Chap. 8 Gas Bose Ideal

Chap. 8 Gas Bose Ideal

Model: Gas Foton

• Foton adalah Boson yg tunduk kepada distribusi BE.

• Model:

– Foton memiliki frekuensi ω, rest mass=0, spin 1ℏ – Energi E=ℏω dan potensial kimia =0

– Momentum 𝒑 = ℏ 𝒌, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 |𝐤| = 𝜔_𝒌/𝑐

– Polarisasi (2 alternatif arah) dengan vektor arah 𝝐

– Foton ini terkait dengan plane wave 𝑬 𝒓, 𝑡 = 𝝐𝑒^{𝑖(𝒌.𝒓 −𝜔𝑡)} – Foton dalam kontainer V=L³ dan memenuhi syarat batas

periodik di batas, sehingga k yg diperbolehkan adalah:

𝒌 = ^2𝜋

𝐿 𝒏, dengan n adalah vektor dengan komponen bilangan bulat = 0, ±1, ±2, …

Model: Gas Foton

Maka jumlah status keadaan k yg diijinkan adalah:

Σ_p → ^V

h³ ∫ 𝑑³𝑝 = ^𝑉

ℎ³ 4𝜋ℏ³∫ 𝑘²𝑑𝑘 = ^𝑉

2𝜋 ³ 4𝜋∫ 𝑘²𝑑𝑘

• Total energi sistem gas Foton:

𝐸 𝑛_𝒌,𝝐 =

𝒌,𝝐

ℏ𝜔_𝒌 𝑛_𝒌,𝝐 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝒌,𝝐=0,1,2,…

Fungsi Partisi Grand Kanonik - tanpa restriksi thd jumlah{n_k,} : 𝜁 =

{𝑛_𝑘,𝜖}

𝑒^{−𝛽𝐸{𝑛𝑘,𝜖}} =

{𝑛_𝑘,𝜖}

exp(−𝛽

𝒌,𝝐

ℏ𝜔_𝑘𝑛_𝑘,𝜖) =

Fungsi Partisi Gas Foton

𝜁 =

{𝑛_𝑘,𝜖} 𝒌,𝝐

exp(−𝛽ℏ𝜔_𝑘𝑛_𝑘,𝜖)

𝜁 =

𝒌,𝝐 𝑛_𝑘,𝜖=0

∞

exp(−𝛽ℏ𝜔_𝑘 𝑛_𝑘,𝜖) =

𝒌,𝝐

1

1 − exp(−𝛽ℏ𝜔_𝑘) ln 𝜁 = −2

𝒌

𝒍𝒏{1 − exp(−𝛽ℏ𝜔_𝒌)}

Untuk hasil terakhir ini telah dipakai polarisasi hanya ada 2 arah.

Okupansi & Energi Gas Foton

• Rata-rata jumlah foton dengan momentum k (tak peduli polarisasi), telah diturunkan :

< 𝑛_𝒌 > = − 1 𝛽

𝜕 ln 𝜁

𝜕𝜖_𝒌 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜖_𝒌 = ℏ𝜔_𝑘

< 𝑛_𝒌 > = 2

𝒌′

exp −𝛽ℏ𝜔_𝑘^′ 𝛿_𝑘𝑘′

1 − exp −𝛽ℏ𝜔_𝑘′ = 2

𝑒^{𝛽ℏ𝜔𝑘} − 1

• Hasil terakhir ini konsisten dengan perhitungan untuk Boson, dengan faktor 2 sebagai pengali akibat polarisasi berbeda

untuk momentum yg sama.

• Energi sistem foton : 𝑈 =

𝑘

< 𝑛_𝑘 > 𝜖_𝑘 = 2

𝑘

ℏ𝜔_𝑘 𝑒^{𝛽ℏ𝜔𝑘} − 1

Okupansi & Energi Gas Foton

• Dalam limit thermo N,V  , maka    sbb:

𝑈 = 𝑉

2𝜋 ³

0

∞

𝑑𝑘 4𝜋𝑘²ℏ𝜔 𝑒^𝛽ℏ𝜔 − 1

• Dengan 𝜔 = 𝜔 𝑘 = 𝑘𝑐 sehingga 𝑑𝑘 = ¹

𝑐 𝑑𝜔, sehingga diperoleh:

𝑈 = 𝑉ℏ 𝜋²𝑐³

0

∞

𝑑𝜔 𝜔³ 𝑒^𝛽ℏ𝜔 − 1

Okupansi & Energi Gas Foton

Dengan U/V = rapat energi per volum, yaitu:

U

V = ^ℏ

𝜋²𝑐³ ∫₀^∞ 𝑑𝜔 ^𝜔3

𝑒^𝛽ℏ𝜔−1 = ∫₀^∞ 𝑑𝜔𝑢(𝜔, 𝑇)

Dengan u(ω,T) adalah rapat energi spektral (untuk frek tertentu), yg adalah rumus radiasi Planck yg terkenal.

𝑢(𝜔, 𝑇) = ℏ 𝜋²𝑐³

𝜔³ 𝑒^𝛽ℏ𝜔 − 1

Rapat energi spektral dan Rapat Energi

Sedangkan integral :

0

∞

𝑑𝜔 𝜔³ 𝑒^𝛽ℏ𝜔 − 1

Dapat di evaluasi dengan substitusi 𝑥 = 𝛽ℏ𝜔, maka:

0

∞

𝑑𝜔 𝜔³

𝑒^𝛽ℏ𝜔 − 1 = 𝑘𝑇 ⁴ ℏ⁴

0

∞ 𝑥³

𝑒^𝑥 − 1𝑑𝑥

0 1 2 3 4 5 6

0 2 4 6 8 10

ω T₃ >T₂ >T₁

T₃

T₂ T₁

Rapat energi spektral dan Rapat Energi

Dengan cukup banyak trik, menggunakan fungsi Riemann- zeta  dan fungsi gamma:

∫₀^{∞ 𝑥3}

𝑒^𝑥−1 𝑑𝑥 = Γ 4 𝜁 4 = 3! ^𝜋4

90, sehingga rapat energi per volum:

𝑈

𝑉

=

^ℏ

𝜋²𝑐³

𝑘𝑇 ⁴ ℏ⁴

𝜋⁴

15

=

^{𝜋2 𝑘𝑇 4}

15 ℏ𝑐 ³

Model Gas Fonon

• Hamiltonian kristal : jumlahan dari osilator harmonis (normal mode).

• Secara Kuantum partikel terkait dengan normal mode osilasi : fonon

• Pada suhu rendah : kristal dipandang sbg kumpulan gas fonon tak saling berinteraksi.

• Fonon : frekuensi karakteristik ω_i dengan energi ℏ𝜔_𝑖. Fungsi gelombangnya 𝝐𝑒^{𝑖(𝐤.𝐫−𝜔𝑖𝑡)} dengan |k|=ω/c, c: cepat rambat bunyi. Tidak spt kasus foton 𝝐 tidak perlu tegak lurus arah propagasi, sehingga arah polarisasi ada 3.

Model Gas Fonon

• Fonon tunduk pada distribusi BE

• Kristal terdiri dari N atom, maka terdapat 3N normal mode dengan frekuensi karaketeristik : ω₁ , ω₂ , … ω_3N

• Nilai ω_i bergantung model yang dipakai:

– Model Einstein : semua sama = ω

– Model Debye : lowest 3N normal mode

Model Debye

• Model Debye: Model untuk kalor jenis zat padat

Kristal : dipandang sebagai medium elastis kontinum dengan volume V dan memenuhi syarat batas periodik yg membawa kepada k= 2/L n dimana n adalah vektor dengan komponen (0,1, 2,…) dan L=V^1/3.

Rapat keadaan : banyaknya normal mode antara ω dan ω+ dω adalah f(ω)d ω:

𝑓 𝜔 𝑑𝜔 = 3𝑉

2𝜋 ³ 4𝜋𝑘²𝑑𝑘 = 𝑉 3𝜔²

2𝜋²𝑐³ 𝑑𝜔 Telah dipakai : polarisasi 3 arah, dan k=ω/c.

Model Debye

Dengan menerapkan syarat bahwa :∫₀^𝜔𝑚 𝑓 𝜔 𝑑𝜔 = 3𝑁, dengan ω_m: frek cut off max. Diperoleh:

𝜔_𝑚 = 𝑐 2𝜋² 𝑣

1/3

𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣 = 𝑉/𝑁 Panjang gelombang terkait, 𝜆_𝑚 = ^2𝜋𝑐

𝜔_𝑚 ≈ 4𝜋𝑣 ¹³ ≈jarak antar partikel

Energi, Fungsi Partisi dan Okupansi

• Energi sistem gas fonon untuk suatu konfigurasi okupansi fonon tertentu:

𝐸 𝑛_𝑖 =

𝑖=1 3𝑁

𝑛_𝑖ℏ𝜔_𝑖 Fungsi partisi kanonik sistem:

𝑄 =

{𝑛_𝑖}

𝑒^{−𝛽𝐸{𝑛𝑖}} =

𝑖=1

3𝑁 1

1 − 𝑒^{−𝛽ℏ𝜔𝑖} ln 𝑄 = −

𝑖=1 3𝑁

ln(1 − 𝑒^{−𝛽ℏ𝜔𝑖})

Energi, Fungsi Partisi dan Okupansi

Seperti sebelumnya : rata-rata okupansi mode ke-i:

< 𝑛_𝑖 > = − 1 𝛽

𝜕

𝜕 ℏ𝜔_𝑖 ln 𝑄 = 1

𝑒^{𝛽ℏ𝜔𝑖} − 1

• Energi total sistem rata-rata : 𝑈 = − 𝜕

𝜕𝛽 ln 𝑄 =

𝑖=1 3𝑁

ℏ𝜔_𝑖 < 𝑛_𝑖 > =

𝑖=1

3𝑁 ℏ𝜔_𝑖 𝑒^{𝛽ℏ𝜔𝑖} − 1 Spt biasa, pada limit N,V , maka   , sehingga :

𝑈 = 3𝑉 2𝜋²𝑐³

0 𝜔_𝑚

𝑑𝜔 𝜔²ℏ𝜔 𝑒^𝛽ℏ𝜔 − 1

Energi, Fungsi Partisi dan Okupansi

Dengan substitusi t=𝛽ℏ𝜔, dan memanfaatkan definisi ω_m sebelumnya maka :

𝑈

𝑁 = 3 𝑘𝑇 ⁴ ℏ𝜔_𝑚 ³

0 𝛽ℏ𝜔_𝑚

𝑑𝑡 𝑡³ 𝑒^𝑡 − 1 Definisikan fungsi Debye D(x) sbb:D(x) ≡ ¹

𝑥³ ∫₀^𝑥 𝑑𝑡 ^𝑡3

𝑒^𝑡−1

𝐷 𝑥 = 1 𝑥³

0 𝑥

𝑑𝑡 𝑡³

𝑒^𝑡 − 1 =

1 − 3

8 𝑥 + 1

20𝑥² + ⋯ 𝑥 ≪ 1 𝜋⁴

5𝑥³ 𝑥 ≫ 1

Kalor Jenis Zat Padat

Dan suhu Debye T_D sbg 𝑘𝑇_𝐷 = ℏ𝜔_𝑚 = ℏ𝑐 ^2𝜋2

𝑣

1/3

, maka rapat energi per atom U/N dapat dituliskan sbg (definisikan u=T_D/T:

𝑈

𝑁 = 3𝑘𝑇𝐷 𝑢 =

3𝑘𝑇(1 − 3 8

𝑇_𝐷

𝑇 + ⋯ 𝑇 ≫ 𝑇_𝐷 3𝑘𝑇 𝜋⁴

5

𝑇 𝑇_𝐷

3

+ 𝑂(𝑒^{−𝑇𝑇𝐷}) 𝑇 ≪ 𝑇_𝐷 Dengan mudah kalor jenis C_V per atom:

𝐶_𝑣

𝑁 = 1 𝑁

𝜕𝑈

𝜕𝑇 =

3𝑘(1 − 3 20

𝑇_𝐷 𝑇

2

+ ⋯ 𝑇 ≫ 𝑇_𝐷 12𝑘𝜋⁴

5

𝑇 𝑇_𝐷

3

+ 𝑂(𝑒^{−𝑇𝑇𝐷}) 𝑇 ≪ 𝑇_𝐷

Fitting dengan Eksperimen

Dari kalor jenis tsb nampak bahwa Pada suhu tinggi C_v/Nk  3

(dikenal dg hukum Empiris Dulong Petit. Sedangkan pada suhu rendah C_V/Nk  T³.

Model Umum: Gas Bose Ideal

Secara umum model gas Boson adalah partikel boson dengan massa masing-masing m dalam volume V dan suhu T serta potensial kimia . Sistem gas ini boleh bertukar energi dan partikel dengan lingkungan  ensembel grand kanonik.

Asumsi : boson non relativistik, dengan spin s, dengan energi 1 partikelnya hanya kinetik:𝜖 𝒌 = ℏ^𝟐𝑘²/2m. Energi ground state-nya NOL. 𝜖 0 = 0, sehingga potensial kimianya harus memenuhi −∞ < 𝜇 < 0

Volume wadah gas V= L_xL_yL_Z dengan syarat batas periodik di batas volumenya.

Dalam batas limit thermo N,V jumlah  boleh diganti ∫

Masalah Ground State

• Ground state

Rata-rata okupansi diberikan oleh distribusi BE:

< 𝑛_𝑝 > = 1

𝑒^{𝛽(𝜖𝑝−𝜇)} − 1

Untuk -<<1 , maka untuk ground state 𝜖 0 = 0, 𝑒^−𝛽𝜇 ≈ 1 − 𝛽𝜇 +

⋯ . Sehingga untuk kondisi ground state:

< 𝑛₀ > ≈ 1

1 − 𝛽𝜇 + ⋯ − 1 ≈ − 1 𝛽𝜇

Berarti <n₀> bisa berharga besar (makroskopik) berapapun juga.

Density of state gas boson serupa dengan Fermion yaitu Ω 𝐸 ~ 𝐸^1/2. Jika Σ → ∫ Ω(𝐸)𝑑𝐸 maka untuk E=0 berapapun n₀ akan dibobot =0.

Sehingga kasus ground state mesti dipisahkan sebelum dilakukan integrasi. (telah dilakukan di slide Boson)

Persamaan Bagi Gas Boson Ideal

Pers. Bagi gas Bose ideal dengan spin s (serupa dg yg telah diturunkan):

𝑃

𝑘𝑇 = −(2𝑠 + 1){4𝜋 ℎ³ ₀

∞

𝑑𝑝 𝑝² ln 1 − 𝑧 𝑒^−𝛽𝑝

2

2𝑚 − 1

𝑉 ln(1 − 𝑧)}

1

𝑣 = 2𝑠 + 1 {4𝜋 ℎ³ ₀

∞

𝑑𝑝 𝑝² 1 𝑧⁻¹ 𝑒^𝛽𝑝

2

2𝑚 − 1

+ 1 𝑉

𝑧 1 − 𝑧}

Dengan cara serupa Fermion, persamaan ini dapat diungkapkan sbg:

𝑃

𝑘𝑇 = ^2𝑠+1

𝜆³ 𝑔⁵

2

𝑧 − ^2𝑠+1

𝑉 ln 1 − 𝑧

1

𝑣 = ^2𝑠+1

𝜆³ 𝑔³

2

𝑧 + ^2𝑠+1

𝑉

𝑧 1−𝑧

Persamaan Bagi Gas Boson Ideal

Dengan definisi fungsi g sbb:

𝑔5 2

𝑧 = − 4 𝜋 ₀

∞

𝑑𝑥 𝑥² ln 1 − 𝑒^−𝑥2 =

𝑚=1

𝑧^𝑚 𝑚^5/2 𝑔3

2

𝑧 = 𝑧 𝜕

𝜕𝑧 𝑔₅

2

𝑧 =

𝑚=1

𝑧^𝑚 𝑚^3/2

Kondensasi Bose Einstein

• Perilaku Boson dapat kita pelajari dari pers.

𝑛 = 1

𝑣 = 1 𝜆³ 𝑔3

2

𝑧 + 1 𝑉

𝑧 1 − 𝑧

Spt biasa v=V/N atau n=1/v : rapat partikel. Suku kedua 1/V (z/1-z) menggambarkan rapat partikel dengan momentum NOL. Sedangkan suku pertama adalah rapat partikel dengan momentum TAK NOL.

. Fungsi g_3/2(z) memiliki perilaku sbb:

𝑔3 2

𝑧 =

𝑚=1

∞ 𝑧^𝑚 𝑚^3/2

Suku z/(1-z)>=0, sehingga 0<= z <= 1, untuk nilai z ini jelaslah bahwa g_3/2(z) akan terbatas, dan ini berupa fungsi monotonik naik.

Kondensasi Bose-Einstein

• Pada z=1, ^𝜕𝑔3/2

𝜕𝑧 divergen, tetapi g_3/2(1) tidak lain adalah fungsi Rieman zeta

• (3/2)=2.612… berhingga : g_3/2 (1)= 2.612….

Sehingga nilai 0  g_3/2(z)  2.612.. Untuk 0  z  1.

• Suku z/(1-z)=n₀ adalah rapat suku okupansi rata-rata untuk status p=0. Pers. Boson dapat kita tulis ulang sbg:

𝜆³ 𝑛₀

𝑉 = 𝜆³

𝑣 − 𝑔3 2

(𝑧)

Untuk kasus tak ada partikel dengan p=0, maka : ^𝜆3

𝑣 = 𝑔³

2

(𝑧)

Kondensasi Bose-Einstein

Ruas kanan paling maksimum g_3/2(1)= 2.612. Jikalau ^𝜆3

𝑣 >

2.612 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑔³

2

(1) maka persamaan tsb tak ada solusinya. Pada keadaan ini maka z =1 (maksimum), dan sebagian dari boson mesti menempati status p=0. Keadaan spt ini bisa terjadi

misalnya dg menurunkan T ( >>) atau dengan meningkatkan rapat partikel (n>> atau v <<).

Berarti n₀ >0 bilamana suhu () dan rapat partikel (atau 1/v) sedemikian sehingga:

𝜆³

𝑣 > 𝑔3 2

(1)

Kondensasi Bose-Einstein

Artinya pada suhu ini, terdapat sebagian partikel yg berada di status dengan p=0. Fenomena ini dikenal dengan nama

kondensasi Bose-Einstein.

• Pada keadaan ini sistem seperti terdiri dari 2 fasa yaitu : fasa p=0 dan fasa p0. Jadi seperti terjadi transisi fasa dari fasa p>0, ke fasa campuran dengan p=0.

• Untuk suatu kerapatan tertentu (1/v), maka temperatur kritis T_C diperoleh sebagai solusi dari :

• 𝜆_𝐶³ = 𝑣𝑔³

2

1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑘𝑇_𝐶 = ^2𝜋ℏ2

𝑚 𝑣𝑔₃

2

1 ^2/3

Volume dan Temperatur Kritis

• Sebaliknya untuk suatu suhu tertentu T, maka volume jenis kritis v_C didefinisikan sbg:

• 𝑣_𝑐 = ^𝜆3

𝑔₃

2

1

• Jadi daerah kondensasi (p=0) mulai terjadi jika T<T_C atau v<v_C atau n>n_c dengan n=1/v.

Perilaku fugacity, z(T)

• Nilai z sebagai fungsi (v,T)

diperoleh dengan mencari solusi dari pers:

• ^𝜆3

𝑣 = 𝑔³

2

𝑧 + ^𝜆3

𝑉 𝑧 1−𝑧

• Berarti untuk limit V :

• Jika ³/v > g_3/2(1) maka z=1 (terjadi kondensasi).

• Jika ³/v < g_3/2(1), maka z diperoleh dari solusi ^𝜆3

𝑣 = 𝑔³

2

(𝑧)

Perilaku Fugacity dan Pers Keadaan

• Dari solusi numerik persamaan untuk suatu nilai ^𝜆3

𝑣 tertentu:

𝑔3 2

𝑧 = 𝜆³ 𝑣

• Dapat di plot perilaku z thd ^𝑣

𝜆³

• Untuk ^𝑣

𝜆³ < ¹

2.612 maka z=1

Perilaku Fugacity dan Pers Keadaan

• Setelah mendapatkan nilai z untuk suatu nilai 𝜆³/𝑣 maka dapat dicari persamaan keadaan dari :

𝑃

𝑘𝑇 = 1 𝜆³ 𝑔5

2

(𝑧)

Yaitu untuk kasus ³/v < g_3/2(1). Sedangkan untuk kasus ³/v > g_3/2(1), maka

𝑃

𝑘𝑇 = 1 𝜆³ 𝑔5

2

(1)

Persamaan Keadaan Gas Bose Ideal

• Kurva di samping

menunjukkan isotherm.

Perhatikan jika v<v_C (misal titik B),maka z=1 sehingga tekanan tidak lagi

bergantung volume, karena ini fasa kondensasi.

• Kurva yg dibentuk oleh semua nilai nilai v_c(T)

disebut garis transisi karena menggambarkan daerah transisi ke kondensasi

Persamaan Keadaan Gas Bose Ideal

• Garis transisi diberikan oleh: 𝑃 = ^𝑘𝑇

𝜆³ 𝑔⁵

2

(1) . Titik B (transisi) terjadi ketika temperaturnya mencapai T_c yg didefinisikan dari :

• ^𝜆𝑐3

𝑣 = 𝑔³

2

1 → 𝑘𝑇_𝑐 = ^2𝜋ℏ2

𝑚 𝑣𝑔₃

2

1 ^2/3 → 𝑃 = ^2𝜋ℏ2

𝑚𝑣^5/3

𝑔₅

2

1

𝑔₃

2

1

5 3

Kondensat

• Ketika terjadi kondensasi, maka:

• 𝑛 = ¹

𝑣 = ¹

𝜆³ 𝑔³

2

1 + ¹

𝑉 𝑧

1−𝑧 , atau

• 𝑁 = ^𝑉

𝜆³ 𝑔³

2

1 + 𝑛₀

• ^𝑛0

𝑁 = 1 − ^𝑣

𝜆³ 𝑔³

2

1

Tetapi volum kritis dan temperatur kritis didefinisikan di depan sbg:

1

𝑣_𝐶 = 1 𝜆³ 𝑔3

2

1 𝑑𝑎𝑛 1/𝜆³_𝑐 = 1 𝑣𝑔3

2

(1) Sehingga : ^𝑛0

𝑁 = 1 − ^𝑣

𝑣_𝐶=1-(T/T_C)^3/2

Kondensat

Berarti:

Untuk T>T_C , partikel tersebar tipis diantara semua level.

Untuk T<T_C , sebagian 1-(T/T_C)^3/2 menempati p=0 sisanya tersebar tipis ke seluruh p0.

Ketika T=0, semuanya di p=0.

Hubungan Thermodinamika Gas Ideal Boson

• Dengan adanya dua fasa tsb, maka berbagai hubungan

Thermodinamika dapat diturunkan. Masing-masing untuk kasus :

• (a) v>v_C (atau T>T_C)

• (b) v<v_C (atau T<T_C) 𝑈

𝑁 = 3

2 𝑃𝑣 = 3

2 𝑘𝑇 𝑣 𝜆³ 𝑔5

2

𝑧 , (𝑎)

3

2𝑘𝑇 𝑣 𝜆³ 𝑔5

2

1 , (𝑏)

− 𝐴

𝑁𝑘𝑇 =

𝑣 𝜆³ 𝑔5

2

𝑧 − ln 𝑧 , (𝑎) 𝑣

𝜆³ 𝑔5 2

1 , (𝑏)

Hubungan Thermodinamika Gas Ideal Boson

𝑆

𝑁𝑘 =

5 2

𝑣

𝜆³ 𝑔₅

2

𝑧 − ln 𝑧 , (𝑎) 5

2 𝑣

𝜆³ 𝑔₅

2

1 , (𝑏)

𝐶_𝑣 𝑁𝑘 =

15 4

𝑣

𝜆³ 𝑔₅

2

𝑧 − 9 4

𝑔₃

2

𝑧 𝑔1

2

𝑧 (𝑎) 15

4 𝑣

𝜆³ 𝑔₅

2

1 , (𝑏)