SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Ita Rahmadayani 1∗, Syamsudhuha2, Asmara Karma2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗ita.rahmadayani22@gmail.com
ABSTRACT
This article discusses the solutions of systems of partial differential equations using the homotopy perturbation method and Adomian decomposition method. A numerical example shows that the solution of the partial differential equation obtained by the homotopy perturbation method is better than those of Adomian decomposition method in terms of the speed to approach the exact solution.
Keywords: system of partial differential equation, homotopy perturbation method,
Adomian decomposition method.
ABSTRAK
Artikel ini membahas solusi dari sistem persamaan diferensial parsial dengan meng-gunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian. Contoh numerik yang diberikan menunjukkan solusi dari sistem persamaan diferensial par-sial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi memberikan hasil yang lebih cepat mendekati solusi eksak dibandingkan menggunakan metode dekomposisi Ado-mian.
Kata kunci: sistem persamaan diferensial parsial, metode perturbasi homotopi, metode
dekomposisi Adomian.
1. PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari banyak ditemui permasalahan yang berhubungan dengan matematika, misalnya dalam bidang sains dan teknik. Permasalahan-permasalahan ini biasanya berhubungan dengan sistem persamaan diferensial parsial.
Sistem persamaan diferensial parsial merupakan gabungan dari beberapa
persamaan diferensial parsial. Adapun bentuk umum dari sistem persamaan
diferensial parsial dapat ditulis sebagai berikut
Saat ini banyak metode-metode numerik yang telah dikembangkan yang digunakan untuk memberikan solusi terbaik dari sistem persamaan diferensial parsial, diantaranya metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian. Solusi dari sistem persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian cukup sederhana, serta memberikan solusi pendekatan yang baik.
Artikel ini merupakan review dari artikel [3] yang ditulis oleh Jafar Biazar dan Fereshteh Goldoust berjudul ”HPM and ADM for Partial Differential Equation”. Pembahasan dimulai di bagian dua dengan menjelaskan solusi dari persamaan diferesial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian. Selanjutnya dibagian tiga dibahas tentang solusi dari sistem persamaan diferesial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian, kemudian di bagian empat diberikan contoh numerik yang komputasinya diperoleh dengan menggunakan MAPLE 13.
2. SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Pada bagian ini dibahas solusi persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian.
2.1 Metode Perturbasi Homotopi
Persamaan diferensial parsial secara umum dapat ditulis dalam bentuk berikut [4]
A(u)− g(t) = 0, t ∈ Ω, (2)
terhadap syarat batas
B ( u,∂u ∂n ) = 0,
dengan A adalah operator diferensial umum, u adalah fungsi yang akan ditentukan,
g(t) adalah fungsi yang diketahui bergantung pada t, B adalah operator batas
dan Ω adalah domain.
Secara umum operator A dapat dipisahkan menjadi dua bagian yaitu L dan N .
L adalah operator linear dan N adalah operator nonlinear. Sehingga persamaan (2)
dapat ditulis sebagai berikut
L(u) + N (u)− g(t) = 0.
Kemudian diaplikasikan teknik homotopi pada persamaan (2). Pada teknik homo-topi didefinisikan fungsi real U (t, p) : Ω× [0, 1] → R dengan p ∈ [0, 1] memenuhi bentuk homotopi berikut
dengan p adalah parameter homotopi dan u0 adalah tebakan awal solusi dari
per-samaan (2) yang memenuhi nilai awal.
Parameter yang digunakan pada teknik homotopi adalah p : 0 ≤ p ≤ 1 yang disebut parameter kecil, sehingga dapat dilanjutkan dengan teknik perturbasi yang mengasumsikan bahwa solusi dari persamaan (3) dalam deret pangkat berikut
U = U0+ pU1 + p2U2+· · · .
Jika p = 1, maka diperoleh solusi pendekatan dari persamaan (3) sebagai berikut ¯ u = lim p→1U ¯ u = ∞ ∑ j=0 Uj.
2.2 Metode Dekomposisi Adomian
Metode dekomposisi Adomian menguraikan bagian operator A dari persamaan diferensial parsial menjadi tiga bagian yaitu L, R dan N , dengan L adalah
operator linear yang mempunyai invers, R adalah operator linear lainnya
dan N adalah bentuk nonlinear. Sehingga persamaan diferensial parsial dapat ditulis sebagai berikut [1, h. 7]
L(u) + R(u) + N (u)− g(t) = 0,
atau dapat juga ditulis dalam bentuk
L(u) = g(t)− R(u) − N(u). (4)
Kemudian dengan menerapkan L−1 pada persamaan (4) diperoleh
L−1L(u) =L−1g(t)− L−1R(u)− L−1N (u),
u =u(0) + L−1g(t)− L−1R(u)− L−1N (u). (5) dengan u(0) merupakan nilai awal dari persamaan diferensial parsial yang diberikan. Selanjutnya jika pada persamaan (5) diasumsikan sebagai berikut
u0 = u(0) + L−1g(t), (6)
sehingga persamaan (5) menjadi sebagai berikut
u = u0(t)− L−1R(u)− L−1N (u).
Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan solusi u berbentuk
u =
∞ ∑
j=0
sedangkan suku nonlinear N u dinyatakan dalam suatu polinomial khusus yaitu N (u) = ∞ ∑ j=0 Dj, (8)
Dj disebut polinomial Adomian yang didefinisikan sebagai
Dj = 1 j! ( dj dλjN ( ∞ ∑ k=0 λkuk )) λ=0 , j ≥ 0.
Substitusi persamaan (7) dan (8) ke persamaan (5), sehingga diperoleh ∞ ∑ j=0 uj = u0− L−1R ∞ ∑ j=0 uj − L−1 ∞ ∑ j=0 Dj. (9)
Berdasarkan persamaan (9) diperoleh relasi rekursif sebagai berikut
uj+1=−L−1Ruj − L−1Dj, j = 0, 1, 2,· · · . (10)
3. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI DAN
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Pada bagian ini dibahas solusi sistem persamaan diferensial parsial dengan meng-gunakan metode perturbasi homotopi dan metode dekomposisi Adomian.
3.1 Solusi Sistem Persamaan Diferensial Parsial Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi
Perhatikan sistem persamaan diferensial parsial berikut
∂u1 ∂t + ∂u2 ∂x1 + . . . + ∂un ∂xn−1 + N1 = g1(t), ∂u2 ∂t + ∂u1 ∂x1 + . . . + ∂un ∂xn−1 + N2 = g2(t), ∂u3 ∂t + ∂u2 ∂x1 + . . . + ∂un ∂xn−1 + N3 = g3(t), .. . = ... ∂un ∂t + ∂u2 ∂x1 + . . . + ∂u1 ∂xn−1 + Nn = gn(t), (11)
dengan nilai awal
u1(x1, x2, . . . , xn−1, 0) = f1(x1, x2, . . . , xn−1), u2(x1, x2, . . . , xn−1, 0) = f2(x1, x2, . . . , xn−1), u3(x1, x2, . . . , xn−1, 0) = f3(x1, x2, . . . , xn−1), .. . = ... un(x1, x2, . . . , xn−1, 0) = fn(x1, x2, . . . , xn−1). (12)
Aplikasikan teknik homotopi (3) pada masing-masing persamaan diferensial parsial dari sistem (11), diperoleh
(1− p)(∂U1 ∂t − ∂u1,0 ∂t ) + p( ∂U1 ∂t + ∂U2 ∂x1 + . . . + ∂Un ∂xn−1 + N1− g1(t)) = 0, (1− p)(∂U2 ∂t − ∂u2,0 ∂t ) + p( ∂U2 ∂t + ∂U1 ∂x1 + . . . + ∂Un ∂xn−1 + N2− g2(t)) = 0, (1− p)(∂U3 ∂t − ∂u3,0 ∂t ) + p( ∂U3 ∂t + ∂U2 ∂x1 + . . . + ∂Un ∂xn−1 + N3− g3(t)) = 0, (13) .. . =... (1− p)(∂Un ∂t − ∂un,0 ∂t ) + p( ∂Un ∂t + ∂U2 ∂x1 + . . . + ∂U1 ∂xn−1 + Nn− gn(t)) = 0.
Kemudian dilanjutkan menggunakan teknik perturbasi, dalam teknik perturbasi solusi pendekatan dari sistem persamaan diferensial parsial diasumsikan dalam bentuk deret pangkat p sebagai berikut
U1 = U1,0+ pU1,1+ p2U1,2+ . . . , U2 = U2,0+ pU2,1+ p2U2,2+ . . . , U3 = U3,0+ pU3,1+ p2U3,2+ . . . , .. . = ... Un = Un,0+ pUn,1+ p2Un,2+ . . . . (14)
Selanjutnya substitusikan (14) ke (13), kemudian kelompokkan koefisien pj berdasarkan pangkat p yang sama dengan j = 0, 1, 2,· · · yang dapat ditulis dalam bentuk berikut
a1,0+ a1,1p + a1,2p2+· · · + a1,jpj+· · · = 0, a2,0+ a2,1p + a2,2p2+· · · + a2,jpj+· · · = 0, a3,0+ a3,1p + a3,2p2+· · · + a3,jpj+· · · = 0, .. . = ... an,0+ an,1p + an,2p2+· · · + an,jpj+· · · = 0, (15) dengan ai,0 = ∂Ui,0 ∂t − ∂ui,0 ∂t , ∀ i = 1, 2, · · · , n, a1,1 = ∂U1,1 ∂t + ∂u1,0 ∂t + n−1 ∑ i=1 ∂Ui+1,0 ∂xi + M1,0− g1(t), a2,1 = ∂U2,1 ∂t + ∂u2,0 ∂t + ∂U1,0 ∂x1 + n−1 ∑ i=2 ∂Ui+1,0 ∂xi + M2,0− g2(t), (16)
dan ai,1= ∂Ui,1 ∂t + ∂ui,0 ∂t + i−2 ∑ k=1 ∂Uk+1,0 ∂xk + ∂U1,0 ∂xi−1 + n−1 ∑ i ∂Ui+1,0 ∂xi + Mi,0− gi(t), ∀ i = 3, 4, · · · , n, a1,j = ∂U1,j ∂t + n−1 ∑ i=1 ∂Ui+1,j−1 ∂xi + M1,j−1, ∀ j = 2, 3, · · · , a2,j = ∂U2,j ∂t + ∂U1,j−1 ∂x1 + n−1 ∑ i=2 ∂Ui+1,j−1 ∂xi + M2,j−1, ∀ j = 3, 4, · · · , ai,j = ∂Ui,j ∂t + i−2 ∑ k=1 ∂Uk+1,j−1 ∂xk + ∂U1,j−1 ∂xi−1 + n−1 ∑ i ∂Ui+1,j−1 ∂xi + Mi,j−1 i = 3, 4,· · · , n. ∀ j = 2, 3, · · · . (17)
Mi,j adalah koefisien dari pj pada operator nonlinear dari persamaan diferensial parsial ke-i dengan i = 1, 2, 3,· · · , j = 0, 1, 2, · · · .
Secara umum persamaan (15) juga dapat ditulis sebagai berikut ∞
∑ j=0
ai,jpj = 0. i = 1, 2,· · · , n. (18) Ruas kanan pada persamaan (15) adalah polinom dalam p dengan koefisien nol sehingga persamaan (18) diperoleh
ai,j = 0, i = 1, 2, 3,· · · , n dan j = 0, 1, 2, · · · . (19) Berdasarkan persamaan (19), (16) dan persamaan (17) diperoleh
∂Ui,0 ∂t − ∂ui,0 ∂t = 0, ∂U1,1 ∂t + ∂u1,0 ∂t + n−1 ∑ i=1 ∂Ui+1,0 ∂xi + M1,0− g1(t) = 0, ∂U2,1 ∂t + ∂u2,0 ∂t + ∂U1,0 ∂x1 + n−1 ∑ i=2 ∂Ui+1,0 ∂xi + M2,0− g2(t) = 0, ∂Ui,1 ∂t + ∂ui,0 ∂t + i−2 ∑ k=1 ∂Uk+1,0 ∂xk + ∂U1,0 ∂xi−1 + n−1 ∑ i ∂Ui+1,0 ∂xi + Mi,0− gi(t) = 0, ∂U1,j ∂t + n−1 ∑ i=1 ∂Ui+1,j−1 ∂xi + M1,j−1 = 0, ∂U2,j ∂t + ∂U1,j−1 ∂x1 + n−1 ∑ i ∂Ui+1,j−1 ∂xi + M2,j−1 = 0, ∂Ui,j ∂t + i−2 ∑ k=1 ∂Uk+1,j−1 ∂xk +∂U1,j−1 ∂xi−1 + n−1 ∑ i ∂Ui+1,j−1 ∂xi + Mi,j−1 = 0. (20)
Selanjutnya dengan memilih tebakan awal ui,0 untuk setiap persamaan diferensial parsial ke-i berdasarkan nilai awal (12) dan mengintegralkan persamaan (20), diperoleh Ui,0 = ui,0, i = 1, 2,· · · , n, Ui,0 = fi(x1, x2, . . . , xn−1), i = 1, 2,· · · , n, U1,1 =− ∫ t 0 (n−1 ∑ i=1 ∂Ui+1,0 ∂xi + M1,0− g1(t) ) dt, U2,1 =− ∫ t 0 ( ∂U1,0 ∂x1 + n−1 ∑ i=2 ∂Ui+1,0 ∂xi + M2,0− g2(t) ) dt, Ui,1 =− ∫ t 0 (i−2 ∑ k=1 ∂Uk+1,0 ∂xk + ∂U1,0 ∂xi−1 + n−1 ∑ i ∂Ui+1,0 ∂xi + Mi,0− g2(t) ) dt, i = 3, 4,· · · , n, U1,j =− ∫ t 0 (n−1 ∑ i=1 ∂Ui+1,j−1 ∂xi + M1,j−1 ) dt, j = 2, 3,· · · , U2,j =− ∫ t 0 ( ∂U1,j−1 ∂x1 + n−1 ∑ i=2 ∂Ui+1,j−1 ∂xi M2,j−1 ) dt, j = 2, 3,· · · , Ui,j =− ∫ t 0 (i−2 ∑ k=1 ∂Uk+1,j−1 ∂xk + ∂U1,j−1 ∂xi−1 + n−1 ∑ i ∂Ui+1,0 ∂xi + Mi,j−1 ) dt.i = 3, 4,· · · , n.
Sehingga solusi pendekatan dari sistem persamaan (11) menggunakan metode perturbasi homotopi dengan p = 1, yaitu
¯ ui = lim p→1Ui, ¯ ui = ∞ ∑ j=0 Ui,j, i = 1, 2, 3, . . . , n.
3.1 Solusi Sistem Persamaan Diferensial Parsial Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian
Adapun proses penyelesaian untuk sistem persamaan diferensial parsial (11) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian sebagai berikut.
Aplikasikan persamaan (5) pada masing-masing persamaan diferensial parsial dari sistem persamaan (11) dengan nilai awal (12) sehingga diperoleh
u1 = f1(x1, . . . , xn−1) + ∫ t 0 g1(t)dt− ∫ t 0 ( ∂u2 ∂x1 + . . . + ∂un ∂xn−1 ) dt − ∫ t 0 N1dt, u2 = f2(x1, . . . , xn−1) + ∫ t 0 g2(t)dt− ∫ t 0 ( ∂u1 ∂x1 + . . . + ∂un ∂xn−1 ) dt − ∫ t N2dt, (21)
u3 = f3(x1, . . . , xn−1) + ∫ t 0 g3(t)dt− ∫ t 0 ( ∂u2 ∂x1 + . . . + ∂un ∂xn−1 ) dt − ∫ t 0 N3dt, .. . = ... un = fn(x1, . . . , xn−1) + ∫ t 0 gn(t)− ∫ t 0 ( ∂u2 ∂x1 + . . . + ∂u1 ∂xn−1 ) dt − ∫ t 0 Nndt.
Selanjutnya asumsikan solusi dari sistem persamaan (11) sebagai berikut
ui = ∞ ∑ j=0 ui,j, i = 1, 2,· · · , n, (22) dengan Ni = ∞ ∑ j=0 Di,j, i = 1, 2,· · · , n. (23) Kemudian substitusikan (22) dan (23) ke setiap persamaan (21), sehingga diperoleh solusi dari sistem persamaan diferensial parsial adalah sebagai berikut
∞ ∑ j=0 u1,j = f1(x1, . . . , xn−1) + ∫ t 0 g1(t)dt− ∫ t 0 ( ∂u2 ∂x1 + . . . + ∂un ∂xn−1 ) dt − ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 D1,jdt, ∞ ∑ j=0 u2,j = f2(x1, . . . , xn−1) + ∫ t 0 g2(t)dt− ∫ t 0 ( ∂u1 ∂x1 + . . . + ∂un ∂xn−1 ) dt − ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 D2,jdt, ∞ ∑ j=0 u3,j = f3(x1, . . . , xn−1) + ∫ t 0 g3(t)dt− ∫ t 0 ( ∂u2 ∂x1 + . . . + ∂un ∂xn−1 ) dt − ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 D3,jdt, .. . = ... ∞ ∑ j=0 un,j = fn(x1, . . . , xn−1) + ∫ t 0 gn(t)dt− ∫ t 0 ( ∂u2 ∂x1 + . . . + ∂u1 ∂xn−1 ) dt − ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 Dn,jdt. (24)
Selanjutnya berdasarkan persamaan (6) diasumsikan ui,0 dari sistem persamaan (24) sebagai berikut ui,0 = fi(x1,· · · , xn−1) + ∫ t 0 gi(t)dt, ∀i = 1, 2, · · · , n,
sehingga diperoleh relasi rekursif dari sistem persamaan (24) sebagai berikut
u1,j+1 =− ∫ t 0 ( ∂u2,j ∂x1 + . . . + ∂un,j ∂xn−1 ) dt− ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 D1,jdt. j ≥ 0. u2,j+1 =− ∫ t 0 ( ∂u1,j ∂x1 + . . . + ∂un,j ∂xn−1 ) dt− ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 D2,jdt. j ≥ 0, u3,j+1 =− ∫ t 0 ( ∂u2,j ∂x1 + . . . + ∂un,j ∂xn−1 ) dt− ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 D3,jdt. j ≥ 0, .. . = ... un,j+1 =− ∫ t 0 ( ∂u2,j ∂x1 + . . . + ∂u1,j ∂xn−1 ) dt− ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 Dn,jdt. j ≥ 0. 4. CONTOH NUMERIK
Pada bagian ini diberikan contoh sistem persamaan diferensial parsial yang akan diselesaikan dengan metode dekomposisi Adomian dan metode perturbasi homotopi.
Selesaikan sistem persamaan diferensial parsial berikut dengan metode dekom-posisi Adomian dan metode perturbasi homotopi.
∂u ∂t − ( ∂v ∂x ) ( ∂w ∂x ) = 3/2− 1/2(e−2x), ∂v ∂t − ( ∂u ∂x ) ( ∂w ∂x ) = 3/2− 1/2(e2x), ∂w ∂t − ( ∂u ∂x ) ( ∂v ∂x ) = 2, (25)
dengan nilai awal
u(x, 0) = ex, v(x, 0) = e−x, w(x, 0) = 1/2(ex+ e−x), (26) solusi eksak dari persamaan (25) dan nilai awal (26), adalah
u = ex+ t,
v = e−x+ t,
Penyelesaian dengan Metode Dekomposisi Adomian.
Berdasarkan persamaan (26) diketahui
f1(x) = u(x, 0) = ex, f2(x) = v(x, 0) = e−x,
f3(x) = w(x, 0) = 1/2(ex+ e−x).
Ubah sistem persamaan (25) ke bentuk Adomian dengan mengaplikasikan samaan (9) pada masing-masing persamaan diferensial parsial dari sistem per-samaan (25), yaitu ∞ ∑ j=0 uj =ex+ ∫ t 0 (3/2− 1/2(e−2x))dt + ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 (Dj(u0, . . . , uj))dt, ∞ ∑ j=0 vj =e−x+ ∫ t 0 (3/2− 1/2(e2x))dt + ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 (Dj(v0, . . . , vj))dt, ∞ ∑ j=0 wj =1/2(ex+ e−x) + ∫ t 0 (2)dt + ∫ t 0 ∞ ∑ j=0 (Dj(w0, . . . , wj))dt.
Kemudian dengan mengaplikasikan persamaan (6) pada masing-masing persamaan diferensial parsial dari sistem persamaan (25) yang telah diubah ke bentuk Adomian, diperoleh sebagai berikut
u0 = f1(x) + ∫ t 0 g1(x)dt, = ex+ 3/2t− 1/2t(e−2x), v0 = f2(x) + ∫ t 0 g2(x)dt, = e−x+ 3/2t− 1/2t(e2x), w0 = f3(x) + ∫ t 0 g3(x)dt, = 1/2ex+ 1/2e−x+ 2t.
Adapun untuk suku yang berikutnya aplikasikan persamaan (10) pada masing-masing persamaan diferensial parsial dari sistem persamaan (25) sehingga diperoleh relasi rekursif berikut
u1 = ∫ t 0 D(u0)dt, =−1/4t2e3x+ 1/4t2ex− 1/2t + 1/2te−2x, v1 = ∫ t 0 D(v0)dt, =−1/4t2e−3x + 1/4t2e−x+ 1/2tex− 1/2t, w1 = ∫ t 0 D(w0)dt, =−t − 1/3t3− 1/2t2e−3x − 1/2t2e3x,
u2 = ∫ t 0 D(u1)dt, = 3/8t4e5x− 3/8t4e−x− 1/24t3+ 1/6t3e−2x− 5/8t3e−4x +1/2t3e2x+ 1/4t2e3x− 1/4t2ex, v2 = ∫ t 0 D(v1)dt, =−3/8t4ex+ 3/8t4e−5x− 5/8t3e4x+ 1/6t3e2x− 1/24t3 +1/2t3e2x− 1/4t2e−x+ 1/4t2e−3x, w2 = ∫ t 0 D(w1)dt, = 3/16t4e5x− 1/16t4e3x− 1/16t4e−3x+ 3/16t4e−5x+ 1/2t3 +1/4t3e2x+ 1/4t3e−2x+ 1/2t2e−3x+ 1/2t2e3x, .. . = ...
Jadi, solusi pendekatan dari sistem persamaan (25) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian yaitu
u = u0+ u1+ u2+· · · , = ex+ 3/2t− 1/2t(e−2x)− 1/4t2e3x+ 1/4t2ex− 1/2t + 1/2te−2x + 3/8t4e5x− 3/8t4e−x− 1/24t3+ 1/6t3e−2x − 5/8t3e−4x+ 1/2t3e2x + 1/4t2e3x− 1/4t2ex+· · · , v = v0+ v1+ v2 +· · · , = e−x+ 3/2t− 1/2t(e2x)− 1/4t2e−3x+ 1/4t2e−x+ 1/2tex − 3/8t4ex+ 3/8t4e−5x− 5/8t3e4x+ 1/6t3e2x− 1/24t3+ 1/2t3e2x − 1/2t − 1/4t2e−x+ 1/4t2e−3x+ · · · , w = w0+ w1+ w2+· · · , = 1/2ex+ 1/2e−x+ 2t− t − 1/3t3− 1/2t2e−3x− 1/2t2e3x + 3/16t4e5x− 1/16t4e3x− 1/16t4e−3x+ 3/16t4e−5x + 1/2t3 + 1/4t3e2x+ 1/4t3e−2x+ 1/2t2e−3x+ 1/2t2e3x+· · · .
Penyelesaian dengan Metode Perturbasi Homotopi.
Adapun proses penyelesaian sistem persamaan (25) sebagai berikut. Ubah sistem persamaan (25) ke bentuk homotopi, menjadi
(1− p) ( ∂U ∂t − ∂u0 ∂t ) + p ( ∂U ∂t − ( ∂V ∂x)( ∂W ∂x )− 3/2 + 1/2(e −2x) ) = 0, (1− p) ( ∂V ∂t − ∂v0 ∂t ) + p ( ∂V ∂t − ( ∂U ∂x)( ∂W ∂x )− 3/2 + 1/2(e −2x) ) = 0, (1− p) ( ∂W ∂t − ∂w0 ∂t ) + p ( ∂V ∂t − ( ∂U ∂x)( ∂V ∂x)− 3/2 + 1/2(e −2x) ) = 0.
Asumsikan solusi dari sistem persamaan (25) sebagai berikut
U = U0 + pU1+ p2U2 + p3U3+ . . . , V = V0+ pV1+ p2V2+ p3V3+ . . . , W = W0+ pW1+ p2W2+ p3W3+ . . . .
(27)
Substitusikan asumsi solusi (27) ke sistem persamaan (25) yang telah diubah ke bentuk homotopi, kemudian kelompokkan koefisien p berdasarkan pangkat
p yang sama.
Selanjutnya dengan memilih tebakan awal berdasarkan nilai awal, dan meng-integralkan kelompok koefisien p dengan pangkat p yang sama terhadap t diperoleh
U0 = ex, V0 = e−x, W0 = 1/2(ex+ e−x). U1 = t, V1 = t, W1 = t,
U2 = 0, V2 = 0, W2 = 0,
..
. =... ... =... ... =...
Sehingga solusi sistem persamaan diferensial parsial dari sistem persamaan (25) dengan metode perturbasi homotopi diperoleh sebagai berikut
¯ u = U0+ U1 + U2+ U3+· · · , ¯ u = ex+ t, ¯ v = V0+ V1+ V2+ V3+· · · , ¯ v = e−x+ t, ¯ w = W0 + W1+ W2+ W3+· · · , ¯ w = 1/2(ex+ e−x) + t.
Berikut penyelesaian jumlah deret dari solusi pendekatan sistem persamaan (25) dengan metode perturbasi homotopi dan dekomposisi Adomian menggunakan MAPLE 13.
x t uHP M(n=1) uADM(n=5) Eror(HP M ) Eror(ADM )
-0.0052 -0.0888 0.9060134966 0.9060135351 0 0.3850e-7
-0.0325 -0.0888 0.8792224498 0.8792226800 0 0.2302e-6
-0.0888 -0.0888 0.8262285610 0.8262291480 0 0.5800e-6
-0.0980 -0.0888 0.8178489038 0.8178495454 0 0.6416e-6
x t vHP M(n=1) vADM(n = 5) Eror(HP M ) Eror(ADM )
-0.0052 -0.0888 0.9164135430 0.9164135039 0 0.391e-7
-0.0325 -0.0888 0.9442338930 0.9442336350 0 0.258e-6
-0.0888 -0.0888 1.0040620620 1.0040612580 0 0.804e-6
x t wHP M(n = 1) wADM(n = 5) Eror(HP M ) Eror(ADM )
-0.0052 -0.0888 0.9112135200 0.9112115321 0 0.19879e-5
-0.0325 -0.0888 0.9117281710 0.9117261388 0 0.20322e-5
-0.0888 -0.0888 0.9151453120 0.9151429697 0 0.23423e-5
-0.0980 -0.0888 0.9160058440 0.9160034219 0 0.24221e-5
Dari contoh yang telah dikerjakan terlihat bahwa metode perturbasi homotopi memberikan solusi pendekatan yang lebih cepat mendekati solusi eksak dibandingkan menggunakan metode dekomposisi Adomian.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Adomian, G. 1994. Solving Frontier Problem of Physics: The Decomposition
Method. Khuwer Academic Press, Dordrecht.
[2] Adomian, G. 1988. Review of the Decomposition Method in Applied Mathe-matics. J. Math. Anal, Apply. 135:501-544.
[3] Biazar, J. & F. Goldoust., 2013. HPM and ADM for Partial Differential Equa-tions. International Journal of Applied Mathematical Research. 2(2):310-316. [4] He, J.H. 1999. Homotopy Perturbation Technique. Computer Methods in
