= 0 diturunkan terhadap x. Karena y fungsi dari x, maka setiap kali menurunkan y harus dikalikan dengan didapat diselesaikan ke y '.

(1)

12 6.1.MENURUNKAN FUNGSI IMPLISIT

Pandang yfungsi dari x yang disajikan dalam bentuk implisit f(x,y)=0. Turunannya 'y didapat sebagai berikut:

a. Jika mungkin ydinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x , lalu diturunkan terhadap x

b. Setiap suku dalam f(x,y)=0 diturunkan terhadap x . Karena yfungsi dari x , maka setiap kali menurunkan yharus dikalikan dengan y', kemudian hubungan yang didapat diselesaikan ke '.y CONTOH: 1. Dapatkan 'y dari: xy−1 =0 Penyelesaian: 2 1 ' 1 0 1 x y x y xy− = → = → =− . 2. Dapatkan 'y dari: _y3 ₋4_xy₊_x2 ₌0 Penyelesaian:

( )

3 −

(

4

)

+

( )

x2 =0 dx d xy dx d y dx d

(

'

)

2 0 4 ' 3y2y− y+xy + x=

(

)

x y x y y y x y x y 4 3 2 4 ' 0 4 2 ' 4 3 2 ₂ − − = → = − + − .

3. Dapatkan 'y dari: y2sinx+ y−acrtgx=0. Penyelesaian:

(

)

0 1 1 cos 1 sin 2 ' 2 2 ₌ + − + + x x y x y y

(

)

(

1

)

(

2 sin 1

)

cos 1 1 ' ₂ 2 2 + + + − = x y x x y x y

(2)

12 6.2.TURUNAN TINGKAT TINGGI

Dari y = f(x) maka:

( )

Dy dx dy x f

y'= ' = = menyatakan turunan pertama

( )

D y dx y d x f y ₂ 2 2 ''

''= = = menyatakan turunan kedua ……….. ( ) ( )

_{( )}

y D dx y d x f y _n n n n n = =

= menyatakan turunan tingkat n.

      = ₋ − 1 1 n n n n dx y d dx d dx y d Rumus Leibnitz

Jika y =uvdimana u = f(x)dan v =g(x), maka turunan tingkat n, y( )n =Dn

(

UV

)

dirumuskan sebagai berikut:

(

)

(

1

)

. .... ! 2 1 . 1 2 2 + − + + =UD V nDU D −V n n D U D − V UV Dn n n n Bukti:

(

Du

)

v uDv v u uv uv v u y uv y = → '= ' + '= '+ ' = +

(

D u

)

v Dv Du v uD v u v u uv y ''= ''+2 ' '+ '' = 2 +2 . + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v u v u v u uv y

y' ''= 3 = 3 +3 ' 2 +3 2 '+ 3 , dan seterusnya didapat:

(

1

)

... ! 2 1 . ) ( ₌ ₊ −1 ₊ ₋ 2 −2 ₊ v uD D n n v D nDu v uD uv Dn n n n CONTOH: Dapatkan y( )n dari y= x2ex Penyelesaian:

(3)

12 Misal: u=x2; v=ex x n x x e v D e v D e Dv u D u D x Du =2 , 2 =2, 3 =0; = , 2 = ; =

(

x e

)

x e n

( )

xe n

(

n

)( )

e e

(

x nx n n

)

Dn 2 x = 2 x + x + −1 2 x+0= x 2 +2 + 2 − 2 1 2 .

6.3.TURUNAN FUNGSI PARAMETRIK

Pandang fungsi parametrik :    = = ) ( ) ( t h y t f x

Dari x = f(t)dapat dinyatakan bahwa t = g(x), jadi juga y fungsi dari x , katakan

( )

{

g x

}

h

y = . Dengan Aturan Berantai (AB) didapat bahwa:

      = = =       = = = dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy y dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy y' . . 1 ; '' ' '. '. 1 . Jadi: ( )             =             =             = − dt dx dt dy y dt dx dt dy y dt dx dt dy y n n 1 ) ( ; ' '' ; ' CONTOH: 1. Dapatkan 'y dari:    = = 2 2 t y t x Penyelesaian: t t dt dx dt dy y t dt dy dt dx = =             = = = 2 2 ' , 2 , 2 .

2. Dapatkan 'y dan y''dari    = = t b y t a x sin cos t b dt dy t a dt dx sin , sin = − =

(4)

12 t g a b t a t b dt dx dt dy y cot sin cos ' =− − =             = ,

(

)

ec t a b t ec a b dt dy 2 2 cos cos ' = − − = . t ec a b t a t ec a b dt dx dt dy y ₂ 3 2 cos sin cos ' ' ' =− − =             =

6.4.TEOREMA TAYLOR DENGAN SUKU SISA LAGRANGE: Jika f(x)sedemikian hiingga:

a. f(x)= f'(x)= f''(x)=....= f(n−1)(x)adalah kontinu dalam

[

a,a+h

]

b. f (n)(x)ada dalam

[

a,a+h

]

, maka:

(

)

n n n R a f n h a f h a f h a f h a f + − + + + + = + − − ) ( ! 1 .... ) ( '' ! 2 ) ( ' ) ( ) ( ( 1) 1 2

, dengan suku sisa

Lagrange ( )

(

)

;0 1. ! + < < = f a θh θ n h R n n n

Deret Taylor dari f(x)disekitar x =a:

(

)

(

)

(

)

( ) ... ! .... ) ( ' ' ! 2 ) ( ' ) ( ) ( ( ) 2 + − + + − + − + = f a n a x a f a x a f a x a f x f n n

Deret Maclaurin dari f(x):

... ) 0 ( ! .... ) 0 ( '' ! 2 ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( ( ) 2 + + + + + = n n f n x f x f x f x f

Contoh Deret Maclaurin:

1. ... ! ... ! 3 ! 2 1 3 2 + + + + + + = n x x x x e n x

(5)

12 2. ... ! 7 ! 5 ! 3 sin 7 5 3 + − + − =x x x x x ( x dalam radian) 3. ... ! 6 ! 4 ! 2 1 cos 6 4 2 + − + − = x x x x ( x dalam radian) 4. 1 ... ...; 1 1 1 ₌ ₊ ₊ 2 ₊ 3₊ 4 ₊ ₊ ₊ _< −x x x x x x x n 5. 1 ... ...; 1 1 1 ₂ ₃ ₄ < + + + + + + + = −x x x x x x x n 6. Deret Binomial:

(

)

(

)

(

)(

)

...; 1 ! 3 2 1 ! 2 1 1 1+x m = +mx+ m m− x2 +m m− m− x3 + x < (m= bilangan real) Rumus Euler: 1 ; sin cos + = − = ax i ax i eiax 6.5.NILAI EXTRIM Max y=f(x) y=f(x) Min

f(a-h) f(a) f(a+h) f(a-h) f(a) f(a+h)

a-h a a+h X a-h a a+h X y=f(x) max di x = a: y=f(x) min di x = a:

   < + < − ) ( ) ( ) ( ) ( a f h a f a f h a f    > + > − ) ( ) ( ) ( ) ( a f h a f a f h a f

(6)

12 y=f(x)

y=f(x)

θ θ

x1 X x1 X

f naik di x1 jika f'(x1)>0 f turun di x1 jika f'(x1)<0

Max Titik pada y=f(x) dimana garis singgungnya

y=f(x) mendatar (// sb. X) disebut titik kritis.

Min

(

)

0 ) ( ' ' & max ) ( 0 ) ( ' 0 ) ( ' 0 ' <      < + = > − a f a f h a f a f h a f a-h a a+h b X

(

)

0 ) ( '' & min ) ( 0 ) ( ' 0 ) ( ' 0 ' >      > + = < − b f b f h a f a f h a f .

Cekung ke atas dan cekung ke bawah:

Y y = f(x) Y

) (x f y =

(7)

12

O x1 X O x1 X

Cekung ke atas x1, f ''(x1)>0 Cekung ke bawah di x1, f ''(x1)<0 Titik Belok: ) (x f y = B y = f(x) B O X O X

Titik belok B dari y = f(x) adalah titik dimana terjadi perubahan dari cekung ke bawah ke cekung ke atas atau sebaliknya dan f ''(x_B)=0. Pada umumnya jika:

0 ) ( .... ) ( ) ( '' a = f(3) a = = f( −1) a =

f n dan f(n)(a)≠0 dimana n gasal, maka y = f(x) mempunyai titik belok pada x =a.

Max dan Min dengan f n(x):

Jika '( )₌ ''( )₌...₌ ( −1)( )₌0 a f a f a f n dan f( )n (a)≠0

dimana n genap, dan jika: 1). f ( )n (a)<0, maka y = f(x)maxdi x = a dan Y_max = f(a)

2). f ( )n (a)>0, maka y = f(x)mindi x = a dan Y_min = f(a)

Asymtote.

(8)

12

y = f(x) h y=h

x=k y = f(x)

O k X O X

Asymtote tegak x =k: Asymtote datar y =h: jika

{

=

}

=±∞ − + → ) ( lim y f x k k x jika

{

y f x

}

h x = = − ±∞ → ) ( lim b ax y= + d →0 jika x→∞ y = f(x) Asymtote miring y =ax+b:

jika y= f(x)=ax+b+g(x)dengan lim ( )=0 +∞ → g x x atau lim ( ) 0 = ∞ − → g x x . Tentang simetri:

Simetri terhadap: Jika: Persamaan tidak berubah

(9)

12 2. Sumbu Y 3. Titik O 4. Garis y = x 5. Garis y = -x x diganti –x

x diganti –x & y diganti –y x diganti y & y diganti x x diganti -y & y diganti –x

Persamaan tidak berubah Persamaan tidak berubah Persamaan tidak berubah Persamaan tidak berubah

Nilai Extrim (max dan min) dari f(x): Dicari dulu f' x( )dan f '' x( ).

Syarat titik kritis (titik stasioner): f'(x)=0. Misal ketemu titik kritis: x =a. Jika f ''(a)<0⇒Y_max = f(a)

Jika f ''(a)>0⇒Y_min = f(a) Titik belok dicari dari f ''(a)=0. Contoh:

Dapatkan titik-titik maximum dan minimum, titik belok dan sket grafik dari: 5 24 2 ) (x = x3 − x+ f . Penyelesaian: 5 24 2 ) (x = x3 − x+ f 24 6 ) ( ' x = x2 − f x x f ''( )=12 12 ) ( '' ' x = f Syarat extrim: 2 , 2 0 ) 2 )( 2 ( 0 4 0 24 6 0 ) ( ' x = → x2 − = →x2 − = → x+ x− = →x₁ =− x₂ = f . Untuk x₁ =−2⇒ f''(−2)=12(−2)=−24<0⇒Y_max

(10)

12

Y_max = f(−2)=2(−2)3−24(−2)+5=37

Koordinat titik maximum di A(-2, 37). Untuk x₂ =2⇒ f ''(2)=12(2)=24>0⇒Y_min

Y_min = f(2)=2(2)3 −24(2)+5=−27 Koordinat titik minimum di B(2, -27).

Koordinat titik belok didapat dari f ''(x)=0⇒12x=0→x=0. y= f(0)=2(0)−24(0)+5=5 Koordinat titik belok di C(0, 5). Grafik:

SOAL LATIHAN

1. Dapatkan 'y dari: a). _x2 ₋_y₊ln_y ₌0 _b)._ey ₊_e2x ₋_x2_y3 ₌₀ -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -6 -4 -2 0 2 4 6 X Y B A C

(11)

12 Jawab: a). 1 2 ' − = y xy y b). _y x e y x xy e y − − = 2 2 3 2 3 2 2 '

2. Dapatkan 'y dari: a). 3x3−2y2 +x+ y=0 b). 3xy2 +x3 −2xy4 =0 c). sin

(

x+y

)

−y=1 d). ln

(

x2 +y2

)

−2x+3y=0

3. Dapatkan 'y dari: a).

(

)

   + = = 2 1 2 t y t x b).    + = + = t e t y t x 1 2 Jawab: a). y'= t+1 b). t e y t 2 1 '= +

4. Dapatkan 'y dari: a).

(

)

   + = = 2 1 2 t y t x b).    + = + = t e t y t x 1 2

5. Dapatkan deret Taylor dari fungsi:

a). f

( )

x =x3 −2x2 −5x−2 disekitar titik x=−4

Jawab: −78+59

(

x+4

)

−14

(

x+4

)

2 +

(

x+4

)

3 b).

( )

x x f = 1 disekitar titik x=1 Jawab: 1−

(

x−1

) (

+ x−1

)

2 −

(

x−1

)

3 +...

6. Dapatkan deret Maclaurin dari: a). f x ex x cos ) ( = b). x e x f₍ ₎₌ sin _c). _f₍_x₎₌_sec_x 7. Dengan aturan L’Hospital dapatkan nilai:

a). 1 2 cos 1 cos lim 0 ₋ − → _x x x b).

(

)

2 0 cos ln lim x x x→ c).       − − − → ₂ 1 4 4 lim ₂ 2 _x _x x d). lim1

(

1

)

tg ₂ x x x π − → Jawab: a). 4 1 b). 2 1 − c). 4 1 − d). π 2

(12)

12 a). x x x x 0 _sin2 cos 2 cos lim − → b). ₂ ₅ ₁ 6 3 5 lim ₂ 2 + − − + ∞ → _x _x x x x c). x x x 1 lim ∞ → d). x x _x     + ∞ → 5 1 lim e).

(

)

1 2 0 cos lim x x→ x

9. Dapatkan titik-titik maximum, minimum dan titik belok (kalau ada) dari:

a). 2 3 1 3 1 ) (x = x3 − x2 + x+ f b). f(x)= x2 −4x+8 c). y =−x3 +3x2 +9x+5

10. Gambarkan kurva: a). ₂

1 1 x y + = b). 2 3 2 − − = x x y

11. Dapatkan persamaan garis lurus melalui (3,4) yang dengan sumbu OX+ dan sumbu OY+

membentuk sebuah segetiga dengan luas minimum. Jawab: 4x +3y =24

12. Dapatkan ukuran sisi-sisi dari sebuah empat persegi panjang dengan luas maksimum yang dapat dibuat didalam sebuah lingkaran dengan jari-jari 25 cm.

(13)