Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I

Integral Garis

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Integral Garis

Salah satu jenis generalisasi integral tentu b R a

f(x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a,b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan berdimensi tiga. Generalisasi yang benar-benar berbeda diperoleh dengan

menggantikan [a,b] dengan kurvaC pada bidang xy. Integral yang dihasilkanR

C

f(x,y)ds disebutintegral garis atauintegral kurva.

MisalkanC adalah sebuah kurva bidang mulus; dalam hal ini, misalkanC dinyatakan secara parametris dengan

x=x(t), y =y(t), a≤t≤b

di manax0 dany0 kontinu dan tidak secara simultan nol pada (a,b).

Kita mengatakan bahwaC berorientasi positif jika arahnya berhubungan dengan peningkatan nilai-nilait. Andaikan C

berorientasi positif danC hanya dapat ditelusuri sekali ketika t

berubah dariake b. Jadi, C mempunyai titik awal

A= (x(a),y(a)), dan titik akhir B = (x(b),y(b)). Perhatikan pembagian partisiP dari selang parameter [a,b] yang diperoleh dengan memasukkan titik-titik

a=t0 <t1 <t2< . . . <tn=b

Partisi dari [a,b] ini menghasilkan pembagian kurva C menjadi n

Misalkan ∆si melambangkan panjang busur Pi−1Pi dan misalkan |P|merupakan aturan untuk mempartisiP; yaitu misalkan|P| adalah ∆ti terbesar =ti −ti−1. Pilih sebuah titik contohQi(¯xi,¯yi) pada subbusurPi−1Pi.

Selanjutnya, lihat jumlah Riemann n X i=1

f(¯xi,¯yi)∆si

Jikaf taknegatif, jumlah ini akan menghampiri luas tirai vertikal melengkung yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Jikaf kontinu pada daerahD yang mengandung kurvaC, maka jumlah Riemann ini memiliki sebuah limit ketika|P| →0. Limit ini disebutintegral garis dari f di sepanjang C dariA ke B

terhadap panjang busur, dalam hal ini Z C f(x,y)ds= lim |P|→0 n X i=1 f(¯xi,¯yi)∆si

Untukf(x,y)≥0, fungsi tersebut mewakili luas eksak dari tirai melengkung. Hasil perhitungan terbaik dapat dicapai dengan menyatakan segala sesuatunya dengan menggunakan parametert

dan menghasilkan integral tentu biasa. Dengan menggunakan

ds=p[x0_(t)2_{] + [y}0_(t)2_{] akan dihasilkan} Z C f(x,y)ds= b Z a f(x(t),y(t)) q [x0_(t)2_{] + [y}0_(t)2_]dt

Definisi dari sebuah integral garis dapat diperluas untuk kasus di manaC, meskipun tidak mulus seluruhnya, adalah mulus sepotong-sepotong yaitu, terdiri dari beberapa kurva mulus

C1,C2, . . . ,Ck yang digabung, seperti ditunjukkan Gambar 3.4. Kita tinggal mendefinisikan integral di sepanjangC sebagai jumlah dari integral-integral pada kurva-kurva individunya.

Contoh 1: HitungR

C

x2y ds, di manaC ditentukan oleh persamaan parametrik

x= 3cos t,y = 3sin t, 0≤t ≤π/2. Tunjukkan pula bahwa parametrisasix =p9−y2_{,y =y, 0≤y≤3 menghasilkan nilai}

Penyelesaian: I Parametrisasi I Z C x2y ds= π/2 Z 0 (3cos t)2(3sin t) q (−3sint)2_{+ (3cos t)}2_dt = 81 π/2 Z 0 cos2t sin t dt = −81 3 cos 3_t π/2 0 = 27

I Parametrisasi II da= s 1 + dx dy 2 dy = s 1 + y 2 9−y2dy = 3 p 9−y2dy dan Z C x2y ds= 3 Z 0 (9−y2)yp 3 9−y2dy = 3 3 Z p 9−y2_{y dy}

Contoh 2:

Sebuah kabel tipis dibengkokkan dalam bentuk setengah lingkaran

x=a cos t, y =a sin t, 0≤t≤π, a>0

Jika kerapatan kabel di sebuah titik sebanding dengan jaraknya dari sumbux, tentukan massa dan pusat massa kabel tersebut.

Penyelesaian:

Gunakan prinsipiris, hampiri,dan integralkan. Massa seutas kabel dengan panjang ∆s dapat dihampiri dengan δ(x,y)∆s, di mana

δ(x,y) =ky adalah kerapatan di (x,y) (k adalah konstanta). Jadi, massam di seluruh kabel adalah

m= Z C ky ds= π Z 0

ka sin tpa2_sin2_t+a2_cos2_tdt

=ka2

π

Z

Momen kabel tersebut terhadap sumbux dinyatakan dengan Mx = Z C y ky ds = π Z 0 ka3sin2t dt = ka 3 2 π Z 0 (1−cos2t)dt = ka 3 2 t−1 2sin2t π 0 = ka 3_π 2 Jadi, ¯ y = Mx m = 1 2ka 3_π 2ka2 = 1 4πa

Berdasarkan sifat simetri, ¯x = 0, sehingga pusat massanya ada di (0, πa/4).

Contoh 3:

Tentukan massa dari seutas kabel dengan kerapatanδ(x,y,z) =kz

jika kabel ini mempunyai bentuk heliksC dengan parametrisasi

Penyelesaian: m= Z C kz ds =k π Z 0 (4t)p9sin2_{t+ 9cos}2_{t+ 16dt} = 20k π Z 0 t dt= 20kt 2 2 π 0 = 10kπ2

Satuan untukm bergantung pada panjang dan kerapatannya.

Kerja

Andaikan gaya yang bekerja pada sebuah titik (x,y,z) dalam ruang dinyatakan dengan medan vektor

F(x,y,z) =M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k

di manaM,N,danP kontinu. Kita akan menentukan kerja W

yang dilakukan olehF pada sebuah partikel yang bergerak di sepanjang kurva berorientasi yang mulus,C.

Misalkanr=xi+yj+zkadalah vektor posisi untuk titik

Q(x,y,z) pada kurva tersebut (Gambar 3.5). JikaTadalah vektor singgung satuandr/ds di Q, maka F . Tadalah komponen

singgung dariFdi Q.

Kerja yang dilakukan olehFuntuk memindahkan partikel tersebut dariQ dalam jarak pendek ∆s di sepanjang kurva tersebut dapat dihampiri sebesarF . T∆s, dan konsekuensinya kerja yang dilakukan untuk memindahkan partikel dariA keB di sepanjangC

didefinisikan denganR C

F . Tds. DenganT= (dr/dt)(dt/ds), sehingga rumus alternatif untuk kerja adalah sebagai berikut

W = Z C F . Tds= Z C F.dr dtdt = Z C F.dr dengandr=dxi+dyj+dzk, maka F.dr= (Mi+Nj+Pk).dxi+dyj+dzk=Mdx +Ndy+Pdz

Contoh 1:

Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya hukum kuadrat invers

F(x,y,z) = −cr |r|3 =

−c(xi+yj+zk)

(x2_+y2_+z2₎3/2 =Mi+Nj+Pk

untuk menggerakkan sebuah partikel di sepanjang kurva garis lurus

C dari (0,3,0) ke (4,3,0) seperti ditunjukkan gambar.

Penyelesaian:

Di sepanjangC,y = 3 danz = 0, sehinggady =dz= 0. Dengan menggunakanx sebagai parameter, diperoleh

W = Z C Mdx+Ndy+Pdz =−c Z C x dx+y dy +z dz (x2_+y2_+z2₎3/2 =−c 4 Z 0 x (x2_{+ 9)}3/2dx = c (x2_{+ 9)}1/2 4 0 = −2c 15

Contoh 2:

Hitung integral garis Z

C

(x2−y2)dx+ 2xy dy

di sepanjang kurvaC yang persamaan parametriknya adalah

x=t2,y =t3,0≤t ≤ 3 2. Penyelesaian: Karenadx = 2t dt dandy = 3t2dt, Z C (x2−y2)dx+ 2xy dy = 3/2 Z 0 [(t4−t6)2t+ 2t5(3t2)]dt = 3/2 Z 0 (2t5+ 4t7)dt = 8505 512 ≈16.61

Contoh 3: HitunglahR

C

xy2dx+xy2dy di sepanjang lintasan C =C1∪C2

seperti ditunjukkan gambar. Hitung pula integral ini di sepanjang lintasan lurusC3 dari (0,2) ke (3,5).

Penyelesaian: I Pada C1,y = 2,dy = 0,dan Z C1 xy2dx+xy2dy = 3 Z 0 4x dx = [2x2]3₀= 18 I Pada C2,x = 3,dx = 0,dan Z C2 xy2dx+xy2dy = 5 Z 2 3y2dy = [y3]5₂ = 117

Kita dapat menyimpulkan bahwa Z

C2

xy2dx+xy2dy = 18 + 117 = 135

I Pada C3,y =x+ 2,dy =dx,sehingga Z C3 xy2dx+xy2dy = 2 3 Z 0 x(x+ 2)2dx = 2 3 Z 0 (x3+ 4x2+ 4x)dx = 2 x4 4 + 4x3 3 + 2x 2 3 0 = 297 2

Latihan

1. Hitunglah setiap integral garis berikut

a. R C

(x3_{+y)ds;C adalah kurvax= 3t,y =t}3_,0≤t≤1

b. R C

xey_{ds;C adalah ruas garis dari (−1,2) ke (1,1)}

c. R

C

(x+ 2y)dx+ (x−2y)dy;C adalah ruas garis dari (1,1) ke (3,−1)

Pustaka

I Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

I Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.

I Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga.