TOPIK 12 DESIGN OF EXPERIMENT (DOE)

(1)

Hlm. 1 LD, Semester II 2003/04

TOPIK 12

PRODUCT & PROCESS DESIGN PRINCIPLES

DESIGN OF EXPERIMENT (DOE)

TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK

1. PENDAHULUAN

1. Dapat digunakan untuk identifikasi variabel keputusan yang diperlukan untuk pengendalian atau perbaikan kualitas.

2. Dalam pengembangan proses baru, dapat digunakan untuk menentukan faktor penting untuk memaksimumkan output atau reduksi biaya:

Reduksi waktu antara pengembangan & manufakturing; Menghasilkan desain yang robust terhadap noise.

PROSES

Input Response: YY X₁ X₂ X_k …… …… Z₁ Z₂ Z_m

FAKTOR DESAIN (controllable)

FAKTOR NOISE (uncontrollable)

Kerangka DOE :

(2)

CHECK ACTION PLAN DO

PDCA Cycle

P D A C P D A C Continuous Improvement FOKUS PERAN DOE Hlm. 4 LD, Semester II 2003/04

1.Faktor :

variabel independen (controllable parameters).

Kuantitatif :

level faktor dinyatakan dalam rentang;

Kualitatif :

diskrit, dalam bentuk klasifikasi.

2.Respon :

hasil yang diobservasi atau diukur pada tingkat faktor atau tingkat

perlakuan tertentu.

3.Perlakukan (treatment) :

kombinasi tertentu dari tingkat faktor yang

efeknya pada variabel respon menjadi obyek pengamatan.

4.Unit Eksperimental :

kuantitas material maksimum (untuk menufaturing)

atau jumlah layanan (untuk sektor jasa) yang dikenai 1 kali treatment.

5.Unit Sampling :

bagian / fraksi dari unit eksperimental yang diukur efek

eksperimennya.

6.Kesalahan (error) eksperimental :

variasi antar respon terhadap

treatment yang sama, terjadi karena noise (uncontrollable factor)

Terminologi :

(3)

2. COMPLETELY RANDOMIZED DESIGN (CRD)

Matriks Data :

Y.. Y.r … Y.3 Y.2 Y.1 ΣReplikasi Yp. Ypr … Yp3 Yp2 Yp1 p

…3 Y31 Y32 Y33 … Y3r Y3.

Y2. Y2r … Y23 Y22 Y21 2 Y1. Y1r … Y13 Y12 Y11 1 r … 3 2 1 ΣTreatment REPLIKASI (j) TREATMENT (i)

Model Statistik :

ij

j

ij

Y

=

µ

+

τ

+

ε

dimana

τ

j

= dampak treatment

ε

ij

= error random terkait dengan observasi ij

µ

= rata-rata total

Tabel Anova CRD :

MST = SST / (pr – 1) pr – 1 Total MSE = SSE / [p(r – 1)] p (r – 1) SSE = SST - SSTR Error F_Statistik= MSTR/MSE MSTR = SSTR / (p – 1) p – 1 Treatment FStatistik MEAN OF SQUARE DEGREE OF FREEDOM SUM OF SQUARE SUMBER pr .. Y r . Y SSTR 2 2 p 1 i i ₋ =

∑

=

∑ ∑

= = − = _ip₁ r_j ₁ 2 2 pr .. Y Yij SST

Uji Hipotesis :

1. H0 : µ1 = µ2= µ3=… = µp

H1: minimum 1 µtidak sama 2. Kriteria penolakan :Fα,(p-1),p(r-1)

Terima H₀jika F_Statistik≤Fα,(p-1),p(r-1) Tolak H0jika FStatistik> Fα,(p-1),p(r-1)

(4)

Contoh 1 : CRD

Tiga macam lem yang berbeda diuji dampaknya terhadap kekuatan lekat kertas dalam pulp. Ketiga lem tersebut secara random dicampurkan dalam 4 batch kertas secara terpisah. Data kekuatan rekat diberikan pada tabel di bawah. Apakah ada perbedaan kekuatan rekat antar ketiga lem tersebut untuk α=5% ?

4 3 2 1 11,258 135,1 8,725 34,9 9,2 8,7 9,8 7,2 3 15,4 12,4 13,3 9,6 14,050 56,2 14,7 12,8 2 11,000 44,0 11,8 10,2 1 MEAN (Treatment) SUM (Treatment) REPLIKASI (Kekuatan Rekat)

TREATMENT: Jenis Lem

[

]

19,359

F

13,278

SSE

57,111

SSTR

70,389

SST

Statistik

₋

=

−

=

−

=

−

=

−

+

=

−

=

−

=

−

=

∑

∑ ∑

= =

475 ,

1

555 ,

28

9 /

278 ,

13

2 /

111 ,

57 )

r

1 (

p

/

SSE

)

1 p

/(

SSTR

MSE

MSTR

111 ,

57

389 ,

70 SSTR

SST

)

4 (

3 )

1 ,

135 (

4 )

9 ,

34 (

)

2 ,

56 (

)

44 (

rp

..

Y

r

.

Yi

)

4 (

3 )

1 ,

135 (

390 ,

1591

pr

..

Y

Yij

2 2 2 2 2 r j 2 2 p 1 i r 1 j 2 2 Hlm. 8 LD, Semester II 2003/04

70,389 pr-1=3(4)-1=11 Total 1,475 13,278 p(r–1) = 3(4-1) = 9 Error 19,359 28,555 57,111 p–1 = 2 Treatment: Lem F_Statistik MS SS DOE SUMBER VARIASI F0,5;2;9 = 4,26 < F Statistik Kesimpulan:

Tolak H₀→ada perbedaan signifikan antara rata-rata kekuatan rekat dari ketiga lem yang diuji

(5)

3. BLOCKING DALAM DOE

Blocking

:

Digunakan untuk mengisolasi treatment dari pengaruh faktor lain (nuisanceor noise).

Contoh Faktor Blocking :

Diperkirakan alat ukur mempengaruhi variasi produk Alat pengukuran aktual yang digunakan (random effect) Unit produk ttt (random effect) Reduksi variasi dalam

dimensi produk

Umur mobil mencerminkan performansi mobil (0-1; 2-3; 4-5)

Umur mobil (fixed & random effect) Beberapa zat

aditif Meningkatkan efektivitas zat aditif bahan baku untuk mereduksi polusi

Kelembaban mempengaruhi proses. Block: pagi, siang, malam

Waktu,

kelembaban (fixed & random effect) Temperatur

tertentu (fixed effect) Menentukan temperatur

pengeringan terbaik untuk kualitas produk

Setiap operator sebagai block (diduga operator berdampak pada kecepatan rakitan) Operator (random effect) Metoda perakitan (fixed effect) Menentukan metoda perakitan tercepat KETERANGAN VARIABEL BLOCKING FAKTOR INTEREST TUJUAN

Model Statistik :

block

dampak

treatment

dampak

=

+

=

j i ij j i

β

ε

τ

µ

Yij

β

τ

Konsep Blocking :

(a) No blocking: Completely Randomized Design(CRD) SSTR SSTR _SSE_SSE SSTRSSTR SSTBSSTB SSTRSSTR SST SST SSE

SSE SSESSE

SSTB1 SSTB1 SSTB2 SSTB2 SST SST SSTSST

(b) Blocking pada 1 var. noise: Randomized Complete Block Design (RBD)

(c) Blocking pada 2 var. noise: Latin Square Design (LSD)

(6)

TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK

_{3. RANDOMIZED BLOCK DESIGN (RBD)}

Matriks Data :

Y.. Y.r … Y.3 Y.2 Y.1 ΣBLOCK-j Yp. Ypr … Yp3 Yp2 Yp1 p

…3 Y31 Y32 Y33 … Y3r Y3.

Y2. Y2r … Y23 Y22 Y21 2 Y1. Y1r … Y13 Y12 Y11 1 r … 3 2 1 ΣTREATMENT-i BLOCK (j) TREAT-MENT (i)

Tabel Anova RBD :

MSB = SSB / (r – 1) r – 1 SSB Block MST = SST / (pr – 1) pr – 1 SST Total MSE = SSE / [ (p–1)(r–1)] (p – 1) (r – 1) SSE = SST – SSTR – SSB Error FStatistik= MSTR/MSE MSTR = SSTR / (p – 1) p – 1 SSTR Treatment FStatistik MS DOE SS SUMBER Kriteria penolakan H

Kriteria penolakan H00: F Statistik > F: F Statistik > F0,5;2;9 0,5;2;9 = 4,26= 4,26

Formula :

[

]

) 1 r )( 1 p ( ), 1 p (, Statistik 0 1 p 3 2 1 0 2 r j 2 2 r j 2 p 1 i r 1 j 2 2

F

:

H

penolakan

Kriteria

tidak sama

µ

1 imum

min

:

H

...

:

H

)

r

1 )(

1 p

(

/

SSE

)

1 p

/(

SSTR

MSE

MSTR

SSB

SSTR

SST

pr

..

Y

p

j

.

Y

pr

..

Y

r

.

Yi

pr

..

Y

Yij

− − − = =

>

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

∑

∑ ∑

α

µ

:

treatment

2 -rata

antar

perbedaan

Uji

F

5. SSE

4. SSB

3. SSTR

2. SST

1.

Statistik

(7)

(

Y

.

Y

.

)

t

2 MSE/r

)

L(µ

MSE/r

t

i.

Y

)

L(µ

)

1 r

)(

1 p

(

),

1 r

(

,

F

MSE

/

MSB

) 1 )(r-1 ,(p-2 α/ 2 1 2 1 ) 1 )(r-1 ,(p-2 α/ i

±

−

=

−

±

=

−

>

=

µ

α

:

rata

-rata

2 antar

perbedaan

Estimasi

:

treatment

hasil

dari

rata

-rata

interval

Estimasi

F

jika

efektif

Blocking

F

:

blocking

s

efektivita

Uji

B B

Contoh 2 : RBD

Untuk menjaga stabilitas temperatur ruangan, diperlukan pemasangan insulator pada ruangan. Untuk mendapatkan efisiensi terbaik, perusahaan konstruksi bermaksud menguji efisiensi dari 3 insulator yang berbeda. Karena lokasi ruang yang dibangun bervariasi dengan temperatur yang berbeda, maka disusun rencana eksperimen sebagai berikut.

Perusahaan membagi area menjadi 4 lokasi geografis berdasarkan perbedaan iklim. Pada setiap lokasi geografis, secara random digunakan 3 jenis insulator dan diukur energy loss dalam sebuah indeks. Indeks yang lebih kecil

merepresentasikan energy loss yang lebih rendah. Tabel berikut memperlihatkan data energy loss index untuk 3 jenis insulator di 4 lokasi yang berbeda.

a. Apakah ada perbedaan antar rata-rata energy loss indexdari ketiga insulator untuk tingkat signifikansi α= 10%?

b. Tentukan estimasi interval untuk rata-rata energy loss indexdari insulator 3 dengan confidence interval 99%.

c. Tentukan estimasi interval untuk perbedaan rata-rata energy loss indexdari insulator 3 dan insulator 2 dengan confidence interval 90%. Apakah ada perbedaan antar rata-2 energy loss indexdari kedua insulator tersebut? d. Insulator mana yang sebaiknya dipilih?

(8)

Solusi a :

55,636

rp

y

p

y

SSBlock

253,596

rp

y

r

y

SSTR

313,683

pr

y

SST

2 .. j .j2 2 .. p 1 i i.2 2 .. i j ij2

=

−

+

=

−

=

−

+

=

−

=

−

=

−

=

∑

∑ ∑

=

)

4 (

3

9 ,

108

3 )

5 ,

21 (

)

7 ,

27 (

)

1 ,

22 (

)

6 ,

37 (

)

4 (

3

9 ,

108

4 )

5 ,

16 (

)

6 ,

31 (

)

8 ,

60 (

)

4 (

3

9 ,

108

95 ,

1301

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Tabel data :

9,075 7,167 9,233 7,367 12,533 MEAN (Block-j) IV III II I 108,9 21,5 27,7 22,1 37,6 SUM (Block-j) 4,125 16,5 2,8 2,9 2,9 6,7 3 6,2 12,5 7,3 16,3 7,9 31,6 6,4 11,7 2 15,2 60,8 12,8 19,2 1 MEAN (Treatment-i) SUM (Treatment-i) LOKASI GEOGRAFIS (j) TREATMENT: Jenis Insulator (i)

18,545 55,636

3 BLOCK: Lokasi Geografis

0,742 4,451 6 ERROR 313,683 11 TOTAL 170,887 F Stat 126,798 MS 253,596 2 TREATMENT: Insulator SS DOF SUMBER VARIASI

Tabel Anova RBD :

Kriteria keputusan : F

_10%,2,6

= 3,46

Karena F Stat > F

_10%,2,6

, maka minimum 1 rata-rata

energy loss index

berbeda dari rata-rata

energy loss index

yang lain.

Solusi b :

5,722)

;

(2,528

=

±

=

±

=

±

=

597 ,

1

125 ,

4

4 /

742 ,

0 )

707 ,

3 (

125 ,

4

4 MSE/

t

Y

)

L(µ

₃ ₃ ₀_,₀₀₅_;₆

Solusi c :

4,958)

;

(2,592

=

±

=

±

−

=

±

−

=

−

183 ,

1

775 ,

3

4 /

)

742 ,

0 (

2 )

943 ,

1 (

)

125 ,

4

9 ,

7 (

4 MSE/

2 t

)

Y

(

)

µ

L(µ

₂ ₃ ₂ ₃ ₀_,₀₅_;₆ Karena interval tidak mencakup angka nol, _{dapat disimpulkan bahwa terdapat} perbedaan signifikan antara rata-rata energy loss index insulator 2 & insulator 3 pada tingkat signifikansi 10%

(9)

Solusi d :

Karena semakin kecil nilai index semakin rendah energy loss yang terjadi, maka

disarankan untuk memilih

insulator 3

.

Analisis:

Pada solusi c diperlihatkan bahwa dibandingkan insulator 2, secara statistik rata-rata

energy loss index insulator 3 lebih rendah. Dan karena rata-rata energy loss index

insulator 1 bahkan lebih tinggi dari insulator 2 & 3, maka disarankan untuk memilih

insulator 3.

4. LATIN SQUARE DESIGN (LSD)

Merupakan incomplete block design;

Treatment ditulis dengan huruf latin A, B, C, …..

Jumlah unit eksperimental = p

2

_{, dimana p = jumlah eksperimen.}

Kelebihan LSD:

memungkinkan blocking 2 variabel

→

mereduksi

variabilitas error eksperimental.

Kekurangan LSD:

Σ

Kelas setiap variable blocking =

Σ

Treatment

→

degree of

freedom untuk error eksperimental

↓

jika

Σ

treatment

↓

;

Σ

unit eksperimental = (

Σ

Treatment)

2

_{⇒ Σ}

_{Treatment dibatasi}

_≤

10;

Batasan model :

1. Tidak ada interaksi antara treatment & var. blocking atau

antar var. blocking;

(10)

Desain LSD :

Standar Latin Square Design dengan 5 treatment:

A E D C B 2 E D C B A 1 5 4 3 2 1 B A E A E D D C E 5 C B D 4 B A C 3 BLOCKING VARIABLE 1 BLO C KIN G VAR IAB EL 2

Randomisasi dalam LSD :

5 5 762 1 4 658

URUTAN BARU BARIS RANK ORDER BIL. RANDOM 4 3 2 1 157 2 322 3 409

Urutan awalbaris; disusun berdasarkan nilai Bil. Random

1. Perubahan Urutan Baris

A E D C B 2 E D C B A 1 5 4 3 2 1 B A E A E D D C E 5 C B D 4 B A C 3 BV 1 BV 2

Randomisasi dalam LSD :

5 2 379 1 1 368

URUTAN BARU KOLOM RANK ORDER BIL. RANDOM 4 3 2 3 452 5 870 4 721

Urutan awalkolom; disusun berdasarkan nilai Bil. Random

2. Perubahan Urutan Kolom

B A E D C 2 C B A E D 1 5 4 3 2 1 B C D A B C D C E 5 E D A 4 A E B 3 BV 1 BV 2 D E B A C 2 E A C B D 1 5 4 3 2 1 D E A C D E A B E 5 B C A 4 C D B 3 BV 1 BV 2

a. Standard LSD b. Randomisasi baris LSD b. Randomisasi kolom LSD

Contoh Desain LSD :

(11)

_{TABEL DATA LSD :}

Y.. Y.r … Y.3 Y.2 Y.1 ΣKOLOM Yp. Ypr … Yp3 Yp2 Yp1 p

…3 Y31 Y32 Y33 … Y3r Y3.

Y2. Y2r … Y23 Y22 Y21 2 Y1. Y1r … Y13 Y12 Y11 1 r … 3 2 1 ΣBARIS KOLOM BV-1 BARIS BV-2 Tr r = Tk / p … … T3 3 T2 2 T1 1 TREATMENT k MS SS 1

y

2

y

3

y

r 2 2 .. p 1 k k2 2 2 .. j .j2 2 2 .. i i.2 2 2 .. i j ij2

p

y

p

T

SSTR

p

y

p

y

SSCol

p

y

p

y

SSRow

p

y

SST

−

=

−

=

−

=

−

=

∑

∑ ∑

= E TR E 2 E 2 E

SSE/dof

MSE

SSTR/dof

MSTR

)

2 )(p

1 (p

dof

2 p

3 p

dof

)

1 (p

)

1 (p

)

1 (p

)

1 (p

dof

=

−

=

+

−

=

−

=

−

=

MSE

MSTR

F

SSTR

SSC

SSR

SST

SSE

TR

dof

_T

=(p

2

_-1)

dof

_R

=(p-1)

dof

_C

=(p-1)

dof

_TR

=(p-1)

Tabel Anova LSD :

FC= MSC/MSE MSC = SSC / (p – 1) SSC p - 1 Kolom : Blocking Variable 2 FTR= MSTR/MSE MSTR = SSTR / (p-1) SSTR p - 1 Treatment MST = SST / (p2_{– 1)} SST p2_{- 1} Total F_R= MSB/MSE MSB = SSB / (p – 1) SSR p - 1 Baris : Blocking Variable 1 MSE = SSE / [ (p–1)(p–2)] SSE = SST – SSTR – SSC – SSB (p-1)(p-2) Error FStatistik MS SS Dof SUMBER VAIRASI Kriteria penolakan H

(12)

Contoh 3 : LSD

Sebuah perusahaan retail tertarik untuk menguji dampak dari 4 kebijakan

harga (pricing policy)

A, B, C,

dan

D

pada tingkat penjualan. Perusahaan

menduga variasi pada penjualan diperngaruhi oleh faktor lain disamping

kebijakan harga, seperti lokasi toko dan volume penjualan.

Perusahaan telah membuat klasifikasi lokasi menjadi 4:

Timur-laut, Timur,

Barat-tengah,

dan

Tenggara

, dan volume penjualan menjadi 4 kelas:

1, 2,

3,

dan

4 dimana kelas 1 merepresentasikan volume penjualan terbesar,

sedang kelas selanjutnya menunjukkan volume penjualan yang semakin

kecil. Setiap kebijakan harga diterapkan

satu kali

pada setiap lokasi dan

setiap kelas penjualan. Tabel data memperlihatkan nilai penjualan untuk

periode 3 bulan dengan kebijakan harga yang terkait.

a. Apakah ada perbedaan dampak kebijakan harga pada rata-rata nilai

penjualan pada tingkat signifikansi 5%?

b. Tentukan

90% confidence interval

untuk rata-rata nilai penjualan yang

menggunakan kebijakan harga A.

c. Kebijakan harga yang mana yang sebaiknya digunakan?

Solusi a :

Tabel data :

36,5 TD= 22,3 TC = 44,7 TB = 63,9 TA= SUM Treatment: 43,4 13,3 9,4 5,3 15,4 A D C B Timur 45,0 8,4 4,2 13,2 19,2 D C B A Timur-laut 36,7 8,5 B 14,6 A 3 43,5 16,8 A 8,2 D 2 Tenggara Timur-Barat 167,40 42,0 37,0 SUM BV-1 (j) 35,5 6,2 C 7,6 B 4 10,5 D 51,7 6,6 C 1 SUM BV-2 (i) BV-1: Lokasi Geografis (j) BV-2: Kelas Vol. Penjualan (i)

18,155

SSE

226,2875

p

y

p

T

SSTR

8,9675

p

y

p

y

SSCol

41,6475

p

y

p

y

SSRow

1751,4225

p

y

SST

2 2 .. p 1 k k2 2 2 .. j .j2 2 2 .. i i.2 2 2 .. i j ij2

=

−

=

−

+

=

−

=

−

+

=

−

=

−

+

=

−

=

−

=

−

=

∑

∑ ∑

=

SSTR

SSCol

SSRow

SST

4 )

4 ,

167 (

4 )

5 ,

36 (

)

3 ,

22 (

)

7 ,

44 (

)

9 ,

63 (

4 )

4 ,

167 (

4 )

0 ,

42 (

)

0 ,

37 (

)

4 ,

43 (

)

0 ,

45 (

4 )

4 ,

167 (

4 )

5 ,

35 (

)

7 ,

36 (

)

5 ,

43 (

)

7 ,

51 (

4 )

4 ,

167 (

48 ,

2046

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(13)

Tabel Anova :

1751,42 15 5. TOTAL 3,03 18,16 6 4. ERROR 226,29 8,97 41,65 SS 3 3 3 dof 2,99 2. COL: Lokasi Geografis

13,88 1. ROW: Vol. Penjualan

24,93 75,43

3. TREAT: Kebijakan Harga

F-Stat MS=SS/dof

SUMBER VARIASI

Kriteria keputusan : F

_5%,3,6

= 3,46

Karena F Stat > F

10%,2,6

, maka minimum 1 rata-rata

energy loss index

berbeda dari rata-rata

energy loss index

yang lain.

Solusi b :

5,722)

;

(2,528

=

±

=

±

=

±

=

597 ,

1

125 ,

4

4 /

742 ,

0 )

707 ,

3 (

125 ,

4

4 MSE/

t

Y

)

L(µ

₃ ₃ ₀_,₀₀₅_;₆

Solusi c :

4,958)

;

(2,592

=

±

=

±

−

=

±

−

=

−

183 ,

1

775 ,

3

4 /

)

742 ,

0 (

2 )

943 ,

1 (

)

125 ,

4

9 ,

7 (

4 MSE/

2 t

)

Y

(

)

µ

L(µ

₃ ₃ ₂ ₀_,₀₅_;₆ Karena interval tidak mencakup angka nol, dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan signifikan antara rata-rata energy loss index insulator 2 & insulator 3 pada tingkat ingnifikansi 10%

5. EKSPERIMEN FAKTORIAL (EF)

Treatment (perlakuan):

Eksperimen Faktorial: mencakup seluruh kombinasi treatment yang mungkin

dengan replikasi yang lengkap.

Kelebihan EF:

memberikan kemampuan untuk mengestimasi dampak interaktif antar faktor;

dalam studi eksploratif, menentukan faktor-faktor penting (kunci).

Kekurangan EF:peningkatan jumlah eksperimen secara eksponensial sejalan

dengan pertambahan jumlah faktor dan/atau level mereka. FAKTOR A

FAKTOR A _{FAKTOR B}_{FAKTOR B}

Level 1 Level 2 Level 3 Level 1 Level 2 Level 3 Level 4 TREATMENT/

(14)

5.A Eksperimen Faktorial 2 Faktor dgn CRD

Setting :

Jumlah faktor : 2, faktor A & B;

Jumlah level : Faktor A = a level, Faktor B = b level;

Treatment ab diterapkan secara random pada unit eksperimental;

Replikasi eksperimen : n kali;

Total observasi : abn;

Model respon terhadap perlakuan (treatment) :

n

1,2,...,

k

,

b

1,2,...,

j

,

a

1,2,...,

i

,

ε

β

)

(

β

α

µ

y

ijk

=

+

i

+

j

+

α

ij

+

ijk

=

= = = = = =

komponen error random (diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 &

variansi konstan σ2_.

εijk

efek interaksi level i faktor A & level j faktor B;

(αβ) i j

βj

αi

µ

Yijk

efek level j faktor B; efek level i faktor A;

efek rata-rata secara keseluruhan;

respons terhadap level i faktor A, level j faktor B & pada replikasi ke-k;

TABEL DATA EF – 2f

& CRD :

AVE. SUM FAKTOR B FAKTOR A Ya.. Sum = Yab. Sum = Ya2. Sum = Ya1.

Yab1, Yab2, …, Yabn …

Ya21, Ya22, …, Ya2n Ya11, Ya12, …, Ya1n

a Y3.. Sum = Y3b. Sum = Y32. Sum = Y31. Y2.. Sum = Y1b. Sum = Y22. Sum = Y21. Y1.. Sum = Y1b. Sum = Y12. Sum = Y11. Y… Y.3. Y.2. Y.1. SUM … AVERAGE … … … … …

Y3b1, Y3b2, …, Y3bn …

Y321, Y322, …, Y32n Y311, Y312, …, Y31n

3

Y2b1, Y2b2, …, Y2bn …

Y221, Y222, …, Y22n Y211, Y212, …, Y21n

2

Y1b1, Y1b2, …, Y1bn …

Y121, Y122, …, Y12n Y111, Y112, …, Y11n

1 b … 2 1 .1. Y Y_.2. Y_.b. ... Y 1.. Y 2.. Y a.. Y

(15)

FORMULA EF – 2f

& CRD :

l)

SS(subtota

SST

SSE

SSB

SSA

l)

SS(subtota

SSAB

abn

Y

n

Y

l)

SS(subtota

abn

Y

an

Y

SSB

abn

Y

bn

Y

SSA

abn

Y. Y

SST

2 ... a 1 i b 1 j 2 ij. 2 ... b 1 j 2 .j. 2 ... a 1 i 2 i.. 2 .. a 1 i b 1 j n 1 k 2 ijk

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑

= = = = = = =

1 a

dof

=

−

1 b

dof

=

−

1)

1)(b

(a

dof

=

−

1 abn

dof

=

−

1)

ab(n

dof

=

−

Tabel Anova EF – 2f

& CRD :

FB= MSB/MSE MSB = SSB / (b – 1) SSB b – 1 FAKTOR B FAB= MSAB/MSE MSAB = SSAB / [(a–1)(b–1)] SSAB = SS(subtotal) – SSA – SSB (a–1)(b–1) INTERAKSI FAKTOR A & B MST = SST / (abn – 1) SST abn – 1 TOTAL FA= MSA/MSE MSA = SSA / (a – 1) SSA a – 1 FAKTOR A MSE = SSE / [ ab(n – 1)] SSE = SST – SS(subtotal) ab(n–1) ERROR F_Statistik MS SS Dof SUMBER VARIASI

(16)

UJI SIGNIFIKANSI FAKTOR PADA EF – 2f

& CRD

Uji I:keberadaan efek interaktif faktor A & B.

Ho : (

αβ

)ij = 0 untuk semua i, j, i = 1, 2, …, a , j = 1, 2, …, b. Ha: minimum 1 (

αβ

)ij

≠

0

FStatistik: FAB = MSAB/MSE, dof-1 = (a-1)(b-1), dof-2 = ab(n-1) Total Hojika Fstatistik > Fα, (a-1)(b-1), ab(n-1)

Jika Hoditolak, atau terdapat interaksi efek faktor A & B secara signifikan, maka

nilai rata-rata respon terhadap satu level faktor A untuk seluruh level faktor B tidak memiliki makna.

Jika Hoditerima, atau interaksi efek faktor A & B tidak signifikan, maka

beralasan untuk menguji efek dari masing-masing faktor A & B.

Uji 2-a:kesamaan efek faktor A.

Ho :

α

1=

α

2=… =

α

auntuk semua i, i = 1, 2, …, a.

Ha: minimum 1

α

i tidak sama

FStatistik: FA = MSA/MSE, dof-1 = a – 1, dof-2 = ab(n-1) Total Hojika Fstatistik > Fα, (a-1), ab(n-1)

• Uji 2-b:kesamaan efek faktor B.

Ho:

β

1=

β

2=… =

β

buntuk semua j, j = 1, 2, …, b Ha: minimum 1

α

i tidak sama

FStatistik: FB = MSB/MSE, dof-1 = b – 1, dof-2 = ab(n-1) Total Ho jika Fstatistik > Fα, (b-1), ab(n-1)

ESTIMASI 100(1-

α

)

CONFIDENCE INTERVAL

RATA-RATA RESPONS :

Estimasi

100(1-

α

) confidence interval

rata-rata respons

terhadap

treatment :

a. Level i faktor A & level j faktor B:

b. Level i faktor A :

c. Level j faktor B :

MSE/n

t

Y

_ij.

±

_α_/2,_ab(n₋₁₎ _levelSY(AB)_i=_{faktor A}DSrata_&-rata_leveltreatment_j_faktor_Bpd

MSE/(bn)

t

Y

_i..

±

_α_/2,_ab(n₋₁₎ S_treatmentY(A)=DSrata_pd_level-rata_i_{faktor A}

MSE/(an)

t

(17)

ESTIMASI 100(1-

α

)

CONFIDENCE INTERVAL

SELISIH RATA-RATA RESPONS :

Estimasi

100(1-

α

) confidence interval

selisih rata-rata respons

terhadap

treatment :

a. Level i faktor A & level j faktor B:

b. Level i faktor A :

c. Level j faktor B :

(

Y

_ij.

−

Y

_i'j'.

)

±

t

_α_/₂_,ab(n₋₁₎

2 MSE/n

pdlevel ifaktor A&level jfaktor B treatment rata -rata selisih DS S_Y_(AB)=

(

Y

_i..

−

Y

_i'..

)

±

t

_α_/₂_,ab(n₋₁₎

2 MSE/(bn)

_treatmentSY(A)=DSselisih_pd_levelrata_i_{faktor A}-rata

(

Y

_.j.

−

Y

_.j'.

)

±

t

_α_/₂_,ab(n₋₁₎

2 MSE/(an)

_treatmentSY(B)=DSselisih_pd_levelrata_j_faktor-rata_B

TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK

_{5.B Eksperimen Faktorial 2 Faktor dgn RBD}

Setting :

Jumlah faktor : 2, faktor A & B;

Jumlah level : Faktor A = a level, Faktor B = b level;

Jumlah block : r dimana setiap block mengandung ab unit;

Treatment ab diterapkan secara random pada ab unit dalam block;

Contoh kasus:

ªFaktor A = 4 level temperatur : 75o_{, 150}o_{, 200}o_{, 250}o

ªFaktor B = 5 level tekanan : 50, 75, 100, 125, 150 kg/cm2

ªBlocking: variabilitas antar batch material

ªDesain eksperimen: dipilih 10 batch, pada setiap batch dilakukan 4x5 treatment secara random. ªJumlah observasi terhadap respon = 4 x 5 x 10 = 200.

Model respon terhadap treatment :

r

1,2,...,

k

,

b

1,2,...,

j

,

a

1,2,...,

i

=

+

=

µ

α

β

ρ

(

α

)

ε

,

y

ijk i j k

β

ij ijk

efek block ke-k; = ρk = = = = = =

komponen error random (diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 &

variansi konstan σ2_.

εijk

efek interaksi level i faktor A & level j faktor B;

(αβ) i j

βj

αi

µ

Yijk

efek level j faktor B; efek level i faktor A;

efek rata-rata secara keseluruhan;

(18)

FORMULA EF – 2f

& RBD :

SSAB

-SSB

-SSA

-SSBL

SST

SSE

SSB

SSA

abr

Y

r

Y

SSAB

abr

Y

ar

Y

SSB

abr

Y

br

Y

SSA

abr

Y

ab

Y

SSBL

abr

Y

SST

2 ... a 1 i b 1 j 2 ij. 2 ... b 1 j 2 .j. 2 ... a 1 i 2 i.. 2 ... r 1 k 2 ..k 2 ... a 1 i b 1 j r 1 k 2 ijk

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑

= = = = = = = =

1 a

dof

=

−

1 b

dof

=

−

1)

1)(b

(a

dof

=

−

1 abr

dof

=

−

1)

1)(r

-ab

(

dof

=

−

1 r

dof

=

−

Tabel Anova EF – 2f

& RBD :

MSBL = SSBL / (r–1) SSBL r – 1 BLOCK F_B= MSB/MSE MSB = SSB / (b – 1) SSB b – 1 FAKTOR B F_AB= MSAB/MSE MSAB = SSAB / [(a–1)(b–1)] SSAB (a – 1)(b – 1) INTERAKSI FAKTOR A & B MST = SST / (abr – 1) SST abr – 1 TOTAL F_A= MSA/MSE MSA = SSA / (a – 1) SSA a – 1 FAKTOR A MSE = SSE / [(ab–1)(n–1)] SSE = SST – SSBL – SSA – SSB (ab – 1)(r – 1) ERROR FStatistik MS SS Dof SUMBER VARIASI

(19)

UJI SIGNIFIKANSI FAKTOR PADA EF – 2f

& RBD :

Uji I:keberadaan efek interaktif faktor A & B.

Ho : (

αβ

)ij = 0 untuk semua i, j, i = 1, 2, …, a , j = 1, 2, …, b. Ha: minimum 1 (

αβ

)ij

≠

0

FStatistik: FAB = MSAB/MSE, dof-1 = (a – 1)(b – 1 ), dof-2 = (ab – 1)(r – 1) Total Hojika Fstatistik > Fα, (a-1)(b-1), (ab-1)(n-1)

Jika Hoditolak, atau terdapat interaksi efek faktor A & B secara signifikan, maka

nilai rata-rata respon terhadap satu level faktor A untuk seluruh level faktor B tidak memiliki makna.

Jika Hoditerima, atau interaksi efek faktor A & B tidak signifikan, maka

beralasan untuk menguji efek dari masing-masing faktor A & B.

Uji 2-a:kesamaan efek faktor A.

Ho :

α

1=

α

2=… =

α

auntuk semua i, i = 1, 2, …, a.

Ha: minimum 1

α

i tidak sama

FStatistik: FA = MSA/MSE, dof-1 = a – 1, dof-2 = (ab – 1)(r – 1) Total Hojika Fstatistik > Fα, (a-1), (ab-1)(n-1)

• Uji 2-b:kesamaan efek faktor B.

Ho:

β

1=

β

2=… =

β

buntuk semua j, j = 1, 2, …, b Ha: minimum 1

α

i tidak sama

FStatistik: FB = MSB/MSE, dof-1 = b – 1, dof-2 = (ab – 1)(r – 1) Total Hojika Fstatistik > Fα, (b-1), (ab-1)(n-1)

ESTIMASI 100(1-

α

)

CONFIDENCE INTERVAL

RATA-RATA RESPONS :

Estimasi

100(1-

α

) confidence interval

rata-rata respons

terhadap

treatment :

a. Level i faktor A & level j faktor B:

b. Level i faktor A :

c. Level j faktor B :

MSE/r

t

Y

_ij.

±

_α_/2,_(ab_-_1)(n₋₁₎ _levelSY(AB)_i=_{faktor A}DSrata_&-rata_leveltreatment_j_faktor_Bpd

MSE/(br)

t

Y

_i..

±

_α_/2,_(ab_-_1)(n₋₁₎ _treatmentSY(A)=DSrata_pd_level-rata_i_{faktor A}

MSE/(ar)

t

(20)

ESTIMASI 100(1-

α

)

CONFIDENCE INTERVAL

SELISIH RATA-RATA RESPONS :

Estimasi

100(1-

α

) confidence interval

selisih rata-rata respons

terhadap

treatment :

a. Level i faktor A & level j faktor B:

b. Level i faktor A :

c. Level j faktor B :

(

Y

_ij.

−

Y

_i'j'.

)

±

t

_α_/₂_,₍_ab₋₁₎_(r₋₁₎

2 MSE/r

pdlevel ifaktor A&level jfaktor B treatment rata -rata selisih DS S_Y_(AB)=

(

Y

_i..

−

Y

_i'..

)

±

t

_α_/₂_(,_ab₋₁₎_(r₋₁₎

2 MSE/(br)

_treatmentSY(A)=DSselisih_pd_levelrata_i_{faktor A}-rata

(

Y

_.j.

−

Y

_.j'.

)

±

t

_α_/₂_,₍_ab₋₁₎_(r₋₁₎

2 MSE/(ar)

_treatmentSY(B)=DSselisih_pd_levelrata_j_faktor-rata_B

Contoh 4 : EF – 2f

Untuk mengetahui efisiensi bahan bakar sintetis untuk mobil, dilakukan pengujian sebagai berikut:

2 faktor berpengaruh terhadap efektivitas BB. Faktor A: zat aditif diuji pada 3 level (1, 2, & 3);

Faktor B: katalis diuji pada 3 level (1, 2, & 3);

45 mobil diplih secara random untuk pengujian tersebut, setiap 9 treatment diterapkan secara random pada 5 mobil yang berbeda.

Data hasil pengujian diberikan pada tabel di halaman ini.

a. Tentukan faktor yang berpengaruh dengan α = 5%.

b. Berikan saran kadar katalis & aditif yang harus digunakan.

c. Apakah rata-rata tingkat katalis 1 & 3 berbeda untuk α= 5%?

d. Tentukan (1-α) confidence interval selisih rata-rata treatment untuk aditif 1 – katalis 1

& aditif 2 – katalis 3. 63 75 44

42 84 62 38 80 60 43 76 60 44 82 67 3 62 70 55 60 68 53 54 67 46 62 70 58 58 73 50 2 46 60 65 46 56 74 42 58 66 48 62 72 43 64 75 1 3 2 1 TINGKAT KATALIS TINGKAT ADITIF

(21)

Hlm. 41 LD, Semester II 2003/04 Tabel Data : 42,2 79,4 62,4 ave-ij 59,2 69,6 52,4 ave-ij 45 60 70,4 ave-ij 60,07 48,80 69,67 61,73 AVE-B 2703 732 1045 926 SUM-B 61,33 920 211 397 312 sum-ij 44 75 63 42 84 62 38 80 60 43 76 60 44 82 67 3 60,40 906 296 348 262 sum-ij 62 70 55 60 68 53 54 67 46 62 70 58 58 73 50 2 58,47 877 225 300 352 sum-ij 46 60 65 46 56 74 42 58 66 48 62 72 43 64 75 1 AVE-A SUM-A 3 2 1 TINGKAT KATALIS TINGKAT ADITIF 417,6 2.520,93 3.328,13 64,13 6.330,8 162.360,2 = − − − = = −       + + + + + + + + = − = = − + + = − = = − + + = − = = − = − = = = =

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑

= = = = = = = 93 , 520 . 2 13 , 3328 13 , 64 8 , 330 . 6 SSE 2 , 360 . 162 5 / ) 211 ( ) 397 ( ) 312 ( ) 296 ( ) 348 ( ) 262 ( ) 225 ( ) 300 ( ) 352 ( C n Y SSAB 2 , 360 . 162 5 x 3 ) 732 ( ) 045 . 1 ( ) 926 ( C an Y SSB 2 , 360 . 162 5 x 3 ) 920 ( ) 906 ( ) 877 ( C bn Y SSA 2 , 360 . 162 691 . 168 C Y SST ) 5 x 3 x 3 /( ) 2703 ( ) abn /( Y C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 i 3 1 j 2 . ij 2 2 2 3 1 j 2 . j . 2 2 2 3 1 i 2 .. i 3 1 i 3 1 j 5 1 k 2 ijk 2 2 ... Perhitungan :

Tabel Anova EF – 2f & CRD :

54,330 143,454 2,764 F_Statistik 3,266 1.664,06 3.328,12 2 FAKTOR B: Katalis 2,642 630,23 2.520,93 4

INTERAKSI FAKTOR A & B

6.330,80 44 TOTAL 3,266 32,07 64,13 2

FAKTOR A: Zat Aditif

11,60 417,60 36 ERROR F_Normatif MS SS Dof SUMBER VARIASI Solusi a :

Karena FAB=54,330 > F_0,05;4;36= 2,642, dapat disimpulkan bahwa efek interaksi antara kadar zat aditif & katalis berpengaruh secara signifikanterhadap efisiensi BB sintetis yang diuji. Karena efek interaktif antar kedua faktor tsb. signifikan, maka uji hipotesis pengaruh masing-masing faktor terhadap efisiensi BB tidak perlu dilakukan.

(22)

Solusi b :

Karena efek interaktif antar kedua faktor tsb. Signifikan terhadap efisiensi BB, maka rata respon terhadap satu faktor tidak dapat dihitung dengan meratakan nilai rata-rata respon untuk beberapa level dari faktor tersebut. Analisis dilakukan dengan memetakan nilai rata-rata respon untuk seluruh treatment ab.

20 40 60 80 100 1 2 Tingkat Katalis 3 R at a-ra ta E fis ie n si B B Aditif Level-3 Aditif Level-2 Aditif Level-1

Saran kadar aditif & katalis yang harus digunakan:

Jika tujuannya adalah maksimasi efisiensi BB, maka disarankan untuk memilih kombinasi:

aditif level 3 & katalis level 2.

Solusi c :

95% confidence interval untuk selisih rata-rata efisiensi katalis 1 & 3 adalah:

(

)

(

)

52 , 2 93 , 12 ) 5 x 3 /( ) 60 , 11 x 2 ( ) 028 , 2 ( ) 80 , 48 73 , 61 ( MSE/(bn) 2 t Y Y MSE/(bn) 2 t Y Y 36 , 025 , 0 . 3 . . 1 . ) 1 ,ab(n 2 α/ . 3 . . 1 . ± = ± − = ± − = ± − ₋

Karena interval tersebut tidak mencakup nilai 0, hal ini mengindikasikan bahwa perbedaan antara rata-rata efisiensi untuk katalis 1 & 3 signifikan. Tetapi karena pada b terbukti bahwa interaksi efek faktor A & B terhadap efisiensi BB signifikan, maka analisis terhadap efek masing-masing faktor tidak dapat dilakukan.

Solusi d :

95% confidence interval untuk selisih rata-rata efisiensi aditif 1 ―katalis 1& aditif 2 ―

katalis 3adalah:

(

)

(

)

368 , 4 2 , 11 5 / ) 6 , 11 x 2 ( ) 028 , 2 ( ) 2 , 59 40 , 70 ( MSE/n 2 t Y Y MSE/n 2 t Y Y 36 , 025 , 0 . 11 . 23 ) 1 ,ab(n 2 α/ . 11 . 23 ± = ± − = ± − = ± − ₋

Karena interval tersebut tidak mencakup nilai 0, berarti terdapat perbedaan signifikan antara kedua rata-rata tersebut pada tingkat signifikansi α=5%.