CCR314 - Riset Operasional Materi #3 Ganjil 2015/2016 CCR314 RISET OPERASIONAL

(1)

6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d

CCR314 – RISET OPERASIONAL

Materi #3

h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Pendahuluan

2

Setelah membuat formulasi model matematika, langkah

selanjutnya dalam penerapan program linear untuk

mengambil keputusan adalah menentukan pemecaham

dari model.

Karena hubungannya linear, beberapa model pemecahan

dapat di ilustrasikan secara grafik.

Metode grafik terbatas untuk model-model yang hanya

mempunyai dua variabel, yang dapat digambarkan dalam

(2)

Sistem dan Bidang Kerja

 Sistem untuk menyatakan hubungan antara aljabar (model matematika) dan geometri (grafik) adalah bidang yang dibagi menjadi empat oleh sumbu tegak (absis) dan sumbu datar (ordinat).  Bidang tersebut dikenal sebagai kuadran. Materi #3 Ganjil 2015/2016 3 CCR314 - Riset Operasional h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Langkah-langkah Metode Grafik

Materi #3 Ganjil 2015/2016 CCR314 - Riset Operasional

4

1. Gambarkan model batasan (fungsi kendala) sebagai persamaan

pada grafik, kemudian dengan mempertimbangkan

ketidaksamaan batasan, tunjukkan daerah memenuhi kendala (DMK).

2. a) Gambarkan fungsi tujuan, lalu geser menjauh dari titik awal (0,0) ke titik solusi yang optimal, atau:

b) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut.

3. a) Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menemukan nilai solusi yang optimal, atau:

b) Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal.

(3)

h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

Menentukan Titik Koordinat

 Misal: X₁ + 2X₂ ≤ 40  Ubah pertidaksamaan (≤)

menjadi persamaan (=), maka: X1 + 2X2 = 40

 Mencari nilai X₁ dan X₂ dengan

mengasumsikan salah satu variabel bernilai 0 (nol).

 Jika X₁ = 0, maka: (0) + 2X2 = 40 2X2 = 40 X2 = 20  Jika X₂ = 0, maka: X1 + 2(0) = 40 X1 = 40

 Jadi titik koordinatnya adalah:

X1 = 40 dan X2 = 20 Materi #3 Ganjil 2015/2016 5 CCR314 - Riset Operasional X1 + 2X2 = 40 X2 X1 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Menggambar Daerah Penyelesaian

• Persamaan (≤)  misal: X1 + 2X2 ≤ 40 6 X1 X2 • Persamaan (≥)  misal: X1 + 2X2 ≥ 40 X1 X2 X1 + 2X2 ≤ 40 X1 + 2X2 ≥ 40 X1 X2 • Persamaan (=)  misal: X1 + 2X2 = 40 X1 + 2X2 = 40

(4)

Daerah Memenuhi Kendala (DMK)

• Persamaan (≤)  misal: X1 + 2X2 ≤ 40 4X1 + 3X2 ≤ 120 CCR314 - Riset Operasional 7 • Persamaan (≥ dan =) • misal: X1 + 2X2 ≥ 40 X1 = 40 X2 = 40 X1 X2 DMK X1 X2 • Persamaan (≥)  misal: X1 + 2X2 ≥ 40 4X1 + 3X2 ≥ 120 DMK X1 X2 DMK Materi #3 Ganjil 2015/2016 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Contoh #3.1 (Dari #2.1)

Maksimalkan Z

40 X

₁

50X

₂

(1) Tenaga kerja :

X

₁

+ 2X

₂

≤ 40

Materi #3 Ganjil 2015/2016 8 CCR314 - Riset Operasional

Fungsi Tujuan :

Fungsi Kendala :

(2) Tanah liat :

4X

₁

+ 3X

₂

≤ 120

(3) Non-negatif :

X

₁

;

X

₂

≥ 0

(5)

h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n X1 X2

Solusi Grafik Contoh #3.1

… (1/4)

1. Menggambar fungsi kendala (Langkah 1)

CCR314 - Riset Operasional 9 X1 X2 4X1 + 3X2 ≤ 120 X1 + 2X2 ≤ 40 DKM A B C Materi #3 Ganjil 2015/2016 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Solusi Grafik Contoh #3.1

… (2/4)

2. Menggambar garis fungsi tujuan (Langkah 2.a)

10 X1 X2 A B C X1 X2 A B C 800 = 40X1 + 50X2 1200 = 40X1 + 50X2 1600 = 40X1 + 50X2 (Berada di luar DMK) 800 = 40X1 + 50X2 Titik Optimal

(6)

h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n X1 X2

Solusi Grafik Contoh #3.1

… (3/4)

3. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi

untuk nilai solusi optimal (Langkah 3.a)

CCR314 - Riset Operasional 11 A B C 4X1 + 3X2 = 120 X1B X2B X1 + 2X2 = 40 X₁ + 2X₂= 40 X₁ = 40 − 2X₂ 4X₁ + 3X₂= 120 4X₁ = 120 − 3X₂ X₁= 30 − (3X₂/4) 40 − 2X2 = 30 − (3X2/4) 5X2/4 = 10 X2 = 8 ⇛ X2B X1 = 40 − 2X2 X1 = 40 − 2(8) X1 = 24 ⇛ X1B Materi #3 Ganjil 2015/2016 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Solusi Grafik Contoh #3.1

… (4/4)

4. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut

untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. (Langkah 2.b)

CCR314 - Riset Operasional 12 X1 X2 A B C X1 = 0 X2 = 20 24 8 XX12 = 30 = 0 X1 = 24 X2 = 8

5. Masukkan nilai-nilai ke dalam

fungsi tujuan untuk

menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. (Langkah 3.b)

• Pada titik A → Z = 1200 • Pada titik B → Z = 1360 • Pada titik C → Z = 1000 • Maka solusi optimal adalah

pada titik B dengan laba $1360

(7)

Contoh #3.2 (Dari #2.2)

Materi #3 Ganjil 2015/2016 CCR314 - Riset Operasional 13

• X1 = jumlah pupuk SG yang dibeli

• X2 = jumlah pupuk CQ yang dibeli

Variabel

Keputusan

• Minimalkan Z = 6X₁ + 3X₂ • Z = total biaya pemupukan • 6X₁ = harga/biaya dari SG • 3X2 = harga/biaya dari CQ

Fungsi

Tujuan

• 2X1 + 4X2 ≥ 16 (kendala nitrogen) • 4X₁ + 3X₂ ≥ 24 (kendala fosfat) • X1 ; X2 ≥ 0 (kendala non-negatif)

Fungsi

Kendala

Solusi Grafik Contoh #3.2

… (1/3)

14 X1 X2 DKM X1 X2 DKM A B C X1B X2B X1 = 0 X2 = 8 X1 = 8 X2 = 0 X1 = X1B X2 = X2B

(8)

Solusi Grafik Contoh #3.2 … (2/3)



Pada titik B, koordinat X

₁

dan X

₂

adalah:

2X

₁

+ 4X

₂

= 16

4X

₁

+ 3X

₂

= 24

Materi #3 Ganjil 2015/2016 15 CCR314 - Riset Operasional

2X

₁

+ 4X

₂

= 16

2X

₁

+ 4(1,6) = 16

2X

₁

= 16 − 6,4

X

₁

= 4,8 → X

_1B

*2

*1

4X

₁

+ 8X

₂

= 32

4X

₁

+ 3X

₂

= 24

5X

2

= 8

X

₂

= 8/5 ≈ 1,6 → X

2B

Solusi Grafik Contoh #3.2

… (3/3)

CCR314 - Riset Operasional 16 X1 X2 DKM A B C 4,8 1,6 X1 = 0 X2 = 8 X1 = 8 X2 = 0 X1 = 4,8 X2 = 1,6

• Fungsi Tujuan:

Minimalkan Z = 6X

₁

+ 3X

₂

• Pada titik A → Z = 48

• Pada titik B → Z = 33,6

• Pada titik C → Z = 24

• Maka solusi optimal

terletak pada titik C

dengan total biaya $24

(9)

Contoh #3.3 (Dari #2.3)

 Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama

merek I1, dgn sol karet, dan merek I2 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I1=Rp.30.000 sedang merek I2=Rp.50.000. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

Solusi Grafik Contoh #3.3

…(1/5)

18

Merek

Mesin

I

₁

(x

₁

)

I

₂

(x

₂

)

Kapasitas

Maksimum

1

2

0

8

2

0

3

15

3

6

5

30 Sumbangan laba

3

5

(10)

Solusi Grafik Contoh #3.3

…(2/5)

Materi #3 Ganjil 2015/2016 CCR314 - Riset Operasional 19 

Maksimumkan Z = 3X

₁

+ 5X

₂ 

Batasan (constrain):

1)

2X

₁



8 2)

3X

₂



15 3)

6X

₁

+ 5X

₂



30

Solusi Grafik #3.3

…(3/5)

Materi #3 Ganjil 2015/2016 CCR314 - Riset Operasional 20 

Gambar tersebut

merupakan bagian

yang memenuhi

batasan-batasan:



X

₁



0,



X

₂



0, dan



2X

₁



8 X

₂

X

₁

2X

₁

= 8

0

4 2X

₁



8 dan

X

1



0,

X

₂



0 Fungsi Batasan (1): 2X

₁



8

(11)

Solusi Grafik Contoh #3.3

…(4/5)

B

C

2X

₁

= 8

4

6

5 6X

₁

+ 5X

₂

= 30

D

A

Daerah

feasible

X

₂

X

1

0 3X

₂

= 15

5 Semua Fungsi

Batasan

Solusi Grafik Contoh #3.3

…(5/5)

22 B C 2X1 = 8 4 6 5 6X1 + 5X2 = 30 D A Daerah feasible 0 X1 X2 3X2 = 15 5 Titik A:

Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0 Nilai Z = 3(4) + 0 = 12 Titik B: X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30. Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18 Titik C: X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30. Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5 Titik D:

Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0 Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25

(12)

Contoh #3.4 (Dari #2.4)

Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan Bahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak 10 gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 36 jam kerja. Penggunaan sumber daya dan hara jual per unit, dijelaskan dalam tabel berikut:

Materi #3 Ganjil 2015/2016

23

CCR314 - Riset Operasional

Jenis Produk

Kebutuhan sumber daya _{Harga Jual}

($/unit)

Buruh (jam/unit) Bahan (kg/unit)

Meja Kursi 6 6 1 2 4 5 Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum? h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Solusi Contoh #3.4

… (1/3)

• X1 = Jumlah meja yang dihasilkan

• X2 = Jumlah kursi yang dihasilkan

Variabel

Keputusan

• Maksimalkan Z = 4X₁ + 5X₂ • Z = total keuntungan • 4X₁ = harga jual dari meja • 5X2 = harga jual dari kursi

Fungsi

Tujuan

• 6X1 + 6X2 ≤ 36 (kendala jam kerja)

• X₁ + 2X₂≤ 10 (kendala bahan baku) • X1 ; X2 ≥ 0 (kendala non-negatif)

Fungsi

(13)

Solusi Contoh #3.4

… (2/3)

Materi #3 Ganjil 2015/2016 CCR314 - Riset Operasional 25 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X2 X1 DMK A B C X1 = 6 X2 = 0 X1 = 0 X2 = 5 30 6X 3X 36 6X 6X 3 1 10 2X X 36 6X 6X 2 1 2 1 2 1 2 1          

Titik temu antara Kendala 1 dengan Kendala 2 :

3X1 = 6 X1 = 2 X₁ + 2X₂ = 10 2 + 2X₂ = 10 2X₂ = 8 X₂ = 4 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Solusi Contoh #3.4

… (3/3)

26



Dengan fungsi tujuan: Maksimalkan Z = 4X

₁

+ 5X

₂



Pada titik A → X

₁

= 6 ; X

₂

= 0 ; Z = 24



Pada titik B → X

₁

= 2 ; X

₂

= 4 ; Z = 28



Pada titik C → X

₁

= 0 ; X

₂

= 5 ; Z = 25



Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa

keuntungan yang terbesar didapatkan apabila

memproduksi Meja sebanyak 2 unit dan

memproduksi Kursi sebanyak 4 unit dengan

mendapatkan keuntungan sebesar $28.

(14)

66 23 T au fiqu r R ac hma n Materi #3 Ganjil 2015/2016 CCR314 - Riset Operasional 27