TUGAS AKHIR – SM141501
OPTIMASI PERTUMBUHAN MIKROALGA DENGAN PENGATURAN INTENSITAS CAHAYA MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN
RIZKY NUR ARDIANSYAH NRP 06111440000044
Dosen Pembimbing : Dr. Dra. Mardlijah, MT Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
DEPARTEMEN MATEMATIKA
Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2018
FINAL PROJECT – SM141501
OPTIMIZATION OF MICROALGAE GROWTH WITH ARRANGEMENT OF LIGHT INTENSITY BY PONTRYAGIN MINIMUM PRINCIPLE
RIZKY NUR ARDIANSYAH NRP 06111440000044
Supervisor :
Dr. Dra. Mardlijah, MT Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Faculty of Mathematics, Computing, and Data Sciences Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2018
v
OPTIMASI PERTUMBUHAN MIKROALGA DENGAN PENGATURAN INTENSITAS CAHAYA MENGGUNAKAN
METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN
Nama : Rizky Nur Ardiansyah NRP : 06111440000044 Departemen : Matematika
Pembimbing : Dr. Dra. Mardlijah, MT : Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
ABSTRAK
Mikroalga adalah mikroorganisme uniseluler yang memiliki potensi besar sebagai produsen biomassa di masa depan, karena mampu mengandung lipid dalam jumlah yang tinggi walaupun dengan kondisi kekurangan nitrogen sekaligus mengonsumsi CO2 industri. Pertumbuhan mikroalga sangat berperan penting dalam produksi biomassa yang lebih banyak.
Intensitas cahaya adalah salah satu faktor yang mempengaruhi pertumbuhannya sehingga dapat diatur intensitas cahaya yang masuk untuk memaksimalkan hasil biomassa. Kemudian dilakukan pengendalian optimal pada intensitas cahaya menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin. Dalam Tugas Akhir ini menunjukkan peningkatan jumlah biomassa dalam waktu 2 pada kondisi awal ( ) ( ) dengan proporsi dan kondisi awal ( ) ( ) dengan proporsi . Dari hasil simulasi diperoleh jumlah biomassa meningkat dua kali lipat dari kondisi awalnya.
Kata kunci : Mikroalga, Biomassa, Intensitas Cahaya, Prinsip Minimum Pontryagin
vi
vii
OPTIMIZATION OF MICROALGAE GROWTH WITH ARRANGEMENT OF LIGHT INTENSITY BY PONTRYAGIN
MINIMUM PRINCIPLE Name : Rizky Nur Ardiansyah NRP : 06111440000044 Department : Mathematics
Supervisor : Dr. Dra. Mardlijah, MT : Drs. Lukman Hanafi, M.Sc
ABSTRACT
Microalgae are unicellular microorganisms that have great potential as future biomass producers, being able to contain high amounts of lipids despite the nitrogen deficiency conditions while consuming industrial CO2. The growth of microalgae an important role in the production of more biomass. The intensity of light is one of the factors that influence its growth so that it can be adjusted incoming light intensity to maximize biomass yield. Then performed optimal control on the light intensity using the Pontryagin Minimum Principle. In this Final Project shows an increase in the number of biomass within 2 with the initial conditions ( ) ( ) with the proportion and the initial conditions ( ) ( ) with the proportion of . From the simulation results obtained the amount of biomass doubled from the initial conditions
Keywords: Microalgae, Biomass, Light Intensity, Pontryagin Minimum Principle
viii
ix
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr Wb.
Alhamdulillaahirrobbil'alamin, segala puji hanya milik Allah yang memiliki apa yang ada di langit dan di bumi. Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu, dan sesungguhnya Allah ilmuNya benar-benar meliputi segala sesuatu. Dan karena limpahan kasih sayang, karunia, petunjuk serta bimbingan-Nya penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik yang berjudul :
“OPTIMASI PERTUMBUHAN MIKROALGA DENGAN PENGATURAN INTENSITAS CAHAYA MENGGUNAKAN
METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN”
sebagai salah satu syarat kelulusan menempuh Program Sarjana Departemen Matematika FMKSD ITS Surabaya.
Penulisan Tugas Akhir ini tidak akan terselesaikan dengan baik tanpa adanya bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Suatu kebahagiaan dan kewajiban bagi penulis untuk menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan mendukung atas terselesainya Tugas Akhir :
1. Orang tua dan keluarga besar yang selalu mendoakan dan memberikan motivasi kepada penulis.
2. Bapak Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Kepala Departemen Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
3. Ibu Dr. Dra. Mardlijah MT dan Bapak Drs. Lukman Hanafi, M.Sc selaku pembimbing Tugas Akhir yang telah banyak mengarahkan dan memberikan masukan serta motivasi sehingga Tugas Akhir ini dapat terselesaikan.
x
dosen penguji Tugas Akhir, atas semua saran dan masukan yang diberikan kepada penulis.
5. Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp. selaku dosen wali yang memberikan arahan dan masukan selama penulis menempuh perkuliahan di Departemen Matematika ITS.
6. Bapak Ibu dosen, seluruh staf Tata Usaha, dan asisten laboratorium Departemen Matematika ITS.
7. Mahendra, Zainal, Hamim selaku sahabat dan David selaku adik dari penulis yang selalu memberi bantuan dan motivasi dalam mengerjakan Tugas Akhir.
8. Teman-teman angkatan 2014 yang telah berjuang bersama- sama dan saling mendukung untuk menyelesaikan Tugas Akhir.
9. Keluarga besar HIMATIKA ITS dan Ibnu Muqlah atas kerja samanya selama penulis menempuh perkuliahan.
10. Seluruh pihak yang terkait yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang secara tidak langsung telah membantu penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir.
Penulis menyadari sepenuhnya dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, kesalahan dan masih jauh dari sempurna, sehingga segala saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat diharapkan oleh penulis. Akhirnya, penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat untuk semua.
Wassalamu’alaikum Wr Wb.
Surabaya, 07 Agustus 2018 Penulis
xi DAFTAR ISI
Hal
HALAMAN JUDUL ... i
LEMBAR PENGESAHAN ... Error! Bookmark not defined ABSTRAK ... v
ABSTRACT ... vii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xiii
DAFTAR TABEL ... xv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 4
1.3 Batasan Masalah ... 4
1.4 Tujuan ... 4
1.5 Manfaat ... 5
1.6 Sistematika Penulisan ... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 7
2.1 Penelitian Terdahulu... 7
2.2 Mikroalga ... 8
2.3 Model Droop ... 10
2.4 Menambahkan efek cahaya pada mikroalga ... 11
2.5 Respirasi ... 12
2.6 Titik Setimbang ... 13
2.7 Analisis Kestabilan Lokal ... 14
2.8 Kriteria Routh-Hurwitz ... 18
2.9 Analisis Keterkontrolan ... 19
2.10 Prinsip Minimum Pontryagin ... 19
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 21
1. Studi Literatur ... 21
xii
3. Menentukan Keterkontrolan Sistem ... 21
4. Desain Kontrol ... 21
5. Penyelesaian Kontrol ... 22
6. Simulasi dan Analisis Hasil Simulasi ... 22
7. Penarikan Kesimpulan dan Pemberian Saran ... 22
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ... 25
4.1 Analisis Dinamik pada Model Pertumbuhan Alga ... 25
4.1.1 Menentukan Titik Setimbang ... 26
4.1.2 Analisis Kestabilan ... 29
4.1.3 Analisis Keterkontrolan ... 35
4.2 Penyelesaian dengan Kendali Optimal ... 37
4.3 Simulasi dan Analisis ... 45
4.3.1 Hasil Simulasi Sebelum Diberi Kendali Optimal .. 46
4.3.2 Hasil Simulasi Setelah Diberi Kendali Optimal .... 49
BAB V PENUTUP ... 53
5.1 Kesimpulan ... 53
5.2 Saran ... 53
DAFTAR PUSTAKA ... 55
LAMPIRAN 1 ... 59
LAMPIRAN 2 ... 63
BIODATA PENULIS ... 67
xiii
DAFTAR GAMBAR
Hal Gambar 2.1 Diagram Kompartemen Model Droop ... 11 Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian ... 23 Gambar 4.1 Flow Chart Simulasi ... 45 Gambar 4.2 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal ( ) ( ) ... 46 Gambar 4.3 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal ( ) ( ) ... 47 Gambar 4.4 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal ( ) ( ) ... 48 Gambar 4.5 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal ( ) ( ) ... 49 Gambar 4.6 Simulasi model pertumbuhan alga dengan kondisi awal ( ) ( ) ... 50 Gambar 4.7 Simulasi Tingkat Intensitas Cahaya ... 51
xiv
xv
DAFTAR TABEL
Hal Tabel 2.1 Tabel Kandungan Minyak Mikroalga ... 9 Tabel 2.2 Tabel Nilai Parameter ... 13
xvi
1 BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang dari permasalahan yang dibahas pada tugas akhir ini, rumusan masalah yang muncul akibat latar belakang, batasan masalah, tujuan, manfaat dan sistematika penulisan yang diuraikan pada bagian akhir bab ini.
1.1 Latar Belakang
Kondisi krisis energi di Indonesia diperkirakan segera tiba, khususnya energi bahan bakar fosil (premium, solar, pertalite, pertamax). Hal ini tidak terlepas dikarenakan Indonesia merupakan negara pengguna bahan bakar fosil dengan tingkat konsumsi yang sangat tinggi. Jumlah produksi bahan bakar fosil yang mampu dihasilkan Indonesia tidak sebanding dengan tingkat konsumsinya. Hal ini dapat dilihat dari aktivitas sehari-hari yang tidak terlepas dari penggunaaan bahan bakar fosil baik untuk keperluan industri, transportasi, dan rumah tangga. Sedangkan perbandingan penemuan sumur minyak baru dengan sumur minyak yang di eksploitasi tidak seimbang. Penggunaan bahan bakar fosil juga mengakibatkan emisi gas rumah kaca dan produksi CO2 yang dapat memicu perubahan iklim secara drastis sehingga diperlukan penanganan yang serius dalam menghadapi beberapa masalah tersebut.
Salah satu upaya untuk menangani permasalahan emisi gas CO2 adalah menangkap CO2 dan mengurangi pemakaian bahan bakar fosil. Penelitian yang sedang dilakukan di dunia maupun di Indonesia adalah mengurangi pemakaian bahan bakar fosil dengan cara mengembangkan energi alternatif terbarukan yang lebih ramah lingkungan. Namun yang perlu menjadi perhatian khusus dalam pengembangannya adalah biomassa karena biomassa lebih ramah lingkungan dibandingkan dengan bahan bakar fosil.
Biomassa bisa didapat dari tanaman yang mengandung minyak seperti kelapa sawit, jarak pagar, singkong, kedelai, sagu, dan tebu. Namun hal ini menyebabkan masalah baru karena beberapa tanaman tersebut adalah bahan pangan dan membutuhkan lahan yang luas untuk membudidayakan tanaman-tanaman tersebut sehingga dapat dipastikan akan terjadi kenaikan harga pangan. Oleh karena itu diperlukan solusi untuk mengatasi masalah tersebut.
Mikroalga adalah tumbuhan yang tidak membutuhkan lahan luas dalam budidayanya dan bukan merupakan bahan pangan sehingga mikroalga dianggap solusi yang tepat menjadi bahan baku penghasil biomassa. Mikroalga mampu tumbuh lebih cepat di perairan yang tidak terlalu luas dan dapat menggunakan air laut atau air limbah. Pertumbuhan mikroalga menjadi dua kali lipat lebih banyak dalam waktu 24 jam, selain itu kadar lemak yang dihasilkan memiliki konsentrasi yang cukup tinggi yaitu 77% dari berat kering [1].
Mikroalga mampu berfotosintesis dan mereduksi karbondioksida yang ada di alam sehingga dapat mengurangi dampak pemanasan global akibat karbondioksida buangan dari industri-industri. Mikroalga juga mempunyai kandungan protein yang sangat tinggi sehingga dikenal juga dengan nama single cell protein (SCP). Beberapa mikroalga telah dikonsumsi sebagai obat-obatan dan makanan kesehatan.
Selain itu juga dapat digunakan sebagai bahan kosmetik dan lain-lain.
Kultivasi merupakan teknik menumbuhkan mikroalga dalam lingkungan tertentu yang terkontrol. Kultivasi bertujuan untuk menyediakan spesies tunggal pada kultur masal mikroalga untuk tahap pemanenan. Teknik budidaya mikroalga yang sering digunakan adalah Open Raceaway Ponds dan Fotobioreaktor. Open Raceaway Ponds adalah sistem tertua dan paling sederhana. Nutrisi ditambahkan di depan paddlewheel dan setelah beredar melalui loop-loop mikroalga tersebut dapat dipanen di bagian belakang
3
paddlewheel. Biaya operasional sistem ini lebih rendah dibandingkan fotobioreaktor namun dapat mengalami evaporasi akut dan penggunaan CO2 tidak efisien karena sistem ini adalah sistem kolam terbuka. Sedangkan teknik fotobioreaktor mampu mengatasi evaporasi pada sistem Open Raceaway Ponds. Teknik fotobioreaktor sendiri terbagi menjadi dua yaitu flat plate dan tubular. Fotobioreaktor tubular lebih cocok untuk diluar lapangan karena luasnya permukaan untuk proses iluminasi. Fotobioreaktor flat plate lebih sering digunakan karena meratakan intensitas penyinaran sehingga sel yang dihasilkan memiliki densitas yang lebih tinggi [1].
Dalam Tugas Akhir ini akan digunakan model Droop untuk pertumbuhan mikroalga. Penelitian yang dilakukan M.R.
Droop bagian tubuh mikroalga dibagi menjadi tiga bagian yakni Nutrisi (S), Cell Quota (Q) dan Biomassa (X). Kemudian dilakukan modifikasi model oleh Bernard dkk [2] yang memperhitungkan adanya parameter cahaya sebagai salah satu faktor yang mempengaruhi pertumbuhan mikroalga. Adanya parameter cahaya mendukung penelitian ini sehingga model yang telah dimodifikasi oleh Bernard dkk [2] dapat digunakan sebagai penelitian ini. Pertumbuhan mikroalga dipengaruhi oleh beberapa faktor, yaitu temperatur, intensitas cahaya, nutrisi, karbondioksida, derajat keasaman, dan salinitas. Disini penulis akan melakukan kontrol yang optimal pada intensitas cahaya menggunakan Metode Prinsip Minimum Pontryagin untuk memaksimalkan pertumbuhan mikroalga sehingga mampu menghasilkan biomassa yang maksimal kemudian akan dilakukan simulasi menggunakan software MATLAB.
Dalam hasil simulasi akan dilakukan perbandingan antara hasil biomassa sebelum dilakukan kontrol dan setelah dilakukan kontrol.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang harus dijawab pada tugas akhir ini adalah :
1. Analisis kestabilan dan keterkontrolan sistem dari pertumbuhan mikroalga menggunakan model Droop 2. Menentukan intensitas cahaya yang optimal untuk
pertumbuhan mikroalga sehingga produksi biomassa dapat maksimal.
3. Bagaimana pengaruh intensitas cahaya terhadap produksi biomassa sebelum dan sesudah dilakukan kendali optimal.
1.3 Batasan Masalah
Batasan dalam penulisan Tugas Akhir ini adalah:
1. Pertumbuhan Mikroalga dengan model Droop.
2. Pertumbuhan mikroalga selalu ada.
3. Proses pengembangan mikroalga di suatu tempat tertutup (fotobioreaktor) sehingga tingkat intensitas cahaya yang masuk dapat diatur.
1.4 Tujuan
Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut : 1. Mengetahui sifat-sifat sistem dari model Droop.
2. Mengetahui intensitas cahaya yang optimal untuk pertumbuhan mikroalga sehingga produksi biomassa dapat maksimal.
3. Mengetahui pengaruh intensitas cahaya terhadap produksi biomassa sebelum dan sesudah dilakukan kendali optimal.
5
1.8 Manfaat
Manfaat yang didapat dari Tugas Akhir ini adalah:
1. Memberikan informasi mengenai intensitas cahaya yang optimal sehingga pertumbuhan mikroalga dapat maksimal dan memperoleh produksi biomassa yang melimpah.
2. Memberikan pelajaran mengenai penerapan kendali optimal dan sebagai referensi untuk penelitian selanjutnya.
1.9 Sistematika Penulisan
Penulisan Ilmiah Matematika ini terdiri dari empat bab yaitu:
1. Bab I Pendahuluan
Bab ini berisi tentang gambaran umum dari Penulisan Ilmiah Matematika yang meliputi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan.
2. Bab II Tinjauan Pustaka
Pada bab ini akan diuraikan mengenai mikroalga dan Model Droop. Selain itu, bab ini juga berisikan materi- materi antara lain, Titik Setimbang, Kestabilan lokal, dan prinsip Minimum Pontryagin.
3. Bab III Metodologi Penelitian
Pada bab ini akan dijelaskan tahapan-tahapan dalam mengerjakan Tugas Penulisan Ilmiah Matematika ini.
Tahapan-tahapan tersebut antara lain, studi literatur, mencari titik setimbang dan menganalisa kestabilan sistem di sekitar titik setimbang, desain kontrol, dan penyelesaian kontrol. Selanjutnya dilakukan simulasi dan analisis terhadap hasil yang didapat. Tahap terakhir adalah penarikan kesimpulan dari hasil pembahasan dan analisis yang dilakukan.
4. Bab IV Analisis dan Pembahasan
Pada bab ini akan dibahas mengenai formulasi dan penyelesaian kendali optimal pada model pertumbuhan alga melalui pengaturan intensitas cahaya serta penjelasan mengenai hasil simulasi yang diperoleh.
5. Bab V Penutup
Bab ini menjelaskan kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan dan saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.
7 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai penelitian terdahulu, mikroalga, model Droop, titik setimbang, analisis kestabilan, analisis keterkontrolan, dan Prinsip Minimum Pontryagin.
2.1 Penelitian terdahulu
Sebelumnya telah dilakukan banyak penelitian mengenai mikroalga, hal ini dilakukan mengingat kandungan lipid yang sangat tinggi pada mikroalga. Penelitian-penelitian pada mikroalga salah satunya dilakukan oleh M. Virama Hadi Cahyono pada tahun 2015 yaitu analisis model matematika untuk pertumbuhan mikroalga terhadap keterbatasan nutrisi, sebagai solusi dari keterbatasan nutrisi tersebut dilakukan pengenceran nutrisi yang kecil dan intensitas cahaya yang besar [3]. Kemudian pada tahun 2015 dilakukan penelitian oleh Mardlijah & Izzati yang membahas mengenai model pertumbuhan alga pada bioreactor fed-batch dan strategi pemberian makan yang optimal menggunakan metode Prinsip Minimum Pontryagin [4].
Sedangkan penelitian untuk kendali optimal khususnya kendali optimal yang bertujuan meningkatkan produksi biomassa juga sering dilakukan. Salah satu contohnya adalah kendali optimal untuk memaksimalkan hasil biomassa dengan pengenceran nutrisi menggunakan Pontryagin Minimum Principle oleh M. Samsul Ma’arif pada tahun 2016 [5]. Kemudian pada tahun 2017 dilakukan kendali optimal pada karbondioksida dan aliran nutrisi untuk memaksimalkan hasil biomassa menggunakan Pontryagin Maximum Principle oleh Mardlijah, Ahmad Jamil, Lukman Hanafi, dan Suharmadi Sanjaya [6]. Dan akhir-akhir ini telah dilakukan penelitian oleh Yoshua Ardy P mengenai kendali optimal pada model pertumbuhan alga yaitu model Thornton dengan aliran nutrisi dan karbondioksida sebagai variabel kendali menggunakan metode LQR [7].
2.2 Mikroalga
Menurut M.R. Droop [8] mikroalga adalah mikroorganisme nabati yang hidup melayang-layang di dalam air, relatif tidak mempunyai daya gerak sehingga keberadaannya dipengaruhi oleh gerakan air serta mampu berfotosintesis. Mikroalga merupakan mikroorganisme (ukuran 1-100 ) photosintetik yang berpotensi digunakan untuk produk fine chemicals [9], unsur tambahan makanan untuk manusia dan hewan, system immobile pembetulan senyawa extraseluller, untuk biosorpsi logam, dan fiksasi CO2 [10]. Pada umumnya mikroalga bersel satu atau berbentuk benang, sebagai tumbuhan dan dikenal sebagai fitoplankton. Sebagai dasar mata rantai pada siklus makanan di laut, fitoplankton menjadi makanan alami bagi zooplankton baik masih kecil maupun yang dewasa.
Mikroalga menggunakan cahaya untuk metabolisme CO2
menjadi biomassa (CH2O) dengan bantuan sinar dan air sesuai dengan reaksi berikut:
CO2 + H2O + cahaya (CH2O) + O2
Reaksi tersebut disebut proses fotosintetik dimana oksigen juga dihasilkan sebagai hasil selain CH2O. Cahaya yang digunakan untuk proses fotosintetik dapat berupa cahaya sintetik ataupun cahaya matahari yang sampai ke permukaan bumi sekitar 1500- 2500 . Mikroalga mengandung banyak senyawa yang sangat potensial untuk dijadikan produk. Misalnya untuk produk farmasi antara lain Eicospentaenoic acid (EPA) yang berguna untuk status vascular tubuh manusia, Docosahexaenoic acid (DHA) untuk jaringan saraf otak, -carotene sebagai pro-vitamin A, dan Astaxanthin sebagai anti oksidan. Dua produk terakhir telah dikomersilkan secara besar [7]. Mikroalga akhir-akhir ini dieksplorasi dalam bidang bioenergi dikarenakan mikroalga juga mempunyai kandungan karbon dan lipid yang tinggi. Beberapa jenis mikroalga berpotensi sebagai sumber minyak dengan kadar yang bervariasi tergantung jenis mikroalganya [10]. Pada Tabel 2.1 berikut akan disajikan jenis-jenis mikroalga beserta kandungan minyaknya.
9
Tabel 2.1 Tabel Kandungan Minyak Mikroalga
No Mikroalga Kandungan Minyak (%)
1 Botrycoccus Braunii 25-75
2 Chlorella sp 28-32
3 Crypthecodinium Cohnii 20
4 Cylindrotheca sp 16-37
5 Dunaliella Primolecta 23
6 Isochrysis sp 25-33
7 Monallanthus Salina >20
8 Nannochloris sp 20-35
9 Nannochloropsis sp 31-68
10 Neochloris Oleoabundans 35-54
11 Nitzschia sp 45-47
12 Phaeodactylum Tricornutum 20-30
13 Schizochytrium sp 50-77
14 Tetraselmis Sueica 15-23
Sumber: Chisti, Y. “Biodiesel from Mikroalgae”. [11]
Menurut Kawaroe [12], komunitas mikroalga pada suatu perairan dipengaruhi oleh kondisi lingkungan antara lain temperatur (suhu), nutrien (unsur hara), intensitas cahaya, derajat keasaman (pH), aerasi (sumber CO2), dan salinitas.
Mikroalga sama seperti tumbuhan lainnya yang melakukan fotosintesis, yaitu mengasimilasi karbon anorganik untuk dikonversi menjadi organik. Intensitas cahaya memegang peranan yang sangat penting, namun intensitas cahaya yang diperlukan tiap – tiap alga untuk dapat tumbuh secara maksimum berbeda – beda. Intensitas cahaya yang diperlukan bergantung pada volume dan densitas sel mikroalga. Semakin tinggi densitas dan volume kultivasi semakin tinggi pula intensitas cahaya yang diperlukan.
Selain intensitas cahaya, fotoperiode (lama cahaya bersinar) juga memegang peranan penting sebagai pendukung pertumbuhan alga. Nannochloropsis oculata dapat hidup pada intensitas cahaya 2000-4000 lux. Nannochloropsis oculata tumbuh secara optimum
pada intensitas cahaya 4000 lux dengan menghasilkan total lipid sebesar 38,32% [13].
2.3 Model Droop
Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh M.R. Droop [9,2]
sehingga diperoleh Persamaan yang disebut model Droop dengan Persamaan sebagai berikut:
( ) (2.1)
( ) ( ) (2.2)
( ) (2.3)
Sedangkan Persamaan pertumbuhan mikroalga dan penyerapan biomassa adalah sebagai berikut:
( ) ̅ ( ) dan ( ) ̅ (
) (2.4)
dengan kondisi awal :
( ) ( ) ( )
Telah dibuktikan oleh Bernard dan Gouze [14] bahwa cell quota akan bertahan diantara dua batas :
dimana ̅̅ merepresentasikan cell quota maksimum yang diperoleh dalam kondisi nutrisi tidak terbatas.
Pada Gambar 2.1 berikut akan disajikan diagram kompartemen dari model Droop.
11
( )
( )
Gambar 2.1 Diagram Kompartemen Model Droop
2.4 Menambahkan efek cahaya pada pertumbuhan mikroalga
Menurut penelitian yang dilakukan oleh Olivier Bernard [2], cahaya merupakan salah satu faktor yang memengaruhi pertumbuhan mikroalga sehingga dapat ditambahkan efek cahaya pada pertumbuhan mikroalga.
Pertama mempertimbangkan kasus di mana cahaya homogen dalam reaktor, dengan intensitas cahaya . Intensitas cahaya memiliki efek langsung terhadap pertumbuhan (fotosintesis), sementara serapan nitrogen dapat berlanjut dalam kegelapan.
Cahaya kemudian dapat dimasukkan ke dalam parameter ̅ ̅( ) [2] :
( ) ̅( ) ( ) ̅ (
) ( ) (2.5)
dimana adalah koefisien cahaya setengah saturasi
Untuk mencegah kenaikan kuota yang tidak realistis dalam kegelapan, maka digunakan mekanisme down regulation yang diusulkan oleh Lehman dkk [15]:
𝑺
𝑸𝑿
( ) ̅ (
) (
) (2.6)
dengan : tingkat serapan berhenti untuk sel yang penuh .
2.5 Respirasi
Faktor respirasi juga memengaruhi pertumbuhan dan perkembangan mikroalga dalam fotobioreaktor baik saat keadaan terang maupun gelap. Respirasi cenderung mengurangi biomassa, dari sudut pandang karbon, respirasi mengkonversi biomassa menjadi karbondioksida [16]. Kemudian respirasi konstan yang berlaku untuk nitrogen dan karbon, sehingga rasio nitrogen atau karbon tidak terpengaruh [2]:
( ( ) ) (2.7)
Dapat diverifikasi bahwa Persamaan tidak berubah dengan menambahkan respirasi.
Model droop setelah ditambahkan efek cahaya dan respirasi menjadi :
̅ ( ) ( ) (2.8)
̅ (
) (
) ̅ (
) ( ) (2.9)
̅ (
) ( ) (2.10) Keterangan :
( ) : Cell quota
( ) : Konsentrasi biomassa ( ) : Konsentrasi nutrisi
( ) :Konsentrasi nutrisi external yang masuk pada diri mikroalga
: Tingkat pengenceran ( ) : Pertumbuhan mikroalga ( ) : Penyerapan pada biomassa
13
̅ :Pertumbuhan Maksimum pada mikroalga (kuota nitrogen internal terbatas)
̅ : Penyerapan Maksimum nutrisi biomassa : Konstanta setengah saturasi
:Cell quota minimal (dibawah tingkat ini tidak ada pertumbuhan alga)
: Respirasi : Cahaya
: Koefisien cahaya setengah saturasi
Pada Tabel 2.2 berikut disajikan nilai dari parameter- parameter yang akan digunakan dalam Tugas Akhir ini.
Tabel 2.2 Tabel Nilai Parameter
Parameter Nilai
1
0.4
1.2
̅ 0.073
̅ 1,7
0.07
0.0012 20
0.25 0.05
Sumber: Bernard, O., Grognard, Frederic., and Masci, P. “Microalgal biomass surface productivity optimization based on a photobioreactor
model”. [2].
2.6 Titik Setimbang
Titik setimbang merupakan titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu.
Pandang Persamaan differensial berikut:
( ) (2.11)
( ) (2.12)
( ) (2.13)
Sebuah titik ( ̅ ̅ ̅ ) merupakan titik kesetimbangan dari Persamaan (2.11), (2.12), dan (2.13) jika memenuhi ( ̅ ̅ ̅ ) , ( ̅ ̅ ̅ ) , dan ( ̅ ̅ ̅ ) . Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan
( ) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅
adalah penyelesaian kesetimbangan dari Persamaan (2.8), (2.9), dan (2.10) untuk semua .
Definisi 2.1 [17]
Titik ̅ yang memenuhi ( ̅) disebut suatu titik setimbang.
2.7 Analisis kestabilan lokal
Pada penelitian ini akan dibahas mengenai analisa kestabilan pada model pertumbuhan alga. Dikarenakan model berbentuk nonlinier sehingga untuk menganalisis kestabilan menggunakan transformasi kestabilan lokal di sekitar titik setimbang dengan pendekatan Deret Taylor untuk mencari suatu solusi dari sistem di sekitar titik setimbang ̅ ( ̅ ̅ ̅ ).
( ) ( ̅) ( ̅)
( ̅ ) ( ̅)
( ̅ ) ( ) ( ̅) ( ̅)
( ̅ ) ( ̅)
( ̅ )
(2.14)
( ) ( ̅) ( ̅)
( ̅ ) ( ̅)
( ̅ ) Dimana disebut sebagai bagian nonlinear yang selanjutnya dapat diabaikan karena nilainya mendekati nol.
15
Dari Persamaan (2.14) akan terbentuk suatu model matematika yang linier dari sistem nonlinier dengan pendekatan Deret Taylor.
Selanjutnya, dilihat dari sistem ( ) di sekitar titik setimbang ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) dan kondisi setimbangnya ketika ( ̅) . Maka Persamaan (2.14) dapat ditulis menjadi :
( ) ( ̅)
( ̅ ) ( ̅)
( ̅ ) ( ) ( ̅)
( ̅ ) ( ̅)
( ̅ )
(2.15)
( ) ( ̅)
( ̅ ) ( ̅)
( ̅ ) selanjutnya didefinisikan
̅ ̅
̅ didapat derivatifnya adalah
̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) sehingga ̇ ( ) dan diperoleh
̇ ( ) ( ̅)
( ̅)
( ̅) ̇ ( ) ( ̅)
( ̅)
( ̅)
̇ ( ) ( ̅)
( ̅)
( ̅)
jika dinyatakan dalam bentuk matriks maka diperoleh :
( ̇ ̇ ̇
,
(
( ̅)
( ̅)
( ̅) ( ̅)
( ̅)
( ̅)
( ̅)
( ̅)
( ̅) )
( , (2.16)
dapat juga ditulis menjadi
̇ ( ( ̅))
dengan ( ( ̅)) merupakan matriks Jacobian dari fungsi di titik kesetimbangan ̅.
Definisi 2.2 [18]
Diberikan fungsi dengan ( ), dan himpunan terbuka. Matriks
( ( ̅))
( ( ̅)
( ̅)
( ̅) ( ̅)
( ̅)
( ̅) ( ̅)
( ̅)
( ̅)
)
dinamakan matriks Jacobian dari ̅
Matriks Jacobian ( ( ̅)) dapat digunakan untuk mengidentifikasi kestabilan dari sistem nonlinier di sekitar titik setimbang ̅ dengan syarat titik kesetimbangan tersebut hiperbolik.
17
Definisi 2.3 [18]
Titik kesetimbangan ̅ dikatakan hiperbolik jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ̅)) mempunyai bagian real tak nol.
Definisi 2.4 [18]
Suatu titik kesetimbangan ̅ pada sistem Persamaan differensial ̇ ( ) dikatakan
i. Stabil jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ̅)) mempunyai bagian real negatif.
ii. Tidak stabil jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ̅)) mempunyai bagian real positif.
Pelana (saddle) jika titik setimbang hiperbolik dan terdapat nilai eigen matriks Jacobian ( ( ̅)) mempunyai bagian real positif dan negatif.
2.8 Kriteria Routh-Hurwitz
Nilai-nilai karakteristik dari matriks adalah akar-akar karakteristik dari polynomial
( ) ( ) dengan . Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz dapat dipakai untuk mengecek langsung kestabilan koefisien tanpa menghitung akar-akar dari polynomial yang ada.
Diberikan suatu polynomial
( ) ( ) susun Tabel sebagai berikut :
Q
dimana dan secara rekursif didapat dari :
Bila pada kolom pertama dalam Tabel tidak ada perubahan tanda (semuanya bertanda positif atau semuanya bertanda negatif), maka semua akar polynomial ( )bagian realnya adalah tak positif dan sistem ini dikatakan stabil [17].
2.9 Analisis Keterkontrolan
Selanjutnya analisis keterkontrolan sistem yang bermanfaat dalam menstabilkan sistem. Jika sistem tidak terkontrol maka solusi dari sebuah permasalahan kendali optimal tidak dapat diperoleh.
Diberi suatu sistem
̇ ( ) ( ) ( ) ( )
disebut terkontrol jika rank dari matriks keterkontrolan sama dengan matriks , dengan matriks keterkontrolan [ | | | | .
Teorema 2.1 [17]
Syarat perlu dan cukup sistem terkontrol adalah matriks [ | | | | . mempunyai rank yang sama dengan . 2.10 Prinsip Minimum Pontryagin
Prinsip Minimum Pontryagin digunakan untuk memperoleh penyelesaian kendali optimal yang sesuai dengan tujuan, yaitu memaksimumkan fungsi tujuan dimana kendali 𝒖( ) terbatas pada (𝒖( ) 𝒰). Hal ini telah dikembangkan oleh L. S.Pontryagin dan rekan kerjanya pada tahun 1950 yang diaplikasikan untuk semua
19
masalah kalkulus variasi. Oleh karena itu, prinsip ini biasa disebut dengan Prinsip Minimum Pontryagin.
Prinsip ini menyatakan secara informal bahwa Persamaan Hamiltonian akan dimaksimumkan sepanjang 𝒰 yang merupakan himpunan kendali yang mungkin [19]. Hasilnya juga dapat dinamakan Prinsip Minimum Pontryagin karena mempunyai pengertian yang sama antara meminimalkan dan memaksimalkan dengan mengalikan (-1) pada fungsi tujuan. Prosedur menyelesaikan kendali optimal dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin adalah sebagai berikut:
Diberikan Persamaan: ( ( ) ( ) ).
Diberikan indeks performansi:
( ( ) ) ∫ ( ( ) ( ) ) dan kondisi batas ( ) ( ) .
Maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah:
a. Bentuk fungsi Pontryaginnya (Hamilton).
( ( ) ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) b. Maksimumkan terhadap semua vektor kendali ( ).
(
) dan diperoleh ( ) ( ( ) ( ) )
c. Gunakan hasil dari langkah (b) ke dalam langkah (a) dan tentukan yang optimal.
( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) d. Menyelesaikan persamaan state dan costate sebagai berikut :
( ) (
) dan ( ) ̇ (
)
dengan kondisi awal dan kondisi akhir *
+
*( ) ( )+
e. Untuk memperoleh kendali optimal, substitusikan solusi ( ) ( ) dari langkan (d) ke dalam ekspresi optimal kendali pada langkah (b).
21 BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Metodologi penelitian yang digunakan dalam tugas akhir ini dibagi menjadi beberapa tahapan-tahapan penelitian dan diberikan diagram alir untuk mempermudah memahami tahapan-tahapan pengerjaan Tugas Akhir.
1. Studi Literatur
Pada tahap ini akan mencari referensi yang menunjang penelitian yang bersumber dari buku-buku, jurnal, tugas akhir, artikel, dan lain-lain. Refrensi yang dicari berkaitan dengan mikroalga, model Droop, kestabilan sistem, Prinsip Minimum Pontryagin, dan lain-lain.
2. Mencari titik setimbang dan menganalisa kestabilan sistem di sekitar titik setimbang
Pada tahap ini akan mencari titik setimbang dari model Droop yang telah dinondimensionalkan sehingga mampu menentukan kestabilan sistem dari nilai karakteristik yang didapat.
3. Menentukan keterkontrolan sistem
Pada tahap ini akan dilakukan analisa keterkontrolan dari sistem. Jika sistem terkontrol maka dapat dilakukan kendali optimal pada sistem tersebut.
4. Desain kontrol
Pada tahap ini akan ditentukan kontrol yang optimal dari model Droop tersebut sehingga pertumbuhan mikroalga dapat maksimal dengan tingkat intensitas cahaya tertentu.
5. Penyelesaian kontrol
Pada tahap ini akan dilakukan penyelesaian kontrol yang optimal dengan Prinsip Minimum Pontryagin.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
a. Membentuk fungsi Hamiltonian
b. Menentukan Persamaan state dan costate
c. Menentukan kontrol optimal berdasarkan keadaan stasioner.
6. Simulasi dan analisis hasil simulasi
Tahap ini akan dilakukan setelah melakukan penyelesaian kontrol secara analitik. Software yang akan digunakan adalah MATLAB kemudian akan dilakukan analisis dari hasil simulasi yang didapat.
7. Penarikan kesimpulan dan pemberian saran
Penarikan kesimpulan akan dilakukan setelah menganalisis jumlah biomassa sebelum dan sesudah dilakukan kontrol dan menganalisis hasil simulasi menggunakan MATLAB.
23
Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian Titik Setimbang
Studi Literatur
Analisis Kestabilan
Desain Kontrol
Penyelesaian Kontrol
Simulasi dan Analisis
Penarikan Kesimpulan
Penulisan Tugas Akhir
Selesai Mulai
Analisis Keterkontrolan
25 BAB IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan ditentukan kendali optimal dari model pertumbuhan alga untuk mendapatkan hasil biomassa yang maksimal. Sebelum ditentukan kendali optimal, akan dilakukan analisis dinamik terlebih dahulu terhadap model tersebut, meliputi analisis kestabilan dan keterkontrolan. Setelah itu akan ditentukan kendali optimal menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin dan kemudian hasilnya akan disimulasikan di MATLAB menggunakan metode Runge Kutta Orde 4.
4.1 Analisis Dinamik pada Model Pertumbuhan Alga
Pada penelitian ini digunakan model pertumbuhan alga dari penelitian yang telah dilakukan oleh Olivier Bernard dkk [2], sebagai berikut :
̅ ( ) ( ) (4.1)
̅ (
) (
) ̅ (
) ( ) (4.2)
̅ (
) ( ) (4.3) Namun sebelum dilakukan analisis dinamik pada model pertumbuhan alga, model tersebut akan diubah terlebih dahulu dalam bentuk nondimensional dengan tujuan untuk memudahkan perhitungan dengan cara menghilangkan satuannya. Berikut adalah pemisalan dari bentuk nondimensional :
̅
̅ ̅
;
; ; ̅
Dengan memasukkan pemisalan dari bentuk nondimensional pada Persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) menjadi :
̅ (
) (
) (4.4)
̅ ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) (4.5)
̅ ̅ (
) ( ) (4.6) Kemudian didapat bentuk nondimensional dari model pertumbuhan alga sebagai berikut :
( )
(4.7)
( )
( ) (4.8)
( ) (4.9)
Kemudian akan ditentukan titik setimabang, analisis kestabilan, dan analisis keterkontrolan menggunakan model nondimensional pertumbuhan alga.
3.1.1 Menentukan Titik Setimbang
Menentukan titik setimbang model pertumbuhan mikroalga dari Persamaan (4.7), (4.8), dan (4.9) yang kemudian dapat dinyatakan sebagai ̅ ( ̅ ̅ ̅).
[ ] ( [ ] * atau
(4.10)
27
Dari Persamaan (4.10) didapat dua keadaan yaitu nilai atau yang akan digunakan untuk mencari titik setimbang yang lainnya.
a. Untuk akan diperoleh titik setimbang ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) dengan memasukkan ke dalam Persamaan (4.7) dan (4.8).
( ) ( )
( ( )
) ( ( ) ( )
)
(4.11)
( )
[
(
*
( ) ( )
( ( )( )
)( ) (4.12)
Sehingga diperoleh titik setimbang ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) yaitu ̅ ( ( ( )( )( ) ) )
atau
̅ ( ( ( )( )( ) ) ) ( ) (4.13) b. Untuk
akan diperoleh titik setimbang ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) dengan memasukkan
ke dalam Persamaan (4.7) dan (4.8).
Selanjutnya perhitungan terdapat pada lampiran 1 sehingga diperoleh titik setimbang batas biomassa yaitu ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) dimana
̅
( )
( )( )( ) ( ) ( )
̅
̅
[ ( ( ) ( ) ) [ ( )( )
( ) ( ) ( )]
*( )( ( ) ( ))( ) ( ) ( )+
[ ( ( ) ( ) )
(
)
atau ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) ( )
29
3.1.2 Analisis Kestabilan
Setelah diperoleh dua titik setimbang dari model nondimensional pertumbuhan alga, selanjutnya akan dilakukan analisis kestabilan dari model nondimensional pertumbuhan alga.
Untuk melakukan analisis pada Persamaan (4.7), (4.8), dan (4.9) adalah dengan cara menganalisis transformasi kestabilan lokal di sekitar titik setimbang dari sistem menggunakan pendekatan Deret Taylor.
( ) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅) ( ) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅) ( ) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅)
selanjutnya didefinisikan
̅ ̅ ̅ didapat derivatifnya yaitu
̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( )
sehingga diperoleh
̇ ( ) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅ ̅ ̅)
( ̅ ̅ ̅) ̇ ( ) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅ ̅ ̅)
( ̅ ̅ ̅) ̇ ( ) ( ̅ ̅ ̅)
( ̅ ̅ ̅)
( ̅ ̅ ̅) Jika dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh :
( ̇ ̇ ̇
+
( ( ̅)
( ̅)
( ̅) ( ̅)
( ̅)
( ̅) ( ̅)
( ̅)
( ̅) )
( +
Persamaan (4.7) – (4.9) dapat dimisalkan sebagai berikut:
̇ ( ) ( )
(4.14)
̇ ( ) ( )
[ (4.15)
̇ ( ) * + (4.16) Maka dari Persamaan (4.14) – (4.16) dapat diperoleh :
a. ( ̅)
( ( )
)
( )( ) b. ( ̅)
( ( )
)
31
c. ( ̅)
( ( )
)
( )
d. ( ̅)
( ( )
[ )
( ) ( )
e. ( ̅)
( ( )
[ )
f. ( ̅)
( ( )
[ )
g. ( ̅)
( * + )
h. ( ̅)
( * + )
i. ( ̅)
( * + )
* +
dengan memisalkan nilai nilai dari matriks diperoleh : a. ( ̅)
( )( ) b. ( ̅)
c. ( ̅)
( )
d. ( ̅)
( ( )
)
e. ( ̅)
f. ( ̅)
g. ( ̅)
h. ( ̅)
i. ( ̅)
* +
Kemudian substitusikan setiap nilai ke dalam bentuk matriks diperoleh
( ̇ ̇ ̇
+ (
+ ( +
atau dapat ditulis matriks Jacobiannya (
̇ ̇ ̇
+ ( ( ̅)) ( + (4.17)
selanjutnya matriks Jacobian dapat digunakan untuk mengidentifikasi kestabilan sistem nonlinier di sekitar titik setimbang. Kemudian akan dicari Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian menggunakan
| ( ( ̅))|
sehingga
|
|
Dari titik setimbang ̅ ( ( ( )( )
)( ) ) diperoleh:
( ) ( )
( )
((( )( )
( )( ) * )
( ) ( )
( (( )( )
( )( ) *)
( )
33
( *
( ( )( )
( )( ) )
Kemudian dapat dibentuk matriks yang baru dengan pemisalan diatas dan akan dicari Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian menggunakan
| ( ( ̅))|
sehingga didapat
|
|
( )( )( )
sehingga akan diperoleh nilai eigen dari akar karakteristiknya sebagai berikut:
(( )( ) ( )( )
( )( ) )
Berdasarkan definisi (2.4) maka sistem di sekitar titik setimbang ̅ bersifat stabil karena nilai eigen yang diperoleh bernilai negatif.
Dari titik setimbang ̅ ( ) diperoleh:
( )
( )
( )
( )
( )
( *
Kemudian dapat dibentuk matriks yang baru dengan pemisalan diatas dan akan dicari Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian menggunakan
| ( ( ̅))|
sehingga didapat
|
|
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
35
untuk mempermudah menentukan kestabilannya, dapat menggunakan kriteria Routh Hurwitz
|
dari Tabel terlihat kolom pertama tidak ada perubahan tanda (semuanya bertanda positif). Jadi semua akar-akar polynomial bagian realnya tak positif sehingga sistem di sekitar titik setimbang ̅ bersifat stabil.
3.1.3 Analisis Keterkontrolan
Untuk dapat menganalisis keterkontrolan dibutuhkan sistem yang telah dilinierkan. Setelah dilakukan pelinieran di sekitar titik setimbang menggunakan Jacobian dengan memisalkan matriks ̅ maka diperoleh :
̅ (
+ (4.18)
dan matriks ̅ (
( ̅) ( ̅)
( ̅)
) (
( ( )
) ( ( )
[ )
( * + )
)
̅ ( ( ) ( )
) ( + (4.19)
Berdasarkan Teorema 2.1 maka dapat disusun matriks keterkontrolan ( ) sebagai berikut:
( ̅| ̅̅̅̅| ̅̅̅̅̅ ) Untuk matriks ̅̅̅̅ diperoleh :
̅̅̅̅ (
+ ( +
(
+ ( + (4.20)
Untuk matriks ̅̅̅̅̅ diperoleh :
̅̅̅̅̅ (
+ ( +
(
+ ( + (4.21)
Jadi dapat dibentuk matriks keterkontrolan sebagai berikut :
( | | + (4.22)
Kemudian disubstitusikan nilai titik setimbang dan parameter.
Matriks keterkontrolan yang diperoleh pada (4.22) dapat dianalisa bahwa rank ( ) . Dengan demikian sesuai Teorema 2.1 sistem dinamik dari model pertumbuhan alga bersifat terkontrol.
37
4.2 Penyelesaian dengan Kendali Optimal
Penyelesaian kendali optimal pada sistem ini digunakan untuk memaksimalkan produksi biomassa dari mikroalga dengan mengoptimalkan intensitas cahaya. Dari Persamaan (4.7) – (4.9), akan dicari kendali optimalnya menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin.
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Persamaan diferensial model nondimensional pertumbuhan alga.
( ) (4.23)
( )
( ) (4.24)
( ) (4.25)
2. Membentuk fungsi tujuan
Sesuai dengan tujuan dari penelitian ini yaitu memaksimalkan produksi biomassa dari mikroalga ( ) melalui intensitas cahaya ( ) dan adalah bobot biaya intensitas cahaya.
Dari permasalahan berikut maka fungsi tujuannya adalah sebagai berikut :
( ) ∫ ( ( ) ) (4.26)
3. Langkah-langkah penyelesaiannya : a. Bentuk fungsi Hamilton ( ) ( ( )
) ∑
( ) ( ( ) ) ( ( )
) ( ( )
( )) ( ( )
) (4.27)
b. Memaksimumkan terhadap vektor kendali ( )
( ( )) ( ( *+
( ( )) ( ( *+
( ( )) ( ( ))
Sehingga didapat Persamaan kendali optimal yaitu
( ( )) ( ( ))
(4.28)
c. Menentukan yang optimal
( ) ( ( )
) ( ( )
( )) ( ( ) )
39
(
( ( ( )) ( ( ))
,
)
(
( ) ) ( ( )
(
( ( )) ( ( ))
) ( ))
( (
( ( )) ( ( ))
) ( ) )
(
( ( ( )) ( ( ))+
)
(
( ) ) ( ( )
(
( ( )) ( ( ))
) ( ))
( (
( ( )) ( ( ))
) ( ) ) (( )
( )
( )
( )
( )
( )
) ( ( )
) ( ( )
(
* ( )* ((
* ( ) )
(( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
) ( ( )
) ( ( )
(
* ( )* ((
* ( ) ) (4.29)
d. Menyelesaikan Persamaan state dan costate untuk mendapatkan sistem yang optimal
Persamaan state:
̇( )
( )
(4.30)
̇( )
( ) ( ) ( )
( )
41
(
) ( )
( ) ( )
( ( ) ( )) ( ) (4.31)
̇( )
( )
( )
( )
(
)
