1 1.1 Latar Belakang
Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika.
Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh operasi-operasi tertentu yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Dalam aljabar abstrak terdapat berbagai macam struktur yang dilengkapi sifat-sifat. Salah satu struktur dalam aljabar abstrak adalah ring. Ring merupakan suatu himpunan yang dilengkapi dua operasi biner, yang sering disebut penjumlahan dan perkalian, dan memiliki sifat-sifat tertentu.
Fenomena ring berawal dari himpunan semua bilangan bulat dengan operasi biner penjumlahan dan perkalian biasa. Himpunan semua bilangan bulat dilengkapi dengan operasi biner penjumlahan biasa membentuk struktur grup komutatif dan himpunan semua bilangan bulat dilengkapi dengan operasi biner perkalian biasa membentuk struktur semigrup. Selanjutnya, himpunan semua bilangan bulat memenuhi sifat distributif kiri dan sifat distributif kanan terhadap penjumlahan dan perkalian biasa. Dari sini himpunan semua bilangan bulat merupakan ring.
Jika struktur ring digeneralisasi dengan memperlemah grup komutatif atas operasi biner penjumlahan menjadi semigrup komutatif atas operasi biner penjumlahan biasa dan struktur semigrup terhadap perkalian biasa dipertahankan, maka terbentuk struktur baru yang selanjutnya disebut semiring. Hal ini dapat dilihat pada himpunan semua bilangan bulat non negatif dengan operasi biner penjumlahan dan perkalian biasa.
Himpunan semua bilangan bulat negatif yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan biasa membentuk struktur semigrup komutatif. Sedangkan, himpunan semua bilangan bulat negatif jika dikenakan pada operasi perkalian biasa tidak termuat kembali ke dalam himpunan semua bilangan bulat negatif, tetapi termuat dalam himpunan semua bilangan bulat positif. Dengan demikian,
himpunan semua bilangan bulat negatif yang dilengkapi operasi penjumlahan biasa dan operasi perkalian biasa bukan merupakan semiring. Namun, apabila himpunan semua bilangan bulat negatif dikenakan pada operasi ternary perkalian biasa membentuk struktur semigrup. Selanjutnya, himpunan semua bilangan bulat negatif berlaku sifat distributif kiri, sifat distributif kanan dan sifat distributif tengah penjumlahan terhadap operasi ternary perkalian. Dari sini dapat dimengerti bahwa himpunan semua bilangan bulat negatif merupakan semiring ternary.
Himpunan semua bilangan bulat genap negatif merupakan himpunan bagian dari himpunan semua bilangan bulat negatif. Himpunan semua bilangan bulat genap negatif ini tertutup terhadap operasi biner penjumlahan biasa dan bersifat assosiatif serta komutatif yang kemudian membentuk struktur semigrup komutatif. Hal ini menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan bulat genap negatif merupakan subsemigrup penjumlahan dari semiring ternary himpunan semua bilangan bulat negatif. Lebih lanjut, himpunan semua bilangan bulat genap negatif tertutup terhadap operasi ternary perkalian. Dari sini dapat dimengerti bahwa himpunan semua bilangan bulat genap negatif merupakan himpunan bagian dari semiring ternary himpunan semua bilangan bulat negatif yang selanjutnya disebut subsemiring ternary.
Subsemigrup penjumlahan dari semiring ternary yang memenuhi syarat tertentu disebut sebagai ideal dari semiring ternary. Hal ini dapat dilihat pada himpunan semua bilangan bulat genap negatif yang merupakan subsemigrup penjumlahan dari semiring ternary himpunan semua bilangan bulat negatif. Setiap elemen dalam himpunan semua bilangan bulat genap negatif jika dikenakan pada operasi ternary perkalian dengan semua elemen dalam himpunan semua bilangan bulat negatif, akan termuat kembali dalam himpunan semua bilangan bulat genap negatif. Dari sini dapat dimengerti bahwa himpunan semua bilangan bulat genap negatif merupakan ideal dari semiring ternary himpunan semua bilangan bulat negatif.
Beberapa jenis ideal dalam semiring ternary adalah ideal prima dan ideal prima lengkap. Ideal dari semiring ternary disebut ideal prima dari jika
, , merupakan ideal dari sedemikian sehingga ⊆ , berlaku ⊆
atau ⊆ atau ⊆ . Selanjutnya ideal dari semiring ternary disebut ideal prima lengkap dari jika , , ∈ sedemikian sehingga ∈ , berlaku ∈ atau ∈ atau ∈ .
Jenis ideal lain dalam semiring ternary adalah ideal semiprima dan ideal semiprima lengkap. Ideal dari semiring ternary disebut ideal semiprima dari jika merupakan ideal dari sedemikian sehingga ⊆ , untuk suatu ∈ ganjil, berlaku ⊆ . Selanjutnya ideal dari semiring ternary disebut ideal semiprima lengkap dari jika ∈ sedemikian sehingga ∈ , untuk suatu
∈ ganjil lebih besar 1, berlaku ∈ .
Jika ideal dari semiring ternary , maka irisan semua ideal prima dari yang memuat disebut radikal prima dan irisan semua ideal prima lengkap dari yang memuat disebut radikal prima lengkap. Berdasarkan hal ini, diperlukan penyelidikan lebih lanjut mengenai sifat-sifat yang berlaku pada radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary dan hubungan antara ideal prima, ideal prima lengkap, ideal semiprima dan ideal semiprima lengkap dengan radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary.
1.2 Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan penyusunan tesis ini adalah
1. Menyelidiki definisi semiring ternary dan sifat-sifatnya.
2. Menyelidiki definisi ideal prima, ideal prima lengkap, ideal semiprima dan ideal semiprima lengkap dalam semiring ternary beserta hubungan antar ideal- ideal tersebut.
3. Menyelidiki definisi radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary.
4. Menyelidiki hubungan yang berlaku antara ideal prima, ideal prima lengkap, ideal semiprima dan ideal semiprima lengkap dengan radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary.
Lebih lanjut, manfaat dari penelitian ini adalah
1. Menambah wawasan mengenai semiring ternary dan sifat-sifatnya.
2. Mengetahui konsep ideal prima, ideal prima lengkap, ideal semiprima dan ideal semiprima lengkap dalam semiring ternary beserta hubungan antar ideal- ideal tersebut.
3. Mengetahui konsep radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary.
4. Mengetahui hubungan yang berlaku antara ideal prima, ideal prima lengkap, ideal semiprima dan ideal semiprima lengkap dengan radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary.
1.3 Tinjauan Pustaka
Semiring ternary merupakan semigrup komutatif terhadap penjumlahan biner, memenuhi sifat assosiatif terhadap perkalian ternary dan memenuhi sifat distributif kanan, kiri dan lateral terhadap penjumlahan biner dan perkalian ternary. Oleh karena itu, dalam mempelajari semiring ternary diperlukan pengetahuan tentang operasi ternary, semigrup dan semiring. Bhattacharya (1999) membahas mengenai operasi n-ary. Dalam definisi operasi n-ary, jika 3, maka operasi tersebut dinamakan operasi ternary. Lebih lanjut, Kandasamy (2002) menjelaskan definisi dan sifat-sifat yang berlaku pada semigrup dan semiring.
Konsep semiring ternary telah banyak dibahas oleh banyak peneliti. Rao (2014) menjelaskan definisi dan contoh dari semiring ternary. Kemudian Rao (2014) menjelaskan mengenai elemen-elemen khusus dari semiring ternary.
Penelitian tersebut berlanjut pada konsep ideal semiring ternary. Rao (2015) membahas mengenai jenis-jenis ideal dalam semiring ternary dan pembentukan ideal-ideal semiring ternary yang dibangun oleh suatu himpunan bagian tak kosong dari semiring ternary tersebut.
Ideal-ideal dalam semiring ternary jika dikenakan syarat tertentu, akan menjadi struktur ideal yang baru. Dalam penelitian ini ideal-ideal yang dimaksud adalah ideal prima, ideal prima lengkap, ideal semiprima, dan ideal semiprima lengkap. Rao (2015) membahas mengenai ideal-ideal tersebut yang selanjutnya mengarah pada definisi dan sifat-sifat yang berlaku pada radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary.
1.4 Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode kajian literatur. Penulis memulai dengan membaca berbagai hasil penelitian mengenai semiring ternary dan ideal- ideal di dalamnya yang selanjutnya menjadi dasar terbentuknya konsep radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary. Berikut langkah-langkah dalam penelitian :
1. Mempelajari definisi semiring ternary dan sifat-sifatnya.
2. Mempelajari definisi ideal prima, ideal prima lengkap, ideal semiprima dan ideal semiprima lengkap dalam semiring ternary beserta hubungan antar ideal- ideal tersebut.
3. Mempelajari definisi radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary.
4. Mempelajari hubungan yang berlaku antara ideal prima, ideal prima lengkap, ideal semiprima dan ideal semiprima lengkap dengan radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary.
1.5 Sistematika Penulisan
Tesis ini menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi pengertian tentang semigrup, semiring, semiring ternary dan beberapa ideal dalam semiring ternary.
BAB III RADIKAL PRIMA DAN RADIKAL PRIMA LENGKAP DALAM SEMIRING TERNARY
Bab ini berisi tentang hasil kajian maupun hasil penelitian yang telah dilakukan yaitu hubungan antara ideal prima, ideal prima lengkap, ideal semiprima, ideal semiprima lengkap dengan radikal prima dan radikal prima lengkap dalam semiring ternary.
BAB IV PENUTUP
Bab ini berisi tentang kesimpulan dari hasil penelitian pada penyusunan tesis ini dan saran untuk penelitian selanjutnya.
