SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA
DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROSES KOGNISI MAHASISWA CALON GURU
BERKEMAMPUAN MATEMATIKA TINGGI DALAM
MENGKONSTRUKSI KONJEKTUR MATEMATIKA
I Wayan Puja Astawa
Jurusan Pendidikan Matematika Undiksha, [email protected]
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan proses kognisi mahasiswa calon guru dalam mengkonstruksi konjektur matematika. Subjek penelitian terdiri dari 2 orang mahasiswa jurusan pendidikan matematika Undiksha berkemampuan matematika tinggi dengan jenis kelamin laki-laki dan perempuan. Instrumen yang digunakan untuk mengumpulkan data adalah peneliti sendiri sebagai instrumen utama dan pedoman wawancara berbasis tugas mengkonstruksi konjektur matematika sebagai instrumen bantu. Tugas pada instrumen bantu berisi masalah induksi matematika, baik induksi berdasarkan kasus diskrit maupun induksi berdasarkan kasus kontinu. Hasil penelitian berupa proses kognisi mahasiswa dalam mengkonstruksi konjektur matematika dipaparkan ke dalam 5 tahap mengkonstruksi konektur, yaitu memahami masalah, mengeksplorasi masalah, merumuskan konjektur, mengargumentasi konjektur, dan membuktikan konjektur. Terdapat persamaan dan perbedaan proses kognisi mahasiswa calon guru berkemampuan matematika tinggi dalam mengkonstruksi konjektur matematika antara mahasiswa laki-laki dan mahasiswa perempuan.
Kata Kunci: proses kognisi, konjektur matematika, kemampuan matematika
1. Pendahuluan
Konjektur matematika berperanan penting dalam pertumbuhan dan perkembangan matematika karena teori-teori dalam matematika diawali dengan suatu konjektur dan pembuktiannya (Mazur, 1997). Menyadari akan hal itu maka NCTM (2000) menegaskan bahwa dalam pembelajaran matematika, siswa perlu dibelajarkan untuk mengkonstruksi konjektur. Hal ini tercermin dari salah satu standar matematika sekolah yang ditetapkan NCTM berkaitan dengan standar penalaran dan bukti berkaitan pengukuran kognisi.
Kognisi secara sederhana dapat diartikan sebagai pemerolehan dan penggunaan pengetahuan yang melibatkan banyak kemampuan mental seperti pengenalan pola, perhatian, memori, bayangan visual, bahasa, pemecahan masalah, dan pengambilan keputusan (Reed,
2007). Untuk menghasilkan suatu konjektur matematika maka diperlukan dasar pengetahuan berkaitan dengan konsep matematika bersangkutan. Oleh karena itu, dalam mengkonstruksi konjektur matematika terlibat proses kognisi yang merupakan tahapan-tahapan kognisi dalam menghasilkan konjektur.
Proses kognisi dalam mengkonstruksi konjektur matematika merupakan kajian dari penelitian ini dimana rumusan masalahnya adalah (1) bagaimana proses kognisi mahasiswa calon guru laki-laki berkemampuan matematika tinggi dalam mengkonstruksi konjektur matematika dari masalah induksi berdasarkan kasus kontinu? (2) bagaimana proses kognisi mahasiswa calon guru laki-laki berkemampuan matematika tinggi dalam mengkonstruksi konjektur matematika dari masalah induksi berdasarkan kasus diskrit? (3) bagaimana proses kognisi mahasiswa calon guru perempuan berkemampuan matematika tinggi dalam mengkonstruksi konjektur matematika dari masalah induksi berdasarkan kasus kontinu? (4) bagaimana proses kognisi mahasiswa calon guru perempuan berkemampuan matematika tinggi dalam mengkonstruksi konjektur matematika dari masalah induksi berdasarkan kasus diskrit?
Penelitian dilakukan dengan menggunakan metode penelitian kualitatif seperti dijelaskan oleh Miles & Huberman (1994) dengan subjek sebanyak 2 orang mahasiswa jurusan pendidikan matematika Universitas Pendidikan Ganesha (Undiksha) tahun 2014. Subjek memiliki kemampuan matematika tinggi dengan jenis kelamin laki-laki (kode LT) dan perempuan (kode PT). Kemampuan matematika subjek ditentukan dengan tes dimana item-item tes sebanyak 10 buah diambil dari soal-soal seleksi SBMPTN 2013 dan soal-soal seleksi OSNPTN matematika 2009. Instrumen yang digunakan adalah peneliti sendiri sebagai instrumen utama dan pedoman wawancara berbasis tugas mengkonstruksi konjektur matematika sebagai instrumen bantu. Data proses kognisi PT dan LT dalam mengkonstruksi konjektur matematika dikumpulkan melalui wawancara berbantuan tugas mengkonstruksi konjektur matematika dimana tugas berisi 2 masalah, yaitu masalah induksi berdasarkan kasus kontinu dan masalah induksi berdasarkan kasus diskrit. Masalah induksi berdasarkan kasus kontinu berkaitan dengan materi geometri sebagai berikut.
garis bagi. Buatlah konjektur-konjektur tentang segiempat garis bagi seperti bentuk, posisi, panjang sisi, ukuran luas, atau yang lainnya.
Sedangkan, masalah induksi berdasarkan kasus diskrit berkaitan dengan materi kalkulus seperti berikut.
Untuk n bilangan asli, fungsi fn(x) dari R ke R didefinisikan sebagai berikut
lain
Buatlah konjektur-konjektur tentang fungsi fn(x) berkaitan dengan perubahan nilai-nilai n seperti nilai-nilai fungsi, luas daerah yang dibatasi dengan sumbu koordinat, barisan nilai integral, deret nilai integral, panjang busur, atau yang lainnnya.
Kedua masalah yang digunakan dalam penelitian dikembangkan melalui prosedur penenelitian pengembangan perangkat pembelajaran dengan model 4D (lihat Puja Astawa, 2013) sehingga menjadi instrumen yang valid untuk mengumpulkan data. Untuk memperoleh data yang valid tentang proses kognisi subjek dalam mengkonstruksi konjektur matematika dari tiap masalah maka dilakukan triangulasi dengan menggunakan masalah yang setara. Data yang terkumpul dianalisis dengan metode analisis data penelitian kualitatif yang meliputi pereduksian data, penyajian data, dan penafsiran & penarikan kesimpulan.
2. Hasil Penelitian dan Pembahasan
2.1 Hasil Penelitian
Hasil utama penelitian adalah deskripsi secara lengkap proses kognisi subjek dalam mengkonstruksi konjektur matematika. Proses kognisi LT dan PT pada masalah induksi berdasarkan kasus kontinu adalah: membaca masalah, menentukan apa yang diketahui pada masalah, menentukan apa yang dicari pada masalah, menerjemahkan atau mentransformasi masalah ke dalam gambar, memanipulasi situasi dinamis melalui kontinuitas beragam kasus, mencari suatu sifat matematika yang tetap dalam situasi dinamis sebagai konjektur, mengaitkan sifat-sifat matematika yang ditemukan dengan pengetahuan lain, menggeneralisasi dan menetapkan suatu sifat matematika sebagai konjektur pada kondisi yang lebih umum, memikirkan bentuk kalimat konjektur, mempertimbangkan bahasa yang digunakan dalam konjektur, memikirkan kemudahan mengomunikasikan konjektur, menuliskan rumusan konjektur, memikirkan argumen yang mendasari konjektur, menyadari
perlunya pembuktian konjektur, memikirkan pembuktian konjektur, memilih bukti untuk pembuktian konjektur, dan menyusun pembuktian konjektur. Sementara itu, proses kognisi LT dan PT pada masalah induksi berdasarkan kasus kontinu secara umum adalah sebagai berikut: membaca masalah, menentukan apa yang diketahui pada masalah, menentukan apa yang dicari pada masalah, menerjemahkan atau mentransformasi masalah ke dalam grafik, mengorganisasi situasi diskrit untuk mengamati beragam kasus, mencari pola dari sifat-sifat matematika yang tetap dari berbagai kasus sebagai konjektur, mengaitkan sifat-sifat matematika yang ditemukan dengan pengetahuan lain, menggeneralisasi dan menetapkan suatu sifat matematika yang tetap sebagai konjektur pada kondisi yang lebih umum, memikirkan bentuk kalimat konjektur, mempertimbangkan bahasa yang digunakan dalam konjektur, memikirkan kemudahan mengomunikasikan konjektur, menuliskan rumusan konjektur, memikirkan argumen yang mendasari konjektur, menyadari perlunya pembuktian konjektur, memikirkan pembuktian konjektur, memilih bukti untuk pembuktian konjektur, dan menyusun pembuktian konjektur.
2.2 Pembahasan
Walaupun proses kognisi LT dan PT dalam mengkonstruksi konjektur dari masalah induksi berdasarkan kasus kontinu dan berdasarkan kasus diskrit secara umum sama, tetapi beberapa bagian terdapat perbedaan. Perbedaan tersebut terletak pada menerjemahkan atau mentransformasi masalah ke dalam gambar dan merumuskan konjektur. Pada saat menerjemahkan masalah induksi berdasarkan kasus kontinu LT memperhitungkan beragam bentuk dan ukuran jajargenjang sedangkan PT hanya mempertimbangan ukurannya saja. Pada saat merumuskan konjektur, LT mempertimbangkan bentuk kalimat, bahasa, dan kemudahan mengomunikasikan konjektur sedangkan LT hanya mempertimbangkan bentuk kalimat dan kemudahan megomunikasikan konjektur. Proses kognisi LT dan PT dalam mengkonstruksi konjektur dari masalah induksi berdasarkan kasus kontinu dan berdasarkan kasus diskrit dapat diklasifikasi menjadi 5 langkah pokok yaitu memahami masalah, mengeksplorasi masalah, merumuskan konjektur, mengargumentasi konjektur, dan membuktikan konjektur.
yang memenuhi sifat-sifat tersebut, memvalidasi konjektur, menggeneralisasi konjektur, dan memberi alasan/bukti generalisasi. Demikian pula kognisi LT dan PT dalam mengkonstruksi konjektur dari masalah induksi berdasarkan kasus diskrit dengan proses kognisi dalam mengkonstruksi konjektur dari masalah induksi berdasarkan kasus diskrit yang dikemukakan oleh Canadas, et.al (2007) yang terdiri dari 7 langkah berikut: mengamati beragam kasus, mengorganisasi berbagai kasu), mencari pola, merumuskan suatu konjektur, memvalidasi konjektur, menggeneralisasi konjektur, dan memberi alasan/bukti generalisasi.
Proses kognisi LT dan PT dalam memilih dan menyusun bukti konjektur yang dikonstruksinya sesuai dengan pendapat Healy dan Hoyles (2000) yang menyatakan bahwa ada empat cara yang umum digunakan oleh siswa untuk menunjukkan kebenaran suatu konjektur. Keempat cara itu adalah empiris, naratif, visual, dan aljabar. Menunjukkan kebenaran konjektur secara empiris dilakukan dengan menguji contoh-contoh khusus. Menunjukkan kebenaran konjektur secara naratif dilakukan dengan menjelaskan mengapa sifat-sifat tertentu bernilai benar secara verbal menggunakan bahasa deduktif. Menunjukkan kebenaran konjektur secara visual dilakukan dengan gambar yang menunjukkan mengapa konjektur bernilai benar untuk kasus umum (kasus generik). Menunjukkan kebenaran konjektur secara aljabar dilakukan dengan pernyataan deduktif formal seperti kesamaan atau persamaan. Secara spesifik, LT dan PT memikirkan dan menyusun bukti konjektur secara empiris, naratif, dan aljabar.
3. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa proses kognisi LT dan PT dalam mengkonstruksi konjektur dari masalah induksi kasus kontinu dan masalah induksi kasus diskrit secara umum sama. Proses kognisi tersebut adalah
1. Dalam mengkonstruksi konjektur dari masalah induksi berdasarkan kasus kontinu, proses kognisi LT dan PT adalah membaca masalah, menentukan apa yang diketahui pada masalah, menentukan apa yang dicari pada masalah, menerjemahkan atau mentransformasi masalah ke dalam gambar, memanipulasi situasi dinamis melalui kontinuitas beragam kasus, mencari suatu sifat matematika yang tetap dalam situasi dinamis sebagai konjektur, mengaitkan sifat-sifat matematika yang ditemukan dengan pengetahuan lain, menggeneralisasi dan menetapkan suatu sifat matematika sebagai konjektur pada kondisi yang lebih umum, memikirkan bentuk kalimat konjektur, mempertimbangkan bahasa yang
digunakan dalam konjektur, memikirkan kemudahan mengomunikasikan konjektur, menuliskan rumusan konjektur, memikirkan argumen yang mendasari konjektur, menyadari perlunya pembuktian konjektur, memikirkan pembuktian konjektur, memilih bukti untuk pembuktian konjektur, dan menyusun pembuktian konjektur.
2. Dalam mengkonstruksi konjektur dari masalah induksi berdasarkan kasus kontinu, proses kognisi LT dan PT adalah membaca masalah, menentukan apa yang diketahui pada masalah, menentukan apa yang dicari pada masalah, menerjemahkan atau mentransformasi masalah ke dalam grafik, mengorganisasi situasi diskrit untuk mengamati beragam kasus, mencari pola dari sifat-sifat matematika yang tetap dari berbagai kasus sebagai konjektur, mengaitkan sifat-sifat matematika yang ditemukan dengan pengetahuan lain, menggeneralisasi dan menetapkan suatu sifat matematika yang tetap sebagai konjektur pada kondisi yang lebih umum, memikirkan bentuk kalimat konjektur, mempertimbangkan bahasa yang digunakan dalam konjektur, memikirkan kemudahan mengomunikasikan konjektur, menuliskan rumusan konjektur, memikirkan argumen yang mendasari konjektur, menyadari perlunya pembuktian konjektur, memikirkan pembuktian konjektur, memilih bukti untuk pembuktian konjektur, dan menyusun pembuktian konjektur.
Pustaka
[1] Canadas, M, C., Deulofeu, J., Figueiras, L., Reid, D., and Yevdokinov, O. The Conjecturing Process: Perspectives in Theory and Implication in Practice, Journal of
Teaching and Learning. 5 (1), 55 72 (2007)
[2] Healy, L., & Hoyles, C., A study of proof conceptions in algebra, Journal for Research in
Mathematics Education, 31, 396-428 . (2000)
[3]Mazur. B, Conjecture, Synthese. 111, 197 210 (1997).
[4]NCTM, Principles and Standards for School Mathematics, Reston VA : NCTM Inc, 2000 [5] Miles, M. B. and Huberman, A. M, Qualitative Data Analysis 2nd an Exanded Source
book. California : Sage Publication, 1994
[6] Puja Astawa, I. W, Developing Research Instruments for Profiling Cognitive Processes of
Student in Constructing Mathematical Conjecture from Induction Problem, paper
presented at the International Worskhop on Graph Masters and Mathematics Education Seminar, Unisma Malang, 2013
