vii ABSTRAK
Metode Newton termodifikasi adalah suatu metode pencarian akar dari fungsi dengan satu variabel bebas yang didasarkan pada prinsip iterasi metode Newton standar. Metode Newton (baik yang versi standar ataupun yang termodifikasi) adalah suatu iterasi pendekatan fungsi tak linear dengan hampiran linear. Metode Newton termodifikasi lebih cepat konvergen dibandingkan dengan metode Newton standar. Sebagai catatan, tingkat konvergensi metode Newton termodifikasi dan metode Newton standar secara berturut-turut adalah √
dan 2.
Metode Newton termodifikasi relatif sederhana dan robust. Hasil percobaan menunjukkan bahwa jumlah iterasi dari metode Newton termodifikasi lebih sedikit bila dibandingkan dengan metode Newton standar. Akan tetapi, satu kali iterasi metode Newton termodifikasi membutuhkan waktu lebih lama, karena metode Newton termodifikasi melakukan proses perhitungan yang lebih banyak.
viii ABSTRACT
Modified Newton’s method is a root finding method of a function with one independent variable, based on the principal of standard Newton’s method iteration. The Newton’s method (either the standard version or modified) iteration is an approximation of nonlinear function by linear function. The modified
Newton’s method converges faster compared to the standard Newton’s method. As a note, the convergence order of the modified Newton’s method and standard
Newton’s method are √ and 2 respectively.
Modified Newton’s method is relatively simple and robust. Numerical examples show that the iteration number of the modified Newton’s method is less
than standard Newton’s method. However, one iteration of the modified Newton’s method needs more time, because the process of this method does more calculations.
i
METODE NEWTON TERMODIFIKASI UNTUK PENCARIAN
AKAR PERSAMAAN NONLINEAR
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh: Juliani Sihotang NIM: 123114006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
A
MODIFIED NEWTON’S METHOD
FOR FINDING ROOTS
OF NONLINEAR EQUATIONS
FINAL ASSIGNMENT
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by: Juliani Sihotang Student ID: 123114006
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Memperoleh hikmat sungguh jauh melebihi memperoleh
emas, dan mendapat pengertian jauh lebih berharga
dari pada mendapat perak”
~ Amsal 16:16 ~
Tugas akhir ini ku persembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus
Ayahku, Kiman Sihotang
Ibuku, Lasmaria Pandiangan
vii ABSTRAK
Metode Newton termodifikasi adalah suatu metode pencarian akar dari fungsi dengan satu variabel bebas yang didasarkan pada prinsip iterasi metode Newton standar. Metode Newton (baik yang versi standar ataupun yang termodifikasi) adalah suatu iterasi pendekatan fungsi tak linear dengan hampiran linear. Metode Newton termodifikasi lebih cepat konvergen dibandingkan dengan metode Newton standar. Sebagai catatan, tingkat konvergensi metode Newton termodifikasi dan metode Newton standar secara berturut-turut adalah √
dan 2.
Metode Newton termodifikasi relatif sederhana dan robust. Hasil percobaan menunjukkan bahwa jumlah iterasi dari metode Newton termodifikasi lebih sedikit bila dibandingkan dengan metode Newton standar. Akan tetapi, satu kali iterasi metode Newton termodifikasi membutuhkan waktu lebih lama, karena metode Newton termodifikasi melakukan proses perhitungan yang lebih banyak.
viii ABSTRACT
Modified Newton’s method is a root finding method of a function with one independent variable, based on the principal of standard Newton’s method iteration. The Newton’s method (either the standard version or modified) iteration is an approximation of nonlinear function by linear function. The modified
Newton’s method converges faster compared to the standard Newton’s method. As a note, the convergence order of the modified Newton’s method and standard
Newton’s method are √ and 2 respectively.
Modified Newton’s method is relatively simple and robust. Numerical examples show that the iteration number of the modified Newton’s method is less
than standard Newton’s method. However, one iteration of the modified Newton’s method needs more time, because the process of this method does more calculations.
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat
yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.
Tugas akhir ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.
Banyak tantangan dalam proses penulisan tugas akhir ini, namun dengan
penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya tugas akhir ini
dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi, sekaligus selaku dosen pembimbing yang dengan
sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses penulisan
tugas akhir ini.
2. Bapak Y. G Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Kepala Program Studi
Matematika.
3. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan
ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.
4. Kedua orang tuaku, Kiman Sihotang dan Lasmaria Pandiangan, serta
kedua kakakku Romauli Sihotang, Priskila Sihotang, dan adikku Legina
Sihotang yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan memberikan
masukkan positif kepadaku.
5. Saudara dan saudariku komsel Area Sanata Dharma yang telah
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang Masalah ... 1
B. Rumusan Masalah ... 4
C. Batasan Masalah ... 4
D. Tujuan Penulisan ... 4
E. Metode Penulisan ... 4
xiii
G. Sistematika Penulisan ... 5
BAB II LANDASAN TEORI ... 7
A. Metode Newton ... 7
B. Tingkat Konvergensi Metode Newton ... 10
C. Analisis Galat Metode Newton ... 12
D. Persamaan Diferensial ... 13
E. Integral ... 18
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin ... 22
G. Konvergensi Deret Taylor ... 23
BAB III METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA ... 29
A. Metode Newton Termodifikasi ... 29
B. Aliran Steady Air Dangkal ... 39
C. Hasil Numeris ... 44
BAB IV KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI ... 47
A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi ... 47
B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal... 48
BAB V PENUTUP ... 51
A. Kesimpulan ... 51
xiv
DAFTAR PUSTAKA ... 53
1
BAB I PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dijelaskan latar belakang, rumusan dan pembatasan
masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, serta sistema-
tika penulisan tugas akhir ini.
A. Latar Belakang
Masalah di dunia nyata dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan atau
sistem persamaan matematika. Penyelesaiannya dapat berupa penyelesaian
ana-litis maupun bukan anaana-litis.
Untuk penyelesaian analitis, model matematika diselesaikan
menggunakan teori dan analisa matematika yang telah ada sedemikian rupa
se-hingga hasil yang diperoleh adalah penyelesaian eksak. Sedangkan untuk
penyelesaian bukan analitis, penyelesaian dari model matematika tersebut
di-peroleh dengan menggunakan metode pendekatan yang dikembangkan untuk
menangani model matematika tersebut sedemikian rupa sehingga penyelesaian
yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan. Dengan demikian,
penyelesaian tersebut bukan penyelesaian eksak. Metode pendekatan tersebut
selanjutnya disebut metode numerik.
Metode numerik adalah suatu teknik penyelesaian yang diformulasikan
secara iteratif dengan bantuan komputer atau secara manual. Analisis suatu
ma-salah yang didekati dengan menggunakan metode numerik umumnya
melibat-kan angka-angka dalam jumlah banyak dan melewati proses perhitungan
ma-tematika yang cukup rumit.
Dalam analisis numerik, metode Newton standar yang juga dikenal
se-bagai metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode yang dikenal
un-tuk mencari hampiran terhadap akar fungsi real. Metode Newton standar yang
dibahas dalam tugas akhir ini adalah metode untuk mencari akar persamaan
non-linear � � = dengan satu titik � sebagai kondisi awalnya dan fungsi � � mempunyai turunan pertama. Metode ini dianggap lebih mudah dari metode
biseksi karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal.
Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka metode
Newton standar semakin cepat konvergen ke akarnya.
Metode Newton standar dapat dijelaskan secara geometris seperti tampak
pada Gambar 1 dan penjabarannya sebagai berikut. Dimulai dengan menetukan
� sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang me-nyinggung grafik fungsi f di titik � , � � . Garis l memotong sumbu x dititik
� . Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang � dianggap sebagai titik awalnya. Dengan mengulang langkah ini akan diperoleh titik-titik
Gambar 1.1: Ilustrasi iterasi metode Newton standar.
Misalkan fungsi f mempunyai turunan pertama �′. Barisan � , � , � , … diperoleh dari iterasi
��+ = ��−�� �′ ��
� , untuk � = , , … (1) Metode Newton standar di atas mempunyai tingkat konvergensi dua (kua-
dratik).Dalam perkembangannya, pada tahun 2014, metode ini telah
dimodifi-kasi sehingga diperoleh metode dengan tingkat konvergensi lebih tinggi yang
disebut metode Newton termodifikasi. Iterasi untuk metode Newton
termodifi-kasi adalah:
��∗ = ��−�′ [�� ��
�− + ��−∗ ] ,
(2)
��+ = ��−�′[ �� �� �+ ��∗ ]
(3)
Penelitian ini akan membandingkan hasil perhitungan yang diperoleh dari
metode Newton standar dengan metode Newton termodifikasi.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana cara mengonstruksi metode Newton standar?
2. Bagaimana cara mengonstruksi metode Newton termodifikasi?
3. Bagaimana menerapkan metode Newton termodifikasi dalam masalah
dinamika fluida?
C. Batasan Masalah
Pembahasan masalah dalam tugas akhir ini akan dibatasi pada metode
Newton standar dan metode Newton termodifikasi untuk mencari akar real suatu
persamaan.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah untuk memodifikasi metode
New-ton standar sehingga menghasilkan metode numeris yang lebih akurat.
E. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku
2. Simulasi numeris, yaitu dengan menggunakan komputer, akan dicari akar
real suatu persamaan.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah kita
dapat mengetahui suatu metode yang mirip dengan metode Newton standar
yang disebut metode Newton termodifikasi yang hasilnya lebih akurat daripada
hasil dari metode Newton standar.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Metode Newton
B. Tingkat Konvergensi Metode Newton
D. Persamaan Diferensial
E. Integral
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
G. Konvergensi Deret Taylor
BAB III METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH
PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA
A. Metode Newton Termodifikasi
B. Aliran Steady Air Dangkal
C. Hasil Numeris
BAB IV KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI
A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi
B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
7 BAB II
LANDASAN TEORI
Landasan teori tugas akhir ditulis dalam bab ini. Landasan teori tersebut
meliputi: metode Newton, konvergensi metode Newton, analisis galat metode
Newton standar, persamaan diferensial, integral, deret Taylor dan deret Maclaurin,
dan konvergensi deret Taylor.
A. Metode Newton
Pada bagian ini dibahas mengenai metode Newton standar yang meliputi
definisi dan contoh dari metode Newton standar tersebut.
Definisi 2.1
Metode Newton standar adalah salah satu metode numerik yang dapat
digunakan untuk menentukan akar (solusi) dari suatu persamaan = . Dengan
f dapat dideferensialkan sehingga grafik = mempunyai sebuah garis singgung pada setiap titik. Jika dapat ditentukan hampiran pertama untuk sebuah
akar yang diperoleh dengan cara menerka atau dari sketsa kasar grafik , maka
hampiran yang lebih mendekati akar diperoleh dari perpotongan garis
singgung di , dengan sumbu . Dengan menggunakan sebagai sebuah
hampiran, maka dapat ditentukan hampiran yang lebih mendekati lagi dan
seterusnya. Proses tersebut dapat dirumuskan dengan mengingat persamaan garis
− = ′ − dan titik potong sumbu di dapat ditentukan
dengan = dan ≠ maka diperoleh
− = ′ − ,
atau
= − ′ .
Lalu digunakan untuk hampiran kedua untuk menghampiri , yang akan
menghasilkan hampiran ketiga. Jika terus mengulang proses iterasi maka akan
diperoleh barisan , , , … . Umumnya, jika hampiran ke-� adalah � dan
� ≠ , maka diperoleh skema untuk metode Newton standar yaitu
�+ = �− ′ � � ,
dengan � = , , , , … .
Untuk menghentikan proses iterasi, misalkan toleransi kesalahan � > sehingga
| �− �− | < � atau | � | < �.
Contoh 2.1
Gunakan metode Newton standar untuk menentukan akar real dari =
+ − − dengan ketelitian sampai lima tempat desimal (dengan � =
. ).
Penyelesaian :
Misal =1 sebagai hampiran pertama untuk . Dipandang
= + − − ,
′ = + − .
Menggunakan rumus iterasi Newton standar
�+ = �− ′ � � ,
diperoleh
�+ = �− �+ �− �− � + � − � .
Hasil iterasi Newton standar untuk � = , , , , adalah sebagai berikut:
Untuk � = , maka
= − + + − − − = . ,
sehingga
| . | = | . | = . .
Untuk � = , maka
= . − . .+ + . .− − . .− = . ,
sehingga
| . | = | . | = . .
Untuk � = , maka
= . − . . + + . . − − . . − = . ,
sehingga
| . | = | . | = . .
= . − . . + + . . − − . . − = . ,
sehingga
| . | = | . | = . .
Untuk � = , maka
= . − . . + + . . − − . . − = . ,
sehingga
| . | = | . | = . .
Setelah melewati empat langkah, akan dijumpai lima digit pertama yang sama,
dengan | �− �− | < �. Jadi akar yang diperoleh adalah = . dengan
jumlah iterasi sebanyak 4 kali.
B. Tingkat Konvergensi Metode Newton
Akan dibahas tentang konvergensi dari metode Newton standar dan akan
ditunjukkan tingkat konvergensinya.
Definisi 2.2
Misalkan � , � , � , … merupakan barisan yang konvergen ke- �, dan � =
� − �� untuk � = , , , … . Jika terdapat suatu bilangan � > dan konstanta ≠
sedemikian sehingga:
lim �→∞
|� − ��+ |
|� − ��|� = lim�→∞ | �+ |
| �|� = ∗,
Catatan: Jika � = , maka barisan disebut konvergen secara linear.
Jika � > , maka barisan disebut konvergen secara superlinear.
Jika � = , maka barisan disebut konvergen secara kuadratik.
Jika � = , maka barisan disebut konvergen secara kubik.
Misalkan , , , … mendekati ∗, maka
a. Tingkat konvergensinya paling tidak adalah linear.
Jika berlaku
| �+ − ∗| | �− ∗|,
untuk suatu < < dan suatu bilangan bulat dengan � .
b. Tingkat konvergensi paling tidak adalah superlinear.
Jika terdapat barisan {��} → dan bilangan bulat dengan � sehingga
berlaku
| �+ − ∗| ��| � − ∗|.
c. Tingkat konvergensi paling tidak adalah kuadratik.
Jika terdapat bilangan bulat dengan � dan konstanta positif (tidak harus
< ) sehingga berlaku
| �+ − ∗| | �− ∗| .
Barisan { �}�=∞ dapat dipandang sebagai suatu barisan yang memenuhi
Definisi 2.2. Misalkan � akar sesungguhnya dari persamaan tak linear , maka
C. Analisis Galat Metode Newton
Bagaimanakah galat metode Newton standar berubah dari satu langkah ke
langkah berikutnya?. Pada penurunan rumus turunan numeris dengan deret
Taylor, rumus galat dalam penurunan rumus turunan numeris tersebut dapat
langsung diperoleh. Tetapi dengan polinom interpolasi harus dicari rumus
galat tersebut dengan bantuan deret Taylor.
Contoh 2.2
Tentukan rumus galat dan tingkat keakuratan dari rumus metode Newton standar :
�+ = � − ′ � �
Penyelesaian:
Misalkan � = − �
dengan adalah akar eksak dan � adalah hampiran pada langkah ke- �.
maka:
�+ = − �+ ,
= − �− ′ �
� ,
= − �+ ′ � � ,
= � + ′ � � ,
= � ′ �′ + �
� .
= = � + � ,
secara kuadratik untuk � yang cukup dekat dengan . Dengan kata lain, tingkat
keakuratan metode Newton standar adalah tingkat dua.
D. Persamaan Diferensial
Berikut ini dibahas tentang persamaan diferensial. Persamaan diferensial
yang dibahas meliputi definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan
diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, kelinearan suatu persamaan
Definisi 2.4
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan
variabel-variabel tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel-variabel-variabel bebas.
Contoh 2.3
Persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan diferensial:
= , (2.4)
+ ( ) = cos , (2.5)
� � +
�
� = , (2.6)
� � +
� � +
�
� = . (2.7)
Definisi 2.5
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan
turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Contoh 2.4
Persamaan (2.4) dan (2.5) merupakan persamaan diferensial biasa. Pada
persamaan (2.4) variabel adalah suatu variabel bebas, dan variabel adalah
variabel tak bebas. Pada persamaan (2.5), variabel adalah variabel bebas, dengan
Definisi 2.6
Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial yang
melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari
satu variabel bebas.
Contoh 2.5
Persamaan (2.6) dan (2.7) merupakan persamaan diferensial parsial. Pada
persamaan (2.6), variabel dan adalah variabel bebas dan adalah variabel tak
bebasnya. Pada persamaan (2.7) terdapat tiga variabel bebas yaitu , , dan
dengan adalah variabel tak bebasnya.
Definisi 2.7
Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang
terkandung dalam persamaan diferensial.
Contoh 2.6
Persamaan diferensial biasa (2.4) adalah persamaan diferensial orde pertama,
karena tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan tersebut adalah satu.
Persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial biasa orde kelima. Persamaan (2.6)
termasuk persamaan diferensial parsial orde pertama. Persamaan (2.7) merupakan
Definisi 2.8
Suatu persamaan diferensial biasa orde ke- �
�( , , ′, ′′, … , � ) = ,
dikatakan linear jika F merupakan suatu fungsi linear dari variabel
, ′, ′′, … , � ; definisi yang sama juga berlaku untuk persamaan diferensial
parsial. Secara umum persamaan diferensial biasa linear orde � dituliskan sebagai
� + �− + +
� = , (2.8)
dengan tidak sama dengan nol.
Di sini ′= , ′′ = , … , � = ��.
Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear. Pada kedua persamaan
berikut, variabel adalah variabel tak bebas. Perhatikan bahwa dan
turunan-turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari dan atau
turunan dari :
+ + = , (2.9)
+ + = . (2.10)
Definisi 2.8
Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak memiliki bentuk (2.8)
Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut semuanya tak linear:
+ + = , (2.11)
+ ( ) + = , (2.12)
+ + = . (2.13)
Persamaan (2.11) tak linear karena variabel tak bebas terdapat pada orde
kedua dalam bentuk . Persamaan (2.12) juga tak linear karena terdapat bentuk
yang melibatkan pangkat lima pada turunan pertama. Persamaan (2.13) tak
linear karena pada bentuk melibatkan perkalian terhadap variabel bebas dan
turunan pertamanya.
Definisi 2.9
Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan
fungsi komposisi.
Aturan rantai kasus 1
Misal = dan = . Jika dan adalah fungsi yang terdiferensial,
maka secara tidak langsung adalah fungsi terdiferensial dari dan
Aturan rantai kasus 2
Andaikan = , adalah fungsi dari dan yang terdiferensial, dengan
= dan = ℎ keduanya fungsi dari yang terdiferensial. Maka adalah
fungsi dari yang terdiferensial dan
= �� +�� .
E. Integral
Pada bagian ini dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan contoh
dari integral tertentu dan tak tentu.
Definisi 2.10
Jika diberikan suatu fungsi pada suatu interval � dan berlaku �′ =
, untuk suatu � , maka � adalah suatu anti turunan dari . Dengan
kata lain �′ = .
Contoh 2.8
Carilah suatu anti turunan dari = pada −∞, ∞ .
Penyelesaian:
Fungsi � = bukan anti turunannya karena turunan adalah . Tetapi
hal ini menyarankan � = , yang memenuhi �′ = = . Dengan
Anti turunan dinotasikan dengan ∫ … . Notasi tersebut menunjukkan anti
turunan terhadap . Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.
Teorema 2.1
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
∫ � = �+
+ + .
Bukti:
Untuk membuktikan
∫ = � + ,
cukup dengan membuktikan
[� + ] = .
Dalam hal ini,
[ �++ + ] = + + � = �.
Teorema terbukti.
Integral Tentu
Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini. untuk mengaproksimasi luas dibawah
kurva = pada selang [ , ], dilakukan dengan cara aproksimasi yaitu
Gambar 2.1: Ilustrasi fungsi satu variabel.
Subinterval tersebut memiliki panjang yang sama yaitu −
� untuk � > . Setelah
membagi interval menjadi � subinterval kemudian menghitung total jumlah luasan
dari masing-masing persegi panjang yang dibentuk oleh masing-masing subinterval
tersebut. Hal ini diperoleh dengan memilih , , … , � dengan = , = �,
dan
� − �− = −� ,
untuk � = , , … , �.
Andaikan panjang masing-masing subinterval yaitu −
� dinotasikan dengan ∆ ,
maka
∆ = � − �− .
Gambar 2.2: Ilustrasi pendekatan integral menggunakan jumlahan Riemann. Luas daerah dibawah kurva diaproksimasikan dengan total luas daerah yang
dibentuk oleh masing-masing subinterval, aproksimasi luas di bawah kurva adalah
� + � + + ��. Artinya total luas tersebut dapat ditulis
∆ + ∆ + + � ∆ = ∑ � ∆
�
�=
yang disebut jumlahan Riemann fungsi pada interval [a,b], sebagai pendekatan
luas daerah di bawah kurva = dan diatas sumbu . Disini, � ∈ [ �− , �].
Semakin banyak subinterval yang digunakan, artinya ∆ → maka semakin
baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang
sebenarnya. Dengan demikian,
Luas daerah = lim∆ → ∑ � ∆ . �
=
= ∆ � �=
Definisi 2.11
Andaikan fungsi yang terdefinisi pada [ , ]. Integral tentu dari sampai
dinotasikan ∫ , adalah
∫ = lim∆ → ∑ � ∆ . �
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Pada subbab ini dibahas mengenai deret Taylor dan deret Maclaurin beserta
contohnya.
Definisi 2.12
Misalkan adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan-turunan dari semua
tingkat pada interval tertentu dengan adalah suatu titik interior. Maka deret Taylor
yang diberikan oleh di sekitar = adalah:
Deret Maclaurin yang diberikan oleh adalah:
∑ ��!
yaitu deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar = .
Contoh 2.9
Penyelesaian:
Diperoleh hasil:
= ,
′ = ,
′′ = ,
′′′ = ,
….
Akan dicari nilai , ′ , ′′ , ′′′ , ….
sehingga diperoleh:
= ,
′ = ,
′′ = ,
′′′ = ,
…
Maka deret Taylor yang diberikan oleh = saat = adalah:
+ ′ + ′′
! +
′′′
! + +
�
�! � +
= + + + +
G. Konvergensi Deret Taylor
Deret Taylor dapat digunakan untuk mengetahui kekonvergenan suatu fungsi.
Teorema 2.2 Teorema Taylor
Jika dan turunan-turunan pertama hingga ke-� ′, ′′, … , � kontinu pada
interval tertutup antara dan , dan � terdiferensial pada interval terbuka antara
dan , maka terdapat bilangan antara dan sedemikian sehingga:
Untuk membuktikan teorema Taylor maka akan diasumsikan bahwa < .
Dipandang polinomial Taylor berbentuk sebagai berikut:
�� = + ′ − +
′′
! − + +
�
�! − �,
dan turunan pertama �-nya sesuai dengan fungsi dan turunan pertama �-nya pada
= . Hal ini tidak mengubah kesesuaian tersebut jika ditambahkan suku lain dari
bentuk − �+ , dengan adalah suatu konstana, karena suku tersebut dan
turunan pertama �-nya semua sama dengan nol pada = . Lalu, didefinisikan
fungsi baru yaitu:
�� = �� + − �+ ,
dengan turunan pertama �-nya masih sesuai dengan fungsi dan turunan pertama
�-nya pada = .
Sekarang akan dipilih suatu nilai tertentu dari yang membuat kurva =
= �� + − �+ , atau = −−��+� , (2.14)
dengan didefinisikan oleh persamaan (2.14), maka fungsi:
� = − �� ,
yang merupakan selisih antara fungsi asli dan fungsi aproksimasi �� untuk
setiap di [ , ].
Selanjutnya akan digunakan teorema Rolle. Pertama, karena � =
� = dan � dan �′ keduanya kontinu pada [ , ], maka
�′ = , untuk di , .
Lalu, karena �′ = �′( = dan �′ dan �′′ keduanya kontinu pada [ , ],
maka
�′′ = , untuk di , .
Terlihat bahwa teorema Rolle berhasil diaplikasikan pada �′′, �′′′, , � �−
yaitu:
pada , sedemikian sehingga �′′′ = ,
pada , sedemikian sehingga � = ,
� pada , �− sedemikian sehingga � � � = .
Karena � � kontinu pada [ , �] dan terdiferensial pada , � , dan � � =
� �
� = , bahwa teorema Rolle mengimplikasikan bahwa terdapat suatu
bilangan �+ pada , � sedemikian sehingga
� �+
Jika diturunkan � = − �� − − �+ total dari � + kali, maka
diperoleh:
� �+ = �+ − − � + ! . (2.16)
Berdasarkan persamaan (2.15) dan (2.16), diperoleh:
= � + ! , dengan =�+ �+ pada , . (2.17)
Dan berdasarkan persamaan (2.14) dan (2.17), diperoleh:
= �� + �+
� + ! − �+ .
Teorema terbukti.
Ketika menggunakan teorema Taylor, maka akan diasumsikan tetap dan
adalah variabel bebas. Rumus Taylor mudah digunakan saat mengganti dengan
. Rumus dibawah ini merupakan versi dari teorema Taylor setelah mengubah
dengan .
Rumus Taylor
Jika mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval terbuka
� yang memuat , maka untuk setiap bilangan bulat positif � dan untuk setiap di
�,
= + ′ − + ′′
! − +
+ ��! − � + �
� ,
(2.18)
�� = �+
� + ! − �+ ,
(2.19)
untuk antara dan .
Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa
untuk setiap ∈ �, maka:
= �� + �� .
Fungsi �� ditentukan oleh nilai dari � + turunan ke �+ di titik yang
bergantung pada kedua dan , dan terletak diantara mereka.
Persamaan (2.14) disebut rumus Taylor. Fungsi �� disebut suku galat
untuk aproksimasi oleh �� terhadap interval �.
Definisi 2.13
Jika �� → , � → ∞ untuk semua ∈ � maka deret Taylor yang dibangun
oleh saat = pada interval �, ditulis sebagai berikut:
= ∑ ��! − �. ∞
�=
�� dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai , untuk mengetahuinya
dapat dilihat contoh sebagai berikut.
Contoh 2.10
Tunjukan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh = saat =
konvergen ke untuk setiap ∈ �.
29 BAB III
METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA
Dalam bab ini akan dijelaskan metode Newton termodifikasi, konvergensi
metode Newton termodifikasi, karakteristik persamaan gelombang air dangkal, dan
hasil numeris yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang terkait dengan
persamaan gelombang air dangkal.
A. Metode Newton Termodifikasi
Pada bagian ini dibahas mengenai metode Newton termodifikasi yang
meliputi definisi dan contoh dari metode Newton termodifikasi tersebut.
Definisi 3.1
Metode Newton termodifikasi adalah suatu metode pencarian akar yang
didasarkan pada prinsip iterasi metode Newton standar, yaitu pendekatan fungsi tak
linear dengan hampiran linear. Skema Newton termodifikasi diperoleh dengan
mempertinggi tingkat keakuratan metode Newton standar dengan memperhatikan
fungsi tak linear yang akan ditentukan akarnya.
Dengan menetukan sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus yang
menyinggung grafik fungsi f di titik , . Garis tersebut memotong sumbu
sebagai titik awalnya, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung garik
fungsi f di titik ( , . Garis tersebut memotong sumbu x dititik ∗.
Keterangan: dinyatakan saat dan .
′ dinyatakan saat ∗ = dan + ∗ .
Gambar 3.1: Gambar dari metode Newton termodifikasi.
Diambil titik tengah antara dan ∗ sehingga didapat + ∗ . Dengan
+ ∗ sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung
grafik fungsi f di titik + ∗ , + ∗ . Garis tersebut memotong
sumbu x dititik . Dengan mengulang langkah ini akan diperoleh titik-titik
, , ∗, + ∗ , , … , dengan adalah bilangan real yang merupakan akar
atau mendekati akar sebenarnya.
∗
+ ∗
r �
Iterasi awal untuk menentukan adalah skema Newton standar. Tetapi untuk
menentukan turunan fungsi tidak dinyatakan saat . Sebaliknya, estimasi yang
ada dari turunan yang digunakan untuk menentukan nilai tengah, yaitu ∗ dan
turunannya dinyatakan saat + ∗ . Langkah untuk menetukan nilai tengah ∗
disebut langkah “predictor”, sedangkan langkah untuk menentukan nilai
selanjutnya dari , , (menggunakan turunan dinyatakan saat + ∗ ) yang
disebut langkah “corrector”.
Metode Newton untuk menentukan akar (solusi) dari suatu persamaan
nonlinear = lebih sederhana dan tingkat kecepatan menuju kekonvergenan
lebih cepat. Dengan menggunakan fungsi dan turunan pertama dari fungsi itu,
metode Newton dapat menghasilkan barisan dari aproksimasi yang konvergen
secara kuadratik untuk akar (solusi) persamaan.
Informasi turunan ini, dikombinasikan dengan pengamatan bahwa jika
adalah fungsi kuadrat dengan akar (solusi) , maka dapat diperoleh dengan cara
berikut, yaitu
= − ′
( [ + ]). (3.1)
Dipandang suatu aturan predictor-corrector dengan bentuk di bawah ini:
∗ = −
′ , (3.2)
= − ′
( [ + ∗]),
dengan ′ merupakan pendekatan ketika di titik . Langkah awal predictor itu
merupakan langkah dasar metode Newton untuk mengestimasi turunan, sementara
langkah corrector diperoleh dari hubungan implisit pada persamaan (3.1).
Pilih � = ,
Persamaan di atas digunakan ulang dalam persamaan (3.4) dari turunan yang
dihitung dalam iterasi sebelumnya sehingga aturan khusus dari langkah
predictor-corrector hanya membutuhkan satu fungsi dan satu nilai turunan.
Iterasi yang diperumum, diperoleh dari bentuk persamaan (3.4) dan (3.5) di
atas merupakan iterasi umum. Telah dibahas sebelumnya, bahwa aturan
predictor-corrector dengan langkah predictor didasarkan pada turunan yang dihitung dalam iterasi sebelumnya, dan langkah corrector diperoleh dari relasi implisit. Kelebihan
dari skema di atas adalah menyisipkan dari fungsi dan nilai turunan, dengan
menyatakan bahwa fungsi dan turunannya diperoleh dari nilai yang berbeda (lihat
Gambar 3.1).
Untuk melakukan iterasi pada dasarnya membutuhkan dua nilai awal, yaitu
dan ∗. Setelah itu gunakan langkah corrector pada persamaan (3.3). Diketahui
perkiraan awal pada akar, terdapat dua metode yang jelas untuk memperoleh
nilai kedua dari ∗ kedua yaitu:
Himpunan sederhana ∗ = dengan langkah bentuk corrector pada persamaan
(3.3) mengurangi metode Newton untuk memperoleh nilai .
Pada dua pilihan di atas ternyata efektif, dan selanjutnya ∗ = .
Metode Newton termodifikasi secara umum akan diuji dengan secara berikut:
∗ = , (3.6)
= − ′
( [ + ∗])= − ′ . (3.7)
Diikuti oleh (untuk � )
�∗ = �− ′ [ �
�− + �−∗ ] ,
(3.8)
�+ = �− ′ [ �
�+ �∗] . (3.9)
Langkah-langkah dalam prosedur metode Newton termodifikasi diilustrasikan pada
Gambar 3.1, dengan langkah-langkah yang ditampilkan untuk menentukan .
Kunci utama dari metode Newton termodifikasi dapat dilihat pada Gambar 3.1,
yaitu:
1. Nilai dihitung dari menggunakan dan nilai dari turunan saat +
∗ (adalah nilai hampiran dari turunan yang digunakan untuk menghitung
ketika ), dan
2. ∗ dapat diperoleh dengan cara nilai turunan yang sama ini digunakan kembali
Contoh 3.1
Dengan menggunakan metode Newton termodifikasi tentukan akar
penyelesaian persamaan = , dengan = + − − dengan
= dan � = . .
Penyelesaian:
Diketahui = dan � = . . Dipandang
= + − −
maka turunan pertamanya adalah
′ = + − .
Hasil iterasi metode Newton termodifikasi persamaan (3.6)-(3.9) untuk � =
, , , , adalah sebagai berikut:
Untuk � = , maka
∗ = = ,
= − ′ ,
dengan
= = + − − = − ,
dan turunan pertamanya adalah
′ = ′ = + − = .
Dengan demikian diperoleh
= −− = = . ,
dan
Untuk � = , maka
∗ = −
′ [ + ∗] ,
dengan
= . = . + . − . − = . ,
maka turunan pertamanya adalah
′( [ + ∗]) = ′( [ + ]) = ′
′ = + − = .
diperoleh
∗ = . − ( . ) = . ,
sehingga
′( [ + ∗])= ′( [ . + . ]) = ′ .
′ . = . + . − . = . .
Dengan demikian diperoleh
= − ′
[ + ∗] ,
= . − . . = . ,
dan
Untuk � = , maka
∗ = −
′ [ + ∗] ,
dengan
= . = . + . − . − = − . ,
dan turunan pertamanya adalah
′( [ + ∗]) = ′( [ . + . ]) = ′ . ,
′ . = . + . − . = . .
Diperoleh
∗ = . −− .
. = . ,
sehingga
′( [ + ∗]) = ′( [ . + . ]) = ′ . ,
′ . = . + . − . = . .
Dengan demikian diperoleh
= − ′
( [ + ∗]),
dan
| . | = | . | = . .
Untuk � = , maka
∗ = −
′ [ + ∗] ,
dengan
= . = . + . − . − = . ,
dan turunan pertamanya adalah
′( [ + ∗]) = ( [ . + . ]) = ′ . ,
′ . = . + . − . = . .
Diperoleh
∗ = . − .
. = . ,
sehingga
′( [ + ∗]) = ′( [ . + . ]) = ′ . ,
′ . = . + . − . = . .
Dengan demikian diperoleh
= − ′
= . − .. = . ,
dan
| . | = | . | = . .
Untuk � = , maka
∗ = −
′ [ + ∗] ,
dengan
= . = . + . − . − = .
dan turunan pertamanya adalah
′( [ + ∗]) = ( [ . + . ]) = ′ .
′ . = . + . − . = . .
Diperoleh
∗ = . − .
. = . ,
sehingga
′( [ + ∗]) = ′( [ . + . ]) = ′ . ,
′ . = . + . − . = . .
Dengan demikian diperoleh
= − ′
= . − .. = . .
Jadi akar penyelesaiannya adalah = . dengan jumlah iterasi sebanyak 4
kali.
B. Aliran Steady Air Dangkal
Persamaan (gelombang) air dangkal diklasifikasikan dari gerak fluida.
Sebagai contoh, aliran dapat digolongkan sebagai aliran steady dan unsteady, satu
dimensi, dua dimensi, tiga dimensi, serta seragam dan tidak seragam. Aliran disebut
steady bila kondisi alirannya yaitu kecepatan, tekanan, densitas tidak berubah terhadap waktu. Aliran dimana kondisi alirannya berubah terhadap waktu disebut
aliran unsteady. Aliran air yang konstan di dalam sebuah pipa bersifat unsteady,
akan tetapi pada saat katup alirannya sedang dibuka atau sedang ditutup, maka
aliran itu tidak unsteady. Sebuah aliran mungkin saja dianggap steady oleh
pengamat yang satu, tetapi dianggap tidak steady oleh pengamat yang lain. Sebagai
contoh, aliran di sebelah hulu sebuah pilar jembatan tampak steady oleh pengamat
yang berdiri di jembatan, tetapi tampak tidak steady oleh pengamat yang berada di
sebuah perahu. Penggolongan air sebagai aliran steady atau bukan sering
didasarkan pada pertimbangan kemudahan semata. Sebagai contoh, penjalaran
gelombang di permukaan danau jelas unsteady. Walaupun begitu, gerak air akibat
gelombang dianggap tidak terlalu berperan dalam pengangkutan polutan di danau
itu sehingga dalam model yang digunakan untuk mempelajari perpindahan polutan
Pendekatan seperti ini terutama diterapkan pada aliran-aliran turbulen, yang hampir
selalu dijumpai dalam dunia rekayasa. Disini, kondisi unsteady berlaku untuk
fluktuasi-fluktuasi dalam aliran yang ditinjau dalam skala waktu yang sangat
pendek.
Misalkan terdapat aliran air dangkal seperti pada Gambar 3.2.
Gambar 3.2: Gambaran umum aliran steady dengan topografi gundukan parabolik.
Misalkan adalah ruang titik, adalah waktu = , adalah kecepatan, ℎ =
ℎ , adalah kedalaman air, = adalah ketinggian permukaan tanah.
Persamaan air dangkal yang bersesuaian dengan Gambar 3.2 adalah : ℎ�
h(x,t)
u(x,t)
ℎ + ℎ � = ,
ℎ + ℎ + ℎ � = − ℎ �.
(3.10)
Dengan asumsi bahwa turunan dan ℎ mulus, penjabaran persamaan kedua di atas
menjadi :
ℎ + ℎ + ℎ �+ ℎ �= ,
maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi
ℎ + ℎ + ℎ �+ ℎ �+ ℎ � = ,
atau
ℎ + ℎ + ℎ� + �ℎ + ℎℎ �+ ℎ � = ,
atau
ℎ + ℎ + ℎ� + �+ � ℎ + ℎℎ�+ ℎℎ� + ℎ � = ,
atau
ℎ + ℎ + ℎ� + � ℎ + ℎℎ� + ℎ �= ,
atau
ℎ + ℎ + ℎ� + � ℎ + ℎℎ�+ ℎ �= ,
atau
ℎ + ℎ + ℎ� + � ℎ + ℎℎ�+ ℎ � = .
Substitusikan ℎ = − ℎ �pada persamaan yang di atas, diperoleh
ℎ + − ℎ � + ℎ� + � ℎ + ℎℎ�+ ℎ � = ,
atau
atau
ℎ − ℎ� − �ℎ + ℎ� + � ℎ + ℎℎ�+ ℎ � = ,
atau
ℎ + �ℎ + ℎℎ�+ ℎ �= ,
atau
ℎ + �+ ℎ�+ � = ,
atau
ℎ + �+ ℎ�+ � = ,
atau
ℎ + �+ ℎ + � = ,
atau
+ �+ ℎ + � = .
Karena alirannya diasumsikan steady, kedalaman air dan kecepatan aliran tidak
berubah terhadap waktu, berarti = dan ℎ = , maka persamaan air dangkal
menjadi :
ℎ �= ,
�+ ℎ + � = .
Setelah diintegralkan, persamaan air dangkal dapat ditulis kembali menjadi :
ℎ = ,
+ ℎ + = �, (3.11)
untuk dan � adalah konstan. Sistem (3.11) berlaku untuk semua domain. Di
tempat yang jauh → ±∞ , dasar ketinggian, kedalaman air dan kecepatan aliran
berturut-turut adalah , = , ℎ , = ℎ dan , = . Dengan
ℎ = ℎ , (3.12)
dan
+ ℎ + = + ℎ + = + ℎ . (3.13)
Jika dieliminasi dari persamaan (3.13) dengan menggunakan persamaan (3.12),
maka diperoleh :
= ℎ ,ℎ
ℎ
ℎ + ℎ + = + ℎ .
Menggunakan bilangan Froude, yaitu � = /√ ℎ , maka diperoleh :
atau
[� ( ) + + �] = [� + ],
atau
�
+ + � = � + ,
atau
�
+ + � −� − = ,
sehingga
+ (� − � − ) + � = . (3.13)
Jika persamaan kubik tersebut diselesaikan untuk semua titik, maka akan
diperoleh deskripsi permukaan air dari aliran yang steady, dengan kedalaman air
dihitung menggunakan ℎ = ℎ . Kecepatan air dihitung menggunakan formula
= ℎ /ℎ. Metode penyelesaian akar memainkan peran penting dalam
memecahkan persamaan (3.13) dalam menentukan nilai dari kedalaman air di
semua ruang titik.
C. Hasil Numeris
Pada bagian ini, akan disajikan hasil numeris dari uji kasus metode
penyelesaian akar untuk menyelesaikan masalah aliran steady. Masalah tersebut
= { . − . − jika ,
pada komputer. Dimisalkan = dan ℎ = . Domain ruang [0,25] didiskritkan
menggunakan panjang langkah seragam. Panjang langkah adalah 0.1.
Tabel 3.1 Perbandingan antara metode biseksi, metode Newton standar dan metode Newton termodifikasi untuk menyelesaikan masalah aliran
steady.
Banyaknya
Iterasi Kedalaman air �
Ketinggian permukaan
tanah (� Metode Biseksi 23 1.787135270153852 0.2
Metode Newton
Termodifikasi 4 1.787135270153852 0.2
Metode Newton
Standar 6 1.787135270153852 0.2
Hasil numerik diringkas dalam Tabel 3.1. Ruang titik yang diuji dengan
menggunakan aplikasi MATLAB yaitu = . Dengan mengamati metode
Newton termodifikasi, hanya membutuhkan 4 iterasi untuk menyelesaikan masalah
tersebut, dengan kedalaman air ℎ yaitu 1.787135270153852 dan ketinggian
permukaan tanah yaitu 1.787135270153852, yang mana banyaknya iterasi
dengan metode Newton standar yaitu 6 iterasi, dengan kedalaman air ℎ yaitu
1.787135270153852. Jelas bahwa dalam hal banyaknya iterasi, metode Newton
termodifikasi lebih baik daripada metode biseksi dan metode Newton standar.
Perhatikan bahwa semua metode ini menghasilkan solusi yang sama, tetapi
47
BAB IV
KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI
Pada bagian ini akan dibahas tentang konvergensi metode Newton
termodifikasi dan percobaan dengan variasi tebakan awal.
A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi
Metode Newton standar mempunyai orde kekonvergenan 2 yaitu konvergen
kuadratik, untuk akar sederhana. Metode Newton standar dapat dimodifikasi
sehingga orde kekonvergenannya dapat ditingkatkan.
Akan diperlihatkan hubungan antara suatu fungsi yang memenuhi beberapa
asumsi tentang nilai fungsi dan nilai fungsi-fungsi turunan di sekitar akar
sebenarnya, dengan kekonvergenan serta tentang derajat kekonvergenan. Asumsi
yang digunakan adalah :
1. Fungsi � dapat diturunkan beberapa kali (sampai � kali, �> 2).
2. Fungsi � mempunyai akar sederhana pada � = �.
3. Tebakan awal � cukup dekat ke � sehingga iterasi dijamin konvergen.
Metode Newton termodifikasi memberikan penyelesaian dari persamaan
� � = konvergen dengan orde � = + √ ≈ .4 4 . Hal ini telah dibuktikan
B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal
Untuk mengetahui seberapa cepat proses iterasi yang dilakukan oleh metode
Newton termodifikasi bila dibandingkan dengan metode Newton standar maka akan
dilakukan percobaan. Percobaan dilakukan menggunakan program MATLAB. Dari
hasil percobaan dapat diketahui akar penyelesaian dan jumlah iterasi yang
dilakukan oleh kedua metode.
Berikut merupakan perbandingan hasil iterasi simulasi numeris untuk metode
Newton termodifikasi dengan metode Newton standar.
Tabel 4.1. Uji kasus penyelesaian persamaan � � = � − = dengan error
(galat) − 5.
Nilai
awal
Metode Newton Standar Metode Newton Termodifikasi
Nilai
awal
Metode Newton Standar Metode Newton Termodifikasi
Akar
Dapat dilihat bahwa perbandingan hasil iterasi simulasi numeris menggunakan
metode Newton Standar dan metode Newton termodifikasi. Percobaan yang
dilakukan dengan data random yang berupa tebakan awal, yaitu -3, -9, -2. Dari
Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa akar numeris, akar eksak dari metode Newton standar
dan metode Newton termodifikasi. Ketika tebakan awal yang diambil adalah -3,
maka banyaknya iterasi yang diperoleh dengan menggunakan metode Newton
4 kali iterasi. Ketika tebakan awal yang diambil adalah -9, maka banyaknya iterasi
yang diperoleh dengan menggunakan metode Newton standar yaitu 7 kali iterasi,
sedangkan dengan metode Newton termodifikasi yaitu 6 kali iterasi. Ketika tebakan
awal yang diambil adalah 2, maka banyaknya iterasi yang diperoleh dengan
menggunakan metode Newton standar yaitu 5 kali iterasi, sedangkan dengan
metode Newton termodifikasi yaitu 4 kali iterasi. Dengan demikian, dapat
disimpulkan bahwa proses iterasi dengan menggunakan metode Newton
51 BAB V PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan dan saran atas pembahasan bab-bab
sebelumnya sarta saran untuk penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
Dari pembahasan dalam tugas akhir ini dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Metode Newton termodifikasi membutuhkan jumlah iterasi lebih sedikit,
namun waktu perhitungan lebih lama. Ini berarti dalam satu kali iterasi, metode
Newton termodifikasi membutuhkan lebih banyak perhitungan.
2. Metode Newton standar dan metode Newton termodifikasi dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah aliran air dangkal yang steady.
3. Metode Newton termodifikasi secara komputasi telah menunjukkan bahwa
dibutuhkan hanya beberapa iterasi untuk konvergen ke solusi yang tepat untuk
galat toleransi yang ditetapkan.
4. Dari banyaknya iterasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan persamaan
nonlinear dari akar-akar tersebut, metode Newton termodifikasi lebih baik
B. Saran
Penulis sadar bahwa dalam peyusunan tugas akhir ini masih banyak
kekurangan. Oleh sebab itu, penulis sangat mengharapkan kelak akan ada yang
melanjutkan penelitian ini. Tulisan ini hanya membahas metode Newton
termodifikasi, penulis berharap kelak ada yang akan melakukan penelitian untuk
53
DAFTAR PUSTAKA
Burden, R. L. dan Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis. Boston: Cengange
Learning.
Greenbaum, A. dan Chartier, T. P. (2012). Numerical Methods. Princeton, NJ:
Princeton University Press.
Kosasih, P. B. (2006). Komputasi Numerik Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: ANDI
Yogyakarta.
McDougall, T. J. dan Wotherspoon, S. J. (2014). A simple modification of
Newton’s method to achieve convergence of order 1+√2. Applied
Mathematics Letters, 29: 20-25.
Mungkasi, S. dan Sihotang, J. (2016). A Modified Newton’s Method to Solve a
Steady Flow Problem Based on the Shallow Water Equations. International
Conference on Engineering, Science and Nanotechnology. To appear in AIP Conference Proceedings.
Mungkasi, S. (2008). Finite Volume Methods for the One-Dimensional Shallow
Water Equations. Masters Thesis. Canberra: Australian National University. Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson
Education.
Olson, R. M. dan Wright, S. J. (1993). Dasar-Dasar Mekanika Fluida Teknik.
54 LAMPIRAN
Berikut ini adalah code program MATLAB untuk masing-masing metode
yang digunakan untuk menyelesaikan masalah aliran steady pada persamaan air
dangkal.
1. Code untuk metode Newton
function cari_akar_dengan_METODE_NEWTON_1
if X(i)>8 && X(i)<12
Z(i)=0.2-0.05*(X(i)-10)^2;
y=(h/h0)^3+(z/h0-0.5*F0^2-1)*(h/h0)^2+0.5*(F0)^2;
k=k+1;
2. Code untuk metode Newton termodifikasi
function cari_akar_dengan_METODE_NEWTON
if X(i)>8 && X(i)<12
Z(i)=0.2-0.05*(X(i)-10)^2;
y=(h/h0)^3+(z/h0-0.5*F0^2-1)*(h/h0)^2+0.5*(F0)^2;
yp=diff(y); % turunan dari y
x0=2; % nilai perkiraan awal dari akar
delta=10^-15; % toleransi error
err=delta+1.0; % error
k=0; % iterasi
fx0=subs(y,h,x0); % fungsi awal
df=diff(y,h); % turunan
dfx0=subs(df,h,x0); % turunan dari x0
xkm1star=x0;
while err > delta
dx=subs(y,h,xk)/subs(df,h,1/2*(xkm1+xkm1star)); err=abs(dx);
xkstar=xk-dx; % iterasi ke satu star
xkp1=xk-(subs(y,h,xk)/subs(df,h,1/2*(xk+xkstar))); xkm1=xk;
3. Code untuk metode Biseksi
function S = coba(x)
if (xL^3+xL^2*(H-1.0-Fr_0^2/2.0)+Fr_0^2/2.0) *
H = zeros(1,N);
%fungsiB for Test case II from HE-43/97/016/B
%Momentum equation source term calculation - 1D codes
