BEBERAPA SIFAT TOPOLOGI PADA RUANG BARISAN BERJENIS TIDAK MUTLAK YANG DIBANGUN OLEH FUNGSI-ϕ SKRIPSI EMA SRI REZEKI

BERJENIS TIDAK MUTLAK YANG DIBANGUN OLEH FUNGSI-ϕ

SKRIPSI

EMA SRI REZEKI 130803010

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2017

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

EMA SRI REZEKI 130803010

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2017

Judul : Beberapa Sifat Topologi pada Ruang Barisan Berjenis Tidak Mutlak yang Dibangun oleh Fungsi-ϕ

Kategori : Skripsi

Nama : Ema Sri Rezeki

Nomor Induk Mahasiswa : 130803010

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, 21 Mei 2017

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Prof. Dr. Tulus, M.Si Dr. Elvina Herawati, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002 NIP. 19621103 199103 2 001

Diketahui oleh :

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Suyanto, M.Kom

NIP. 19590813 198601 1 002

BEBERAPA SIFAT TOPOLOGI PADA RUANG BARISAN BERJENIS TIDAK MUTLAK YANG DIBANGUN OLEH FUNGSI-ϕ

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 21 Mei 2017

EMA SRI REZEKI 130803010

Alhamdulillah, puji syukur Penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya serta memberikan banyak kemu- dahan sehingga Penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”Beberapa Sifat Topologi pada Ruang Barisan Berjenis Tidak Mutlak yang Dibangun oleh Fungsi- ϕ” . Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallallahu ’Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya.

Terima kasih Penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Elvina Herawati, M.Si selaku dosen pembimbing I dan Bapak Prof. Tulus, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah meluangkan waktu, fikiran dan saran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penelitian skripsi ini.

Terima kasih kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si selaku dosen pembanding yang telah meluangkan waktu, fikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembela- jaran bagi penulis.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU, Bapak Dr. Kerista sebayang, M.S selaku Dekan FMI- PA USU, dan Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku dosen pembimbing akademik Penulis beserta Staff administrasi FMIPA USU yang telah membantu un- tuk mengurus syarat-syarat kelengkapan administrasi tugas akhir.

Terkhusus untuk kedua orang tua yang saya sayangi Ayahanda Selamet Hartono dan Ibunda Suparmi, yang selalu memberikan doa, pengertian, perhatian, kasih sayang, semangat dan dorongan yang luar biasa dan tiada hentinya bagi Penulis.

Kepada Adik saya tercinta Deny Prasetyo yang selalu memberikan dukungan dan semangat sehingga Penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini.

Terkhusus juga untuk Ibu Dr. Elvina Herawati, M.Si yang telah banyak mem- bantu Penulis, bahkan telah membantu secara penuh kepada Penulis dalam menye- lesaikan skripsi ini. Mengajarkan Penulis akan segala sesuatu tentang materi skrip- si dimana Penulis tidak memiliki ilmu tentangnya sama sekali sebelum memulai menulis skripsi ini. Untuk beliau, Penulis ucapkan terima kasih sebesar-besarnya karena pengorbanannya akan waktu, fikiran dan tenaga yang diberikan bagi Penulis.

keluhan Penulis dalam mengerjakan skripsi dan membantu semampunya. Penulis sangat bersyukur karena telah dipertemukan dengan beliau sebagai dosen dan saha- bat bagi Penulis.

Terima kasih Penulis ucapkan kepada seluruh dosen Matematika USU yang telah membagikan ilmunya kepada Penulis selama perkuliahan, terutama Bapak Prof. Saib Suwilo yang memiliki kesan tersendiri bagi penulis ketika belajar dengan beliau. Mudah-mudahan ilmu yang diberi dapat bermanfaat bagi Penulis dan orang lain.

Terima kasih sebesar-besarnya Penulis ucapkan kepada teman-teman Matem- atika stambuk 2013 atas motivasi dan dukungannya selama ini. Seluruh teman- teman yang tidak dapat Penulis sebutkan namanya satu persatu yang telah mem- berikan dukungan kepada Penulis, dan adik-adik stambuk yang selalu mengingatkan Penulis agar segera menyelesaikan skripsi ini.

Penulis sadar bahwa banyak kekurangan dari skripsi ini dikarenakan keter- batasan ilmu, oleh karenanya Penulis mohon kritik dan saran yang membangun dari pembaca untuk perbaikan skripsi ini. Atas perhatiannya Penulis ucapkan teri- ma kasih, Penulis berharap tulisan ini bermanfaat bagi Penulis sendiri maupun bagi orang lain.

Medan, 21 Mei 2017 Penulis

EMA SRI REZEKI

OLEH FUNGSI-ϕ

ABSTRAK

Ruang barisan Orlicz merupakan ruang barisan yang dibangun oleh fungsi Orlicz.

Pada penelitian ini, diperkenalkan fungsi-ϕ yang merupakan generalisasi dari fungsi Orlicz; yaitu fungsi g : R → R⁺yang memenuhi sifat g(x) = 0 jika dan hanya jika x = 0, g(x) = g(−x), g naik pada R⁺, g kontinu pada R, dan g konveks . Selanjut- nya, didefinisikan ruang barisan baru berjenis tidak mutlak dengan menggunakan fungsi-ϕ dan kekonvergenan-λ, yakni :

(`₁(g))_Λ=



x = (x_k) ∈ ω :

∞

X

k=0

g Λ_n(x) ρ



< ∞ untuk suatu ρ > 0



dan

(`∞(g))_Λ =



x = (x_k) ∈ ω : sup

n∈N

g Λ_n(x) ρ



< ∞ untuk suatu ρ > 0



dengan Λn(x) = 1 λ_n

Pn

k=0(λ_k− λ_k−1)x_k untuk suatu n ∈ N. Akan diperlihatkan kedua ruang barisan tersebut diatas merupakan ruang-BK terhadap norma berikut :

kxk_Λ1 = inf



ρ > 0 :

∞

X

k=0

g Λ_n(x) ρ



≤ 1



dan

kxk_Λ∞ = inf



ρ > 0 : sup

n∈N

g Λ_n(x) ρ



≤ 1

 .

Selain itu, diperlihatkan pula mengenai sifat topologi pada kedua ruang barisan tersebut di atas terhahap norma yang didefinisikan dan beberapa relasi inklusi yang melibatkan (`<sub>1</sub>(g))<sub>Λ</sub>dan (`∞(g))_Λ.

Kata kunci: Ruang barisan bernilai real, domain matriks, generalisasi fungsi Orlicz, sifat topologi, relasi inklusi.

ϕ-FUNCTION

ABSTRACT

An Orlicz sequence space is a sequence space defined by an Orlicz function. In this research, we introduce that ϕ-function is a generalization of Orlicz function; that is a function g : R → R⁺, which is g(x) = 0 if and only if x = 0, g(x) = g(−x), g is nondecreasing on R⁺, g is continous on R, and g convex. Furthermore, we define a new sequence spaces of non-absolute type using ϕ-function and convergence-λ, as follow :

(`₁(g))_Λ=



x = (x_k) ∈ ω :

∞

X

k=0

g Λ_n(x) ρ



< ∞ for ρ > 0



and

(`_∞(g))_Λ =



x = (x_k) ∈ ω : sup

n∈N

g Λ_n(x) ρ



< ∞ for ρ > 0



with Λn(x) = 1 λ_n

Pn

k=0(λk−λk−1)xkfor n ∈ N. We show that both of the sequence spaces above is a BK-spaces related to the norm, that is :

kxk_Λ1 = inf



ρ > 0 :

∞

X

k=0

g Λ_n(x) ρ



≤ 1



and

kxk_Λ∞ = inf



ρ > 0 : sup

n∈N

g Λ_n(x) ρ



≤ 1

 .

Other than that, we also show about topological properties related to both of the sequence spaces above with a norm which is defined and some inclusion relations that involve (`1(g))<sub>Λ</sub>and (`∞(g))_Λ.

Keywords: Sequence spaces of real numbers, matrix domain, generalization of Orlicz functions, topological properties, inclusion relations.

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

DAFTAR ISI vii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4

2.1 Ruang Barisan Bernilai Real 4

2.2 Ruang Banach 8

2.3 Transformasi Matriks 12

2.4 Domain Matriks 13

2.5 Ruang Barisan Orlicz 13

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 14

3.1 Diagram Konsep 15

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 16

4.1 Barisan Terbatas−λ dan konvergen mutlak-λ 16 4.2 Ruang Barisan Berjenis Tidak Mutlak Dibangun Oleh Fungsi-ϕ 18

4.2.2 Topologi Ruang Barisan `∞(g) Terhadap Norma k · k<sub>`∞(g)</sub> 26 4.3 Domain Matriks-Λ Terhadap Ruang Barisan `1(g) dan `∞(g) 28 4.3.1 Topologi Ruang Barisan (`<sub>1</sub>(g))<sub>Λ</sub>Terhadap Norma k · k<sub>Λ1</sub> 34 4.3.2 Topologi Ruang Barisan (`∞(g))_ΛTerhadap Norma^{k · k}Λ∞ 38 4.4 Relasi Inklusi Pada Ruang (`<sub>1</sub>(g))<sub>Λ</sub>dan (`∞(g))_ΛBerjenis Tidak

Mutlak 43

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 57

5.1 Kesimpulan 57

5.2 Saran 57

DAFTAR PUSTAKA 58

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Ruang barisan merupakan isu sentral dalam topik bahasan yang cukup penting dan menarik dalam bidang analisis matematika. Hal ini terutama dikarenakan teori ru- ang barisan mempunyai peranan yang cukup penting dalam bidang fisika, statistika, dan matematika sendiri. Secara matematis, barisan bilangan real didefinisikan se- bagai fungsi atau pemetaan bernilai real pada himpunan bilangan N = {0, 1, 2, ...}.

Koleksi semua barisan bilangan real dinotasikan dengan ω; yaitu ω = x = (x_k) : x_k ∈ R , k ∈ N . Ruang barisan bernilai real klasik anatara lain ruang barisan terbatas, ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke-nol, dan ru- ang barisan deret mutlak-p konvergen, masing-masing dinotasikan dengan `∞, c, c<sub>0</sub>, dan `_puntuk 1 ≤ p < ∞. Jenis ruang barisan tersebut masih menjadi bahan kajian, selain ruang barisan klasik, telah dikenal pula ruang barisan Orlicz.

Pada suatu ruang barisan yang menjadi perhatian untuk diamati adalah karak- teristik keanggotaannya. Banach pertama kali memperlihatkan karakteristik dari suatu ruang barisan Cauchy bersifat konvergen, ruang seperti ini disebut ruang Ba- nach. Seiring dengan berkembangnya ilmu pengetahuan, dari sifat ruang Banach beberapa peneliti dapat meneliti sifat-sifat lanjut, antara lain sifat BK dan sifat AK.

Sifat-sifat ini diperlihatkan oleh Kamthan dan Gupta (1981) yang berlaku pada ru- ang barisan klasik. Kemudian hasil tersebut diperluas oleh Maddox ke dalam bentuk ruang-ruang yang lebih general.

Salah satu applikasi ruang barisan adalah teori operator. Untuk operator linear pada ruang barisan klasik telah cukup lengkap dibahas oleh Maddox. Oleh karena itu, beberapa peneliti mengarahkan penelitiannya ke bentuk suatu operator dengan memanfaatkan matriks tak hingga, dalam hal ini disebut transformasi.

Selanjutnya, untuk sebarang ruang barisan X dan matriks tak hingga A, para peneliti memperkenalkan ruang barisan baru yang disebut domain matriks dan di- tulis dengan notasi X_A. Untuk kasus ruang barisan baru yang berbentuk domain

matriks telah dilakukan para peneliti antara lain; Malkowsky (1997) memperke- nalkan domain matriks dari matriks tak hingga Nourland atau matriks N_q terhadap ruang barisan konvergen ke-nol, ruang barisan konvergen, dan ruang barisan ter- batas, yang masing-masing dinotasikan dengan (c₀)_Nq, (c)_Nq, dan (`∞)<sub>Nq</sub>. Selain itu, Aydm dan Basar (2004) memperkenalkan domain matriks dari matriks tak hing- ga Riesz dengan notasi R<sup>t</sup>terhadap ruang barisan real klasik, masing-masing dino- tasikan dengan (`∞)_R^t, (c₀)_R^t, dan (c)_R^t.

Mursaleen dan K.Noman (2011) memperkenalkan matriks−Λ dan mengapp- likasikannya ke dalam bentuk domain matriks terhadap ruang barisan klasik, antara lain ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke-nol, ruang barisan ter- batas, dan ruang barisan deret mutlak-p konvergen untuk 1 ≤ p < ∞. Dalam hal ini, berhasil diamati sifat topologi terhadap norma yang diberikan dan beberapa relasi inklusi antara ruang-ruang barisan klasik tersebut dengan domain matriksnya.

Pada sisi lain, Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) memperkenalkan ruang bari- san yang dibangun oleh fungsi Orlicz, yang ditulis dengan notasi `<sub>1</sub>(M ). Ruang barisan `₁(M ) disebut ruang barisan Orlicz. Berhasil diperlihatkan sifat topologi terhadap norma Luxemburg. Selain itu, juga berhasil diperlihatkan bahwa ruang barisan `₁(M ) memuat subruang isomorfik dengan ruang barisan deret mutlak-p konvergen untuk 1 ≤ p < ∞.

Berdasarkan pemaparan di atas, timbul pemikiran Penulis untuk meneliti do- main matriks dari matriks-Λ terhadap ruang barisan yang dibangun oleh fungsi-ϕ yang merupakan generalisasi dari ruang barisan Orlicz, dalam hal ini ruang barisan dengan deret barisan fungsi-ϕ konvergen-λ dan ruang barisan fungsi-ϕ terbatas-λ.

Selanjutnya, pada skripsi ini Penulis akan meneliti sifat-sifat topologi terhadap nor- ma pada ruang barisan yang diperkenalkan. Selain itu, diselidiki relasi inklusi dari ruang barisan fungsi-ϕ konvergen dan fungsi-ϕ terbatas dengan domain matriksnya.

1.2 Perumusan Masalah

Ruang barisan yang berbentuk domain matriks apabila diamati masih terhadap ben- tuk ruang barisan klasik. Sementara disisi lain, sejauh yang penulis ketahui perkem-

bangan ruang barisan Orlicz masih diapplikasikan ke beberapa operator linear. Oleh karena itu, penulis memperkenalkan ruang barisan fungsi-ϕ yang merupakan gen- eralisasi dari fungsi Orlicz dan membentuk domain matriks dari matriks-Λ terhadap ruang barisan yang diperkenalkan. Secara khusus, masalah yang akan dibahas dari penelitian ini sebagai berikut :

I. Apakah dari ruang-ruang barisan yang dibentuk diperoleh sifat-sifat topologi yang sama atau berbeda, tetapi memberikan hasil yang tidak bertentangan.

II. Dengan menggunakan matriks-Λ yang diperkenalkan Mursaleen dan K.Noman (2011), apakah dapat dibentuk domain matriks dari matriks-Λ terhadap ruang barisan yang dibangun oleh fungsi-ϕ. Selanjutnya, apakah dapat diteliti relasi inklusi antara ruang-ruang barisan tersebut dengan domain matriksnya.

1.3 Batasan Masalah

Penulis akan meneliti domain matriks dari matriks-Λ terhadap ruang barisan yang dibangun oleh fungsi-ϕ. Dengan kata lain, penelitian ini difokuskan pada ruang barisan dengan deret barisan fungsi-ϕ konvergen-λ dan ruang barisan fungsi-ϕ terbatas-λ. Selanjutnya, diperlihatkan sifat topologi BK dan AK, isometri iso- morfiknya, dan relasi inklusi.

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan latar belakang dan perumusan masalah tersebut, tujuan dari skripsi ini adalah membentuk ruang barisan baru dengan memanfaatkan matriks-Λ, khususnya mengenai sifat-sifat topologi, relasi inklusi dari ruang barisan yang diperkenalkan.

1.5 Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan informasi guna menam- bah wawasan dalam pembahasan yang berhubungan dengan ruang barisan bernilai real klasik, serta sebagai bahan referensi bagi peneliti lain yang akan membahas tentang sifat-sifat topologi pada ruang barisan bernilai real klasik lainnya berjenis tidak mutlak yang dibangun oleh fungsi-ϕ.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini disampaikan beberapa pengertian dasar yang diperlukan pada bab-bab selanjutnya. Selain definisi, diberikan pula lemma dan teorema dengan atau tanpa bukti. Untuk beberapa teorema yang tidak disertai bukti dapat dilihat pada referen- si terkait. Beberapa contoh diberikan untuk memperjelas pengertian atau teorema.

Uraian tentang pengertian dasar ini disajikan secara ringkas sesuai dengan tujuan dari penulisan.

2.1 Ruang Barisan Bernilai Real

Definisi 2.1.1 Barisan bilangan real adalah suatu fungsi atau pemetaan bernilai real yang didefinisikan pada himpunan N = {0, 1, 2, ...}. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah fungsi x : N → R dengan aturan k 7→ x(k) untuk setiap k ∈ N.

Bilangan real x(k) dapat ditulis sebagai xkuntuk k ∈ N.

Barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (xk). Karena tulisan ini mem- bahas terkait bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan saja.

Contoh 2.1.2

(i). Apabila diberikan barisan x = (x_k) dengan x_k = 1

k + 1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan (x_k) =  1

1,1 2,1

3, ...

 .

(ii). Barisan x = (xk) dengan xk = 5 untuk setiap k ∈ N disebut barisan konstan.

Definisi 2.1.3 Barisan x = (x_k) dikatakan konvergen ke suatu bilangan real a, jika untuk setiap ε > 0 ada N ∈ N sehingga untuk setiap k ≥ N berlaku |xk− a| < ε.

Dalam hal ini, a disebut limit dari barisan (x_k) dan ditulis dengan lim

k→∞x_k= a atau x_k → a untuk k → ∞. Barisan (x_k) yang tidak konvergen dikatakan divergen.

Selanjutnya, limit dari suatu barisan (x_k) bernilai tunggal, karena jika x_k→ a dan x_k→ b untuk k → ∞ dengan a 6= b, maka untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan N₁, N₂ ∈ N sehingga untuk setiap k ≥ N1berlaku |x_k− a| < ε dan untuk setiap k ≥ N₂berlaku |x_k− b| < ε. Selanjutnya, jika diambil N = maks{N₁, N₂} maka untuk setiap k ≥ N diperoleh |a − b| < ε. Karena berlaku untuk setiap ε > 0, maka |a − b| = 0 akibatnya a = b.

Contoh 2.1.4

(i). Barisan (xk) =

 1

k + 1



konvergen ke 0, karena ketika diambil untuk setiap bilangan ε > 0, maka menurut sifat Archimedean terdapat N ∈ N sehingga

1

N < ε. Oleh karena itu, untuk setiap k ≥ N berlaku    

1 k + 1 − 0

   

< ε. Hal ini menunjukkan bahwa 1

k + 1 → 0 untuk k → ∞.

(ii). Barisan konstan (xk) = (a) untuk setiap k ∈ N konvergen ke a.

Teorema 2.1.5 Jika diberikan barisan (x_k) dan (y_k) konvergen dengan x_k → a dan y_k→ b bila k → ∞, maka

(1) xk+ y_k → a + b, bila k → ∞ (2) xk− y_k→ a − b, bila k → ∞ (3) xk· y_k→ a · b, bila k → ∞ (4) x_k

y_k → a

b, bila k → ∞, asalkan yk 6= 0 dan b 6= 0.

Definisi 2.1.6 Barisan x = (xk) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sehingga |xk| ≤ M untuk setiap k ∈ N.

Contoh 2.1.7 Barisan x = ((−1)^k) merupakan barisan terbatas karena dapat dipilih M = 1, sehingga berlaku |(−1)^k| ≤ 1 untuk setiap k ∈ N

Teorema 2.1.8 Jika barisan x = (xk) konvergen maka barisan (xk) terbatas.

Kebalikan pernyataan di atas tidak berlaku, sebab untuk barisan x = ((−1)^k) meru- pakan barisan terbatas tetapi tidak konvergen.

Barisan x = (x_k) dengan x₀ ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ ... atau x_k ≤ x_k+1 untuk setiap k ∈ N dikatakan barisan naik dan ditulis dengan notasi xk ↑. Selanjutnya, Barisan x = (x_k) dikatakan barisan turun jika x₀ ≥ x₁ ≥ x₂ ≥ ... atau x_k ≥ x_k+1 untuk setiap k ∈ N dan ditulis dengan notasi xk ↓. Barisan x = (x_k) dikatakan monoton apabila (x_k) naik atau turun.

Teorema 2.1.9 Barisan monoton x = (x_k) konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas, yaitu:

(a). Jika barisan (xk) monoton naik dan terbatas, maka lim

k→∞x_k = sup

k∈N

(x_k) untuk setiap k ∈ N.

(b). Jika barisan (x_k) monoton turun dan terbatas, maka lim

k→∞x_k = inf

k∈N(x_k) untuk setiap k ∈ N.

Contoh 2.1.10 Barisan (x_k) =

 1

√k



untuk setiap k ∈ N merupakan barisan monoton turun dan terbatas oleh suatu bilangan real 1. Oleh karena itu, menurut teorema 2.1.9 barisan

 1

√k



konvergen, dengan lim

k→∞

√1

k = inf

k∈N

 1

√k



= 0.

Teorema kekonvergenan monoton di atas merupakan teorema yang cukup penting dan cukup mudah digunakan untuk memperlihatkan suatu barisan konver- gen atau tidak. Tetapi teorema tersebut hanya dibatasi untuk barisan yang monoton.

Padahal sangat penting untuk memperkenalkan kriteria kekonvergenan yang tidak bergantung pada barisan monoton maupun limitnya. Kriteria seperti ini disebut den- gan kriteria Cauchy

Definisi 2.1.11 Barisan x = (x_k) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ε > 0

terdapat k₀ ∈ N sehingga untuk setiap j, k ∈ N dengan j ≥ k ≥ k0 berlaku

|x_j − x_k| < ε.

Teorema 2.1.12 Barisan x = (x_k) konvergen jika dan hanya jika (x_k) barisan Cauchy.

Contoh 2.1.13 (i). Barisan 1

k



merupakan barisan Cauchy.

(ii). Barisan (1 + (−1)^k) bukan merupakan barisan Cauchy.

Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω, dengan kata lain ω =



x = (x_k) ⊂ R, ∀k ∈ N

 .

Untuk setiap x, y ∈ ω dan α ∈ R penjumlahan dan perkalian skalar didefinisikan dengan aturan :

x + y = (xk) + (yk) = (xk+ yk) dan αx = α(xk) = (αxk).

Dapat diperlihatkan bahwa ω merupakan ruang linear.

Definisi 2.1.14 Untuk X sebarang ruang linear bagian ω, X ⊆ ω disebut ruang barisan.

Berikut ini merupakan contoh-contoh ruang barisan :

(i). Ruang barisan terbatas dinotasikan dengan `∞, yaitu

`∞=



x = (x_k) ∈ ω : sup

k∈N

|x_k| < ∞

 .

(ii). Ruang barisan konvergen dinotasikan dengan c, yaitu c =



x = (x_k) ∈ ω : (∃ l ∈ R) xk→ l

 .

(iii). Ruang barisan konvergen ke nol dinotasikan dengan c₀, yaitu c0 =



x = (xk) ∈ ω : xk → 0, k → ∞

 .

(iv). Ruang barisan barisan dengan deret mutlak-p konvergen dinotasikan dengan

`_p untuk 1 ≤ p < ∞, yaitu

`_p =



x = (x_k) ∈ ω :

∞

X

k=0

|x_k|^p < ∞

 .

(v). Untuk setiap barisan x = (x_k), barisan berhingga ditulis dengan notasi x^{[N ]} untuk N ∈ N, yaitu

x^{[N ]} = (x₁, x₂, ..., x_N, 0, 0, ...)

Koleksi dari semua barisan berhingga ditulis dengan notasi Φ;

Φ =



x^{[N ]} : N ∈ N

 .

2.2 Ruang Banach

Pada bagian ini diperkenalkan suatu ruang linear yang dikenakan pengertian norma (jarak atau ukuran) bernilai real.

Definisi 2.2.1 Diberikan ruang linear X. Fungsi k · k : X → R disebut norma jika memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

(M1) kxk = 0 jika dan hanya jika x = θ, ∀ x ∈ X

(M2) kαxk = |α|kxk untuk setiap skalar α ∈ R dan x ∈ X (M3) kx + yk ≤ kxk + kyk, untuk setiap x, y ∈ X.

Ruang linear X yang dilengkapi dengan suatu norma k · k disebut ruang bernorma dan ditulis dengan (X, k · k) atau X saja.

Contoh 2.2.2 Diberikan ruang linear `p untuk 1 ≤ p < ∞ dapat diperlihatkan merupakan suatu ruang bernorma terhadap norma k·kp; yaitu kxkp =

_∞ P

k=1

|x_k|

1/p

.

Contoh 2.2.3 Diberikan koleksi semua fungsi kontinu bernilai real yang didefin- isikan pada interval tertutup [a, b]. Dengan kata lain

C[a, b] =



f | f : [a, b] → R

 .

Dapat diperlihatkan C[a, b] merupakan ruang bernorma terhadap norma berikut kf k =

Z b a

|f (x)|

(i) Diambil sebarang f ∈ [a, b], maka cukup jelas bahwa kf k = Rb

a |f (x)| ≥ 0.

Selanjutnya akan ditunjukkan kf k = 0 jika dan hanya jika f = 0. Untuk itu jika kf k = 0 makaRb

a|f (x)| = 0 sehingga f (x) = 0 untuk setiap x ∈ [a, b], akibatnya f = 0. Sebaliknya, jika f = 0 maka |f (x)| = 0 untuk setiap x ∈ [a, b]. Hal ini berarti kf k =Rb

a |f (x)| = 0.

(ii) Diambil sebarang α ∈ R dan f ∈ [a, b], maka kαf k =

Z b a

|αf (x)|

= |α|

Z b a

|f (x)|

= |α|kf k.

(iii) Diambil f, g ∈ [a, b], maka kf + gk =

Z b a

|f (x) + g(x)|

≤ Z b

a

|f (x)| + Z b

a

|g(x)|

= kf k + kgk.

Dari hasil (i), (ii), (iii) dapat disimpulkan bahwa (C[a, b], k · k) merupakan ruang bernorma.

Selanjutnya, dengan cara yang sama dapat diperlihatkan ruang linear yang berbentuk sistem bilangan real R dan fungsi k · k : R → R dengan aturan kxk =

|x| merupakan norma. Oleh karena itu, sistem bilangan real R merupakan ruang

bernorma terhadap norma bernilai harga mutlak.

Definisi 2.2.3 Barisan (x_k) di dalam ruang bernorma X = (X, k · k_X) dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap ε > 0 terdapat k₀ ∈ N sehingga untuk setiap j ≥ k ≥ k₀ berlaku

kx_j − x_kk_X < ε.

Teorema 2.2.4 Setiap barisan konvergen di dalam ruang bernorma X merupakan barisan Cauchy.

Kebalikan dari teorema 2.2.4 tidak berlaku, hal ini diperlihatkan pada contoh berikut,

Contoh 2.2.5 Diberikan ruang bernorma C[a, b] = (C[a, b], k · k) seperti contoh 2.2.3. Akan diperlihatkan sebarang barisan Cauchy di C[a, b] tidak konvergen. Un- tuk itu, diambil fungsi f_k(x) pada C[a, b] untuk setiap k ∈ N sebagai berikut

f_k(x) =













 k

b − a(x − a); x ∈



a, a +b − a k



1; x ∈



a + b − a k , b



Akan diperlihatkan (fk) merupakan barisan Cauchy. Untuk itu, diambil sebarang ε > 0 dan j, k ∈ N dengan j ≥ k. Karena

kf_j − f_kk = Z b

a

|f_j(x) − f_k(x)|

=



a +^b−a_j



−



a + ^b−a_k

 2

= b − a 2

 j − k jk

≤ b − a 2

 j jk

= b − a 2k

karena b − a

ε ∈ R, maka menurut Archimedean terdapat k0 ∈ N sehingga b − a 2ε <

k₀. Oleh karena itu, untuk setiap j ≥ k ≥ k₀ berlaku kf_j − f_kk < ε.

Jadi, (f_k) merupakan barisan Cauchy di dalam ruang bernorma (C[a, b], k · k).

Selanjutnya, diambil fungsi f : [a, b] → R dengan aturan

f (x) =







0; x = a 1; x ∈ (a, b]

terhadap norma di atas diambil sebarang bilangan ε > 0 maka terdapat k0 ∈ N sehingga untuk setiap k ≥ k0diperoleh

kf_k− f k = Z b

a

|f_j(x) − f (x)|

=



a + ^b−a_k



− a 2

= b − a 2k

< ε

Hal ini menunjukkan bahwa barisan (fk)konvergen ke f pada [a, b] tetapi f 6∈

C[a, b] (f tidak kontinu di a). Jadi, dapat disimpulkan bahwa barisan (fk) meru- pakan barisan Cauchy di dalam ruang bernorma (C[a, b], k · k) tetapi tidak konver- gen.

Definisi 2.2.6 Ruang bernorma dikatakan bersifat lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalam ruang barisan tersebut konvergen. Ruang bernorma yang bersifat lengkap disebut ruang Banach.

Definisi 2.3.1 Ruang Banach X disebut ruang-BK (Banach Kantorovich) jika fungsi koordinat p_k : X → R dengan aturan x 7→ pk(x) = x_kkontinu pada X untuk setiap x = (x_k) ∈ X dan setiap k ∈ N.

Contoh 2.3.2 Ruang barisan `∞, c, dan c₀ merupakan ruang-BK terhadap norma supremum (Kamthan dan Gupta, 1981), yaitu

kxk = sup

k≥0

|x_k|

Definisi 2.3.3 Ruang barisan X ⊃ Φ dikatakan mempunyai sifat-AK jika X meru- pakan ruang-BK dan untuk setiap x ∈ X, n ∈ N berlaku kx − x^[n]k → 0 untuk n → ∞, dengan

x^[n]=

n

X

k=1

x_ke^[k].

Dalam hal ini, e^[k]merupakan barisan dengan suku ke-k + 1 bernilai 1 untuk k = n dan lainnya bernilai 0 untuk k 6= n. Selanjutnya untuk sebarang ruang barisan X yang merupakan ruang-BK dan mempunyai sifat-AK disebut ruang-AK.

Contoh 2.3.4 Ruang barisan `_p dan c₀ merupakan ruang-AK tetapi ruang barisan

`∞dan c bukan merupakan ruang-AK. (A. Wilansky, 1984)

2.3 Transformasi Matriks

Definisi 2.4.1 Diberikan ruang barisan X dan Y dan matriks tak hingga A = (a_nk) dengan a_nk ∈ R untuk setiap n, k ∈ N. Operator A : X → Y dengan aturan x 7→ A(x) = (A_n(x)) disebut transformasi matriks atau operator matriks. Dalam hal ini barisan A(x) = (A_n(x))^∞_n=0∈ Y , dengan

A_n(x) =

∞

X

k=0

a_nkx_k

merupakan deret konvergen untuk setiap n ∈ N. Suku ke-n dari matriks A ditulis dengan notasi A_n; yaitu A_n = (a_nk)^∞_k=0untuk setiap n ∈ N.

Koleksi semua transformasi matriks dari matriks tak hingga A yang memetakan ruang barisan X ke ruang barisan Y ditulis dengan notasi (X, Y ). Dengan kata lain A ∈ (X, Y ) jika dan hanya jika Ax ∈ Y untuk setiap x ∈ X dan

A_n(x) =

∞

X

k=0

a_nkx_k < ∞ untuk setiap n ∈ N dan x ∈ X.

2.4 Domain Matriks

Penelitian tentang transformasi matriks dari dan pada ruang barisan klasik telah cukup lengkap dilakukan para peneliti (Maddox 1970; Wilansky 1984). Oleh kare- na itu, para peneliti mengalihkan perhatiannya ke ruang barisan lain dengan mem- bentuk ruang barisan baru. Salah satunya dengan memanfaatkan ruang barisan X dan matriks tak hingga A. Ruang barisan seperti ini disebut domain matriks.

Definisi 2.5.1 Diberikan ruang barisan X, domain matriks dari suatu matriks tak hingga A pada X merupakan suatu ruang barisan ditulis dengan notasi X_A, yaitu

X_A =



x = (x_k) ∈ ω : Ax ∈ X

 .

2.5 Ruang Barisan Orlicz

Definisi 2.6.1 Fungsi Orlicz merupakan fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞ dengan sifat kontinu pada R⁺, naik pada R⁺, dan konveks, dengan M (0) = 0, M (x) > 0 untuk x > 0 dan M (x) → ∞ untuk x → ∞. Fungsi Orlicz M dikatakan memenuhi kondisi-∆₂ jika terdapat konstanta K > 0 sedemikian hingga M (2u) ≤ K M (u) untuk setiap x ∈ R.

Lindenstrauss dan Tzafriri menggunakan ide atau gagasan fungsi Orlicz untuk membentuk ruang barisan berikut

`₁(M ) =



x = (x_k) ∈ ω :

∞

X

k=1

M |x_k| ρ



< ∞, untuk suatu ρ > 0

 .

Berhasil diperlihatkan untuk fungsi Orlicz yang memenuhi kondisi-∆₂, ruang barisan

`₁(M ) merupakan ruang Banach terhadap norma

kxk = inf



ρ > 0 :

∞

X

k=1

M |x_k| ρ



≤ 1

 .

Ruang barisan `1(M ) ini disebut ruang barisan Orlicz terhadap norma di atas.

METODOLOGI PENELITIAN

Metodologi dalam penelitian ini bersifat pengembangan teori matematika dan di- lakukan dengan studi literatur sehingga tidak membutuhkan data empirik. Seluruh hasil penelitian diperoleh dengan melakukan analisis terhadap teori-teori matemati- ka yang telah ada dan beberapa konstruksi asumsi atau definisi serta teorema dan lemma yang diberikan.

Adapun pada penelitian ini terdapat langkah-langkah yang dilakukan untuk membentuk ruang barisan baru yang dibangun oleh fungsi−ϕ terhadap domain matriks dari matriks-Λ, dalam hal ini ruang barisan dengan deret barisan fungsi- ϕ konvergen-λ dan ruang barisan fungsi-ϕ terbatas-λ, yaitu :

1. Mengkonstruksi fungsi yang merupakan bentuk diperumum dari fungsi Or- licz, dalam hal ini fungsi yang dibentuk yakni fungsi−ϕ.

2. Membentuk beberapa ruang barisan baru yang dibangun oleh fungsi−ϕ den- gan memanfaatkan ruang-ruang barisan dengan deret barisan konvergen (`1) dan terbatas (`∞), dalam hal ini ruang barisan dengan deret barisan fungsi-ϕ konvergen dan terbatas fungsi-ϕ yang masing-masing ditulis dengan notasi

`1(g) dan `∞(g).

3. Membentuk beberapa ruang barisan baru pada poin 2 dan memanfaatkan ma- triks tak hingga-Λ, dalam hal ini ruang-ruang barisan (`1(g))Λdan (`∞(g))Λ. 4. Meneliti sifat-sifat topologi dari ruang-ruang barisan pada poin 3 terhadap

norma yang didefinisikan.

5. Meneliti relasi inklusi dari ruang-ruang barisan pada poin 3.

3.1 Diagram Konsep

Berikut ini adalah susunan kerangka teoritis yang disajikan dalam bentuk diagram konsep untuk membentuk ruang-ruang barisan baru yang dibangun oleh fungsi-ϕ dengan memanfaatkan matriks tak hingga-Λ, dalam hal ini ruang barisan dengan deret barisan fungsi-ϕ konvergen-λ dan terbatas ϕ − λ yang masing-masing dino- tasikan dengan (`<sub>1</sub>(g))<sub>Λ</sub> dan (`∞(g))_Λ. Pada diagram konsep penelitian ini model diagram terputus menjadi perhatian penulis untuk diteliti:

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Barisan Terbatas−λ dan konvergen mutlak-λ

Definisi 4.1.1. Diberikan barisan bilangan real positif naik kuat λ = (λ_k)^∞_k=0yang menuju tak hingga, yaitu

0 < λ₀ < λ₁ < ... dan λ_k → ∞ untuk k → ∞. (4.1) Selanjutnya, didefinisikan matriks tak hingga Λ = (λ_nk)^∞_n,k=0dengan aturan sebagai berikut

λ_nk =











λ_k− λ_k−1

λ_n ; (0 ≤ k ≤ n) 0; (k > n)

(4.2)

untuk setiap n, k ∈ N. Transformasi-Λ (matriks Λ) dari ruang barisan X ke ruang barisan Y adalah suatu fungsi Λ : X → Y dengan aturan

Λn(x) =

∞

X

k=0

λnkxk < ∞, ∀ n ∈ N (4.3) dan

Λ(x) = (Λ_n(x)) ∈ Y (4.4)

Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N Λ_n(x) =

∞

X

k=0

λ_nkx_k =

n

X

k=0

λ_nkx_k+

∞

X

k=n+1

λ_nkx_k (4.5)

=

n

X

k=0

λ_nkx_k

= 1 λ_n

n

X

k=0

(λk− λk−1)xk; (n ∈ N), dengan λ−1= 0 dan suku x₋₁ = 0.

Barisan x = (xk) ∈ ω dikatakan terbatas−λ jika sup

n∈N

|Λ_n(x)| < ∞.

Hubungan antara barisan terbatas dengan barisan terbatas-λ diberikan pada pernyataan berikut;

Lemma 4.1.2. Setiap barisan terbatas merupakan terbatas−λ.

Bukti. Diberikan barisan x = (x_k) terbatas, berarti ada konstanta M positif sehing- ga |x_k| ≤ M untuk setiap k ∈ N. Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh,

|Λ_n(x)| =    

1 λ_n

n

X

k=0

(λ_k− λ_k−1)x_k    

= 1 λ_n

   

n

X

k=0

(λ_k− λ_k−1)x_k    

≤ 1 λ_n

n

X

k=0

   

(λ_k− λ_k−1)x_k    

= 1 λ_n

n

X

k=0

(λ_k− λ_k−1)|x_k|

≤ M λ_n

n

X

k=0

(λ_k− λ_k−1) = M

dengan kata lain untuk setiap n ∈ N

|Λ_n(x)| ≤ M.

Menurut sifat kelengkapan di R, maka ada sup

n∈N

|Λ_n(x)| dengan sup

n∈N

|Λ_n(x)| ≤ M <

∞. Jadi, terbukti bahwa barisan x = (x_k) terbatas-λ.

Kebalikan dari lemma 3.1.2 tidak benar pada contoh berikut;

Contoh 4.1.3. Diambil barisan x = (x_k) dengan x_k = (−1)^kλ_k

λk− λ_k−1 untuk setiap k ∈ N. Hal cukup jelas bahwa barisan (xk) tidak terbatas, karena untuk setiap bilangan M > 0 terdapat k ∈ N sehingga

   

−1^kλ_k λk− λk−1

   

> M = λ_k λk+1

. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa barisan x = (xk) terbatas-λ. Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh

|Λ_n(x)| =    

1 λ_n

n

X

k=0

(λ_k− λ_k−1) (−1)^kλk

λ_k− λ_k−1    

=    

1 λ_n

n

X

k=0

(−1)^kλ_k    

= 1 λ_n

   

n

X

k=0

(−1)^kλ_k    

≤ 1 λn

n

X

k=0

(λ_k− λ_k−1) = 1.

Hal ini menunjukkan bahwa barisan (Λn(x)) dibatasi oleh suatu bilangan real 1, be- rarti ketika diambil konstanta M > 0 dengan M = 1, maka menurut sifat kelengka- pan R sup

n∈N

|Λn(x)| ≤ M < ∞. Jadi, barisan  (−1)^kλ_k λ_k− λ_k−1



terbatas-λ. Dengan

demikian, cukup untuk diamati bahwa tidak benar barisan yang terbatas-λ meru- pakan barisan yang terbatas.

4.2 Ruang Barisan Berjenis Tidak Mutlak Dibangun Oleh Fungsi-ϕ

Berikut ini diperkenalkan fungsi-ϕ yaitu suatu fungsi g : R → R⁺dengan aturan (1.) g(x) = 0 jika dan hanya jika x = 0

(2.) g(x) = g(−x) (3.) g naik pada R⁺ (4.) g kontinu pada R

Fungsi-ϕ tersebut di atas merupakan generalisasi dari fungsi Orlicz.

Selanjutnya, fungsi-ϕ dikatakan memenuhi kondisi−∆₂ jika terdapat kon- stanta M > 0 sehingga g(2x) ≤ M g(x) untuk setiap x ∈ R. Dengan menggunakan g sebagai fungsi-ϕ diperkenalkan ruang berikut

`₁(g) =



x = (x_k) ∈ ω :

∞

X

k=0

g x_k ρ



< ∞ , ∀ρ > 0



dan

`∞(g) =



x = (xk) ∈ ω : sup

k∈N

 g x_k

ρ



< ∞ , ∀ρ > 0

 .

Teorema 4.2.1. Jika g merupakan fungsi-ϕ yang memenuhi kondisi-∆₂, maka ru- ang `1(g) dan `_∞(g) merupakan ruang linear.

Bukti. Akan diperlihatkan ruang `1(g) merupakan ruang linear. Diambil sebarang x = (x<sub>k</sub>) ∈ `₁(g) dan α ∈ R. Jika α = 0, maka terdapat bilangan real positif ρ dan cukup mudah untuk dipahami bahwa

∞

X

k=0

g α x_k ρ



=

∞

X

k=0

g 0 ρ



< ∞.

Selanjutnya, jika α 6= 0 maka α > 0 atau α < 0. Untuk α > 0, maka menurut sifat Archimedean terdapat n0 ∈ N sehingga α ≤ 2ⁿ⁰. Karena fungsi g memenuhi

kondisi-∆₂, maka terdapat konstanta M > 0 sehingga

∞

X

k=0

g α x_k ρ



=

∞

X

k=0

g α x_k ρ



≤

∞

X

k=0

g 2ⁿ⁰ x_k ρ



≤

∞

X

k=0

Mⁿ⁰g x_k ρ



= Mⁿ⁰

∞

X

k=0

g x_k ρ



< ∞.

Kemudian untuk α < 0 dan karena g merupakan fungsi-ϕ, maka g(x) = g(−x) untuk setiap x ∈ R. Akibatnya

∞

X

k=0

g α x_k ρ



=

∞

X

k=0

g −α x_k ρ



< ∞

untuk suatu bilangan ρ > 0. Oleh karena itu, αx ∈ `1(g) (1) Selanjutnya, diambil x = (x<sub>k</sub>), y = (y<sub>k</sub>) ∈ `₁(g) maka terdapat ρ₁ > 0 dan ρ₂ > 0, sehingga

∞

X

k=0

g x_k ρ1



< ∞ dan

∞

X

k=0

g x_k ρ2



< ∞.

Dipilih ρ = maks{ρ1, ρ₂}, berarti ¹_ρ ≤ _ρ¹

1 atau ¹_ρ ≤ _ρ¹

2 dan karena g naik pada R⁺, maka diperoleh

∞

X

k=0

g x_k+ y_k ρ



≤

∞

X

k=0

g x_k ρ

 +

∞

X

k=0

g y_k ρ



≤

∞

X

k=0

g x_k ρ₁

 +

∞

X

k=0

g y_k ρ₂



< ∞.

Hal ini berarti, x+y ∈ `₁(g) (2)

Dari hasil (1) dan (2), maka dapat disimpulkan bahwa `₁(g) merupakan ruang linear.

Dengan cara yang analog dapat diperlihatkan bahwa ruang `∞(g) juga merupakan ruang linear.

Teorema 4.2.2. Jika fungsi g bersifat konveks, maka fungsi k · k<sub>`1(g)</sub> : `₁(g) → R dengan aturan

kxk_`1(g) = inf



ρ > 0 :

∞

X

k=0

g x_k ρ



≤ 1



(4.6) merupakan norma.

Bukti. Diambil sebarang x = (xk) ∈ `<sub>1</sub>(g). Cukup mudah untuk dipahami bahwa kxk<sub>`1(g)</sub> ≥ 0. Selanjutnya, diasumsikan kxk<sub>`1(g)</sub> = 0 maka untuk sebarang ε > 0 berlaku kxk`1(g) < ε. Hal ini berarti terdapat ρ₀ > 0 dengan ρ₀ < ε sehingga

∞

X

k=0

g x_k ρ₀



≤ 1

maka ∞

X

k=0

g x_k ε



≤

∞

X

k=0

g x_k ρ₀



≤ 1.

Oleh karena itu, berlaku

g x_k ε



≤ 1

untuk setiap k ∈ N. Karena fungsi g bersifat konveks maka g(xk) = g ε x_k

ε



≤ εg x_k ε



≤ ε

untuk setiap k ∈ N dan untuk setiap ε > 0. Akibatnya, g(xk) = 0 untuk setiap k ∈ N. Karena fungsi g merupakan fungsi-ϕ, maka x = 0.

Jadi, jika kxk_`1(g) = 0 maka diperoleh x = 0. (3) Sebaliknya, diasumsikan x = 0 maka xk = 0 untuk setiap k ∈ N. Karena g merupakan fungsi-ϕ, maka untuk setiap k ∈ N diperoleh

g x_k ρ



= g 0 ρ



= 0.

Akibatnya

kxk`1(g) = 0.

Jadi, jika x = 0 diperoleh kxk`1(g) = 0. (4)

Dari hasil (3) dan (4), diperoleh kxk`1(g) = 0 jika dan hanya jika x = 0. (5)

Kemudian, diambil sebarang x = (x_k) ∈ `₁(g) dan α ∈ R. Jika α = 0, maka persoalan selesai. Untuk itu, diasumsikan α 6= 0 maka α > 0 atau α < 0. Karena g fungsi genap, maka cukup ditunjukkan untuk kasus α > 0 sehingga diperoleh

kαxk_`1(g) = inf



ρ > 0 :

∞

X

k=0

g α x_k ρ



≤ 1



= inf



ρ > 0 :

∞

X

k=0

g α x_k ρ



≤ 1



= inf

 α ρ

α > 0 :

∞

X

k=0

g x_k

ρ α



≤ 1



diambil bilangan real positif ρ∗ = _α^ρ, sehingga diperoleh kαxk_`1(g) = inf



αρ∗ > 0 :

∞

X

k=0

g x_k ρ∗



≤ 1



= α inf



ρ∗ > 0 :

∞

X

k=0

g x_k ρ∗



≤ 1



= |α| inf



ρ∗ > 0 :

∞

X

k=0

g x_k ρ∗



≤ 1



= |α|kxk_`1(g)

Hal ini berarti kαxk_{`1(g)</sub> = |α|kxk<sub>`1(g)}. (6) Selanjutnya, diambil sebarang x = (x_k), y = (y_k) ∈ `₁(g) maka terdapat ρ₁ > 0 dan ρ₂ > 0, sehingga

kxk_`1(g) = inf



ρ1> 0 :

∞

X

k=0

g x_k ρ1



≤ 1



dan kyk_`1(g) = inf



ρ2> 0 :

∞

X

k=0

g y_k ρ2



≤ 1

 .

Diambil ρ = ρ1+ ρ₂. Karena g bersifat konveks dan naik pada R⁺, maka

∞

X

k=0

g x_k+ y_k ρ



=

∞

X

k=0

g x_k+ y_k ρ₁+ ρ₂



≤

∞

X

k=0

g

 x_k ρ₁+ ρ₂

 +

∞

X

k=0

g

 y_k ρ₁+ ρ₂



=

∞

X

k=0

g

 ρ1xk

(ρ₁+ ρ₂)ρ₁

 +

∞

X

k=0

g

 ρ2yk

(ρ₁+ ρ₂)ρ₂



≤ ρ₁ ρ₁+ ρ₂

∞

X

k=0

g x_k ρ₁



+ ρ₂ ρ₁+ ρ₂

∞

X

k=0

g y_k ρ₂



≤ ρ₁

ρ₁+ ρ₂ + ρ₂

ρ₁+ ρ₂ = 1.

Artinya,

kx + yk_`1(g) ≤ ρ = ρ₁+ ρ₂. Akibatnya,

kx + yk_{`1(g)</sub> ≤ kxk<sub>`1(g)}+ kyk<sub>`1(g)</sub>. (7) Dari hasil (5), (6), dan (7) dapat disimpulkan bahwa `1(g) = (`1(g), k · k`1(g)) merupakan ruang bernorma.

Teorema 4.2.3. Jika fungsi g bersifat konveks, maka fungsi k · k`∞(g) : `∞(g) → R dengan aturan

kxk`∞(g) = inf



ρ > 0 : sup

k∈N

g x_k ρ



≤ 1



(4.7) merupakan norma.

Bukti. Dibuktikan dengan cara analog seperti teorema (3.2.2) di atas

4.2.1 Topologi Ruang Barisan `1(g) Terhadap Norma k · k<sub>`1(g)</sub>

Teorema 4.2.4. Jika fungsi-ϕ g bersifat konveks, maka ruang barisan `1(g) meru- pakan ruang Banach terhadap norma

kxk_`1(g) = inf



ρ > 0 :

∞

X

k=0

g x_k ρ



≤ 1



Bukti. Telah diperlihatkan pada teorema (4.2.2) bahwa ruang barisan `1(g) meru- pakan ruang bernorma. Untuk itu, diambil sebarang barisan Cauchy (x<sup>(i)</sup>) ⊂ `₁(g) dengan

x⁽ⁱ⁾= (x⁽ⁱ⁾_k ) = (x⁽ⁱ⁾₀ , x⁽ⁱ⁾₁ , x⁽ⁱ⁾₂ , ...).

Hal ini berarti untuk sebarang bilangan ε > 0, terdapat i₀ ∈ N, sehingga untuk setiap j ≥ i ≥ i₀ berlaku

kx^(j)− x⁽ⁱ⁾k_`1(g) < ε.

Oleh karena itu, terdapat bilangan positif ρ dengan ρ < ε sehingga

∞

X

k=0

g x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k ε



≤

∞

X

k=0

g x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k ρ



≤ 1.

Hal ini menunjukkan bahwa

g x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k ε



≤ 1.

untuk setiap k ∈ N. Selanjutnya karena g bersifat konveks, maka untuk setiap j ≥ i ≥ i0 diperoleh

g



x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k



= g ε(x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k ) ε



≤ εg x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k ε



≤ ε.

Karena ε > 0 sebarang, maka g



x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k



= 0 untuk setiap j ≥ i ≥ i0. Karena g merupakan fungsi-ϕ, berarti x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k = 0 untuk setiap j ≥ i ≥ i₀ dan untuk setiap k ∈ N. Akibatnya

|x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k | < ε

untuk setiap j ≥ i ≥ i₀ dan untuk setiap ε > 0. Hal ini berarti, barisan (x^(j)_k ) merupakan barisan Cauchy di R untuk setiap k ∈ N. Karena sistem bilangan real R merupakan ruang bernorma lengkap, maka untuk setiap k ∈ N terdapat xk ∈ R sehingga x^(j)_k → x_kuntuk j → ∞ atau lim

j→∞x^(j)_k = x_k.

Selanjutnya, dibentuk barisan x = (x_k) ∈ ω. Akan diperlihatkan lim

i→∞x⁽ⁱ⁾ = x. Karena g merupakan fungsi kontinu, maka untuk setiap ε > 0 diperoleh

∞

X

k=0

g x_k− x⁽ⁱ⁾_k ε



=

∞

X

k=0

g

 lim

j→∞x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k ε



=

∞

X

k=0

j→∞limg x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k ε



= lim

j→∞

∞

X

k=0

g x^(j)_k − x⁽ⁱ⁾_k ε



≤ 1.

Karena ε > 0 sebarang, maka berlaku

kx − x⁽ⁱ⁾k_`1(g) < ε.

Karena i ≥ i₀ untuk suatu i₀ ∈ N, maka x⁽ⁱ⁾ → x untuk i → ∞ atau lim

i→∞x⁽ⁱ⁾ = x.

Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa x ∈ `<sub>1</sub>(g). Karena (x<sup>(i)</sup>) ⊂ `₁(g) untuk setiap i ∈ N, berarti terdapat ρ > 0 sehingga

∞

P

k=0

g x⁽ⁱ⁾_k ρ



< ∞. Karena g bersifat konveks dan memenuhi kondisi-∆2 maka terdapat M > 0 sehingga

∞

X

k=0

g x_k ρ



=

∞

X

k=0

g x_k− x⁽ⁱ⁾_k + x⁽ⁱ⁾_k ρ



=

∞

X

k=0

g

2

2(xk− x⁽ⁱ⁾_k ) + ²₂x⁽ⁱ⁾_k ρ



≤

∞

X

k=0

1

2g 2 (x_k− x⁽ⁱ⁾_k ) ρ

 +

∞

X

k=0

1

2g 2 x⁽ⁱ⁾_k ρ



≤ M₁ 2

∞

X

k=0

g x_k− x⁽ⁱ⁾_k ρ

 + M₂

2

∞

X

k=0

g x⁽ⁱ⁾_k ρ



≤ M₁ 2 +M₂

2

∞

X

k=0

g x⁽ⁱ⁾_k ρ



< ∞.

Hal ini berarti x ∈ `<sub>1</sub>(g). Dapat disimpulkan bahwa `₁(g) merupakan ruang bernor- ma lengkap atau ruang Banach.

Teorema 4.2.5. Ruang barisan `₁(g) merupakan ruang-AK.

Bukti. Pertama-tama akan diperlihatkan bahwa `<sub>1</sub>(g) merupakan ruang-BK. Untuk itu, diambil sebarang x = (x<sub>k</sub>) ∈ `₁(g) dan barisan (x⁽ⁱ⁾) ⊂ `₁(g) dengan x⁽ⁱ⁾ → x untuk i → ∞. Berarti untuk sebarang ε > 0 terdapat i₀ ∈ N sehingga untuk setiap i ≥ i₀ berlaku

kx⁽ⁱ⁾− xk_`1(g) < ε.

Hal ini berarti

∞

X

k=0

g x⁽ⁱ⁾_k − x_k ε



≤ 1.

Dengan kata lain, untuk setiap k ∈ N diperoleh g x⁽ⁱ⁾_k − x_k

ε



≤ 1.

Selanjutnya karena g bersifat konveks, maka untuk setiap i ≥ i0 diperoleh g



x⁽ⁱ⁾_k − x_k



= g ε(x⁽ⁱ⁾_k − xk) ε



≤ εg x⁽ⁱ⁾_k − xk

ε



≤ ε.

Karena sebarang ε > 0, berarti g



x⁽ⁱ⁾_k − x_k



= 0 untuk setiap i ≥ i₀. Karena g merupakan fungsi-ϕ, maka x⁽ⁱ⁾_k − x_k = 0 untuk setiap m ≥ i₀ dan setiap k ∈ N.

Akibatnya

|x⁽ⁱ⁾_k − x_k| < ε

untuk setiap i ≥ i0 dan untuk sebarang ε > 0. Oleh karena itu, untuk setiap k ∈ N dan i ≥ i0 berlaku

|p_k(x⁽ⁱ⁾) − p_k(x)| = |x⁽ⁱ⁾_k − x_k| < ε. (i) Hal ini menunjukkan bahwa fungsi koordinat p_k : `<sub>1</sub>(g) → R kontinu pada `1(g).

Jadi, `₁(g) merupakan ruang-BK.

Selanjutnya, diambil sebarang x = (x_k) ∈ `₁(g) dan N ∈ N dengan x^{[N ]} =

N

P

k=0

x_ke^[k] = (x₀, x₁, ..., x_N, 0, 0, ...). Oleh karena itu, x−x^{[N ]} = (0, 0, ..., 0, x_{N +1}, ...) untuk N ∈ N. Kemudian, karena g bersifat konveks, maka diperoleh

∞

X

k=0

g



x_k− x^{[N ]}_k



=

∞

X

k=0

g



εxk− x^{[N ]}_k ε



≤ ε

∞

X

k=0

g x_k− x^{[N ]}_k ε



= ε

∞

X

k=N +1

g x_k− x^{[N ]}_k ε

 .

Karena sebarang ε > 0 dan

∞

P

k=N +1

g x_k− x^{[N ]}_k ε



→ 0 untuk N → ∞, hal ini berarti

∞

X

k=N +1

g



x_k− x^{[N ]}_k



< 1.

untuk N → ∞. Akibatnya,

kx − x^{[N ]}k_`1(g) < 1.

untuk N → ∞. Karena ε ∈ (0, 1] maka dengan mengambil ε = 1, berarti

kx − x^{[N ]}k_`1(g) → 0 (ii)

untuk N → ∞. Dari hasil (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa `₁(g) merupakan ruang-AK.