SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN BLACK-SCHOLES KASUS OPSI JUAL EROPA DAN AMERIKA DENGAN FLUKTUASI
SAHAM BERLINTASAN BROWNIAN
MUTIARA DEWI LESTARI
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Numerik Persamaan Black-Scholes Kasus Opsi Jual Eropa dan Amerika dengan Fluktuasi Saham Berlintasan Brownian adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2016 Mutiara Dewi Lestari NIM G74120066
ABSTRAK
MUTIARA DEWI LESTARI. Solusi Numerik Persamaan Black-Scholes Kasus Opsi Jual Eropa dan Amerika dengan Fluktuasi Saham Berlintasan Brownian.
Dibimbing oleh HUSIN ALATAS.
Opsi merupakan instrumen keuangan turunan dari aset yang mendasarinya.
Opsi jual memberikan hak bukan kewajiban kepada pemegang opsi untuk menjual sejumlah tertentu dari sebuah aset yang menjadi dasar kontrak tersebut. Opsi tipe Amerika memberikan kesempatan kepada pemegang opsi untuk mengeksekusi haknya setiap saat hingga waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Eropa hanya memberikan kesempatan kepada pemegang opsi untuk mengeksekusi haknya pada saat waktu jatuh tempo. Model yang digunakan untuk menentukan harga opsi jual tipe Eropa dan Amerika adalah model Black-Scholes. Selanjutnya, model pergerakan saham dimodelkan menggunakan random generator di Matlab untuk menghasilkan lintasan Brownian pada harga saham. Model ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eksplisit beda hingga.
Kata kunci: Black-Scholes, opsi jual, Gerak Brownian, metode eksplisit beda hingga
ABSTRACT
MUTIARA DEWI LESTARI. Numerical Solution of Black-Scholes Equation for European and American Put Option under Stock Fluctuations with Brownian Path Characteristics. Supervised by HUSIN ALATAS.
Option is derivative finance instrument from underlying asset. Put option gives the holder right but not obligation to sell an underlying asset. American type option gives the holder chance to exercise the right during any trading day on or before expiration, while European type option gives its holder chance to exercise the right on expiration. Model which is used to determine American and European put option price is Black-Scholes model for put option. Furthermore, stock models use random generator at Matlab to produce stock fluctuations with Brownian path charateristic. This model can be solved numerically using explicit finite difference method.
Keywords: Black-Scholes, put option, Brownian motion , explicit finite difference method
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN BLACK-SCHOLES KASUS OPSI JUAL EROPA DAN AMERIKA DENGAN FLUKTUASI
SAHAM BERLINTASAN BROWNIAN
MUTIARA DEWI LESTARI
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2016
PRAKATA
Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala Puji Bagi Allah SWT sehingga penelitian ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penilitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2015 ini ialah Solusi Numerik Persamaan Black-Scholes Kasus Opsi Jual dengan Saham Berlintasan Brownian.
Terima kasih banyak penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Husin Alatas selaku pembimbing utama dan Dinda Yuansa Sulaeman selaku rekan dalam penelitian ini. Terima kasih kepada teman-teman Fisika 49 terutama Rezka, Hani, Leni, dan Zafur juga penulis ucapkan terima kasih kepada Choirul, Fikri, Salamet, dan Ahmad sebagai teman seperbimbingan atas saran dan bantuannya. Ungkapan terima kasih yang utama disampaikan kepada Ibu, Ayah, Kak Riri, dan Difta serta seluruh keluarga di Bogor dan Jakarta, atas segala doa, kasih sayang, dan suntikan semangat tiada henti.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2016 Mutiara Dewi Lestari
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR LAMPIRAN ix
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Perumusan Masalah 1
Tujuan Penelitian 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
Pengertian Opsi 2
Aset yang Mendasari Opsi (Underlying Asset) 2
Saham 2
Jenis Opsi 3
Nilai Opsi 4
Model Harga Saham 5
Gerak Brown 5
Model Black-Scholes 6
Derivatif Persamaan Black-Scholes 8
Metode Beda Hingga 9
METODE 10
Waktu dan Tempat 10
Prosedur Penelitian 10
HASIL DAN PEMBAHASAN 11
Model Black-Scholes 11
Syarat Awal dan Syarat Batas 11
Persamaan Saham berlintasan Brownian 12
Simulasi Numerik 13
SIMPULAN DAN SARAN 19
Simpulan 19
Saran 19
DAFTAR PUSTAKA 19
LAMPIRAN 21
RIWAYAT HIDUP 23
DAFTAR GAMBAR
1 Payoff untuk opsi jual dengan E = 10 pada t = T 4
2 Zarah Brown yang tergantung di dalam fluida 6
3 Dinamika harga opsi jual terhadap pergerakan harga saham 13 4 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham
dengan fluktuasi kecil 14
5 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham
dengan fluktuasi besar 15
6 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan saham dengan
fluktuasi besar untuk jumlah iterasi 100 15
7 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil untuk jumlah iterasi 100 16 8 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap harga saham PT. Astra
International, Tbk. periode Februari 2016 16
9 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga
saham dengan fluktuasi kecil 17
10 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga
saham dengan fluktuasi besar 18
11 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham PT. Astra International, Tbk. periode Februari 2016 18
DAFTAR LAMPIRAN
1 Tabel Harga Saham PT. Astra International, Tbk. periode Februari
2016 21
2 Program Matlab 22
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Instrumentasi keuangan derivatif merupakan surat berharga yang nilainya bergantung pada surat berharga yang mendasari atau surat berharga acuan (underlying assets). Surat berharga acuan dapat berupa saham, obligasi, indeks saham, indeks obligasi, dan mata uang (currency). Ada beberapa macam surat berharga derivatif seperti, bukti (right), waran (warrant), kontrak berjangka (future), dan opsi (option).1
Instrumentasi keuangan derivatif opsi adalah suatu kontrak atau perjanjian diantara dua pihak. Pihak pertama selaku pembeli kontrak opsi (option holder) dan pihak kedua ialah penjual kontrak opsi (option writer). Pihak pertama memiliki hak bukan kewajiban untuk membeli (kontrak opsi beli) atau menjual (kontrak opsi jual) dari pihak kedua terhadap suatu aset tertentu pada harga dan waktu yang telah disepakati sebelumnya.
Seorang pemodal yang menggunakan opsi dapat meminimumkan batas kerugian dan memaksimumkan laba yang akan diperolehnya. Sehingga jika digunakan dengan cermat, opsi akan sangat berguna bagi perusahaan atau individu untuk mengurangi risiko keuangan yang membayangi. Karakteristik opsi yang bisa membatasi kerugian yang akan diperoleh pemodal dan membuat keuntungan yang tak terbatas nilainya ini sangat menarik untuk dikaji.2
Pada tahun 1973, Fischer Black dan Myron Scholes menemukan sebuah cara baru dalam menghitung harga opsi yang adil di pasar modal dengan menggunakan model gerak Brown geometrik dan persamaan rambatan panas.
Model ini sebenarnya merupakan peyempurnaan dari model yang dirancang oleh Bachelier pada tahun 1900. Pada waktu itu Bachelier menggunakan pendekatan limit jalan acak (gerak Brown).1
Metode penentuan harga opsi secara umum dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode analitik dan metode numerik. Metode analitik merupakan suatu metode penentuan harga opsi yang menghasilkan nilai yang eksak, sedangkan metode numerik merupakan metode penentuan harga opsi yang menghasilkan nilai aproksimasi sehingga pada metode numerik mungkin akan terdapat error di dalamnya.3
Metode numerik beda hingga adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan mengaproksimasikan turunan-turunan persamaan diferensial tersebut menjadi sistem persamaan linier.3 Metode yang akan digunakan untuk menyelesaikan model Black-Scholes secara numerik dalam penelitian ini adalah metode eksplisit dengan fluktuasi saham berlintasan Brownian. Software Matlab digunakan untuk komputasi numeriknya.
Perumusan Masalah
Bagaimana pengaruh fluktuasi saham berlintasan Brownian terhadap harga opsi jual tipe Eropa dan Amerika melalui persamaan Black-Scholes.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menganalisis harga opsi jual tipe Eropa dan Amerika melalui metode eksplisit beda hingga.
TINJAUAN PUSTAKA
Pengertian Opsi
Opsi adalah suatu kontrak perjanjian antara dua pihak, di mana salah satu pihak (sebagai pembeli opsi) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang ditentukan.8 Pembeli opsi mempunyai hak tetapi bukan kewajiban untuk melaksanakan opsinya. Opsi akan dijalankan ketika selama periode kontrak opsi berlaku, perubahan harga aset yang mendasari opsi tersebut akan menghasilkan keuntungan, baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut.
Aset yang Mendasari Opsi (Underlying Asset)
Efek derivatif merupakan efek turunan dari efek utama, baik yang bersifat penyertaan maupun utang. Efek derivatif dapat berarti turunan langsung dari efek utama maupun turunan selanjutnya. Instrument keuangan derivatif merupakan suatu kontrak atau perjanjian yang nilai atau peluang keuntungannya terkait dengan kinerja aset lain. Aset lain ini disebut sebagai aset acuan (underlying asset). Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa underlying assetseperti, saham, obligasi, indeks saham, indeks obligasi, dan mata uang (currency). Dalam karya ilmiah ini, underlying asset yang digunakan adalah saham.
Saham
Saham merupakan salah satu produk yang diperjualbelikan di pasar modal.
Saham dapat didefinisikan sebagai tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas. Wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan pemiliknya. Sekarang ini, sistem tanpa warkat sudah dilakukan di pasar modal Indonesia. Bentuk kepemilikan tidak lagi berupa lembaran saham yang diberi nama pemiliknya tetapi sudah berupa account atas nama pemilik atau saham tanpa warkat sehingga penyelesaian transaksi akan semakin cepat dan mudah.
Daya tarik investasi saham adalah dua keuntungan yang dapat diperoleh pemodal dengan membeli saham atau memiliki saham, yaitu:
1. Dividen, ialah keuntungan yang diberikan perusahaan penerbit saham atas keuntungan yang dihasilkan perusahaan. Biasanya dividen dibagikan setelah adanya persetujuan pemegang saham dan dilakukan setahun sekali. Agar investor
3 berhak mendapatkan dividen, investor tersebut harus memiliki saham untuk kurun waktu tertentu. Dividen yang diberikan perusahaan dapat berupa dividen tunai atau dividen saham. Dividen tunai memberikan pemegang saham uang tunai sesuai dengan jumlah saham yang dimiliki. Sedangkan, dividen saham memberikan pemegang saham sejumlah saham tambahan.
2. Capital gain, merupakan selisih antara harga beli dan harga jual yang terjadi.
Capital gain terbentuk dengan adanya aktivitas perdagangan di pasar sekunder.
Sebagai contoh, sebuah saham dibeli oleh seorang investor dengan harga per lembar Rp 1.800,- dan dijual kembali dengan harga Rp 2.200,-. Investor akan mendapatkan capital gain sebesar Rp 400 per lembar saham. Umumnya investor jangka pendek mengharapkan keuntungan dari capital gain.
Saham dikenal memiliki karakteristik high risk-high return. Hal ini berarti saham merupakan surat berharga yang memberikan peluang keuntungan yang tinggi namun juga diikuti dengan tingginya risiko. Saham memungkinkan investor mendapatkan capital gain dalam jumlah besar dalam waktu singkat. Namun seiring dengan berfluktuasinya harga saham, saham juga dapat membuat investor mengalami kerugian besar dalam waktu singkat.13
Jenis Opsi
Opsi dapat dibedakan berdasarkan jenis haknya dan waktu pelaksanaan hak tersebut. Berdasarkan waktu pelaksanaan haknya, opsi dibedakan menjadi opsi Eropa (European option) dan opsi Amerika (American option). Opsi Eropa hanya mengizinkan pemegang opsi untuk melaksanakan haknya pada saat jatuh tempo.
Sedangkan opsi yang mengizinkan pemegangnya untuk melaksanakan haknya sejak penandatanganan kontrak sampai jatuh tempo ialah opsi Amerika.1
Berdasarkan hak yang dimiliki oleh pemegangnya, opsi dapat dibedakan menjadi opsi beli (call option) dan opsi jual (put option). Opsi beli memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli surat berharga acuan pada saat jatuh tempo dengan harga kesepakatan (strike price) yang telah disepakati. Sedangkan pemegang opsi jual mempunyai hak untuk menjual surat berharga acuan pada saat jatuh tempo dengan harga pelaksanaan (strike price) yang sebelumnya disepakati.1
Payoff adalah imbalan atau hasil yang diperoleh pada saat opsi jatuh tempo atau pada saat opsi dieksekusi. Payoff untuk opsi jual (put option) pada waktu jatuh tempo adalah sebagai berikut:
) 0 , max(E S payoff
Dengan E menyatakan harga pelaksanaan (strike price) dan S adalah harga saham.
4
Nilai Opsi
Nilai opsi ialah besar biaya yang dikeluarkan oleh investor atau sebagai pembeli opsi (option holder) untuk memiliki kontrak opsi. Penjual opsi (option writer) memberikan hak ini sebagai ganti dari pembayaran sejumlah uang yang diterimanya. Pembayaran ini disebut dengan premi opsi. 1 Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi dimana pada karya ilmiah ini focus pada nilai opsi jual (P), yaitu:
1. Harga saham (S)
2. Harga pelaksanaan / Harga strike (E) 3. Waktu jatuh tempo (T)
4. Volatilitas (σ)
5. Tingkat suku bunga bebas risiko (r) 6. Dividen (q).
Ada beberapa istilah di hubungan antara harga saham (S) dan harga pelaksanaan (E) untuk kasus opsi jual (put option) :
1. Jika S E, maka opsi jual dikatakan dalam keadaan out of money.
2. Jika S E, maka opsi jual dikatakan dalam keadaan at the money.
3. Jika S E, maka opsi jual dikatakan dalam keadaan in the money.
Payoff untuk opsi jual dengan E=10 pada t=T
Gambar 1 Payoff untuk opsi jual dengan E = 10 pada t = T
5 Model Harga Saham
Proses Markov merupakan suatu proses stokastik yang menyatakan bahwa peluang keadaan dari proses pada waktu mendatang tidak dipengaruhi oleh keadaan pada waktu-waktu yang lampau, tetapi hanya kejadian yang langsung mendahuluinya saja. Atau dengan kata lain, proses Markov merupakan proses dimana masa depan tidak tergantung pada sejarah masa lalu tetapi hanya tergantung pada keadaan sekarang. 1 Model saham menyatakan bahwa prediksi harga saham yang akan datang tidak dipengaruhi oleh harga satu minggu, satu bulan atau harga saham satu tahun yang lalu.7 Nama lain untuk proses stokastik ini adalah jalan acak (random walk). Proses jalan acak ini juga dinamakan proses gerak Brown (Brownian motion), sehingga sifat Markov dapat ditemukan pula pada gerak Brown.1
Model umum return dari aset dinyatakan dengan S
dS yang dibagi ke dalam dua bagian. Bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan dt . merupakan ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau dikenal sebagai drift. diasumsikan sebagai rate obligasi bebas risiko dan merupakan fungsi dari S dan t dan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan dB . Dalam rumus ini, didefinisikan sebagai volatilitas dari saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t . B dalam dB menotasikan gerak Brown. Sehingga, diperoleh persamaan diferensial stokastik:
dB S dt
dS (1)
dengan : = nilai ekspetasi rate of return saham
= volatitlitas saham yang merupakan standar deviasi dari return B = gerak Brownian atau proses Wiener7
Gerak Brown
Gerak Brown adalah gerak acak malar zarah zat padat mikroskopik bila tercelup di dalam medium fluida. Nama Brown dinisbatkan kepada Robert Brown (1773-1858). Ia menyebutkan bahwa penelitiannya tentang gerak acak ini berangkat dari temuan Leuwenhoek. Pada tahun 1827 ketika sedang meneliti zarah tepung sari, Brown menemukan gejala serupa yaitu zarah-zarah kecil bergerak secara acak dengan cepat (rapid oscillatory motion). Pada awalnya, Brown mengira gerak ini merupakan perwujudan suatu bentuk kehidupan, namun ternyata zarah-zarah tak organik yang kecil juga menunjukkan perilaku serupa.
Sumbangan Brown dalam menerangkan gejala rapid oscillatory motion ini adalah memberikan pijakan yang kuat bahwa gerakan ini merupakan gejala yang penting
6
dan membuktikan bahwa gerakan ini tidak hanya berlaku untuk zarah organik tetapi juga ditemui pada zarah tak organik.
Einstein mengandaikan bahwa zarah-zarah yang bergantung dalam sutu fluida secara bersama-sama menanggung gerak termal dari medium dan secara rata-rata tenaga kinetik translasi dari setiap zarah adalah 3/2 kT, sesuai prinsip ekipartisi energi. Dalam pandangan ini, maka gerak Brown berasal dari tumbukan molekul-molekul fluida dan zarah-zarah yang tergantung mendapatkan tenaga kinetik rata-rata yang sama seperti molekul-molekul fluida tersebut.
Zarah-zarah yang tergantung tersebut adalah sangat besar dibandingkan dengan molekul-molekul fluida dan semua sisinya ditembaki secara terus menerus oleh molekul-molekul tersebut. Jika zarah-zarah cukup besar dan jumlah molekul cukup banyak, maka jumlah molekul yang sama akan menumbuk semua sisi zarah-zarah pada setiap saat. Untuk zarah-zarah yang lebih kecil dan jumlah molekul yang lebih sedikit maka jumlah molekul yang menumbuk berbagai sisi zarah pada setiap saat semata-mata hanyalah merupakan kemungkinan. Besar jumlah ini mungkin tidak sama, sehingga akan terjadi fluktuasi.1
Model Black-Scholes
Model Black-Scholes merupakan suatu model yang digunakan untuk menentukan nilai opsi yang telah banyak digunakan di dunia keuangan, model ini hanya dapat digunakan pada penentuan nilai opsi tipe Eropa yang dijalankan pada waktu jatuh tempo (expiration date), sedangkan model ini tidak berlaku untuk opsi tipe Amerika karena opsi tipe Amerika dapat dijalankan setiap saat sampai waktu jatuh tempo (expiration date).
Ada beberapa asumsi untuk merumuskan nilai opsi yang dikembangkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes:
1. Sebaran harga saham adalah lognormal dan ragam dari return pada saham adalah konstan.
2. Tidak ada biaya transaksi dan pajak.
3. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe opsi Eropa.
Gambar 2 Zarah Brown yang tergantung di dalam fluida 14
7 4. Tidak ada kemungkinan arbitrase. Arbitrase adalah tindakan membeli sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga memperoleh keuntungan tanpa risiko.
5. Tingkat suku bunga bebas risiko jangka pendek diketahui dan nilainya konstan.
6. Perdagangan dari aset yang mendasari (underlying asset) bersifat kontinu.
7. Penjualan pendek (short selling) diizinkan.3
Untuk memodelkan persamaan Black-Scholes dibutuhkan beberapa definisi istilah, seperti:
1. Proses Stokastik
Proses stokastik X = {X(t) , t ∈ T} adalah kumpulan dari peubah acak. Untuk setiap t di kumpulan indeks T, X(t) ialah peubah acak. Intrepretasi t sebagai waktu dan X(t) ialah proses peubah acak pada waktu T. Ketika kumpulan indeks T tercacahkan disebut discrate-time stocasthic process dan ketika T kontinu, disebut continuous-time process.9
2. Gerak Brown
Proses stokastik X {X(t),tT disebut gerak Brown jika:
1. X(0)0
2. Untuk 0t0t2...tn peubah acak X(ti)X(ti1),i1,2,3,...n saling bebas, serta
3. Untuk t0,X(t) menyebar normal dengan rataan 0 dan ragam 2t. 9 3. Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1.9 4. Proses Wiener umum
Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut:
) ( )
(t adt bdW t
dX (2)
Dengan adt disebut komponen deterministik dan bdW(t) disebut komponen stokastik, serta W(t) adalah proses Wiener, sedangkan 𝑎 dan b masing- masing menyatakan rataan dan simpangan baku X.8
5. Proses Ito
Proses Ito adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak S dan waktu t. Secara aljabar proses Ito dinyatakan sebagai: 8
dWt t t X b dt t t X a t
dX( ) ( ( ), ) ( ( ), ) (3) 6. Lemma Ito
Misalkan fungsi F( tx, ) merupakan fungsi kontinu yang dapat diturunkan secara parsial terhadap x dan t , yaitu 2
2
,
, x
F x F t F
. Selanjutnya,
didefinisikan persamaan diferensial stokastik dari variable x dengan dengan drift rate a( tx, ) dan variance rate b2(x,t),
dW t x b dt t x a
dx ( , ) ( , ) (4)
8
dengan dW merupakan gerak Brown, a dan b adalah fungsi darixdan t . Maka fungsi F( tx, )akan mengikuti proses:
x dW t F x x b
t V x t b
t F x x a dF F
( , ) ( , )
2 ) 1
,
( 2
2
2 (5)
Derivatif Persamaan Black-Scholes
v(S,t) merupakan nilai opsi pada saham S dan pada waktu t. Jika persamaan (5) diterapkan pada Lemma Ito, maka didapatkan:
S dt S v t
v S S v SdB
S v t S
dv
2 2 22
2 ) 1
,
( (6)
Nilai portofolio 𝜋 yang terdiri dari opsi v dengan perubahan saham pada jangka pendek, yaitu:
S S v v
(7)
Perubahan nilai portofolio 𝑑𝜋 pada interval waktu singkat 𝑑𝑡 diberikan dengan:
S dt S v t
d v
2 2 22
2 1
(8)
Portofolio merupakan gabungan dari aset-aset. Portofolio ini dikatakan tidak beresiko karena tidak ada gerak random Brownian. Gerak Brownian menyebabkan terjadinya perubahan harga. Portofolio ini dikatakan konstan sehingga portofolio ini mempunyai pendapatan sama dengan saham jangka pendek lainnya yang bebas risiko. Jika pendapatan yang diperoleh lebih tinggi dari portofolio ini, maka arbitrase dapat memperoleh keuntungan dengan cara memilih saham bebas resiko ini untuk membeli portofolio. Tetapi jika pendapatan yang diperoleh lebih kecil maka arbitrase dapat memperoleh keuntungan bebas resiko dengan cara memilih portofolio dan menggunakan keuntungan ini untuk membeli saham bebas resiko. Portofolio bebas resiko dapat dinyatakan dengan,
dt r
d (9)
dimana r adalah suku bunga bebas resiko.
Dengan mensubstitusi d dan , 2 0
1
2 2 2
2
rv
S rS v S S v t
v (10)
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial Black-Scholes yang digunakan untuk menentukan harga opsi.7
9 Metode Beda Hingga
Metode numerik beda hingga adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan mengaproksimasikan turunan- turunan persamaan diferensial tersebut menjadi sistem persamaan linier.3 Pada umumnya, metode beda hingga digunakan untuk menyelesaikan secara numerik persamaan Black-Scholes. Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan untuk menerapkan metode beda hingga pada suatu permasalahan persamaan diferensial, yaitu:
1. Diskretisasi
Khusus pada permasalahan yang melibatkan persamaan diferensial parsial, pendekatan yang dilakukan adalah dengan membawa bentuk persamaan diferensial parsial yang kontinu menjadi bentuk diskret atau biasa disebut diskretisasi.10 Misalkan v(S,t) menyatakan nilai opsi maka persamaan Black- Scholes dapat ditulis sebagai:
0 ) , ) (
, ( )
, ( 2
1 ) , (
2 2 2
2
rv S t
S t S rS v S
t S S v
t t S
v (11)
Diskretisasi persamaan Black-Scholes pada waktu dan harga saham. Bidang )
,
(S t dipartisi menjadi mesh dan panjang untuk subinterval di antara mesh adalah S dan t . Selanjutnya, pada t dibagi menjadi M 1titik, yaitu
tM
t t
t0, 1, 2,..., . Titik-titik tersebut untuk mendiskretkan turunan terhadap waktu dengan t tm1tm dan t T M . Misalkan S dipartisi menjadi N1 titik, yaitu S0,S1,S2,...,SN. Titik-titik tersebut untuk mendiskretkan turunan harga terhadap harga saham S , dengan S Sn1Sn dan S SN N . Selanjutnya, nilai dari opsi pada waktu tm ketika harga saham Sn dinyatakan oleh:
) , ( m n
n
m v t S
v (12)
Dengan n0,1,2,...,N dan m0,1,2,...,M. 2. Aproksimasi
Aproksimasi diperoleh dari ekspansi deret Taylor. Misalkan, ekspansi deret Taylor untuk v(t,SS) dan v(t,SS) adalah sebagai berikut:
2 2 2
2 ) 1
, ( ) ,
( S
S S v
S s v t v S S t
v
(13)
2 2 2
2 ) 1
, ( ) ,
( S
S S v
S s v t v S S t
v
(14)
Menggunakan persamaan (13) diperoleh persamaan beda maju, yaitu:
S v v S
v nm nm
1 (15)
Menggunakan persamaan (14) diperoleh persamaan beda mundur, yaitu:
S v v S
v nm nm
1
(16)
10
Hasil pengurangan persamaan (14) dari (13) akan diperoleh persamaan beda pusat, yaitu:
S v v S
v nm nm
2
1
1
(17)
Aproksimasi turunan kedua dapat diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (13) dan (14), selanjutnya diperoleh:
2 1 1
2
2 2
S v v v
S
v nm nm nm
(18)
Ekspansi deret Taylor untuk v(tt,S) dan v(tt,S)
2 2 2
2 ) 1
, ( ) ,
( t
t t v t S v t v S t t
v
(19)
2 2 2
2 ) 1
, ( ) ,
( t
t t v t S v t v S t t
v
(20)
Menggunakan persamaan (18) dan (19), diperoleh: 11 t
v v t
v nm nm
1 (21)
METODE
Waktu dan Tempat
Penelitian ini dilaksanakan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi, Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor dimulai dari bulan September 2015 sampai bulan April 2016.
Prosedur Penelitian
Ada beberapa skema metode numerik beda hingga untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial. Dalam penelitian ini, skema metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan Black-Scholes adalah metode eksplisit.
Penyelesaian komputasi numerik pada penelitian ini menggunakan software Matlab R2012a (7.14.0.739).
Ada beberapa langkah dalam menyelesaikan solusi numerik persamaan Black-Scholes, antara lain:
a. Menentukan persamaan Black-Scholes yang akan diselesaikan.
b. Menentukan kondisi syarat awal dan syarat batas.
11 c. Menentukan persamaan saham berlintasan Brownian.
d. Melakukan simulasi numerik.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Black-Scholes
Persamaan Black-Scholes merupakan suatu persamaan diferensial parsial orde dua. Fischer Black dan Myron Scholes menemukan persamaan untuk menghitung nilai opsi yang adil di pasar modal pada tahun 1973. Persamaan ini sekarang lebih dikenal dengan persamaan Black-Scholes. Persamaan ini penggunaannya terbatas pada tipe opsi Eropa dimana opsi dapat dieksekusi hanya pada waktu berakhirnya kontrak opsi.
Secara umum persamaan Black-Scholes adalah sebagai berikut:
2 0 1
2 2 2
2
rv
S rS v S S v t
v
Diskretisasi menggunakan persamaan (16), (17), dan (20), maka persamaan Black-Scholes menjadi:
dt
dS rS dS
v S dt
dS r v S
dS dt rS dS
v S
vnm nm nm nm
2 2
1 1 2
1 2
2 1
2 2 2 1
2 1 2 2 1
2 2 2 1
1
Perbedaan antara opsi tipe Eropa dan Amerika terletak pada waktu eksekusinya. Opsi tipe Eropa dapat dieksekusi hanya pada waktu saat kesepakatan kontrak opsi berakhir. Hal ini berbeda dengan opsi tipe Amerika yang dapat dieksekusi pada waktu kesepakatan kontrak opsi mulai berlaku sampai kontrak opsi berakhir. Perbedaan ini membuat rumus Black-Scholes untuk opsi tipe Amerika pun berbeda. Secara umum persamaan Black-Scholes untuk opsi tipe Amerika menjadi:
2 0 1
2 2 2
2
rv
S rS v S S v t
v (23)
Diskretisasi menggunakan persamaan (16), (17), dan (20), maka persamaan Black-Scholes untuk opsi tipe Amerika menjadi:
nm nm nm nm
m
n dt v
dS rS dS v S
dt dS r
v S dS dt rS dS v S
v ,
2 2
1 1 2
1 2
2
max 1 2
2 2 1 2 1
2 2 1
2 2 2 1 1
Syarat Awal dan Syarat Batas
Jika pada saat waktu T, harga strike kurang dari harga saham saat ini dan opsi jual akan menguntungkan ketika hal ini terjadi.12
,0
max ) ,
(S t E S
P (25)
12
Persamaan (25) merupakan syarat awal dari pemodelan harga opsi dengan saham berlintasan Brownian.
Selanjutnya, syarat batas pada pemodelan ini ialah pada saat S 0 dan
S . Jika saat waktu tertentu S 0 , keuntungan akhir dari opsi jual ialah sebesar harga strike (E). Lalu untuk menentukan P( t0, ) diperlukan penentuan nilai harga strike di waktu T yang dirumuskan seperti berikut:
)
) (
,
(S t Ee rT t
P (26)
Pada saat S , opsi tidak akan dieksekusi seperti yang dirumuskan pada persamaan (27)
0 ) , (S t
P (27)
Persamaan Saham berlintasan Brownian Persamaan saham berdasarkan persamaan (5) :
dB S dt
dS Lalu persamaan (5) menjadi:
SdB Sdt
dS (28)
dS didefinisikan menjadi persamaan (29) dan (30), S
dS (29)
1
Sj Sj
S (30)
Substitudi persamaan (29) dan (30) ke dalam persamaan (5) menjadi:
SdB Sdt
S
dB S t S S
Sn n1 n1 n1 dB S t S S
Sn n1 n1 n1
Sehingga persamaan saham berlintasan Brownian menjadi:
) 1
1( dt dB
S
Sn n (31)
Selanjutnya persamaan gerak saham berlintasan Brownian seperti persamaan (31) akan digunakan dalam simulasi numerik dengan 𝑑𝐵 menggunakan random generator pada matlab fungsi rand untuk fluktuasi kecil dan fungsi randn untuk fluktuasi besar.
13
Simulasi Numerik
Pada bagian ini akan ditunjukkan hasil simulasi numerik. Hasil simulasi ini menggunakan software Matlab R2012a (7.14.0.739) dan algoritme komputasinya dapat dilihat pada lampiran 1. Plot grafik pada model ini mengambil nilai opsi dari matriks mnnilai opsi pada t sama dengan t saham. Model opsi yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Opsi jual tipe Eropa
Instrumentasi keuangan derivatif opsi adalah suatu kontrak atau perjanjian diantara dua pihak. Pihak pertama selaku pembeli kontrak opsi (option holder) dan pihak kedua ialah penjual kontrak opsi (option writer). Pihak pertama memiliki hak bukan kewajiban untuk menjual kontrak opsi jual kepada pihak kedua terhadap suatu aset tertentu pada harga dan waktu yang telah disepakati sebelumnya.2
Opsi jual akan menarik di pihak pertama (option holder) pada saat dinamika harga saham yang mendasari opsi mengalami trend negative. Hal ini tidak membuat kontrak opsi jual menjadi tidak menarik bagi sebagian calon option holder. Karakteristik dari opsi yang merupakan hak dan bukan kewajiban untuk menjalankan kontrak menjadikan kontrak opsi jual akan selalu menarik mengingat pergerakan harga saham yang tidak bisa dianalisis secara akurat.
Pada penelitian ini pergerakan harga saham dimodelkan berlintasan Brownian dimana terjadi fluktuasi harga dengan kecenderungan harganya ialah naik. Tipe opsi jual yang selanjutnya akan dimodelkan ialah tipe Eropa. Option holder hanya bisa mengeksekusi kontraknya pada expiration date saja.
Selanjutnya, pemodelan dinamika harga opsi jual dari dinamika harga saham yang mendasarinya menggunakan fungsi rand untuk fluktuasi harga saham kecil dan fungsi randn untuk fluktuasi harga saham besar pada Matlab.
Gambar 3 Dinamika harga opsi jual terhadap pergerakan harga saham
14
Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual dari dinamika saham yang mendasarinya adalah S(1)6.45, r 0.05, 0.0186,
25 .
7
E . Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan
10
M dan N 10 yang hasilnya disajikan pada gambar 3. Dari gambar 3 dapat ditunjukkan bahwa semakin meningkatnya harga saham pada kontrak opsi yang memiliki waktu jatuh tempo (expiration date) 10 hari maka akan menurunkan harga opsi jual. Dalam keadaan seperti ini, apabila harga saham pada expiration date lebih besar dari harga strike, Sed > E, maka pemegang kontrak opsi (option holder) tidak akan mengeksekusi kontraknya karena akan lebih menguntungkan menjual aset saham tersebut di pasar saham.
Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual dari dinamika saham yang mendasarinya menggunakan random generator pada Matlab untuk fluktuasi kecil adalah S(1)6.45 , r0.05 , 0.0186 , E7.25 . Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M 10 dan
10
N yang hasilnya disajikan pada gambar 4.
Gambar 4 menunjukkan bahwa dinamika pergerakan saham yang fluktuatif berpengaruh terhadap harga opsi . Pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil menunjukkan harga saham yang lebih variatif dibandingkan dengan gambar 2.
Harga saham seperti ini membuat harga opsi semakin menarik, terlihat pada harga opsi baru sampai pada titik 0 pada saat hari terakhir kontrak opsi berakhir.
Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual dari dinamika saham yang mendasarinya menggunakan random generator pada Matlab untuk fluktuasi besar adalah S(1)6.45 , r 0.05 , 0.0186 , E 7.25 . Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M 10 dan
10
N yang hasilnya disajikan pada gambar 5.
Gambar 4 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil
15 Gambar 5 menunjukkan bahwa dinamika pergerakan saham yang lebih fluktuatif terjadi. Pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar menimbulkan adanya penurunan harga saham saat hari ke-2 kontrak opsi berlaku dan mengalami penurunan dari hari ke-9 ke hari ke-10 atau saat kontrak opsi berakhir. Harga opsi merupakan turunan dari dinamika pergerakan harga saham. Harga opsi setelah sampai ke titik 0 masih berfluktuatif naik pada hari ke-5 dan di hari ke-7.
Pemodelan harga saham dengan fluktuasi besar lebih mendekati pada keadaan sebenarnya di pasar saham dimana harga saham per hari bisa saja turun dan bisa saja naik.
Gambar 5 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar
Gambar 6 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan saham dengan fluktuasi besar untuk jumlah iterasi 100
16
Pemodelan pergerakan saham dengan fluktuasi kecil (Gambar 6) untuk
100
M dan N 100 menunjukkan bahwa pada kontrak opsi sudah tidak bernilai mulai hari ke-13 karena pergerakan saham yang sudah melewati harga strike. Sudah dapat dipastikan option holder di saat expiration date tidak akan mengeksekusi kontrak opsi karena akan lebih menguntungkan jika menjual saham di pasar saham.
Pemodelan pergerakan saham dengan fluktuasi besar (Gambar 7) untuk
100
M danN 100menunjukkan bahwa kontrak opsi bernilai 0.2 pada saat expiration date. Pergerakan saham dengan fluktuasi besar membuat pemodelan dinamika harga opsi maupun harga saham lebih berdinamika. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, penggunaan pergerakan saham fluktuasi besar pada pemodelan dinamika harga opsi terhadap harga saham lebih mendekati ke keadaan sebenarnya.
Gambar 8 menunjukkan dinamika harga opsi terhadap harga saham PT Astra International, Tbk (ASII) selama periode Februari 2016. Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual tipe Eropa dari dinamika saham yang mendasarinya adalah S(1)6.45 , r 0.05 , 0.0186 , E 7.25 . Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M 21 dan
21
N yang hasilnya disajikan pada gambar 4. Option holder pada expiration date mempunyai pilihan mengeksekusi opsinya atau tidak karena opsi bernilai 0.87.
Gambar 7 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil untuk jumlah iterasi 100
Gambar 8 Dinamika harga opsi jual tipe Eropa terhadap harga saham PT. Astra International, Tbk. periode Februari 2016
17 2. Opsi jual tipe Amerika
Opsi jual tipe Amerika mempunyai suatu kekhususan yaitu kebebasan waktu eksekusi. Option holder dapat melaksanakan opsi mulai dari waktu berlakunya kontrak opsi sampai berkakhirnya kontrak tersebut. Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual tipe Amerika dari dinamika saham yang mendasarinya adalah S(1)6.45 , r0.05 , 0.0186 , E7.25 . Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M 100dan
100
N yang hasilnya disajikan pada gambar 9 dan gambar 10.
Gambar 10 menunjukkan dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil. Option holder disarankan untuk mengeksekusi opsi jual sebelum hari ke-12. Setelah hari ke-12, opsi bernilai 0 karena pergerakan harga saham yang semakin tinggi dari hari ke hari. Keadaan seperti ini menganjurkan option holder untuk segera mengeksekusi opsinya atau tidak melaksanakan opsinya dan menjual aset saham di pasar saham.
Pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar ditunjukkan pada Gambar 9.
Pemodelan seperti ini memperlihatkan keadaan yang paling menguntungkan untuk mengeksekusi opsi jual tipe Amerika. Pada hari ke-32 saat opsi bernilai 1.19 ialah posisi yang sangat disarankan untuk mengeksekusi opsi karena mempunyai nilai opsi tertinggi dibandingkan dengan posisi lainnya. Pemodelan dengan pergerakan harga saham berlintasan Brownian dengan fluktuasi besar untuk opsi jual tipe Amerika berguna untuk analisis awal calon option holder agar keuntungan yang diperoleh dari kontrak opsi jual maksimal.
Gambar 11 menunjukkan dinamika harga opsi terhadap harga saham PT Astra International, Tbk selama periode Februari 2016. Parameter-parameter yang digunakan untuk melihat dinamika opsi jual tipe Amerika dari dinamika saham yang mendasarinya adalah S(1)6.45 , r0.05 , 0.0186 , E7.25 . Pemodelan ini menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan M 21dan
21
N yang hasilnya disajikan pada gambar 10. Option holder disarankan mengeksekusi segera kontrak opsi di hari ke-3 saat opsi jual bernilai 1.125.
Gambar 9 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi kecil
18
Gambar 11 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham PT. Astra International, Tbk. periode Februari 2016
Gambar 10 Dinamika harga opsi jual tipe Amerika terhadap pergerakan harga saham dengan fluktuasi besar
19
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dalam penelitian ini telah berhasil dalam menyelesaikan solusi numerik persamaan Black-Scholes dengan lintasan saham Brownian dengan menggunakan metode beda hingga eksplisit. Dinamika harga opsi jual terhadap harga saham yang berfluktuasi besar memberikan analisis lebih kompleks dibandingkan dengan fluktuasi kecil. Peggunaan model Black-Scholes pada harga saham PT. Unilever, Tbk. periode Februari 2016 pada tipe Opsi Amerika memberikan analisis kepada option holder mengenai dinamika harga opsi jual terhadap harga saham sebagai upaya mendapatkan keuntungan maksimal.
Saran
Persamaan Black-Scholes merupakan persamaan yang digunakan untuk menentukan nilai opsi tipe Eropa. Dalam penelitian ini, nilai opsi Eropa dan Amerika menggunakan asumsi tidak adanya dividen, serta parameter r dan 𝜎 dibuat tetap. Metode eksplisit beda hingga digunakan untuk menyelesaikan solusi numerik dari model Black-Scholes dengan lintasan saham Brownian.
Penyelesaian numerik model Black-Scholes juga dapat menggunakan metode beda hingga lain seperti, metode upwind, metode Crank-Nicholson, dan metode finite volume.
DAFTAR PUSTAKA
1. Resmiyanto Rachmad. Nalar Fisika di Pasar Saham: Pengantar Ekonofisika.
Yogyakarta: GRE Publishing. 2014.
2. Weston J.F & Copeland T.E. Manajemen Keuangan. Binarupa Aksara: Jakarta.
1995.
3. Affandi Irfan Nur. Penyelesaian numerik model Black-Scholes menggunakan metode beda hingga upwind [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
2014.
4. Sartono R.A. Manajemen Keuangan: Teori dan Aplikasi. BPE: Yogyakarta.
1996.
5. Berlianta, H.C. Mengenal Valuta Asing. Gajah Mada University Press:
Yogyakarta. 2005.
6. Keown A.J, Yermukanova Binur, Zhexembay Laila. Dasar-Dasar Manajemen Keuangan Buku 2. Salemba Empat: Jakarta. 2000.
7. Prahmana Rully Charitas I, Sumardi. Penentuan harga opsi untuk model Black- Scholes menggunakan metode beda hingga Crank-Nicolson, dipresentasikan pada Konferensi Nasional Matematika (KNM) XIV IndoMS di Universitas Sriwijaya, Palembang, 24-27 Juli 2008.
8. Hull JC. Option, Future, and Other Derivatives. Ed ke-7. New Jersey(US):
Pearson Education. 2009.
20
9. Ross SM. Introduction to Probability Models. Ed ke-9. South California (US): Elsevier. 2007.
10. Darmianti Rahmi. Penetuan harga opsi barrier dengan metode beda hingga eksplisit dan implisit [skripsi]. Makassar (ID): Universitas Hasanuddin. 2013.
11. Niwiga DB. Numerical method for valuation of financial derivatives [tesis]. South Africa (ZA): University of Western Cape. 2005
12. Karjanto Natanael, et all. Black-Scholes Equation [paper]. New York (US): Cornell University. 2015.
13. Endang Triana. Model peramalan harga saham dengan jaringan syaraf tiruan propagasi balik [tesis]. Bogor (ID): Bogor Agricultural University. 2008.
14. Wilmott P. Introduces Quantitative Finance. New York (US): John Wiley&Sons. 2001.
21
LAMPIRAN
No. Tanggal
Harga Saham (IDR) 1 1-Feb-16 6.350 2 2-Feb-16 6.125 3 3-Feb-16 6.200 4 4-Feb-16 6.325 5 5-Feb-16 6.650 6 6-Feb-16 6.650 7 7-Feb-16 6.775 8 8-Feb-16 6.800 9 9-Feb-16 7.125 10 10-Feb-16 6.825 11 11-Feb-16 6.775 12 12-Feb-16 6.900 13 13-Feb-16 7.000 14 14-Feb-16 7.050 15 15-Feb-16 6.900 16 16-Feb-16 6.750 17 17-Feb-16 6.525 18 18-Feb-16 6.400 19 19-Feb-16 6.425 20 20-Feb-16 6.800 21 21-Feb-16 6.800
Sumber: http//finance.yahoo.com
Lampiran 1 Tabel Harga Saham PT. Astra International, Tbk. periode Februari 2016
22
%RANDN
%kasus put option clear all;
clc;
s(1)=6.45; %harga saham awal r=0.05; %Tingkat Bagi Hasil
sigma=0.0186; % Volatilitas Saham M=100; % Number of time points
N=100; % Number of share price points
T=1; % Maturation (expiry)of contract dalam tahun u=0.005; %mu=nilai ekspetasi "rate of return" saham v(1:N,1:M) = 0.0;
dt=T/M;
load('random');
for p=2:N t(p)=p*dt;
s(p)=(s(p-1))*(1+sigma*rrandomm(p-1)+u*dt);
ds=s(p)-s(p-1);
end
E=7.25*ones(size(1:N));
v(1,1:M)= E*exp(-r*(T-t(p)));
v(N+2,1:M)= zeros(M,1)';
v(2:N+1,1)=max((E-s),zeros(size(1:N)));
aa= ((((-0.5*sigma^2*s.^2)/ds^2)-(r*s./2*ds))*dt);
bb= (((((-0.5*sigma^2*s.^2)/ds^2)+r)*dt)+1);
cc= ((((-0.5*sigma^2*s.^2)/ds^2)-(r*s./2*ds))*dt);
for i=2:M
for j=2:N+1
v(j,i)= (v(j+1,i-1)*aa(j-1))+(v(j,i-1)*bb(j-1))+(v(j- 1,i-1)*cc(j-1));
if v(j,i)<0;
v(j,i)=0;
else
v(j,i)=v(j,i);
end end
end
for i=2:M+1
W(i-1)=v(i-1,i-1);
end figure(1) for i=1:N q(i)=i;
e(i)=s(1,i);
r(i)=W(1,i);
[ax, h1, h2]=plotyy(q(1,:),e(1,:),q(1,:),r(1,:),'plot');
grid off;
set(gca,'color',[1 1 1]) xlabel('waktu')
set(get(ax(1), 'Ylabel'), 'String', 'Saham');
set(get(ax(2), 'Ylabel'), 'String', 'Opsi');
pause(0.1) end
Lampiran 2 Program Matlab
23
RIWAYAT HIDUP
Putri kelahiran Jakarta pada tanggal 28 Maret 1994 dari pasangan Deni Awaludin dan Muhinah diberi nama Mutiara Dewi Lestari. Mutiara terlahir sebagai anak tengah dimana mempunyai satu kakak perempuan dan satu adik perempuan. Hampir seluruh pendidikan formal diselesaikan olehnya di kota Bogor. Mulai dari TK Indria Ciomas Bogor (1998-2000), SDN Panaragan 1 Bogor (2000-2006), SMPN 4 Bogor (2006-2009), dan SMAN 5 Bogor (2009-2012). Mutiara lolos seleksi SNMPTN Undangan dan berkuliah di Institut Pertanian Bogor mulai bulan Juli 2012.
Penulis pernah berpatisipasi menjadi panitia kegiatan mahasiswa seperti, Gebyar Nusantara 2014 serta IPB Art Contest 2014 juga Pesta Sains Nasional 2013, 2014, dan 2015. Selain itu, di tahun 2014 penulis pernah menjadi volunter Exchange Winter Programme Aiesec Chapter IPB. Selain aktif menjadi panitia kegiatan mahasiswa, penulis menekuni salah satu hobinya yaitu menjadi Master of Ceremony. Penulis pernah menjadi MC di beberapa acara yang diselenggarakan oleh Himafi, BEM FMIPA, dan FFI Chapter Bogor. Penulis pernah menjabat sebagai sekretaris departemen PSDM Himafi 2015 dan staf divisi health and education komunitas FFI Chapter Bogor pada tahun 2014-2015. Penulis bersama rekan-rekannya ialah penerima dana hibah DIKTI untuk program usulan PKM bertema kayu gelam tahun 2015. Penulis dapat dihubungi melalui [email protected].
