Chap 7. Gas Fermi Ideal

Chap 7. Gas Fermi Ideal

Gas Fermi pada Ground State

• Distribusi Fermi Dirac pada kondisi Ground State (T0) memiliki perilaku:

• 𝑛 _𝑝 = ¹

𝑒

^{𝛽 𝜖𝑝−𝜇}

+1

0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜖 _𝑝 > 𝜇 1 𝜖 _𝑝 < 𝜇

• Hasil ini berarti:

Seluruh level energy di bawah nilai energy fermi (𝜖 _𝐹 ) terisi, sedangkan di atasnya kosong sama sekali. Kondisi seperti ini dikenal sebagai “degenerasi kuantum”.

• Apakah arti energy fermi?

• Berapakah energy fermi?

𝑛 _𝑝

𝜖 _𝐹 𝜖 _𝑝

1

0

Arti energi Fermi  _F

• Artinya : pada T=0 (Ground State), maka semua Fermion berusaha menempati level energi terendah, akan tetapi

karena aturan Pauli, maka tidak semua bisa menempati level terendah!

• Sehingga Fermion akan menempati semua level terendah sampai dengan level dengan energy tertinggi yaitu 

_F

. Jadi energi Fermi adalah level energi tertinggi yg berisi Fermion pada kondisi Ground State.

• Berarti total partikel dengan energi di bawah 

_F

= N (untuk

kasus spinless Fermion, tiap level energi berisi 1).

Energi Fermi (Tingkat Fermi)

• 𝜖 _𝐹 dapat ditentukan dari kondisi bahwa :

𝑁 = (2𝑆 + 1) _𝑝 𝑛 _𝑝 , jika T0 , maka 𝑁 = (2𝑆 + 1) _𝑝 ^𝑝

^𝐹

𝑛 _𝑝

• Dengan 𝑝 _𝐹 adalah momentum fermi yg terkait dengan energy fermi melalui:

• 𝜖 _𝐹 = ^𝑝

^𝐹2

2𝑚

• Pada ground state maka : 𝑁 = 2𝑆 + 1

𝑝 𝑝

_𝐹

1 = 2𝑆 + 1 𝑉 ℎ ³

0 𝑝

_𝐹

4𝜋𝑝 ² 𝑑𝑝 𝑁 = 4𝜋 2𝑆 + 1 𝑉

3ℎ ³ 𝑝 _𝐹 ³ = 4𝜋 2𝑆 + 1 𝑉

3ℎ ³ 2𝑚𝜖 _𝐹 ^{3 2}

Energi Fermi (Tingkat Fermi)

𝜖 _𝐹 = ℏ ² 2𝑚

6𝜋 ² 𝑁 𝑉 2𝑠 + 1

2/3

= ℏ ² 2𝑚

6𝜋 ² 𝑛 2𝑠 + 1

2/3

Dimana n=N/V adalah rapat partikel.

• Energi internal pada Ground State : 𝑈 ₀ = (2𝑆 + 1)

𝜖≤𝜖

_𝐹

𝜖 _𝑝 = (2𝑆 + 1)

𝑝≤𝑝

_𝐹

𝑝 ² 2𝑚 𝑈 ₀ = 2𝑆 + 1 𝑉2𝜋

𝑚ℎ ³

0 𝑝

_𝐹

𝑝 ⁴ 𝑑𝑝 = 2𝑆 + 1 𝑉2𝜋

5𝑚ℎ ³ 𝑝 _𝐹 ⁵

Energi Rata-Rata Ground State

𝑈 ₀ = 2𝑆 + 1 𝑉2𝜋 𝑚ℎ ³

0 𝑝

_𝐹

𝑝 ⁴ 𝑑𝑝 = 2𝑆 + 1 𝑉2𝜋

5𝑚ℎ ³ 𝑝 _𝐹 ⁵ 𝑈 ₀ = 2𝑆 + 1 2𝜋𝑉

5𝑚ℎ ³ 2𝑚𝜖 _𝐹 ^5/2

Energi dalam per partikel pada ground state: (tak bergantung S!)

𝑈 ₀ 𝑁 =

2𝑆 + 1 2𝜋𝑉

5𝑚ℎ ³ 2𝑚𝜖 _𝐹 ^{5 2} 4𝜋 2𝑆 + 1 𝑉

3ℎ ³ 2𝑚𝜖 _𝐹 ^{3 2}

= 3

5 𝜖 _𝐹

Zero Point Pressure

• Tetapi berlaku persamaa PV = 2/3U, sehingga pada T=0 (Ground state) ini juga berlaku:

• P

₀

V = 2/3 U

₀

atau:

𝑃 ₀ 𝑉 = 2 3

3

5 𝑁𝜖 _𝐹 → 𝑃 ₀ = 2

5 𝑛𝜖 _𝐹 Dengan n=N/V adalah kerapatan partikel.

• Adanya tekanan pada temperatur NOL ini disebabkan karena hanya 1 (kasus spinless) Fermion yg bisa di energi NOL,

sisanya mesti bergerak, memiliki momentum! Sehingga

menimbulkan tekanan.

Zero Point Pressure

• Contoh : elektron di logam 𝑛 ≈ 7x10 ²⁸ ./m ³ . Elektron spin s=1/2, maka energi ferminya :

• 𝜖 _𝐹 = ^ℏ

²

2𝑚

6𝜋

²

2𝑠+1 𝑣

2/3

≈ 7𝑒𝑉,

• sehingga tekanan temperature nolnya : P

₀

=3x84x10

¹⁰

Pa

(besar atau kecilkah nilai ini?)

Suhu Fermi dan Eksitasi

• Suhu Fermi didefinisikan sbg 𝑇 _𝐹 = 𝜖 _𝐹 /𝑘

• Pada logam nilai 𝜖 _𝐹 ≈ 2 𝑒𝑉, yang terkait dengan 𝑇 _𝐹 ≈ 2𝑥10 ⁴ 𝐾. Artinya pada suhu ruang boleh dibilang

electron “membeku” pada ground state, kecuali sedikit yang dekat dengan tingkat fermi 𝜖 _𝐹 yg mengalami

eksitasi. Rata-rata energy eksitasi per partikel ≈ 𝑘𝑇

• Hanya sekitar ^𝑇

𝑇

_𝐹

≈ 1.5%

electron yang dekat tingkat

Fermi yang pindah ke tingkat

eksitasi lebih tinggi.

Persamaan Keadaan Gas Fermi Ideal (secara umum)

• Trick : Eliminasi z dalam pers. Gas fermi 𝑃

𝑘𝑇 = 1 𝜆 ³ 𝑓 ₅

2

𝑧 𝑑𝑎𝑛 1

𝑣 = 1 𝜆 ³ 𝑓 3

2

𝑧 (1)

• Dengan 𝑣 = ^𝑉

𝑁 𝑑𝑎𝑛 𝜆 = ^ℎ

2𝜋𝑚𝑘𝑇

• Sebenarnya rumus (1) di atas adalah untuk kasus spinless (s=0)!!!

• Jikalau spin 0, maka mesti dimasukkan faktor koreksi (2s+1), Sebab untuk setiap satu nilai momentum p terdapat m

_s

=-s,-

s+1,..,0,..,s yg berbeda bisa ditempati fermion dan semuanya

memiliki energi 

_p

yg sama.

Limit Klasik Gas Fermi

• Dengan koreksi ini mestinya bentuk yg lebih umum bagi pasangan persamaan untuk Fermion adalah:

𝑃

𝑘𝑇 = (2𝑠 + 1) 𝜆 ³ 𝑓 5

2

𝑧 𝑑𝑎𝑛 1

𝑣 = (2𝑠 + 1) 𝜆 ³ 𝑓 3

2

𝑧 (2)

• Limit klasik (non degenerate Fermi Gas), jika (T tinggi) kasus 𝑧 = 𝑒 ^𝛽𝜇 ≪ 1

• Dalam kondisi ini, maka distribusi FD menjadi MB:

< 𝑛 _𝑝 > = 1

𝑧 ⁻¹ 𝑒 ^𝛽𝜖

^𝑝

+ 1 ≈ 𝑧𝑒 ^−𝛽𝜖

^𝑝

Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)

• Mari kita tinjau kasus spinless Fermion:

𝑃

𝑘𝑇 = 1 𝜆 ³ 𝑓 ₅

2

𝑧 𝑑𝑎𝑛 1

𝑣 = 1 𝜆 ³ 𝑓 3

2

𝑧 (1)

• Untuk kasus z kecil maka:

𝑓

³

2

𝑧 = 𝑧 − ^𝑧

²

2

3 2

+⋯ 𝑑𝑎𝑛𝑓

⁵

2

𝑧 = 𝑧 − ^𝑧

²

2

5 2

(2)

• Sub. Pers. (2) ke (1) : 𝑃

𝑘𝑇 ≈ 1

𝜆 ³ (𝑧 − 𝑧 ² 2 ^{5 2}

) 3𝑎

1

𝑣 = 1

𝜆 ³ (𝑧 − 𝑧 ² 2 ^{3 2}

) (3𝑏)

Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)

Tujuan kita mengeliminasi z dari (3a) dan (3b), dengan cara sbb:

Dari (3b)

𝜆 ³

𝑣 = 𝑧 − 𝑧 ² 2 ^{3 2}

(4) Pecahkan untuk z:

𝑧 = 2 1 ± 1 − 2𝑧 ₀ 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑧 ₀ = ^𝜆

³

𝑣 (5)

Untuk  kecil, dpt diekspansi

1 + Δ ^𝑛 = 1 + 𝑛Δ + n n − 1

2 Δ ² + ⋯

Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)

Dengan mempertahankan sampai order ke2, diperoleh:

1 − 2𝑧 ₀ = 1 − ¹

2 2𝑧 ₀ − ¹

4 𝑧 ₀ ² + ⋯

Sehingga dengan mengingat z>0, maka (5) menjadi:

𝑧 ≈ 2 1 − 1 − 1

2 2𝑧 ₀ − 1

4 𝑧 ₀ ² + ⋯

= 𝑧 ₀ + 1 2 ^{3 2}

𝑧 ₀ ² + ⋯ (6)

Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)

Memakai aproksimasi z ini, maka persamaan bagi P di (3a) menjadi:

𝑃

𝑘𝑇 = 1

𝜆 ³ 𝑧 ₀ + 1

2 ^3/2 𝑧 ₀ ² −

𝑧 ₀ + 1 2 ^{3 2}

𝑧 ₀ ²

2

2 ^{5 2}

+ ⋯ Mempertahankan suku hingga kuadratis:

𝑃

𝑘𝑇 = 1

𝜆 ³ 𝑧 ₀ + 1

2 ^3/2 𝑧 ₀ ² − 1

2 ^5/2 𝑧 ₀ ² + ⋯ (7)

Arti Limit Klasik

Atau dengan sub. Nilai z

₀

:

𝑃𝑣

𝑘𝑇 = 1 + ¹

2

5 2

𝜆

³

𝑣 + ⋯ (8)

Bentuk terakhir ini dikenal sebagai ekspansi virial (variabel ekspansinya (1/v). Pada orde-nol maka kembali diperoleh hasil gas ideal:

𝑃𝑉

𝑘𝑇 = 𝑁 Suku koreksi ¹

2

⁵²

𝜆

³

𝑣 bukan hasil potensial interaksi antar

partikel melainkan murni efek kuantum dari Fermion.

Arti Limit Klasik

• Kita bisa memakai z

₀

untuk memahami arti aproksimasi z<<1.

𝑧 ₀ = ^𝜆

³

𝑣 ≪ 1 berarti 𝜆/𝑣 ^1/3 ≪ 1 .

Tetapi v

^1/3

= L: jarak rata-rata antar partikel.

• Berarti aproksimasi ini meminta panjang gelombang

thermal jauh lebih kecil dibandingkan jarak rata-rata antar partikel.

• Artinya efek kuantum dapat diabaikan, jadi partikel terbedakan seperti di kasus gas ideal klasik.

• Jadi z<<1 analog dengan kasus klasik yaitu T tinggi

Arti Limit Klasik

• Berhubung   1/T, maka << berarti T>>, dan juga v>>

berarti N/V << atau low density of particles.

• Jadi aproksimasi klasik berlaku baik bilamana : temperatur

tinggi kerapatan partikel rendah.

Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar ( ³ /v >>1) - Fermion pada T rendah

• Rezim ekstrim yg lainnya adalah jika ^𝜆

³

𝑣 ≫ 1 atau berarti suhu rendah dan kerapatan partikel besar. Akibatnya efek kuantum (eksklusi Pauli) menjadi nyata sekali. Fungsi f

_3/2

tidak bisa

diaproksimasi dengan polynomial, akan tetapi mesti

diekspansi dengan cara lain (spt dilakukan Sommerfeld, lih. K.

Huang, atau appendix slide ini), yaitu : 𝑓

³

2

(𝑧) = ⁴

3 𝜋 ln 𝑧

³²

+ ^𝜋

²

8

1

ln 𝑧 + ⋯ (9)

• Jika kita pertahankan suku ke satu saja (yang akan bagus jika

T0):

Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar ( ³ /v >>1) - Fermion pada T rendah

𝜆 ³

𝑣 = 4

3 𝜋 ln 𝑧 ^{3 2}

Pecahkan bagi z, dan substitusi nilai  akan diperoleh:

𝑧 = 𝑒 ^𝛽𝜖

^𝐹

(10)

Dengan 

_F

energi Fermi yang didefinsikan sbb (lihat Ground state):

𝜖 _𝐹 = ^ℏ

2𝑚

6𝜋

²

𝑣

2/3

(11)

Fermion Pada Temperatur Rendah

• Bagaimana perilaku Fermion pada T rendah tapi bukan ground state (T0). Telah diturunkan di (9)-(11), untuk order terendah (kasus spinless fermion):

𝜆 ³

𝑣 = 4

3 𝜋 ln 𝑧 ₀ ^{3 2} ln 𝑧 ₀ = 3 𝜋

4𝑣 𝜆 ³

2/3

= 𝛽𝜖 _𝐹 = 𝜖 _𝐹

𝑘𝑇 = 𝑇 _𝐹 𝑇

• Dengan suhu Fermi didefinisikan sbg: 

_F

= kT

_F

.

Fermion Pada Temperatur Rendah

• Untuk ketelitian yang lebih baik, maka:

𝜆 ³

𝑣 = 4

3 𝜋 [ ln 𝑧 ^{3 2} + 𝜋 ² 8

1

ln 𝑧 + ⋯ ] Atau dapat dituliskan

ln 𝑧 ₀ ^{3 2} = [ ln 𝑧 ^{3 2} + 𝜋 ² 8

1

ln 𝑧 + ⋯ ]

Fermion Pada temperatur rendah

𝑇 _𝐹 𝑇

3 2

= [ ln 𝑧 ^{3 2} + 𝜋 ² 8

1

ln 𝑧 + ⋯ ] Atau dapat disusun ulang menjadi:

ln 𝑧 ^{3 2} = 𝑇 _𝐹 𝑇

3 2

− 𝜋 ² 8

1 ln 𝑧

Trick, suku ln 𝑧 di ruas kanan di aproksimasi dengan ln 𝑧 ₀ =

T

_F

T :

Sehingga menjadi : ln 𝑧 ^{3 2} ≈ 𝑇 _𝐹

𝑇

3 2

− 𝜋 ² 8

𝑇 _𝐹 𝑇

− 1 2

≈ 𝑇 _𝐹 𝑇

3 2

1 − 𝜋 ² 8

𝑇 _𝐹 𝑇

−2

Fermion pada temperatur rendah

Selanjutnya dengan aproksimasi : (1+x)

ⁿ

=1+nx+…, maka:

ln 𝑧 ≈ 𝑇 _𝐹

𝑇 1 − 𝜋 ² 12

𝑇 𝑇 _𝐹

2

Padahal z = e

^_,

maka untuk suhu rendah dekat ground state:

𝜇 𝑇 ≈ 𝜖 _𝐹 1 − 𝜋 ² 12

𝑇 𝑇 _𝐹

2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.5 1 1.5

/

_F

T

_F

T

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2

n

E/EF

T=0.1

T=0.01

Energi Fermion Pada Suhu Rendah

• Energi total sistem Fermion diberikan oleh:

𝑈 = Σ _𝑝 𝜖 _𝑝 𝑛 _𝑝 = 𝑉 ℎ ³

0

∞

𝑑 ³ 𝑝𝜖 _𝑝 𝑛 _𝑝 = 𝑉 ℎ ³

0

∞ 𝜖 _𝑝

𝑒 ^{𝛽 𝜖}

^𝑝

^−𝜇 + 1 𝑑 ³ 𝑝

= 4𝜋𝑉 ℎ ³

0

∞ 𝑝 ² 𝜖 _𝑝

𝑒 ^{𝛽 𝜖}

^𝑝

^−𝜇 + 1 𝑑𝑝 Dengan 𝜖 _𝑝 = ^𝑝

²

2𝑚 dan integrasi parsial akan diperoleh:

𝑈 = 𝛽𝑉

20𝜋 ² 𝑚 ² ℏ ²

0

∞ 𝑝 ⁶ 𝑒 ^{𝛽 𝜖}

^𝑝

^−𝜇 𝑒 ^{𝛽 𝜖}

^𝑝

^−𝜇 + 1 ²

𝑑𝑝

Energi Fermion Pada Suhu Rendah

• Karena kita tidak jauh dari T=0, maka pengali p

⁶

dalam integrand akan berpuncak di sekitar = 

_F

saja. Faktor p

⁶

diuraikan di sekitar p

_F

, maka Sommerfeld (lihat misalnya K Huang) mendapatkan:*)

𝑈 = 3

5 𝑁𝜖 _𝐹 1 + 5

12 𝜋 ² 𝑘𝑇 𝜖 _𝐹

2

+ ⋯

Untuk hasil ini telah dimanfaatkan ungkapan bagi (T) pada suhu rendah.

*) atau alternative penurunan di slide bagian belakang

Energi Fermion Pada Suhu Rendah

• Persamaan keadaan segera diperoleh melalui:

𝑃𝑉 = 2

3 𝑈 = 2

5 𝑁𝜖 _𝐹 1 + 5

12 𝜋 ² 𝑘𝑇 𝜖 _𝐹

2

+ ⋯

• Hasil ini menunjukkan bahkan pada T=0 memang tekanan

tidak=0, sehingga perlu “mewadahi” Fermion bahkan pada

T=0.

Aplikasi: Distribusi Fermion

• Teori Bintang Katai

• Diamagnetism Landau

• Paramagnetism Pauli

• De Haas-Van Alphen effect

• dll

Apendix: Fungsi Fermi

• Untuk suhu rendah (𝑧 = 𝑒 ^𝛽𝜇 besar! ), maka 𝑓

³

2

(𝑧) tak dapat diuraikan dengan deret kuasa yg biasa.

• Tinjau kembali bentuk integralnya:

𝑓 3 2

𝑧 = 4 𝜋 0

∞

𝑑𝑥 𝑥 ²

𝑧 ⁻¹ 𝑒 ^𝑥

²

+ 1

• Substitusi : 𝑦 = 𝑥 ² 𝑧 = 𝑒 ^𝛼 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝛼 = ln(𝑧)

• Maka :

𝑓 3 2

𝑧 = 2 𝜋 0

∞

𝑑𝑦 𝑦

𝑒 ^𝑦−𝛼 + 1

Apendix: Fungsi Fermi

• Fungsi ¹

𝑒

^𝑦−𝛼

+1 untuk suhu rendah akan mendekati fungsi tangga di sekitar 𝑦 = 𝛼. Jadi derivativenya akan serupa delta dirac di sekitar 𝑦 = 𝛼. Sifat ini akan dimanfaatkan.

• Integrasi parsial

𝑑𝑉 = 𝑦𝑑𝑦 𝑈 = 1

𝑒 ^𝑦−𝛼 + 1

0

∞

𝑑𝑦 𝑦

𝑒 ^𝑦−𝛼 + 1 =

2 3 𝑦

3 2

𝑒 ^𝑦−𝛼 + 1 ₀

∞

− 2 3 0

∞

𝑑𝑦 𝑦 ^{3 2} 𝑒 ^𝑦−𝛼 𝑒 ^𝑦−𝛼 + 1 ²

• Integrand berpuncak sekitar 𝑦 = 𝛼

Apendix: Fungsi Fermi

0

∞

𝑑𝑦 𝑦

𝑒 ^𝑦−𝛼 + 1 = − 2 3 0

∞

𝑑𝑦 𝑦 ^{3 2} 𝑒 ^𝑦−𝛼 𝑒 ^𝑦−𝛼 + 1 ²

• Substitusi lagi 𝑦 − 𝛼 = 𝑡

0

∞

𝑑𝑦 𝑦 ^{3 2} 𝑒 ^𝑦−𝛼

𝑒 ^𝑦−𝛼 + 1 ² = 𝛼 ^3/2

−𝛼

∞

𝑑𝑡 1 + 𝑡 𝛼

3/2

𝑒 ^𝑡 𝑒 ^𝑡 + 1 ²

• Jika 𝛼 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 → ∞

−∞

∞

𝑑𝑡 1 + 𝑡 𝛼

3/2

𝑒 ^𝑡

𝑒 ^𝑡 + 1 ²

Apendix: Fungsi Fermi

• Ekspansikan 1 + 𝑥 ^𝑛 = 1 + 𝑛𝑥 + ^{𝑛 𝑛−1}

2! 𝑥 ² + ⋯ .

−∞

∞

𝑑𝑡 1 + 3 2

𝑡

𝛼 + 3 8

𝑡 𝛼

2

+ ⋯ . 𝑒 ^𝑡 𝑒 ^𝑡 + 1 ²

• Karena fungsi ^𝑒

^𝑡

𝑒

^𝑡

+1

²

adalah fungsi genap (simetrik thd x - x), maka hanya suku suku terkait t

ⁿ

untuk n genap yang tak NOL.

• Definisikan

𝐼 ₀ =

−∞

∞

𝑑𝑡 𝑒 ^𝑡

𝑒 ^𝑡 + 1 ² = 1

Apendix: Fungsi Fermi

• Selanjutnya:

𝐼 ₁ = 𝐼 ₃ = ⋯ . = 0 Dan

𝐼 _𝑛 = 2 ₀ ^{∞ 𝑡}

^𝑛

^𝑒

^𝑡

𝑒

^𝑡

+1

²

𝑑𝑡 untuk n: genap.

Misalnya 𝐼 ₂ = ^𝜋

²

3

Sebagai catatan 𝐼 _𝑛 bisa dinyatakan dengan fungsi terkenal Riemann Zeta. Dengan uraian ini maka :

𝑓 3 2

𝑧 = 3

4 𝜋 ln 𝑧 ^3/2 + 𝜋 ² 8

1

ln 𝑧 + … .

Apendix: Fungsi Fermi

𝑓 3 2

𝑧 = 3

4 𝜋 ln 𝑧 ^3/2 1 + 𝜋 ²

8 (ln 𝑧) ⁻² + … .

• Dengan cara serupa dapat diturunkan bahwa:

𝑓 ₅

2

𝑧 = 8

15 𝜋 ln 𝑧 ^5/2 1 + 5𝜋 ²

8 (ln 𝑧) ⁻² + … .

Apendix: Fungsi Fermi

• Energi rata-rata system 𝑈 = − 𝜕

𝜕𝛽 ln 𝜁 = 𝑘𝑇 ² 𝜕

𝜕𝑇 ln 𝜁 = 𝑘𝑇 ² 𝜕

𝜕𝑇 𝑉

𝜆 ³ 𝑓 5 2

𝑧 𝑈 = 3

2 𝑘𝑇 𝑉 𝜆 ³ 𝑓 5

2

(𝑧) Dengan bantuan:

𝑁 = 𝑉 𝜆 ³ 𝑓 3

2

(𝑧) Maka :

𝑈 = 3

2 𝑁𝑘𝑇 𝑓 5 2

(𝑧)/𝑓 3 2

𝑧

Apendix: Fungsi Fermi

• Dengan bantuan uraian orde pertama f

_3/2

dan f

_5/2

maka : 𝑈 = 3

5 𝑁𝑘𝑇 ln 𝑧 1 + 𝜋 ²

2 ln 𝑧 ⁻² +. . Mengingat bahwa :

𝜇 = 𝑘𝑇 ln 𝑧 ≈ 𝜖 _𝐹 1 − 𝜋 ² 12

𝑘𝑇 𝜖 _𝐹

2

Maka eliminasi ln z, menghasilkan : 𝑈 = 3

5 𝑁 𝜖 _𝐹 1 + 5𝜋 ² 12

𝑘𝑇 𝜖 _𝐹

2

+ ⋯