PENYELESAIAN MASALAH INFILTRASI AIR DALAM BERBAGAI BENTUK SALURAN IRIGASI ALUR MENGGUNAKAN DUAL RECIPROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD

PENYELESAIAN MASALAH INFILTRASI AIR DALAM BERBAGAI BENTUK SALURAN IRIGASI

ALUR MENGGUNAKAN DUAL RECIPROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD

SKRIPSI

Ana Nurhasanah 11140940000005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2019 M / 1440 H

PENYELESAIAN MASALAH INFILTRASI AIR DALAM BERBAGAI BENTUK SALURAN IRIGASI

ALUR MENGGUNAKAN DUAL RECIPROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD

Skripsi

Diajukan kepada

Universitas Islam Negri Syarif Hidayatullah Jakarta Fakultas Sains dan Teknologi

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh:

Ana Nurhasanah 11140940000005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2019 M / 1440 H

PERSEMBAHAN

Skripsi ini ku persembahkan untuk orang-orang tersayang,

Kedua orang tua Ayahanda dan Ibunda Tercinta yang tidak pernah bosan memberikan doa, kasih sayang, semangat, dan dukungan moril maupun materil sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

Terima kasih Ayah dan Mama.

Kakak-Kakak ku tersayang, Yayat Ahmad Hidayat, Nurhidayah, dan Irfan Hidayat yang selalu menyemangati, memberi motivasi, doa dan dukungan, serta rasa sayang dan cintanya yang begitu indah.

Kakak-Kakak Iparku, Kak Imas, Kak cucu dan Kak Ineu yang juga selalu memberikan semangat dan doa.

Keponakan-keponakan tersayang, Abang Tiar, Kakak Azmi dan Dede Kayla yang telah memberikan warna dalam hidupku.

MOTTO

”Dan janganlah kamu (merasa) lemah, dan jangan (pula) bersedih hati, sebab kamu paling tinggi (derajatnya), jika kamu orang yang beriman.”

(Q.S 3:139)

”Karena Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Sesungguhnya se- sudah kesulitan itu ada kemudahan. Maka apabila kamu telah selesai (dari sesuatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh-sungguh (urusan) yang lain. Dan hanya ke- pada Tuhanmulah hendaknya kamu berharap.”

(Q.S. 94:5-8) Selalu menjadi diri sendiri dan jangan pernah menjadi orang lain, meskipun

mereka kelihatan lebih baik.

-Ana Nurhasanah-

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian dengan judul Penyelesaian Masalah Infiltrasi Air Dalam Berbagai Bentuk Saluran Irigasi Alur Menggunakan Dual Reciprocity Boundary Element Method dapat tersele- saikan dengan maksimal. Tidak lupa shalawat serta salam senantiasa tercurah ke- pada Nabi Muhammad SAW, para sahabat, keluarga, serta muslimin dan muslimat.

Semoga kita mendapat syafaat oleh Nabi Muhammad di akhirat kelak. Aamiin..

Penyusunan skripsi ini dapat terselesaikan atas kerjasama dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

1. Ibu Prof.Dr. Lily Surraya E P, M.Env.Stud. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M. Kom, selaku Ketua Program Studi Matematika Fa- kultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Ja- karta.

3. Bapak Muhaza Liebenlito, M.Si., selaku Sekretaris Program Studi Matema- tika Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidaya- tullah Jakarta.

4. Ibu Irma Fauziah, M.Sc., selaku Pembimbing I dan Bapak Muhammad Ma- naqib, M.Sc., selaku Pembimbing II, yang senantiasa memberikan waktu, pe- ngarahan dan saran-saran dalam penyelesaian skripsi ini.

5. Ibu Dr. Sumainna, M.Si., selaku Penguji I dan Bapak Wisnu Aribowo, M.Si., selaku Penguji II, yang senantiasa memberikan kritik serta saran dalam pe- nyelesaian skripsi ini.

6. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah mem- berikan ilmu-ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat.

7. Keluarga Besar Tercinta di rumah, khususnya Ayah dan Mama tercinta, yang tidak pernah bosan memberikan doa, kasih sayang, semangat, dan dukungan moril maupun materil sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

8. Seluruh teman-teman Finex Family Matematika angkatan 2014 yang sela- lu memberikan motivasi, candaan, semangat dan doanya yang tidak pernah hentinya selama kuliah Semua Indah Karena Kalian.

9. Anida, Lely, Ridha, Ryan, Dyta, Muji, Via, Crusita, yang selalu memberikan motivasi, semangat dan doanya kepada penulis agar skripsi ini dapat selesai.

10. Ika, Saphira, Haries yang selalu memberikan semangat, motivasi dan telah menyempatkan waktunya untuk membantu penulis dalam menyelesaikan sk- ripsi ini.

11. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu tanpa mengurangi rasa hormat, yang telah memberikan dorongan dan bantuan sehingga skripsi ini terselesaikan.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak keku- rangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat mem- bangun untuk perbaikan di masa yang akan datang. Terakhir, penulis berharap se- moga penyusunan skripsi ini dapat berguna dan memberikan manfaat. Wassalamu- alaikum Wr. Wb.

Jakarta, Mei 2019

Penulis

DAFTAR ISI

PERNYATAAN . . . i

HALAMAN JUDUL . . . . HALAMAN PENGESAHAN . . . i

PERNYATAAN . . . ii

LEMBAR PERNYATAAN . . . iii

HALAMAN PERSEMBAHAN . . . iv

HALAMAN MOTTO . . . v

KATA PENGANTAR . . . vi

DAFTAR ISI . . . ix

DAFTAR LAMBANG . . . xi

ABSTRAK . . . xii

ABSTRACT . . . xiii

I PENDAHULUAN . . . 1

1.1. Latar Belakang Masalah . . . 1

1.2. Rumusan Masalah . . . 3

1.3. Batasan Masalah . . . 4

1.4. Tujuan Penelitian . . . 4

1.5. Manfaat Penelitian . . . 4

II DASAR TEORI . . . 6

2.1. Irigasi . . . 6

2.2. Bentuk Saluran Irigasi . . . 8

2.3. Metode Elemen Batas . . . 9

2.3.1. Teorema Gauss-Green . . . 9

2.3.2. Identitas Kedua Green . . . 12

2.3.3. Persamaan Laplace . . . 13

2.4. Solusi Persamaan Laplace dengan Metode Elemen Batas . . . 21

2.4.1. Relasi Reciprocal . . . 21

2.4.2. Solusi Integral Batas . . . 22

2.4.3. Solusi Elemen Batas dengan Elemen Konstan . . . 29

2.4.4. Rumus untuk Integral Elemen Konstan . . . 32

III Solusi Persaman Helmholtz dengan Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM) . . . 38

3.1. Formulasi Integral . . . 38

3.2. Pendekatan Integral Domain . . . 42

3.3. Prosedur Dual Reciprocity Boundary Element Method . . . 46

IV INFILTRASI DI DALAM BERBAGAI BENTUK SALURAN IRIGASI ALUR . . . 51

4.1. Formulasi Masalah . . . 51

4.2. Model Matematika Infiltrasi di Dalam Berbagai Bentuk Saluran Iri- gasi Alur . . . 52

4.2.1. Persamaan Pengatur . . . 52

4.2.2. Syarat Batas . . . 59

4.3. Penyelesaian dengan DRBEM . . . 67

4.4. Hasil dan Pembahasan . . . 75

V PENUTUP . . . 86

5.1. Kesimpulan . . . 86

5.2. Saran . . . 88

REFERENSI . . . 89

A Program Matlab Infiltrasi Air dalam Saluran Irigasi Alur . . . 91

DAFTAR LAMBANG

R : daerah domain C : kurva batas domain

n : vektor normal berarah keluar domain (n_x, n_y) : komponen absis dan ordinat vektor normal

δ(x) : fungsi Dirac delta

φ : suction potential variabel berdimensi Φ : solusi fundamental Laplace

N : Jumlah segmen garis pada batas domain L : jumlah titik kolokasi interior

ρ : fungsi basis radial Θ : Matric Flux Potential v₀ : flux awal masuk saluran

θ : kandungan air (water content) θ_s : saturated water content θ_r : residual water content

ψ : suction potential variabel tak berdimensi

 : Akhir suatu bukti

ABSTRAK

Ana Nurhasanah, Penyelesaian Masalah Infiltrasi Air Dalam Berbagai Ben- tuk Saluran Irigasi Alur Menggunakan Dual Reciprocity Boundary Element Me- thod, dibawah bimbingan Irma Fauziah, M.Sc dan Muhammad Manaqib, M.Sc.

Penelitian ini membahas tentang infiltrasi saluran irigasi alur dalam berbagai bentuk saluran irigasi pada jenis tanah homogen. Model Matematika untuk masalah infiltra- si adalah Persamaan Richard. Persamaan Richard ini kemudian ditransformasikan dengan menggunakan transformasi Kirchhoff dan variabel tak berdimensi menjadi persamaan Helmholtz termodifikasi. Selanjutnya dengan menggunakan DRBEM, solusi numerik dari Persamaan Helmholtz termodifikasi diperoleh. Metode tersebut digunakan untuk menyelesaikan masalah infiltrasi pada saluran flat, non-flat tanpa impermeabledan non-flat dengan impermeable. Nilai Suction Potential dan Water Contentyang paling besar terletak dibawah permukaan saluran. Urutan bentuk sa- luran berdasarkan kandungan air yang paling banyak berturut- turut adalah non-flat channeltanpa impermeable, non-flat channel dengan impermeable dan saluran flat.

Kata kunci: infiltrasi, bentuk saluran, Persamaan Helmholtz termodifikasi, DRBEM.

ABSTRACT

Ana Nurhasanah, Settlement of Infiltration Problems In Various Forms of Irrigation Channels using Dual Reciprocity Boundary Element Method, under the guidance of Irma Fauziah, M.Sc and Muhammad Manaqib, M.Sc.

This research discusses the infiltration of furrow irrigation in various forms of irri- gation channels in homogeneous soils. The governing equation of the problems is a Richard’s Equation. This equation is transformed using a set of transformation in- cluding Kirchhoff and dimensionless variables into Helmholtz modified equations.

Furthermore with DRBEM, numerical solution of modified Helmholtz equation ob- tained. The proposed method is tested on problem involved infiltration from pe- riodic flat channels, non-flat channels without impermeable and non-flat channels with impermeable. The greatest value of Suction Potential and Water Content is lo- cated below the channel surface. The most water consecutively is a non-flat channel without impermeable, non-flat channel with impermeable and flat channel.

Keywords: infiltration, periodic channels, modified Helmholtz equation, DRBEM.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Akses air untuk penggunaan yang produktif seperti pertanian dan bisnis kelu- arga sangat penting untuk mewujudkan peluang mata pencaharian, menghasilkan pendapatan dan berkontribusi terhadap produktivitas ekonomi. Hampir seperlima dari populasi dunia, sekitar 1,2 miliar orang tinggal di daerah yang mengalami kri- sis air secara fisik [12]. Ketersediaan air berasal dari permukaan, air dalam tanah dan mata air, yang dari tahun ke tahun cenderung berkurang akibat kerusakan ling- kungan. Sementara itu, kebutuhan akan air dari waktu ke waktu semakin meningkat akibat peningkatan jumlah penduduk dan pertumbuhan industri. Allah menyebutk- an dalam Al-Quran surat Al-Mu’minun ayat 18

”Dan Kami turunkan air dari langit menurut suatu ukuran; lalu Kami jadikan air itu menetap di bumi, dan sesungguhnya Kami benar-benar berkuasa menghilangkannya.”

Fungsi air dalam pertanian secara umum adalah sebagai irigasi atau pengair- an untuk memenuhi kebutuhan tanaman, karena tanpa adanya pengairan yang baik maka hasil dari tanaman yang dikelola oleh petani tidak akan mendapatkan hasil yang maksimal. Air dalam pertanian dengan kata lain digunakan untuk membantu membasahi tanah dalam lahan pertanian atau dapat dikatakan sebagai proses air iri- gasi terinfiltrasi, sehingga tanah akan menjadi subur. Dengan demikian, kebutuhan air tanaman tercukupi.

Pemberian air irigasi dapat dilakukan dalam lima cara: penggenangan (floo- ding), menggunakan alur besar atau kecil, menggunakan air di bawah permukaan

tanah melalui sub irigasi, sehingga menyebabkan permukaan air tanah naik, pe- nyiraman (sprinkling), cucuran (trickle) [13] . Pemberian air yang baik diharapkan dapat membantu tanah dalam menjaga keseimbangan tingkat kadar air sehingga membantu efisiensi proses infiltrasi. Maka dari itu diperlukan adanya penelitian terkait bidang pertanian salah satunya yaitu terkait proses infiltrasi. Terdapat ber- bagai macam bentuk saluran irigasi alur diantaranya bentuk datar, empat persegi panjang, trapesium, segitiga, dan setengah lingkaran.

Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan, banyak penelitian yang su- dah dilakukan berkaitan dengan infiltrasi pada saluran irigasi. Salah satunya adalah penelitian I.Solekhudin dan K.C.Ang (2013) tentang A Dual Reciprocity Boundary Element Method For Steady Infiltration Problems. Bentuk saluran yang digunak- an berbentuk Flat, rectangular, semi-circular, dan trapezoidal. Pada umumnya sa- luran irigasi yang sering digunakan adalah saluran yang berbentuk rectangular, semi-circular, dan trapezoidal. Maka penelitian ini bertujuan untuk membahas ten- tang penyelesaian masalah infiltrasi air dalam berbagai bentuk saluran irigasi alur menggunakan Dual Reciprocity Boundary Element Method dengan bentuk saluran Flat Channel, Non-Flat Channel tanpa Impermeable (Rectangular Channel, Semi- circular Channel, Trapezoidal Channel), dan Non-Flat Channel dengan Imperme- able(Rectangular Channel, Trapezoidal Channel).

Model matematika masalah infiltrasi air pada saluran irigasi alur berbentuk masalah syarat batas dengan persamaan pengatur berupa persamaan Helmholtz ter- modifikasi dengan syarat batas Robin. Salah satu pendekatan penyelesaian masalah kali ini yaitu dapat menggunakan metode numerik Dual Reciprocity Boundary Ele- ment Method (DRBEM). DRBEM adalah bagian atau pengembangan dari Boun- dary Element Method(BEM) atau dalam bahasa Indonesia disebut Metode Elemen Batas (MEB). MEB adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial yang ditemui pada fisika matematis dan teknik. Se- perti Persamaan Laplace, Persamaan Helmholtz, Persamaan Konveksi Difusi, Per- samaan Potensial dan Aliran Viskos, Persamaan Elektrostatik dan Elektromagnetik, serta Persamaan Linear Elastosatik dan Elestodynamik. [10]

Terdapat beberapa kelebihan Metode Elemen Batas (MEB) dibandingkan me- tode numerik yang lainnya, seperti Finite Element Method (FEM) dan Finite Diffe- rence Method (FDM). Berikut beberapa kelebihan tersebut [6]

1. Diskritisasi hanya dilakukan pada batas domain, sehingga membuat pemo- delan numerik dengan MEB lebih sederhana dan mereduksi jumlah titik ko- lokasi yang diperlukan.

2. MEB yang dimodifikasi dapat menyelesaikan masalah dengan domain tak terbatas.

3. MEB terbukti efektif pada perhitungan turunan dari lapangan fungsi seperti flux, tegangan, tekanan, dan momen. MEB juga dapat menyelesaikan kon- sentrasi gaya dan momen pada interior domain dan batas domain.

4. Menggunakan satu himpunan titik kolokasi yang terletak pada batas-batas domain dapat digunakan untuk mencari solusi di semua titik pada domain.

Berbeda dengan FEM dan FDM yang solusinya diperoleh hanya di titik ko- lokasi.

5. MEB juga dapat menyelesaikan masalah dengan domain yang rumit, seperti sebuah retakan .

Berdasarkan uraian tersebut, DRBEM sangat baik untuk menyelesaikan model matematika infiltrasi saluran irigasi alur. Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan dibahas terkait DRBEM untuk menyelesaikan masalah infiltrasi irigasi alur di be- berapa bentuk saluran irigasi yang berbeda untuk mengetahui karakteristik infiltrasi dan karakteristik persebaran airnya.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka didapatkan perumusan masalah sebagai berikut:

1. Bagaimana menyelesaikan model matematika infiltrasi pada saluran irigasi alur menggunakan Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM) ?

2. Bagaimana karakteristik persebaran air dalam bentuk-bentuk saluran irigasi yang berbeda ?

1.3. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, agar pembahasan tidak meluas maka dibuat pembatasan masalah sebagai berikut:

1. Jenis dan sifat tanah yang mempengaruhi proses infiltrasi dianggap homogen.

2. Bentuk saluran irigasi yang diamati yaitu Flat Channel, Non-Flat Channel tanpa Impermeable (Rectangular Channel, Semi-circular Channel, Trape- zoidal Channel), dan Non-Flat Channel dengan Impermeable (Rectangular Channel, Trapezoidal Channel).

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, antara lain:

1. Menyelesaikan model matematika pada infiltrasi air pada saluran irigasi alur menggunakan metode numerik DRBEM.

2. Membandingkan karakteristik infiltrasi pada saluran irigasi alur untuk bentuk saluran irigasi yang berbeda.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Secara umum diharapkan dapat membantu dalam pengembangan ilmu terkait infiltrasi air pada saluran irigasi alur serta menambahkan pengetahuan dalam matematika terapan.

2. Secara khusus diharapkan memberikan gambaran tentang penyelesaian mo- del matematika infiltrasi air pada saluran irigasi alur menggunakan pende- katan DRBEM yang kemudian pendekatan solusi yang diperoleh diharapkan

dapat menjadi pertimbangan pengaturan air dalam irigasi alur di berbagai bentuk saluran irigasi.

BAB II DASAR TEORI

2.1. Irigasi

Irigasi adalah usaha penyediaan, pengaturan dan pengembangan air irigasi un- tuk menunjang pertanian yang jenisnya meliputi irigasi permukaan, irigasi rawa, irigasi air bawah tanah, irigasi pompa, dan irigasi tambak [11]. Sistem irigasi da- pat dikelompokkan menjadi 4 kelompok, yaitu sistem irigasi permukaan (surface irrigation system), sistem irigasi bawah permukaan (sub surface irrigation system), sistem irigasi curah (sprinkler irrigation system), dan sistem irigasi tetes (drip irri- gation system)[4].

Sistem irigasi permukaan (surface irrigation system) merupakan irigasi yang terluas cakupannya diseluruh dunia, terutama Asia. Pada sistem irigasi permuka- an, air irigasi disebarkan ke permukaan tanah dan dibiarkan meresap (infiltrasi) ke dalam tanah. Air dibawa dari sumber ke lahan melalui saluran terbuka maupun me- lalui pipa dengan tekanan rendah. Biaya yang diperlukan untuk mengembangkan sistem irigasi permukaan relatif lebih kecil, jika dibandingkan dengan sistem iriga- si curah maupun tetes.

Gambar 2.1 Sistem Irigasi Permukaan

Sistem irigasi bawah permukaan (sub surface irrigation system) adalah sistem irigasi yang diaplikasikan dengan cara meresapkan air ke dalam tanah di bawah zona perakaran melalui sistem saluran terbuka ataupun dengan menggunakan pipa berlubang.

Gambar 2.2 Sistem Irigasi Bawah Permukaan [4]

Sistem irigasi curah (sprinkler irrigation system) adalah sistem irigasi yang menggunakan tekanan untuk membentuk curahan air yang mirip hujan ke permu- kaan lahan pertanian. Pada irigasi curah, air dialirkan dari sumber melalui jaringan pipa yang disebut pipa utama (mainline), pipa sub utama (sub-mainline) ke bebera- pa pipa cabang (lateral) yang masing-masing mempunyai beberapa alat pencurah.

Gambar 2.3 Sistem Irigasi Curah [2]

Sistem irigasi tetes (drip irrigation system) adalah suatu sistem irigasi dima- na pemberian air dilakukan melalui pipa/selang berlubang dengan mengguanakkan tekanan yang kecil, dan air yang dikeluarkan berupa tetesan-tetesan langsung pada daerah perakaran tanaman.

Gambar 2.4 Sistem Irigasi Tetes [2]

2.2. Bentuk Saluran Irigasi

Terdapat berbagai macam bentuk saluran irigasi alur diantaranya bentuk datar (Flat Channel), empat persegi panjang (Rectangular Channel), setengah lingkar- an (Semi-circular Channel), dan Trapesium (Trapezoidal Channel). Saluran empat persegi panjang (Rectangular Channel) berfungsi untuk menampung dan menya- lurkan limpasan air hujan dengan debit yang besar. Saluran setengah lingkaran (Semi-circular Channel) berfungsi untuk menyalurkan limpasan air hujan untuk debit yang kecil. dan saluran Trapesium (Trapezoidal Channel) berfungsi untuk menampung dan menyalurkan limpasan air hujan dengan debit yang besar.

Berdasarkan [5] I.Solekhudin and K.C Ang dalam jurnalnya yang berjudul A dual-reciprocity boundary element method for steady infiltration problems dan Maria Lobo [7] bentuk-bentuk saluran terdiri dari

(a) Flat Channel (b) Semi-Circular Channel

(c) Rectangular Channel (d) Trapezoidal Channel Gambar 2.5 4 Jenis Saluran Berbeda [5]

2.3. Metode Elemen Batas

Metode Elemen Batas adalah metode numerik yang digunakan untuk menye- lesaikan persamaan diferensial parsial (PDP) yang ditemui pada fisika matematis dan teknik. Seperti Persamaan Laplace, Persamaan Helmholtz, Persamaan Kon- veksi Difusi, Persamaan Potensial dan Aliran Viskos. Persamaan Elektrostatik dan Elektromagnetik, serta Persamaan Linear Elastosatik dan Elestodynamik.

Ide utama metode elemen batas adalah solusi dari PDP tersebut diekspresik- an dalam persamaan integral batas yang mengandung solusi fundamental dari PDP.

Metode ini dinamakan metode elemen batas karena diskritisasi dilakukan pada ba- tas domain dengan membagi menjadi ruas-ruas garis yang berhingga yang selanjut- nya digunakan untuk mengevaluasi persamaan integral batasnya.

Metode Elemen Batas mulai berkembang pada abad ke-19, yang pada awalnya dikenal dengan istilah Boundary Integral Equation Method (BIEM), sebagai me- tode untuk menyelesaikan masalah fisika matematis. Pertamakali dikerjakan oleh G.Green pada tahun 1828 yaitu masalah syarat batas Dirichlet dan Neumann da- ri Persamaan Laplace dibentuk dalam integral solusinya, sehingga bentuk seperti ini disebut sebagai Fungsi Green. Semenjak penemuan Fungsi Green tersebutlah banyak para peneliti yang mengembangkan Metode Elemen Batas.

2.3.1. Teorema Gauss-Green

Teorema 2.3.1 Diberikan fungsi f :R^{2 →}R dan ^{g :}R^{2 →}R yang kontinu dan terdiferensial pada domainD ⊆R². Misalkan R ⊆ Dsuatu daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup sederhanaC, maka berlaku

Z Z

R

g∂f

∂xdxdy = − Z Z

R

f∂g

∂xdxdy + Z

C

f gn_xds

Z Z

R

g∂f

∂y, dxdy = − Z Z

R

f∂g

∂ydxdy + Z

C

f gn_yds Bukti.

Kurva C dapat dibagi menjadi kurva C₁ dengan arah berlawanan arah jarum jam dan kurvaC₂searah jarum jam. Perhatikan gambar berikut

Gambar 2.6 Domain R Tertutup dan Terbatas oleh Kurva C [6]

dengann = (nx, ny)adalah vektor normal terhadapC, yang mengarah keluar domainR. Berdasarkan gambar (2.6) diperoleh,

dy

ds = cos α = nx → dy = nxds (2.1)

−dx

ds = sin α = n_y → dx = −n_yds (2.2) Persamaan (2.2) bertanda negatif karena dx memiliki tanda negatif ketikaα dihi- tung berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu-xpositif.

Selanjutnya perhatikan bahwa, Z Z

R

∂f (x, y)

∂x dR =

Z Z

R

∂f (x, y)

∂x dxdy

= Z y2

y1

Z x2

x1

∂f (x, y)

∂x dx

 dy

= Z y2

y1

(f (x₂, y) − f (x₁, y))dy

= Z y2

y1

f (x₂, y)dy − Z y2

y1

f (x₁, y)dy

= Z

C1

f (x₂, y)n_xds − Z

C2

f (x₁, y)n_xds (2.3)

Kurva C₂ searah jarum jam, sehingga integral pada C₂ bernilai negatif ketika y berubah dariy₁ key₂. Menggunakan arah yang seragam dari integrasi terhadapC, dua bentuk integral padaC₁ danC₂ pada persamaan (2.3) dapat digabung menjadi

ekspresi tunggal integral terhadapC. Z Z

R

∂f (x, y)

∂x dxdy = Z

C

f (x, y)n_xds (2.4) Menggunakan cara yang sama maka diperoleh,

Z Z

R

∂f (x, y)

∂y dxdy = Z

C

f (x, y)n_yds (2.5)

Untuk suatu fungsig(x, y)berdasarkan persamaan (2.4) dan (2.5) diperoleh Z Z

R

∂f g

∂x dxdy = Z

C

f gn_xds (2.6)

Z Z

R

∂f g

∂y dxdy = Z

C

f gn_yds (2.7)

Dengan menggunakan aturan turunan perkalian diperoleh Z Z

R

∂f g

∂x dxdy = Z Z

R

 g∂f

∂x + f∂g

∂x

 dxdy

= Z Z

R

g∂f

∂xdxdy + Z Z

R

f∂g

∂xdxdy (2.8)

Z Z

R

∂f g

∂y dxdy = Z Z

R

 g∂f

∂y + f∂g

∂y

 dxdy

= Z Z

R

g∂f

∂ydxdy + Z Z

R

f∂g

∂ydxdy (2.9)

Sehingga dari persamaan (2.6) dan (2.8) diperoleh Z

C

f gnxds = Z Z

R

g∂f

∂xdxdy + Z Z

R

f∂g

∂xdxdy

⇔ Z Z

R

f∂g

∂xdxdy = Z

C

f gnxds − Z Z

R

g∂f

∂xdxdy dan dari persamaan (2.7) dan (2.9) diperoleh

Z

C

f gn_yds = Z Z

R

g∂f

∂ydxdy + Z Z

R

f∂g

∂ydxdy

⇔ Z Z

R

f∂g

∂ydxdy = Z

C

f gn_yds − Z Z

R

g∂f

∂ydxdy



2.3.2. Identitas Kedua Green

Teorema 2.3.2 Identitas Kedua Green [6]

Diberikan fungsif : R^{2 →}R dan^{g :}R^{2 →}R yang terdiferensial sampai ting- kat kedua dan diferensiable tingkat keduanya kontinu pada domain D ⊆R². Mi- salkanR ⊆ Dsuatu daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup sederhanaC, maka berlaku

Z Z

R

(g∇²f − f ∇²g)dxdy = Z

C

 g∂f

∂n − f∂g

∂n

 ds

dengan

∇² = ∂²

∂x²i + ∂²

∂y²j

∂f

∂n = ∂f

∂xn_x+ ∂f

∂yn_y Bukti.

Perhatikan bahwa : Z Z

R

(g∇²f )dxdy = Z Z

R

g

∂²f

∂x² +∂²f

∂y²

 dxdy

= Z Z

R

g

 ∂

∂x

∂f

∂x + ∂

∂y

∂f

∂y

 dxdy

= Z Z

R

g ∂

∂x

∂f

∂xdxdy + Z Z

R

g ∂

∂y

∂f

∂ydxdy Selanjutnya gunakan Teorema Gauss-Green, maka diperoleh

Z Z

R

g∇²f dxdy = − Z Z

R

∂f

∂x

∂g

∂xdxdy + Z

C

∂f

∂xgn_xds − Z Z

R

∂f

∂y

∂g

∂ydxdy + Z

C

∂f

∂ygn_yds

= − Z Z

R

∂f

∂x

∂g

∂x + ∂f

∂y

∂g

∂y



dxdy + Z

C

g

∂f

∂xn_x+∂f

∂yn_y

 ds

= − Z Z

R

∂f

∂x

∂g

∂x + ∂f

∂y

∂g

∂y



dxdy + Z

C

g∂f

∂nds (2.10)

Perhatikan bahwa Z Z

R

(f ∇²g)dxdy = Z Z

R

f

∂²g

∂x² + ∂²g

∂y²

 dxdy

= Z Z

R

f

 ∂

∂x

∂g

∂x + ∂

∂y

∂g

∂y

 dxdy

= Z Z

R

f ∂

∂x

∂g

∂xdxdy + Z Z

R

f ∂

∂y

∂g

∂ydxdy Selanjutnya gunakan Teorema Gauss-Green, maka diperoleh

Z Z

R

f ∇²gdxdy = − Z Z

R

∂g

∂x

∂f

∂xdxdy + Z

C

∂g

∂xf nxds − Z Z

R

∂g

∂y

∂f

∂ydxdy + Z

C

∂g

∂ygnyds

= − Z Z

R

∂g

∂x

∂f

∂x + ∂g

∂y

∂f

∂y



dxdy + Z

C

f

∂g

∂xn_x+ ∂g

∂yn_y

 ds

= − Z Z

R

∂g

∂x

∂f

∂x + ∂g

∂y

∂f

∂y



dxdy + Z

C

f∂g

∂nds (2.11)

Dengan mengurangkan Persamaan (2.10) dan Persamaan (2.11) diperoleh Z Z

R

(g∇²f − f ∇²g)dxdy = Z

C

 g∂f

∂n− f∂g

∂n



ds (2.12)



2.3.3. Persamaan Laplace

Persamaan Laplace adalah persamaan diferensial parsial (PDP) tingkat dua yang memiliki bentuk umum,

∇²φ(x, y) = 0, (x, y) ∈ R (2.13) dengan

∇² = ∂²

∂x²i + ∂²

∂y²j

Domain dari Persamaan Laplace (2.13) adalah daerahRdan dimisalkanRsuatu da- erah tertutup dan terbatas oleh kurva sederhanaC. Solusi dari Persamaan Laplace

sangat banyak, misalkan φ = x + y, φ = x² + y². Sehingga untuk solusi Persa- maan Laplace yang tunggal, Persamaan Laplace dilengkapi dengan syarat batas.

Persamaan diferensial parsial yang dilengkapi dengan syarat batas dalam matema- tika dikenal dengan istilah Masalah Syarat Batas (MSB). MSB Persamaan Laplace diklasifikasikan sebagai berikut [6]

1. Masalah Dirichlet

∇²φ = 0,padaR φ = φ,¯ padaC

2. Masalah Neumann

∇²φ = 0,padaR

∂φ

∂n = φ¯_n,padaC 3. Masalah Robin

∇²Φ = 0,padaR φ + k(s)∂φ

∂n = 0,padaC

denganφ, ¯^¯ φ_n,dank(s)adalah fungsi yang telah diketahui dan terdefinisi pada kurva C.

Diketahui titikp₀(ξ, η) ∈R² , ditinjau persamaan

∇²φ(x − ξ, y − η) = δ(p − p₀) (2.14) Solusi khusus persamaan (2.14) disebut solusi fundamental Persamaan Laplace [6].

Solusi Persamaan (2.14) dapat dicari dengan terlebih dahulu mentransformasikan- nya kedalam koordinat kutub r dan θ yang berpusat di (ξ, η). Transformasi Per- samaan Laplace (2.13) ke koordinat kutubr danθ yang berpusat di(0, 0), seperti terlihat pada Gambar berikut

Gambar 2.7 Koordinat Kutub

Berdasarkan Gambar (2.7) dapat diperoleh : r =p

x²+ y², x = r cos θ,dany = r sin θ.

Selanjutnya cari turunan parsialxdanyterhadaprdanθ

∂x

∂r = cos θ, ∂x

∂θ = −r sin θ

∂y

∂r = sin θ, ∂y

∂θ = r cos θ Digunakan aturan rantai untuk mencari ^∂φ

∂r dan ^∂φ

∂θ, karena φ adalah fungsi dalam(x, y), sebagai berikut :

∂φ

∂r = ∂φ

∂x

∂x

∂r +∂φ

∂y

∂y

∂r = ∂φ

∂xcos θ +∂φ

∂ysin θ (2.15)

∂φ

∂θ = ∂φ

∂x

∂x

∂θ +∂φ

∂y

∂y

∂θ = −∂φ

∂xrsin θ + ∂φ

∂yrcos θ (2.16)

Gunakan aturan rantai untuk mencari ^∂

2φ

∂²r dan ^∂

2φ

∂²θ dari Persamaan (2.15) dan (2.16)

∂²φ

∂²r = ∂

∂r

∂φ

∂r

= ∂

∂r

∂φ

∂xcos θ + ∂φ

∂y sin θ



= cos θ

 ∂

∂r

∂φ

∂x



+ sin θ

 ∂

∂r

∂φ

∂y



= cos θ

 ∂

∂x

∂φ

∂x

∂x

∂r + ∂

∂y

∂φ

∂x

∂y

∂r



+ sin θ

 ∂

∂x

∂φ

∂y

∂x

∂r + ∂

∂y

∂φ

∂y

∂y

∂r



= cos θ

∂²φ

∂x² cos θ + ∂²φ

∂y∂xsin θ



+ sin θ

 ∂²φ

∂x∂ycos θ + ∂²φ

∂y² sin θ



= ∂²φ

∂x² cos²θ + 2 ∂²φ

∂y∂xsin θ cos θ + ∂²φ

∂y² sin²θ (2.17)

∂²φ

∂²θ = ∂

∂θ

∂φ

∂θ

= ∂

∂θ



−∂φ

∂xr sin θ + ∂φ

∂yr cos θ



= −r

 ∂

∂θ

∂φ

∂xsin θ

 + r

 ∂

∂θ

∂φ

∂y cos θ



= −r

 ∂

∂x

∂φ

∂x

∂x

∂θ + ∂

∂y

∂φ

∂x

∂y

∂θ



sin θ − r cos θ

∂φ

∂x



+r

 ∂

∂x

∂φ

∂y

∂x

∂θ + ∂

∂y

∂φ

∂y

∂y

∂θ



cos θ − r sin θ

∂φ

∂y



= −r sin θ

∂²φ

∂x²(−r sin θ) + ∂²φ

∂y∂xr cos θ



+ −r∂φ

∂xcos θ +r cos θ

 ∂²φ

∂x∂y(−r sin θ) +∂²φ

∂y²r cos θ



− r∂φ

∂y sin θ

= r²∂²φ

∂x² sin²θ − r² ∂²φ

∂y∂xsin θ cos θ − r∂φ

∂xcos θ − r² ∂²φ

∂x∂y cos θsinθ +r²∂²φ

∂y² cos²θ − r∂φ

∂ysin θ

= −r

∂φ

∂xcos θ +∂φ

∂y sin θ



+r²

∂²φ

∂x² sin²θ − 2 ∂²φ

∂y∂xsin θ cos θ + ∂²φ

∂y² cos²θ



(2.18)

Kedua ruas Persamaan (2.18) dibagi dengan r², kemudian substitusikan kedalam persamaan (2.15)

1 r²

∂²φ

∂²θ = −1 r

∂φ

∂x cos θ +∂φ

∂y sin θ



+

∂²φ

∂x² sin²θ − 2 ∂²φ

∂y∂xsin θ cos θ + ∂²φ

∂y² cos²θ



= −1 r

∂φ

∂r +

∂²φ

∂x² sin²θ − 2 ∂²φ

∂y∂xsin θ cos θ + ∂²φ

∂y² cos²θ

 (2.19) Selanjutnya jumlahkan persamaan (2.17) dengan (2.19) serta gunakan identitas tri- gonometrisin²θ + cos²θ = 1

∂²φ

∂²r + 1 r²

∂²φ

∂²θ = ∂²φ

∂x² cos²θ + 2 ∂²φ

∂y∂xsin θ cos θ + ∂²φ

∂y² sin²θ − 1 r

∂φ

∂r +

∂²φ

∂x² sin²θ − 2 ∂²φ

∂y∂xsin θ cos θ + ∂²φ

∂y² cos²θ



= −1 r

∂φ

∂r +∂²φ

∂x²(sin²θ + cos²θ) + ∂²φ

∂y²(sin²θ + cos²θ)

= −1 r

∂φ

∂r +∂²φ

∂x² + ∂²φ

∂y²

⇔ ∂²φ

∂x² + ∂²φ

∂y² = ∂²φ

∂²r + 1 r²

∂²φ

∂²θ + 1 r

∂φ

∂r

= 1 r

∂²φ

∂²rr + ∂φ

∂r

 + 1

r²

∂²φ

∂²θ

= 1 r

∂

∂r

 r∂φ

∂r

 + 1

r²

∂²φ

∂²θ

Jadi hasil transformasi Persamaan Laplace (2.13) ke koordinat kutub yang berpusat di(0, 0)adalah

1 r

∂

∂r

 r∂φ

∂r

 + 1

r²

∂²φ

∂²θ = 0 (2.20)

dengan

r =p

x²+ y²

Selanjutnya berdasarkan Persamaan (2.20) maka diperoleh hasil transformasi Per- samaan Laplace (2.14) dalam koordinat kutub di(ξ, η)

1 r

∂

∂r

 r∂φ

∂r

 + 1

r²

∂²φ

∂²θ = δ(r) (2.21)

dengan

r =p

(x − ξ)²+ (y − η)²

Solusi yang diinginkan adalah solusi yang simetris terhadapp₀, makaφtidak bergantung pada besarnya sudut θ melainkan hanya bergantung pada panjang r, sehinggaφdapat dinyatakan fungsi dalamr. Persamaan (2.21) menjadi

1 r

d dr



rdφ(r) dr



= δ(r) (2.22)

jikap₀ 6= pmakar 6= 0danδ(r) = 0. Sehingga Persamaan (2.22) dapat ditulis 1

r d dr



rdφ(r) dr



= 0 (2.23)

Selanjutnya akan dicari solusi dari Persamaan (2.23) dengan mengintegralkan dua kali terhadapr

d dr



rdφ(r) dr



= 0

⇔ Z

d



rdφ(r) dr



= Z

0dr

⇔ rdφ(r) dr = A

⇔ dφ(r)

dr = A r

⇔ Z

dφ(r) = Z A

rdr

⇔ φ(r) = A ln(r) + B

Pilih konstantaB = 0, sehingga solusi Persamaan (2.23) adalah

φ(r) = A ln(r) (2.24)

Akan dicari nilai konstanta A, dengan dibentuk kurvaClingkaran seperti gam- bar berikut

Gambar 2.8 Domain Lingkaran R

Berdasarkan Gambar (2.8) diketahui bahwa ds

dθ = 2πr

2π ⇔ ds = rdθ (2.25)

Perhatikan bahwa

∇²φ = δ(r)

⇔

Z Z

R

∇²φdxdy = Z Z

R

δ(r)

⇔

Z Z

R

∇²φdxdy = 1

Berdasarkan Identitas Kedua Green (2.3.2.) dan Persamaan (2.25) maka, Z Z

R

∇²φdxdy = 1

⇔ Z

C

∂φ

∂nds = 1

⇔

Z 2π 0

∂φ

∂xn_x+ ∂φ

∂yn_y



rdθ = 1 Sehingga dari persamaan (2.1), (2.2), (2.15) dan (2.24) diperoleh

⇔ Z 2π

0

∂φ

∂xcos θ +∂φ

∂y sin θ



rdθ = 1

⇔ Z 2π

0

∂φ

∂rrdθ = 1

⇔ Z 2π

0

A

rrdθ = 1

⇔ A(2π − 0) = 1

⇔ A = 1 2π

Jadi solusi khusus persamaan (2.22) adalah φ = 1

2πln r (2.26)

Persamaan (2.26) adalah solusi dari fundamental Persamaan Laplace dalam koordinat kutub, sehingga dengan mengubah persamaan tersebut dalam koordinat kartesius diperoleh solusi Persamaan Laplace dalam koordinat kartesius,

φ(x, y) = 1

2πlnp

(x − ξ)² + (y − η)² atauφ(x, y) = 1

4πln (x − ξ)²+ (y − η)²

(2.27) denganx 6= ξdany 6= η

Persamaan (2.27) disebut dengan solusi fundamental Persamaan Laplace dimensi dua. Solusi fundamental Persamaan Laplace (2.27) dikenal sebagai fungsi Green dari operator Laplace pada domain keseluruhan R², sehingga solusi ini tidak ber- gantung pada syarat batas.

Perhatikan bahwa Persamaan (2.27) adalah solusi dari Persamaan (2.14). Akan dibuktikan bahwa Persamaan (2.27) merupakan solusi Persamaan Laplace (2.13).

Perhatikan bahwa

∂φ

∂x = 1 4π

2(x − ξ) (x − ξ)²+ (y − η)²

∂²φ

∂x² = 1 4π

2((x − ξ)²+ (y − η)²) − 2(x − ξ)2(x − ξ) ((x − ξ)²+ (y − η)²)²

= 1

2π

(y − η)²− (x − ξ)²

((x − ξ)²+ (y − η)²)² (2.28)

∂φ

∂y = 1 4π

2(y − η) (x − ξ)²+ (y − η)²

∂²φ

∂y² = 1 4π

2((x − ξ)²+ (y − η)²) − 2(y − η)2(y − η) ((x − ξ)²+ (y − η)²)²

= 1

2π

(x − ξ)²− (y − η)²

((x − ξ)²+ (y − η)²)² (2.29) Dengan menjumlahkan Persamaan (2.28) dan (2.29) diperoleh

∂²φ

∂x² +∂²φ

∂y² = 0

Jadi terbukti bahwa persamaan (2.27) adalah salah satu solusi Persamaan Laplace (2.13).

2.4. Solusi Persamaan Laplace dengan Metode Elemen Batas

Subbab ini akan membahas tentang bagaimana menyelesaikan Persamaan La- place dua dimensi dengan syarat batas yang diketahui. Persamaan Laplace tersebut memiliki domain R, suatu daerah tertutup dan terbatas oleh kurva sederhana C. Persamaan Laplace dua dimensi dengan syarat batas campuran.

∂²φ(x, y)

∂x² +∂²φ(x, y)

∂y² = 0, (x, y) ∈ R (2.30) dengan syarat batas

φ = f₁(x, y) untuk (x, y) ∈ C₁ (2.31)

∂φ

∂n = f₂(x, y) untuk (x, y) ∈ C₂ (2.32) dimanaC1 danC2 adalah dua buah kurva yang tidak berpotongan sedemikian se- hinggaC₁∪ C₂ = C.

2.4.1. Relasi Reciprocal

Teorema 2.4.1 Jika φ1 dan φ2 adalah sebarang solusi Persamaan Laplace pada domain daerahRdanC adalah himpunan semua titik batas domainR, maka

Z

C

 φ₂∂φ₁

∂n − φ₁∂φ₂

∂n



ds(x, y) = 0 (2.33)

Bukti.

Karenaφ₁danφ₂ adalah solusi Persamaan Laplace maka memenuhi Persama- an (2.30), sehingga

φ₂

∂²φ₁

∂x² +∂²φ₁

∂y²



= 0 (2.34)

φ₁

∂²φ2

∂x² +∂²φ2

∂y²



= 0 (2.35)

Kurangkan Persamaan (2.34) dan (2.35), sehingga diperoleh φ2

∂²φ1

∂x² + ∂²φ1

∂y²



− φ1

∂²φ2

∂x² +∂²φ2

∂y²



= 0

⇔ φ₂∇²φ₁− φ₁∇²φ₂ = 0

Selanjutnya integralkan kedua ruas pada domain R dan gunakan Identitas Kedua Green (2.3.2.)

Z Z

R

φ₂∇²φ₁− φ₁∇²φ₂dxdy = Z Z

R

0 dxdy

⇔ Z

C

 φ₂∂φ₁

∂n − φ₁∂φ₂

∂n



ds = 0

 Persamaan (2.33) disebut sebagai hubungan timbal balik atau relasi reciprocal antara dua Persamaan Laplace dengan domain daerahR yang dibatasi oleh kurva C[1].

2.4.2. Solusi Integral Batas

Misalkan dalam relasi reciprocal Persamaan (2.33) pilih φ₁ = Φ(x, y; ξ, η) dan φ2 = φ(x, y) dengan Φ(x, y; ξ, η) adalah solusi fundamental Persamaan La- place yang diberikan oleh Persamaan (2.27) dan φ(x, y) adalah solusi Persamaan Laplace yang akan dicari pada domainR. Diperoleh relasi reciprocal

Z

C



φ(x, y)∂Φ(x, y; ξ, η)

∂n − Φ(x, y; ξ, η)∂φ(x, y)

∂n



ds(x, y) = 0 (2.36)

dengan(ξ, η) 6= (x, y)

Φ(x, y; ξ, η)tidak terdefinisi pada titik(ξ, η), sehingga Relasi Reciprocal (2.36) benar untukφ₁ = Φ(x, y; ξ, η)danφ₂ = φ(x, y), jika(ξ, η)tidak terletak pada do- mainR ∪ C, atau dapat ditulis

Z

C



φ(x, y)∂Φ(x, y; ξ, η)

∂n − Φ(x, y; ξ, η)∂φ(ξ, η)

∂n



ds(x, y) = 0 (2.37)

jika(ξ, η) /∈ R ∪ C

Tujuan akhir adalah mencari solusi Persamaan Laplace pada domainnya, yaitu R ∪ C. Sedangkan Persamaan (2.36) hanya terdefinisi untuk(ξ, η) /∈ R ∪ C, maka lakukan modifikasi domain jika(ξ, η) ∈ Rdan(ξ, η) ∈ C.

Berikut gambar modifikasi domain jika(ξ, η) ∈ R

Gambar 2.9 Modifikasi Domain (ξ, η) ∈ R

Modifikasi domain yang dilakukan adalah dengan mengisolasi titik(ξ, η)meng- gunakan lingkaranC_ seperti pada gambar (2.9) dan mengambil → 0⁺, sehingga Relasi Reciprocal(2.36) dapat terdefinisi untuk(ξ, η) ∈ R. Diperoleh

lim

→0⁺

Z

C∪C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = 0

⇔ Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds + lim

→0⁺

Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = 0

⇔ Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = − lim

→0⁺

Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds (2.38)

Selanjutnya, akan dievaluasi nilai dari lim

→0⁺

Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds, (ξ, η) ∈ R

dengan mentranformasikan kedalam koordinat kutub. Perhatikan gambar lingkaran C_berikut,

Gambar 2.10 Lingkaran C

Berdasarkan Gambar (2.10) dapat diperoleh

x − ξ =  cos θ, n_x= − cos θ y − η =  sin θ, n_y = − sin θ

Diketahui

Φ = 1

2πlnp

(x − ξ)²+ (y − η)²

, maka Φ = 1

2π ln  (2.39)

∂Φ

∂n = ∂Φ

∂xn_x+ ∂Φ

∂yn_y, maka

∂Φ

∂n = 1

2π

1

p(x − ξ)²+ (y − η)²

2(x − ξ) p(x − ξ)²+ (y − η)²

1 2

! n_x

+ 1

2π

1

p(x − ξ)²+ (y − η)²

2(y − η) p(x − ξ)²+ (y − η)²

1 2

! n_y

= 1

2π

(x − ξ)n_x+ (y − η)n_y (x − ξ)²+ (y − η)²



= 1

2π

 cos θ(− cos θ) +  sin θ(− sin θ)

²

= 1

2π

−(sin²θ + cos²θ)

²

= − 1

2π (2.40)

Diketahui φ analitik disekitar (ξ, η), maka deret Taylor φ dan ^∂φ

∂n disekitar (ξ, η)ada, yaitu

φ(x, y) =

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿφ

∂x^k∂y^n−k    

(x,y)=(ξ,η)

(x − ξ)^k(y − η)^n−k k!(n − k)!

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿφ

∂x^k∂y^n−k    

(x,y)=(ξ,η)

( cos θ)^k( sin θ)^n−k k!(n − k)!

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿφ

∂x^k∂y^n−k    

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ

k!(n − k)! (2.41)

∂φ

∂n =

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂n

∂x^k∂y^n−k

∂φ

∂n

   

(x,y)=(ξ,η)

(x − ξ)^k(y − η)^n−k k!(n − k)!

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂n

∂x^k∂y^n−k

∂φ

∂n

   

(x,y)=(ξ,η)

( cos θ)^k( sin θ)^n−k k!(n − k)!

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂n

∂x^k∂y^n−k

∂φ

∂n

   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ

k!(n − k)! (2.42) Untuk mengubahdsdalam koordinat polar, perhatikan gambar berikut

Gambar 2.11 Koordinat Polar ds

Berdasarkan Gambar (2.11) dapat diperoleh s₁ = θ₁

2π2π = θ₁ s₂ = θ2

2π2π = θ₂

∆s = s₂ − s₁ = (θ₂ − θ₁) = ∆θ

untuk∆s → 0, maka

ds = dθ (2.43)

Berdasarkan Persamaan (2.40), (2.41), dan (2.43) diperoleh Z

C

φ∂Φ

∂nds = − 1 2π

Z 2π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿφ

∂x^k∂y^n−k    

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

= − 1 2π

Z 2π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿφ

∂x^k∂y^n−k    

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

= − 1 2π

Z 2π 0

φ(ξ, η)dθ − 1 2π

Z 2π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿφ

∂x^k∂y^n−k    

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

untuk → 0⁺, diperoleh lim

→0⁺

Z

C

φ∂Φ

∂nds = − 1 2π

Z 2π 0

φ(ξ, η)dθ + 0

= − 1

2πφ(ξ, η)(2π − 0)

= −φ(ξ, η) (2.44)

Berdasarkan Persamaan (2.39), (2.42), dan (2.43) Z

C

Φ∂φ

∂nds = 1 2πln

Z 2π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿ

∂x^k∂y^n−k

∂φ

∂n

   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

= 1

2πln

Z 2π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿ

∂x^k∂y^n−k

∂φ

∂n

   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

= 1

2πln + 1 2πln

Z 2π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿ

∂x^k∂y^n−k

∂φ

∂n

   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ untuk → 0⁺, diperoleh

lim

→0⁺

Z

C

Φ∂φ

∂nds = lim

→0⁺

ln

1

 1 2π

Z 2π 0

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

dθ + 0

= lim

→0⁺−ln

1

² 1 2π

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

!Z 2π 0

1dθ

= − lim

→0⁺ 1 2π

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

!

(2π − 0)

= 0 (2.45)

Selanjutnya, berdasarkan Persamaan (2.38),(2.44) dan (2.45) dapat diperoleh Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = − lim

→0⁺

Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n

 ds

= φ(ξ, η) + 0

= φ(ξ, η) Jadi

Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = φ(ξ, η), (ξ, η) ∈ R (2.46)

Selanjutnya jika(ξ, η) ∈ C, lebih khususnya pada bagian smooth C. Modifi- kasi domain yang dilakukan terlihat pada gambar berikut,

Gambar 2.12 Modifikasi Domain (ξ, η) pada Smooth C

Modifikasi domain yang dilakukan adalah dengan mengisolasi titik(ξ, η)meng- gunakan lingkaranC_ seperti terlihat pada Gambar (2.12) dan mengambil → 0⁺ maka Relasi Reciprocal (2.36) akan terdefinisi untuk(ξ, η)pada bagian smoothC. Diperoleh

lim

→0⁺

Z

D∪D

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = 0

⇔ lim

→0⁺

Z

D

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds + lim

→0⁺

Z

D

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = 0

⇔ Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = − lim

→0⁺

Z

D

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds (2.47)

Selanjutnya akan dievaluasi nilai dari lim

→0⁺

Z

D

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n

 ds

dengan mentransformasikan ke dalam koordinat kutub. Berdasarkan (2.40), (2.41), dan (2.43), diperoleh

Z

D

φ∂Φ

∂nds = − 1 2π

Z π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿφ

∂x^k∂y^n−k   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

= − 1 2π

Z π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿφ

∂x^k∂y^n−k   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

= − 1 2π

Z π 0

φ(ξ, η)dθ − 1 2π

Z π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿφ

∂x^k∂y^n−k   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

untuk → 0⁺, diperoleh lim

→0⁺

Z

D

φ∂Φ

∂nds = − 1 2π

Z π 0

φ(ξ, η)dθ + 0

= − 1

2πφ(ξ, η)(π − 0)

= −1

2φ(ξ, η) (2.48)

Berdasarkan Persamaan (2.39), (2.42), dan (2.43) diperoleh Z

D

Φ∂φ

∂nds = 1 2πln

Z π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿ

∂x^k∂y^n−k

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

= 1

2πln

Z π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿ

∂x^k∂y^n−k

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ

= 1

2πln

Z π 0

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

dθ

+ 1 2πln

Z π 0

∞

X

n=0 n

X

k=0

∂ⁿ

∂x^k∂y^n−k

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

ⁿcos^kθ sin^n−kθ k!(n − k)! dθ untuk → 0⁺, diperoleh

lim

→0⁺

Z

D

Φ∂φ

∂nds = lim

→0⁺

ln

1

 1 2π

Z π 0

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

dθ + 0

= lim

→0⁺− 1

 1

² 1 2π

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

Z π 0

1dθ

= − lim

→0⁺ 1 2π

∂φ

∂n   

(x,y)=(ξ,η)

(π − 0)

= 0 (2.49)

Berdasarkan (2.47), (2.48) dan (2.49) diperoleh Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = − lim

→0⁺

Z

D

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n

 ds

= 1

2φ(ξ, η) + 0

= 1

2φ(ξ, η)

Jadi Z

C

 φ∂Φ

∂n − Φ∂φ

∂n



ds = 1

2φ(ξ, η), (ξ, η)pada bagian Smooth C (2.50) Akhirnya, berdasarkan Persamaan (2.37),(2.46), dan (2.50) diperoleh

λ(ξ, η)φ(ξ, η) = Z

C



φ(x, y)∂Φ(x, y; ξ, η)

∂n − Φ(x, y; ξ, η)∂φ(x, y)

∂n



ds (2.51)

dengan

λ(ξ, η) =















0, jika(ξ, η) /∈ R ∪ C 1

2, jika(ξ, η)pada bagian Smooth C 1, jika(ξ, η) ∈ R

Persamaan (2.51) disebut dengan persamaan integral batas Persamaan Laplace.

2.4.3. Solusi Elemen Batas dengan Elemen Konstan

Persamaan Laplace (2.30) telah dibentuk persamaan integral batasnya yaitu Persamaan (2.51). Selanjutnya, dari Persamaan (2.51) akan dicari nilaiφ(x, y), yai- tu solusi dari Persamaan Laplace (2.30). Tetapi penyelesaian Persamaan (2.51) sulit diselesaikan secara analitik, sehingga diperlukan suatu metode numerik yang akan diturunkan sebagai berikut.

Pertama Diskritisasi batas domain C menggunakan ruas-ruas garis yang ber- hubungan satu sama lain, dengan ujung-ujungnya terletak pada kurva C, seper- ti terlihat pada Gambar (2.13). Misalkan jumlah ruas garisnya N dan diberikan nama C⁽¹⁾, C⁽²⁾, ..., C^{(N )} dengan urutan berlawanan arah jarum jam. Pada setiap C^(k), k = 1, 2, ...N, dipilih titik tengahnya sebagai titik kolokasi (Collocation po- int)dan dinamakan(a^(k), b^(k)).

Gambar 2.13 Diskritisasi Batas Domain