Kompetensi Dasar
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan, dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.
Kompetensi Dasar
Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat. Indikator
Menentukan titik-titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu koordinat yaitu sumbu x dan sumbu y.
Menentukan koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat. Menentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat.
Menggambar grafik fungsi kuadrat. Tujuan Pembelajaran
Siswa mampu Menentukan titik-titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu koordinat yaitu sumbu x dan sumbu y.
Siswa mampu Menentukan koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat. Siswa mampu Menentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat.
Siswa mampu Menggambar grafik fungsi kuadrat. Sumber dan Alat Pembelajaran
Satuan Pendidikan : Sekolah Menengah Atas Kelas / Semester : X /I (Ganjil)
Materi Ajar memulai pembelajaran. ( dengan do’a bersama sebelum memulai pembelajaran, itu untuk mengajarkan kepada siswa agar hendaknya sebelum memulai segala sesuatu dengan berdo’a agar aktivitas yg akan dilakukan berkah dan bermanfaat). Guru Menanyakan kabar dan Mengecek ketidakhadiran siswa.
Guru Memotivasi siswa dengan menjelaskan manfaat dari mempelajari materi mengenai grafik fungsi kuadrat.
Guru Mengecek Kemampuan Prasyarat siswa.
Mengecek Kemampuan Prasyarat :
Sebelum memulai untuk materi yang akan diajarkan, perlu bagi seorang guru untuk mengecek kemampuan prasyarat siswa, agar kita mengetahui sejauh mana kesiapan para siswa untuk memulai pembelajaran yang akan diajarkan. Tujuan lain dari mengecek kemampuan prasyarat ini adalah untuk mengaitkan pengetahuan pengetahuan awal (prasyarat) dengan materi yang akan diajarkan agar terjadi sinkronisasi pengetahuan terdahulu dengan pengetahuan yang akan diajarkan. Sesuai dengan sifat matematika yang bersifat hirarkis, yaitu suatu materi merupakan prasyarat untuk materi berikutnya (saling terkait).
Materi prasyarat untuk menggambar grafik fungsi kuadrat adalah menggambar grafik fungsi liner pada bidang kartesius. Berikut adalah langkah kegiatannya :
Guru menanyakan tentang bentuk umum persamaan linier.
“Sebelum bapak memulai pelajaran tentang grafik fungsi kuadrat, ayoo, siapa yang masih ingat bentuk umum fungsi linier?” (diantara para siswa kemungkinan
Guru menanyakan bentuk kurva/grafik fungsi linier.
“kalau begitu ada yang ingat dan memberitahu teman-teman seperti apa bentuk dari gambar/grafik fungsi linier pada bidang kartesius berbentuk apa ? (jawabannya adalah berupa garis lurus. Ada atau tidak nya siswa yang menjawab, kita harus memberikan contoh agar kita lebih tahu mengenai kemampuan prasyarat siswa.
Guru memberikan contoh soal.
“Iya betul sekali Ahmad, bentuk dari grafik fungsi linier adalah garis lurus. Nah
sekarang bapak akan memberikan contoh soal tentang grafik fungsi Linier. Misal fungsi Tentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu X dan Y,Domain, Range serta
Gambar kan grafiknya pada koordinat kartesius.”
Guru menulis soal di atas di papan tulis, dan juga sebuah tabel pasangan terurut (koordinat titik) fungsi tersebut yang kosong, dengan tujuan nanti di isi oleh beberapa siswa yang mau menjawab. Di bawah ini adalah tabel yg dimaksud :
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... Guru menanyakan siswa tentang daerah asal (domain) kepada siswa dan
mempersilahkan siswa yang mau menjawab maju kedepan untuk mengisi daerah asal atau domain pada tabel tersebut.
“Nah jadi dari soal dipapan tulis, apa Domainnya?, ayo yang bisa jawab angkat
tangan” (dari soal di atas, sudah diberitahuan domainnya adalah Namun maksud dari guru menanyakan hal ini adalah, untuk mengecek apakah siswa bisa memahami maksud dari simbol matematika dari (diantara para siswa kemungkinan besar ada yang benar menjawab, yaitu “ domainnya adalah dari -5 sampai 3 pak !” )
Lalu guru mempersilahkan siswa menuliskan domainnya pada tabel di papan tulis, hal ini agar siswa lebih terlibat aktif dalam kegiatan pembelajaran, di bawah ini adalah tabel hasil dari isian siswa :
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
... ... ... ... ... ... ... ... ...
Lalu guru menanyakan tentang range dan mempersilahkan siswa mengisi tabel.
didapat dari mana) ( yaitu di dapat dari mensubtitusikan setiap nilai x di domain pada fungsi linier nya). Di bawah ini adalah tabel yg telah diisi siswa :
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5
Guru menanyakan sekali lagi range nya, dan membimbing siswa untuk menuliskannya ke dalam simbol matematika yaitu
Lalu guru mempersilahkan para siswa menggambarkan grafik fungsi liniernya pada koordinat kartesius di papan tulis. (di bawah ini kira2 gambar yang akan dibuat oleh siswa : Grafik
Guru menanyakan titik potong dengan sumbu x pada saat apa ? dan titik potong dengan sumbu y pada saat apa ?
(pada materi ini tentu siswa sudah diajarkan tentang titik potong fungsi linier dengan sumbu X dan Y, yaitu titik potong grafik fungsi linier terhadap sumbu x adalah ketika y=0, dan titik potong terhadap sumbu y adalah pada saat x=0. Dan maka dari itu didapat bahwa kurva fungsi linier akan selalu memotong(melalui) titik (0,b) dan . Dimana titik (0,b) adalah titik potong grafik fungsi linier dengan sumbu Y, dan titik adalah titik potong dengan sumbu X.
“Dari grafik yang kalian gambar tadi, koordinat yang memotong sumbu x dan y
titik/koordinat , dan koordinat/titik yang memotong sumbu y pada titik (0,-1). ]
Guru menyimpulkan titik potong dengan sumbu x dan y.
Dari jawaban siswa, lalu kita hubungkan dengan pengetahuan mereka sebelumnya tentang titik potong grafik fungsi linier terhadap sumbu X dan Y. Dengan tujuan bahwa rumus yang mereka ketahui selama ini memang benar. Kegiatan Inti
Guru menyampaikan pada siswa bahwa merekan akan memasuki materi yg akan di pelajarkan.
Guru menerangkan tentang fungsi kuadrat , pengertiannya dan bentuk umumnya. Guru memberikan beberapa contoh fungsi kuadrat :
“Perhatikan papan tulis, coba kalian diskusikan tentang contoh-contoh fungsi
kuadrat tersebut!” ( setelah beberapa menit siswa berdiskusi, maka guru
mempersilahkan para siswa mengemukakan hasil analisa mereka.)
Mungkin akan ada siswa yang menjawab, “pangkat tertingginya 2.” atau “pangkat tertinggi dari peubah (variabel) x sama dengan 2.”
Jadi kita sebagai guru memberikan penguatan, terhadap pernyataan dari siswa yg
menjawab seperti diatas seperti “Nah, jawaban kalian tepat sekali, jadi fungsi
yang memiliki ciri seperti yang kalian sebutkan di atas disebut Fungsi Kuadrat dalam peubah x.”
Guru memberikan informasi tentang Definisi bentuk umum fungsi kuadrat. Bentuk umum fungsi kuadrat :
(mungkin ada siswa yang kritis menanyakan “kenapa tidak boleh sama dengan
0?”) kita akan bimbing siswa tersebut dengan cara menyuruh dia mensubtitusikan
. dan bentuk disamping bukan merupakan fungsi kuadrat karena tidak memenuhi dari definisi dan ciri-ciri dari fungsi kuadrat. dan bentuk persamaan baru disamping merupakan bentuk dari fungsi linier.
Jadi siswa bisa menyimpulkan apabila a=0, maka fungsinya bukan fungsi kuadrat lagi melainkan fungsi linier.
Guru memberikan fungsi kuadrat sederhana dan menyuruh siswa menggambarkan dengan cara yang hampir sama dengan cara menggambar fungsi linier.
Fungsinya : . Lalu guru mengajukan kepada siswa siapa yg mau maju menggambarkan grafiknya dengan cara yang hampir sama dengan menggambar grafik fungsi linier.
Lalu mungkin ada siswa yang nanya “ pa, daerah asalnya apa ?” atau “ pa, x nya
dari mana sampai mana?”
Kita jelaskan, kalau ada soal seperti itu, yang tidak ada domainnya, untuk menggambarkannya kita bebas memulai x nya dari mana sampai mana.
Lalu siswa menuliskan tabel pasangan terurut di papan tulis :
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
13 7 3 1 1 3 7 13 21 Grafiknya kurang lebih seperti ini :
Dari gambar disamping dan kalau perlu kita beri satu contoh lagi tentang grafik fungsi kuadrat, lalu kita ajak siswa mengamati grafiknya.
Yg dibenak siswa adalah, jadi kurva grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola.
Kemudian muncul kembali pertanyaan-pertanyaan di benak siswa tentang grafik fungsi kuadrat.
Guru mempersilahkan para siswa untuk bertanya
Ketika para murid mulai antusias bertanya dan memperhatikan, inilah saat yang tepat untuk memulai memasuki materi tentang komponen-komponen dalam menggambar grafik fungsi kuadrat. Guna menjawab rasa penasaran siswa.
Guru menjelaskan secara singkat tentang langkah menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat yaitu :
1. Tentukan titik potong f(x) dengan sumbu X dan Y. 2. Tentukan persamaan sumbu simetrinya.
3. Tentukan koordinat Titik puncak nya (titik maksimum/minimum).
4. Gambarkan koordinat titik-titik langkah 1,2 dan langkah 3 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus. Guru menyampaikan langkah 1 secara singkat.
Guru menjelaskan bahwa cara-cara untuk mencari perpotongan terhadap sumbu x dan y sama seperti pada fungsi linier tapi ada beberapa tambahan.
Titik potong pada sumbu x pada saat y = 0, sehingga , yang merupakan persamaan kuadrat dengan variabel x. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu x.
Guru menginformasikan bahwa Nilai Diskriminan persamaan kuadrat , yaitu , menentukan banyaknya titik potong dengan sumbu x :
Untuk mengetahui tentang nilai D dan kemungkinan apa saja yang terjadi pada grafik fungsi jika nilai D pada nilai tertentu. Guru nanti akan mendemonstrasikannya pada software Geogebra, dan membimbing siswa dalam nenyimpulkan banyaknya titik potong pada sumbu x, pada saat D bernilai tertentu.
Titik potong pada sumbu y pada saat x = 0.
Guru mengajak siswa mensubtitusikan x=0 pada bentuk umum fungsi kuadrat diperoleh y= .
Jadi guru membimbing siswa bahwa titik potong terhadap sumbu y adalah (0,c). Dan titik potong terhadap y bergantung pada nilai dari c.
Lalu mungkin ada siswa yang bertanya :
“kan c anggota bilangan Real, bagaimana kalau c nya bernilai positif, negatif atau sama dengan nol ?, dan bagaimana grafiknya ?
Kalau tidak ada yang bertanya, Guru akan menginformasikan bahwa nanti kita akan mendemostrasikan grafik fungsi kuadrat pada software Geogebra guna mengetahui bentuk-bentuk dan kemungkinan apa saja yang terjadi pada grafik fungsi kuadrat pada nilai c tertentu.
Guru bersama siswa menemukan rumus sumbu simetri.
Guru menampilkan gambar grafik fungsi kuadrat pada PPT atau bisa juga menuliskannya pada papan tulis. Lalu menyuruh siswa mangamati gambar tersebut dan mendiskusikannya dengan teman.
Guru menayakan hasil pengamatan dan diskusi tersebut. Hasil pengamatan yang diharapkan guru adalah :
1. x1, dan x2 merupakan titik potong grafik pada sumbu x. 2. Xs merupakan sumbu simetri.
3. xs sejajar sumbu y.
4. Sumbu simetri membagi kurva menjadi dua bagian yang sama dan simetri. Guru membimbing siswa menemukan rumus persamaan sumbu simetri :
“anak-anak, dimana letak sumbu simetri simetri?” ( letaknya tepat di tengah antara x1 dan x2)
Jarak dari kota O ke Kota A adalah 100 KM, jarak kota O ke kota B adalah 250 km, kota S berada tepat di antara kota A dan B. Maka berapak KM kah jarak kota S terhadap kota O?
( jawabannya sederhana karena memakai angka, cara jawabnya memakai garis bilangan)
0 100 km 250 km
O A S B
Jawab : karena jarak AS = BS maka bisa di simpulkan bahwa
Jadi jarak dari Kota S ke kota O adalah 75. Km
Dari contoh di atas tentulah siswa kemungkinan bisa menentukan rumus sumbu simetri
Akan tetapi, rumus di atas masih dalam bentuk x1 dan x2,maka dari itu pada pertemuan sebelumnya telah dijelaskan tentang hubungan akar-akar persamaan kuadrat terhadap koefisiean-koefisien pada fungsi kuadrat yaitu koefisien a,b,dan c.
Guru mengingatkan kembali hubungan akar-akar dengan koefisien-koefisien pada persamaan kuadrat. :
Pada persamaan no satu, guru membimbing siswa dengan mensubtitusikan persamaan tersebut ke persamaan , maka proses nya :
⁄
Guru dan siswa bersama-sama menyimpulkan bahwa persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat adalah
Guru membimbing siswa menemukan koordinat titik puncak.
Guru menampilkan gambar pada slide, dan menyuruh siswa mengamati titik puncak lalu meminta siswa memberikan tanggapan.
(jawaban yang diharapkan dari siswa adalah titik puncak grafik fungsi kuadrat berada pada sumbu simetri).
“kita misalkan titik puncaknya adalah P( maka” :
( )
Guru telah menerangkan tentang langkah-langkah menggambar grafik FK, selanjutnya guru memulai pembelajaran dengan media software Geogebra, guna memvisualisasikan tentang grafik FK pada suatu kondisi tertentu.
Guru menjelaskan macam-macam bentuk dan posisi dari grafik fungsi kuadrat. Dengan bantuan software geogebra.
Gambar grafik pada saat koefisien a>0, a<0 dan a = 0
Gambar Grafik fungsi kuadrat untuk a > 0 pada software Geogebra :
Gambar Grafik fungsi kuadrat untuk a = 0 pada software Geogebra :
Dari hasil menggeser slider koefisien a tersebut maka jelas terlihat bahwa untuk a>0 grafik FK nya terbuka ke atas, saat a=0 grafik menjadi persamaan garis lurus ( persamaan linier ) dan pada saat a < 0, grafiknya terbuka ke bawah.
Jadi guru tidak perlu menjelaskan lagi, para siswa sudah bisa mengambil kesimpulan sendiri tentang perubahan nilai koefisien a terhadap grafik FK. Guru melakukan hal yang sama pada slider koefisien b dan c.
Guru menanyakan apa yang terjadi pada grafiknya jika koefisien b dan c yang di ubah / di geser nilainya.
(siswa sudah bisa menyimpulkan karena melihat dari tayangan guru. Yaitu untuk koefisien c, jika diubah ke arah bilangan negatif, maka grafik akan bergeser ke bawah , dan jika di geser ke arah bilangan positif, maka grafik bergeser ke atas. Grafik memotong sumbu y (tergantung pada nilai koefisien c).
(untuk koefisien c, jika c>0 maka grafik fungsi f memotong sumbu y di atas titik O(0,0). Jika c = 0 maka grafik fungsi f memotong sumbu y tepat di titik O(0,0). Jika c<0 maka grafik f memotong sumbu y di bawah titi O(0,0).
Grafik memotong sumbu X tergantung pada nilai Diskriminan sesuai dengan penjelasan di atas. Lalu guru menampilkan contoh grafik dengan nilai Diskriminan yang berbeda-beda agar siswa dapat mengamati perubahan apa yang terjadi dan bisa menyimpulkan sendiri tentang yang mereka lihat.
Berikut grafik FK pada saat D > 0, D = 0 , dan D < 0.
Gambar Grafik fungsi kuadrat untuk D = 0 pada software Geogebra :
Gambar Grafik fungsi kuadrat untuk D < 0 pada software Geogebra :
Guru membimbing siswa agar menyimpulkan dari perubahan nilai D adalah : Untuk D>0 maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik berbeda.
Untuk D=0 maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berimpit, atau menyinggung sumbu x di satu titik.
Untuk D<0 maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.
Selanjutnya siswa sudah siap menerima soal dan menggambarkannya pada bidang koordinat kartesius.
Guru memberikan siswa soal latihan fungsi kuadrat, misalnya : Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat dari
Siswa mengerjakan soal latihan berdasarkan langkah-langkah petunjuk yang sudah diterangkan di atas, dan juga menggunakan rumus-rumus yang telah juga dibelajarkan di atas.
Penyelesaian soal latihan :
1. titik potong dengan sumbu x dan y
a). Titik potong dengan sumbu x diperoleh saat y=0.
Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (1,0) dan (2,0). b). Titik potong dengan sumbu y diperoleh pada saat x = 0.
= 2
Jadi titik potongnya dengan sumbu y adalah (0,2). 2. Koordinat titik puncak atau titik balik.
P =
Oleh karena a = 1 > 0, maka P merupakan titik balik minimum, dan parabolanya terbuka ke atas.
3). Dari uraian di atas, sketsa grafik fungsi kuadrat dapat dilukiskan :
Guru bersama siswa menyimpulkan apa yang telah dipelajari.
Setelah selesai mengerjakan, hasil jawaban siswa dikumpul dan dikoreksi sebagai penilaian hasil belajar siswa dan juga untuk mengetahui seberapa efektif kinerja kita dalam mengajar.
Penutup
Guru sekali lagi menyimpulkan langkah-langkah menggambar grafik sketsa fungsi kuadrat
sebagai penguatan.
Guru memberikan tugas kepada siswa.
