RENTANG NUMERIK UNTUK FUNGSI EKSPONENSIAL MATRIKS

260 RENTANG NUMERIK UNTUK FUNGSI EKSPONENSIAL MATRIKS

M.Natsir, Musraini

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Email: natsir100@gmail.com

ABSTRAK

Suatu eksponensial matriks A dirielkan dalam bentuk

dan rentang numerik dari didefinisikan dengan

ada makalah ini dianalisis sifat-sifat dasar dari , serta

analisis kasus untuk A Hermitian dan Skew Hermitian

Kata kunci : fungsi eksponensial matriks , rentang numerik PENDAHULUAN.

Eksponensial matriks merupakan deret dari fungsi eksponensial yang konstantanya diganti menjadi matriks A berukuran

n



n

, sehingga terbentuklah deret matriks A berukuran

n

n



.

Suatu deret matriks dapat diperluas berdasarkan. Teorema Cayley-Hamilton yang menguraikan polynomial nilai eigen dari suatu matriks A kedalam bentuk polinomial matriks A nxn .

Rentang numerik dari suatu matriks secara umum telah menjadi topik penelitian yang luas selama setiap dekade yang mengungkapkan banyak informasi tentang matriks. Rentang numerik dari matriks adalah himpunan kompak dan konvex

dengan menunjukkan norm spektral matriks Definisi untuk dianalisis di [9] dengan memuat semua nilai eigen dari .

Rentang numerik dari polinomial matriks dibahas secara ekstensif di [8] ,

Jika adalah matriks polinomial, maka

rentang numerik dari didefinisikan sebagai

Untuk analisis fungsi dari matriks difokuskan pada fungsi eksponensial , di mana dan

Untuk , eksponensial dari didefinisikan sebagai

Penelitian ini bersifat studi literatur dengan menelusuri lebih mendalam dari hasil penelitian Christos Chorianopoulos dan Chun Hua Guo (2016) tentang Rentang Numerik

261 Untuk Fungsi Eksponensial Matriks dan beberapa artikel lainnya yang terkait dengan fungsi eksponensial matriks dan rentang numerik .

KAJIAN LITERATUR DAN MATERI PENDUKUNG

Dibagian ini dijelaskan pengertian nilai eigen dan vektor eigen untuk menjelaskan teorema Cayley-Hamilton.

Definisi 1 [5].

Skalar λ disebut nilai eigen, bila AX=λx untuk x ≠ 0 dengan matriks A n x n dan X adalah vektor eigen. Selanjutnya dapat dibentuk

(λI – A)X = 0 dan det (λI – A) = 0 , dperoleh nilai eigen λ1, λ2,…λn (1)

Definisi 2 [5].

Jika λ1,λ2,…λn adalah nilai-nilai eigen dari matriks A ordo n x n,maka dapat dibentuk polinomial nilai eigen,

 

1 0 1 1 c c c P n n n            (2) Teorema 1 [5]

Misalkan A matriks n x n dan λ1=λ2=….=λn adalah nilai-nilai eigennya. Dan Jika polynomial

nilai eigen matriks A : P(λ) = det (λI – A) = a0+a1λ+a2λ2+…..+an-1λ(n-1)+λn Maka diperoleh P(λ) = a0I+a1A+a2A2+…..+An = 0 (3)

Teorema 2 [8]

Jika A matriks konstan nn konstan dengan polynomial karakteristik P

 

 , maka eksponensial matriksnya adalah:

 

 

 

 

 1 2 3 2 1       n n At A t x A t x A t x I t x e  dengan,

 

 

 

 

 

                            1 2 1 1 0 2 1 n n n t t B t x t x t x







  0

B adalah matriks untuk t 0 dan S





₁

   

t ,



₂ t ,,



_n

 

t



merupakan basis solusi sistem persamaan differensial homogen yang persamaan karakteristiknya adalah persamaan karakteristik dari matriks A dengan p

 

 0. Penelusuran Literature tentang materi yang berkaitan dengan eksponen matriks memberikan informasi yang diperlukan dalam menganalisis perumusan dari eksponen matriks baik dari segi penelaahan nilai eigen dari matriks A tersebut maupun tinjauan tentang solusi dari sistem persamaan diferensial linier yang dibangun oleh A nxn sebagai matriks koefisien sistem linier tersebut

METODOLOGI

Penelitian ini berbentuk studi literatur dengan menelusuri beberapa buku teks dan journal terkait untuk menganalisa lebih lanjut tentang penyelesaian persamaan eksponensial dan rentang numerik dari suatu matriks dengan pendekatan dan langkah-langkah berikut :

262 A. Tentukan nilaieigen λ1 , λ2 , …. , λn dari matriks A yang diketahui .

B. Formulasikan





       k j 1, j j o n 0 k k At } -(A Z Z e ) ( j k n o t o I dengan x e x t x k     dan_eAt



_ekt   n 1 k Zk C. Rumuskan o x k t x k t 0 k k e ] t ! I) -(A I [ ) (



     

Perumusan tentang eksponensial dari suatu matriks persegi dijabarkan melalui perluasan fungsi matriks A yang mempunyai eigen value λ1 , λ2 , λ3 , …….., λn yang diformulasikan dalam bentuk : 3x3 3 2 3 1 3 2 1 2 1 2 3 2 1 3 1 3 1 2 1 3 2 2x2 2 1 2 2 1 2 1 A matriks untuk ) ( ) )( ( ) )( -(A ) ( ) )( ( ) )( -(A ) ( ) )( ( } )( -(A F(A) A matriks untuk , ) F( ) ( ) -(A } ( ) ( I) -(A ) (                              F I A I F I A I f I A I I F A F                

D. Telaah Sifat – Sifat .

HASIL DAN PEMBAHASAN Eksponensial Matriks

Perumusan tentang eksponensial dari suatu matriks persegi sebelumnya dijabarkan melalui perluasan fungsi matriks A yang mempunyai eigen value λ1 , λ2 , λ3 , …….., λn yang diformulasikan dalam bentuk :

t At _e k e 



n_  1 k Zk dan





       k j 1, j j o n 0 k k At } -(A Z Z e ) ( j k n o t o I dengan x e x t x k    

Sebagai ilustrasi , Selesaikan persamaan x! = Ax , dengan A = _               2 1 x , 3 2 1 0 o

263 Diperoleh c(λ) = det (A – λI) = 0 . menghasilkan λ = { -1 , -2 }

Maka                              4 4 2 1 1 -2 -1 2 Z ; 1 -2 -1 2 -A 1 2 1 2 1 o x I Z                                 6 3 2 1 2 2 1 -1 Z ; 2 2 1 1 -A 2 1 2 1 2 o x I Z   

Sehingga penyelesaian dari persamaan x’ = Ax adalah                  



 6 3 -e 4 4 e x e e Z ) ( 2t -t -o 2 2t -1 t -2 1 k ke x Z x Z t x kt _{o o}

Jika dibandingkan dengan cara biasa , dari nilaieigen λ = { -1 , -2 } diperoleh matriks P yang dibentuk oleh eigenvektor [v1 , v2] ,

sehingga P = [v1 , v2] =        1 2 1 1 , P-1 xo =                      -3 4 2 1 2 1 1 1 , diperoleh hubungan Z1xo = c1v1 dan Z2xo = c2v2

Jadi solusi persamaan

2t -t -2 1 t e 2 -1 3 e 1 -1 4 3 4 0 0 2 -1 -1 1 Pe ) (                                       t t o e e x P t x

264 dengan menunjukkan norm spektral matriks Definisi untuk dianalisis di [11] serta memuat semua nilai eigen dari . Rentang numerik dari polinomial matriks dibahas secara intensif di [4]

Jika adalah matriks polinomial, maka

rentang numerik dari didefinisikan sebagai

Untuk analisis fungsi dari matriks difokuskan pada fungsi eksponensial , di mana dan

Untuk , eksponensial dari didefinisikan sebagai

RENTANG NUMERIK .

Rentang Numerik pada operator T merupakan himpunan bagian dari bilangan kompleks C yang didefinisikan dalam bentuk :

Sifat-sifat dari W(T) memenuhi :

) = {

Sebagai ilustrasi , Misalkan matriks A ditransformasi : yang direpresentasikan oleh

,

Dan misalkan (f,g) merupakan vektor satuan dalam

Diperoleh : Dan + = x + iy y = , Diperoleh persamaan : , dengan Yang merupakan himpunan lingkaran

Bentuk persamaan :

265 Diferensialkan ke w,r,t , , diperoleh :

Dengan mengeliminasi kedua persamaan diperoleh :

Yang merupakan ellips dengan pusat 0 , sumbu minor b dan sumbu may or

Perumusan tentang rentang numerik matriks eksponensial ditelaah berdasarkan difinisi berikut :

Untuk suatu , misalkan

, rentang numerik didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 3 [2]

Rentang numerikal dari adalah

dan memenuhi :

Teorema 3.

Misalkan .maka tidak kosong jika dan hanya jika A bukan matriks skalar.

Bukti.

Jika adalah matriks skalar , maka

adalah kosong karena dan jelas .

Misalkan bukan matriks skalar,Akan dutunjukkan tidak kosong dengan induksi pada ukuran dari .

Ambil suatu matriks unitary sedemikian hingga dan adalah matriks segitiga

atas. Diperoleh , sedemikian hingga untuk setiap .

Oleh karena itu . Sehingga A merupakan matriks segitiga atas. Misalkan A matriks kompleks 2 × 2

. diperoleh dengan maka

.

Jika A memiliki dua nilai eigen yang berbeda maka adalah konvex untuk semua , itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa selalu ada kompleks yang menghubungkan

266 segmen garis dan melalui titik 0 atau dengan kata lain untuk suatu

sedemikian hingga maka

Atau , sehingga , di mana . Oleh karena

itu, dapat dipilih t sehingga

Jika , maka

. Jadi, jika dan hanya jika . Oleh karena itu }.

Misalkan untuk setiap matriks segitiga atas A berukuran k x k A, dengan

. Jadi terdapat sedemikian hingga untuk suatu .

Untuk setiap matriks segitiga atas , Terdapat tiga kemungkinan:

atau

dimana dan matriks segitiga atas berukuran .

 Sifat – Sifat

Misalkan . Rentang numerik dari A didefinisikan dengan

Teorema 4.

Misalkan .

.

. Misalkan

Kelas khusus dari matriks

Sifat dan karakteristik menggambarkan interaksi antara sifat-sifat geometris dari dan sifat-sifat aljabar .[11]

Teorema 5.

Misalkan .

jika dan hanya jika .

jika dan hanya jika .

adalah definit positif jika dan hanya jika . adalah semidefinite positif jika dan hanya jika .

267 Rentang numerik dari matriks Hermitian H adalah interval tertutup pada sumbu real, yang titik akhir dibentuk oleh eigen ekstrim .

karena . misalkan menjadi vektor dengan komponen riel

dengan . Maka mengasumsikan nilai eigen

ekstrim dari matriks diagonal hanya untuk vektor eigen

sembarang Unitary U dari persamaan yang ekuivalen

Nilai eigen ekstrim diasumsikan hanya untuk vektor eigen dalam fungsi .

Untuk setiap matriks kompleks dapat dibagi menjadi dua komponen sehingga

dimana dan adalah matriks Hermitian yang berhubungan dengan :

Dari ini diperoleh

dimana dan adalah komponen riel untuk setiap vektor . Teorema 6. Misalkan bukan matriks skalar dan

maka (6)

Bukti.

Karena ,

. Untuk diperoleh . .

Karena , Untuk setiap ..

Oleh karena itu

Diperoleh hubungan

di mana adalah matriks persegi dengan ukuran yang sama. Untuk dan

ketaksamaan menjadi

Menggabungkan ketaksamaan(7) dan (8) diperoleh atau

268 KESIMPULAN

Dari hasil penelitian ini diperoleh kesimpulan Fungsi eksponensial matriks diperoleh dari Solusi persamaan

x! = Ax dalam bentuk x(t) = e At xo = e(A-λI)t eλIt xo = e(A-λI)t eλt xo

= xo t I A t I A I t 2 2 e ...] ! 2 ) ( ) ( [       o x k t x k t 0 k k e ] t ! I) -(A I [ ) (



     

Suatu rentang numerik dari operator T yang merupakan subset dari bilangan kompleks C

dalam bentuk : =1 } diperoleh hubungan

Untuk suatu matriks Hermitian H , maka

merupakan eigen value terkecil dan terbesar dari Matriks H

dan jika Maka v merupakan egenvektor yang berkoresponden

dengan

DAFTAR PUSTAKA

Beckermann and L. Reichel. Error estimates and evaluation of matrix functions via the Faber

transform. SIAM Journal on Numerical Analysis, 47:3849–3883, 2009.

Choi and C.-K. Li. Numerical ranges of the powers of an operator. Journal of Mathe-matical Analysis and Applications, 365:458–466, 2010.

Chorianopoulos, P. Psarrakos, and F. Uhlig. A method for the inverse numerical range problem. Electronic Journal of Linear Algebra, 20:198–206, 2010.

Diogo. Algebraic , Properties of the set of operators with 0 in the closure of the numerical range. Operators and Matrices, 9:83–93, 2015.

Higham.NJ , Functions of Matrices. SIAM, Philadelphia, 2008.

Horn R.A and C.R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cam-bridge, 1991.

Jack,L.G..Matrix , Theory with application. Mc Graw Hill,New York , 1991 Liz,E., A Note on the matrix exponential. SIAM Rev., 40 : 700–702 , 1998. Leonard, I.E.., The matrix exponential. SIAM Rev., 38 : 507–512. 1996

269

Lancaster,P and P. Psarrakos. Normal and seminormal eigenvalues of matrix functions. Integral Equations Operator Theory, 41:331–342, 2001.

Li , C K and L. Rodman. Numerical range of matrix polynomials. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 15:1256–1265, 1994.

J.G. Stampfli and J.P. Williams. Growth conditions and the numerical range in a Banach algebra. The Tohoku Mathematical Journal, 20:417–424, 1968.