SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/ KOTA 2008
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
Bidang Mat emat ika
BAGIAN PERTAMA
1. (Jawaban : E)
Akar dari suat u bilangan posit if adal ah j uga bilangan posit if , maka
a
a
2=
j ika a bilangan real posit ifa
a
2=
−
j ika a bilangan real negat ive∴ Karena a bilangan real maka
a
2 = ⏐a⏐2. (Jawaban : C) 5! = 120 = 23⋅ 3 ⋅ 5
Banyaknya f akt or posit if = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16
∴ Banyaknya f akt or posit if dari 5! adal ah 16.
3. (Jawaban : C)
Agar huruf hidup t idak berdekat an maka ket iga huruf hidup t ersebut harus berada pada urut an ke-1, ke-3 dan ke-5. Sisanya harus diisi oleh huruf konsonan.
Maka banyaknya susunan = 3! ⋅ 2! = 12
∴ Banyaknya susunan = 12.
4. (Jawaban : C)
Misalkan j ari-j ari lingkaran t ersebut adalah R, sisi ∆ABC = x dan sisi ∆PQR = y.
°
60
sin
x
= 2R sehingga 3x = 3R√3
Luas ∆PQR = ½ ⋅ R ⋅ (3y)
½ y2 sin 60o = ½ ⋅ R ⋅ 3y sehingga 3y = 6R√3 Keliling ∆ABC : Kelil ing ∆PQR = 3x : 3y = 1 : 2
∴ Rasio keliling ∆ABC t erhadap keliling ∆PQR adal ah
2
1
5. (Jawaban : B)
X t erdiri dari sedikit nya 2 unsur dan maksimal 5 unsur dengan 2 unsur di ant aranya harusl ah 1 dan 2. Sedangkan sisanya dipilih dari unsur-unsur 3, 4 at au 5.
∆ABC dan ∆ACD memiliki t inggi yang sama maka perbandingan luas keduanya dapat dinyat akan sebagai perbandingan alas.
AB : DC = 1 : 3
11.Misal penont on dewasa = x dan penont on anak-anak = y maka 40. 000x + 15. 000y = 5. 000. 000
8x + 3y = 1000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) x = 40% (x + y)
13.Kalau persoalan t ersebut digambarkan dal am diagram venn maka
∴ Maka banyaknya dung adal ah 7.
14.Pasangan bil angan yang muncul adal ah 1 dan 6 at au 2 dan 5 at au 3 dan 4. Banyaknya pasangan yang mungkin ada 6.
∴ Peluang =
36
6
15.Banyaknya bilangan yang mungkin ada 4! = 24.
Masing-masing angka 1, 4, 7 dan 8 akan muncul 6 kali sebagai angka sat uan. Angka sat uan bilangan t ersebut = angka sat uan 6⋅ 1 + 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 7 + 6 ⋅ 8
∴ Angka sat uan bilangan t ersebut adalah 0.
16.Misalkan koordinat A adalah (p, q) maka karena pert engahan AB adalah t it ik (0, 0) maka koordinat B adalah (−p, −q).
Tit ik A dan B t erlet ak pada parabol a maka q = 4 + p − p2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
−q = 4 − p − p2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
Jumlahkan persamaan (1) dan (2) didapat 0 = 8 − 2p2 sehingga p = ±2
Jika p = 2 maka q = 4 + 2 − 22 = 2 Jika p = −2 maka q = 4 − 2 − 22 = −2
Koordinat A dan B adalah (2, 2) dan (−2, −2) Panj ang AB =
(
2
−
(
−
2
))
2+
(
2
−
(
−
2
))
2∴ Panj ang AB = 4√2.
17.Karena koef isien x3 adal ah a dan konst ant anya adalah 1 maka harusl ah (ax3 + bx2 + 1) = (x2 − x − 1)(ax − 1)
(ax3 + bx2 + 1) = ax3 − (a + 1)x2 + (1 − a)x + 1 Maka 1 − a = 0 sehingga a = 1
b = − (a + 1) sehingga b = −(1 + 1) = −2
18.Perhat ikan gambar.
Perpot ongan bidang yang melalui HF t ersebut dengan kubus adal ah segit iga PFH. Misalkan panj ang AP = x maka PE = 1 − x.
E. PFH adalah bangunan prisma dengan alas berbent uk segit iga sama kaki.
Karena PF = PH dan FE = HE maka proyeksi E pada bidang PFH akan berada pada garis t inggi PK. Sudut ant ara garis EG dengan bidang PFH adalah ∠EKP.
EK =
2
2
1
Pada ∆KEP siku-siku di E.
t an ∠EKP =
EK
EP
=
3
1
3
1
2
2
1
1
=
−
x
AP =
6
6
6
−
∴ Panj ang ruas AP adalah
6
6
6
−
.
19.Misalkan bil angan t ersebut adalah N.
Misalkan N adalah bilangan n angka dengan angka-angka N adalah x1, x2, x3, ⋅⋅⋅, xn.
N ≥ 10n−1 dan N = 6(x1 + x2 + ⋅⋅⋅ + xn) ≤ 54n
Lemma :
Akan dibukt ikan bahwa j ika t erbukt i 54k < 10k−1 maka 54(k + 1) < 10k unt uk k bilangan asl i ≥ 3. Andaikan bahwa 54k < 10k−1.
Karena k ≥ 3 maka 54 < 9 ⋅ 10k−1 sehingga 54k + 54 < 10k−1 + 9 ⋅ 10k−1
54(k + 1) < 10k
Terbukt i bahwa unt uk k asli ≥ 3 maka j ika 54k < 10k−1 maka 54(k + 1) < 10k.
Pembuktian di atas sama saj a dengan membuktikan bahwa untuk k ≥ 3 maka j ika tidak ada N
• Jika N t erdiri dari 1 angka
N = x1 = 6(x1) sehingga t idak ada N asli yang memenuhi.
• Jika bilangan t ersebut adalah bilangan dua angka N = 10x1 + x2 = 6(x1 + x2)
4x1 = 5x2
Karena x1 dan x2 asli maka pasangan (x1, x2) yang memenuhi hanya (5, 4).
Bilangan yang memenuhi hanya 54.
• Jika N t erdiri dari 3 angka
Misalkan N = 100x1 + 10x2 + x3 = 6(x1 + x2 + x3)
94x1 + 4x2 = 5x3
Karena x1≥ 1 maka t idak ada t ripel (x1, x2, x3) yang memenuhi.
Sesuai dengan lemma maka unt uk n ≥ 3 maka t idak ada N yang memenuhi nil ainya sama dengan 6 angka j umlah angka-angkanya.
Himpunan semua bil angan yang memenuhi hanya {54}.
∴ Himpunan semua bil angan yang memenuhi adal ah {54}.
Berdasarkan cos (a − b) = 0 maka a − b = 90o ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)
Karena sin (a + b) =
3
2
1
maka :
• a + b = 60o ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5)
Berdasarkan (4) dan (5) maka didapat a = 75o dan b = −15o yang t idak memenuhi bahwa a dan b adal ah besar dua sudut pada sebuah segit iga.
• a + b = 120o
Berdasarkan (4) dan (6) maka didapat a = 115o dan b = 15o.
Tet api bila a = 115o dan b = 15o disubt it usikan ke persamaan sin a + sin b =
2
2
1
dan cos a +
cos b =
6
2
1
t ernyat a t idak memenuhi keduanya.
