 = [1 0 1]; denG3 = [1 4 4]; numG4 = [1 1]; denG4 = [1 6]; numH1 = [1 1]; denH1 = [1 2]; numH2 = [2]; denH2 = [1]; numH3 = [1]; denH3 = [1]; n1 = conv(numH2,denG4); d1 = conv(denH2,numG4); [n2a,d2a] = series(numG3,denG3,numG4,denG4); [n2,d2] = feedback(n2a,d2a,numH1,denH1,+1); [n3a,d3a] = series(numG2,denG2,n2,d2); [n3,d3] = feedback(n3a,d3a,n1,d1); [n4,d4] = series(numG1,denG1,n3,d3); [num,den] = cloop(n4,d4,-1); sys = tf(num,den) Hasil program Transfer function: s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 6 s^2 + 5 s + 2 --- 12s^6 + 205s^5 + 1066s^4 + 2517s^3 + 3128s^2 + 2196s + 712

Contoh 22. : _{Untuk diagram blok sistem lingkar tertutup pada Gambar 12. berikut}

540 0.1 10 s + 1 _{2 s + 0.5} 1 G 1 G 2 G 3 G 4 + -+ -d

(24)

24 Tentukan fungsi alih

( )

d ω s

ω s dengan menggunakan Matlab pada diagram blok pada Gambar 12. berikut

Jawab :

( )

d ω s ω s berikut

( )

2 d ω s 5400 ω s =2s + 2.5s + 5402 (74) Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih pada persamaan (74) adalah

clc clear all close all % Contoh 22 % numG1 = [10]; denG1 = [1 1]; numG2 = [1]; denG2 = [2 0.5]; numG3 = [540]; denG3 = [1]; numG4 = [0.1]; denG4 = [1]; [na,da] = series(numG1,denG1,numG2,denG2); [nb,db] = feedback(na,da,numG4,denG4,-1); [nc,dc] = series(numG3,denG3,nb,db); [num,den] = cloop(nc,dc,-1); sys = tf(num,den) Hasil program Transfer function: 5400 --- 2 s^2 + 2.5 s + 5402

Contoh 23. : _{Dengan mengunakan Matlab, tentukan fungsi alih orde 2 jika}

diketahui ω_n =0.1250dan ς = 0.7500

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih adalah clc

clear all close all %

(25)

25 % Contoh 23 % omega = 0.1250; z = 0.7500; [num,den] = ord2(omega,z); %

% Fungsi Alih Lingkar Tertutup sys = tf(num,den) Hasil program Transfer function: 1 --- s^2 + 0.1875 s + 0.01563

Contoh 24. : _{Dengan mengunakan Matlab, tentukan persamaan keadaan jika}

diketahui ω_n =0.1250dan ς = 0.7500

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan persamaan keadaan adalah clc clear all close all % % Contoh 24 % omega = 0.1250; z = 0.9500; [A,B,C,D] = ord2(omega,z); % % Persamaan Keadaan sys = ss(A,B,C,D) Hasil program a = x1 x2 x1 0 1 x2 -0.01563 -0.2375 b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2

(26)

26 y1 1 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model.

Contoh 25. : _{Dengan mengunakan Matlab, tentukan fungsi alih secara random}

satu masukan satu keluaran dan mempuyai orde 3.

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih adalah clc clear all close all % % Contoh 25 % [num,den] = rmodel(3); % % Fungsi Alih sys = tf(num,den) Hasil program Transfer function: 0.3129 s^2 + 0.1511 s + 0.05012 --- s^3 + 5.651 s^2 + 6.128 s + 0.3071

satu masukan satu keluaran dan mempuyai orde 5, satu masukan dan 2 keluaran.

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan fungsi alih adalah clc clear all close all % % Contoh 26 % [num,den] = rmodel(5,2) Hasil program num = 0 0 0 0 -1.8359 -0.4293 0 0 1.0360 1.5117 0.2778 -0.3269

(27)

27 den =

1.0000 7.2093 83.2170 248.3823 819.7795 386.7109

Contoh 27. : _{Dengan mengunakan Matlab, tentukan persamaan keadaan secara}

random mempuyai orde 5.

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan persamaan keadaan adalah clc clear all close all % % Contoh 27 % [A,B,C,D] = rmodel(5); % % Persamaan Keadaan sys = ss(A,B,C,D) Hasil program a = x1 x2 x3 x4 x5 x1 -1.319 -0.06291 0.06348 -0.418 0.06467 x2 -0.06291 -1.442 -0.1715 -0.4199 -0.2608 x3 0.06348 -0.1715 -0.7109 0.0491 -0.6181 x4 -0.418 -0.4199 0.0491 -1.381 0.1492 x5 0.06467 -0.2608 -0.6181 0.1492 -1.931 b = u1 x1 0.961 x2 0 x3 1.437 x4 0 x5 -0.1977 c = x1 x2 x3 x4 x5 y1 -1.208 2.908 0.8252 0 -1.058 d = u1 y1 0 Continuous-time model.

(28)

28

random mempuyai orde 5, 3 keluaran dan 2 masukan.

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan persamaan keadaan adalah clc clear all close all % % Contoh 28 % [A,B,C,D] = rmodel(5,3,2); % % Persamaan Keadaan sys = ss(A,B,C,D) Hasil program a = x1 x2 x3 x4 x5 x1 -1.432 -0.287 -0.4039 2.003 0.4577 x2 1.012 -1.21 -1.361 0.4829 1.576 x3 0.8868 1.249 -0.766 -0.5863 -0.8455 x4 0.2351 -1.825 0.6738 -2.392 1.043 x5 -1.613 -0.7873 0.9676 0.5807 -1.388 b = u1 u2 x1 -0.3349 0.6601 x2 0.5528 -0.06787 x3 1.039 0 x4 -1.118 0 x5 0 -0.3031 c = x1 x2 x3 x4 x5 y1 0.02305 1.527 0.6252 0.9492 0.5152 y2 0.05129 0.4669 0.1832 0.3071 0.2614 y3 0.8261 -0.2097 -1.03 0.1352 -0.9415 d = u1 u2 y1 0 0 y2 -0.1461 -0.8757 y3 0 0 Continuous-time model.

(29)

29

random mempuyai orde 5.

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan persamaan keadaan adalah clc clear all close all % % Contoh 29 % % Persamaan Keadaan sys = rss(5) Hasil program a = x1 x2 x3 x4 x5 x1 -1.87 0.478 0.7206 -0.3062 0.1391 x2 -0.09578 -2.087 0.08491 0.245 -0.9444 x3 0.7925 -0.3585 -1.157 0.3058 0.2128 x4 -0.2996 0.5848 0.2582 -1.322 -0.2613 x5 -0.3659 -0.5189 0.5497 -0.5652 -1.838 b = u1 x1 -0.02446 x2 0 x3 0 x4 0.8617 x5 0.001162 c = x1 x2 x3 x4 x5 y1 -0.07084 -2.486 0 -2.192 0 d = u1 y1 0.07993

(30)

30

satu masukan satu keluaran dan mempuyai orde 5, satu masukan dan 2 keluaran.

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan persamaan keadaan adalah clc clear all close all % % Contoh 30 % % Persamaan Keadaan % sys = rss(4,2) Hasil program a = x1 x2 x3 x4 x1 -1.074 3.077 1.9 1.015 x2 -2.608 -1.054 -1.1 -2.283 x3 -2.102 0.5389 -0.9366 -1.093 x4 -1.699 1.861 1.042 -0.8726 b = u1 x1 -0.273 x2 1.576 x3 -0.4809 x4 0.3275 c = x1 x2 x3 x4 y1 0 0 -0.7841 1.859 y2 0.08519 0.3232 -1.805 -0.6045 d = u1 y1 0.1034 y2 0 Continuous-time model.

(31)

31

random mempuyai orde 6, 3 keluaran dan 2 masukan.

Jawab :

Kode Matlab untuk mendapatkan persamaan keadaan adalah clc clear all close all % % Contoh 31 % % Persamaan Keadaan sys = rss(5,3,2) Hasil program a = x1 x2 x3 x4 x5 x1 -1.957 -0.761 0.3017 -0.7057 0.537 x2 -0.1257 -1.058 0.2704 -0.6035 0.5193 x3 -0.4413 -0.06155 -0.8162 0.4242 -0.2556 x4 1.036 0.2804 0.3006 -1.889 -0.1166 x5 -0.4152 0.2474 -0.4351 0.4627 -1.356 b = u1 u2 x1 -0.5408 0.04584 x2 0 -0.06378 x3 -1.097 0.6113 x4 -0.493 0.1093 x5 -0.1807 1.814 c = x1 x2 x3 x4 x5 y1 0.312 0 0.5939 -1.441 -0.3268 y2 1.804 -0.2603 -2.186 0.4018 0.8123 y3 -0.7231 0 -1.327 1.47 0.5455 d = u1 u2 y1 0 1.516 y2 0 0 y3 0 1.636 Continuous-time model.