BAB. 6 DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBAGAN BENDA TEGAR A. MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA

(1)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 1 BAB. 6

DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBAGAN BENDA TEGAR A. MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA

1. Momen Gaya

Benda hanya dapat mengalami perubahan gerak rotasi jika pada benda tersebut diberi momen gaya, dengan adanya momen gaya maka benda akan mengalami perubahan kecepatan sudut, sehingga momen gaya merupakan perkalian silang antara antara posisi (r) dan gaya (F). dimana r = l sin θ Secara matematis momen gaya dirumuskan sebagai berikut:

𝜏 = 𝑟 𝑥 𝐹 atau 𝜏 = −𝐹 𝑙 sin 𝜃 τ = negatif jika berputar berlawanan arah jarum jam 𝜏 = 𝐹 𝑙 sin 𝜃 τ = positif jika berputar searah jarum jam

torsi berlawanan arah jarum jam torsi searah jarum jam (negatif) (Positif)

Jika pada benda bekerja lebih dari satu gaya, resultan momen gaya yang bekerja pada benda merupakan jumlah vector dari setiap momen gaya

𝜏 = ∑(𝑟 𝑥 𝐹) Catatan

Jika arah rotasi yang ditimbulkan oleh F, searah dengan arah jarum jam maka τ berharga positif.

Jika arah rotasi yang ditimbulkan oleh F, berlawanan arah dengan arah jarum jam maka τ berharga negatif.

2. Momen Kopel

Momen kopel merupakan pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar, dan berlawan arah.

Momen kopel (M) adalah perkalian silang antara vector gaya dan vektor jarak antara dua gaya tersebut

𝑀 = 𝐹 𝑥 𝑑

Penentuan arah momen kopel sesuai aturan sekrup (aturan tangan kanan) Jika arah (M) masuk bidang gambar dianggap positif

Jika arah (M) keluar bidang gambar dianggap negative

F F

l l

(2)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 2 Jika pada sebuah gambar sebuah benda ada beberapa buah kopel sebidang, putaran resultan momen kopelnya merupakan jumlah aljabar dari setiap momen kopelnya.

𝑀_𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝑀 𝑑 = |^𝑀

𝐹| d = pergeseran titik tangkap gaya

3. Momen Inersia benda titik (partikel)

Kecenderungan benda untuk selalu mempertahankan geraknya

Momen inersia tergantung pada massa dan posisi massa benda ke sumbu putarnya, semakin jauh posisi massa benda ke pusat rotasinya, maka semakin besar momen inersia benda tersebut.

𝐼 = 𝑚𝑟²

Momen inersia sebuah benda yang tersusun oleh partikel-partikel dapat ditulis menjadi 𝐼 = ∑ 𝑚_𝑛𝑟_𝑛²

𝑛

4. Momen Inersia benda tegar

𝐼 = ∫ 𝑥²(𝑚 𝑙)

𝑥₂ 𝑥1

𝑑𝑥 = (𝑚

𝑙) ∫ 𝑥²𝑑𝑥

𝑥₂ 𝑥1

No Gambar Nama Momen Inersia

1

Batang terhadap sumbu yang

melalui pusat 𝐼 = 1

12𝑚𝑙²

2

Batang terhadap sumbu pada

satu ujungnya 𝐼 =1

3𝑚𝑙²

3

Cincin tipis terhadap sumbu silinder

𝐼 = 𝑚𝑅² l

l

R

(3)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 3

No Gambar Nama Momen Inersia

4

Piringan atau cakram titik

terhadap sumbu melalui pusat 𝐼 =1 2𝑚𝑅²

5 Silinder pejal terhadap sumbu

silinder 𝐼 =1

2𝑚𝑅²

6 Silender berongga terhadap

sumbu melalui titik pusat 𝐼 =1

2𝑚(𝑅₁² + 𝑅₂²)

7 Bola pejal terhadap sumbu

melalui titik pusat 𝐼 =2

5𝑚𝑅²

8

Bola berongga terhadap sumbu

melalui titik pusat 𝐼 =2

3𝑚𝑅²

Uji Kompetensi

1. Jika diketahui panjang batang adalah 1 meter, maka resultan momen gaya yang bekerja pada engsel

a. 1,50 Nm b. 1,25 Nm c. 1,50 Nm d. 2,75 Nm e. 2,90 Nm

2. Sebuah pesawat sederhana digunakan untuk mengangkat beban bermassa 10 kg, jika panjang batang pengungkit 2 m dan letak penumpu 0,75 m dari ujung beban, maka gaya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban adalah …

a. 30 N b. 40 N c. 50 N d. 60 N e. 70 N R

l

R1

R2

2R

F1 = 10 N F2 = 5 N

F3 = 10 N 0,25 m

engsel 30⁰

0,75 m

(4)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 4 3. Sebuah batang panjangnya l, massa m, dan

sumbu rotasi terletak pada ¹

3𝑙 dari ujung kiri batang dan tegak lurus terhadap batang, tentukan besarnya momen inersia batang terhadap sumbu rotasinya…

a. 𝐼 =¹

3𝑚𝑙² b. 𝐼 =¹

6𝑚𝑙² c. 𝐼 =¹

9𝑚𝑙² d. 𝐼 = ¹

12𝑚𝑙² e. 𝐼 = ¹

24𝑚𝑙²

4. Pada titik sudut sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi 3 cm dan 5 cm, ditempat titik materi dengan massa mA = 5 gram, mB =

10 gram dan mc = 20 gram. Tentukan momen inersia titik-titik materi tersebut jika sumbu rotasi di titik A dan tegak lurus bidang ABC.

a. 190 g.cm² b. 290 g.cm² c. 390 g.cm² d. 490 g.cm² e. 590 g.cm²

5. Sebuah segitiga siku-siku, panjang sisi miringnya AC = 50 cm, pada titik sudutnya ditempatkan partikel bermassa 0,01 kg, sebuah sumbu putar melalui titik A dan tegak lurus garis AB, tentukan momen inersianya.

(cos 37 = 0,8 dan sin 37 = 0,6)

a. 0,1 g.cm² b. 0,2 g.cm² c. 0,3 g.cm² d. 0,4 g.cm² e. 0,5 g.cm²

B. DINAMIKA GERAK ROTASI

Telah diketahui bahwa penyebab gerak translasi adalah gaya dan penyebab gerak rotasi momen gaya, kedua gerak tersebut dapat diungkapkan menggunakan hukum II Newton, dari keadaan diam diam sebuah benda bermassa m dapat memiliki percepatan a karena pengaruh F sehingga hubungan tersebut dapat ditulis dengan F = ma. Demikian juga dari keadaan diam sebuah roda yang memiliki inersia I dapat memiliki percepatan sudut α karena pengaruh momen gaya F, sehingga secara matematis dapat di tulis dengan τ = Iα

l

1 3 𝑙

A B

C

3 cm 5 cm

A B

C

50 cm

37⁰

(5)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 5 Analogi dan hubungan antara persamaan gerak translasi benda tegar sepanjang garis lurus dan gerak rotasi mengelilingi sumbu rotasi dapat di lihat seperti table

Gerak translasi Gerak rotasi Hubungan

Jarak linier s Jarak (posisi) sudut Θ s = θR

Kecepatan linier 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 Kecepatan sudut 𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡 v = ωR

Percepatan

tangensial 𝑎_𝑡= 𝑑𝑣

𝑑𝑡 Percepatan sudut 𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡 a = αR

Kelembaman

translasi (massa) m

Kelembaman rotasi benda tegar (momen

inersia)

I 𝐼 = ∑ 𝑚𝑅²

𝑁

𝑖=1

Gaya F = ma Torsi (momen gaya) τ = Iα τ = r F

Energi Kinetik 𝐸𝑘 =1

2𝑚𝑣² Energi kinetik 𝐸𝑘 =1

2𝐼𝜔² -

Momentum linier p = mv Momentum sudut L = Iω -

Daya p = F v Daya p = τω -

Aplikasi Gerak Rotasi

1. Katrol dihubungkan dengan beban

a. Tinjau gaya-gaya pada beban m dengan menggunakan Hukum II Newton

∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎

b. Tinjauan gaya-gaya pada katrol untuk gerak rotasi Hukum II Newton untuk gerak rotasi pada katrol

∑ 𝜏 = 𝐼𝛼 dengan 𝛼 =^𝑎

𝑅

𝑇𝑅 = 𝐼^𝑎

𝑅  𝑇 = 𝐼 ^𝑎

𝑅²

mg a α

T T

(6)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 6 Dengan mensubsitusi kedua persamaan tersebut diperoleh hubungan sebagai berikut:

𝑎 = 𝑚𝑔

𝑚 + 𝐼 𝑅²

2. Menggelinding pada bidang horizontal

a. Tinjau gaya-gaya pada benda dengan menggunakan

∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 dan ∑ 𝐹 = 0 𝐹 − 𝑓_𝑠 = 𝑚𝑎 dan 𝑁 − 𝑚𝑔 = 0

b. Tinjauan gaya-gaya pada katrol untuk gerak rotasi Hukum II Newton untuk gerak rotasi pada katrol

𝑅

𝑓_𝑠𝑅 = 𝐼^𝑎

𝑅  𝑓_𝑠 = 𝐼 ^𝑎

𝑅²

Dengan mensubsitusi kedua persamaan tersebut diperoleh hubungan sebagai berikut:

𝑎 = 𝐹

𝑚 + 𝐼 𝑅²

3. Menggelinding pada bidang miring

a. Tinjau gaya-gaya pada benda dengan menggunakan

∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 dan ∑ 𝐹 = 0

𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝑓_𝑠 = 𝑚𝑎 dan 𝑁 − 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0 b. Tinjauan gaya-gaya pada katrol untuk gerak rotasi

Hukum II Newton untuk gerak rotasi pada katrol

𝑅

𝑓_𝑠𝑅 = 𝐼^𝑎

𝑅  𝑓_𝑠 = 𝐼 ^𝑎

𝑅²

Dengan mensubsitusi kedua persamaan tersebut diperoleh hubungan sebagai berikut:

𝑎 =𝑚𝑔 sin 𝜃 𝑚 + 𝐼

𝑅²

N

F

Fs

mg α

N

fs

mg sin θ

mg con θ

mg

θ

(7)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 7 4. Energi Kinetik dan Hukum kekekalan energi kinetik

𝐸𝑘 =¹

2𝑚𝑣²+¹

2𝐼𝜔² dan 𝐸𝑘₁+ 𝐸𝑝₁ = 𝐸𝑘₂+ 𝐸𝑝₂

Uji Kompetensi

1. Tentukan besarnya momentum sudut dari sebuah piringan CD yang massanya 60 gram, jari-jarinya 5 cm ketika sedang berotasi dengan sumbu putar melalui titik pusat massa dan tegak lurus piringan dengan kecepatan sudut 10 rad/s. …

a. 5 kgm²s^-2 b. 5 kgm²s^-2 c. 5 kgm²s^-2 d. 5 kgm²s^-2 e. 5 kgm²s^-2

2. Diketahui massa katrol 1 kg, jari-jari 5 cm, massa beban m1 =0,4 kg, dan m2 = 0,6 kg tentukan percepatan linier system

a. 1/3 m/s² b. 2/3 m/s² c. 4/3 m/s² d. 5/3 m/s² e. 7/3 m/s²

3. Sebuah bola pejal dapat melakukan gerakan translasi dan rotasi pada sebuah bidang miring yang memiliki ketinggian 1 m, jika g = 10 m/s² . tentukan kecepatannya pada kaki bidan miring.

a. 3,0 m/s b. 3,3 m/s c. 3,6 m/s d. 4,3 m/s e. 4,6 m/s

4. Silinder pejal bermassa 20 kg dan jari-jari 10 cm, didorong dengan gaya 100 N pada bidang datar yang kasar, maka percepatan yang dialami benda adalah …

a. 3,33 m/s² b. 4,33 m/s² c. 5,33 m/s² d. 6,33 m/s² e. 7,33 m/s²

5. Sebuah cincin tipis bermassa 20 gram

menggelinding tanpa slip pada sebuah bidang miring dengan sudut 30⁰ terhadap bidang horizontal dengan kecepatan awal 2 m/s, tentukan percepatan dan kecepatan cincin setelah menempuh jarak 1 m …

a. ..

b. ..

c. ..

d. ..

e. ..

m1 m2

(8)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 8 C. KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Menurup hukum I Newton, jika resultan gaya-gaya sama dengan nol, percepatan partikel sama dengan nol, maka benda dalam keadaan diam atau bergerak lurus beraturan, dan partikel dalam keadaan diam dikatakan mengalami kesetimbangan statis, sedangkan patikel dalam kedaan bergerak dengan kecepatan tetap mengalami kesetimbangan dinamis. (∑𝐹 = 0)

1. Syarat kesetimbangan benda tegar translasi

∑ 𝐹_𝑥 = 0 ; ∑ 𝐹_𝑦 = 0; ∑ 𝐹_𝑧 = 0 2. Syarat kesetimbangan benda tegar rotasi

∑ 𝜏_𝑥 = 0 ; ∑ 𝜏_𝑦 = 0; ∑ 𝜏_𝑧 = 0

salah satu contoh kesetimbangan benda tegar translasi, dan cara penyelesaian persoalannya, Perhatikan gambar dibawah kita dapat menentukan tegangan tali (T1 dan T2)

∑ 𝐹_𝑥 = 0 dan ∑ 𝐹_𝑦 = 0

Semua gaya yang bekerja pada system harus diproyeksikan pada Sumbu-x dan sumbu-y

∑ 𝐹_𝑥 = 0  𝑇₂cos 30 − 𝑇₁cos 60 = 0  𝑇₂(¹

2√3) − 𝑇₁(¹

2) = 0 …. (1)

∑ 𝐹_𝑦 = 0  𝑇₁sin 60 + 𝑇₂sin 30 − 𝑤 = 0  𝑇₁(¹

2√3) + 𝑇₂(¹

2) − 100 = 0 …. (2) Subsitusikan persamaan (1) dan persamaan (2)

Pers (1) 𝑇₂(¹

2√3) − 𝑇₁(¹

2) = 0  𝑇₂(√3) − 𝑇₁ = 0  𝑇₂(√3) = 𝑇₁ Pers (2) 𝑇₁(¹

2√3) + 𝑇₂(¹

2) − 100 = 0  𝑇₁(√3) + 𝑇₂− 200 = 0 T2 cos 30

T1 cos 60

T1 sin 60 T2 sin 30

w=mg

T1 T2

m=10 kg

60⁰ 30⁰

(9)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 9 𝑇₂(√3)(√3) + 𝑇₂− 200 = 0

𝑇₂ 3 + 𝑇₂− 200 = 0 4𝑇₂ = 200

𝑇₂ = 50 𝑁

Untuk menentukan T1 yaitu dengan menggunakan salah satu persamaan Pers (1) 𝑇₂(√3) = 𝑇1  𝑇₁ = 50√3

Berikut contoh kesetimbangan benda tegar translasi dan rotasi

pada batang homogen, lantai dan dinding kasar, datang tepat akan meluncur.

Syarat kesetimbangan benda tegar translasi pada sumbu xy

∑ 𝐹_𝑥 = 0 ∑ 𝐹_𝑦 = 0

𝑓_𝐴− 𝑁_𝐵 = 0 … (1) 𝑓_𝐵+ 𝑁_𝐴− 𝑤 = 0 …. (2) Syarat kesetimbangan benda tegar rotasi dengan tinjauan pusat Momen gaya di A

∑ 𝜏_𝐴 = 0 𝑤.¹

2𝑙 cos 𝛼 − 𝑁_𝐵. 𝑙 sin 𝛼 − 𝑓_𝐵. 𝑙 cos 𝛼 = 0 …(3)

Dengan mensubsitusikan ketiga persamaan dapat ditentukan besarnya gaya yang bekerja pada tiap titik pada batang homogen tersebut.

D. TITIK BERAT BENDA Titik berat adalah titik tangkap gaya berat sebuah benda

Untuk benda bidang : untuk benda bermassa 𝑦₀ =^{∑ 𝐴𝑦}

∑ 𝐴 𝑦₀ =^{∑ 𝑤𝑦}

∑ 𝑤

fB

B NB

w

fA

NA

α l

A

(10)

Modul Fisika Kelas XI. IPA Kurikulum 2013 10 Titik berat benda berbentuk garis dan busur

Gambar Nama Letak titik berat Hubungan

Garis lurus

𝑦₀ =1

2𝐴𝐵 Z = tengah tengan AB 𝐴𝐵 = 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵

Busur lingkaran

𝑦₀ = 𝑅𝐴𝐵 𝐴𝐵̂

𝐴𝐵 = 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵̂ R = Jari-jari

Busur setengah

lingkaran 𝑦₀ =2𝑅

3𝜋

R = Jari-jari lingkaran

Titik berat benda berbentuk bidang himogen

Juring lingkaran

𝑦₀ =1 2𝑅𝐴𝐵

𝐴𝐵̂

𝐴𝐵 = 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵 𝐴𝐵̂ = 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝐴𝐵 R = Jari-jari

Setengah lingkaran

𝑦₀ =4𝑅 3𝜋

R = Jari-jari lingkaran

Titik berat benda berbentuk selimut

Selimut setengah bola

𝑦₀ = 1

2𝑅 R = Jari-jari bola

Selimut limas

𝑦₀ =1

3𝑡 t = tinggi limas A Z B

y0

A y0 B R

M

Z

z

M y0

z

M y0

A B

M R y0

z

z y0

M R

y0

(11)

Selimut kerucut

𝑦₀ =1

3𝑡 t = tinggi kerucut

Titik berat benda berbentuk pejal homogeny

Setengah bola pejal

𝑦₀ = 3

8𝑅 R = jari-jari bola

Limas Pejal

𝑦₀ =1

4𝑡 t = tinggi limas

Kerucut pejal

𝑦₀ =1

4𝑡 t = tinggi kerucut

Uji Kompetensi

1. Sebuah benda dengan berat 480 N digantung dalam keadaan setimbang, seperti pada gambar, maka besar tegangan tali T1 adalah

a. 500 N b. 480 N c. 240 N d. 120 N e. 80 N

2. Sebuah tangga AB homogen panjangnya 5 m dan beratnya 100 N, ujung A terletak pada lantai dan ujung B pada dinding, ujung A berjarak 3 meter dari dinding, koefisien statis A dan B sama yaitu 0,5, maka jarak terjauh yang dapat dicapai seseorang yang memanjat tangga dengan berat 500 N adalah (tangga belum tergelincir)

a. 3,5 m b. 3,6 m c. 3,7 m d. 3,8 m e. 3,9 m z y0

M R

y0

T1 T2

w

53⁰ 37⁰

B

A

(12)