LANDASAN TEORI
2.1 Variabel Random
Definisi 2.1.1
Variabel random adalah sebuah fungsi X yang memetakan setiap elemen dalam ruang sampel c∈ , pada satu dan hanya satu bilangan riil , dimana ruang sampel dari X adalah bilangan riil
X(c)=x Α ={x:x=X(c),cε }.
Dengan adalah ruang sampel dari eksperimen random
2.2 Ekspektasi
Definisi 2.2
misalkan X adalah variabel random dan memiliki pdf f(x) sedemikian
sehingga memiliki konvergen absolut. Pada kasus X variabel random diskrit ( )
X
x f x
∑
, limitnya konvergen menuju nilai tertentuatau pada kasus X variabel random kontinu x f x( )
∞
∫
dx , limitnya konvergen menuju nilai tertentusehingga ekspektasi X adalah
( ) ( ), apabila X adalah variabel random diskrit
X
E X =
∑
xf xE X( ) x f x( ) , apabila X adalah variabel random kontinu
∞
−∞
=
∫
dxSifat 2.2.1
( ) (
E aX =aE X)
)
E aX axf x
∞
−∞
=
∫
dxBukti: a. ( ) ( definisi ekspektasi untuk X variabel
X
E aX =
∑
axf xrandom diskrit ( ) sifat penjumlahan
X
a xf x
=
∑
b. ( ) ( ) definisi ekspektasi untuk X variabel
random kontinu a xf x( ) sifat integral
∞
−∞
=
∫
dx2.3 Variansi
Simbol : σ2 Definisi 2.3.1
( )
2 2 2
[( ) ] 2 ( )
E x E X E X 2
σ = −μ = − μ +μ
Karena E adalah operator linier, maka σ2 =E X( 2) 2− μE X( )+μ2 =E X( 2) 2− μ2+μ2
=E X( 2)−μ2 Sifat 2.3.1
var(aX =) a2var( )X , dengan adalah sebuah konstanta a
Bukti: var(aX)=E aX([ −aμ] )2 Definisi variansi =E a X([ { −μ}] )2 sifat bilangan riil =E a([ 2{X −μ} ] )2 sifat pangkat
2
X
=a E2 ([{X −μ} ]) sifat ekspektasi =a2var( ) definisi variansi 2.4 Regresi linier sederhana
Regresi linier sedehana adalah salah satu cara untuk mencari hubungan antara 2 variabel sehingga dapat dicari besarnya pengaruh
kenaikan nilai X terhadap kenaikan nilai Y, terdapat beberapa asumsi untuk menggunakan regresi linier ini.
Asumsi : 1. Errornya berdistribusi normal 2. Errornya saling independen
3. Errornya memiliki variansi yang sama 4. Errornya linier independent
adalah least square.
Taksiran: 1.Taksiran parameter
Misalkan Y adalah variabel dependen dan X adalah variabel independen, maka model regresinya adalah y=β0+β1X + . ε Karena metode yang digunakan adalah least square atau kuadrat terkecil, maka untuk mencari taksiran-taksiran parameter akan dicari melalui kuadrat errornya terkecil, dimana kuadrat errornya adalah 2
1
[ ]
n
i
y y
=
∑
− ) ,dengan y) adalah taksiran dari y.
Misalkan 2
1
( , ) [ ]
n
i
H α β y
=
=
∑
−y) , untuk mencari taksirandariα danβ, maka 2
1
( , ) [ ]
n
i
H α β y
=
=
∑
−y) diturunkan secara parsial terhadapα menjadi1
( , )
2 [ ( )][ 1
n
i i
i
H α β y α β x x
α =
∂ = − − − − ]
∂
∑
dan diturunkan terhadapβ menjadi
1
( , )
2 [ ( )][ ( )
n
i i i
i
H α β y α β x x x x ]
β =
∂ = − − − − −
∂
∑
oleh karena itu ingin meminumkan kuadrat errornya maka dibuat ( , )
H α β 0 α
∂ =
∂ dan
1
( , )
2 [ ( )][ 1]
n
i i
i
H α β y α β x x
α α α =
∂ ∂⎛⎜ ⎞ =⎟ ∂ ⎛⎜ − − − − ⎞⎟
∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝
∑
⎠1 1
2 2 2 (
n n
i i
i i
)
y n x
= =
∂ ⎛⎜− + + − ⎞⎟
∂ ⎝α
∑
α∑
β x ⎠( )
1 1
2 2 2 (
n n
i i
i i
)
y n x
= =
∂ ⎛⎜− ⎞⎟+ ∂ + ∂ ⎛⎜ −
∂α⎝
∑
⎠ ∂α α ∂α⎝∑
β x ⎞⎟⎠=2n>0Karena n adalah bilangan asli maka n tidak mungkin negatif, maka 2n>0 sehingga
1 1
( , )
( )
n n
i i
i i
H α β y nα β x x
α = =
∂ = − − − =0
∂
∑ ∑
karena
1
(
n i i
) x x
=
∑
− =0, maka1
0
n i i
y nα
=
− =
∑
, sehingga( )
12 1
( )( )
( )
n
i i
i n
i i
Y Y x x
E E
x x
β =
=
⎛ − − ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠
∑
∑
)
1 n
i i
y nα
=
∑
=1 n
i i
y
n α
= =
∑
( )
1 n
i i
y
E E
n α
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
Y = ) α
dan apabila hasil α)=Y disubstitusi ke dalam persamaan ( , )
H α β 0 β
∂ =
∂ , maka 2
1 1
( )( ) ( )
n n
i i i
i i
y y x x β x x
= =
− − − − =0
∑ ∑
1
2 1
( )(
( )
n
i i
i n
i i
Y Y x x x x β =
=
− − )
=
−
∑
∑
)
( )
12 1
( )( )
( )
n
i i
i n
i i
Y Y x x
E E
x x
β =
=
⎛ − − ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ ⎠
∑
∑
)
1
2 1
( )(
( )
n
i i
i n
i i
Y Y x x x x β =
=
− − )
=
−
∑
∑
) )
dan karena
1
( , )
2 [ ( )][ ( )
n
i i i
i
H α β y α β x x x x ]
β β β =
⎛ ⎞
∂ ∂⎜ ⎟= ∂ ⎛⎜ − − − − ⎞⎟
∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝
∑
− ⎠= 2
1
( )
n i i
x x
=
∑
− >0maka taksiran dari β) yang didapat telah memiliki kuadrat error minimum
2.Taksiran Variansi β)
2
1 2 1
( )
var( ) var( )
( )
n
i n i i
i i
x x
Y x x
β
=
=
⎡ ⎤
⎢ − ⎥
⎢ ⎥
= ⎢⎢⎣ − ⎥⎥⎦
∑ ∑
)
2
2 1 2
1
( )
var( )
( )
n
i n i
i i
x x x x
β σ
=
=
⎡ ⎤
⎢ − ⎥
⎢ ⎥
= ⎢⎢⎣ − ⎥⎥⎦
∑ ∑
)
2
2 1
var( )
( )
n i i
x x β σ
=
=
∑
− )2.5 Distribusi dari
2 2
nS σ
Misalkan terdapat distribusi gabungan
2 2 3 3
, , ,...,
i n
Y = X Y = X −X Y = X −X Y = Xn−X Maka transformasi inversnya adalah
1 1 2 3 ... n
x = y −y −y − − y
2 1 2
x = y + y . . .
1
n n
x =y +y
Invers distribusi gabungan tersebut memiliki jacobian n, sedangkan ( )2 ( 2
n n
i i
i i
x −μ = x − + −x x μ)
∑ ∑
= ( )2 ( 2
n i i
x −x +n x−μ)
∑
Dan karena
1
2( ) ( ) 0
n
x −μ
∑
xi−x = , pdf gabungan dari X X1, 2,X3,...,X dapat n ditulis menjadi2 2
2
( )
1
2
exp (
2 2
2
n
xi x n x
n μ
σ σ
πσ
⎡ − ⎛ − ) ⎞⎤
⎛ ⎞ ⎢− − ⎜ ⎟⎥
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦
∑
, dimana x mewakili1 2 ... 2
x x x
n
+ + +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠dan −∞ < < ∞xi , i=1,2,..,n. Maka, dengan y1 = dan x
1 2 1 ... n
x − = − − − −x y y y , pdf gabungan dari
adalah
1, 2, 3,... n Y Y Y Y
2
2 2
2 2
2 2
( ... ) ( )
( ) 1 exp
2 2 2
2
n
n i
n i
y y y n y
n μ
σ σ σ
πσ 2
⎡ ⎤
⎢ − − − − ⎥
⎛ ⎞ ⎢− − − ⎥
⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
,, i=1,2,,…,n.
yi
−∞ < < ∞
Maka independent dari n-1 variabel random Y1 Y Y2, 3,...Yn, sehingga bila
Y1=X maka
2 2
1
2 2 1
( ) ( )
n Y n X
μ μ W
σ σ
− = − = akan independent dari
2 2
2 3 1
2 2 2
( )
( Y Y ... Yn) Y Xi X
σ σ W
− − − − + =
∑
− =Karena W1 adalah kuadrat dari distribusi normal standar, distribusinya adalah
2
χ 1. dan juga karena
2 1
1 1
( )
n X
W μ W 2
σ
⎛ − ⎞
= ⎜ ⎟= +
⎝ ⎠
∑
W adalah χ2n.Karena W1danW2independent, maka E e( iW)=E e( tW1) (E etW2)
atau(1 2 )− t −2n = −(1 2 )t −1/ 2E e( tW2), t<1/2 sehingga E e( tW2)= −(1 2 )t − −(n 1) / 2, t<1/2.
2 2 2 )
2 / ~ ( 1
W =nS σ χ n−
2.6 S2 adalah penaksir yang bias untuk bias untuk σ2
Akan dibuktikan bahwa S2 adalah penaksir yang bias untuk bias untuk σ2
Bukti:
2
2 2
( ) n2 ( )
E S E S
n σ
= σ
2 2
2
( ) (nS2 )
E S E
n σ
= σ
2
( 2) ( 1)
E S n
n
σ − 2 2( 1
( ) n
E S n
σ − )
=
=
2
2 ( 1
( ) n
E S n
σ −
= )
