FILSAFAT MATEMATIKA
http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/
Jika matematika dianggap sebagai ilmu, maka flsafat matematika dapat dianggap sebagai cabang dari flsafat ilmu, di samping disiplin ilmu seperti flsafat fsika dan flsafat biologi.aamun, karena pokok permasalahannya, flsafat matematika menempati tempat khusus dalam flsafat ilmu. Sedangkan ilmu alam menyelidiki entitas yang berada dalam ruang dan waktu, itu sama sekali tidak jelas bahwa ini juga kasus yang berhubungan dengan objek yang dipelajari dalam matematika. Selain itu, metode investigasi matematika berbeda dari metode-metode penyelidikan dalam ilmu alam. Sedangkan yang terakhir memperoleh pengetahuan umum menggunakan metode induktif, pengetahuan matematika tampaknya diperoleh dengan cara yang berbeda, yaitu, dengan deduksi dari prinsip-prinsip dasar. Status pengetahuan matematika juga tampaknya berbeda dari status pengetahuan dalam ilmu alam. Teori-teori ilmu-ilmu alam tampaknya kurang yakin dan lebih terbuka untuk revisi dari teori matematika. Untuk matematika alasan menimbulkan masalah dari jenis yang cukup khusus untuk flsafat. Oleh karena itu flsuf telah diberikan perhatian khusus untuk pertanyaan-pertanyaan ontologis dan epistemologis tentang matematika.
1. Filsafat Matematika, Logika, dan Yayasan Matematika
Di satu sisi, flsafat matematika berkaitan dengan masalah yang terkait erat dengan masalah sentral metafsika dan epistemologi.Pada blush pertama, matematika muncul untuk belajar entitas abstrak. Hal ini membuat orang bertanya-tanya apa sifat dari entitas matematika terdiri dan bagaimana kita dapat memiliki pengetahuan tentang entitas matematika. Jika masalah ini dianggap sebagai terselesaikan, maka salah satu mungkin mencoba untuk melihat apakah benda-benda matematis entah bagaimana bisa milik dunia beton setelah semua.
Di sisi lain, ternyata bahwa sampai batas tertentu itu adalah mungkin untuk membawa metode matematis untuk menanggung pada pertanyaan flosofs tentang matematika. Pengaturan di mana ini telah dilakukan adalah bahwa logika matematika ketika secara luas dianggap sebagai bukti terdiri dari teori, teori model, Teori himpunan, dan teori komputabilitas sebagai subbidang. Sehingga abad kedua puluh telah menyaksikan penyelidikan matematika dari konsekuensi dari apa yang di bawah teori flosofs tentang sifat matematika.
matematika, semakin baik.
2. Empat Sekolah
Prospek flosofs dan ilmiah yang umum di abad kesembilan belas cenderung ke arah empiris. Platonistic aspek teori rasionalistik matematika dengan cepat kehilangan dukungan. Terutama sekali sangat-memuji fakultas intuisi rasional ide dianggap dengan kecurigaan. Oleh karena itu menjadi tantangan untuk merumuskan teori flosofs matematika yang bebas dari unsur-unsur platonistic.Pada dekade pertama abad kedua puluh, tiga account non-platonistic matematika dikembangkan: logicism, formalisme, dan intuisionisme. Ada muncul pada awal abad kedua puluh juga program keempat: predicativism. Karena keadaan historis kontingen, potensi sesungguhnya tidak dibawa keluar sampai tahun 1960-an. aamun, cukup layak mendapat tempat di samping tiga sekolah tradisional.
2.1 Logicism
Proyek logicist terdiri dalam upaya untuk mengurangi matematika untuk logika. Karena logika seharusnya netral tentang hal-hal ontologis, proyek ini tampaknya selaras dengan suasana anti-platonistic waktu.
Gagasan bahwa logika matematika adalah menyamar kembali ke Leibniz. Tetapi upaya sungguh-sungguh untuk melaksanakan program logicist secara rinci dapat dilakukan hanya bila pada abad kesembilan belas prinsip dasar teori matematika pusat tersebut disampaikan (oleh Dedekind dan Peano) dan prinsip-prinsip logika yang ditemukan (oleh Frege).
Frege mengabdikan sebagian besar karirnya untuk mencoba untuk menunjukkan bagaimana matematika dapat direduksi menjadi logika (Frege 1884). Dia berhasil menurunkan prinsip-prinsip (kedua-order) aritmatika Peano dari hukum dasar dari sistem logika orde kedua. derivasi-aya sempurna. aamun, ia mengandalkan satu prinsip yang ternyata tidak menjadi prinsip logis setelah semua. Lebih buruk lagi, hal ini tidak bisa dipertahankan. Prinsip yang dimaksud adalah Frege Dasar Hukum V:
{X | Fx} = {x | Gx} ∀≡ x (Fx ≡ Gx),
Dengan kata: set dari Fs identik dengan set if Gs para Fs adalah justru Gs. Dalam sebuah surat yang terkenal kepada Frege, Russell menunjukkan bahwa Frege Dasar Hukum V memerlukan suatu kontradiksi (Russell 1902). Argumen ini telah datang dikenal sebagai paradoks Russell (lihat Bagian 2.4).
jelas terlalu kuat, karena itu persis konsekuensi yang menyebabkan paradoks Russell. Jadi Russell mendalilkan bahwa hanya sifat benda matematika yang telah terbukti ada, menentukan kelas. Predikat yang secara implisit mengacu pada kelas yang mereka untuk menentukan apakah kelas tersebut ada, tidak menentukan sebuah kelas. Jadi struktur diketik properti diperoleh: sifat-sifat objek tanah, properti kedua objek tanah dan kelas obyek tanah, dan sebagainya. Struktur diketik sifat menentukan alam semesta berlapis obyek matematika, mulai dari obyek tanah, melanjutkan ke kelas obyek tanah, kemudian ke kelas kedua objek tanah dan kelas obyek tanah, dan sebagainya.
Sayangnya, Russel menemukan bahwa prinsip-prinsip logika nya diketik tidak cukup untuk menyimpulkan bahkan undang-undang dasar aritmatika. Russell diperlukan, antara lain, untuk meletakkan sebagai prinsip dasar yang terdapat koleksi benda-benda tanah tak terbatas. Hal ini tidak bisa dianggap sebagai prinsip logis.Dengan demikian upaya kedua untuk mengurangi matematika untuk logika juga tersendat.
Dan ada hal-hal berdiri selama lebih dari lima puluh tahun. Pada tahun 1983, buku Crispin Wright pada teori Frege dari alam nomor muncul (Wright 1983). Di dalamnya, Wright meniupkan kehidupan baru ke dalam proyek logicist. Dia mengamati bahwa Frege derivasi dari kedua orde Peano Aritmetika dapat dipecah menjadi dua tahap. Pada tahap pertama, Frege menggunakan Undang-Undang Dasar tidak konsisten V untuk mendapatkan apa yang kemudian dikenal sebagai Hume Prinsip:
Jumlah Fs = jumlah Gs ≡ F ≈ G,
dimana F ≈ G berarti bahwa Fs dan Gs berdiri di satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain. (Ini hubungan antara satu-ke-satu korespondensi dapat dinyatakan dalam logika orde kedua.) Kemudian, dalam tahap kedua, prinsip-prinsip orde kedua Peano Aritmatika berasal dari Hume Prinsip dan prinsip-prinsip-prinsip-prinsip diterima logika orde kedua. Secara khusus, Dasar Hukum V tidak diperlukan pada bagian kedua dari derivasi. Selain itu, Wright menduga bahwa dalam kontras dengan Frege Dasar Hukum V, Prinsip Hume konsisten. George Boolos dan lain-lain mengamati bahwa Prinsip Hume memang konsisten (Boolos 1987). Wright melanjutkan untuk mengklaim bahwa Prinsip Hume bisa dianggap sebagai kebenaran logika. Jika demikian, maka setidaknya aritmatika Peano orde kedua ini diturunkan ke logika saja. Jadi bentuk baru logicism lahir; hari pandangan ini dikenal sebagai neo-logicism (Hale & Wright 2001).
memenuhi syarat klaim ini. aamun demikian, karya Wright telah menarik perhatian flsuf matematika untuk jenis prinsip-prinsip yang Dasar Hukum V dan Prinsip Hume adalah contoh. Prinsip-prinsip ini disebut prinsip abstraksi. Saat ini, flsuf matematika upaya untuk membangun teori-teori umum prinsip abstraksi yang menjelaskan prinsip-prinsip abstrak yang diterima dan yang tidak, dan mengapa (Bendung 2003).
2.2 intuisionisme
Intuisionisme berasal dalam karya matematikawan LEJ Brouwer (van Atten 2004). Menurut intuisionisme, matematika pada dasarnya adalah suatu kegiatan konstruksi. aomor alam merupakan konstruksi mental, bilangan real merupakan konstruksi mental, bukti dan teorema merupakan konstruksi mental, yang berarti matematika merupakan konstruksi mental, .... Matematika konstruksi diproduksi oleh matematikawan ideal, yaitu, disarikan dari kontingen, keterbatasan fsik matematika kehidupan nyata.Tetapi bahkan ahli matematika yang ideal tetap menjadi terbatas sedang. Dia tidak pernah dapat menyelesaikan suatu konstruksi yang tak terbatas, meskipun dia dapat menyelesaikan secara sewenang-wenang hingga besar bagian awal dari itu.(Pengecualian dibuat oleh Brouwer untuk intuisi kita garis nyata.) Intuisionisme ini mensyaratkan bahwa untuk sebagian besar menolak keberadaan aktual (atau selesai) tak terbatas; kebanyakan hanya koleksi potensial tidak terbatas diberikan dalam kegiatan konstruksi. Contoh dasar pembangunan berturut-turut dalam waktu dari alam nomor individu.
Dari pertimbangan-pertimbangan umum tentang sifat matematika, intuitionists menyimpulkan untuk sikap revisionis dalam logika dan matematika. Mereka menemukan bukti adanya konstruktif dapat diterima. bukti adanya non-konstruktif adalah bukti yang dimaksudkan untuk menunjukkan keberadaan entitas matematika memiliki properti tertentu tanpa bahkan secara implisit mengandung sebuah metode untuk menghasilkan contoh dari suatu entitas. Intuisionisme menolak keberadaan bukti non-konstruktif sebagai 'teologis' dan 'metafsik'. Fitur karakteristik bukti adanya non-konstruktif adalah bahwa mereka memanfaatkan penting dari prinsip dikecualikan tengah,
φ ∨ ¬ φ,
atau salah satu setara, seperti prinsip negasi ganda, ¬ ¬ φ → φ.
klasik, perbedaan tersebut tidak semua yang besar. Ada ada terjemahan sintaksis sederhana yang menerjemahkan semua teorema klasik aritmatika menjadi teorema yang intuitionistically dapat dibuktikan.
Pada dekade pertama abad kedua puluh, bagian dari komunitas matematika sangat simpati terhadap kritik intuitionistic matematika klasik dan alternatif yang diusulkan. Situasi ini berubah ketika menjadi jelas bahwa dalam matematika lebih tinggi, alternatif intuitionistic agak berbeda drastis dari teori klasik.Sebagai contoh, analisis matematis intuitionistic adalah teori yang cukup rumit, dan ini sangat berbeda dari analisis matematika klasik. Ini dibasahi antusiasme masyarakat matematika untuk proyek intuitionistic. aamun demikian, pengikut Brouwer terus mengembangkan matematika intuitionistic ke hari ini (Troelstra & van Dalen 1988).
2.3 Formalisme
David Hilbert setuju dengan intuitionists bahwa ada rasa di mana bilangan asli merupakan dasar dalam matematika. aamun tidak seperti intuitionists, Hilbert tidak mengambil alam nomor menjadi konstruksi mental. Sebaliknya, ia berpendapat bahwa bilangan asli dapat diambil untuk menjadi simbol. Simbol adalah entitas abstrak, tapi mungkin entitas fsik dapat memainkan peran alam nomor. Sebagai contoh, kita dapat mengambil tinta beton jejak formulir | menjadi angka 0, tinta konkret menyadari jejak | | untuk menjadi nomor 1, dan seterusnya. Hilbert pikir itu yang terbaik diragukan bahwa matematika lebih tinggi bisa langsung ditafsirkan dengan sama langsung dan bahkan mungkin dengan cara beton.
Berbeda dengan intuitionists, Hilbert tidak siap untuk mengambil sikap revisionis terhadap tubuh ada pengetahuan matematika.Sebaliknya, ia mengadopsi sikap instrumentalis sehubungan dengan matematika yang lebih tinggi. Dia berpikir bahwa matematika yang lebih tinggi tidak lebih dari permainan formal.Laporan matematika tingkat tinggi yang uninterpreted string simbol. Membuktikan pernyataan tersebut tidak lebih dari sebuah permainan di mana simbol-simbol yang dimanipulasi sesuai dengan aturan tetap. Inti dari 'permainan matematika yang lebih tinggi' yang terdiri, dalam pandangan Hilbert, dalam membuktikan laporan aritmatika dasar, yang memang memiliki interpretasi langsung (Hilbert 1925).
aritmatika dalam aritmatika yang dalam beberapa kasus praktis tidak mungkin.Sejarah matematika telah menunjukkan bahwa membuat "jalan memutar" melalui matematika yang lebih tinggi kadang-kadang dapat menyebabkan bukti pernyataan aritmatika yang jauh lebih pendek dan yang memberikan wawasan lebih dari bukti murni aritmatika dari pernyataan yang sama.
Hilbert menyadari, meskipun agak samar-samar, bahwa sebagian dari keyakinannya sebenarnya bisa dianggap dugaan matematika. Untuk bukti dalam sistem formal matematika yang lebih tinggi atau aritmatika dasar adalah objek kombinatorial terbatas yang dapat, modulo coding, dianggap nomor alami. Tapi di tahun 1920-an rincian coding bukti sebagai bilangan asli belum sepenuhnya dipahami.
Pada pandangan formalis, persyaratan minimal sistem formal matematika lebih tinggi adalah bahwa mereka paling tidak konsisten. Jika setiap pernyataan dari aritmatika dasar dapat dibuktikan di dalamnya. Hilbert juga melihat (lagi, samar-samar) bahwa konsistensi sistem matematika yang lebih tinggi mensyaratkan bahwa sistem ini setidaknya sebagian deret hitung suara. Jadi Hilbert dan murid-muridnya berangkat untuk membuktikan pernyataan seperti konsistensi standar dalil-dalil analisis matematis. Tentu saja pernyataan seperti itu harus dibuktikan di bagian 'aman' matematika, seperti aritmatika. Jika bukti tidak meningkatkan keyakinan kita dalam konsistensi dari analisis matematis. Dan, untungnya, tampaknya mungkin pada prinsipnya untuk melakukan hal ini, karena dalam laporan analisis konsistensi fnal, lagi modulo coding, laporan aritmatika. Jadi, tepatnya, Hilbert dan murid-muridnya berangkat untuk membuktikan konsistensi, misalnya, aksioma analisis matematis dalam aritmatika Peano klasik. Proyek ini dikenal sebagai program Hilbert (Zach 2006). Ternyata lebih sulit dari yang mereka harapkan. Pada kenyataannya, mereka bahkan tidak berhasil membuktikan konsistensi aksioma Peano Aritmetika di Peano aritmatika.
kalimat aritmatika, seperti laporan konsistensi, yang berada di luar jangkauan Peano Aritmetika.
Semua ini tidak berarti akhir formalisme. Bahkan dalam menghadapi teorema ketidaklengkapan, adalah koheren untuk mempertahankan bahwa matematika adalah ilmu dari sistem formal. Satu versi pandangan ini diusulkan oleh Curry (1958).Pada pandangan ini, matematika terdiri dari kumpulan sistem formal yang tidak memiliki interpretasi atau subjek. (Curry sini membuat pengecualian untuk metamathematics.) Sehubungan dengan suatu sistem formal, dapat dikatakan bahwa sebuah pernyataan adalah benar jika dan hanya jika diturunkan dalam sistem. Tetapi pada tingkat dasar, semua sistem matematika pada nominal. Ada dapat di alasan yang paling pragmatis untuk memilih satu sistem atas yang lain. sistem tidak konsisten dapat membuktikan semua laporan dan karena itu cukup berguna. Jadi, ketika sistem ditemukan tidak konsisten, itu harus diubah. Ini hanyalah sebuah pelajaran dari teorema ketidaklengkapan Gödel bahwa sistem konsisten cukup kuat tidak dapat membuktikan konsistensi sendiri.
Ada keberatan kanonik terhadap posisi formalis Curry.Matematikawan pada kenyataannya tidak memperlakukan semua sistem formal yang konsisten sebagai sejajar. Kebanyakan dari mereka tidak mau mengakui bahwa preferensi sistem aritmetika di mana kalimat aritmetika mengungkapkan konsistensi Peano Aritmetika yang diturunkan atas orang yang negasi adalah diturunkan, misalnya, pada akhirnya dapat dijelaskan dalam istilah murni pragmatis. Banyak matematikawan ingin mempertahankan bahwa kebenaran dirasakan (ketidaktepatan) dari sistem formal tertentu akhirnya harus dijelaskan dengan fakta bahwa mereka benar (salah) menjelaskan materi tertentu.
Detlefsen telah menekankan bahwa teorema ketidaklengkapan tidak menghalangi bahwa konsistensi bagian dari matematika yang lebih tinggi yang dalam prakteknya digunakan untuk memecahkan masalah aritmatika yang matematikawan tertarik bisa deret hitung didirikan (Detlefsen 1986). Dalam hal ini, sesuatu yang mungkin bisa diselamatkan dari api bahkan jika instrumentalis sikap Hilbert menuju seluruh matematika yang lebih tinggi pada akhirnya tidak bisa dipertahankan.
adalah masalah non-aritmatika. Dan generalisasi dari ini, kita dapat bertanya-tanya apakah Hilbert menduga bahwa setiap masalah aritmatika dapat diputuskan dari aksioma Peano Aritmetika mungkin masih benar.
2.4 Predicativism
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, predicativism tidak biasanya digambarkan sebagai salah satu sekolah. Tapi itu hanya untuk alasan kontingen bahwa sebelum kedatangan predicativism perang dunia kedua tidak naik ke tingkat keunggulan dari sekolah lain.
Asal-usul predicativism terletak pada karya Russell. Pada isyarat dari Poincaré, ia tiba di diagnosis berikut paradoks Russell. Untuk negara paradoks Russell, C koleksi semua entitas matematika yang memuaskan ¬ x ∈ x didefnisikan. Paradoksnya kemudian mulai dengan menanyakan apakah C itu sendiri memenuhi kondisi ini, dan berasal kontradiksi. Diagnosis Poincaré-Russell dari menyatakan paradoks bahwa defnisi C tidak memilih koleksi sama sekali: tidak mungkin untuk mendefnisikan sebuah koleksi S dengan suatu kondisi yang secara implisit mengacu pada S itu sendiri. Hal ini disebut prinsip lingkaran setan. Defnisi yang melanggar prinsip lingkaran setan disebut impredicative. Defnisi suara koleksi hanya merujuk kepada badan usaha yang ada secara independen dari koleksi ditetapkan. defnisi seperti ini disebut predikatif. Seperti Gödel kemudian menunjukkan, seorang Platonis yakin akan menemukan baris ini penalaran tidak meyakinkan. Jika koleksi matematika ada secara independen dari tindakan mendefnisikan, maka tidak segera jelas mengapa ada tidak bisa koleksi yang hanya dapat didefnisikan impredicatively.
Semua ini menyebabkan Russell untuk mengembangkan sederhana dan teori bercabang jenis, di mana pembatasan sintaksis dibangun di mana membuat defnisi impredicative sakit-terbentuk. Dalam teori tipe sederhana, variabel bebas dalam menentukan rumus rentang selama entitas yang koleksi harus didefnisikan bukan milik. Dalam teori tipe bercabang, diperlukan, di samping itu, bahwa rentang variabel terikat dalam mendefnisikan formula tidak termasuk koleksi yang akan ditetapkan. Ini ditunjukkan dalam Bagian 2.1 bahwa teori jenis Russell tidak dapat dilihat sebagai pengurangan matematika dengan logika. Tetapi bahkan selain dari itu, diamati sejak awal bahwa teori jenis terutama bercabang tidak cocok untuk merumuskan argumen matematika biasa.
konsep subset sewenang-wenang dari alam nomor tidak diambil untuk segera diberikan dalam intuisi matematika. Hanya mereka subset yang ditentukan oleh predikat orde pertama aritmatika yang dianggap menjadi predicatively diterima.
Di satu sisi, hal itu muncul bahwa banyak defnisi standar dalam analisis matematika impredicative. Sebagai contoh, penutupan minimal operasi pada himpunan yang biasanya didefnisikan sebagai persimpangan dari semua set yang tertutup di bawah aplikasi operasi. Tetapi penutupan minimal sendiri adalah salah satu set yang tertutup di bawah aplikasi operasi. Jadi defnisi ini impredicative. Dengan cara ini, perhatian berangsur-angsur bergeser jauh dari kekhawatiran tentang paradoks set-teoritis untuk peran impredicativity dalam matematika mainstream. Di sisi lain, Weyl menunjukkan bahwa sering mungkin untuk bekerja di sekitar gagasan impredicative. Bahkan muncul bahwa sebagian besar analisis matematis mainstream abad kesembilan belas dapat dibuktikan secara predikatif (Feferman 1988).
Pada tahun 1920, sejarah campur. Weyl dimenangkan ke lebih radikal proyek intuitionistic Brouwer. Sementara itu, ahli matematika menjadi yakin bahwa teori himpunan sangat impredicative transfnite dikembangkan oleh penyanyi dan Zermelo kurang akut terancam oleh paradoks Russell dari sebelumnya dicurigai. Faktor-faktor ini menyebabkan predicativism untuk terjerumus ke dalam keadaan tidak aktif selama beberapa dekade.
Membangun kerja menurut teori rekursi umum, Salomo Feferman memperpanjang proyek predicativist pada 1960-an (Feferman 2005). Dia menyadari bahwa strategi Weyl itu bisa iterasi ke transfnite. Juga yang set angka yang dapat didefnisikan dengan menggunakan kuantifkasi atas set yang Weyl dianggap sebagai predicatively dibenarkan, harus dihitung sebagai predicatively diterima, dan sebagainya. Proses ini dapat diperbanyak di sepanjang jalur ordinal. Jalan ini membentang sejauh ordinal ke transfnite sebagai predikatif ordinals mencapai, di mana ordinal adalah predikatif jika mengukur panjang yang dapat dibuktikan baik pemesanan alam nomor. Ini kalibrasi kekuatan matematika predikatif, yang karena Feferman dan (independen) Schutte, dewasa ini cukup berlaku umum. Feferman kemudian diteliti berapa banyak analisis matematis standar dapat dilakukan dalam kerangka predicativist. Penelitian Feferman dan lain-lain (terutama Harvey Friedman) menunjukkan bahwa sebagian besar analisis abad kedua puluh dapat
diterima dari sudut pandang predicativist.
3. Platonisme
prospek pandangan platonistic tentang sifat matematika. Pada konsepsi platonistic, materi pelajaran matematika terdiri dari entitas abstrak.
3.1 Gödel's Platonisme
Gödel adalah seorang Platonis berkenaan dengan objek matematika dan dalam kaitannya dengan konsep-konsep matematika (Gödel 1944, 1964). Tapi melihat platonistic nya lebih canggih daripada matematikawan di jalan.
Gödel menyatakan bahwa ada paralelisme kuat antara teori-teori yang masuk akal objek matematika dan konsep-konsep di satu sisi, dan teori masuk akal benda fsik dan properti di sisi lain.Seperti benda-benda fsik dan sifat, objek matematika dan konsep yang tidak dibangun oleh manusia. Seperti benda-benda fsik dan sifat, objek matematika dan konsep yang tidak dapat direduksi kepada badan mental. Matematika objek dan konsep adalah sebagai tujuan sebagai objek fsik dan sifat. Matematika objek dan konsep adalah, seperti benda-benda fsik dan sifat, didalilkan dalam rangka untuk mendapatkan suatu teori yang memuaskan dari pengalaman kami. Memang, dengan cara yang analog dengan hubungan persepsi kita untuk benda-benda fsik dan sifat, melalui intuisi matematika kita berdiri dalam suatu hubungan kuasi-persepsi dengan objek dan konsep matematika.Persepsi kita tentang objek fsik dan konsep bisa salah dan dapat diperbaiki. Dengan cara yang sama, intuisi matematika tidak bodoh-bukti - sebagai sejarah Frege Dasar Hukum V menunjukkan - tetapi dapat dilatih dan ditingkatkan. Tidak seperti benda-benda fsik dan sifat, benda-benda matematis tidak ada dalam ruang dan waktu, dan konsep-konsep matematika tidak instantiated dalam ruang atau waktu.
intuisi matematika kami memberikan bukti intrinsik untuk prinsip-prinsip matematika. Hampir semua pengetahuan matematika kita bisa dideduksi dari aksioma Zermelo-Fraenkel Teori himpunan dengan Aksioma of Choice (ZFC). Dalam pandangan Gödel, kita memiliki bukti intrinsik yang meyakinkan untuk kebenaran aksioma ini. Tapi ia juga khawatir bahwa intuisi matematis mungkin tidak cukup kuat untuk memberikan bukti yang menarik bagi aksioma yang secara signifkan
melebihi kekuatan ZFC.
sangat banyak di konsekuensi diverifkasi mereka, shedding cahaya begitu banyak di seluruh bidang, seperti menghasilkan metode yang kuat untuk memecahkan masalah [...] itu, tidak peduli atau tidak mereka secara intrinsik perlu, mereka harus diterima sedikitnya dalam arti sama dengan teori fsika yang mapan "(Gödel 1947, 477). Gödel ini terinspirasi untuk mencari aksioma baru yang dapat ekstrinsik termotivasi dan yang dapat memutuskan pertanyaan-pertanyaan seperti hipotesis kontinum, yang sangat independen dari ZFC (lih. Bagian 5.1).
Gödel Hilbert berbagi keyakinan bahwa semua pertanyaan matematika memiliki jawaban yang pasti. Tapi Platonisme dalam flsafat matematika tidak boleh dianggap ipso facto berkomitmen untuk memegang bahwa semua dalil set-teoretis memiliki nilai kebenaran tentu. Ada versi Platonisme yang menjaga, misalnya, bahwa semua teorema ZFC dibuat benar oleh fakta set-teoritis menentukan, tetapi bahwa tidak ada fakta set-teori yang membuat pernyataan tertentu yang sangat independen dari ZFC kebenaran-tentu. Tampaknya set teori terkenal Paul Cohen diadakan beberapa pandangan seperti (Cohen 1971).
3.2 aaturalisme dan Indispensability
Quine diartikulasikan kritik metodologis flsafat tradisional. Dia menyarankan metodologi flosofs yang berbeda daripada yang telah menjadi dikenal sebagai naturalisme (Quine 1969). Menurut naturalisme, teori-teori kita yang terbaik adalah teori ilmiah terbaik kami. Jika kita ingin mendapatkan jawaban terbaik yang tersedia untuk pertanyaan flosofs seperti Apa yang kita ketahui? dan yang jenis entitas ada?, kita seharusnya tidak menarik bagi teori epistemologis dan metafsik tradisional. Kita juga harus menahan diri dari memulai penyelidikan epistemologis atau metafsik fundamental mulai dari prinsip-prinsip pertama. Sebaliknya, kita harus berkonsultasi dan menganalisis teori-teori ilmiah yang terbaik. Mereka berisi, meskipun seringkali secara implisit, rekening kami saat ini terbaik dari apa yang ada, apa yang kita tahu, dan bagaimana kita tahu itu.
mereka tanpa menggunakan kosa kata matematika. Oleh karena itu sikap naturalis memerintahkan kita untuk menerima entitas matematika sebagai bagian dari ontologi flosofs kita. Baris ini argumentasi disebut argumen indispensability (Colyvan 2001).
Jika kita mengambil matematika yang terlibat dalam teori-teori ilmiah yang terbaik pada nilai nominalnya, maka kita tampaknya berkomitmen untuk bentuk Platonisme. Tetapi merupakan bentuk yang lebih sederhana Platonisme dari Platonisme Gödel's. Untuk tampak bahwa ilmu alam dapat bertahan dengan (sekitar) fungsi ruang di bilangan real. Daerah yang lebih tinggi teori himpunan transfnite tampaknya sangat tidak relevan bahkan teori-teori kita paling maju dalam ilmu alam. aamun demikian, Quine pikir (di beberapa titik) bahwa set yang didalilkan oleh ZFC dapat diterima dari sudut pandang naturalistik, mereka dapat dianggap sebagai pembulatan murah hati-of dari matematika yang terlibat dalam teori-teori ilmiah kita. Quine penilaian tentang masalah ini tidak diterima secara universal. Feferman, misalnya, berpendapat bahwa semua teori matematika yang pada dasarnya digunakan dalam teori-teori ilmiah saat ini yang terbaik adalah
predicatively direduksi (Feferman 2005).
Dalam flsafat Quine's, ilmu-ilmu alam adalah penengah utama tentang keberadaan dan kebenaran matematika matematika. Hal ini menyebabkan Charles Parsons ke objek bahwa gambar ini membuat kejelasan matematika dasar agak misterius (Parsons 1980). Sebagai contoh, pertanyaan apakah setiap nomor alamiah memiliki penerus akhirnya tergantung, dalam pandangan Quine, pada teori empiris yang terbaik, namun entah bagaimana fakta ini muncul lebih cepat dari itu. Dalam semangat yang sama, catatan Maddy bahwa matematikawan tidak menganggap diri mereka berada dalam cara apapun dibatasi dalam kegiatan mereka dengan ilmu-ilmu alam. Memang, orang mungkin bertanya-tanya apakah matematika tidak harus dianggap sebagai ilmu dalam dirinya sendiri, dan apakah komitmen ontologis matematika tidak harus dinilai bukan berdasarkan metode rasional yang tersirat dalam praktek matematika.
struktur matematika dapat instantiated atau dimodelkan. pepatah The "memaksimalkan" berarti bahwa teori himpunan harus mengadopsi prinsip-prinsip teoritis set-yang sebagai kuat dan berbuah matematis mungkin.
3.3 mengempis Platonisme
Bernays mengamati bahwa ketika seorang matematikawan sedang bekerja dia "naif" memperlakukan benda-benda dia berurusan dengan cara platonistic. Setiap matematikawan bekerja, katanya, adalah sebuah Platonis (Bernays 1935). Tetapi ketika matematikawan adalah tertangkap tugas oleh seorang flsuf yang kuis tentang komitmen ontologis, ia cenderung untuk kaki shufe dan menarik diri ke posisi non-platonistic samar-samar. Ini telah diambil oleh beberapa orang untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang salah dengan pertanyaan-pertanyaan flosofs tentang sifat objek matematika dan pengetahuan matematika.
Carnap memperkenalkan perbedaan antara pertanyaan yang internal untuk kerangka kerja dan pertanyaan-pertanyaan yang bersifat eksternal dengan kerangka kerja (Carnap 1950). Tait telah bekerja secara rinci bagaimana hal seperti perbedaan ini dapat diterapkan untuk matematika (Tait 2005). Ini telah menghasilkan apa yang mungkin dianggap sebagai versi defasi dari Platonisme. Menurut Tait, pertanyaan keberadaan entitas matematika hanya dapat diminta bijaksana dan cukup menjawab dari dalam (aksiomatik) kerangka matematis. Jika seseorang bekerja di teori bilangan, misalnya, maka kita dapat bertanya apakah ada bilangan prima yang memiliki properti tertentu. Pertanyaan semacam ini kemudian akan diputuskan atas dasar murni matematika.
Filsuf memiliki kecenderungan untuk langkah di luar kerangka matematika dan bertanya "dari luar" apakah objek matematika benar-benar ada dan apakah proposisi matematika adalah benar.Dalam pertanyaan ini mereka meminta supra-dasar matematika atau metafsik untuk kebenaran matematika dan klaim eksistensi.Tait berpendapat bahwa sulit untuk melihat bagaimana akal dapat dibuat pertanyaan eksternal seperti. Dia mencoba untuk menurunkan mereka, dan membawa mereka kembali ke tempat mereka berada: untuk berlatih matematika itu sendiri. Tentu saja tidak semua orang setuju dengan Tait pada titik ini. Linsky dan Zalta telah mengembangkan cara sistematis menjawab tepat jenis pertanyaan eksternal yang Tait pendekatan dengan jijik (Linsky & Zalta 1995).
3.4 Benacerraf's epistemologis Masalah
Benacerraf dirumuskan masalah epistemologis untuk berbagai posisi platonistic dalam flsafat ilmu (Benacerraf 1973). Argumen ini secara khusus ditujukan terhadap rekening intuisi matematika seperti yang dari Gödel. argumen Benacerraf dimulai dari premis bahwa teori terbaik kita pengetahuan adalah teori kausal pengetahuan. Hal ini kemudian dicatat bahwa menurut Platonisme, benda-benda abstrak tidak spasial atau temporal lokal, sedangkan daging-dan-darah matematikawan secara spasial dan temporal lokal. Teori terbaik epistemologis kami kemudian memberitahu kita bahwa pengetahuan entitas matematika harus dihasilkan dari interaksi kausal dengan entitas tersebut. Tapi sulit membayangkan bagaimana ini bisa terjadi.
Hari ini beberapa epistemologists berpendapat bahwa teori kausal pengetahuan adalah teori pengetahuan terbaik kami. Tapi ternyata bahwa masalah Benacerraf adalah sangat kuat di bawah variasi teori epistemologis. Sebagai contoh, mari kita asumsikan demi argumen bahwa reliabilism adalah teori pengetahuan terbaik kami. Kemudian masalah menjadi untuk menjelaskan bagaimana kita berhasil mendapatkan kepercayaan yang dapat diandalkan tentang entitas matematika. Hodes telah merumuskan varian semantical masalah epistemologis Benacerraf's (Hodes 1984). Menurut teori kami saat ini terbaik dari referensi, koneksi kausal-historis antara manusia dan dunia concreta memungkinkan kata-kata kita untuk merujuk kepada badan fsik dan sifat. Menurut Platonisme, matematika mengacu pada entitas abstrak. Platonis Karena itu berhutang kita account masuk akal tentang bagaimana kita (secara fsik diwujudkan manusia) dapat merujuk kepada mereka.Di wajah itu, tampak bahwa teori kausal acuan tidak akan mampu untuk memasok kita dengan account yang dibutuhkan dari 'mikro acuan' wacana matematika.
3.5 Plenitudinous Platonisme
Sebuah versi dari Platonisme telah dikembangkan yang dimaksudkan untuk memberikan solusi untuk masalah epistemologis Benacerraf's (Linsky & Zalta 1995; Balaguer 1998).Posisi ini dikenal sebagai plenitudinous Platonisme. Tesis sentral dari teori ini adalah bahwa setiap teori matematika secara logis konsisten harus mengacu pada suatu entitas abstrak. Apakah matematika yang dirumuskan teori tahu bahwa itu merujuk atau tidak tahu ini, sebagian besar material. Dengan menghibur sebuah teori matematis yang konsisten, matematika secara otomatis memperoleh pengetahuan tentang subyek teori. Jadi, pada pandangan ini, tidak ada masalah epistemologis untuk memecahkan lagi.
lain itu gagal terus. aamun, tidak semua orang setuju bahwa gambar ini dapat dipertahankan. Martin telah dikembangkan argumen untuk menunjukkan bahwa alam semesta beberapa dapat selalu "akumulasi" ke dalam alam semesta tunggal (Martin 2001).
Dalam versi Linsky dan Zalta tentang Platonisme plenitudinous, entitas matematika yang dipostulasikan oleh teori matematika yang konsisten telah persis sifat matematika yang dikaitkan kepadanya oleh teori. Entitas abstrak yang berhubungan dengan ZFC, misalnya, adalah parsial dalam arti bahwa hal itu tidak membuat hipotesis kontinum benar atau salah. Alasannya adalah bahwa ZFC tidak memerlukan hipotesis kontinum ataupun penyangkalan. Ini tidak berarti bahwa semua cara konsisten memperluas ZFC berada di setara. Beberapa cara mungkin akan berbuah dan kuat, yang lain kurang begitu. Tapi melihat tidak menyangkal bahwa cara-cara yang konsisten tertentu memperluas ZFC yang lebih baik karena mereka terdiri dari prinsip sejati sedangkan yang lain mengandung prinsip-prinsip palsu.
4. Strukturalisme dan aominalisme
pekerjaan Benacerraf's termotivasi flsuf untuk mengembangkan kedua teori strukturalis dan nominalis dalam flsafat matematika (Reck & Harga 2000). Dan sejak 1980-an, kombinasi strukturalisme dan nominalisme juga telah dikembangkan.
4.1 Bilangan Apa yang Tidak Bisa Jadi
Seolah-olah saddling Platonisme dengan satu masalah sulit tidak cukup (Bagian 3.4), Benacerraf merumuskan suatu tantangan bagi Platonisme set-teoritis (Benacerraf 1965). Tantangan mengambil formulir berikut.
Terdapat tak terhingga banyak cara mengidentifkasi bilangan asli dengan set murni. Mari kita membatasi, tanpa kehilangan penting dari umum, diskusi kami dengan dua cara seperti:
I: 0 = ∅ 1 = {∅} 2 = {{∅}} 3 = {{{∅}}} ...
II:
0 = ∅ 1 = {∅} 2 = {∅, {∅}}
...
Pertanyaan sederhana yang Benacerraf bertanya adalah: Yang ini hanya terdiri laporan identitas sejati: I atau II?
Sepertinya sangat sulit untuk menjawab pertanyaan ini. Hal ini tidak sulit untuk melihat bagaimana fungsi pengganti dan penambahan dan operasi perkalian dapat didefnisikan pada calon nomor I dan nomor calon II sehingga semua laporan aritmetika yang kita ambil untuk menjadi kenyataan keluar benar.Memang, jika hal ini dilakukan dengan cara yang alami, maka kita sampai pada struktur isomorfk (dalam arti teoritis set-kata), dan struktur isomorfk membuat kalimat yang sama benar (mereka elementarily setara). Hanya ketika kita mengajukan pertanyaan ekstra-aritmatika, seperti 1 ∈ 3? bahwa dua account dari alam nomor menghasilkan jawaban divergen. Jadi tidak mungkin bahwa kedua rekening sudah benar. Menurut cerita saya, 3 = {{{∅}}}, padahal menurut cerita II, 3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}. Jika kedua account itu benar, maka transitivitas identitas akan menghasilkan kesalahan
set-teori murni.
Menyimpulkan, kita sampai pada situasi berikut. Di satu sisi, ada tampaknya tidak ada alasan mengapa satu account lebih unggul dari yang lain. Di sisi lain, account tidak bisa keduanya benar.keadaan ini kadang-kadang disebut label identifkasi masalah Benacerraf's.
Kesimpulan yang tepat untuk menarik dari teka-teki ini tampaknya bahwa akun saya atau akun II adalah benar. Karena pertimbangan serupa akan muncul dari membandingkan upaya akal-mencari lain untuk mengurangi jumlah alami untuk set, tampak bahwa bilangan asli tidak set setelah semua. Jelas, apalagi, bahwa argumen yang sama dapat dirumuskan untuk nomor rasional, bilangan real, ....Benacerraf menyimpulkan bahwa mereka juga, tidak set sama sekali.
4.2 Ante Rem Strukturalisme
Shapiro menarik pembedaan yang bermanfaat antara teori matematika aljabar dan non-aljabar (Shapiro 1997). Kira-kira, teori non-aljabar adalah teori yang muncul pada pandangan pertama tentang model unik: model dimaksudkan teori. Kita telah melihat contoh teori seperti: aritmatika, analisis matematis .... teori aljabar, sebaliknya, tidak membawa tuntutan prima facie untuk menjadi tentang model unik. Contohnya adalah teori grup, topologi, teori graph, ....
tantangan Benacerraf bisa dipasang untuk objek yang non-aljabar teori muncul untuk menggambarkan. aamun tantangan tidak berlaku untuk teori aljabar. teori aljabar tidak tertarik pada objek matematika per se, mereka tertarik pada aspek struktural objek matematika. Benacerraf ini menyebabkan berspekulasi apakah sama tidak bisa benar juga teori non-aljabar. Mungkin pelajaran yang bisa ditarik dari masalah identifkasi Benacerraf adalah bahwa bahkan aritmatika tidak menggambarkan benda-benda matematis tertentu, tetapi hanya menjelaskan hubungan struktural?
Shapiro dan Resnik berpendapat bahwa semua teori matematika, bahkan yang non-aljabar, menjelaskan struktur. Posisi ini dikenal sebagai strukturalisme (Shapiro 1997; Resnik 1997). Struktur terdiri dari tempat-tempat yang berdiri dalam hubungan struktural satu sama lain. Dengan demikian, derivatively, teori matematika menjelaskan tempat atau posisi dalam struktur. Tapi mereka tidak menggambarkan objek. aomor 3, misalnya, akan pada pandangan ini tidak menjadi obyek tetapi tempat dalam struktur alam nomor.
Sistem instantiations struktur. Sistem yang instantiate struktur yang dijelaskan oleh teori non-aljabar isomorfk satu sama lain, dan dengan demikian, untuk tujuan teori, sama baiknya. Sistem I dan II yang dijelaskan dalam Bagian 4.1 dapat dilihat sebagai instantiations dari struktur alam nomor. Set {{{∅}}} dan {∅, {∅}, {∅, {∅}}} sama-sama cocok untuk memainkan peran nomor tiga.Tapi satu tidak adalah nomor 3. Untuk nomor 3 merupakan tempat terbuka di struktur alam nomor, dan tempat ini terbuka tidak memiliki struktur internal. Sistem biasanya berisi properti atas dan di atas mereka yang relevan untuk struktur yang mereka dibawa ke instantiate.
pertanyaan identitas Masuk akal adalah mereka yang bisa diajukan dari dalam struktur. Mereka adalah pertanyaan-pertanyaan yang dapat dijawab berdasarkan aspek struktural struktur. pertanyaan Identitas yang melampaui struktur tidak masuk akal. Satu dapat mengajukan pertanyaan apakah 3, ∈ 4 tetapi tidak cogently: pertanyaan ini melibatkan kesalahan kategori.Pertanyaan campuran dua struktur yang berbeda: ∈ adalah gagasan set-teoritis, sedangkan 3 dan 4 adalah tempat di struktur alam nomor. Hal ini tampaknya merupakan jawaban yang memuaskan untuk tantangan Benacerraf's.
dapat ditemukan di alam, struktur dari alam nomor akan ada. Jadi struktur sebagai Shapiro memahami mereka adalah abstrak, entitas platonis. merek Shapiro strukturalisme sering dicap strukturalisme rem ante.
Dalam buku teks pada teori himpunan kita juga menemukan gagasan struktur. Secara kasar, defnisi set-teoritis mengatakan bahwa struktur adalah memerintahkan n-tuple yang terdiri dari satu set, sejumlah hubungan di set ini, dan sejumlah elemen dibedakan dari himpunan ini. Tapi ini tidak dapat gagasan struktur yang strukturalisme dalam flsafat matematika dalam pikiran. Untuk gagasan set-teori struktur mengandaikan konsep set, yang menurut strukturalisme, harus sendiri dijelaskan secara struktural.Atau, untuk menempatkan titik berbeda, struktur set-teoritis hanyalah sebuah sistem yang instantiates struktur yang ontologis sebelum itu.
Tampaknya ante strukturalisme rem menjelaskan pengertian struktur dengan cara yang agak melingkar. susunan A digambarkan sebagai tempat yang berdiri dalam hubungan satu sama lain, tetapi tempat yang tidak dapat digambarkan secara independen dari struktur mana ia berasal. aamun ini belum tentu masalah. Untuk strukturalis rem ante, gagasan struktur adalah konsep primitif, yang tidak dapat didefnisikan dalam istilah yang lebih mendasar lainnya. Paling-paling, kita dapat membangun sebuah teori aksiomatik struktur matematika.
Tapi masalah epistemologis Benacerraf masih tampaknya mendesak. Struktur dan tempat-tempat dalam struktur mungkin tidak objek, tetapi mereka adalah abstrak. Jadi, adalah wajar untuk bertanya-tanya bagaimana kita berhasil dalam mendapatkan pengetahuan dari mereka. Masalah ini telah diambil oleh flsuf tertentu sebagai alasan untuk mengembangkan teori nominalis matematika dan kemudian untuk mendamaikan teori ini dengan prinsip dasar strukturalisme.
4.3 Matematika Tanpa Entitas Abstrak
Goodman dan Quine mencoba awal menggigit peluru dan memulai sebuah proyek untuk merumuskan teori dari ilmu pengetahuan alam tanpa memanfaatkan entitas abstrak (Goodman & Quine 1947). Rekonstruksi nominalistic teori-teori ilmiah terbukti menjadi tugas yang sulit. Quine, untuk satu, ditinggalkan setelah upaya awal ini. Dalam dekade terakhir banyak teori telah diajukan yang dimaksudkan untuk memberikan rekonstruksi nominalistic matematika. Burgess & Rosen 1997 berisi diskusi kritis baik dari pandangan tersebut.
bilangan asli - pernah pikiran bilangan real. Manakah nominalis menemukan koleksi yang diperlukan entitas beton?
Lapangan melakukan upaya sungguh-sungguh untuk melaksanakan rekonstruksi nominalistic mekanika aewton (Field 1980). Ide dasarnya adalah ini. Field ingin menggunakan pengganti beton dari bilangan real dan fungsi pada mereka. Ia mengadopsi sikap realis menuju kontinum spasial. Dia mengambil daerah ruang untuk menjadi seperti fsik nyata sebagai kursi dan meja. Dan ia mengambil daerah ruang haruslah konkrit: setelah semua, mereka secara spasial berada. Jika kita juga menghitung yang sangat terputus, maka ada banyak daerah adalah sebagai ruang aewtonian karena ada subset dari bilangan real. Dengan cara ini terdapat cukup entitas konkrit untuk memainkan peran nomor alam, bilangan real, dan fungsi pada bilangan real. Dan teori bilangan real dan fungsi pada mereka adalah semua yang diperlukan untuk merumuskan mekanika aewton. Tentu saja akan lebih menarik untuk melakukan rekonstruksi nominalistic dari teori ilmiah yang benar-benar kontemporer seperti mekanika kuantum.Tetapi mengingat bahwa proyek dapat dilakukan untuk mekanika aewton, beberapa derajat optimisme awal tampaknya dibenarkan.
4.4 Dalam Strukturalisme Rebus
fsikalis interpretasi Field aritmatika dan analisis tidak hanya melemahkan argumen indispensability Quine-Putnam. Ini juga sebagian menyediakan jawaban atas tantangan epistemologis Benacerraf's. Diakui itu bukan tugas sederhana untuk memberikan penjelasan tentang bagaimana manusia mendapatkan pengetahuan tentang daerah ruang-waktu. Tapi daerah ruang-waktu setidaknya adalah fsik. Jadi kita tidak lagi diperlukan untuk menjelaskan bagaimana daging-dan-darah matematikawan berdiri di kontak dengan entitas non-fsik. Tapi masalah Benacerraf identifkasi jenazah. Orang mungkin bertanya-tanya mengapa satu titik ruang-waktu atau wilayah, bukan yang lain memainkan peran π nomor, misalnya.
Menanggapi masalah identifkasi, tampaknya menarik untuk menggabungkan pendekatan strukturalis dengan nominalisme Field. Hal ini menyebabkan versi strukturalisme nominalis, yang dapat dijelaskan sebagai berikut. Mari kita fokus pada analisis matematis. Strukturalis nominalis menyangkal bahwa setiap sistem fsik beton adalah interpretasi dimaksudkan unik dari analisis. Semua sistem fsik beton yang memenuhi prinsip-prinsip dasar Analisis Real (RA) akan melakukan sama baiknya. Jadi isi dari φ kalimat bahasa analisis adalah (kasar) yang diberikan oleh:
Setiap sistem beton S yang membuat RA benar, juga membuat φ benar.
Ini mensyaratkan bahwa, seperti strukturalisme rem ante, hanya aspek struktural yang relevan dengan kebenaran atau kepalsuan laporan matematika. Tapi tidak seperti strukturalisme rem ante, tidak ada struktur abstrak dipostulasikan di atas dan di luar sistem beton.
Menurut dalam strukturalisme rebus, tidak ada struktur abstrak ada atas dan di atas sistem yang instantiate mereka; struktur hanya ada di sistem yang instantiate mereka. Untuk alasan ante nominalis strukturalisme rem kadang-kadang digambarkan sebagai "strukturalisme tanpa struktur". nominalis strukturalisme adalah bentuk di rebus strukturalisme. aamun dalam strukturalisme rebus tidak habis oleh strukturalisme nominalis.Bahkan versi Platonisme yang mengambil matematika menjadi sekitar struktur dalam arti set-teori dari kata tersebut dapat dilihat sebagai bentuk dalam strukturalisme rebus.
Putnam menyadari sejak awal bahwa jika penjelasan di atas isi dari kalimat matematika dimodifkasi sedikit, latar belakang asumsi yang secara substansial lebih lemah adalah cukup untuk mendapatkan kondisi kebenaran yang benar (Putnam 1967).Putnam mengusulkan render modal berikut isi dari φ kalimat bahasa analisis:
Tentu, setiap sistem beton S yang membuat RA benar, juga membuat φ benar. Ini adalah pernyataan kuat dari render non-modal yang disajikan sebelumnya. Tapi tampaknya sama-sama masuk akal. Dan keuntungan dari rendering ini adalah bahwa latar belakang asumsi berikut modal-eksistensial adalah cukup untuk membuat kondisi kebenaran laporan matematika keluar benar:
Ada kemungkinan bahwa ada suatu sistem fsik beton yang dapat berfungsi
sebagai model untuk RA.
('Ada kemungkinan bahwa' di sini berarti 'Hal ini atau mungkin telah terjadi bahwa'.) Sekarang perhatian Hilbert tampaknya ditangani. Untuk pada account Putnam's, kebenaran kalimat matematika tidak lagi tergantung pada asumsi fsik tentang dunia nyata.
Sekali lagi, hal ini diakui tidak mudah untuk memberikan penjelasan memuaskan tentang bagaimana kita tahu bahwa ini asumsi modal-eksistensial terpenuhi. Tapi mungkin diharapkan bahwa tugas kurang menakutkan dari tugas menjelaskan bagaimana kita berhasil mengetahui fakta-fakta tentang entitas abstrak. Dan tidak boleh dilupakan bahwa aspek strukturalis dari posisi ini nominalis (modal) membuat tantangan identifkasi Benacerraf di teluk.
Strategi Putnam juga memiliki keterbatasan. Chihara berusaha untuk menerapkan strategi Putnam tidak hanya untuk aritmatika dan analisis, tetapi juga untuk menetapkan teori (Chihara 1973).Kemudian versi kasar asumsi modal-eksistensial relevan menjadi:
Ada kemungkinan bahwa terdapat sistem fsik beton yang dapat melayani sebagai
model untuk ZFC.
Parsons telah mencatat bahwa ketika dunia mungkin diperlukan yang berisi koleksi entitas fsik yang memiliki kardinalitas transfnite besar atau mungkin bahkan terlalu besar untuk memiliki nomor kardinal, menjadi sulit untuk melihat beton mungkin atau sistem fsik (Parsons 1990). Kita tampaknya tidak memiliki alasan untuk percaya bahwa mungkin ada dunia fsik yang berisi entitas-transfnitely-sangat banyak.
(Diskusi Hellman 1989 akan disediakan untuk bagian 5.2, ketika gagasan
categoricity diperkenalkan.)
4.5 Fictionalism
sekarang akan dibahas menyatakan bahwa semua laporan matematika eksistensial adalah palsu hanya karena tidak ada entitas matematika. (Untuk alasan yang sama semua pernyataan matematis universal akan secara trivial benar.)
Fictionalism menyatakan bahwa teori matematika seperti cerita fksi seperti dongeng dan novel. teori Matematika menggambarkan entitas fksi, dengan cara yang sama yang fksi sastra menggambarkan tokoh fksi. Posisi ini pertama kali diartikulasikan dalam bab pendahuluan Lapangan 1989, dan telah dalam beberapa tahun terakhir telah mendapatkan popularitas.
Bahkan paling kejam dari deskripsi dari posisi fctionalist segera membuka pertanyaan seperti apa entitas entitas fksi. Ini adalah masalah metafsik-ontologis yang mendalam. Matematika fctionalists sampai sekarang tidak menyumbang banyak kepada resolusi pertanyaan ini.
Jika tesis fctionalist benar, maka satu tuntutan yang harus dikenakan pada teori matematika pasti konsistensi. aamun lapangan ini menambah persyaratan kedua: matematika harus konservatif atas ilmu alam. Ini berarti, secara kasar, bahwa setiap kali pernyataan dari teori empiris dapat diturunkan dengan menggunakan matematika, dapat secara prinsip juga diturunkan tanpa menggunakan teori matematika. Jika ini tidak terjadi, maka argumen indispensability bisa dimainkan melawan fctionalism.Apakah matematika sebenarnya konservatif atas fsika, misalnya, saat ini masalah kontroversi. Shapiro telah merumuskan argumen ketidaklengkapan itu bermaksud untuk menyangkal pernyataan Field (Shapiro 1983).
Jika memang ada ada entitas matematika, sebagai fctionalist yang berpendapat, maka masalah epistemologis Benacerraf's tidak muncul. Fictionalism saham keuntungan ini lebih dari kebanyakan bentuk Platonisme dengan rekonstruksi nominalistic matematika. Tetapi pada saat yang sama saham dengan keuntungan dari Platonisme menghormati permukaan bentuk logis pernyataan matematika.
sepanjang konsistensi secara keseluruhan tetap terjaga.
Keberatan kanonik untuk formalisme tampaknya juga berlaku untuk fctionalism. The fctionalists harus menemukan beberapa penjelasan untuk fakta bahwa memperluas teori matematika dalam satu cara adalah sering dianggap lebih baik atas terus dengan cara lain yang tidak sesuai dengan yang pertama. Ada sering setidaknya penampilan bahwa ada cara yang tepat untuk memperpanjang sebuah teori matematika.
5. Topik Khusus
Dalam beberapa tahun terakhir, subdisiplin dari flosof matematika mulai timbul. Mereka berevolusi dengan cara yang tidak sepenuhnya ditentukan oleh "perdebatan besar" tentang sifat matematika. Dalam bagian penutup, kita melihat beberapa disiplin ilmu ini.
5.1 Filsafat Teori
Banyak hal Teori himpunan sebagai dasar matematika.Tampaknya bahwa hampir setiap bagian dari matematika dapat dilakukan dalam teori himpunan, meskipun kadang-kadang pengaturan canggung untuk melakukannya. Dalam beberapa tahun terakhir, flsafat teori himpunan yang muncul sebagai disiplin flosofs sendiri. Ini bukan untuk mengatakan bahwa dalam debat khusus dalam flsafat teori himpunan tidak dapat membuat perbedaan besar apakah salah satu pendekatan dari titik formalistic melihat atau dari sudut pandang platonistic, misalnya.
Satu pertanyaan yang telah penting dari awal kekhawatiran teori himpunan perbedaan antara set dan kelas yang tepat. Argumen diagonal Cantor memaksa kita untuk mengakui bahwa alam semesta set-teoritis secara keseluruhan tidak dapat dianggap sebagai satu set. Teorema Cantor menunjukkan bahwa himpunan daya (yaitu himpunan semua subset) dari himpunan memiliki kardinalitas yang lebih besar daripada yang diberikan mengatur dirinya sendiri. Sekarang anggaplah bahwa alam semesta set-teoritis bentuk satu set: himpunan semua set. Lalu power set dari himpunan semua set harus subset dari himpunan semua set. Hal ini akan bertentangan dengan kenyataan bahwa power set dari himpunan semua set akan memiliki kardinalitas lebih besar daripada himpunan semua set. Jadi kita harus menyimpulkan bahwa alam semesta set-teoretis tidak bisa membentuk set.
diagonalisasi juga tidak menjadi kelas yang tepat dari semua kelas yang tepat.Jadi pandangan yang tepat kelas tampaknya dipaksa untuk mengakui di samping sebuah dunia kelas super-tepat, dan sebagainya. Untuk alasan ini, Zermelo mengklaim bahwa kelas-kelas yang tepat sama sekali tidak ada. Posisi ini kurang aneh daripada yang terlihat pada pandangan pertama. Pada pemeriksaan dekat, orang melihat bahwa dalam ZFC orang tidak pernah perlu menghitung lebih dari entitas yang terlalu besar untuk set (meskipun terdapat sistem teori himpunan yang menghitung lebih dari kelas yang tepat). Pada pandangan ini, alam semesta set-teoritis adalah potensial tidak terbatas secara mutlak dari kata itu. Tidak pernah ada secara keseluruhan selesai, tetapi selamanya tumbuh, dan karenanya selamanya belum selesai.Cara berbicara mengungkapkan bahwa dalam upaya kita untuk memahami gagasan tak terhingga potensial mutlak, kita ditarik untuk metafora temporal. Tidaklah mengherankan bahwa metafora temporal menyebabkan beberapa flsuf matematika ketidaknyamanan akut.
Sebuah subyek kedua dalam flsafat keprihatinan teori himpunan pembenaran prinsip-prinsip dasar matematika yang diterima, yaitu aksioma ZFC. Sebuah studi kasus yang penting sejarah adalah proses di mana Aksioma Pilihan datang untuk diterima oleh komunitas matematika dalam dekade-dekade awal abad kedua puluh (Moore 1982). Pentingnya studi kasus ini terutama disebabkan oleh fakta bahwa diskusi terbuka dan eksplisit penerimaan yang diadakan dalam komunitas matematika. Dalam diskusi ini, alasan umum untuk menerima atau menolak untuk menerima prinsip sebagai aksioma dasar datang ke permukaan.Di sisi sistematis, dua konsepsi gagasan set telah diuraikan yang bertujuan untuk membenarkan semua aksioma ZFC dalam satu kali kejadian. Di satu sisi, ada konsepsi berulang set, yang menjelaskan bagaimana alam semesta set-teoritis dapat dianggap sebagai yang dihasilkan dari set kosong dengan cara operasi mengatur daya (Boolos 1971). Di sisi lain, ada batasan-konsepsi-ukuran set, yang menyatakan bahwa setiap penagihan yang tidak terlalu besar untuk mengatur, adalah satu set (Hallett 1984). Konsepsi iteratif memotivasi beberapa aksioma ZFC sangat baik (aksioma ditetapkan listrik, misalnya), tetapi tarif kurang baik berkenaan dengan aksioma lain (seperti aksioma pengganti). Keterbatasan-konsepsi-ukuran memotivasi aksioma lain yang lebih baik (seperti aksioma pemahaman terbatas).Banyak flsuf matematika percaya bahwa kita sekarang ini tidak memiliki konsepsi seragam yang jelas-jelas membenarkan semua aksioma ZFC.
Gödel berharap bahwa berdasarkan aksioma besar-kardinal seperti itu, pertanyaan-pertanyaan terbuka yang penting dalam teori himpunan akhirnya bisa diselesaikan. Masalah set-teoritis yang paling penting adalah masalah kontinum. Hipotesis kontinum diusulkan oleh penyanyi pada akhir abad kesembilan belas. Hal ini menyatakan bahwa tidak ada set S yang terlalu besar untuk ada menjadi korespondensi satu-ke-satu antara S dan nomor alam, tapi terlalu kecil untuk di sana ada sebuah korespondensi satu-ke-satu antara S dan bilangan real . Meskipun usaha keras, semua upaya untuk menyelesaikan masalah kontinum gagal. Gödel datang untuk mencurigai bahwa hipotesis kontinum tidak tergantung pada prinsip-prinsip teori himpunan diterima. Sekitar 1940, ia berhasil menunjukkan bahwa hipotesis kontinum konsisten dengan ZFC. Beberapa dekade kemudian, Paul Cohen membuktikan bahwa negasi dari hipotesis kontinum juga konsisten dengan ZFC. Jadi dugaan Gödel tentang kemerdekaan hipotesis kontinum akhirnya dikonfrmasi.
Tapi berharap Gödel bahwa aksioma-kardinal besar dapat memecahkan masalah kontinum ternyata tidak berdasar.Hipotesis kontinum adalah independen dari ZFC bahkan dalam konteks aksioma besar-kardinal yang paling. aamun demikian, prinsip-kardinal besar telah berhasil menyelesaikan versi terbatas dari hipotesis kontinum (dengan persetujuan). Keberadaan kardinal Woodin disebut memastikan bahwa set didefnisikan dalam analisis baik dapat dihitung atau ukuran kontinum. Dengan demikian masalah kontinum diuraikan diselesaikan.
Dalam beberapa tahun terakhir, upaya telah difokuskan untuk menemukan prinsip-prinsip dari jenis yang berbeda yang mungkin dibenarkan dan yang belum dapat menentukan hipotesis kontinum (Woodin 2001a, 2001b). Salah satu pertanyaan flosofs yang lebih umum yang muncul dari penelitian ini adalah sebagai berikut: kondisi yang harus dipenuhi dalam rangka untuk prinsip untuk menjadi aksioma dasar putative matematika?
Banyak para peneliti yang berusaha untuk memutuskan hipotesis kontinum berdasarkan aksioma baru berpikir bahwa sudah ada bukti yang signifkan untuk tesis bahwa hipotesis kontinum adalah palsu. Tetapi ada juga teori banyak diatur dan flsuf matematika yang percaya bahwa hipotesis kontinum tidak hanya diputuskan dalam ZFC tapi benar-benar diputuskan, yaitu, bahwa itu adalah tidak dapat dibuktikan (dalam arti kata informal) atau disprovable (dalam arti informal kata tersebut). Hal ini terkait dengan pertanyaan yang lebih umum apakah ada batas-batas yang wajar dapat ditempatkan pada perluasan konsep provability informal.Saat ini, wilayah penelitian terbuka lebar.
5.2 Categoricity
isomorfsma, tepat satu model, maka dikatakan kategoris. Jadi isomorphisms modulo, aritmatika dan analisis masing-masing memiliki tepat satu model dimaksudkan. Setengah abad kemudian Zermelo membuktikan bahwa prinsip-prinsip teori himpunan adalah "hampir" kategoris atau kuasi-kategoris: untuk setiap dua model M1 dan M2 prinsip-prinsip teori himpunan, baik M1 isomorfs untuk M2, atau M1 isomorfk ke kuat peringkat tidak dapat diakses dari M2, atau M2 isomorfk ke peringkat yang sangat tidak dapat diakses M1. Baru-baru ini, McGee telah menunjukkan bahwa jika kita mempertimbangkan Teori himpunan dengan Urelements, maka teori itu sepenuhnya kategoris sehubungan dengan set murni jika kita berasumsi bahwa hanya ada set-banyak Urelements (McGee 1997).
Pada saat yang sama, teorema Löwenheim-Skolem mengatakan bahwa setiap orde pertama teori formal yang memiliki setidaknya satu model dengan domain yang tak terbatas, harus memiliki model dengan domain dari semua kardinalitas terbatas. Karena prinsip aritmatika, analisis dan teori himpunan lebih baik memiliki setidaknya satu model yang tak terhingga, teorema Löwenheim-Skolem tampaknya berlaku untuk mereka. Apakah ini tidak dalam ketegangan dengan teorema categoricity Dedekind's?
Solusi dari teka-teki ini terletak pada kenyataan bahwa Dedekind bahkan tidak implisit bekerja dengan formalizations order pertama dari prinsip-prinsip dasar aritmatika dan analisis. Sebaliknya, ia secara informal bekerja dengan formalizations orde kedua. Hal yang sama berlaku untuk Zermelo dan McGee.
Ante rem strukturalisme, serta penafsiran strukturalis nominalis modal matematika, dapat mengambil manfaat dari formulasi orde kedua. Jika strukturalis rem ante ingin menegaskan bahwa struktur alam jumlahnya tetap sampai dengan isomorfsma oleh aksioma Peano, maka dia akan ingin merumuskan aksioma Peano dalam logika orde kedua. Dan strukturalis nominalis modal akan ingin menegaskan bahwa sistem beton yang relevan untuk aritmatika adalah mereka yang membuat orde kedua Peano aksioma yang benar (Hellman 1989). Demikian pula untuk analisis matematika dan teori himpunan. Dengan demikian menarik bagi logika orde kedua muncul sebagai langkah terakhir dalam proyek strukturalis dari mengisolasi model dimaksudkan matematika.
aamun menarik bagi logika orde kedua dalam flsafat matematika tidak berarti tidak kontroversial. Suatu keberatan yang pertama adalah bahwa komitmen ontologis logika orde kedua lebih tinggi dari komitmen ontologis logika orde pertama. Setelah semua, penggunaan logika orde kedua tampaknya berkomitmen kami untuk keberadaan benda abstrak: kelas. Menanggapi masalah ini, Boolos telah diartikulasikan interpretasi logika orde kedua yang menghindari ini komitmen untuk entitas abstrak (Boolos 1985).Penafsirannya merinci klausul kebenaran untuk bilangan orde kedua dalam hal ekspresi jamak, tanpa memanggil kelas.Misalnya, ekspresi kedua-order bentuk ∃ XF (X) ditafsirkan sebagai: "ada beberapa hal-hal seperti F yang memegang dari mereka". Penafsiran ini disebut penafsiran jamak dari logika orde kedua. (Lihat entri pada kuantifkasi plural.) Jelas bahwa banding sedemikian penafsiran logika kedua order akan menggoda untuk versi nominalis strukturalisme.
tidak memiliki nilai kebenaran tentu. Oleh karena itu, berpendapat, gagasan tentang model (tak terbatas) logika orde kedua penuh secara inheren tak tentu. Jika salah satu tidak ingin menarik logika orde kedua penuh, maka ada cara lain untuk memastikan categoricity teori matematika. Satu ide akan memanfaatkan bilangan yang entah pertengahan antara orde pertama dan orde kedua bilangan.Misalnya, satu mungkin memperlakukan "ada banyak fnitely x" sebagai quantifer primitif. Hal ini akan memungkinkan satu, misalnya, untuk membangun sebuah axiomatization kategori aritmatika.
Tapi categoricity memastikan teori matematika tidak memerlukan memperkenalkan pembilang lebih kuat. Pilihan lain akan mengambil konsep informal komputabilitas algoritmik sebagai gagasan primitif (Halbach & Horsten 2005). Sebuah teorema Tennenbaum menyatakan bahwa semua model pertama-order Peano Aritmetika di mana penjumlahan dan perkalian adalah fungsi komputasi, isomorfk satu sama lain. Sekarang operasi kami penambahan dan perkalian adalah komputasi: jika kita tidak pernah bisa belajar operasi ini. Ini, kemudian, adalah cara lain di mana kita mungkin dapat mengisolasi model dimaksudkan prinsip kita aritmatika. Terhadap account ini, bagaimanapun, mungkin menunjukkan bahwa tampaknya bahwa categoricity model dimaksudkan untuk analisis riil, misalnya, tidak dapat dipastikan dengan cara ini. Untuk perhitungan pada model prinsip analisis riil, kita tidak memiliki teorema yang memainkan peran teorema Tennenbaum's.
5.3 Perhitungan dan Bukti
Sampai akhir-akhir ini, subjek perhitungan tidak menerima banyak perhatian dalam flsafat matematika. Hal ini mungkin disebabkan sebagian fakta bahwa dalam axiomatizations Hilbert-gaya teori bilangan, perhitungan dikurangi menjadi bukti dalam Peano aritmatika. Tapi situasi ini telah berubah dalam beberapa tahun terakhir. Tampaknya bahwa seiring dengan meningkatnya pentingnya perhitungan matematis dalam praktek, refeksi flosofs pada gagasan perhitungan akan menempati tempat yang lebih menonjol dalam flsafat matematika di tahun-tahun mendatang.
Gereja Tesis menempati tempat sentral dalam teori komputabilitas. Ia mengatakan bahwa setiap fungsi algoritma komputasi pada bilangan asli dapat dihitung oleh mesin Turing.
adalah bahwa bukti kita untuk Tesis Gereja adalah kuasi-empiris.Upaya untuk menemukan tandingan meyakinkan untuk Tesis Gereja menyebabkan sia-sia. Mandiri, berbagai proposal telah dibuat untuk menangkap matematis fungsi algoritma komputasi di alam nomor. Daripada mesin Turing komputabilitas, pengertian tentang recursiveness umum, komputabilitas Herbrand-Gödel, lambda-defnability, ... telah diusulkan. aamun gagasan matematika semua berubah menjadi setara. Jadi, untuk menggunakan Gödelian terminologi, kami telah mengumpulkan bukti ekstrinsik untuk kebenaran Tesis Gereja.
Kreisel lama menunjukkan bahwa bahkan jika tesis tidak dapat dibuktikan secara formal, masih dimungkinkan untuk memperoleh bukti intrinsik untuk itu dari analisis yang ketat tetapi informal gagasan intuitif (Kreisel 1967). Kreisel menyebut latihan di kekakuan informal. beasiswa Detil oleh Sieg mengungkapkan bahwa artikel seminalis Turing (Turing 1936) merupakan contoh indah hanya semacam ini analisis konsep intuitif komputabilitas algoritmik (Sieg 1994).
Saat ini, mata pelajaran yang paling aktif penyelidikan dalam domain yayasan dan flosof perhitungan tampaknya berikut.Pertama, energi telah diinvestasikan dalam mengembangkan teori perhitungan algoritmik pada struktur lain dari alam nomor. Secara khusus, upaya telah dilakukan untuk mendapatkan analog Tesis Gereja untuk perhitungan algoritmik pada berbagai struktur. Dalam konteks ini, kemajuan substansial telah dibuat dalam beberapa dekade terakhir dalam mengembangkan teori komputasi berlaku pada bilangan real (Pour-El 1999). Kedua, upaya telah dilakukan untuk menjelaskan pengertian tentang komputabilitas selain komputabilitas algoritmik oleh manusia. Salah satu bidang minat tertentu di sini adalah bidang perhitungan kuantum (Deutsch et al. 2000).
karakter apriori. Lain berpendapat bahwa faktor-faktor empiris yang kita bergantung saat kita menerima bukti komputer tidak muncul sebagai premis dalam argumen. Oleh karena itu, bukti komputer dapat menghasilkan pengetahuan apriori setelah semua (Burge 1998).
DAFTAR PUSTAKA
Appel, K., Haken, W. & Koch, J., 1977. ‘Every Planar Map is Four Colorable’, Illinois Journal of Mathematics, 21: 429–567.
Balaguer, M. 1998. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
Benacerraf, P., 1965. ‘What aumbers Could aot Be’, in Benacerraf & Putnam
1983, 272–294.
Benacerraf, P., 1973. ‘Mathematical Truth’, in Benacerraf & Putnam 1983,
403–420.
Benacerraf, P. & Putnam, H. (eds.), 1983. Philosophy of Mathematics:
Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, 2nd edition.
Bernays, P., 1935. ‘On Platonism in Mathematics’, in Benacerraf & Putnam 1983, 258–271.
Boolos, G., 1971. ‘The Iterative Conception of Set’, in Boolos 1998, 13–29.
Boolos, G., 1975. ‘On Second-Order Logic’, in Boolos 1998, 37–53.
Boolos, G., 1985. ‘aominalist Platonism’, in Boolos 1998, 73–87.
Boolos, G., 1987. ‘The Consistency of Frege's Foundations of Arithmetic’, in
Boolos 1998, 183–201.
Boolos, G., 1998. Logic, Logic, and Logic, Cambridge: Harvard University
Press.
Burge, T., 1998. ‘Computer Proofs, A Priori Knowledge, and Other
Minds’, Noûs, 32: 1–37.
Burgess, J. & Rosen, G., 1997. A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic Interpretation of Mathematics, Oxford: Clarendon Press.
Burgess, J., 2004. ‘Mathematics and Bleak House’, Philosophia Mathematica, 12: 37–53.
Cantor, G., 1932. Abhandlungen mathematischen und philosophischen
Inhalts, E. Zermelo (ed.), Berlin: Julius Springer.
Carnap, R., 1950. ‘Empiricism, Semantics and Ontology’, in Benacerraf &
Putnam 1983, 241–257.
Chihara, C., 1973. Ontology and the Vicious Circle Principle, Ithaca: Cornell
University Press.
Cohen, P., 1971. ‘Comments on the Foundations of Set Theory’, in D. Scott (ed.) Axiomatic Set Theory (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Volume XIII, Part 1), American Mathematical Society, 9–15.
Colyvan, M., 2001. The Indispensability of Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
Detlefsen, M., 1986. Hilbert's Program, Dordrecht: Reidel.
Deutsch, D., Ekert, A. & Luppacchini, R., 2000. ‘Machines, Logic and Quantum Physics’, Bulletin of Symbolic Logic, 6: 265–283.
Feferman, S., 1988. ‘Weyl Vindicated: Das Kontinuum seventy years later’, reprinted in S. Feferman, In the Light of Logic, aew York: Oxford University Press, 1998, 249–283.
Feferman, S., 2005. ‘Predicativity’, in S. Shapiro (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, pp. 590–624.
Field, H., 1980. Science without Numbers: a defense of nominalism, Oxford: Blackwell.
Field, H., 1989. Realism, Mathematics & Modality, Oxford: Blackwell.
Frege, G., 1884. The Foundations of Arithmetic. A Logico-mathematical Enquiry into the Concept of Number, J.L. Austin (trans.), Evanston: aorthwestern University Press, 1980.
Gentzen, G., 1938. ‘Die gegenwärtige Lage in der mathematischen
Grundlagenforschung. aeue Fassung des Widerspruchsfreiheitsbeweises für die reine Zahlentheorie’, in Forschungen zur Logik und zur Grundlegung der exakten Wissenschaften (aeue Folge/Heft 4), Leipzig: Hirzel.
Gödel, K., 1931. ‘On Formally Undecidable Propositions in Principia
Mathematica and Related Systems I’, in van Heijenoort 1967, 596–616.
Gödel, K., 1944. ‘Russell's Mathematical Logic’, in Benacerraf & Putnam 1983, 447–469.
Gödel, K., 1947. ‘What is Cantor's Continuum Problem?’, in Benacerraf & Putnam 1983, 470–485.
Goodman, a. & Quine, W., 1947. ‘Steps Towards a Constructive
aominalism’, Journal of Symbolic Logic, 12: 97–122.
Halbach, V. & Horsten, L., 2005. ‘Computational Structuralism’, Philosophia
Mathematica, 13: 174–186.
Hale, B. & Wright, C., 2001. The Reason's Proper Study: Essays Towards a
Neo-Fregean Philosophy of Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
Hallett, M., 1984. Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Oxford: Clarendon Press.
Hellman, G., 1989. Mathematics without Numbers, Oxford: Clarendon Press.
Hilbert, D., 1925. ‘On the Infnite’, in Benacerraf & Putnam 1983, 183–201.
Hodes, H., 1984. ‘Logicism and the Ontological Commitments of
Arithmetic’, Journal of Philosophy, 3: 123–149.
Isaacson, D., 1987. ‘Arithmetical Truth and Hidden Higher-Order Concepts’,
Kreisel, G., 1967. ‘Informal Rigour and Completeness Proofs’, in I. Lakatos (ed.), Problems in the Philosophy of Mathematics, Amsterdam: aorth-Holland.
Lavine, S., 1994. Understanding the Infnite, Cambridge, MA: Harvard
University Press.
Linsky, B. & Zalta, E., 1995. ‘aaturalized Platonism vs. Platonized
aaturalism’, Journal of Philosophy, 92: 525–555.
Maddy, P., 1988. ‘Believing the Axioms I, II’, Journal of Symbolic Logic, 53:
481–511, 736–764.
Maddy, P., 1990. Realism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press.
Maddy, P., 1997. Naturalism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press.
Manders, K., 1989. ‘Domain Extensions and the Philosophy of
Mathematics’, Journal of Philosophy, 86: 553–562.
Martin, D.A., 1998. ‘Mathematical Evidence’, in H. Dales & G. Oliveri
(eds.), Truth in Mathematics, Oxford: Clarendon Press, pp. 215–231. Martin, D.A., 2001. ‘Multiple Universes of Sets and Indeterminate Truth
Values’ Topoi, 20: 5–16.
McGee, V., 1997. ‘How we Learn Mathematical Language’, Philosophical Review, 106: 35–68.
Moore, G., 1982. Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and
