Diskretna Matematika skupovi

(1)

Datum: 27.2.2014.

Skupovi

Skupovi i elementi

U teoriji skupova pojam

skup

smatra se osnovnim i ne definiše se. Skup se može zamisliti kao kolekcija sastavljena od različitih i dobro definisanih objekata. Za objekte koji čine skup kaže se da su

elementi

tog skupa.

Ako je objekat

x

element skupa

C

, piše se

x



C

i kaže se "

x

pripada

C

". U suprotnom, ako objekat

x

ne pripada

skupu

C

, piše se

x



C

.

Oznake za najčešće korištene skupove brojeva su:  N, skup

prirodnih

brojeva;

 Z, skup

cijelih

brojeva;

 Q, skup

racionalnih

brojeva;

 R, skup

realnih

brojeva;

 C, skup

kompleksnih

brojeva.

Definisanje skupa

.

Skup se može zadati na nekoliko načina:



U eksplicitnom obliku, kao spisak elemenata

Primjer:

C





2 ,

3 ,

5 ,

7 



U implicitnom obliku, n

avođenjem osobina članova skupa

Primjer:

C





n



Z

n



10

i

n

je prost broj





U rekurzivnom obliku

(2)

Podskup

Kaže se da je

A

podskup

skupa

B

i piše se

A



B

1

ako je svaki element skupa

A

takođe i element skupa B, odnosno:



x

A

x

B



x

B

A













Slijedi da

A



B







A



B

 



B



A





.

Prazan skup.

Prazanskup, u oznaci



, je skup koji nema elemenata

.

Pravi podskup.

Kaže se da je podskup B

pravi podskup

od A ako vrijedi:

i

B



A

i

B





.

Univerzalni skup.

Korisno je pretpostaviti da su svi skupovi o kojima se govori podskupovi jednog skupa, koji se naziva

univerzalni skup

ili

univerzum

, u oznaci U.

A

U

(3)

Skupovne operacije

Neka su data dva skupa

A

i

B

. Tada se skupovne operacije definišu na sljedeći način:

Unija. Unija

skupova A i B, u oznaci

A



B

, je skup čiji članovi pripadaju ili skupu A, ili

(4)

Razlika.

Razlika skupova A i B, u oznaci

A



B

(ili

A

/

B

), je skup koji sadrži elemente skupa A koji ne pripadaju skupu B:



x

A

x

B



B

A





|







Ako je

B

podskup od

A

, tada je

A



B

komplement

skupa B

u skupu

A.

Ako je

A

jednak univerzalnom skupu

U

, tada je skup

U



B

komplement

skupa B, u oznaci

B

.

Simetrična razlika. Simetrična

razlika

skupova

A

i

B

, u oznaci

A



B

, je skup elemenata koji pripadaju jednom od skupova, ali ne istovremeno oba (ne pripadaju presjeku datih skupova):



A

B

 

A

B



B

(5)

Algebra partitivnog skupa

Partitivni skup.

Partitivni skup

skupa

E

, u oznaci P(E), je skup svih podskupova skupa

E

. Na skupu

E

operacije unije i presjeka imaju sljedeće osobine:

(6)



A

B



A









A

B



A







,



A

,

B



P(E)

9. A



A





E





E

10. De Morganovi zakoni:

B

A

B

A







B

A

B

A







,



A

,

B



P(E)

(7)

Particije skupa

Kartezijev proizvod

(ili Dekartov proizvod, ili samo proizvod) dva skupa

A

i

B

, u oznaci

B

A



, je skup svih uređenih parova oblika:

 



a

b

a

A

b

B



B

A





,

|







Uređeni par.

Elementi

 

a

,

b

skupa

A



B

zovu se uređeni parovi. Dva uređena para su jednaka ako su im jednake komponente, odnosno:

(8)

Konačni skupovi

Kaže se da je skup

A

konačan

ako je prazan ili ako ima konačan broj elemenata. Broj

elemenata skupa

A

zove se

kardinalitet

, u oznaci

|

A

|

ili

Card

 

A

. Na primjer, ako je









a

n

A

1

,

2

,

...,

_n

,

N, tada je

|

A

|



n

. Kardinalitet praznog skupa jednak je nuli.

Osnovni principi prebrojavanja.

Ako su

A

i

B

konačni skupovi, tada vrijedi:

-

Adicioni princip:

|

A



B

|



|

A

|



|

B

|

,

A



B





-

Kardinalitet komplementarnih skupova:

|

A



B

|



|

A

|



|

B

|

,

B



A

(9)

Alfabet, riječ

, jezik (gradivo se ne ispituje)

Alfabet.

Alfabet je bilo koji konačan neprazan skup. Elementi alfabeta se nazivaju slova

(karakteri) ili

simboli

. Alfabet će se u nastavku označavati sa



.

Riječ.

Riječ (string) nad alfabetom



je konačan niz simbola iz



.

Prazna riječ

, u oznaci



, je riječ koja ne sadrži nijedan simbol.

Dužina riječi

x

je broj simbola koje riječ sadrži, u oznaci

|

x

|

. Dužina prazne riječi

simbola iz

x

nakon kojih slijede simboli iz

y

na sljedeći način:

n

3)



*

sadrži samo elemente formirane uzastopnom primjenom 1) i 2) konačan broj puta.