BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka 2.1.1 Pengumpulan Data
Statistika Deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna. Perlu kiranya dimengerti bahwa statistika deskriptif memberikan informasi hanya mengenai data yang dipunyai dan sama sekali tidak menarik inferensia atau kesimpulan apapun tentang gugus data induknya yang lebih besar. ( Ronald E. Walpole, 1995, p2)
Jenis data : 1. Kualitatif
Adalah data yang berbentuk kalimat, kata atau gambar. 2. Kuantitatif
Adalah data yang berbentuk angka, disini angka dibedakan menjadi : • Diskrit
2.1.2 Perencanaan dan Pengendalian Produksi
Perencanaan dan Pengendalian Produksi adalah penentuan dan penetapan kegiatan-kegiatan produksi yang akan dilakukan untuk mencapai tujuan perusahaan pabrik tersebut, dan mengawasi kegiatan pelaksanaan dari proses dan hasil produksi, agar apa yang telah direncanakan dapat terlaksana dan tujuan yang diharapkan dapat tercapai. Jadi, perencanaan dan pengendalian produksi merupakan kegiatan pengorganisasian dari bagian-bagian yang ada dalam melakukan proses produksi.
Tujuan dari perencanaan dan pengendalian produksi adalah merencanakan dan mengendalikan aliran material ke dalam dan, di dalam, dan keluar pabrik sehingga posisi keuntungan optimal yang merupakan tujuan perusahaan dapat dicapai. (Sofjan Assauri, 1999, p125).
2.1.3 Melakukan Pengukuran Waktu
Pengukuran waktu adalah pekerjaan mengamati dan mencatat waktu-waktu kerjanya baik setiap elemen ataupun siklus. Teknik pengukuran waktu-waktu terbagi atas dua bagian yaitu secara langsung dan secara tidak langsung. Pengukuran secara langsung adalah pengukuran yang dilakukan secara langsung yaitu ditempat dimana pekerjaan yang bersangkutan dilaksanakan. Dua cara yang termasuk didalamnya adalah cara jam henti dan sampling pekerjaan. Cara tidak langsung melakukan perhitungan waktu tanpa harus
berada ditempat pekerjaan yaitu dengan membaca tabel-tabel yang tersedia asalkan mengetahui jalannya pekerjaan melalui elemen-elemen pekerjaan atau elemen-elemen gerakan.
Hal-hal yang dikerjakan selama pengukuran berlangsung adalah pengkuran pendahuluan. Tujuan melakukan pengukuran pendahuluan adalah untuk mengetahui berapa kali pengukuran harus dilakukan untuk tingkat-tingkat ketelitian dan keyakinan yang diinginkan. Tingkat-tingkat-tingkat ketelitian dan keyakinan ini ditetapkan pada saat menjalankan langkah penetapan tujuan pengukuran. Untuk mengetahui berapa kali pengukuran harus dilakukan, dilakukan beberapa tahap pengukuran pendahuluan.
Pengukuran pendahuluan pertama dilakukan dengan melakukan beberapa buah pengukuran yang banyaknya ditentukan oleh pengukur. Biasanya sepuluh kali atau lebih. Setelah pengukuran tahap pertama ini dijalankan, tiga hal harus mengikutinya yaitu menguji keseragaman data, menghitung jumlah pengukuran yang diperlukan, dan bila jumlah belum mencukupi dilanjutkan dengan pengukuran pendahuluan kedua. Jika tahap kedua selesai maka dilakukanlah ketiga hal yang sama seperti tadi, dimana bila perlu dilanjutkan dengan pengukuran pendahuluan tahap kedua. Begitu seterusnya sampai jumlah keseluruhan pengukuran mencukupi untuk tingkat-tingkat ketelitian dan keyakinan yang dikehendaki. Istilah pengukuran
pendahuluan terus digunakan selama jumlah pengukuran yang telah dilakukan pada tahap pengukuran belum mencukupi. (Sutalaksana, 1979, p131-132).
2.1.4 Uji Keseragaman Data
Tugas mengukur adalah mendapatkan data yang seragam. Karena ketidak seragaman data dapat datang tanpa disadari, maka diperlukan suatu alat yang dapat mendeteksi. Batas-batas kontrol yang dibentuk dari data merupakan batas seragam tidaknya data. Data yang dikatakan seragam yaitu berasal dari sistem sebab yang sama, bila berada diantara kedua batas kontrol. Data yang tidak seragam yaitu berasal dari sistem sebab yang berbeda, jika berada diluar batas kontrol.
Uji keseragaman data perlu untuk dilakukan terlebih dahulu sebelum menggunakan data yang diperoleh guna menetapkan waktu baku. Uji keseragaman data bisa dilaksanakan dengan cara visual dan/atau mengaplikasikan peta kontrol (control chart). Peta kontrol (control chart) adalah suatu alat yang tepat guna dalam menguji keseragaman data dan/atau keajegan data yang diperoleh dari hasil pengamatan.
Uji keseragaman data secara visual dilakukan secara sederhana mudah dan cepat. Disini kita hanya sekedar melihat data yang terkumpul dan seterusnya mengedentifikasikan data yang terlalu ekstrim. Yang dimaksud dengan data yang terlalu “ekstrim” adalah data yang terlalu besar atau yang
terlalu kecil dan jauh menyimpang dari trend rata-ratanya. Data yang terlalu ekstrim ini sebaiknya dibuang jauh-jauh dan tidak dimasukkan ke dalam perhitungan selanjutnya. (Sutalaksana, 1979, p131-132).
Langkah – langkah yang dilakukan untuk menguji keseragaman data sebagai berikut :
1. Hasil pengukuran dikelompokkan ke dalam subgrup-subgrup dan hitung rata-rata dari tiap subgrup :
n Xi k
X = ∑
dimana : n = ukuran subgrup, yaitu banyaknya data dalam satu subgrup k = jumlah subgrup yang terbentuk
Xi = data pengamatan
2. Hitung rata-rata keseluruhan, yaitu rata-rata dari rata-rata subgrup :
k X
X =
∑
k3. Hitung standar deviasi dari waktu penyelesaian :
1 N X Xi σ 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =
∑
dimana: N = jumlah pengamatan pendahuluan yang telah dilakukan 4. Hitung standar deviasi dari distribusi harga rata-rata subgrup :
n X
σ
σ =
5. Tentukan Batas Kontrol Atas (BKA) dan Batas Kontrol Bawah (BKB) : BKA =
x
+ 3 x ( ZσX)BKB =
x
– 3 x ( ZσX)Dimana : Z = koefisien pada distribusi normal sesuai dengan tingkat kepercayaan, rumusnya :
6. Jika seluruh rata-rata data waktu subgrup berada di daerah antara BKA dan BKB, maka data waktu dikatakan seragam.
2.1.5 Uji Kecukupan Data
Waktu yang diperlukan untuk melaksanakan elemen kerja pada umumnya akan sedikit berbeda dari siklus ke siklus kerja sekalipun operator bekerja pada kecepatan normal dan uniform, tiap elemen dalam siklus yang berbeda tidak selalu akan bisa diselesaikan dalam waktu yang persis sama. Aktivitas pengukuran kerja pada dasarnya adalah merupakan proses sampling. Konsekuensi yang diperoleh adalah bahwa semakin besar jumlah siklus kerja yang diamati atau diukur maka akan semakin mendekati kebenaran akan data waktu yang diperoleh. Konsistensi dari hasil pengukuran dan pembacaan
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = 2 1 1 β Z
waktu oleh stop-watch akan merupakan hal yang diinginkan dalam proses pengukuran kerja. Semakin kecil variasi atau perbedaan data waktu yang ada, maka jumlah pengukuran atau pengamatan yang harus dilakukan juga akan cukup kecil. Sebaliknya, semakin besar variabilitas dari data waktu pengukuran, akan menyebabkan jumlah siklus kerja yang diamati juga akan semakin besar agar bisa diperoleh ketelitian yang dikehendaki.
Perhitungan uji kecukupan data dapat dilakukan setelah semua harga rata-rata subgrup berada dalam batas kendali. Rumus dari kecukupan data adalah:
(
)
2 i X 2 Xi 2 Xi N s Z N' ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑ ∑ − ∑ = dimana:N’ = jumlah pengukuran data minimum yang dibutuhkan
N = jumlah pengukuran pendahuluan yang telah dilakukan setelah dikurangi data pengukuran di luar BKA atau BKB
Z = bilangan konversi pada distribusi normal sesuai dengan tingkat kepercayaan
s = tingkat ketelitian
Jumlah pengukuran waktu dapat dikatakan cukup apabila jumlah pengukuran data minimum yang dibutuhkan secara teoritis lebih kecil atau sama dengan jumlah pengukuran pendahuluan yang sudah dilakukan (N’≤ N).
Jika jumlah pengukuran masih belum mencukupi, maka harus dilakukan pengukuran lagi sampai jumlah pengukuran tersebut cukup. (Sutalaksana, 1979, p134).
2.1.6 Tingkat Ketelitian dan Tingkat Keyakinan
pengukuran ini bertujuan untuk mencari waktu yang sebenarnya dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan. Karena waktu penyelesaian ini tidak pernah diketahui sebelumnya maka harus diadakan pengukuran. Yang ideal tentunya dilakukan pengukuran-pengukuran yang sangat banyak (sampai tak terhingga) karena dengan demikian diperoleh jawaban yang pasti. Tetapi hal ini jelas tidak mungkin karena keterbatasan waktu, tenaga dan tentunya biaya. Namun sebaliknya jika tidak dilakukan beberapa kali pengukuran , dapat diduga hasilnya sangat kasar. Sehingga yang diperlukan adalah jumlah pengukuran yang tidak membebankan waktu, tenaga dan biaya yang besar tetapi hasilnya tidak dapat dipercaya. Jadi,walaupun jumlah pengukuran tidak berjuta kali, tetapi jelas tidak hanya beberapa kali saja.
Dengan tidak dilakukannya pengukuran yang banyak sekali ini, pengukur akan kehilangan sebagian kepastian akan ketetapan atau rata-rata waktu penyelesaian yang sebenarnya. Tingkat ketelitian dan tingkat kepercayaan adalah pencerminan tingkat kepastian yang diinginkan pengukur setelah memutuskan tidak akan melakukan pengukuran yang sangat banyak.
Tingkat ketelitian menunjukkan penyimpangan maksimum hasil pengukuran dari waktu penyelesaian sebenarnya. Hal ini biasanya dinyatakan dalam persen. Sedangkan, tingkat kepercayaan menunjukkan besarnya kepercayaan pengukur bahwa hasil yang diperoleh memenuhi syarat ketelitian tadi. Jadi tingkat ketelitian 10% dan tingkat keyakinan 95% memberi arti bahwa pengukur membolehkan rata-rata hasil pengukurannya menyimpang sejauh 10% dari rata-rata sebenarnya, dan kemungkinan berhasil mendapatkan hal ini adalah 95%. Dengan kata lain, jika pengukur sampai memperbolehkan rata-rata pengukuran yang menyimpang lebih dari 10% seharusnya, hal ini boleh terjadi hanya dengan kemungkinan 5% (100%-95%).
Pengaruh tingkat ketelitian dan keyakinan terhadap jumlah pengukuran yang diperlukan dapat dipelajari secara statistik. Tetapi secara intuitif hal ini dapat diduga yaitu bahwa semakin tinggi tingkat ketelitian dan semakin besar tingkat keyakinan, maka semakin banyak pengukuran yang diperlukan. (Sutalaksana, 1979, p135-136).
2.1.7 Peramalan
Peramalan adalah suatu metode atau cara yang digunakan untuk membantu memberikan gambaran tentang permintaan terhadap produk atau jasa dimasa yang akan datang yang dapat membantu dalam melakukan persiapan untuk periode yang akan datang. Peramalan dapat didefinisikan sebagai suatu perkiraan tingkat permintaan yang diharapkan untuk suatu produk atau beberapa produk dalam periode waktu yang akan datang. Peramalan juga dapat diartikan sebagai suatu taksiran yang menggunakan cara-cara tertentu, sehingga peramalan dapat menjadi lebih dari sebuah taksiran.
Taksiran yang ilmiah meskipun akan ada sedikit kesalahan yang dapat disebabkan oleh adanya keterbatasan. Peramalan biasanya didukung dengan menganalisa data dari data penjualan dan produksi dari periode-periode yang lalu. Data-data ini akan membantu memberikan proyeksi pola terhadap suatu produk atau jasa yang akan membantu dalam proses peramalan. Proses peramalan melibatkan perhitungan secara teliti dengan menggunakan metode-metode tertentu dengan melibatkan dan mempertimbangkan faktor-faktor yang mempengaruhi peramalan tersebut. (Makridakis, 1999, p19-24)
Waktu peramalan dapat diklarifikasikan dalam beberapa periode:
1. Peramalan jangka pendek, untuk jangka waktu kurang dari satu tahun kedepan.
2. Peramalan jangka sedang, untuk jangka waktu peramalan antara satu sampai dengan tiga tahun kedepan.
3. Peramalan jangka panjang, untuk jangka waktu lebih dari lima tahun kedepan.
Kegunaan peramalan yang mempunyai tujuan yang akan menentukan sifat dari peramalan tersebut. Beberapa kegunaan peramalan antara lain:
• Untuk menentukan keperluan perluasan pabrik dan beberapa kapasitas yang dibutuhkan.
• Untuk menentukan rencana lanjutan untuk produk-produk yang ada dengan fasilitas yang tersedia.
• Untuk menentukan suatu penjadwalan produksi dari produk yang akan datang yang akan diproduksi dengan peralatan yang ada.
Pola data dapat dibedakan menjadi empat jenis, yaitu antara lain : 1. Pola trend (T)
Terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan sekuler jangka panjang dalam data. Penjualan banyak perusahaan, produk bruto nasional (GNP) dan berbagai indikator bisnis atau ekonomi lainnya mengikuti suatu pola trend selama perubahannya sepanjang waktu.
Grafik 2.1 Pola Trend 2. Polai musiman (S)
Terjadi bilamana suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu). Penjualan dari produk seperti minuman ringan, es krim, dan bahan bakar pemanas ruang semuanya menunjukkan jenis pola ini.
Grafik 2.2 Pola Musiman 3. Pola siklis (C)
Terjadi bilamana datanya dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang seperti yang berhubugnan dengan siklus bisnis. Contohnya penjualan produk seperti mobil, baja dan peralatan utama lainnya.
Grafik 2.3 Pola Pengaruh Siklikal 4. Pola horizontal (H)
Terjadi bilamana nilai data berfluktuasi disekitar nilai rata-rata yang konstan. Suatu produk yang penjualannya tidak meningkat atau menurun selama waktu tertentu termasuk jenis ini. Demikian pula, suatu keadaan pengendalian mutu yang menyangkut pengambilan contoh dari suatu proses produksi berkelanjutan yang secara teoritis tidak mengalami perubahan juga termasuk jenis ini.
Grafik 2.4 Pola horizontal
Banyak jenis metode peramalan yang tersedia untuk meramalkan permintaan dalam produksi. Namun yang lebih penting adalah bagaimana memahami karateristik suatu metode peramalan agar sesuai dengan situasi pengambilan keputusan. Situasi peramalan sangat beragam dalam horison waktu peramalan, faktor yang menentukan hasil yang sebenarnya, tipe pola data dan berbagai aspek lainnya. Untuk menghadapi penggunaan yang luas
seperti itu, beberapa teknik telah dikembangkan. Teknik tersebut dibagi dalam 2 kategori utama, yaitu :
1) Metode peramalan kuantitatif
Metode kuantitatif sangat beragam dan setiap teknik memiliki sifat, ketepatan dan biaya tertentu yang harus dipertimbangkan dalam memilih metode tertentu. Metode kuantitatif formal didasarkan atas prinsip-prinsip statistik yang memiliki ketepatan tinggi atau dapat meminimumkan kesalahan (error), lebih sistematis, dan lebih populer dalam penggunaannya. Untuk menggunakan metode kuantitatif terdapat tiga kondisi yang harus dipenuhi, yaitu :
a. Tersedia informasi tentang masa lalu.
b. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data numerik.
c. Dapat diasumsikan bahwa beberapa aspek pola masa lalu akan terus berlanjut di masa mendatang.
Metode kuantitatif dapat dibagi kedalam dua model, yaitu : a. Model deret berkala (time series)
Pada model ini, pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai masa lalu dari suatu varibel dan / atau kesalahan masa lalu. Model deret berkala menggunakan riwayat permintaan masa lalu dalam membaut ramalan untuk masa depan. Tujuan metode
peramalan deret berkala ini adalah menemukan pola dalam deret berkala historis dan mengekstrapolasikan pola dalam deret data historis dan mengekstrapolasikan pola tersebut ke masa depan. Langkah penting dalam memilih suatu metode derat berkala yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode yang paling tepat dengan metode tersebut dapat diuji. Metode peramalan yang dapat membedakan setiap pola harus dipakai bila diinginkan adanya pemisahan komponen pola tersebut. b. Model kausal
Model kausal mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab-akibat dengan satu atau lebih variabel bebas. Maksud dari model kausal adalah menemukan bentuk hubungan tersebut dan menggunakannya untuk meramalkan nilai mendatang dari varibel tak bebas. Setelah hubungan ini ditemukan, nilai-nilai masa mendatang dapat diramalkan cukup dengan memasukkan nilai-nilai yang sesuai untuk varibel-variabel independen. Metode peramalan kausal mengasumsikan bahwa permintaan akan suatu produk bergantung pada satu atau beberapa faktor independen (misalnya, harga, iklan, persaingan, dan lain-lain).
Metode peramalan kuantitatif terletak diantara dua ekstrim rangkaian kesatuan, yaitu :
1. Metode naif/intuitif. Metode ini bersifat sederhana dan mudah dipakai, tetapi tidak selalu tepat seperti metode kuantitatif formal. Metode ini masih cukup banyak digunakan karena beberapa orang lebih menyukai pendekatan judgemental daripada pendekatan yang lebih objektif.
2. Metode kuantitatif formal yang didasarkan atas prinsip-prinsip statistika Metode ini menggunakan ekstrapolasi horisontal, musiman, dan trend. Jenis ini didasarkan atas pengalaman empiris yang sangat beragam dari bisnis ke bisnis, produk ke produk, dari dari peramal yang satu ke peramal yang lain.
2) Metode peramalan kualitatif atau teknologis
Metode peramalan ini tidak memerlukan data yang serupa seperti metode peramalan kuantitatif. Input yang dibutuhkan tergantung pada metode tertentu dan biasanya merupakan hasil dari pemikiran intuitif, perkiraan dan pengetahuan yang telah didapat. Pendekatan teknologis seringkali memerlukan input dari sejumlah orang yang terlatih.
Metode kualitatif mengandalkan opini pakar atau manajer dalam membuat prediksi tentang masa depan. Metode ini berguna untuk tugas peramalan jangka panjang. Penggunaan pertimbangan dalam peramalan, sekilas, tampaknya tidak ilmiah dan bersifat sementara. Tetapi bila data masa lalu tidak ada atau tidak mencerminkan masa mendatang, tidak banyak alternatif selain menggunakan opini dari orang-orang yang berpengetahuan. Ramalan teknologis terutama digunakan untuk memberikan petunjuk, untuk membantu perencana dan untuk melengkapi ramalan kuantitatif, bukan untuk memberikan suatu ramalan numerik tertentu. (Makridakis, 1999, p19-24)
Metode kualitatif dapat dikelompokkan menjadi 2, yaitu : a. Metode ekspoloratoris
Metode eksploratoris (seperti Delphi, kurva-S, analogi, dan penelitian morfologis) dimulai dengan masa lalu dan masa kini sebagai titik awalnya dan bergerak kearah masa depan secara heuristik, seringkali dengan melihat semua kemungkinan yang ada. b. Metode normatif.
Metode normatif (seperti matriks keputusan, pohon relevansi, dan analisis sistem) dimulai dengan menetapkan sasaran dan tujuan yang akan datang, kemudian bekerja mundur untuk melihat apakah
hal ini dapat dicapai, berdasarkan kendala, sumber daya, dan teknologi yang tersedia.
2.1.8 Pemilihan Teknik Peramalan
Pola atau karakteristik data mempengaruhi teknik peramalan yang dipilih. Seringkali, pola data tersebut merupakan karakteristik inheren dari kegiatan yang sedang diteliti. Hubungan data dengan jangka waktu semakin jelas jika kita mengamati bahwa pola trend adalah merupakan kecenderungan jangka panjang, sedangkan variasi musiman menunjukkan pola data yang berulang. Dalam mengevaluasi teknik-teknik yang dikaitkan dengan pola data bisa saja diterapkan lebih dari satu teknik untuk data yang sama. Misalnya, teknik-teknik tertentu mungkin lebih akurat dalam memprediksi titik balik, sedangkan lainnya terbukti lebih andal dalam peramalan pola perubahan yang stabil. Bisa juga terjadi beberapa model meramalkan terlalu tinggi (overestimate) atau terlalu rendah (underestimate) dalam situasi tertentu. Selain itu, mungkin juga terjadi bahwa prediksi jangka pendek dari suatu model lebih baik dari model lain yang memiliki prediksi jangka panjang yang lebih akurat.
2.1.11.1 Teknik Peramalan untuk Data yang Stasioner
Suatu data runtut waktu yang bersifat stasioner merupakan suatu serial data yang nilai rata-ratanya tidak berubah sepanjang waktu. Keadaan tersebut terjadi jika pola permintaan yang mempengaruhi data tersebut relatif stabil. Dalam bentuknya yang paling sederhana, peramalan suatu data runtut waktu yang stasioner memerlukan data historis dari runtut waktu tersebut untuk mengestimasi nilai rata-ratanya, yang kemudian menjadi peramalan untuk nilai-nilai masa datang.
Beberapa teknik yang dapat dipertimbangkan ketika meramalkan data runtut waktu yang stasioner adalah metode naif, metode rata-rata sederhana, rata-rata bergerak, pemulusan eksponensial sederhana, dan model ARIMA. (Hanke, 2005, p75).
2.1.11.2 Teknik Peramalan untuk Data Trend
Suatu data runtut waktu yang bersifat trend didefinisikan sebagai suatu series yang mengandung komponen jangka panjang yang menunjukkan pertumbuhan atau penurunan dalam data tersebut sepanjang suatu periode waktu yang panjang. Dengan kata lain, suatu data runtut waktu dikatakan mempunyai trend jika nilai harapannya berubah sepanjang waktu sehingga data tersebut diharapkan menaik atau menurun
selama periode dimana peramalan diinginkan. Biasanya data runtut waktu ekonomi mengandung suatu trend.
Teknik-teknik peramalan yang digunakan untuk peramalan data runtut waktu yang mengandung trend adalah rata-rata bergerak, pemulusan eksponensial linier dari Holt, regresi sederhana, model ARIMA. (Hanke, 2005, p75-76).
2.1.11.3 Teknik Peramalan untuk Data Musiman
Suatu data runtut waktu yang bersifat musiman didefinisikan sebagai suatu data runtut waktu yang mempunyai pola perubahan yang berulang secara tahunan. Mengembangkan suatu teknik peramalan musiman biasanya memerlukan pemilihan metode perkalian dan pertambahan dan kemudian mengestimasi indeks musiman dari data tersebut. Indeks ini kemudian digunakan untuk memasukkan sifat musiman dalam peramalan atau untuk menghilangkan pengaruh seperti itu dari nilai-nilai yang diobsevasi.
Teknik-teknik yang dapat dipertimbangkan ketika kita meramalkan data runtut waktu yang bersifat musiman meliputi metode dekomposisi klasik, Census X-12, pemulusan eksponensial dari Winter, regresi berganda dan model ARIMA. (Hanke, 2005, p76).
2.1.11.4 Teknik Peramalan untuk Data yang Bersifat Siklis
Pengaruh siklis didefinisikan sebagai fluktuasi seperti gelombang disekitar garis trend. Pola siklis cenderung untuk berulang setiap dua, tiga tahun, atau lebih. Pola siklis sulit untuk dibuat modelnya karena polanya tidak stabil. Turun-naiknya fluktuasi di sekitar trend jarang sekali berulang pada interval waktu yang tetap, dan besarnya fluktuasi juga selalu berubah. Metode dekomposisi bisa diperluas untuk menganalisis data siklis.
Teknik-teknik yang dapat dipertimbangkan ketika kita meramalkan data runtut waktu yang bersifat siklis adalah metode dekomposisi klasik, indikator ekonomi, model-model ekonometrik, regresi berganda dan model ARIMA. (Hanke, 2005, p76).
2.1.9 Arti dan Fungsi Linear Programming
Linear Programming (LP) adalah alat analisis atas masalah yang
mempunyai variabel-variabel bersifat deterministik (terukur) dan masing-masing mempunyai hubungan linier satu sama lain. Linear Programming ditemukan oleh George Dantzig. Teknik analisis ini berkembang secara menakjubkan dan mampu memecahkan berbagai masalah (problem solving) yang terdapat dalam kehidupan nyata (real life). George Dantzig adalah orang
yang pertama memformulasikan general LP kemudian mengembangkannya dengan mengunakan metode simplex.
Linear Programming merupakan alat analisis yang menunjang
keberhasilan riset operasi dalam memecahkan berbagai masalah sehingga dapat diambil keputusan yang tepat. Sejak tahun 1940-an, LP yang semula digunakan untuk kalangan militer, kemudian digunakan secara luas di berbagai sektor kehidupan, misalnya transportasi, ekonomi, industri, dan pertanian, bahkan dalam ilmu sosial yang menyangkut perilaku manusia (human behavior). Lebih-lebih setelah periode 1960-an dengan digunakannya komputer sebagai alat pemercepat analisis suatu masalah. LP tersebut dapat diformulasikan dalam software komputer menjadikan LP sebagai alat canggih dalam riset operasi untuk memperoleh keputusan-keputusan yang optimum dengan cepat dan tepat. (Suyadi Prawirosentono, 2005, p12).
Dalam dunia nyata belum tentu semua variabel atau parameter dapat diketahui secara pasti. Akan tetapi, dengan LP selalu dapat dicoba untuk menyuguhkan solusi dari suatu masalah secara optimum, berdasarkan kondisi yang ada pada saat itu. Apabila kemudian parameter berubah maka dapat diperbaiki lebih lanjut dengan menggunakan analisis parametrik (parametric
analysis) sehingga dapat diperoleh lagi solusi optimum berikutnya.
Dalam membangun model dari formulasi akan digunakan karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan LP, yaitu :
a. Variabel keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.
b. Fungsi tujuan
Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan (untuk pendapatan atau keuntungan) atau diminimumkan (untuk ongkos).
c. Pembatas
Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.
d. Pembatas tanda
Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya berharga nonnegatif atau variabel keputusan tersebut boleh berharga positif, boleh juga negatif (tidak terbatas dalam tanda).
2.1.10 Model Linear Programming
Tabel 2.1 Data untuk model Linear Programming
Banyaknya sumber 1 2 … n yang dapat digunakan a11 a12 a1n b1 a21 a22 … a2n b1 . . . . . . am1 am2 … amn bm c1 c1 … c1 x1 x1 … x1 Penggunaan sumber/unit Aktivitas Sumber . m ∆z/Unit Tingkat 1 2 . .
Untuk menjelaskan persoalan diatas, terlebh dahulu diberi nomor (1,2,..., m) untuk sumber dan nomor (1,2,..., n) untuk aktivitas. Tentukan x1 sebagai tingkat aktivitas j (sebuah variabel keputusan) untuk j = 1,2,.., n; dan tentukan z sebagai ukuran keefektifan yang terpilih. Koefisien cj adalah koefisien keuntungan (ongkos) per unit. Kemudian tentukan bi sebagai banyaknya sumber i yang digunakan dalam pengalokasian (i = 1,2,...,m). Akhirnya definisikan aij sebagai banyaknya sumber i yang digunakan oleh masing-masing unit aktivitas j (untuk i = 1,2,...,m dan j = 1,2,..,n).
Dengan demikian formulasi model matematisnya adalah sebagai berikut :
Maksimumkan Z = c1 x1 + c2 x2 + ... + cnxn Berdasarkan Pembatas : a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ≤ b2 . . . am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn ≤ bm dan x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ... , xn ≥ 0
Selain model LP diatas, ada pula model LP dengan bentuk yang lain, seperti : 1. Fungsi tujuan bukan memaksimumkan, melainkan meminimumkan.
Contoh : Minimumkan Z = c1 x1 + c2 x2 + ... + cnxn
2. Beberapa konstrain fungsionalnya mempunyai ketidaksamaan dalam bentuk lebih besar atau sama dengan.
Contoh : ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn ≥ bi , untuk beberapa harga i 3. Beberapa konstrain fungsionalnya mempunyai bentuk persamaan.
Contoh : ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = bi , untuk beberapa harga i 4. Menghilangkan konstrain nonnegatif untuk beberapa variabel keputusan
Contoh : xj tidak terbatas dalam tanda, untuk beberapa harga j. (Tjutju Tarliah Dimyati, 2003, p24-26)
2.1.11 Teknik Pemecahan Model Linear Programming
Pada dasarnya, metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan model linear programming ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa alternatif solusi yang dibentuk oleh persamaan-persamaan pembatas sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum.
Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan LP ini, yaitu dengan cara grafis dan dengan metode simpleks.
2.1.15 Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan LP yang mempunyai variabel keputusan dan pembatas yang besar. Algoritma simpleks ini diterangkan dengan menggunakan logika secara aljabar matriks, sedemikian sehingga operasi perhitungan dapat dibuat lebih efisien.
Metode simpleks merupakan salah satu metode dalam pemograman linier yang umum digunakan untuk menentukan hasil yang optimal bagi permasalahan yang memiliki tiga variabel atau lebih. Masalah pemograman linier yang hanya mengandung dua variabel dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi apabila masalah tersebut mengandung lebih dari dua variabel maka metode grafik akan sangat sulit untuk diterapkan sehingga diperlukan penggunaan metode simpleks. (Tjutju Tarliah Dimyati, 2003, p53-57)
Metode simpleks dikembangkan pertama kali oleh George Dantzig tahun 1947. Metode ini menyelesaikan masalah LP melalui tahapan (perhitungan ulang) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang sampai tercapai solusi optimal. Langkah-langkah penyelesaian masalah penyelesaian LP dalam bentuk standar dengan menggunakan metode simpleks adalah sebagai berikut :
• Langkah 1 : Merubah fungsi tujuan dan fungsi kendala
Fungsi tujuan dirubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua CjXj kekiri.
Z = C1X1 + C2X2 + … + CnXn diubah menjadi Z – C1X1 – C2X2 – … – CnXn = 0
Pada bentuk standar, semua fungsi kendala mempunyai tanda ≤. Pertidaksamaan fungsi kendala selain kendala non negatif dirubah menjadi bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack, yaitu suatu variabel yang mewakili tingkat pengangguran, kapasitas yang merupakan batasan. Oleh karena variabel yang ada diwakili oleh X1, X2, …, Xn maka variabel slack ini diwakili oleh S1, S2, …, Sm.
a11X1 + a12X2 + a13X3 + … + a1nXn ≤ h1 a21X1 + a22X2 + a23X3 + … + a2nXn ≤ h2 . .
diubah menjadi a11X1 + a12X2 + a31X3 + … + a1nXn + S1 = h1 a21X1 + a22X2 + a32X3 + … + a2nXn + S2 = h2 . . am1X1 + am2X2 + am3X3 + … + amnXn + S1 = hm
• Langkah 2 : Mentabulasikan persamaan-persamaan yang diperoleh pada langkah 1
Tabel 2.2 Bentuk Umum Tabel Simpleks Awal Basis Z X1 X2 . . Xn S1 S2 . . Sm Solusi Z S1 S2 . . Sm 1 0 0 . . 0 -C1 -C2 . . -C2 0 0 . . 0 a11 a12 . . a1n 1 0 . . 0 a11 a22 . . a2n 0 1 . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a11 am2 . . amn 0 0 . . 1 0 b1 b2 . . bm
Kolom basis menunjukkan variabel yang sedang menjadi basis, yaitu S1, S2, Sn yang nilainya ditunjukkan oleh kolom solusi. Secara tidak langsung ini menunjukkan bahwa variabel non basis (X1, X2, …, Xn) sama dengan nol, karena belum ada kegiatan sedangkan kapasitasnya masih menganggur yang ditunjukkan oleh nilai S1, S2, …,Sn.
• Langkah 3 : Menentukan entering variable
Entering variable (kolom kunci) adalah kolom yang merupakan dasar
untuk mengubah nilai tabel. Pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar. Jika pada baris fungsi tujuan terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai negatif yang
angkanya terbesar pilihlah salah satu secara sembarang. Jika tidak ditemukan nilai negatif, berarti solusi sudah optimal. Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang nialinya positif terbesar. Jika tidak ditemukan niali positif berarti solusi telah optimal. • Langkah 4 : Menentukan leaving variable
Leaving variable (baris kunci) dipilih dari rasio yang nilainya positif
terkecil. Rasio diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel yang sebaris.
ngnya olomEnteri KoefisienK i NilaiSolus Rasio=
Jika terdapat lebih dari 1 baris yang mempunyai rasio terkecil maka pilih salah satu secara sembarang. Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci maka persoalan tidak memiliki pemecahan. Kolom pada entering variable dinamakan entering coloumn dan baris yang berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada perpotongan entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan elemen pivot.
• Langkah 5 : Menentukan persamaan pivot baru
Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot
Gantilah nilai basis persamaan pivot baru dengan nama entering
• Langkah 6 : Tentukan persamaan baru selain persamaan pivot baru
Persamaan baru = (persamaan lama) – (koefisien kolom entering x persamaan pivot baru)
• Langkah 7 : Lanjutkan perbaikan-perbaikan
Lakukan langkah perbaikan dengan cara mengulang langkah 3 sampai langkah 6 hingga diperoleh hasil optimal. Iterasi baru berhenti setelah pada baris fungsi tujuan sudah tidak ada yang bernilai negatif. Solusi yang dihasilkan adalah nilai-nilai yang terletak pada kolom solusi. Apabila dalam proses terjadi keadaan dimana nilai-nilai pada baris fungsi tujuan bertambah secara tak terbatas, maka iterasi tidak perlu dilanjutkan, cukup disebutkan bahwa kenaikan nilai Z tidak terbatas.
Dalam beberapa kasus, terdapat penyimpangan-penyimpangan dari persoalan dengan formulasi standar biasa yang bisa diselesaikan dengan metode simpleks. Penyimpangan tersebut dapat berupa tanda (=), kendala bertanda (≥) atau bi negatif. Ada 4 cara formulasi, yaitu :
1. Apabila fungsi kendala bertanda ≤, tambahkan variabel slack 2. Apabila fungsi kendala bertanda =, tambahkan variabel artifisial
3. Apabila fungsi kendala bertanda ≥, kurangi dengan variabel slack dan tambahkan variabel artifisial.
4. Apabila nilai kanan fungsi kendala adalah negatif, maka harus diubah positif (kalikan -1) dan sesuaikan dengan ketiga point diatas.
2.2 Kerangka Berpikir
Dalam dunia nyata belum tentu semua variabel atau parameter dapat diketahui secara pasti. Akan tetapi dengan Linear Programming selalu dapat dicoba untuk menyuguhkan solusi dari suatu masalah secara optimum, berdasarkan kondisi yang ada pada saat itu. Apabila kemudian parameter berubah, maka dapat diperbaiki lebih lanjut dengan menggunakan analisis parametik sehingga dapat diperoleh lagi solusi optimum berikutnya.
