PRIRODOSLOVNO–MATEMATI ˇ
CKI FAKULTET
MATEMATI ˇ
CKI ODSJEK
Ana Radoˇsevi´c
TEOREMI ULAGANJA
SOBOLJEVLJEVIH PROSTORA I
PRIMJENE
Diplomski rad
Voditelj rada:
prof. dr. sc. Mladen Jurak
Ovaj diplomski rad obranjen je dana pred ispitnim povjerenstvom u sastavu:
1. , predsjednik
2. , ˇclan
3. , ˇclan
Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom .
Potpisi ˇclanova povjerenstva: 1.
2. 3.
Sadrˇzaj iii
Uvod 1
1 Osnovni pojmovi i notacija 2
1.1 Kompaktni operatori . . . 2
1.2 Slaba konvergecija . . . 3
1.3 Prostori neprekidnih funkcija . . . 4
1.4 Regularnost granice . . . 6
2 Prostori Soboljeva 7 2.1 Lpprostori . . . 7
2.2 Definicija i svojstva prostora Soboljeva . . . 12
3 Teoremi ulaganja prostora Soboljeva 15 3.1 Soboljevljeve nejednakosti . . . 15
3.2 Kompaktnost ulaganja . . . 26
4 Teoremi o fiksnoj toˇcki 32 4.1 Brouwerov i Schauderov teorem o fiksnoj toˇcki . . . 32
5 Primjena teorema ulaganja 36 5.1 Linearna eliptiˇcka PDJ . . . 36
5.2 Kvazilinearna eliptiˇcka PDJ . . . 38
5.3 Stacionarna Navier-Stokesova zada´ca . . . 40
Bibliografija 46
Uvod
Teoremi ulaganja prostora Soboljeva vaˇzan su alat u teoriji parcijalnih diferencijalnih jed-nadˇzbi. Govore pripada li funkcija iz nekog Soboljevljevog prostora i nekom drugom po-godnom prostoru, npr. prostoru neprekidnih funkcija, i daju neke korisne nejednakosti izmedu normi. Posebno su korisni teoremi o kompaktnosti ulaganja prema kojima za ograniˇcen niz u manjem prostoru moˇzemo dobiti podniz koji konvergira u ve´cem prostoru. To recimo omogu´cuje da rjeˇsenje parcijalne diferencijalne jednadˇzbe nademo na limesu niza aproksimativnih rjeˇsenja (vidi primjer u 5.3).
Ovaj je rad zamiˇsljen kao kratak prikaz teorema ulaganja Soboljevljevih prostora te njihove primjene u teoriji egistencije rjeˇsenja parcijalnih diferencijalnih jednadˇzbi. Doka-zat ´cemo teoreme ulaganja prostoraWm,p(Ω) za glatku ograniˇcenu domenu Ω te
Rellich-Kondrachovljev teorem koji govori o kompaktnosti odredenih ulaganja pomo´cu kojeg ´cemo u dva primjera dokazati egistenciju rjeˇsenja.
Poglavlje 1 prikaz je osnovnih pojmova i rezultata iz funkcionalne analize koje ´cemo koristiti u glavnom dijelu rada. U Poglavlju 2 preko definicijeLp prostora i slabih deriva-cija dolazimo do definicije Soboljevljevih prostora, dok u Poglavlju 3 dokazujemo teoreme ulaganja Soboljevljevih prostora. Poglavlje 4 vezano je uz teoreme o fiksnoj toˇcki (Bro-uwerov i Schauderov) potrebne za dokaz egzistencije rjeˇsenja primjera kojima ´cemo se baviti u Poglavlju 5.
Zahvaljujem se svom mentoru, prof. dr. sc. Mladenu Juraku, na strpljenu i pomo´ci pri izradi ovog rada.
Osnovni pojmovi i notacija
1.1
Kompaktni operatori
Definicija 1.1.1. Neka je X normirani prostor. Kaˇzemo da je skup S ⊂ X kompaktanako svaki niz u S ima konvergentan podniz s limesom u S .
Napomena 1.1.2. Moˇze se pokazati da je skup S ⊂ X kompaktan ako i samo ako svaki nje-gov otvoreni pokrivaˇc ima konaˇcan potpokrivaˇc. Ova karakterizacija se uzima za definiciju kompaktnog skupa u op´cenitom topoloˇskom prostoru.
Definicija 1.1.3. Neka je X normirani prostor. Skup S ⊂ X jerelativno kompaktanako je njegov zatvaraˇc S kompaktan skup.
Napomena 1.1.4. Vrijedi da je skup S ⊂ X je relativno kompaktan ako i samo ako svaki niz elemenata iz S ima podniz koji konvergira u X.
Ako jeXjoˇs i potpun, imamo sljede´ci rezultat:
Teorem 1.1.5. Skup S je relativno kompaktan u Banachovom prostoru X ako i samo ako
za svakiε >0postoji m∈Ni x1,x2, . . . ,xm∈S , takvi da je
S ⊂
m [
i=1
B(xi, ε).
Skup{x1,x2, . . . ,xm}s ovom svojstvom zovemokonaˇcnomε-mreˇzomza S .
Definicija 1.1.6. Neka su X, Y Banachovi prostori. Kaˇzemo da je neprekidno preslikava-nje A : X → Y kompaktnoako je za svaki ograniˇcen skup U ⊂ X skup A(U) relativno kompaktan u Y.
POGLAVLJE 1. OSNOVNI POJMOVI I NOTACIJA 3
Napomena 1.1.7. (a) Neprekidno preslikavanje A: X → Y je kompaktno ako i samo ako
za svaki ograniˇcen niz(xn)u X niz A(xn)ima konvergentan podniz.
(b) Da bi linearno preslikavanje A : X → Y bilo kompaktno dovoljno je zahtijevati da je za svaki ograniˇcen skup U njegova slika A(U)relativno kompaktan skup. U tom sluˇcaju je A ograniˇcen jer je relativno kompaktan skup uvijek ograniˇcen. Kako je svaki ograniˇceni linearan operator neprekidan, tada je A neprekidan.
(c) Neka su X,Y i Z normirani prostori. Ako je A : X → Y neprekidan, a B : Y → Z kompaktan linearan operator, tada je i njihova kompozicija BA: X →Z kompaktan linearan operator. To vrijedi zato ˇsto je neprekidan linearan operator ograniˇcen pa ograniˇcen skup U preslikava u ograniˇcen skup A(U) stoga, zbog kompaktnosti, B preslikava taj skup u relativno kompaktan skup B(A(X)).
Definicija 1.1.8. Neka su X i Y Banachovi prostori i X ⊂ Y. Kaˇzemo da je Xneprekidno uloˇzenu Y ako je linearno preslikavanje i : X → Y definirano sa i(x) = x, x ∈ X nepre-kidno. Ako je preslikavanje i : X → Y joˇs i kompaktno, tada kaˇzemo da je X kompaktno uloˇzenu Y, i piˇsemo X ⊂⊂Y.
Na kraju navodimo teorem koji nam daje kriterij kompaktnosti niza neprekidnih funk-cija, a njegov dokaz se moˇze prona´ci u [4].
Teorem 1.1.9(Arzela-Ascoli). Neka je(fk)niz funkcija sRnuRkoji je
(i) uniformno ograniˇcen:postoji konstanta M >0takva da vrijedi
|fk(x)| ≤ M, ∀k∈N,∀x∈Rn;
(ii) uniformno ekvineprekidan:za svakiε >0postojiδ >0takav da
|x−y|< δ⇒ |fk(x)− fk(y)|< ε, ∀k∈N,∀x,y∈R n.
Tada postoji podniz(fkj)⊂ (fk)i neprekidna funkcija f takva da
fkj → f uniformno na svakom kompaktnom podskupu odR n.
1.2
Slaba konvergecija
Definicija 1.2.1. Neka je X normirani prostor. Kaˇzemo da niz(xn) ⊂ X konvergira slabo
prema x∈ X ako za svaki f ∈ X0 niz(f(x
n))konvergira prema f(x)uR, gdje je X0dualni
Napomena 1.2.2. U Hilbertovom prostoru H sa skalarnim produktom(·,·), prema Rieszo-vom teoremu o reprezentaciji funkcionala (vidi [6]), niz(xn)konvergira slabo prema x∈H
ako i samo ako za svaki y∈H
(xn,y)→ (x,y).
Teorem 1.2.3. Svaki ograniˇcen niz u Hilbertovom prostoru ima slabo konvergentan podniz. Dokaz. Moˇze se prona´ci npr. u [2].
1.3
Prostori neprekidnih funkcija
Neka jeΩ⊂Rn
otvoren i ograniˇcen skup. Tada je
C(Ω)={u:Ω→R :uje neprekidna naΩ} vektorski prostor uz uobiˇcajene operacije zbrajanja i mnoˇzenja skalarom.
Radi jednostavnosti zapisa viˇsih derivacija uvodimo pojam multiindeksa. Definiramo
multiindekskaon-torku nenegativnih cijelih brojevaα=(α1, . . . , αn), αi ∈N∪ {0}te njenu
duljinukao broj
|α|=α1+· · ·+αn
i kaˇzemo da je multiindeksαreda|α|. Na skupu multiindeksa dan je parcijalni uredaj α≤β ⇔ αi ≤βi ∀i,
dok se zbrajanje i oduzimanje multiindeksa definira standardno po komponentama,α±β= (α1±β1, . . . , αn±βn), uz uvjet da je kod oduzimanjaβ ≤α. Derivaciju funkcijeureda|α|
oznaˇcavamo s ∂α u(x)= ∂ ∂x1 !α1 · · · ∂ ∂xn !αn u(x)= ∂ |α| u(x) ∂xα1 1 · · ·∂x αn n . Zak∈Ndefiniramo potprostor Ck(Ω)= {u∈C(Ω) : ∂αu∈C(Ω), ∀|α| ≤k} te piˇsemoC0(Ω)≡C(Ω) i C∞(Ω)= ∞ \ k=0 Ck(Ω).
Funkcijau ∈C(Ω) op´cenito nije ograniˇcena i nije dobro definirana na ∂Ω. Medutim, ako je u ∈ C(Ω) uniformno neprekidna naΩ, tada postoji jedinstveno ograniˇceno nepre-kidno proˇsirenje do zatvaraˇcaΩ odΩ. Za takve funkcije kaˇzemo da su neprekidne naΩ.
POGLAVLJE 1. OSNOVNI POJMOVI I NOTACIJA 5
Stoga definiramo vektorske prostore
C(Ω)={u:Ω→R : uje neprekidna naΩ},
Ck(Ω)={u∈C(Ω) : ∂αu∈C(Ω), ∀|α| ≤k}, k∈N. Kao i prije koristimo oznake
C0(Ω)≡C(Ω) i C∞(Ω)= ∞ \ k=0 Ck(Ω). ProstorCk(Ω), k ∈ Nje Banachov s normom kukCk(Ω) =max |α|≤k supx∈Ω|∂ α u(x)|.
SCk0(Ω) oznaˇcavamo potprostor odCk(Ω) koji se sastoji od funkcijau∈Ck(Ω) za koje jeu= 0 na∂Ω.
Nosaˇcfunkcijeu:Ω→Rnje skup
supp(u)={ x∈Ω : u(x), 0}.
Zatim definiramo potprostore
Cck(Ω)= {u∈Ck(Ω) : uima kompaktan nosaˇc}, C∞c (Ω)=
∞
\
k=1
Cck(Ω).
Za funkcijuu : Ω → Rkaˇzemo da jeLipschitzova ako postoji konstantaC > 0 takva da je
|u(x)−u(y)| ≤C|x−y|, ∀x,y∈Ω.
Za 0 < γ ≤ 1 kaˇzemo da je funkcijau : Ω → RH¨olderova s eksponentomγ ako postoji konstantaC > 0 takva da je
|u(x)−u(y)| ≤C|x−y|γ, ∀x,y∈Ω.
Sada definiramo prostore H¨olderove prostore diferencijabilnih funkcija s
Ck,γ(Ω)= {u∈Ck(Ω) : ∂αuje H¨olderova s eksponentomγ, ∀|α|=k}, k∈N∪ {0},0< γ≤ 1. NaC0,γ(Ω) definiramo polunormu [u]C0,γ(Ω) = sup x,y∈Ω x,y |u(x)−u(y)| |x−y|γ
te normu
kukC0,γ(Ω) =kukC(Ω)+[u]C0,γ(Ω).
Sliˇcno naCk,γ(Ω) definiramo normu
kukCk,γ(Ω)= kukCk(Ω)+max
|α|=k xsup,y∈Ω x,y
|∂αu(x)−∂αu(y)| |x−y|γ .
Pokazuje se da je s tom normomCk,γ(Ω) potpun (vidjeti npr. [3]).
1.4
Regularnost granice
Neka jeΩ⊂ Rndomena, tj. otvoren i povezan skup. Radi jednostavnosti pretpostavimo da
jeΩograniˇcena.
Definicija 1.4.1. Ograniˇcena domenaΩ⊂Rnje Lipschitzova (klase Ck) ako za svaku toˇcku
x ∈∂Ωpostoje okolina U i sustav ortogonalnih koordinata y = (y0,yn),y0 = (y1, . . . ,yn−1)
takvi da vrijedi:
(i) U novim koordinatama U je hiperkocka
U ={y∈Rn : −aj <yj <aj, j= 1,2, . . . ,n}.
(ii) Postoji Lipschitzova (klase Ck) funkcijaφdefinirana na
U0 = {y0 ∈Rn−1: −aj <yj <aj, j= 1,2, . . . ,n−1}, koja zadovoljava ∀y0 ∈U0, |φ(y0)| ≤ an 2 Ω∩U = {y∈Rn : yn > φ(y 0 )}, ∂Ω∩U = {y∈Rn : yn =φ(y 0 )}.
Znaˇcenje ove definicije je da se rub ∂Ωmoˇze lokalno prikazati kao graf Lipschitzove (klaseCk) funkcije te da se skupΩlokalno nalazi s jedne strane granice. Kako je domena
Ω ograniˇcena njen rubΩ je kompaktan pa uvijek moˇzemo na´ci konaˇcno mnogo ovakvih karata koje pokrivaju cijeli∂Ω.
Regularnost granice ograniˇcene domeneΩ je bitna pretpostavka koju ´cemo koristiti u nastavku ovog rada.
Poglavlje 2
Prostori Soboljeva
U ovom poglavlju uvodimo Soboljevljeve prostore Wm,p, za m ∈ N i 1 ≤ p ≤ ∞, te navodimo neka njihova svojstva koja ´ce nam biti potrebna u dokazima teorema ulaganja. Soboljevljevi prostori definiraju se kao potprostoriLpprostora koje ´cemo obraditi u
poseb-nom potpoglavlju.
2.1
L
pprostori
Neka jeΩ⊂Rnotvoren skup.
Definicija 2.1.1. Za1≤ p<∞definiramo
Lp(Ω)= {u:Ω→R : u je izmjeriva i
Z
Ω
|u(x)|pdx< ∞ }.
Pokazuje se da jeLp(Ω) vektorski prostor te je norma naLp(Ω) dana s
kukLp(Ω) = Z Ω |u(x)|pdx !1p .
Funkcije u Lp(Ω) poistovje´cujemo s klasama skoro svuda jednakih funkcija. Kaˇzemo da su funkcije f igjednake skoro svuda (s.s.), ako postoji skupAmjere nula takav da je
f(x)= g(x), ∀x∈Ac.
Definicija 2.1.2. Za p=∞definiramo
L∞(Ω)= {u:Ω→ R : u je izmjeriva i∃konstanta C t.d. je|u(x)|<C s.s.}.
L∞(Ω) je vektorski prostor i norma naL∞(Ω) je dana s kukL∞(Ω)= inf{C : |u(x)|<C s.s.}.
Ako jeuneprekidna funkcija, onda je
kukL∞(Ω)= sup
x∈Ω
|u(x)|.
Teorem 2.1.3. Za1 ≤ p ≤ ∞prostor Lp(Ω)je Banachov. Prostor L2(Ω)je Hilbertov sa skalarnim produktom
(u,v)L2(Ω)=
Z
Ω
u(x)v(x)dx.
Dokaz. Moˇze se prona´ci u [2].
Definicija 2.1.4. Za funkciju u kaˇzemo da jelokalno integrabilnanaΩako je u∈L1(K)za svaki kompaktan podskup K ⊂ Ω. Skup svih lokalno integrabilnih funkcija oznaˇcavamo s L1loc(Ω).
Definicija 2.1.5. Za1≤ p≤ ∞definiramokonjugirani eksponent p0 relacijom
1
p+
1
p0 =1,
uz dogovor da je ∞1 =0.
Lema 2.1.6(Youngova nejenakost). Neka su a,b≥0i1< p< ∞. Tada je ab≤ 1
pa
p+ 1
p0b
p0.
Dokaz. Zaab = 0 tvrdnja je trivijalna, a za a,b > 0, jer je funkcija x 7→ ex konveksna, imamo ab=elna+lnb = e1plna p+1 p0lnb p0 ≤ 1 pe lnap + 1 p0e lnbp0 = 1 pa p+ 1 p0b p0 .
Teorem 2.1.7(H¨olderova nejednakost). Neka je1≤ p≤ ∞. Ako je u∈Lp(Ω)i v∈Lp0(Ω),
tada je uv∈L1(Ω)te vrijedi
Z
Ω
POGLAVLJE 2. PROSTORI SOBOLJEVA 9
Dokaz. Za p = 1 i p = ∞ tvrdnja slijedi direktno iz definicija pripadnih normi. Stoga pretpostavimo da je 1 < p < ∞. Nadalje, ukoliko je jedna od funkcija jednaka nuli, tvrdnja trivijalno vrijedi pa moˇzemo pretpostaviti da su obje funkcije rezliˇcite od nule. Iz Youngove nejednakosti dobivamo
Z Ω |u(x)v(x)|dx≤ 1 p Z Ω |u(x)|pdx+ 1 p0 Z Ω |v(x)|p0 dx= 1 pkuk p Lp(Ω)+ 1 p0kvk p0 Lp0(Ω).
Sada, primjenom gornje nejednakosti na skalirane funkcije u/kukLp(Ω) i v/kvkLp0
(Ω), dobi-vamo 1 kukLp(Ω)kvkLp0 (Ω) Z Ω |u(x)v(x)|dx≤ 1 p+ 1 p0 =1,
iz ˇcega slijedi tvrdnja.
Korolar 2.1.8(Generalizirana H¨olderova nejednakost). Neka su ui ∈Lpi(Ω), za i=1, . . . ,m
te neka su1≤ p1, . . . ,pm≤ ∞takvi da je 1 p1 + 1 p2 +· · ·+ 1 pm =1. Tada je u1u2· · ·um∈L1(Ω)te vrijedi Z Ω |u1(x)u2(x)· · ·um(x)|dx ≤ ku1kLp1(Ω)ku2kLp2(Ω). . .kumkLpm(Ω).
Dokaz. Tvrdnju dokazujemo matematiˇckom indukcijom pom. Zam=1 tvrdnja trivijalno vrijedi, a za m = 2 to je H¨olderova nejednakost. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za nekim. Neka su 1 ≤ p1, . . . ,pm+1 ≤ ∞takvi da je
Pm+1
i=1 p1i = 1 i neka suui ∈ L
pi(Ω), za
i=1, . . . ,m+1. Bez smanjenja op´cenitosti moˇzemo pretpostaviti da je p1≤ p2 ≤. . . ≤ pm.
1. Prvo promotrimo sluˇcaj pm+1 = ∞. Tada je Pmi=1 1
pi = 1 pa, prema pretpostavci
indukcije i H¨olderovoj nejednakosti, dobivamo
Z Ω |u1(x)· · ·um+1(x)|dx ≤ ku1· · ·umkL1(Ω)kum+1kL∞(Ω) ≤ ku1kLp1(Ω). . .kumkLpm(Ω)kum+1kL∞(Ω). 2. Za pm+1 <∞je Pm i=1 p1i = 1 p0 m+1, odnosno Pm i=1 p0 m+1 pi = 1. Kako je|ui| p0 m+1 ∈Lpi/p0m+1(Ω),
zai= 1, . . . ,m, prema pretpostavci indukcije imamo
Z Ω |u1(x)· · ·um(x)|p 0 m+1 dx ≤ kup 0 m+1 1 kLp1/p0 m+1(Ω). . .ku p0m+1 m kLpm/p0 m+1(Ω) = ku1kLp1(Ω). . .kumkLpm(Ω) p0m+1 ,
odnosno
ku1· · ·umkLp0
m+1(Ω) ≤ ku1kLp1(Ω). . .kumkLpm(Ω).
Konaˇcno, primjenom H¨olderove nejednakosti na funkcije u1· · ·um ∈ Lp
0 m+1(Ω) i um+1 ∈ Lpm+1(Ω), dobivamo Z Ω |u1(x)· · ·um+1(x)|dx≤ ku1· · ·umkLp0 m+1(Ω)kum+1kLpm+1(Ω) ≤ ku1kLp1(Ω). . .kumkLpm(Ω)kum+1kLpm+1(Ω).
Teorem 2.1.9(Interpolacijska nejednakost). Neka je1≤ p≤ r≤q≤ ∞i
1 r = θ p + (1−θ) q ,
za neki0< θ <1. Ako je u∈Lp(Ω)∩Lq(Ω), tada je u∈Lr(Ω)te vrijedi
kukLr(Ω) ≤ kukθLp(Ω)kuk1
−θ
Lq(Ω).
Dokaz. Kako je θpr + (1−qθ)r = 1, primjenom H¨olderove nejednakosti na funkcije |u|θr ∈
Lp/(θr)(Ω) i|u|(1−θ)r∈ Lq/((1−θ)r)(Ω), dobivamo Z Ω |u|rdx= Z Ω |u|θr|u|(1−θ)rdx ≤ Z Ω |u|θrθpr dx !θpr Z Ω |u|(1−θ)r(1−qθ)r dx !(1−qθ)r
iz ˇcega slijedi tvrdnja.
Lema 2.1.10 (Teorem ulaganja za Lp prostore). Neka je 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ te neka je
|Ω|= R Ω1dx<∞. Ako je u∈L q (Ω), tada je u∈Lp(Ω)i kukLp(Ω) ≤ |Ω| 1 p− 1 qkuk Lq(Ω). (2.2)
Dokaz. Relacija (2.2) oˇcito vrijedi ako je p=qiliq= ∞. Stoga moˇzemo pretpostaviti da je 1≤ p<q< ∞. Tada H¨olderova nejednakost daje
Z Ω |u|pdx= Z Ω |u|p·1dx≤ Z Ω |u|pqp dx !pq Z Ω 1dx !1−qp =kukpLq(Ω)|Ω| p1 p− 1 q ˇsto povlaˇci (2.2).
POGLAVLJE 2. PROSTORI SOBOLJEVA 11
Korolar 2.1.11. Lp(Ω)⊂ L1
loc(Ω)za sve1≤ p≤ ∞i za svaku domenuΩ.
U dosta sluˇcajeva nam je bitna aproksimacija funkcija izLp(Ω) neprekidnim, ali i glat-kim funkcijama.
Teorem 2.1.12. Za1≤ p<∞je Cc(Ω)gust u Lp(Ω).
Dokaz. Moˇze se prona´ci u [1].
Teorem 2.1.13. Za1≤ p<∞prostor C∞c (Ω)je gust u L p
(Ω).
Dokaz. Moˇze se prona´ci u [1].
Napomena 2.1.14. (a) Prethodna dva teorema ne vrijede u sluˇcaju p =∞.
(b) U dokazu Teorema 2.1.13 koristi se operator izgladivanja. Kako ´ce nam kasnije tre-bati, sada navodimo njegovu definiciju.
Definicija 2.1.15. (i) Definiramo funkcijuη∈C∞(
Rn)s η(x)= Ce 1 |x|2−1 ako je|x|< 1 0 ako je|x| ≥1,
gdje je C > 0konstanta takva da vrijediR
Rnηdx = 1. Funkcijuηzovemo standard-nim izgladivaˇcem.
(ii) Za svakiε >0definiramo
ηε(x)= ε1nη
x
ε
.
(iii) Na L1loc(Ω)definiramo operator izgladivanjasa u7→uε= ηε∗u. To znaˇci da je uε(x)= Z Ω ηε(x−y)u(y)dy= Z B(0,ε) ηε(y)u(x−y)dy, za x∈Ωε= {x∈Ω : d(x, ∂Ω)> ε}.
Napomena 2.1.16. (a) Uoˇcimo da su funkcijeηεiz C∞ s nosaˇcem B(0, ε)i vrijedi
R
Rnηεdx=1. (b) Vrijedi
• uε ∈C∞(Ωε).
• uε →u s.s. kadε→0.
• Ako je u∈C(Ω), onda uε→u uniformno na svakom kompaktnom podskupu od
Ω.
• Ako je1≤ p<∞i u∈Llocp (Ω), onda uε →u u Llocp (Ω).
2.2
Definicija i svojstva prostora Soboljeva
Prostori Soboljeva definiraju se pomo´cu pojma slabe parcijalne derivacije.
Definicija 2.2.1. Za u∈L1loc(Ω)kaˇzemo da ima slabu parcijalnu derivaciju∂αu ako postoji v∈L1loc(Ω)takva da je Z Ωu(x)∂ αφ( x)dx=(−1)|α| Z Ωv(x)φ(x)dx, ∀φ ∈Cc∞(Ω),
gdje jeαproizvoljan multiindeks. Funkciju v oznaˇcavamo s∂αu i zovemo slabom parcijal-nom derivacijom. Definicija 2.2.2. Za1≤ p≤ ∞definiramo Wk,p(Ω)= {u∈Lp(Ω) : ∂αu∈Lp(Ω), |α| ≤k}. NaWk,p(Ω) definiramo normu kukWk,p(Ω) = X |α|≤k k∂α ukpLp(Ω) !1/p , 1≤ p<∞ kukWk,∞(Ω) =max |α|≤kk∂ αuk L∞(Ω). Za p=2 koristimo oznaku Hk(Ω)=Wk,2(Ω).
Teorem 2.2.3. Za svaki k ∈ N i 1 ≤ p ≤ ∞ prostor Wk,p(Ω) je Banachov. Hk(Ω) je Hilbertov prostor sa skalarnim produktom
(u,v)Hk(Ω)= X |α|≤k Z Ω ∂α u(x)∂αv(x)dx. Dokaz. Vidjeti u [3].
POGLAVLJE 2. PROSTORI SOBOLJEVA 13
Definicija 2.2.4. S W0k,p(Ω)oznaˇcavamo zatvaraˇc prostora Cc∞(Ω)u Wk,p(Ω).
Ponovno za p=2 piˇsemoHk
0(Ω)=W
k,2 0 (Ω).
Uz odredene uvjete na glatko´cu domeneΩ, moˇze se pokazati da vrijedi
W0k,p(Ω)={u∈Wk,p(Ω) : u= 0 na∂Ω},
gdje znaˇcenje uvjetau=0 na∂Ωjoˇs treba definirati. Naime, za funkcijuu∈C(Ω) su njene vrijednosti jednoznaˇcno odredene, stoga moˇzemo definirati njenu restrikciju na rub ∂Ω. Medutim, kod prostoraW1,p(Ω) je problem u tome ˇsto funkcije poistovje´cujemo s klasama
ekvivalencije skoro svuda jednakih funkcija. Kako je∂Ω ⊂Rn skup (Lebesgueove) mjere nula, restrikcija ne rub∂Ωne moˇze se neposredno definirati. Ipak, mogu´ce je jednoznaˇcno definirati vrijednosti funkcije izW1,p(Ω) na∂Ω. O tome govori sljede´ci teorem.
Teorem 2.2.5(Teorem o tragu). Neka jeΩograniˇcena domena s C1 rubom. Tada postoji
jedinstveni linearan operator T :W1,p(Ω)→ Lp(∂Ω)takav da
(i) T u= u|∂Ωako je u∈W1,p(Ω)∩C(Ω);
(ii) postoji konstanta C> 0, koja ovisi samo o p iΩ, takva da
kT ukLp(∂Ω)≤CkukW1,p(Ω), ∀u∈W1,p(Ω).
Operator T zove seoperator tragai kaˇzemo da je T utragfunkcije u na∂Ω.
Dokaz. Vidjeti [3].
Aproksimacija glatkim funkcijama
Sada navodimo teoreme o aproksimaciji prostora Soboljeva glatkim funkcijama ˇciji se do-kazi mogu prona´ci u [3].
Teorem 2.2.6(Lokalna aproksimacija glatkim funkcijama). Neka je u ∈ Wk,p(Ω)za neki
1≤ p< ∞te neka je
uε= ηε∗u naΩε, gdje jeΩε= {x∈Ω : d(x, ∂Ω)> ε}. Tada
(i) uε∈C∞(Ωε)za svakiε >0, (ii) uε→u u Wlock,p(Ω), kadε→0.
Napomena 2.2.7. Kaˇzemo da niz (um) konvergira u W
1,p
loc(Ω) prema u ako um → u u
Teorem 2.2.8(Globalna aproksimacija glatkim funkcijama do ruba). Neka jeΩograniˇcena domena klase C1te neka je u∈Wk,p(Ω)za neki1≤ p< ∞. Tada postoji niz funkcija(um)
u C∞(Ω)takav da
um→ u u Wk,p(Ω).
Teorem o proˇsirenju
Ako funkciju iz prostora W1,p(Ω) proˇsirimo nulom na
Rn, op´cenito ne´cemo dobiti
funk-ciju iz prostora W1,p(
Rn) jer bismo tako mogli dobiti prekid funkcije duˇz ruba ∂Ω zbog
kojeg proˇsirena funkcija ne bi imala prvu parcijalnu derivaciju. Medutim, moˇzemo dobiti proˇsirenje ˇciji je nosaˇc unutar proizvoljnog ograniˇcenog skupaV ⊂ Rntakvog da jeΩ⊂V.
O tome govori sljede´ci teorem.
Teorem 2.2.9. Neka jeΩograniˇcena domena klase C1te neka je V otvoren ograniˇcen skup
takav da jeΩ⊂⊂V. Tada za1≤ p≤ ∞postoji ograniˇceni linearni operator E :W1,p(Ω)→ W1,p(Rn)
takav da za svaki u∈W1,p(Ω)vrijedi:
(i) Eu=u s.s. naΩ,
(ii) Eu ima nosaˇc sadrˇzan u V,
(iii) postoji konstanta C> 0, koja ovisi samo o p,Ωi V, takva da je
kEukW1,p(Rn) ≤CkukW1,p(Ω).
Kaˇzemo da je Euproˇsirenjeod u naRn.
Dokaz. Vidjeti [3].
Teorem o proˇsirenju, zajedno s teoremom o aproksimaciji glatkim funkcijama, primje-njivat ´cemo u dokazima teorema ulaganja Soboljevljevih prostora kako bismo preˇsli na glatke funkcije s kompaktim nosaˇcem za koje vrijedi nejednakost oblika
kuk ≤CkukW1,p(Ω), ∀u∈Cc1(Ω),
Poglavlje 3
Teoremi ulaganja prostora Soboljeva
Cilj nam je dokazati teoreme ulaganja Soboljevljevih prostoraWk,p(Ω) za k ∈ N i glatku ograniˇcenu domenuΩ ⊂Rn.
3.1
Soboljevljeve nejednakosti
U ovom potpoglavlju bavimo se neprekidnim ulaganjima Soboljevljevih prostora u Lp ili
H¨olderove prostore. U koji ´ce prostor prostorWk,p biti uloˇzen ovisit ´ce o odnosu produkta
k p i dimenzije prostora Rn. Poˇcet ´cemo s prostorima
W1,p za sluˇcajeve 1 ≤ p < n i
n< p≤ ∞, a nakon toga dokazane teoreme proˇsiriti prostoreWk,p, zak∈ N.
Gagliardo-Nirenberg-Soboljevljeva nejednakost
U ovom poglavlju pretpostavljamo da je
1≤ p<n.
Htjeli bismo dobiti nejednakost oblika
kukLq(Rn) ≤CkDukLp(Rn), ∀u∈C∞c (Rn) (3.1)
za neke konstanteC >0, 1≤q< ∞.
Pretpostavimo da vrijedi nejednakost oblika (3.1). Uzmimo proizvoljnu funkciju u ∈
C∞c (R n),
u.0 te primijenimo (3.1) na funkcijuuλ(x) := u(λx), x∈Rn, λ > 0:
kuλkLq(Rn) ≤CkDuλkLp(Rn). Kako je Z Rn |uλ|qdx= Z Rn |u(λx)|qdx= 1 λn Z Rn |u(y)|qdy 15
i Z Rn |Duλ|pdx=λp Z Rn |Du(λx)|pdx= λ p λn Z Rn |Du(y)|pdy, dobivamo 1 λn/qkukLq(Rn)≤C λ λn/pkDukLp(Rn), odnosno kukLq(Rn) ≤Cλ1− n p+ n qkDuk Lp(Rn).
Ako je eksponent 1− np + nq , 0, nakon puˇstanja λ ili u 0 ili u ∞ (ovisno o predznaku eksponenta) zakljuˇcujemo da jeu≡0, ˇsto je u kontradikciji s pretpostavkomu.0. Prema tome, ako ˇzelimo imati nejednakost (3.1), nuˇzno mora vrijediti 1− n
p +
n
q = 0.
Definicija 3.1.1. Za1≤ p<n, definiramoSoboljevljev eksponentod p sa p∗ := np n− p. (3.2) Uoˇcimo da je 1 p∗ = 1 p − 1 n, p ∗> p (3.3)
Pokazali smo da nejednakost (3.1) moˇze vrijediti samo zaq= p∗. Sljede´ci teorem nam govori da u tom sluˇcaju nejednakost zaista vrijedi.
Teorem 3.1.2(Gagliardo-Nirenberg-Soboljevljeva nejednakost). Neka je1≤ p< n. Tada vrijedi
kukLp∗(Rn) ≤CkDukLp(Rn), ∀u∈Cc1(Rn), (3.4)
gdje je C = p(nn−−p1).
Napomena 3.1.3. Uvjet kompaktnosti nosaˇca od u je nuˇzan, ˇsto pokazuje primjer kada je u≡1. Medutim, konstanta C ne ovisi o veliˇcini nosaˇca funkcije u.
Dokaz. 1. Prvo promotrimo sluˇcaj p = 1. Tada je p∗ = n
n−1. Neka jeu ∈C 1
c(R
n). Kakou
ima kompaktan nosaˇc, za svei= 1, . . . ,nix∈Rnimamo
u(x)= Z xi −∞ ∂iu(x1, . . . ,xi−1,yi,xi+1, . . . ,xn)dyi. Slijedi da je |u(x)| ≤ Z ∞ −∞ |Du(x1, . . . ,yi, . . . ,xn)|dyi, i=1, . . . ,n
POGLAVLJE 3. TEOREMI ULAGANJA PROSTORA SOBOLJEVA 17 pa imamo |u(x)|n−n1 ≤ n Y i=1 Z ∞ −∞ |Du(x1, . . . ,yi, . . . ,xn)|dyi !n−11 . Integriramo gornju nejednakost pox1
Z ∞ −∞ |u(x)|n−n1 dx 1 ≤ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |Du|dy1 !n1−1 Yn i=2 Z ∞ −∞ |Du|dyi !n−11 dx1 = Z ∞ −∞ |Du|dy1 !n−11 Z ∞ −∞ n Y i=2 Z ∞ −∞ |Du|dyi !n−11 dx1 ≤ Z ∞ −∞ |Du|dy1 !n−11 Yn i=2 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |Du|dx1dyi !n−11
gdje zadnja nejednakost slijedi iz generalizirane H¨olderove nejednakosti za funkcijeui =
R∞
−∞|Du|dyi
n−11
i pi =n−1 (i=2, . . . ,n). Sada integracijom pox2dobivamo
Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |u(x)|n−n1 dx 1dx2 ≤ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |Du|dx1dy2 !n1−1 Z ∞ −∞ n Y i=1 i,2 I 1 n−1 i dx2 zaI1 = R∞ −∞|Du|dy1, Ii = R∞
−∞|Du|dx1 dyi (i = 3, . . . ,n). Ponovno, promjenom
generalizi-rane H¨olderove nejednakosti, dolazimo do
Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |u(x)|nn−1 dx 1 dx2 ≤ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |Du|dx1dy2 !n1−1 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |Du|dx2dy1 !n1−1 n Y i=3 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |Du|dx1dx2dyi !n−11
Dalje induktivno, integriranjem po x3, . . . ,xn, dobivamo Z Rn |u(x)|nn−1 dx≤ n Y i=1 Z ∞ −∞ · · · Z ∞ −∞ |Du|dx1. . .dyi. . .dxn !n−11 = Z Rn |Du|dx !n−n1 (3.5) odnosno kuk Lnn−1(Rn)≤ kDukL1(Rn)
2. Pokaˇzimo sada da tvrdnja vrijedi za 1 < p < n. Neka jeu ∈ C1
c(R
n). Primijenimo
ocjenu (3.5) na funkcijuv=|u|γ, zaγ >1 (tada jev∈Cc1(R n )): Z Rn |u(x)|nγ−n1 dx !n−n1 ≤ Z Rn |D|u|γ|dx =γ Z Rn |u|γ−1|Du|dx ≤ γ Z Rn |u|(γ−1)p−p1 dx !p−p1 Z Rn |Du|pdx !1p . (3.6)
Zadnja nejednakost dobivena je iz H¨olderove nejednakosti. Izaberemoγtakav da je nγ−n1 = (γ−1)p−p1, odnosnoγ = p(nn−−p1) >1. Tada je nγ−n1 =(γ−1)p−p1 = nnp−p = p∗i n−1 n − p−1 p = n−p np = 1 p∗ pa iz (3.6) slijedi Z Rn |u(x)|p∗ dx !p1∗ ≤C Z Rn |Du|pdx !1p zaC = p(nn−−p1).
Teorem 3.1.4(Ocjena zaW1,p, 1 ≤ p < n). Neka jeΩ ⊂ Rn
domena klase C1 te neka je u∈W1,p(Ω), za1 ≤ p <n. Tada je u∈Lp∗(Ω)te postoji konstanta C> 0, koja ovisi samo
o p, n iΩ, takva da je
kukLp∗(Ω) ≤CkukW1,p(Ω). (3.7)
Dokaz. Kako je ograniˇcena domena Ω klase C1, prema Teoremu 2.2.9, postoji operator
proˇsirenja E : W1,p(Ω) → W1,p(Rn) takav da za svaki u ∈ W1,p(Ω) proˇsirenje Eu = u ∈
W1,p(Rn) ima svojstva u= unaΩ,
uima kompaktan nosaˇc,
kukW1,p(Rn) ≤C1kukW1,p(Ω),
(3.8) gdje konstantaC1ovisi samo o piΩ. Budu´ci da je nosaˇc odukompaktan, prema Teoremu
2.2.6, moˇzemo odabrati niz (um) uC∞c (R
n) takav da
um →u uW1,p(Rn) (3.9)
ˇsto povlaˇci
Dum →Du uLp(Rn). (3.10)
Sada prema Teoremu 3.1.2, za svel,m≥ 1 imamo ocjenu kum−ulkLp∗(Rn) ≤CkDum−DulkLp(Rn)
pa je, zbog Cauchyjevosti niza (Dum) uLp(Rn), niz (um) Cauchijev uLp
∗ (Rn). Zbog potpu-nosti prostoraLp∗( Rn) i (3.9), slijedi um→ u uLp ∗ (Rn). (3.11)
POGLAVLJE 3. TEOREMI ULAGANJA PROSTORA SOBOLJEVA 19
Primjenom Teorema 3.1.2 naum, dobivamo
kumkLp∗(Rn) ≤C2kDumkLp(
Rn) gdje konstantaC2ovisi samo oni p, pa (3.10) i (3.11) povlaˇce
kukLp∗(Rn)≤C2kDukLp(Rn).
Konaˇcno, gornja ocjena i (3.8) daju
kukLp∗(Ω) =kukLp∗(Ω)≤ kukLp∗(Rn) ≤C2kDukLp(
Rn)≤C2kukW1,p(Rn) ≤C1C2kukW1,p(Ω).
Teorem 3.1.5(Ocjena zaW01,p, 1≤ p < n). Neka jeΩ ograniˇcen otvoren podskup odRn.
Pretpostavimo da je u∈W01,p(Ω)za neki1≤ p<n. Tada vrijedi ocjena
kukLq(Ω) ≤CkDukLp(Ω),
za svaki1≤q≤ p∗, gdje konstanta C >0ovisi samo o p, q, n iΩ.
Uoˇcimo da Teorem 3.1.5 ne zahtjeva da je Ω klase C1. To je zato ˇsto nije potrebno
pozivati se na teorem o proˇsirenju (Teorem 2.2.9), ve´c direktno moˇzemo iskoristili gusto´cu prostoraC∞c (Ω) uW
1,p
0 (Ω).
Dokaz. Neka jeu ∈ W01,p(Ω). Zbog gusto´ce prostoraC∞c (Ω) u W
1,p
0 (Ω), postoji niz (um)
funkcija izCc∞(Ω) koji konvergira premauuW
1,p
0 (Ω). Svaku funkcijuumproˇsirimo nulom
na cijeli Rn te primijenimo Teorem 3.1.2. Time dobivamo kuk
Lp∗(Ω) ≤ CkDukLp(Ω). Zbog
|Ω|< ∞, imamokukLq(Ω)≤CkukLp∗
(Ω)za 1 ≤q≤ p
∗
ˇsto daje traˇzenu ocjenu.
Napomena 3.1.6. (a) U svjetlu Teorema 3.1.5, za q = p < p∗, kDuk
Lp(Ω) je norma na
W01,p(Ω)ekvivalentna normikukW1,p(Ω). To vidimo iz
kukLp(Ω)+kDukLp(Ω) ≤CkDukLp(Ω)+kDukLp(Ω) =(C+1)kDukLp(Ω).
(b) Promotrimo sluˇcaj
p=n.
Teorem 3.1.4 i ˇcinjenica da p∗ = nnp−p → +∞ kad p → n, name´cu nam pitanje: Vrijedi li W1,n(Ω)⊂L∞
(Ω)?
U sluˇcaju n= 1za u ∈W1,1(Ω)je u0 ∈L1(Ω)pa je u neprekidna i, za a∈Ω, vrijedi u(x)=u(a)+
Z x
a
odnosno
|u(x)| ≤ |u(a)|+
Z
Ω
|u0(t)|dt ≤C,∀x∈Ω,
gdje konstanta C ne ovisi o x, pa slijedi da je u ∈ L∞(Ω). Neprekidnost ulaganja
W1,1(Ω)⊂ L∞ (Ω)slijedi iz |u(x)−v(x)|=| Z x a (u0(t)−v0(t))dt| ≤ Z Ω |u0(t)−v0(t)|dt ≤ ku−vkW1,1(Ω), za u,v∈W1,1(Ω).
Ve´c za n>1odgovor je negativan. Na primjer, zaΩ =B(0,1)funkcija u= ln ln1+
1
|x|
pripada W1,n(Ω), ali ne i L∞(Ω).
Medutim, za n > 1, moˇzemo zakljuˇciti da je W1,n(Ω) ⊂ Lq(Ω), za svaki1 ≤ q < ∞.
Naime, za1≤ p< n, zbog ograniˇcenosti odΩ, imamo Ln(Ω)⊂ Lp(Ω)
pa Teorem 3.1.4 povlaˇci
W1,n(Ω)⊂W1,p(Ω)⊂ Lp∗(Ω).
Sada tvrdnja slijedi iz ˇcinjenice da p∗= nnp−p →+∞kada p→n te ograniˇcenosti od
Ω. Sva ulaganja su neprekidna pa vrijedi i pripadna ocjena.
Morreyjeva nejednakost
Pretpostavimo sada da je
n< p≤ ∞. (3.12)
Pokazat ´cemo da ako je u ∈ W1,p(Ω), onda je u zapravo H¨olderova, nakon eventualnog
redefiniranja na skupu mjere nula.
Teorem 3.1.7(Morreyjeva nejednakost). Neka je n < p ≤ ∞. Tada postoji konstanta C, koja ovisi samo o p i n, takva da je
kukC0,γ(Rn) ≤CkukW1,p(Rn) (3.13)
za sve u∈C1(Rn), gdje je
γ:= 1− n
POGLAVLJE 3. TEOREMI ULAGANJA PROSTORA SOBOLJEVA 21 Dokaz. U sluˇcaju p=∞jeγ=1 te zau∈C1( Rn) imamo sup x∈Rn |u(x)|= kukL∞( Rn) i sup x,y ( |u(x)−u(y)| |x−y| ) ≤ sup x∈Rn |Du(x)|= kDukL∞( Rn), ˇsto povlaˇci kukC0,1(Rn) ≤ kukW1,∞( Rn).
Stoga dokaˇzimo tvrdnju zan< p<∞. 1. Neka je B(x,r) ⊂ Rn
proizvoljna kugla. Tvrdimo da postoji konstantaC > 0, koja ovisi samo on, takva da je
− Z B(x,r) |u(y)−u(x)|dy ≤C Z B(x,r) |Du(y)| |y− x|n−1 dy. (3.14) Fiksirajmo toˇckuw∈∂B(x,1). Tada za 0< s< rimamo
|u(x+sw)−u(x)|= Z s 0 d dtu(x+tw)dt = Z s 0 Du(x+tw)·w dt ≤ Z s 0 |Du(x+tw)|dt.
Integriranjem po∂B(0,1) te zamjenom varijabliy= x+tw(dakle,|y−x|= t) dobivamo
Z ∂B(0,1) |u(x+sw)−u(x)|dSw≤ Z s 0 Z ∂B(0,1) |Du(x+tw)|dSwdt = Z s 0 Z ∂B(x,t) |Du(y)| tn−1 dSydt = Z B(x,s) |Du(y)| |y−x|n−1 dy≤ Z B(x,r) |Du(y)| |y− x|n−1 dy. Pomnoˇzimo nejednakost sasn−1i integriramo od 0 dorpo varijablis
Z B(x,r) |u(y)−u(x)|dy≤ r n n Z B(x,r) |Du(y)| |y−x|n−1 dy. Dijeljenjem s|B(x,r)|=rn|∂B(0,1)|dolazimo do nejednakosti (3.14).
2. Sada fiksirajmo x∈Rn. Iz nejednakosti (3.14) te H¨olderove nejednakosti slijedi
|u(x)| ≤ − Z B(x,1) |u(x)−u(y)|dy+− Z B(x,1) |u(y)|dy ≤C1 Z B(x,1) |Du(y)| |y−x|n−1 dy+ 1 |B(x,1)||B(x,1)| p−1 p kuk Lp(Rn) ≤C1 Z B(x,1) |Du(y)|pdy !1p Z B(x,1) 1 |y−x|(n−1)p−p1 dy ! p−1 p +C2kukLp(Rn).
Kakop> npovlaˇci (n−1)p−p1 < n, imamo da je Z B(x,r) dy |y−x|(n−1)p−p1 =Z B(0,1) rndz |rz|(n−1)pp−1 =rn−(n−1)p−p1 Z 1 0 Z ∂B(0,s) 1 |z|(n−1)p−p1 dSzds =rn−(n−1)p−p1 Z 1 0 Z ∂B(0,s) 1 s(n−1)pp−1 dSzds =rn−(n−1)p−p1 Z 1 0 1 s(n−1)pp−1 s(n−1)|∂B(0,1)|ds =rn−(n−1)p−p1|∂B(0,1)| Z 1 0 sn−1−(n−1)p−p1 ds = |∂B(0,1)| n−(n−1)p−p1r n−(n−1)pp−1, ∀r >0, (3.15) odnosno, Z B(x,1) 1 |y−x|(n−1)p−p1 dy !p −1 p = |∂B(0,1)| n−(n−1)p−p1 !p −1 p =C3 <∞. Stoga slijedi da je |u(x)| ≤C1C3kDukLp(Rn)+C2kukLp(Rn)≤CkukW1,p(Rn), (3.16)
gdje jeC =max{C1C3,C2}i ovisi samo o pin. Kako jex∈Rnproizvoljan, zakljuˇcujemo
sup
x∈Rn
|u(x)| ≤CkukW1,p(Rn). (3.17)
3. Preostaje ocijeniti polunormu [u]C0,γ(
Rn). Neka su x,y ∈ R n proizvoljni. Stavimo r= |x−y|teW = B(x,r)∩B(y,r). Tada je |u(x)−u(y)| ≤ − Z W |u(x)−u(z)|dz+− Z W |u(y)−u(z)|dz. (3.18) ˇ
Cinjenica da jeW ⊂ B(x,r), (3.14), H¨olderova nejednakost te (3.15) povlaˇce − Z W |u(x)−u(z)|dz≤C1− Z B(x,r) |u(x)−u(z)|dz ≤C2 Z B(x,r) |Du(z)|pdz !1p Z B(x,r) 1 |x−z|(n−1)p−p1 dz ! p−1 p ≤C3 rn−(n−1)p−p1 p−1 p kDukLp(Rn) =C3r1 −np kDukLp(Rn). (3.19)
POGLAVLJE 3. TEOREMI ULAGANJA PROSTORA SOBOLJEVA 23 Sliˇcno, − Z W |u(y)−u(z)|dz≤C3r1 −n pkDuk Lp(Rn). Dakle, |u(x)−u(y)| ≤2C3r1 −n pkDuk Lp(Rn) =C|x−y|1 −n pkDuk Lp(Rn). Prema tome, [u] C0,1−np(Rn) =sup x,y ( |u(x)−u(y)| |x−y|1−np ) ≤CkDukLp( Rn).
Ova nejednakost i (3.17) daju (3.13).
Napomena 3.1.8. Uoˇcimo da, uz neˇsto bolju ocjenu u(3.19), moˇzemo dobiti
|u(x)−u(y)| ≤Cr1−np Z B(x,2r) |Du(z)|pdz !1p za sve u∈C1(B(x,2r)), y∈B(x,r), n< p< ∞.
Teorem 3.1.9(Ocjena za W1,p, n < p ≤ ∞). Neka je Ω ⊂ Rn
ograniˇcena domena klase C1. Pretpostavimo da je u ∈W1,p(Ω), za n< p ≤ ∞. Tada postoji funkcija u∗ ∈ C0,γ(Ω),
zaγ =1− np, takva da je u∗= u s.s. naΩte vrijedi ocjena
ku∗kC0,γ(Ω) ≤CkukW1,p(Ω),
za neku konstantu C >0, koja ovisi samo o p, n iΩ.
Dokaz. Kako je ograniˇcena domena Ω klase C1, prema Teoremu 2.2.9, postoji operator
proˇsirenja E : W1,p(Ω) → W1,p(Rn) takav da za svaki u ∈ W1,p(Ω) proˇsirenje Eu = u ∈
W1,p(Rn) ima svojstva u= unaΩ,
uima kompaktan nosaˇc,
kukW1,p(Rn) ≤C1kukW1,p(Ω),
(3.20) gdje konstantaC1ovisi samo o piΩ. Budu´ci da je nosaˇc odukompaktan, prema Teoremu
2.2.6, moˇzemo odabrati niz (um) uC∞c (R n
) takav da
um→ u uW1,p(Rn). (3.21)
Prema Teoremu 3.1.7, za svel,m≥1 imamo ocjenu kum−ulkC0,1−np
(Rn) ≤Ckum−ulkW1
Zbog potpunosti prostoraC0,1−np( Rn), postojiu∗∈C0,1− n p( Rn) takav da um→ u ∗ uC0,1−np( Rn). (3.22)
Iz (3.21) i (3.22) slijedi da jeu∗ =us.s. naΩ. Sada primijenimo Teorem 3.1.7 naum
kumkC0,1−np
(Rn) ≤C2kumkW1,p(Rn) te, zbog (3.21),(3.22) i (3.20), zakljuˇcujemo
ku∗k
C0,1−np(U) ≤ ku
∗k
C0,1−np(Rn) ≤C2kukW1,p(Rn)≤C1C2kukW1,p(U).
Op´ce Soboljevljeve nejednakosti
Sada ´cemo iskoristiti prethodne ocjene kako bismo dobili ocjene u op´cenitijem sluˇcaju. Teorem 3.1.10 (Op´ce Soboljevljeve nejednakosti). Neka je Ω ograniˇcena domena klase C1te pretpostavimo da je u∈Wk,p(Ω). (i) Ako je k p<n, (3.23) onda je u∈Lq(Ω), gdje je 1 q = 1 p − k n. Nadalje, vrijedi ocjena
kukLq(Ω)≤CkukWk,p(Ω), (3.24)
za neku konstantu C >0koja ovisi samo o k, p, n iΩ. (ii) Ako je k p>n, (3.25) onda je u∈Ck−bnpc−1,γ(Ω), gdje je γ= jn p k +1− n p ako n p <Z
bilo koji pozitivan broj< 1 ako np ∈Z.
Vrijedi ocjena
kuk
Ck−bnpc−1,γ(Ω) ≤CkukWk,p(Ω), (3.26)
POGLAVLJE 3. TEOREMI ULAGANJA PROSTORA SOBOLJEVA 25
Dokaz. 1. Neka vrijedi (3.23). Kako je∂αu∈Lp(Ω) za sve|α| ≤k, Teorem 3.1.4 povlaˇci
k∂βuk
Lp∗(Ω)≤Ck∂βukW1,p(Ω) ≤CkukWk,p(Ω)
za sve |β| ≤ k −1 i za neku konstantu C koja ovisi samo o p, n i Ω. Slijedi da je u ∈
Wk−1,p∗(Ω) te vrijedi ocjena
kukWk−1,p∗(Ω)≤C1kukWk,p(Ω),
gdje je C1 = P|β|≤k−1C, dakle ovisi samo o k, p, n i Ω. Jednako tako dobivamo da je
u∈Wk−2,p∗∗(Ω) za 1 p∗∗ = 1 p∗ − 1 n = 1 p − 2 n te kukWk−2,p∗∗(Ω)≤C2kukWk−1,p∗(Ω) ≤C1C2kukWk,p(Ω),
gdje konstantaC2ponovno ovisi samo ok, p,niΩ. Nastavljamo dalje istim zakljuˇcivanjem
te nakonkkoraka dolazimo dou∈W0,q(Ω)=Lq(Ω) za 1
q = 1 p − k n te kukLq(Ω)≤CkukWk,p(Ω),
za konstantuC =C1C2· · ·Ckkoja ovisi samo o p,k,niΩ.
2. Pretpostavimo da vrijedi (3.25) te da np <Z. Kao u prethodnom sluˇcaju zakljuˇcujemo
da jeu∈Wk−l,r(Ω) te vrijedi kukWk−l,r(Ω) ≤C1kukWk,p(Ω). (3.27) za 1r = 1p − l n, uz uvjet da je lp < n (l ∈ N∪ {0}). Izaberimo l = jn p k . To znaˇci da je
l < np < l+ 1 pa je r = n−pnpl > pnp = n. Tada je, prema Teoremu 3.1.9 i (3.27), za sve |α| ≤k−l−1∂αu∈C0,1−nr(Ω) i k∂α ukC0,1−nr(Ω) ≤C2k∂αukW1,r(Ω) ≤C2kukWk−l,r(Ω) ≤C1C2kukWk,p(Ω). Stoga jeu∈Ck−l−1,1−nr(Ω) te kukCk−l−1,1−nr (Ω) ≤2 max|α|≤k−l−1k∂ α ukC0,1−nr (Ω) ≤CkukWk,p(Ω),
za konstantuC = 2C1C2koja ovisi samo o p,k,niΩ. Uoˇcimo da jek−l−1=k−
jn p k −1 i 1− n r = 1− n p+l= jn p k +1− n p =γ, ˇsto znaˇci da jeu∈C k−jnpk−1,γ (Ω) i vrijedi (3.26). 3. Preostaje sluˇcaj kada jek> np i np ∈Z. Stavimol= np−1= jnpk−1. Ponovno imamo
u∈Wk−l,r(Ω) zar= pn n−pl =ni
Sada, prema Napomeni 3.1.6(b), slijedi da je∂αu∈Lq(Ω) za sve|α| ≤k−l−1= k−jn p k i 1≤q<∞te imamo k∂α ukLq(Ω) ≤C2k∂αukW1,r(Ω) ≤C2kukWk−l,r(Ω) ≤C1C2kukWk,p(Ω), odnosno kukWk−l−1,q(Ω) ≤C3kukWk,p(Ω).
Teorem 3.1.9 povlaˇci da je∂αu∈C0,1−nq(Ω) za sve|α| ≤k−l−2= k−jn p k −1 in<q< ∞ te vrijedi k∂αuk C0,1−nq(Ω)≤ k∂ α ukW1,q(Ω)≤C4kukWk−l−1,q(Ω) ≤C3C4kukWk,p(Ω),
pa iz toga, kao prije, zakljuˇcujemo da jeu∈Ck−
jn p k −1,γ (Ω) za sve 0< γ <1 i kuk Ck−b n pc−1,γ(Ω)≤CkukWk,p(Ω).
3.2
Kompaktnost ulaganja
U prethodnom smo potpoglavlju pokazali da za 1 ≤ p < ni glatku ograniˇcenu domenuΩ imamo ulaganje prostoraW1,p(Ω) u prostorLp∗(Ω), gdje je p∗ = npn−p. Sada ´cemo pokazati da je za 1≤ q< p∗ulaganje prostoraW1,p(Ω) u prostor Lq(Ω) ˇcak i kompaktno ˇsto ´ce biti kljuˇcno za dokaz egzistencije rjeˇsenja parcijalnih diferencijalni jednadˇzbi kojima ´cemo se baviti u Poglavlju 5.
Teorem 3.2.1(Rellich-Kondrachovljev teorem kompaktnosti). Neka jeΩ ograniˇcena do-mena klase C1i pretpostavimo da je1≤ p< n. Tada je
W1,p(Ω)⊂⊂ Lq(Ω)
za svaki1≤q< p∗.
Dokaz. Neka je 1≤q< p∗. Zbog ograniˇcenosti domeneΩ, Teorem 3.1.4 povlaˇci
W1,p(Ω)⊂ Lp∗(Ω)⊂ Lq(Ω).
Preostaje pokazati da za svaki ograniˇcen niz (um) uW1,p(Ω) postoji podniz (umj) koji
konvergira uLq(Ω).
1. Zbog Teorema 2.2.9 bez smanjenja op´cenitosti moˇzemo pretpostaviti da je Ω =Rn
te da funkcije (um) imaju kompaktan nosaˇc unutar nekog ograniˇcenog otvorenog skupa
V ⊂ Rn. Takoder, moˇzemo pretpostaviti da je
sup
m
POGLAVLJE 3. TEOREMI ULAGANJA PROSTORA SOBOLJEVA 27
2. Promotrimo prvo niz funkcija
uεm =ηε∗um (ε >0,m= 1,2, . . .),
gdje jeηεstandardni izgladivaˇc. Zaεdovoljno mali nosaˇci svih funkcija (um) sadrˇzani su
uV. 3. Pokaˇzimo da uεm→um uL q (V) kadε→0, uniformno pom. (3.29) Zaum ∈W1,p(V) raˇcunamo uεm(x)−um(x)= Z B(0,1) η(y)(um(x−εy)−um(x))dy = Z B(0,1) η(y) Z 1 0 d dt(um(x−εty))dt dy = −εZ B(0,1) η(y) Z 1 0 Dum(x−εty)·y dt dy. Time dobivamo Z V |uεm(x)−um(x)|dx≤ ε Z B(0,1) η(y) Z 1 0 Z V |Dum(x−εty)|dx dt dy ≤ ε Z B(0,1) η(y)dy | {z } =1 Z 1 0 dt |{z} =1 Z V |Dum(z)|dz = εZ V |Dum(z)|dz.
Druga nejednakost slijedi iz pretpostavke da su nosaˇci funkcijauεm unutar skupaV. Sada,
zbog ograniˇcenosti odV, imamo
kuεm−umkL1(V) ≤ εkDumkL1(V)≤ εCkDumkLp(V) ≤εCkumkW1,p(V) ≤εCA.
Stoga, zbog (3.28), zakljuˇcujemo
uεm→um uL1(V) kadε→0, uniformno pom. (3.30)
Kako je 1≤ q< p∗, primjenom interpolacijske nejednakosti zaLpnorme, slijedi kuεm−umkLq(V)≤ kuεm−umkθL1(V)ku
ε
za 1q =θ+ 1p−∗θ, 0< θ <1. Sada (3.28) i Teorem 3.1.4 povlaˇce
kuεm−umkLq(V) ≤Ckuεm−umkθL1(V) pa (3.29) slijedi iz (3.30).
4. Dalje, pokaˇzimo da je za svakiε >0 niz (uεm) uniformno ograniˇcen i ekvineprekidan.
Zax∈Rn imamo |uεm(x)| ≤ Z B(x,ε) ηε(x−y)|um(y)|dy≤ kηεkL∞( Rn)kumkL1(V)≤ C εn <∞,
za svem∈N. Sliˇcno dobivamo |Duεm(x)| ≤ Z B(x,ε) |Dηε(x−y)||um(y)|dy≤ kDηεkL∞( Rn)kumkL1(V) ≤ C εn+1 <∞,
za sve m ∈ N. Sada iz ove dvije nejednakosti dobivamo uniformnu ograniˇcenost i ekvi-neprekidnost; prva povlaˇci uniformnu ograniˇcenost, a druga ekvineprekidnost (uz Lagran-geov teorem srednje vrijednosti).
5. Nekaδ >0 proizvoljan. Tvrdimo da postoji podniz (umj)⊂ (um) takav da
lim sup
j,k→∞
kumj −umkkLq(V)≤ δ. (3.31)
Zbog (3.29) moˇzemo odabratiε >0 dovoljno mali tako da kuεm−umkLq(V) ≤
δ
2, ∀m∈N. (3.32)
Sada zbog 4. te ˇcinjenice da funkcije (uεm) imaju kompaktan nosaˇc unutar nekog fiksnog
ograniˇcenog skupaV ⊂ Rn, moˇzemo iskoristiti Arzela-Ascoli kriterij kompaktnosti. Prema
tome postoji podniz (uεmj) ⊂ (u
ε
m) koji konvergira uniformno uV, pa konvergira i u L q
(V) (|V|< ∞). U tom sluˇcaju imamo
lim sup j,k→∞ kuεmj −uεmkkLq(V) =0 (3.33) pa je, zbog (3.32), lim sup j,k→∞ kumj −umkkLq(V) ≤δ. Kako jeΩ ⊂V, dobivamo lim sup j,k→∞ kumj −umkkLq(Ω) ≤δ. (3.34)
POGLAVLJE 3. TEOREMI ULAGANJA PROSTORA SOBOLJEVA 29
6. Konaˇcno, uvrˇstavanjem δ = 1l za l = 1,2, . . . konstruiramo konvergentan podniz (umj)⊂(um). Zaδ=1 moˇzemo odabrati podniz (m
(1) j )⊂ (mj) takav da je lim sup j,k→∞ kum(1) j −um(1) k kLq(Ω) ≤1.
Dalje, zaδ= 12 odaberemo podniz (m(2)j )⊂(m(1)j ) takav da je lim sup j,k→∞ kum(2) j −um(2) k kLq(Ω) ≤ 1 2.
Tako nastavimo dalje, za δ = 13,14, . . . te konstruiramo niz (m(jj)) ⊂ (mj). Za proizvoljan
N ∈Nik, j≥ N imamo kum(j) j −um(k) k kLq(Ω) =kum(N) N j −um(N) Nk kLq(Ω)
za nekeNj ≥ jiNk ≥ k. Kako j,k → ∞povlaˇciNj,Nk → ∞, slijedi da je
lim sup j,k→∞ kum(j) j −um(k) k kLq(Ω)≤ 1 N.
Na kraju pustimoN → ∞i dobivamo lim j,k→∞ kum(j) j −um(k) k kLq(Ω)= lim sup j,k→∞ kum(j) j −um(k) k kLq(Ω) =0. Slijedi da je niz (um(j)
j ) Cauchyjev u potpunom prostoruL
q(Ω) pa je i konvergentan.
Napomena 3.2.2. (a) Uoˇcimo da ako jeΩkao u Teoremu 3.2.1, onda imamo ulaganje
W1,p(Ω)⊂⊂Lp(Ω)
za sve1≤ p< ∞.
Dokaz. Oˇcito uvijek imamo neprekidno ulaganje
W1,p(Ω)⊂ Lp(Ω). Dakle, potrebno je pokazati samo kompaktnost.
1. Za 1≤ p<njep∗ > ppa tvrdnja direktno slijedi iz Teorema 3.2.1. 2. Neka je p>n. Prema Teoremu 3.1.9, imamo neprekidno ulaganje
ˇsto povlaˇci da je ograniˇcen niz u W1,p(Ω) ograniˇcen i u C0,γ(Ω). Lako se vidi da
su tada zadovoljeni uvjeti Arzela-Ascolijevog teorema pa je dalje dokaz isti kao za sluˇcajp< n.
3. Preostaje sluˇcaj p = n. Kako je Ω ograniˇcen, prema Lemi 2.1.10, za p1 < p2
imamo kukLp1(Ω) ≤ |Ω| 1 p1− 1 p2kuk Lp2(Ω).
pa je ograniˇcen niz (um) uW1,n(Ω) ograniˇcen i u W1,p(Ω), za sve 1 ≤ p < n. Kako
p∗ → ∞ kad p → n, moˇzemo odabrati p < n takav da je p∗ > n. Tada Teorem 3.2.1 daje egzistenciju podniza koji konvergira uLn(Ω). U sluˇcajun=1 tvrdnja isto
vrijedi, ali je potreban drugaˇciji pristup (vidi [2]).
(b) Vrijedi
W01,p(Ω)⊂⊂Lp(Ω),
ˇcak i ako ne zahtijevamo da je Ω klase C1. To, kao i prije, slijedi zbog gusto´ce
prostora C∞c (Ω)u W01,p(Ω).
(c) Ukoliko domenaΩ nije ograniˇcena, ulaganje W1,p(Ω) ⊂⊂ Lp(Ω) op´cenito nije
kom-paktno. Na primjer, zaΩ = Rpromotrimo niz funkcija(ϕm) ⊂ W1,p(Ω) definiranih
sa
ϕm(x)=η(x−2m), m∈N,
gdje jeηstandardni izgladivaˇc. Taj je niz ograniˇcen u W1,p(Ω)s kηkW1,p(Ω), ali nije
Cauchyjev u Lp(Ω)zbog
kϕm−ϕlkLp(Ω) =2kηkLp(Ω) =C >0, ∀m,l.
(d) Ulaganje W1,p(Ω)⊂⊂Lp∗(Ω)nikad nije kompaktno, ˇcak ni za ograniˇcenΩ.
(e) ZaΩkao u Teoremu 3.2.1 ulaganje H2(Ω)⊂ H1(Ω)je kompaktno.
Dokaz. Neka je (uk) ograniˇcen niz uH2(Ω). Tada je (uk) ograniˇcen uH1(Ω) pa, zbog
kompaktnosti ulaganjaH1(Ω)=W1,2(Ω)⊂L2(Ω) postoji podniz (ukj) takav da
ukj → u uL2(Ω). (3.35)
S druge strane, i niz (∂iukj) (i = 1, . . . ,n) je ograniˇcen u H
1(Ω) pa postoji podniz
(ukjl) takav da
POGLAVLJE 3. TEOREMI ULAGANJA PROSTORA SOBOLJEVA 31
Pokaˇzimo da jeu(i) =∂
iu. Zbog neprekidnosti preslikavanjau7→ R Ωuφ,∀φ∈C ∞ c (Ω) imamo Z Ωu(x)∂iφ(x)dx=llim→∞ Z Ωukjl(x)∂iφ(x)dx= −lim l→∞ Z Ω∂iukjl(x)φ(x)dx =− Z Ωu (i) (x)φ(x)dx ∀φ∈Cc∞(Ω).
Teoremi o fiksnoj toˇcki
Prije primjene teorema ulaganja, u ovom kratkom poglavlju navodimo neke teoreme o fiksnoj toˇcki.
4.1
Brouwerov i Schauderov teorem o fiksnoj toˇcki
Teorem 4.1.1(Brouwerov teorem o fiksnoj toˇcki). Neka je K neprazan, konveksan, zatvo-ren i ograniˇcen podskup odRn. Pretpostavimo da je funkcija u:K → K neprekidna. Tada
u ima fiksnu toˇcku, tj. postoji x∈K takav da je u(x)= x.
Dokaz. Dokaz se moˇze vidjeti u [3]. Proˇsirujemo teorem na Banachove prostore. Dakle, od sad nadalje, Xje realan Banac-hov prostor.
Teorem 4.1.2(Schauderov teorem o fiksnoj toˇcki). Neka je K ⊂ X kompaktan i konveksan, te neka je A: K →K neprekidno preslikavanje. Tada A ima fiksnu toˇcku u K.
Dokaz. Neka je ε > 0 proizvoljan. Zbog kompaktnosti skupa K ⊂ X, moˇzemo odabrati toˇckeu1, . . . ,uNε ∈K takve da je K ⊂ Nε [ i=1 B(ui, ε). (4.1)
Neka jeKεkonveksna ljuska toˇcaka{u1, . . . ,uNε}, odnosno
Kε = Nε X i=1 λiui : Nε X i=1 λi = 1, 0≤λi ≤1,i= 1, . . . ,Nε . 32
POGLAVLJE 4. TEOREMI O FIKSNOJ TO ˇCKI 33
Tada jeKε⊂ Kjer je Kkonveksan. Definiramo funkcijuPεnaK formulom
Pε(u)= PNε i=1d(u,K\B(ui, ε))ui PNε i=1d(u,K\B(ui, ε)) , u∈K.
Zbog (4.1), nazivnik je uvijek razliˇcit od nule pa je definicija dobra. Uoˇcimo da je za svaki u ∈ K Pε(u) konveksna kombinacija toˇcaka u1, . . . ,uNε, ˇsto zanˇci da jePε(u) ∈ Kε,
odnosnoPεje preslikavanje sKuKε. FunkcijaPε :K → Kεje oˇcito neprekidna (funkcija
udaljenosti toˇcke od zatvorenog skupa je neprekidna) te za svakiu∈Kimamo kPε(u)−uk = PNε i=1d(u,K\B(ui, ε))(ui−u) PNε i=1d(u,K\B(ui, ε)) ≤ PNε i=1d(u,K\B(ui, ε))kui−uk PNε i=1d(u,K\B(ui, ε)) ≤ PNε i=1d(u,K\B(ui, ε))ε PNε i=1d(u,K\B(ui, ε)) = ε. (4.2)
Sada definiramo operatorAε :Kε →Kεs
Aε(u)=Pε(A(u)), u∈Kε.
OperatorAε je neprekidan kao kompozicija neprekidnih operatora i skup Kε je neprazan, konveksan, zatvoren i ograniˇcen pa prema Brouwerovom teoremu o fiksnoj toˇcki postoji
uε∈Kεtakav da je
Aε(uε)=uε.
Za nizε-a dobivamo niz (uε) uK. Kako jeKkompaktan, postoji podnizεj →0 i toˇcka
u ∈ K takva dauεj → u uX. Pokaˇzimo da je upravoufiksna toˇcka operatoraA. Iz (4.2)
slijedi
kuεj −A(uεj)k ≤ kAεj(uεj)−A(uεj)k ≤ kPεj(A(uεj))−A(uεj)k ≤εj.
Zbog neprekidnosti odA, A(uεj)→ A(u) pa iz
ku−A(u)k ≤ ku−uεjk+kuεj −A(uεj)k+kA(u)−A(uεj)k
slijedi da jeA(u)= u.
Transformirat ´cemo Schauderov teorem o fiksnoj toˇcki u oblik koji je ˇcesto korisniji za primjene na nelinearne parcijalne diferencijalne jednadˇzbe.
Teorem 4.1.3 (Schaeferov teorem o fiksnoj toˇcki). Neka je A : X → X neprekidno i
kompaktno preslikavanje te neka je skup
{u∈X : u=λA(u)za neki0≤λ≤1}
Dokaz. Prema pretpostavci teorema postojiM >0 takav da je kuk< M, ako jeu=λA(u) za neki 0≤ λ≤ 1. (4.3) Definramo ˜A: B(0,M)→ B(0,M) s ˜ A(u)= A(u) ako jekA(u)k ≤ M MA(u) kA(u)k ako jekA(u)k ≥ M. (4.4)
Oznaˇcimo sKzatvorenu konveksnu ljusku skupa ˜A(B(0,M)). Kako jeAkompaktan, kom-paktan je i ˜A pa je skupK kompaktan i konveksan podskup odX. Sada prema Schaude-rovom teoremu o fiksnoj toˇcki, za preslikavanje ˜A : K → K postoji toˇckau ∈ K takva da je
˜
A(u)=u. (4.5)
Tvrdimo da jeufiksna toˇcka odA. Naime, ako nije, onda zbog (4.4) i (4.5) mora biti kA(u)k> M pa je kA˜(u)k = M. (4.6) Medutim, u= M kA(u)kA(u)=λA(u),
zaλ= kAM(u)k < 1 pa je, prema (4.3) i (4.5),kA˜(u)k =kuk < M ˇsto je u kontradikciji s (4.6).
Dakle,uje fiksna toˇcka preslikavanjaA.
Za kraj navodimo jednu lemu koja ´ce nam koristiti u nastavku, a posljedica je Brouwe-rovog teorema o fiksnoj toˇcki.
Lema 4.1.4. Neka je X konaˇcnodimenzionalan prostor sa skalarnim produktom (·,·) i s normom k·k induciranom tim skalarnim produktom. Pretpostavimo da je P : X → X neprekidno preslikavanje koje zadovoljava
(P(ξ), ξ)>0, zakξk=k >0. (4.7)
Tada postojiξ∈B(0,k)takav da je P(ξ)= 0.
Dokaz. Pretpostavimo, suprotno tvrdnji, daPnema nultoˇcku unutar kugleB(0,k). Tada je s
ξ7→S(ξ)= −k P(ξ)
POGLAVLJE 4. TEOREMI O FIKSNOJ TO ˇCKI 35
dobro definirano preslikavanje sa B(0,k) u B(0,k). Kako je kugla B(0,k) neprazan, ko-nveksan, zatvoren i ograniˇcen skup u konaˇcnodimenzionalnom prostoru te je, zbog nepre-kidnosti od P, S neprekidno preslikavanje, zadovoljeni su uvjeti Brouwerovog teorema o fiksnoj toˇcki. Stoga postojiξ0 ∈B(0,k) takav da je
−k P(ξ0)
kP(ξ0)k
=ξ0.
Iz gornje jednakosti zakljuˇcujemo da jekξ0k= kte, mnoˇzenjem skalarno sξ0, dobivamo
−k(P(ξ0), ξ0)
kP(ξ0)k
=kξ0k2. Dakle, imamo
(P(ξ0), ξ0)<0 i kξ0k=k,
ˇsto je u kontradikciji s pretpostavkom (4.7).
Primjena teorema ulaganja
5.1
Linearna eliptiˇcka PDJ
Promotrimo Dirichletovu rubnu zada´cu
(
−∆u+µu= f naΩ
u=0 na∂Ω, (5.1)
gdje jeΩ ⊂ Rn otvoren i povezan skup, au :Ω →
Rnepoznata funkcija. Pretpostavljamo
da su funkcija f : Ω → R i konstantaµ > 0 zadane. Klasiˇcno rjeˇsenje zada´ce (5.1) je funkcijau ∈C2(Ω)∩C
0(Ω) koja zadovoljava jednadˇzbu (5.1)1 u svakoj toˇcki domeneΩ.
Stoga, da bi takvo rjeˇsenje postojalo, funkcija f mora biti neprekidna naΩ.
Pretpostavimo da jeurjeˇsenje zada´ce (5.1). Pomnoˇzimo jednadˇzbu (5.1)1test
funkci-jomv∈C∞ c (Ω) i integriramo poΩ: Z Ω (−∆u+µu)v dx= Z Ω f v dx.
Parcijalnom integracijom dobivamo − Z ∂Ω (Du·n)v dS + Z Ω (Du·Dv+µuv)dx= Z Ω f v dx,
gdje jenjediniˇcna vanjska normala na∂Ω. Kako jev=0 na∂Ω, dobivamo
Z Ω (Du·Dv+µuv)dx= Z Ω f v dx, ∀v∈Cc∞(Ω),
ˇsto je, zbog gusto´ce prostoraC∞c (Ω) uH01(Ω), ekvivalentno s
Z Ω(Du ·Dv+µuv)dx= Z Ω f v dx, ∀v∈H10(Ω). (5.2) 36
POGLAVLJE 5. PRIMJENA TEOREMA ULAGANJA 37
To je varijacijska formulacija zada´ce (5.1). Uoˇcimo da (5.2) ima smisla zau ∈ H1 0(Ω) i
f ∈L2(Ω).
Definicija 5.1.1. Neka je f ∈L2(Ω). Za funkciju u∈H1
0(Ω)koja zadovoljava(5.2)kaˇzemo
da jeslabo rjeˇsenjezada´ce(5.1).
Pokazali smo da je klasiˇcno rjeˇsenje ujedno i slabo rjeˇsenje zada´ce (5.1), no vrijedi i obrat. Naime, ako funkcijau ∈ C2(Ω)∩C
0(Ω) zadovoljava (5.2), onda je ona i klasiˇcno
rjeˇsenje zada´ce (5.1).
Teorem 5.1.2(Lax-Milgramova lema). Neka je V Hilbertov prostor s normomk·kte neka je a:V×V →Rbilinearna forma (linearna u obje varijable) koja je
ograniˇcena:∃M >0takav da je∀u,v∈V,|a(u,v)| ≤ Mkukkvki
koercitivna:∃α >0takav da je∀v∈V,|a(v,v)| ≥αkvk2. Tada za svaki funkcional F ∈V0zada´ca
(
Na´ci u∈V
a(u,v)= hF,vi, ∀v∈V (5.3)
ima jedinstveno rjeˇsenje u∈V te vrijedi
kuk ≤ 1 αkFkV0.
Dokaz. Vidjeti u [2].
Lako se pokaˇze da bilinearna forma
a(u,v)= Z Ω (Du·Dv+µuv)dx, u,v∈H01(Ω) i linearan funkcional hF,vi= Z Ω f v dx, v∈ H01(Ω)
zadovoljavaju uvjete Lax-Milgramove leme. Stoga postoji jedinstveno slabo rjeˇsenje zada´ce (5.1) te vrijedi ocjena
kukH1
0(Ω) ≤ kfkL2(Ω) (5.4)
(α= 1).
Ako pretpostavimo da je domena Ω klaseC2, moˇze se pokazati da je u ∈ H2(Ω) i da
vrijedi
gdje konstantaCovisi samo oΩiµ. Prema tome, za slabo rjeˇsenjeu∈H1
0(Ω) zada´ce (5.1)
imamo ocjenu
kukH2(Ω)≤CkfkL2(Ω). (5.5) Promotrimo linearani operator T : L2(Ω) → H1
0(Ω) definiran s T f = u, gdje je u
rjeˇsenje zada´ce (5.1). OperatorT je ograniˇcen, zbog (5.4), i kompaktan ako vrijedi (5.5), zbog kompaktnosti ulaganjaH2(Ω)⊂ H1(Ω), kao kompozicija neprekidnog i kompaktnog linearnog operatora. To je tipiˇcan naˇcin upotrebe kompaktnosti ulaganja ˇsto ´cemo demons-trirati u dokazu egzistencije rjeˇsenja kvazilinearne elipdiˇcke jednadˇzbe.
5.2
Kvazilinearna eliptiˇcka PDJ
Promatramo jednadˇzbu
(
−∆u+b(Du)+µu=0 naΩ
u=0 na∂Ω, (5.6)
gdje jeΩograniˇcena domena klaseC2. Pretpostavljamo da jeb: Rn → RLipschitzova te
zadovoljava uvjet na rast
|b(p)| ≤C(|p|+1) (5.7)
za nekiCi za sve p∈Rn.
Teorem 5.2.1. Ako jeµ > 0dovoljno velik, tada postoji funkcija u∈ H2(Ω)∩H01(Ω)koja je (slabo) rjeˇsenje zada´ce(5.6).
Dokaz. Fiksiramou ∈H1
0(Ω) te stavimo f =−b(Du). Zbog (5.7), vidimo da je f ∈L 2(Ω)
pa postoji jedinstveno slabo rjeˇsenjew∈H01(Ω) linearne zada´ce
(
−∆w+µw= f naΩ
w=0 na∂Ω, (5.8)
ˇStoviˇse, znamo da jew∈H2(Ω) te vrijedi ocjena
kwkH2(Ω) ≤CkfkL2(Ω) (5.9) za neku konstantu C. Uoˇcimo da w ovisi o u kroz f. Sada definiramo preslikavanje
u 7→ A(u) = w, gdje je w dobiven na prethodno opisan naˇcin (definicija je dobra zbog jedinstvenosti rjeˇsenja zada´ce (5.8)). Kad bi preslikavanjeA: H01(Ω) → H01(Ω) imalo fik-snu toˇcku, ona bi bila slabo rjeˇsenje zada´ce (5.6). Zato provjerimo uvjete Teorema 4.1.3.
Pokaˇzimo prvo da je preslikavanje A : H1
0(Ω) → H 1
0(Ω) neprekidno. Neka je niz (uk)
takav da
POGLAVLJE 5. PRIMJENA TEOREMA ULAGANJA 39
Kako suA(u) iA(uk) rjeˇsenja zada´ce (5.8) za f =−b(Du), odnosno f =−b(Duk), i funkcija
A(u)−A(uk) ∈ H01(Ω) je rjeˇsenje iste zada´ce uz f = −(b(Du)−b(Duk)). Sada, iz (5.4) te
Lipschitzovosti funkcijebslijedi kA(u)−A(uk)kH1
0(Ω) ≤ kb(Du)−b(Duk)kL 2(Ω)
≤ LkDu−DukkL2(Ω)= Lku−ukkH1 0(Ω). Prema tome, (5.10) povlaˇciA(uk)→ A(u) uH01(Ω) pa jeAneprekidno.
Pokaˇzimo sada da je Akompaktno. Neka je niz (uk) ograniˇcen u H01(Ω). (5.7) i (5.9)
povlaˇce kA(uk)kH2(Ω) ≤CkfkL2(Ω)≤C(kDukkL2(Ω)+1)=C(kukkH1 0(Ω)+1) (5.11) pa je sup k kwkkH2(Ω) <∞ (5.12)
zawk = A(uk) (k = 1,2, . . .). Zbog kompaktnosti ulaganjaH2(Ω)⊂ H1(Ω), postoji podniz
(wkj) takav da wkj →w uH 1(Ω). Kako jewkj ∈H 1 0(Ω) iH 1 0(Ω) je zatvoren potprostor odH 1(Ω), slijedi da wkj →w uH 1 0(Ω). (5.13) Dakle, preslikavanjeA: H1 0(Ω)→ H 1 0(Ω) je kompaktno.
Preostaje pokazati da je, za dovoljno velikµ, skup
S = {u∈H01(Ω) : u=λA(u) za neki 0≤ λ≤1} ograniˇcen uH1
0(Ω). Stoga uzmimo proizvoljanu∈H 1
0(Ω) takav da je
u=λA(u) za neki 0< λ≤1
(za λ = 0 je u = 0 pa je svaka ograda dobra). Tada je uλ = A(u), ˇsto znaˇci da je u ∈
H2(Ω)∩H01(Ω) te vrijedi
−∆u+µu= −λb(Du) s.s. naΩ. Mnoˇzenjem ove jednakosti sute integracijom poΩdobivamo
Z Ω |Du|2+µ|u|2dx=− Z Ω λb(Du)u dx ≤ Z ΩC1 (|Du|+1)|u|dx ≤ 1 2 Z Ω |Du|2dx+C2 Z Ω( |u|2+1)dx,
