238 SOLUSI ALTERNATIF PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Asli Sirait, M. Natsir, Rolan Pane
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau email: aslisirait@gmail.com
ABSTRAK
Pada makalah ini akan ditunjukkan penyelesaian sistem persamaan diferensial x’ = Ax diformulasikan oleh persamaan
t n t
o o
e n
v v
x P x
t
x( ) eAt Pet 1 c1 1e1 , ,, ,cn , dengan menentukan nilai ( v1 , v2 , …, vn ) yang merupakan eigenvektor yang berkoresponden dengan eigen value λ dari matriks A .Matriks modal P = ( v1 , v2 , …. , vn ) , dipenuhi oleh transformasi bentuk kanonik Jordan P-1AP = J , Untuk nilai eigen berbeda
n
1
2 ...
penyelesaian x! = Ax diberikan oleh
k j 1, j
j o
n
0 k
k
At (A- }
Z dim Z
e ) (
j k
n o
t o
ana I x
e x
t
x k
dan
t
At k
e
e
nk1Zk Beberapa metode alternatif dalam menyelesaikan persamaan x! = Ax antara lain metode Silvester dan metode langsung .Kata kunci : eksponensial matriks, metode Silvester , metode langsung . PENDAHULUAN
Persamaan diferensial yang memuat turunan fungsi satu variabel muncul hampir disetiap cabang matematika , suatu fenomena yang mengekspresikan setiap situasi fisik yang berhubungan dengan kecepatan perubahan satu variabel terhadap variabel lainnya akan menuju ke suatu persamaan diferensial , Sebagai ilustrasi tentang kecepatan perubahan y terhadap x yang sebanding dengan y diformulasikan dalam bentuk persamaan y
dx
dy , yang menghasilkan penyelesaian y = C ex , untuk sembarang konstanta C .
Bentuk umum persamaan differensial linier adalah x’ = Ax atau x t Ax t dengan
t n t
o o
e n
v v
x P x
t
x( ) eAt Pet 1 c1 1e1 , ,, ,cn berupa n-vektor dan A matriks konstan berukuran
n n
denganx 0 x
0.Solusi umum dari persamaan differensial x t Ax t adalah x
t eAtx0, dimana eAtadalah matriks eksponensial yang dapat diekspresikan melalui perluasan fungsi matriks Eksponensial matriks merupakan deret dari fungsi eksponensial yang konstantanya diganti menjadi matriks A berukuran
n n
, sehingga terbentuklah deret matriks A berukurann
n
. Suatu deret matriks dapat diperluas berdasarkan. Teorema Cayley-Hamilton yang menguraikan polynomial nilai eigen dari suatu matriks An n
kedalam bentuk polinomial matriks A nxn .Penelitian ini menelusuri lebih mendalam tentang beberapa metode penyelesaian persamaan x’ = Ax yaitu Metode Sylvester!s dan metode langsung .
239 METODOLOGI
Penelitian ini berbentuk studi literatur dengfan menelusuri beberapa buku teks dan journal terkait untuk menganalisa lebih lanjut tentang penyelesaian persamaan x’ = Ax dengan metode Sylvester!s , metode Putzer!s dan metode langsung dengan pendekatan dan langkah-langkah berikut :
1. Tentukan nilaieigen λ1 , λ2 , …. , λn dari matriks A yang diketahui .
2. Formulasikan
k j 1, j
j o
n
0 k
k
At (A- }
Z dim Z
e ) (
j k
n o
t o
ana I x
e x
t
x k
dan eAt
nk1Zkekt [ Metode Sylvester !s ]3. Rumuskan xo
t k
x k t
0 k
k
e ]
! t I) - I (A
[ )
(
[ Metode Langsung ]
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelusuran literature tentang materi yang berkaitan dengan eksponen matriks memberikan informasi yang diperlukan dalam menganalisa perumusan dari eksponen matriks baik dari segi penelaahan nilai eigen dari matriks A tersebut maupun tinjauan tentang solusi dari sistem persamaan diferensial linier yang dibangun oleh A nxn sebagaii matriks koefisien sistem linier tersebut .
Perumusan tentang eksponensial dari suatu matriks persegi sebelumnya dijabarkan melalui perluasan fungsi matriks A yang mempunyai eigen value λ1 , λ2 , λ3 , …….., λn yang diformulasikan dalam bentuk :
3x3
3 2 3 1 3
2 1
2 1 2 3 2
1 3
1 3 1 2 1
3 2
2x2 2
1 2
2 1
2 1
A matriks untuk
(1) ) ) ( )(
(
) )(
- ) (A ) (
)(
(
) )(
- ) (A ) (
)(
(
} )(
- F(A) (A
A matriks untuk
, ) )F(
(
) - (A } ) ( (
I) - ) (A (
I F A F I
I A F I
I A I
F I A
F
A. Nilai Eigen dan Teorema Cayley-Hamilton
Dibagian ini dijelaskan pengertian nilai eigen dan vektor eigen untuk menjelaskan teorema Cayley-Hamilton.
o Definisi 1 [4].
Skalar λ disebut nilai eigen, bila AX=λx untuk x ≠ 0 dengan matriks A n x n dan X adalah vektor eigen. Selanjutnya dapat dibentuk(λI – A)X = 0 dan det(λI – A) = 0 , dperoleh nilai eigen λ1, λ2,…λn
o Definisi 2 [5].
Jika λ1,λ2,…λn adalah nilai-nilai eigen dari matriks A ordo n x n,maka dapat dibentuk
polinomial nilai eigen P
n cn1
n1 c1
c0 (2)o Teorema 1
Misalkan A matriks n x n dan λ1=λ2=….=λn adalah nilai-nilai eigennya. Dan Jika polynomial nilai eigen matriks A : P(λ) = det (λI – A) = a0+a1λ+a2λ2+…..+an-1λ(n-1)+λn Maka diperoleh P(λ) = a0I+a1A+a2A2+…..+An = 0 (3)
B. Solusi Sistem Persamaan Differensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan
240 Bentuk sistem persamaan differensial linear homogen dengan koefisien konstan dirumuskan :
t x
t x
t x
a a
a
a a a
a
a a
a
t x
t x
t x
n nn n
n
n n n
n
2 1
2 1
3 2 22
21
1 12
11
1 1 2 1 1
(4)
dengan titik awal,
0 0 1 0
, 0 0 1
0 0
0
2 2 2
1 1 1
n xn
x t x
x x x
,
1 0 0
0 0 0
n n
n n
x x x
(5)
Secara singkat persamaan (4) dan (5) dapat ditulis sbb:
X'(t) = AX(t) (6)
dengan nilai awal, X(0) = x0
(7)
Solusi umum persamaan (6) dinyatakan sebagai
t a t a t a t
x
1
1
2
2
n
n a1et a2e2t anent (8) Selanjutnya asumsikan persamaan (8) adalah solusi persamaan linier homogen orde-n dengan koefisien konstan, yaitu : e 1x 1 e1x1e0x0
x n n n (9) dengan syarat , x kk1 1 dan xk i
0 0 , untuk i k1 , 0in1Dari persamaan (9) dapat diketahui terdapat n solusi eksak dan ditulis [2] ,
t t t
S
1,
2, ,
n (10) persamaan (10) adalah suatu basis pada fungsi turunan vektorOleh karena itu , dari persamaan (10) dapat dibentuk matriks yang non singular :
t t
t
t t
t
t t
t B
n n n
n
n n
t
1 1 2 2
2
1 1 1
1
...
...
...
(11)
Suatu bentuk eksponensial matriks adalah sebuah solusi khusus dari sistem persamaan linier homogen pada teorema dibawah ini.
o Teorema 2 Jika A matriks konstan
n n
konstan dengan polynomial karakteristik
P , maka eksponensial matriksnya adalah:
2
3
2
11
n n
At x t I x t A x t A x t A
e (12)
dengan,
241
1 2 1
1 0 2
1
n n n
t t B
t x
t x
t x
B
0 adalah matriks persamaan (10) untuk t 0 danS
1 t , 2 t , ,
n t
merupakan basis solusi sistem persamaan differensial homogen yang persamaan karakteristiknya adalah persamaan karakteristik dari matriks A dengan p 0.
Penelusuran Literature tentang materi yang berjkaitan dengan eksponen matriks memberikan informasi yang diperlukan dalam menganalisa perumusan dari eksponen matriks baik dari segi penelaahan nilai eigen dari matriks A tersebut maupun tinjauan tentang solusi dari sistem persamaan diferensial linier yang dibangun oleh A nxn sebagai matriks koefisien sistem linier tersebut .
Perumusan tentang eksponensial dari suatu matriks persegi sebelumnya dijabarkan melalui perluasan fungsi matriks A yang mempunyai eigen value λ1 , λ2 , λ3 , …….., λn yang diformulasikan dalam bentuk :
eAt
nk1Zkekt dan
k j 1, j
j o
n
0 k
k
At (A- }
Z dim Z
e ) (
j k
n o
t o
ana I x
e x
t
x k
Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada dua metode untuk mendapatkan hasil eksponen matriks persegi berikut ,
Tentukanlah eA , Jika diketahui
Cara (A) :
242
(
Maka nilai Eigennya :
Cara (B) :
243 Jadi dapat disimpulkan dengan menggunakan dua cara A dan B diatas menghasilkan yang sama.
244
Sebagai ilustrasi tambahan untuk solusi sistem x! = Ax dapat dilihat pada contoh berikut Selesaikan persamaan x! = Ax , dengan A =
2
x 1 , 3 2
1 0
o
Diperoleh c(λ) = det (A – λI) = 0 . menghasilkan λ = { -1 , -2 }
Maka
4
4 2 1 1 - 2 -
1 2
Z
; 1 - 2 -
1 2
- - A
1
2 1
2
1 I xo
Z
6
3 - 2 1 2 2
1 - 1 - Z
; 2 2
1 1 - - - A
2
1 2
1
2 I xo
Z
Sehingga penyelesaian dari persamaan x’ = Ax adalah
6
3 e - 4 e 4 x e e
Z
)
( -t 1 -2t 2 o -t -2t
2
1 k
ke x Z x Z
t
x kt o o
Jika dibandingkan dengan cara biasa , dari nilaieigen λ = { -1 , -2 } diperoleh matriks P yang dibentuk oleh eigenvektor [v1 , v2] ,
sehingga P = [v1 , v2] =
1 2 1
1 , P-1 xo =
-3
4 2 1 2 1
1
1 ,
diperoleh hubungan Z1xo = c1v1 dan Z2xo = c2v2 Jadi solusi persamaan
-t -2t
2 1
t e
2 - 3 1 - 1 e - 4 1 3 4 0
0 2
- 1 -
1 1
Pe
)
(
o t t
e x e
P t
x
Untuk metode langsung , solusi persamaan x! = Ax adalah x(t) = e At xo = e(A-λI)t eλIt xo = e(A-λI)t eλt xo
= t xo
I A t I A
I t
2
2 ...] e
! ) 2 (
) (
[
xo
t k
x k t
0 k
k
e ]
! t I) - I (A
[ )
(
KESIMPULAN
Dari hasil penelitian dalam bentuk penelusuran penyelesaian persamaan x! = Ax dapat ditarik beberapa kesimpulan :
1. Dengan menggunakan Metode Sylvester!s diperoleh perumusan yang lebih efiisien 2. Dengan menggunakan Metode langsung diperoleh hasil eksak dengan menggunakan
definisi eAt
3. Dengan membandingkan metode Sylvester!s dan metode Langsung terdapat hubungan
Z1xo = c1v1 dan Z2xo = c2v2
245 DAFTAR PUSTAKA
Aston,H,& C. Rorres , 1984 , Elementary Linear Algebra with Applications , J, Wiley &
Sons , New York
Coddington , E,A , & Levinson , 1955 , Theory of Ordinary Differential Equations . Mc Graw- Hill , New York .
Jack,L.G.1991.Matrix theory with application. Mc Graw Hill,New York Liz, E. 1998., A Note on the matrix exponential. SIAM Rev., 40 : 700–702 Leonard, I.E.1996., The matrix exponential. SIAM Rev., 38 : 507–512.
Piere N,V. Tu , 1994 , Dynamical Systems , Springer Verlag , New York .
