5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini berisi mengenai teori – teori yang digunakan dalam penelitian ini.
Diantaranya teori mengenai program linear dan program linear fuzzy serta cara pengolahan data menggunakan metode simpleks dan metode Big-M.
2.1 Tukkus
Tukkus adalah tutup kepala/ikat kepala khas Lampung. Tukkus termasuk dalam kerajinan tradisional Lampung. Tukkus dapat digunakan oleh siapa saja baik laki-laki maupun perempuan. Sebelum Indonesia merdeka tukkus telah digunakan oleh masyarakat Lampung. Hal ini dapat diketahui dengan melihat lukisan atau patung pahlawan nasional yang berasal dari Lampung yaitu Raden Intan II yang menggunakan tukkus. Untuk tukkus perempuan pada zaman dahulu biasanya digunakan pada pengantin perempuan sebagai pemanis pada saat pengantin tidak sedang memakai siger.
Adapun untuk contoh tukkus sendiri yaitu sebagai berikut.
Gambar 2. 1 Tukkus untuk laki laki
Gambar 2. 2 Tukkus untuk perempuan
6 2.2 Program Linear
Program linear merupakan proses pengoptimalan atas suatu masalah dengan menentukan terlebih dahulu fungsi tujuannya dan dibatasi oleh kendala yang ada ke dalam model matematika persamaan linear. Program linear sering kali digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan proses memaksimalkan atau meminimalkan.
Secara umum ada beberapa langkah agar program linear dapat diselesaikan dengan menggunakan karakteristik sebagai berikut (Mulyono, 2004).
1. Variabel keputusan
Variabel keputusan adalah variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan yang akan dicapai. Oleh sebab itu, proses pemodelan variabel keputusan harus dilakukan terlebih dahulu sebelum merumuskan fungsi tujuan dan kendala-kendalanya.
2. Fungsi tujuan
Dalam menyelesaikan model pemrograman linear, tujuan yang harus dicapai harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi linear. Fungsi tersebut dimaksimalkan atau diminimalkan terhadap kendala-kendala yang ada.
3. Fungsi kendala
Fungsi ini merupakan bentuk penyajian secara matematis pembatasan-pembatasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal.
Secara umum bentuk program linear dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematika sebagai berikut (PURBA, 2012).
a. Fungsi tujuan
Maksimalkan atau minimalkan:
𝑍 = ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗 untuk 𝑗 = 1, 2, 3, … 𝑛 b. Fungsi Kendala
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = , ≤ atau ≥ 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 =, ≤ atau ≥ 𝑏2 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥3+ 𝑎33𝑥3+ ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 =, ≤ atau ≥ 𝑏3
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ 𝑎𝑚3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 =, ≤ atau ≥ 𝑏𝑚
7 ∑𝑛𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = , ≤ atau ≥ 𝑏𝑖
untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚 dan 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛 Dengan keterangan:
𝑐𝑗 : Konstanta pada variabel keputusan 𝑥𝑗 : Variabel keputusan
𝑎𝑖𝑗 : Konstanta variabel baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗
𝑏𝑖 : Konstanta sebelah kanan dari pembatasan baris ke-𝑖
𝑍 : Nilai fungsi tujuan yang dicari nilai optimalnya (maksimal/minimal)
2.3 Program Linear Fuzzy
Fuzzy mempunyai arti tidak jelas. Berbagai masalah dalam kehidupan sehari- hari khususnya dalam produksi erat hubungannya dengan ketidakpastian (Yulianto, Suyitno, & Mashuri, 2012). Dengan ketidakpastian yang ada maka untuk menggambarkan ketidakpastian tersebut digunakan himpunan fuzzy.
Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu (𝑥) dalam suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan 𝜇𝐴(𝑥), memiliki dua kemungkinan yaitu (Kusumadewi & Purnomo, 2010).
a. Satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan.
b. Nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.
Berbeda dengan nilai keanggotaan pada himpunan tegas pada himpunan fuzzy memiliki nilai keanggotaan 𝜇𝑖(𝐵𝑖𝑥) yaitu [0,1].
Program linear fuzzy adalah modifikasi dari teori program linear dan konsep logika fuzzy sebagai salah satu cara pengambilan keputusan dalam menentukan jumlah produk yang optimal dengan mempertimbangkan keterbatasan sumber daya produksi (Suantio, Rambe, & Siregar, 2013). Pada program linear fuzzy, akan dicari suatu nilai
8
yang merupakan nilai 𝑍 yang merupakan fungsi tujuan yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy pada setiap baris kendala.
Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan pada himpunan fuzzy adalah melalui pendekatan fungsi. Fungsi yang dapat digunakan untuk memperoleh nilai keanggotaan, yaitu (Kusumadewi & Purnomo, 2010).
𝜇𝑖(𝐵𝑖𝑥) = {
1; jika (𝐵𝑖𝑥) < 𝑏𝑖 1 −𝐵𝑖𝑥 − 𝑏𝑖
𝑝𝑖 ; jika 𝑏𝑖 ≤ (𝐵𝑖𝑥) ≤ 𝑏𝑖 + 𝑡𝑝𝑖 0; jika (𝐵𝑖𝑥) > 𝑏𝑖 + 𝑡𝑝𝑖
untuk 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑚
Sehingga jika fungsi tersebut diaplikasikan ke dalam bentuk grafik maka didapatkan bentuk grafik sebagai berikut.
Gambar 2. 3 Grafik Fungsi Keanggotaan Fuzzy Dengan:
𝜇𝑖(𝐵𝑖𝑥) : nilai keanggotaan fuzzy 𝐵𝑖 : nilai dari variabel 𝑥 𝑏𝑖 : nilai batasan pada 𝑡 = 0 𝑏𝑖 + 𝑡𝑝𝑖 : nilai batasan pada saat 𝑡 = 1
𝑝𝑖 : toleransi interval yang dilakukan penambahan pada fungsi kendala
9
Gambar 2.3 menunjukkan fungsi keanggotaan jika diaplikasikan dalam bentuk grafik dengan 𝑝𝑖 merupakan interval toleransi. Pada Gambar 2.3 diketahui bahwa semakin besar nilai 𝑥 pada domain, maka menghasilkan nilai keanggotaan yang semakin berkurang sehingga pada tahap defuzzyfikasi untuk mencari nilai 𝜆 − 𝑐𝑢𝑡 dapat dihitung sebagai 𝜆 = 1 – 𝑡.
2.3.1 Fuzzyfikasi
Fuzzyfikasi adalah suatu proses untuk mengubah variabel non fuzzy menjadi variabel fuzzy dan menentukan nilai keanggotaannya di dalam himpunan fuzzy. Proses fuzzyfikasi dilakukan untuk mendapatkan nilai dari model lower (𝑡 = 0) dan model upper (𝑡 = 1) yang dibentuk dari awal variabel keputusan dan kendala/batasan. Untuk menghitung model lower bound (batas bawah) dan upper bound (batas atas) ini dapat diselesaikan dengan metode simpleks (PURBA, 2012).
Batas bawah dari nilai optimal dinotasikan dengan 𝑍𝐿 yang didapat dari pemecahan program linear berikut:
Maksimalkan:
𝑍𝐿 = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
dengan kendala:
∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
(=, ≤ atau ≥)𝑏𝑖+ 𝑡𝑝𝑖
Karena pada saat mencari batas bawah nilai 𝑡 adalah 0 sehingga setelah disubtitusikan maka menjadi
∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
(=, ≤ atau ≥)𝑏𝑖
untuk 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑚 dan 𝑗 = 0,1,2,3, … . , 𝑛 𝑥𝑗 ≥ 0
10
Batas atas dari nilai optimal dinotasikan dengan 𝑍𝑈 yang didapat dari pemecahan program linear berikut:
Maksimalkan:
𝑍𝑈 = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
dengan kendala:
∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
(=, ≤ atau ≥)𝑏𝑖+ 𝑡𝑝𝑖
untuk 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑚 dan 𝑗 = 0,1,2,3, … . , 𝑛 𝑥𝑗 ≥ 0
Dengan keterangan:
𝑍 : Nilai fungsi tujuan
𝑐𝑗 : Konstanta pada variabel keputusan 𝑥𝑗 : Variabel keputusan
𝑎𝑖𝑗 : Konstanta variabel baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 𝑏𝑖 : Nilai batas pada 𝑡 = 0
𝑏𝑖 + 𝑡𝑝𝑖 : Nilai batas saat 𝑡 = 1
𝑝𝑖 :Toleransi interval yang diperbolehkan untuk melakukan
pelanggaran dengan baik pada fungsi objektif maupun batasan 2.3.2 Defuzzyfikasi
Hasil dari proses fuzzyfikasi masih berbentuk fuzzy. Hasil ini harus diubah kembali menjadi variabel non fuzzy melalui proses defuzzyfikasi. Setelah melakukan perhitungan untuk mendapatkan nilai model lower ( 𝑡 = 0 ) dan model upper ( 𝑡 = 1 ) maka akan dibentuk batasan baru untuk menentukan nilai fuzzy yaitu 𝜆𝑝𝑖 + 𝐵𝑖𝑥 ≤ 𝑏𝑖+ 𝑡𝑝𝑖 , 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑚 dengan 𝑏𝑖 + 𝑡𝑝𝑖 = ruas kanan batasan ke−𝑖. Selanjutnya untuk menghitung 𝜆 − 𝑐𝑢𝑡 dengan mengambil nilai =1− 𝑡 , akhirnya dapat dibentuk model program linear fuzzy baru sebagai berikut (PURBA, 2012).
11 Maksimalkan: 𝜆
dengan kendala:
−𝜆(𝑍𝑈− 𝑍𝐿) + ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
≥ 𝑍𝐿
𝜆𝑝𝑖 + 𝐵𝑖𝑥 ≤ 𝑏𝑖+ t𝑝𝑖 , 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑚 𝑥 ≥ 0 dengan λ ∈ [0,1]
Dengan keterangan:
𝜆 : Nilai fuzzy
𝑝𝑖 :Toleransi interval yang diperbolehkan untuk melakukan pelanggaran dengan baik pada fungsi objektif maupun batasan 𝐵𝑖 : Nilai dari variabel 𝑥 (𝐵𝑖𝑥 = ∑ 𝑎𝑛𝑗 𝑖𝑗𝑥𝑗)
𝑏𝑖 : Nilai batasan pada saat 𝑡 = 0 𝑏𝑖 + 𝑡𝑝𝑖 : Nilai batasan pada saat 𝑡 = 1 𝑍𝐿 : Nilai fungsi tujuan pada batas bawah 𝑍𝑢 : Nilai fungsi tujuan pada batas atas
Setelah didapatkan model matematika selanjutnya dilakukan perhitungan menggunakan metode simpleks.
2.4 Metode Simpleks
Metode simpleks adalah prosedur matematika berulang untuk menyelesaikan soal pemrograman linear dengan cara menguji titik sudut daerah yang memenuhi kendala-kendala sehingga ditemukan titik sudut yang akan memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan (Siswanto, 2007).
12
Metode simpleks adalah suatu cara yang umum dipakai untuk menentukan kombinasi optimal dari dua variabel atau lebih, dengan menggunakan tabel-tabel dengan langkah-langkah sebagai berikut (Meflinda & Mahyarni, 2011).
Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan menjadi bentuk standar.
i. Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit
Contoh: 𝑍 = 3𝑥1+ 5𝑥2 menjadi 𝑍 − 3𝑥1− 5𝑥2 = 0
ii. Semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan menambah variabel slack, variabel surplus dan variabel buatan pada setiap batasan.
iii. Untuk batasan bernotasi “≤ “ diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack (𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠8).
iv. Setelah didapatkan bentuk standar kemudian disusun ke dalam tabel, dalam bentuk simbol seperti pada tabel dibawah ini:
Tabel 2. 1 Contoh Tabel Simpleks Variabel
Basis
Nilai Basis 𝑥1 … 𝑥𝑛 Ruas Kanan
𝑥𝐵1 𝑐𝐵1 𝑎11 … 𝑎1𝑛 𝑏1
… … … …
𝑥𝐵𝑚 𝑐𝐵𝑚 𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
Z 𝑐𝑧 𝑐1 … 𝑐𝑛 𝑏𝑧
Adapun langkah untuk menyusun persamaan ke dalam tabel simpleks adalah sebagai berikut.
1. Memilih kolom kunci (pivot column) yang merupakan dasar untuk mengubah tabel di atas. Pilih kolom yang memiliki nilai 𝑍 yang paling positif untuk kasus minimal atau yang memiliki nilai 𝑍 yang paling negatif untuk kasus maksimal.
Berilah tanda segi empat pada kolom.
2. Memilih baris kunci. Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simpleks. Oleh karena itu, carilah dahulu indeks tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom rasio dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci. Rumus untuk indeks adalah
13 Indeks = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖
kemudian pilihlah baris yang mempunyai indeks positif dengan nilai terkecil.
Berilah tanda segi empat pada baris kunci itu.
3. Tentukan nilai elemen kunci, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.
4. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris 𝑍 baru, dan baris variabel-variabel slack baru.
5. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen kunci.
6. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci. Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sebagai berikut:
Baris Baru (BnB) = Baris Lama (BnL) – (koefisien pada kolom kunci) nilai baris kunci. Dimana nilai n menyatakan baris ke-n. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.
7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris (𝑍) sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus minimal) atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus maksimal) berarti tabel simpleks sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
Untuk lebih memahami penggunaan metode simpleks pada program linear maka diberikan contoh sebagai berikut.
Maksimalkan 𝑍 = 3𝑥1+ 5𝑥2 Fungsi Kendala: 𝑥1 ≤ 8
3𝑥2 ≤ 15 3𝑥1+ 𝑥2 ≤ 30 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, tahap pertama yang dilakukan mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala dalam bentuk standar/baku, maka bentuk tersebut dapat dilihat sebagai berikut:
Fungsi Tujuan:
𝑍 = 3𝑥1+ 5𝑥2 𝑍 − 3𝑥1− 5𝑥2 = 0 Fungsi Kendala:
14 𝑥1 ≤ 8 𝑥1+ 𝑆1 = 8
3𝑥2 ≤ 15 3𝑥2+ 𝑆2 = 15 3𝑥1+ 𝑥2 ≤ 30 3𝑥1+ 𝑥2+ 𝑆3 = 30 𝑥1, 𝑥2, 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3 ≥ 0
Setelah bentuk standar/baku diperoleh, selanjutnya persamaan yang sudah baku disusun ke dalam tabel simpleks.
Tabel 2. 2 Tabel Simpleks Awal Pada Contoh Soal
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅𝐾 𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑆1 0 1 0 1 0 0 8
𝑆2 0 0 3 0 1 0 15
𝑆3 0 3 1 0 0 1 30
𝑍 1 −3 −5 0 0 0 0
Tabel 2. 3 Contoh Pemilihan Kolom Kunci Pada Tabel Simpleks Kemudian, pilih kolom kunci untuk dilakukannya iterasi.
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅𝐾 𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑆1 0 1 0 1 0 0 8
𝑆2 0 0 3 0 1 0 15
𝑆3 0 3 1 0 0 1 30
𝑍 1 −3 −𝟓 0 0 0 0
Dipilih kolom kunci 𝑥2 karena −5 adalah nilai negatif terbesar, selanjutkan pilih baris kunci dengan melihat rasio yang paling kecil nilainya.
Tabel 2. 4 Iterasi 1 Pada Contoh Soal
1
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅𝐾 𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑆1 0 1 0 1 0 0 8 ~
𝑆2 0 0 3 0 1 0 15 5
𝑆3 𝑍
0 3 1 0 0 1 30 30
1 −3 −5 0 0 0 0
15
Dipilih baris kunci 𝑆2 karena nilai rasio pada baris ketiga tersebut menunjukkan nilai terkecil, setelah menemukan kolom kunci dan baris kunci serta titik pivot, selanjutnya akan dilakukan iterasi dengan mengubah nilai baris kunci dan kolom kunci dengan menggunakan operasi baris elementer sebagai berikut.
B2B = 1
3 B2L B1B = B1L
B3B = B3L – B2B B4B = B4L – (-5)B2B
Sehingga menghasilkan tabel simpleks baru seperti berikut.
Tabel 2. 5 Tabel Simpleks Baru
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅𝐾 𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑆1 0 1 0 1 0 0 8
𝑥2 0 0 1 0 1
3 0 5
𝑆3
0 3 0 0 −1
3 1 25
𝑍 1 −3 0 0 5
3 0 25
Tabel 2. 6 Iterasi 2
2
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅𝐾 𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜
𝑆1 0 1 0 1 0 0 8 8
𝑥2 0 0 1 0 1
3 0 5 ~
𝑆3
0 3 0 0 −1
3 1 25 5
𝑍 1 −3 0 0 5
3 0 25
Karena pada baris 𝑍 masih ditemukan nilai negatif maka iterasi berlanjut dengan cara yang sama seperti iterasi sebelumnya dengan mengubah baris dan kolom kunci dengan menggunakan operasi baris elementer sebagai berikut.
16 B3B = 1
3B3L B1B = B1L – B3B B2B = B2L
B4B = B4L – (3)B3B
Sehingga didapatkan tabel simpleks baru seperti berikut.
Tabel 2. 7 Tabel Simpleks Optimal Pada Contoh Soal
3
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑆2 𝑆3 𝑅𝐾
𝑆1 0 1 0 1 0 0 8
𝑥2
0 0 1 0 1
3 0 5
𝑥1
0 0 0 -3 −1
3 1 𝟏
𝑍 1 0 0 3 5
3 0 𝟒𝟗
Dikarenakan pada baris 𝑍 tidak ada lagi yang bernilai negatif maka iterasi berhenti yang berarti bahwa nilai maksimal sudah didapatkan, dengan melakukan iterasi sebanyak 3 kali sehingga didapatkan 𝑥1 = 1 , 𝑥2 = 5 dan 𝑍 = 49.
Pada penelitian ini untuk mencari nilai optimal maka pada proses pengolahan data digunakan metode Big-M. Untuk itu agar lebih memahami mengenai metode Big- M maka akan dijelaskan sebagai berikut.
2.5 Metode Big-M
Metode Big-M sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang memiliki pembatas bervariatif yaitu ”=” atau “≥”. Langkah-langkah perhitungan menggunakan metode Big-M sebagai berikut (Winston W. L., 2003).
1 Ubah Batasan/kendala sehingga nilai kanan setiap kendala bersifat non-negatif.
Hal ini menunjukkan setiap batasan dengan nilai kanan dikalikan dengan −1.
Sehinggga jika pertidaksamaan dikalikan dengan angka negatif, arah
17
pertidaksamaan akan terbalik. Contoh 𝑥1+ 𝑥2 ≥ −1 menjadi −𝑥1− 𝑥2 ≤ 1 dan akan berlaku juga sebaliknya.
2 Identifikasi setiap batasan untuk tanda = atau ≥ pada batasan. Pada langkah 3 akan menambahkan variabel buatan ke masing-masing batasan.
3 Ubah setiap batasan pertidaksamaan ke dalam bentuk standar/baku. Ini berarti jika kendala 𝑖 ≤ ruas kanan kendala tersebut, dengan menambahkan variabel slack (𝑆𝑖), dan jika kendala 𝑖 ≥ ruas kanan kendala tersebut, dengan mengurangi variabel surplus (𝑒𝑖).
4 Jika kendala 𝑖 ≥ atau = ruas kanan pada kendala tersebut, tambahkan variabel buatan artificial (𝐴𝑖), dengan membuat suatu bilangan penalti 𝑀 (𝑀 bilangan positif yang sangat besar) sebagai koefisien dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Pada kasus maksimal maka dibuat – 𝑀𝐴𝑖 dan untuk kasus minimal dibuat +𝑀𝐴𝑖.
5 Karena setiap variabel artificial akan berada di awal, semua variabel artificial harus dihilangkan dari baris 0 sebelum memulai simpleks. Ini memastikan bahwa dimulai dengan bentuk yang baku. Dalam memilih variabel entering, ingatlah bahwa 𝑀 adalah variabel yang sangat besar positif. Contoh, 4𝑀 − 2 lebih positif dari 3𝑀 − 900, dan 6𝑀 − 5 Lebih negatif dari 5𝑀 − 40. Sekarang selesaikan masalah yang diubah dengan simpleks. Jika semua variabel artificial sama dengan nol dalam solusi optimal, maka telah diperoleh solusi optimal.
6 Ketika variabel artificial meninggalkan basis, kolomnya dapat dihilangkan dari tabel, karena tujuan variabel artificial hanya untuk mendapatkan solusi yang layak.
Agar lebih memahami dalam menggunakan metode Big-M maka diberikan contoh sebagai berikut.
Maksimalkan 𝑍 = 3𝑥1+ 5𝑥2
Fungsi Kendala: 𝑥1 = 8 (batasan 1) 3𝑥2 ≤ 15 (batasan 2)
6𝑥1+ 5𝑥2 ≥30 (batasan 3) 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 (batasan ketaknegatifan)
Dari persamaan di atas, karena tidak ada kendala yang memiliki sisi kanan negatif maka tidak perlu mengalikan batasan apa pun dengan (−1).
18
Langkah pertama, pada batasan 2 perlu menambahkan variabel slack dan pada batasan 3 perlu mengurangi variabel surplus, sehingga dapat dilihat sebagai berikut.
Fungsi Tujuan:
𝑍 = 3𝑥1+ 5𝑥2 𝑍 − 3𝑥1− 5𝑥2 = 0 Fungsi Kendala:
𝑥1 = 8 𝑥1 = 8
3𝑥2 ≤ 15 3𝑥2+ 𝑆2 = 15 6𝑥1+ 5𝑥2 ≥ 30 6𝑥1+ 5𝑥2− 𝑒1 = 30 𝑥1, 𝑥2, 𝑆1 ≥ 0
Selanjutnya pada fungsi kendala ke 1 dan 3 ditambahkan variabel artificial agar menjadi bentuk baku sebagai berikut.
Fungsi Tujuan: 𝑍 − 3𝑥1− 5𝑥2 = 0
Fungsi Kendala: 𝑥1+ 𝐴1 = 8 3𝑥2+ 𝑆1 = 15 6𝑥1+ 5𝑥2− 𝑒1+ 𝐴2 = 30 𝑥1, 𝑥2, 𝑆1 ≥ 0
Setelah diperoleh persamaan yang sudah dalam bentuk baku dapat dilihat bahwa 𝐴1 = 8 − 𝑥1
𝐴2 = 30 − 6𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑒1
Karena pada contoh soal ini tujuannya untuk mencari nilai maksimal maka fungsi tujuannya menjadi sebagai berikut.
Maksimal 𝑍 = 3𝑥1+ 5𝑥2− 𝑀𝐴1− 𝑀𝐴2 Lalu subtitusikan 𝐴1 dan 𝐴2 yaitu:
𝑍 = 3𝑥1+ 5𝑥2− 𝑀(8 − 𝑥1) − 𝑀(30 − 5𝑥1 − 6𝑥2+ 𝑒1) 𝑍 = 3𝑥1+ 5𝑥2− 8𝑀 + 𝑀𝑥1− 30𝑀 + 5𝑀𝑥1+ 6𝑀𝑥2 − 𝑒1𝑀 𝑍 = (3 + 6𝑀)𝑥1+ (5 + 6𝑀)𝑥2− 𝑒1𝑀 − 38𝑀
𝑍 − (3 + 6𝑀)𝑥1− (5 + 6𝑀)𝑥2+ 𝑒1𝑀 = −38𝑀
Setelah itu akan dilakukan penyelesaian menggunakan tabel simpleks sebagai berikut.
19
Tabel 2. 8 Proses Iterasi Pada Tabel Simpleks
1
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑒1 𝐴1 𝐴2 𝑅𝐾 Rasio
𝐴1 0 1 0 0 0 1 0 8 8
𝑆1 0 0 3 1 0 0 0 15 ~
𝐴2 0 6 𝟓 0 −1 0 1 30 5
𝑍 1 −3
− 6𝑀
−5 − 6𝑀 0 𝑀 0 0 −38𝑀
2
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑒1 𝐴2 𝑅𝐾 Rasio
𝐴1 0 1 0 0 0 1 8 8
𝑆1 0 -2,5 0 1 0,5 0 0 0
𝑥2 0 0,833 1 0 −0,1667 0 5 6
𝑍 1 1,1667
− 𝑀
0 0 −0,833 0 25
− 8𝑀
3
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑒1 𝐴1 𝑅𝐾 Rasio
𝑥1 0 0 −1,2 0 𝟎, 𝟐 1 2 10
𝑆1 0 0 3 1 0 0 15 ~
𝑥1 0 1 1,2 0 −0,2 0 6 −
𝑍 1 0 1,4 – 1,2 𝑀 0 0,6 – 0,2 𝑀 0 18 – 2𝑀
4
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑒1 𝑅𝐾 Rasio
𝑒1 0 0 −6 0 1 10 −
𝑆1 0 0 𝟑 1 0 15 5
𝑥1 0 1 0 0 0 8 ~
𝑍 1 0 −5 0 0 24 −
5
𝑉𝐷 𝑍 𝑥1 𝑥2 𝑆1 𝑒1 RK
𝑒1 0 0 0 2 1 40
𝑥2 0 0 1 0,333 0 5
𝑥1 0 1 0 0 0 8
𝑍 1 0 0 1,6667 0 49
20
Karena pada baris 𝑍 tidak ada lagi yang bernilai negatif maka iterasi berhenti yang berarti bahwa nilai maksimal sudah didapatkan, dengan melakukan iterasi sebanyak 5 kali sehingga didapatkan 𝑥1 = 8 , 𝑥2 = 5 dan 𝑍 = 49.
