EVALUASI PREMI POLIS JOINT LIFE PASANGAN SUAMI ISTRI MENGGUNAKAN COPULA FRANK
SUKU BUNGA STOKASTIK
SKRIPSI
Sri Haryani 11160940000016
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2021 M / 1441 H
i
EVALUASI PREMI POLIS JOINT LIFE PASANGAN SUAMI ISTRI MENGGUNAKAN COPULA FRANK
SUKU BUNGA STOKASTIK
Skripsi
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh:
Sri Haryani 11160940000016
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2021 M/1441H
ii
PERNYATAAN KEASLIAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR- BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, Maret 2021
Sri Haryani jgfhg NIM. 11160940000016
iii
LEMBAR PENGESAHAN
Skripsi ini berjudul “Evaluasi Premi Polis Joint Life Pasangan Suami Istri Menggunakan Copula Frank Suku Bunga Stokastik” yang ditulis oleh Sri Haryani NIM. 11160940000016 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang Munaqasah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Rabu, 24 Maret 2021. Skripsi ini telah diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan sidang skripsi dalam memperoleh gelar sarjana strata satu (S1) Program Studi Matematika
Menyetujui,
Mengetahui,
iv
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Sri Haryani
NIM : 11160940000016
Program Studi : Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya menyetujui untuk memberikan Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive-Free Right) kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta atas karya ilmiah saya yang berjudul :
“EVALUASI PREMI POLIS JOINT LIFE PASANGAN SUAMI ISTRI MENGGUNAKAN COPULA FRANK SUKU BUNGA STOKASTIK”
Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan Hak Bebas Royalti Non- Eksklusif ini, Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta berhak menyimpan, mengalihmedia/formatkan, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data (database), mendistribusikannya, dan menampilkan/mempublikasikannya di internet dan media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Segala bentuk tuntutan hukum yang timbul atas pelanggaran Hak Cipta karya ilmiah ini menjadi tanggung jawab saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Tangerang Selatan Pada Tanggal : 24 Maret 2021 Yang membuat pernyataan
(Sri Haryani)
v
PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan untuk orang yang paling berharga dalam hidup saya Ibu dan Bapak yang selalu memberikan semangat tanpa henti dan selalu
mendoakan yang terbaik untuk saya
MOTTO
Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya Q.S Al Baqarah ayat 286
vi
ABSTRAK
Sri Haryani, Evaluasi Premi Polis Joint Life Pasangan Suami Istri menggunakan Copula Frank Suku Bunga Stokastik. Dibawah bimbingan Mahmudi, M.Si. dan Nurmaleni, M.Si.
Penelitian ini membahas tentang bagaimana cara perhitungan premi tahunan asuransi jiwa joint life untuk dua orang yang diasumsikan suami istri. Peluang kematian antara suami istri diasumsikan tidak saling bebas, keterkaitan peluang kematian suami istri menggunakan dependensi mortalitas Copula Frank. Parameter 𝛼 untuk Copula Frank yaitu diasumsikan sebesar -3.367, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, dan 1. Suku bunga pada penelitian ini menggunakan suku bunga stokastik, yaitu Vasicek, Langevin, dan CIR dimana suku bunga awal 𝑟(0) diasumsikan sebesar 4.5%, 4.75%, 5%, 5.55%, dan 6%. Penelitian ini menggunakan asuransi berjangka 𝑛-tahun dengan masa perjanjian 10 tahun kemudian besar benefit yang akan diterima oleh ahli waris diasumsikan Rp. 100,000,000,- dimana benefit diberikan pada akhir tahun kematian pertama peserta asuransi. Premi tahunan terkecil diperoleh dari pasangan suami istri dengan usia suami 60 tahun dan usia istri 55 tahun dengan suku bunga tipe Langevin, nilai suku bunga awal 𝑟(0) sebesar 6%
dan 𝛼 sebesar -3.367 yaitu Rp. 2,272,299,-Sedangkan premi terbesar adalah untuk pasangan suami istri dengan usia suami 70 tahun dan usia istri 65 tahun dengan suku bunga Vasicek, nilai 𝑟(0) awal sebesar 4.5% dan 𝛼 sebesar 1 yaitu Rp.
6,389,965.-. Hal ini disebabkan karena semakin kecil nilai suku bunga awal 𝑟(0) maka semakin besar premi yang harus dibayarkan, dan semakin kecil nilai parameter 𝛼 untuk Copula Frank semakin kecil premi yang harus dibayarkan.
Kata Kunci : Asuransi Jiwa Berjangka 𝑛 −tahun, Copula Frank, Vasicek, Langevin, Cox Ingersoll Ross (CIR).
vii
ABSTRACT
Sri Haryani, Evaluation of Joint Life Policy Premium of Married Couples using Copula Frank Stokastik Interest Rate. Under the guidance of Mahmudi, M.Si. and Nurmaleni, M.Si.
This research discusses how to calculate the annual premium of joint life insurance for two people who are assumed to be husband and wife. The probability of death between husband and wife are assumed dependent, the dependency probability of death of the husband and wife using the mortality dependency of Copula Frank.
The α parameter for Copula Frank is assumed to be -3,367, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, and 1. Interest rates in this study used stochastic interest rates, it is Vasicek, Langevin, and CIR where the initial interest rate of r(0) is assumed to be 4.5%, 4.75%, 5%, 5.55%, and 6%. This study uses n-year term insurance with an agreement period of 10 years later the amount of benefits that will be received by the heirs is assumed to be Rp. 100,000,000,- where the benefit is given at the end of the first death year of the insurance participant. The smallest annual premium is obtained from married couples with the age of husband 60 years and wife age 55 years with Langevin type interest rate, initial interest rate r(0) of 6% and α of -3,367 which is Rp. 2,272,299,- While the largest premium is for married couples with the age of husband 70 years and wife age 65 years with Vasicek interest rate, initial r(0) value of 4.5% and α of 1 i.e. Rp. 6,389,965.-. This is because the smaller the initial interest rate r(0) the larger the premium to be paid, and the smaller the parameter value of the α for Copula Frank the smaller the premium to be paid.
Keywords: N-year Term Life Insurance, Copula Frank, Vasicek, Langevin, Cox Ingersoll Ross (CIR).
viii
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum wr. Wb.
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian yang berjudul
“Evaluasi Premi Polis Joint Life Pasangan Suami Istri Menggunakan Copula Frank Suku Bunga Stokastik”. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW, yang kita nanti-natikan syafa’atnya di yaumil qiyamah nanti. Aamiin.
Dalam penyusunan skripsi ini penulis mendapat banyak bantuan, bimbingan, saran, dan dukungan dari berbagai pihak. Maka dari itu penulis menyampaikan terimakasih kepada:
1. Bapak Ir. Nashrul Hakiem, S.Si., M.T., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
3. Ibu Irma Fauziah, M.Sc., selaku Sekretaris Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
4. Bapak Mahmudi, M.Si., selaku pembimbing I dan Ibu Nurmaleni, M.Si.
selaku pembimbing II terimakasih atas saran, arahan dan ilmu yang diberikan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
5. Ibu Irma Fauziah, M.Sc. selaku selaku penguji I dan Ibu Madona Yunita Wijaya, M.Sc., selaku penguji II, terima kasih atas kritik dan sarannya kepada penulis selama melaksanakan seminar hasil dan sidang skripsi.
6. Kedua orang tua penulis Ibu Pariyem dan Bapak Sastro Diharjo yang telah memberikan dukungan baik moril maupun materil serta curahan do’a yang tiada henti – hentinya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
ix
7. Kakak penulis Mas Kuat, Mba Ira, Mba Tri, Mas Lihin, Mas Osep, keponakan, dan sepupu yang selalu memberikan motivasi dan semangat dalam penyusunan skripsi ini.
8. Sahabat-sahabat terhebat Aqmarina Khairiah, Saskia Sahrain, Nadila Amalia, Laila Siti Nur Asyifa, Cucun Cunaeti, Kenia, dan Puji Julianti yang selalu membersamai dari awal kuliah hingga selesainya penyusunan skrispsi ini.
9. Teman-teman semasa SMA Ana, Nova, Ervita, Nana, Nopri, dan Hilman yang masih terus menemani hingga sampai saat ini.
10. Teman-teman mahasiswa matematika 2016 yang sudah membantu selama perkuliahan yang tidak dapat disebutkan satu-persatu.
11. Seluruh pihak yang secara langsung maupun tidak langsung telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh akan sempurna, oleh karena itu penulis akan sangat berterimakasih atas saran dan kritik yang membangun dari pembaca. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Wassalamualaikum wr. wb.
Ciputat, Maret 2021
Penulis
x
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN ... iii
PUBLIKASI ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... iv
PERSEMBAHAN ... iv
ABSTRAK ... vi
ABSTRACT ... vii
KATA PENGANTAR ... viii
DAFTAR TABEL ... xiii
DAFTAR LAMBANG ... xiv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Penelitian ... 3
1.4 Batasan Masalah ... 4
1.5 Manfaat Penelitian ... 4
BAB II LANDASAN TEORI ... 6
2.1 Tabel Mortalita... 6
2.2 Teori Single Life ... 6
2.2.1 Fungsi Sebaran dan Fungsi Survival ... 6
2.2.2 Sisa Waktu Hidup ... 7
2.2.3 Peluang Hidup dan Peluang Kematian ... 7
2.3 Teori Joint Life ... 7
2.3.1 Joint Life ... 7
2.3.2 Sisa Waktu Hidup Terpendek Joint Life ... 7
xi
2.3.3 Peluang Hidup dan Peluang Kematian Joint Life ... 8
2.3.4 Tabel Mortalita Joint Life ... 8
2.4 Persamaan Diferensial Stokastik... 9
2.5 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik... 10
2.5.1 Suku Bunga Vasicek ... 10
2.5.2 Suku Bunga Langevin... 12
2.5.3 Suku Bunga Cox-Ingersoll-Ross (CIR) ... 15
2.6 Asuransi Jiwa ... 17
2.6.1 Asuransi Jiwa Berjangka 𝑛 −tahun untuk Single Life ... 17
2.6.2 Asuransi Jiwa Berjangka 𝑛 −tahun untuk Joint Life ... 18
2.7 Anuitas Hidup ... 19
2.7.1 Anuitas Jiwa Berjangka 𝑛 −tahun untuk Single Life ... 19
2.7.2 Anuitas Jiwa Berjangka 𝑛 −tahun untuk Joint Life ... 19
2.8 Copula ... 19
2.9 Copula Archimedean ... 20
2.9.1 Copula Frank... 20
BAB III METODOLOGI PENELITIAN... 23
3.1 Data Penelitian ... 23
3.2 Pengolahan Data ... 23
3.3 Alur Penelitian ... 24
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 25
4.1 Hasil Penelitian ... 25
4.1.1 Menentukan Usia Peserta, Waktu Perjanjian, dan Besar Benefit .. 25
4.1.2 Menentukan Suku Bunga Stokastik yaitu Vasicek, Langevin dan CIR ... 25
xii
4.1.3 Menghitung Nilai Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka
𝑛 − Tahun ... 27
4.1.4 Menghitung Nilai Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 𝑛 −tahun ... 34
4.1.5 Menghitung Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 𝑛 −tahun ... 37
4.2 Pembahasan... 38
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 45
5.1 Kesimpulan ... 45
5.2 Saran ... 45
REFERENSI ... 46
LAMPIRAN ... 48
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2. 1 Fungsi Copula Archimedean dan Parameter ... 21 Tabel 4. 1 Bilangan Acak dengan 50 Simulasi ... 26 Tabel 4. 2 Hasil Nilai 𝑟(𝑡) untuk Suku Bunga Stokastik dengan 𝑟0 = 4.75% .... 27 Tabel 4. 3 Nilai Faktor Diskonto Suku Bunga Stokastik dengan 𝑟(0) = 4.75% .. 28 Tabel 4. 4 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Pasangan Suami Istri dengan 𝛼 sebesar -3.367 dan 𝑟(0) sebesar 4.75% ... 33 Tabel 4. 5 Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Frank dengan 𝛼 sebesar -3.367 dan 𝑟(0) sebesar 4.75% ... 36 Tabel 4. 6 Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Frank dengan 𝛼 sebesar -3.367 dan 𝑟(0) sebesar 4.75% ... 37 Tabel 4. 7 Rentang Premi Tahunan dari Pasangan Suami Istri dari Berbagai Suku Bunga Stokastik dan Parameter untuk Copula Frank... 39 Tabel 4. 8 Uji Normalitas Shapiro-Wilk ... 42 Tabel 4. 9 Output Test of Within-Subjects Effect Uji Repeated Measures Anova42
xiv
DAFTAR LAMBANG
𝑥 : Usia suami dalam satuan tahun 𝑦 : Usia istri dalam satuan tahun 𝑣 : Faktor diskonto
𝑖 : Tingkat suku bunga 𝑇(𝑥) : Sisa umur hidup 𝑥
𝑝𝑥
𝑡 : Peluang seseorang berusia 𝑥 tahun yang bertahan hidup mencapai usia (𝑥 + 𝑡) tahun
𝑞𝑥
𝑡 : Peluang seseorang berusia 𝑥 tahun akan meninggal sebelum usia (𝑥 + 𝑡) tahun
𝑆(𝑥) : Fungsi survival 𝐹𝑋(𝑥) : Fungsi distribusi
𝑑𝑥 : Banyaknya orang berusia 𝑥 tahun yang meninggal sebelum mencapai usia (𝑥 + 1) tahun
𝑙𝑥 : Banyaknya orang berusia 𝑥 tahun yang bertahan hidup 𝑏𝑘+1 : Benefit dari usia 𝑘 + 1
𝐴 1 𝑥:𝑛̅⌉
: Premi tunggal asuransi berjangka 𝑛-tahun dengan pembayaran manfaat kematian sebesar 1 unit
𝑎̈𝑥:𝑛|̅̅̅ : Anuitas awal berjangka 𝑛-tahun untuk seseorang berusia 𝑥 𝜑 : Fungsi pembangkit (generator) dari copula 𝐶
𝑊(𝑡) : Proses Wiener
𝑟(𝑡) :Tingkat suku bunga pada waktu ke t 𝜃 : Nilai rata – rata jangka panjang dari 𝑟(𝑡) 𝑘 : Kecepatan 𝑟(𝑡) kembali menuju 𝜃 𝜎
𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡) 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡) 𝑑𝑊(𝑡)
: Standar deviasi
: Drift dari tingkat suku bunga : Volatilitas tingkat suku bunga : Gerak Brown atau proses wiener
1
BAB I PENDAHULUAN PENDAHULAN
1.1 Latar Belakang
Seorang kepala keluarga mempunyai kewajiban untuk menafkahi istrinya.
Islam mengajarkan kepala keluarga untuk memberikan nafkah kepada istrinya selama setahun lamanya jika orang tersebut akan meninggalkan istrinya. Hal tersebut dijelaskan dalam firman Allah Subhanahu wa Ta’ala pada Q.S Al Baqarah ayat 260 yang berbunyi:
Artinya: “Dan orang-orang yang akan meninggal dunia di antara kamu dan meninggalkan isteri, hendaklah berwasiat untuk isteri-isterinya, (yaitu) diberi nafkah hingga setahun lamanya dan tidak disuruh pindah (dari rumahnya). Akan tetapi jika mereka pindah (sendiri), maka tidak ada dosa bagimu (wali atau waris dari yang meninggal) membiarkan mereka berbuat yang ma'ruf terhadap diri mereka. Dan Allah Maha Perkasa lagi Maha Bijaksana.”
Sebagai bentuk perlindungan dalam menanggulangi risiko kematian mengikuti asuransi jiwa sangat dianjurkan. Pihak perusahaan dari asuransi jiwa akan memberikan perlindungan atas risiko yang terjadi kepada peserta asuransi.
Perlindungan tersebut didapatkan ketika peserta asuransi membayarkan sejumlah uang kepada pihak asuransi dengan jangka waktu yang telah disepakati.
Terdapat beberapa jenis asuransi jiwa, berdasarkan banyaknya peserta, asuransi jiwa terbagi menjadi dua yaitu asuransi jiwa perorangan dan asuransi jiwa gabungan. Asuransi jiwa gabungan dibagi menjadi dua yaitu asuransi jiwa last survivor dan asuransi jiwa joint life. Asuransi jiwa joint life merupakan asuransi
2
jiwa gabungan dengan benefit dibayarkan oleh perusahaan asuransi ketika terjadi kematian pertama dari salah satu peserta asuransi pada masa perjanjian. Sedangkan asuransi jiwa last survivor merupakan asuransi jiwa gabungan dengan benefit dibayarkan oleh perusahaan asuransi ketika terjadi kematian terakhir dari peserta asuransi pada masa perjanjian. Asuransi jiwa joint life mempunyai keunggulan benefit dapat diperoleh lebih cepat dibandingkan dengan asuransi jiwa last survivor.
Besarnya benefit yang diperoleh peserta mempengaruhi besarnya premi yang dibayarkan. Selain itu, besarnya premi dipengaruhi juga oleh suku bunga. Pada penelitian Lestari [1] diperoleh kesimpulan bahwa premi akan semakin murah jika tingkat suku bunga yang digunakan semakin tinggi. Perhitungan premi tersebut merupakan perhitungan premi asuransi jiwa perorangan berjangka 𝑛-tahun menggunakan suku bunga konstan. Perhitungan suku bunga yang selalu konstan (deterministik) dianggap kurang realistik, pada kenyataannya suku bunga berubah- ubah sesuai dengan waktu (stokastik) [2].
Penelitian terdahulu yang menggunakan suku bunga stokastik dalam perhitungan premi dilakukan oleh Wiguna dkk [3]. Penelitian tersebut membahas mengenai perhitungan premi asuransi untuk asuransi jiwa gabungan joint life berjangka 10 tahun dengan mengasumsikan peluang kematian pasangan suami istri saling bebas. Sedangkan pada penelitian Margus [4] diperoleh hasil bahwa asumsi peluang kematian saling bebas terkadang kurang tepat, karena pada pasangan suami istri dengan usia di atas 55 tahun kemungkinan terdapat hubungan peluang kematian antara pasangan suami istri. Kemungkinan tersebut terjadi karena hal berikut ini seperti stress cardiomyopathy atau sindrom patah hati, penyakit menular, atau kecelakaan yang dialami bersama. Untuk mengatasi asumsi tersebut dapat menggunakan copula.
Copula merupakan suatu fungsi yang dapat menggabungkan beberapa distribusi marginal menjadi distribusi bersama. Copula tidak mensyaratkan asumsi kenormalan dari data sehingga cukup fleksibel terhadap berbagi data. Terdapat beberapa macam keluarga copula diantaranya yaiu copula Eliptik dan copula
3
Archimedean. Copula Archimedean terdiri dari Copula Clayton, Copula Gumbel, dan Copula Frank.
Beberapa penelitian dengan copula yaitu Fauziah [5] menggunakan Copula Frank untuk memodelkan hubungan mortalitas pasangan suami istri perhitungan premi polis last survivor suku bunga konstan. Copula Frank memiliki keunggulan parameter 𝛼 yang digunakan −∞ < 𝛼 < ∞ serta dapat memodelkan data yang menunjukan dependensi lemah. Kemudian Asih dan Widana [6] menggunakan Copula Frank untuk memodelkan hubungan mortalitas pasangan suami istri perhitungan premi polis joint life suku bunga konstan. Pada penelitian tersebut menyarankan untuk menggunakan suku bunga stokastik pada penelitian selanjutnya. Berdasarkan uraian di atas penulis terinspirasi untuk melakukan penelitian bagaimana memperoleh besar premi tahunan untuk joint life dari pasangan suami istri yang kematiannya tidak saling bebas dengan menggunakan Copula Frank suku bunga stokastik.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas maka dapat dirumuskan permasalahan dalam penelitian ini adalah :
1. Bagaimanakah hasil perhitungan premi asuransi jiwa berjangka 𝑛-tahun untuk pasangan suami istri dalam asuransi jiwa joint life menggunakan Copula Frank?
2. Bagaimana perbandingan hasil perhitungan premi dengan suku bunga stokastik, nilai awal 𝑟(0), dan parameter Copula Frank yang berbeda-beda?
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini dilakukan bertujuan untuk :
1. Untuk mengetahui hasil perhitungan premi asuransi jiwa berjangka 𝑛-tahun untuk pasangan suami istri dalam asuransi jiwa joint life menggunakan Copula Frank
2. Untuk mengetahui perbandingan hasil perhitungan premi dengan suku bunga stokastik, nilai awal 𝑟(0), dan parameter Copula Frank yang berbeda-beda.
4 1.4 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini penulis memberikan batasan masalah agar penelitian lebih terarah. Batasan maslah pada penelitian ini adalah sebagai berikut
1. Jenis asuransi gabungan yang digunakan adalah jenis asuransi jiwa joint life untuk pasangan suami istri dimana kematian pasangan suami istri tidak saling bebas.
2. Rentang usia suami dan istri diasumsikan berusia 55 tahun sampai 70 tahun dimana usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri.
3. Menggunakan salah satu dari keluarga Copula Archimedean, yaitu Copula Frank.
4. Peluang kematian dan peluang hidup antara suami dan istri menggunakan Tabel Mortalita Indonesia Tahun 2011.
5. Suku bunga yang digunakan diasumsikan menggunakan suku bunga Vasicek, Langevin dan CIR. Dimana suku bunga awal 𝑟(0) diasumsikan sebesar 4.5%, 4.75%, 5%, 5.55% dan 6%.
6. Benefit yang dijanjikan untuk ahli waris adalah sebesar Rp. 100.000.000,- dimana benefit akan diberikan kepada ahli waris pada akhir tahun kematian peserta asuransi yang pertama.
7. Premi yang dicari adalah premi untuk asuransi jiwa berjanga 𝑛-tahun dimana jangka waktu perjanjian yang akan dihitung yaitu selama 10 tahun dan premi dibayarkan setiap awal tahun.
8. Perhitungan premi tidak melibatkan biaya oprasional perusahaan atau premi bersih.
9. Premi akan hangus jika dalam jangka waktu kontrak asuransi tidak ada peserta yang meninggal.
10. Diasumsikan selama jangka waktu kontrak asuransi peserta asuransi mampu membayar premi asuransi setiap tahunnya.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian pada penelitian ini adalah :
5 1. Bagi penulis
Manfaat penilitian ini untuk penulis yaitu dapat menambah ilmu tentang asuransi khususnya perhitungan premi.
2. Bagi pembaca
Penelitian ini dapat menambah pengetahuan pembaca tentang asuransi dan pembaca juga dapat memprakirakan besarnya premi tahunan jika mengikuti sebuah asuransi.
6
BAB II LANDASAN TEORI LANDASAN TEORI
2.1 Tabel Mortalita
Tabel mortalita adalah tabel yang memuat peluang hidup dan mati seseorang berdasarkan kelompok usia dalam jumlah besar dalam jangka waktu tertentu [7].
Notasi-notasi dasar yang digunaan dalam tabel mortalita yaitu 𝑥, 𝑞𝑥, 𝑝𝑥, 𝑙𝑥, dan 𝑑𝑥. Notasi yang digunakan untuk menyatakan usia yaitu 𝑥 dengan 𝑥 = 0,1,2,3, ⋯ , 𝜔 dan 𝜔 menyatakan batas usia maksimal. Besarnya peluang kematian seseorang pada usia 𝑥 tahun sebelum mencapai 𝑥 + 1 tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑥. Besarnya peluang seseorang berusia 𝑥 tahun akan tetap hidup mencapai 𝑥 + 1 tahun dinotasian dengan 𝑝𝑥. Banyaknya orang yang hidup pada kelompok umur 𝑥 tahun dinotasikan dengan 𝑙𝑥. Sedangkan 𝑑𝑥 menyatakan banyaknya kematian pada kelompok usia 𝑥 tahun sebelum mencapai 𝑥 + 1 tahun. [8]
2.2 Teori Single Life
2.2.1 Fungsi Sebaran dan Fungsi Survival
Untuk usia kegagalan pada variabel acak X untuk seseorang yang berumur 𝑥, dapat didefinisikan fungsi sebaran sebagai berikut. [9]
𝐹𝑋(𝑥) = Pr(𝑋 ≤ 𝑥) (2.1)
Diasumsikan bahwa
𝐹𝑋(0) = 0 (2.2)
Kemudian untuk fungsi survival atau fungsi bertahan hidup untuk seseorang berusia 𝑥 tahun dinotasikan sebagai 𝑆𝑋(𝑥) dan dapat didefinisikan sebagai berikut.
𝑆𝑋(𝑥) = 1 − 𝐹𝑋(𝑥) (2.3)
𝑆𝑋(𝑥) = 1 − Pr (𝑋 ≤ 𝑥) (2.4)
𝑆𝑋(𝑥) = Pr (𝑋 > 𝑥) (2.5)
Untuk 𝑥 ≥ 0 dan berdasarkan persamaan (2.2) maka dapat didefinisikan sebagai
7
𝑆𝑋(0) = 1 (2.6)
2.2.2 Sisa Waktu Hidup
Misalkan seseorang berumur x tahun dan dinotasikan sebagai (𝑥), maka sisa umur hidupnya dinotasikan sebagai 𝑇(𝑥) = 𝑋 − 𝑥 dimana 𝑋 > 𝑥, yaitu variabel acak yang menyatakan (𝑥) akan meninggal dunia sesudah mencapai umur 𝑋 tahun, jika diketahui ia masih hidup pada usia 𝑥 tahun. Peubah acak dari sisa waktu hidup (𝑋) dapat dituliskan sebagai berikut.
𝑇(𝑥) = 𝑋 − 𝑥 (2.7)
2.2.3 Peluang Hidup dan Peluang Kematian
Peluang bahwa (𝑥) akan tetap hidup sampai 𝑥 + 𝑡 tahun dilambangkan dengan 𝑡𝑝𝑥 sedangkan peluang bahwa (𝑥) akan mati sebelum mencapai 𝑥 + 𝑡 tahun dilambangkan dengan 𝑡𝑞𝑥 dan dapat ditulis sebagai berikut.
𝑡𝑞𝑥 = Pr(𝑇(𝑥) ≤ 𝑡) , 𝑡 ≥ 0
𝑡𝑝𝑥= 1 − 𝑡𝑞𝑥 = Pr(𝑇(𝑥) > 𝑡) , 𝑡 ≥ 0
(2.8) (2.9)
2.3 Teori Joint Life 2.3.1 Joint Life
Yang dimaksud dengan joint life yaitu suatu keadaan dimana semua anggota kelompok bertahan hidup kemudian gagal setelah kematian pertama dari anggotanya. Dilambangkan dengan (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚) dimana 𝑥𝑖 menyatakan usia dari anggota ke-𝑖 dan 𝑚 menyatakan banyaknya anggota kelompok. [9]
2.3.2 Sisa Waktu Hidup Terpendek Joint Life
Sisa waktu hidup terpendek dari anggota kelompok joint life dimana 𝑚 adalah banyaknya anggota kelompok yaitu 𝑇(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚) dapat dituliskan sebagai berikut :
8
𝑇(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚) = 𝑚𝑖𝑛[𝑇(𝑥1), 𝑇(𝑥2), … , 𝑇(𝑥𝑚)] (2.10) Dimana 𝑇(𝑥𝑖) adalah sisa waktu hidup anggota ke- 𝑖 dan 𝑖 = 1,2,…,𝑚. Untuk kasus jumlah peserta dua orang akan digunakan (𝑥) dan (𝑦), maka [9]
𝑇(𝑥𝑦) = min [𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] (2.11)
2.3.3 Peluang Hidup dan Peluang Kematian Joint Life
Pada joint life, peubah acak sisa waktu hidup menyatakan waktu saat ini sampai salah satu 𝑥 atau 𝑦 meninggal dan dinotasikan sebagai 𝑇(𝑥𝑦). Fungsi distribusi 𝑇(𝑥𝑦) dapat dinyatakan dengan 𝐹𝑇(𝑥𝑦)(𝑡) dan didefinisikan dengan :
𝐹𝑇(𝑥𝑦)(𝑡) = 𝑡𝑞𝑥𝑦= Pr(𝑇(𝑥𝑦) ≤ 𝑡 ) 𝐹𝑇(𝑥𝑦)(𝑡) = Pr (min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] ≤ 𝑡) 𝐹𝑇(𝑥𝑦)(𝑡) = 1 − Pr (min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] > 𝑡) 𝐹𝑇(𝑥𝑦)(𝑡) = 1 − 𝑃(𝑇(𝑥) > 𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑇(𝑦) > 𝑡)
𝐹𝑇 = 1 − 𝑆𝑇(𝑥)𝑇(𝑦)(𝑡, 𝑡) (2.12)
Fungsi bertahan hidup (survival function) untuk status joint life dapat dinyatakan dengan :
𝑆𝑇(𝑥)𝑇(𝑦)(𝑡, 𝑡) = 1 − 𝐹𝑇(𝑥𝑦)(𝑡)
𝑆𝑇(𝑥)𝑇(𝑦)= 𝑡𝑝𝑥 𝑡𝑝𝑦 (2.13)
Dengan asumsi saling bebas maka peluang bersama 𝑡𝑝𝑥𝑦 bisa dituliskan menjadi peluang perkalian dari masing-masing peluang hidup. Maka berdasarkan persamaan (2.12) dan persamaan (2.13) maka akan diperoleh
𝑡𝑝𝑥𝑦= 𝑆𝑇(𝑥)𝑇(𝑦)(𝑡, 𝑡)
𝑡𝑝𝑥𝑦 = 𝑡𝑝𝑥 𝑡𝑝𝑦 (2.14)
2.3.4 Tabel Mortalita Joint Life
Tabel mortalita joint life merupakan tabel yang memuat peluang hidup dan peluang mati seseorang yang berusia 𝑥 tahun dengan seseorang yang berusia 𝑦 tahun. Fungsi gabungan yang menyatakan banyaknya orang berusia 𝑥 tahun dikali
9
dengan banyaknya orang berusia 𝑦 tahun yang masih hidup dinotasikan dengan 𝑙𝑥𝑦 dan dirumuskan sebagai berikut [10]:
𝑙𝑥𝑦 = 𝑙𝑥𝑙𝑦 (2.15)
Peluang orang berusia 𝑥 tahun dan 𝑦 tahun akan tetap hidup selama 1 tahun dinotasikan dengan 𝑝𝑥𝑦 dan dirumuskan sebagai berikut :
𝑝𝑥𝑦 = 𝑝𝑥𝑝𝑦 = 𝑙𝑥+1 𝑙𝑥
𝑙𝑦+1
𝑙𝑦 = 𝑙𝑥𝑦+1
𝑙𝑥𝑦 (2.16)
Peluang orang berusia 𝑥 tahun dan 𝑦 tahun akan tetap hidup selama 𝑡 tahun dinotasikan dengan 𝑡𝑝𝑥𝑦 dan dirumuskan sebagai berikut :
𝑝𝑥𝑦 = 𝑝𝑡 𝑥 𝑝𝑦 = 𝑙𝑥+𝑡 𝑙𝑥
𝑙𝑦+𝑡 𝑙𝑦
𝑡 = 𝑙𝑥𝑦+𝑡
𝑙𝑥𝑦
𝑡 (2.17)
Peluang salah satu diantara (𝑥) dan (𝑦) meninggal dalam jangka waktu 1 tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑥𝑦 dan dirumuskan sebagai berikut :
𝑞𝑥𝑦= 1 − 𝑝𝑥𝑦= 1 − (𝑙𝑥𝑦+1
𝑙𝑥𝑦 ) =𝑙𝑥𝑦− 𝑙𝑥𝑦+1
𝑙𝑥𝑦 (2.18)
Peluang salah satu diantara (𝑥) dan (𝑦) meninggal dalam jangka waktu 𝑡 tahun dinotasikan dengan 𝑡𝑞𝑥𝑦 dan dirumuskan sebagai berikut :
𝑞𝑥𝑦
𝑡 = 1 − ( 𝑝𝑡 𝑥𝑦) = 1 − (𝑙𝑥𝑦+𝑡
𝑙𝑥𝑦 ) =𝑙𝑥𝑦− 𝑙𝑥𝑦+𝑡
𝑙𝑥𝑦 (2.19)
2.4 Persamaan Diferensial Stokastik
Pada tahun 1827 Robert Brown melakukan penelitian bahwa pergerakan serbuk bunga pada suatu cairan bergerak secara tidak beraturan. Kemudian, pada tahun 1905 Einstein menyatakan bahwa gerak Brown berasal dari pemboman berkelanjutan serbuk sari oleh molekul-molekul air di sekitarnya, dengan dampak molekuler berurutan datang dari arah yang berbeda dan berkontribusi berbeda. Pada tahun 1923 Norbert Wiener memberikan konsep dasar matematika untuk gerak Brown sebagai proses stokastik. Oleh karena itu gerak Brown dikenal juga dengan proses Wiener [11] :
10 Definisi 2.4 Proses Stokastik
{𝑊(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah proses stokastik dengan koefisien drift 𝜇 dan 𝑊(𝑡) adalah variabel acak disebut dengan gerak Brown, jika [11]:
i. 𝑊(0) = 0,
ii. {𝑊(𝑡), 𝑡 ≥ 0} kenaikan stasioner dan kenaikan independent, iii. 𝑊(𝑡) berdistribusi normal dengan mean 𝜇𝑡 dan variansi 𝑡.
Misalkan 𝑊(𝑡) adalah proses Wiener, dimana fungsi 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡) dan 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡) diberikan, maka suatu persamaan dapat dibentuk sebagai berikut [12]:
𝑑𝑟(𝑡) = 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡)𝑑𝑊(𝑡) (2.20) Pada persmaan (2.20) dapat disebut sebagai Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dimana fungsi 𝜇(𝑟(𝑡), 𝑡) biasa disebut drift dan merupakan suku deterministik pada persamaan (2.20) sedangkan fungsi 𝜎(𝑟(𝑡), 𝑡) menggambarkan fluktuasi dari kurva 𝑟(𝑡). Persamaan di atas juga biasa ditulis dalam bentuk persamaan integral sebagai:
𝑟(𝑡) = 𝑟0+ ∫ 𝜇(𝑟(𝑠), 𝑡)𝑑𝑠
𝑡 0
+ ∫ 𝜎(𝑟(𝑠), 𝑡)
𝑡 0
𝑑𝑊(𝑠),
(2.21) Dimana 𝑟0 adalah nilai awal (intial value) dari titik 𝑟 dititik 𝑡 = 0.
2.5 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik 2.5.1 Suku Bunga Vasicek
Model stokastik tipe Vasicek memiliki persamaan sebagai berikut
𝑑𝑟(𝑡) = 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡) (2.22)
Pada kasus 𝜎 = 0 dalam persamaan (2.22) akan dicari solusi deterministiknya menggunakan metode pemisahan variabel
𝑑𝑟(𝑡) = 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑡 1
𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑟(𝑡) = 𝑑𝑡
(2.23) Integralkan kedua ruas yang terdapat pada persamaan (2.23)
11
∫ 1
𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑟(𝑡) = ∫ 𝑑𝑡
−1
𝑘ln(𝜃 − 𝑟(𝑡)) = 𝑡 + 𝐶 ln(𝜃 − 𝑟(𝑡)) = −𝑘(𝑡 + 𝐶)
𝑒ln(𝜃−𝑟(𝑡)) = 𝑒−𝑘(𝑡+𝐶) 𝜃 − 𝑟(𝑡) = 𝑒−𝑘(𝑡+𝐶) 𝑟(𝑡) = 𝜃 − 𝑒−𝑘(𝑡+𝐶) 𝑟(𝑡) = 𝜃 − 𝑒−𝑘𝑡𝑒𝑘𝐶
𝑟(𝑡) = 𝜃 − 𝑒−𝑘𝑡𝐶∗ (2.24)
Dimana 𝐶∗ = 𝑒−𝑘𝐶 pada persamaan (2.24) merupakan solusi umum dari persamaan (2.22). Kemudian akan dicari solusi khusus dengan memberikan nilai awal 𝑟(0) = 0, sehingga
𝑟(0) = 𝜃 − 𝑒−𝑘0𝐶∗ 𝑟(0) = 𝜃 − 𝐶∗
𝐶∗ = 𝜃 − 𝑟(0) (2.25)
Substitusikan persamaan (2.25) ke dalam persamaan (2.24) sehingga 𝑟(𝑡) = 𝜃 − 𝑒−𝑘𝑡(𝜃 − 𝑟(0))
𝑟(𝑡) = 𝑒−𝑘𝑡𝑟(0) + 𝜃(1 − 𝑒−𝑘𝑡) (2.26) Persamaan diferensial pada (2.22) akan ditunjukan dalam bentuk persamaan integral stokastik mengikuti bentuk persamaan (2.21) menggunakan penyelesaian persamaan diferensial linear homogen koefisien konstan yaitu dengan memisalkan
𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡 (2.27)
Persamaan (2.27) diturunkan terhadap 𝑡 sehingga
𝑑𝑦(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡𝑑𝑟(𝑡) + 𝑘𝑒𝑘𝑡𝑟(𝑡)𝑑𝑡 (2.28) Substitusikan persamaan (2.22) dan (2.27) kedalam persamaan (2.28) sehingga
𝑑(𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡) = 𝑒𝑘𝑡(𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡)) + 𝑘𝑒𝑘𝑡𝑟(𝑡)𝑑𝑡
𝑑(𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡) = 𝑘𝜃𝑒𝑘𝑡+ 𝜎𝑒𝑘𝑡𝑑𝑊(𝑡) (2.29)
12 Integralkan kedua ruas pada persamaan (2.29)
∫ 𝑑(𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑠)
𝑡
0
= ∫ 𝑘𝜃𝑒𝑘𝑠𝑑𝑠
𝑡
0
+ ∫ 𝜎𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡 0
𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡− 𝑟(0) = 𝜃(𝑒𝑘𝑡− 1) + 𝜎 ∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡
0
𝑟(𝑡) = 𝑟(0)𝑒−𝑘𝑡+ 𝜃(1 − 𝑒−𝑘𝑡) + 𝜎𝑒−𝑘𝑡∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡
0 (2.30)
Bentuk diskrit dari persamaan (2.22) adalah
∆𝑟(𝑡 + 1) = 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))∆𝑡 + 𝜎∆𝑊(𝑡) (2.31) Perubahan 𝑊(𝑡) selama periode ∆𝑡 dapat dinyatakan dengan 𝑊(𝑡), sehingga hubungan antara ∆𝑡 dengan 𝑊(𝑡) yaitu ∆𝑊(𝑡) = 𝜀√∆𝑡, dimana 𝜀 merupakan variabel acak dengan distribusi normal baku dimana mean bernilai 0 dan variansi bernilai 1, maka dari itu berdasarkan definisi ∆𝑊(𝑡) maka nilai mean dari ∆𝑊(𝑡) yaitu 0 dan nilai standar deviasi dari ∆𝑊(𝑡) adalah √∆𝑡 [12]. Sehingga persamaan (2.31) menjadi
𝑟(𝑡 + 1) = 𝑟(𝑡) + 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))∆𝑡 + 𝜎𝜀√∆𝑡 (2.32) Jika ∆𝑡 = 1 maka persamaan (2.32) menjadi
𝑟(𝑡 + 1) = 𝑟(𝑡) + 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡)) + 𝜎𝜀 (2.33) 2.5.2 Suku Bunga Langevin
Model stokastik tipe Langevin memiliki persamaan sebagai berikut:
𝑑𝑟(𝑡) = (𝜃 − 𝑘𝑟(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡) (2.34)
Pada kasus 𝜎 = 0 dalam persamaan (2.34) akan dicari solusi deterministiknya mengunakan metode pemisahan variabel
𝑑𝑟(𝑡) = (𝜃 − 𝑘𝑟(𝑡))𝑑𝑡
13 𝑑𝑟(𝑡)
𝜃 − 𝑘𝑟(𝑡)= 𝑑𝑡 (2.35)
Integralkan kedua ruas yang terdapat pada persamaan (2.35)
∫ 1
𝜃 − 𝑘𝑟(𝑡)𝑑𝑟(𝑡) = ∫ 𝑑𝑡
−1
𝑘ln(𝜃 − 𝑘𝑟(𝑡)) = 𝑡 + 𝐶 ln(𝜃 − 𝑘𝑟(𝑡)) = −𝑘 (𝑡 + 𝐶)
𝑒ln(𝜃−𝑘𝑟(𝑡)) = 𝑒−𝑘(𝑡+𝐶) 𝜃 − 𝑘𝑟(𝑡) = 𝑒−𝑘(𝑡+𝐶) 𝜃 − 𝑒−𝑘𝑡𝑒−𝑘𝐶 = 𝑘𝑟(𝑡)
𝜃
𝑘− 𝑒−𝑘𝑡𝑒−𝑘𝐶
𝑘 = 𝑟(𝑡) 𝜃
𝑘− 𝑒−𝑘𝑡𝐶∗ = 𝑟(𝑡) (2.36)
Dimana 𝐶∗= 𝑒−𝑘𝐶
𝑘 pada ersamaan (2.36) merupakan solusi umum dari persamaan (2.34). Kemudian akan dicari solusi khusus dengan memberikan nilai awal 𝑟(0) = 0, sehingga
𝑟(0) = 𝜃
𝑘− 𝑒0𝐶∗ 𝑟(0) = 𝜃
𝑘− 𝐶∗ 𝐶∗ = 𝜃
𝑘− 𝑟(0) (2.37)
Substitusikan persamaan (2.37) ke persamaan (2.36) sehingga 𝑟(𝑡) =𝜃
𝑘− (𝑒−𝑘𝑡(𝜃
𝑘− 𝑟(0))) 𝑟(𝑡) =𝜃
𝑘− 𝑒−𝑘𝑡𝜃
𝑘+ 𝑒−𝑘𝑡𝑟(0) (2.38)
Persamaan diferensial pada (2.34) akan ditunjukan dalam bentuk persamaan integral stokastik mengikuti bentuk persamaan (2.21) menggunakan penyelesaian persamaan diferensial linear homogen koefisien konstan yaitu dengan memisalkan
𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡. (2.39)
Persamaan (2.39) diturunkan terhadap 𝑡 sehingga
14
𝑑𝑦(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡𝑑𝑟(𝑡) + 𝑘𝑒𝑘𝑡𝑟(𝑡)𝑑𝑡 (2.40) Substitusikan persamaan (2.34) dan (2.39) ke dalam persamaan (2.40) sehingga
𝑑(𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡) = 𝑒𝑘𝑡[(𝜃 − 𝑘𝑟(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡) ] + 𝑘𝑒𝑘𝑡𝑟(𝑡)𝑑𝑡 𝑑(𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡) = 𝜃𝑒𝑘𝑡𝑑𝑡 − 𝑘𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑒𝑘𝑡𝑑𝑊(𝑡)) + 𝑘𝑒𝑘𝑡𝑟(𝑡)𝑑𝑡
𝑑(𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡) = 𝜃𝑒𝑘𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑒𝑘𝑡𝑑𝑊(𝑡) (2.41) Integralkan kedua ruas pada persamaan (2.41)
∫ 𝑑(𝑟(𝑠)𝑒𝑘𝑠)
𝑡 0
= ∫ 𝜃𝑒𝑘𝑠
𝑡 0
𝑑𝑠 + ∫ 𝜎𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡
0
𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡 − 𝑟(0) =𝜃
𝑘(𝑒𝑘𝑡 − 1) + 𝜎 ∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡
0
𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡 = 𝑟(0) +𝜃
𝑘(𝑒𝑘𝑡 − 1) + 𝜎 ∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡
0
𝑟(𝑡) = 𝑟(0)𝑒−𝑘𝑡+𝜃
𝑘𝑒−𝑘𝑡(𝑒𝑘𝑡− 1) + 𝜎𝑒−𝑘𝑡∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡
0
𝑟(𝑡) = 𝑟(0)𝑒−𝑘𝑡+𝜃
𝑘(1 − 𝑒−𝑘𝑡) + 𝜎𝑒−𝑘𝑡∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡
0
𝑟(𝑡) = 𝑟(0)𝑒−𝑘𝑡+𝜃 𝑘−𝜃
𝑘𝑒−𝑘𝑡+ 𝜎𝑒−𝑘𝑡∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡
0
𝑟(𝑡) =𝜃
𝑘+ 𝑒−𝑘𝑡(𝑟(0) −𝜃
𝑘) + 𝜎𝑒−𝑘𝑡∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡 0
(2.42) Bentuk diskrit dari persamaan (2.34) adalah
∆𝑟(𝑡 + 1) = (𝜃 − 𝑘 𝑟(𝑡))∆𝑡 + 𝜎∆𝑊(𝑡) (2.43) Perubahan 𝑊(𝑡) selama periode ∆𝑡 dapat dinyatakan dengan 𝑊(𝑡), sehingga hubungan antara ∆𝑡 dengan 𝑊(𝑡) yaitu ∆𝑊(𝑡) = 𝜀√∆𝑡, dimana 𝜀 merupakan variabel acak dengan distribusi normal baku dimana mean bernilai 0 dan variansi bernilai 1, maka dari itu berdasarkan definisi ∆𝑊(𝑡) maka nilai mean dari ∆𝑊(𝑡) yaitu 0 dan nilai standar deviasi dari ∆𝑊(𝑡) adalah √∆𝑡 [12]. Sehingga persamaan (2.43) menjadi
𝑟(𝑡 + 1) = 𝑟(𝑡) + (𝜃 − 𝑘 𝑟(𝑡))∆𝑡 + 𝜎𝜀√∆𝑡 (2.44) Jika ∆𝑡 = 1 maka persamaan (2.44) menjadi
𝑟(𝑡 + 1) = 𝑟(𝑡) + (𝜃 − 𝑘 𝑟(𝑡)) + 𝜎𝜀 (2.45)
15 2.5.3 Suku Bunga Cox-Ingersoll-Ross (CIR)
Model tingkat bunga stokastik tipe Cox-Ingresol-Ross (CIR) memiliki persamaan sebagai berikut
𝑑𝑟(𝑡) = 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎√𝑟(𝑡)𝑑𝑊(𝑡) (2.46) Pada kasus 𝜎 = 0 dalam persamaan (2.46) akan dicari solusi deterministiknya mengunakan metode pemisahan variabel
𝑑𝑟(𝑡) = 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑡 1
𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑟(𝑡) = 𝑑𝑡 (2.47)
Integralkan kedua ruas yang terdapat pada persamaan (2.47)
∫ 1
𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑟(𝑡) = ∫ 𝑑𝑡
−1
𝑘ln(𝜃 − 𝑟(𝑡)) = 𝑡 + 𝐶 ln(𝜃 − 𝑟(𝑡)) = −𝑘(𝑡 + 𝐶)
𝑒ln(𝜃−𝑟(𝑡))= 𝑒−𝑘(𝑡+𝐶) 𝜃 − 𝑟(𝑡) = 𝑒−𝑘(𝑡+𝐶) 𝑟(𝑡) = 𝜃 − 𝑒−𝑘(𝑡+𝐶) 𝑟(𝑡) = 𝜃 − 𝑒−𝑘𝑡𝑒−𝑘𝐶
𝑟(𝑡) = 𝜃 − 𝑒−𝑘𝑡𝐶∗ (2.48)
Dimana 𝐶∗ = 𝑒−𝑘𝐶 pada persamaan (2.48) merupakan solusi umum dari persamaan (2.47). Kemudian akan dicari solusi khusus dengan memberikan nilai awal 𝑟(0) = 0, sehingga
𝑟(0) = 𝜃 − 𝑒−𝑘0𝐶∗ 𝑟(0) = 𝜃 − 𝐶∗
𝐶∗ = 𝜃 − 𝑟(0) (2.49)
Substitusikan persamaan (2.49) ke (2.48) sehinga 𝑟(𝑡) = 𝜃 − 𝑒−𝑘𝑡(𝜃 − 𝑟(0))
16
𝑟(𝑡) = 𝑒−𝑘𝑡𝑟(0) + 𝜃(1 − 𝑒−𝑘𝑡) (2.50) Persamaan diferensial pada (2.46) akan ditunjukan dalam bentuk persamaan integral stokastik mengikuti bentuk persamaan (2.21) menggunakan penyelesaian persamaan diferensial linear homogen koefisien konstan yaitu dengan memisalkan
𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡 (2.51)
Persamaan di atas diturunkan terhadap 𝑡
𝑑𝑦(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡𝑑𝑟(𝑡) + 𝑘𝑒𝑘𝑡𝑟(𝑡)𝑑𝑡 (2.52) Substitusikan persamaan (2.46) dan (2.51) ke dalam persamaan (2.52) sehingga
𝑑(𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡) = 𝑒𝑘𝑡(𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡)𝑑𝑡) + 𝜎√𝑟(𝑡)𝑑𝑊(𝑡) + 𝑘𝑒𝑘𝑡𝑟(𝑡)𝑑𝑡
𝑑(𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡) = 𝑘𝜃𝑒𝑘𝑡+ 𝜎𝑒𝑘𝑡√𝑟(𝑡)𝑑𝑊(𝑡) (2.53) Integralkan kedua ruas pada persamaan (2.53)
∫ 𝑑(𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑠)
𝑡 0
= ∫ 𝑘𝜃𝑒𝑘𝑠𝑑𝑠 + ∫ 𝜎𝑒𝑘𝑠√𝑟(𝑡)𝑑𝑊(𝑠)
𝑡 0 𝑡
0
𝑟(𝑡)𝑒𝑘𝑡 − 𝑟(0) = 𝜃 (𝑒𝑘𝑡 − 1) + 𝜎√𝑟(𝑡) ∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡 0
𝑟(𝑡) = 𝑟(0)𝑒−𝑘𝑡+ 𝜃 (1 − 𝑒−𝑘𝑡) + 𝜎√𝑟(𝑡)𝑒−𝑘𝑡∫ 𝑒𝑘𝑠𝑑𝑊(𝑠)
𝑡
0 (2.54)
Bentuk diskrit dari persamaan (2.46) adalah
∆𝑟(𝑡 + 1) = 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))∆𝑡 + 𝜎√𝑟(𝑡)∆𝑊(𝑡) (2.55) Perubahan 𝑊(𝑡) selama periode ∆𝑡 dapat dinyatakan dengan ∆𝑊(𝑡), sehingga hubungan antara ∆𝑡 dengan ∆𝑊(𝑡) yaitu ∆𝑊(𝑡) = 𝜀√∆𝑡, dimana 𝜀 merupakan variabel acak dengan distribusi normal baku dimana mean bernilai 0 dan variansinya bernilai 1, maka dari itu berdasarkan definisi ∆𝑊(𝑡) maka nilai mean dari ∆𝑊(𝑡) yaitu 0 dan nilai standar deviasi dari ∆𝑊(𝑡) adalah √∆𝑡 [12]. Sehingga persamaan (2.55) menjadi
𝑟(𝑡 + 1) = 𝑟(𝑡) + 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡))∆𝑡 + 𝜎√𝑟(𝑡)𝜀√∆𝑡 (2.56) Jika ∆𝑡 = 1 maka persamaan (2.56) menjadi
17
𝑟(𝑡 + 1) = 𝑟(𝑡) + 𝑘(𝜃 − 𝑟(𝑡)) + 𝜎√𝑟(𝑡)𝜀 (2.57) 2.6 Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa adalah perjanjian antara dua pihak yaitu antara peserta asuransi dan perusahaan asuransi apabila bahwa peserta asuransi mengalami risiko kematian perusahaan asuransi akan memberikan benefit kepada ahli waris. Benefit adalah perlindungan dari perusahaan asuransi berupa pengganti risiko yang terjadi.
Pembayaran benefit yang dilakukan pada akhir tahun kematian disebut pembayaran diskrit. Sedangkan pembayaran benefit yang dilakukan sesaat setelah kematian disebut sistem pembayaran kontinu. Kontrak antara perusahaan asuransi dan peserta asuransi disebut polis asuransi, sedangkan besarnya premi yang dibayarkan dipengaruhi oleh peluang meninggal (jenis kelamin dan umur), besar benefit yang akan diterima, dan suku bunga ditetapkan oleh pihak perusahaan asuransi [7]
2.6.1 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏 −tahun untuk Single Life
Asuransi jiwa berjangka 𝑛 −tahun yang memberikan 1 unit pada akhir tahun kematian diperoleh [7]:
𝑏𝑘+1= {1 𝑘 = 0,1, … , (𝑛 − 1)
0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 (2.58) Faktor diskonto adalah faktor yang menerjemahkan keuntungan finansial yang diharapkan atau biaya pada suatu tahun dimasa yang akan datang kedalam nilai sekarang. Faktor diskonto untuk tipe bunga stokastik dapat didefinisikan sebagai berikut [13] :
𝑣𝑡 = ∏ 1
(1 + 𝑟(𝑠))
𝑡
𝑠=1
, 𝑟(𝑡) > −1, ∀𝑠,
(2.59) Dengan 𝑟𝑡 adalah suku bunga tipe stokastik, dan mengasumsikan 𝑣0 = 1.
Dalam kasus diskrit, pembayaran benefit dilakukan di akhir tahun kematian peserta. Misalkan notasi 𝑍 mempresentasikan variabel acak yang menyatakan present value pada saat polis disetujui dari benefit yang dibayarkan, 𝑏𝑘+1 menyatakan benefit yang dibayarkan di akhir tahun ke 𝑘 + 1 ketika peserta
18
meninggal, dan 𝑣𝑘+1 adalah faktor diskonto dari tahun pembayaran benefit yang dibayarkan yaitu di akhir tahun 𝑘 + 1 sampai saat polis disetujui. Present value pada polis ditetapkan saat pembayaran benefit dinotasikan dengan 𝑧𝑘+1 adalah
𝑧𝑘+1= 𝑏𝑘+1 𝑣𝑘+1
Dengan demikian variabel acak 𝑍 dapat dinyatakan sebagai berikut :
𝑍 = 𝑏𝑘+1 𝑣𝑘+1 (2.60)
Nilai premi tunggal untuk asuransi ini dimana 𝑏𝑘+1= 1 diberikan dengan :
𝐴 1 𝑥:𝑛̅⌉
= 𝐸[𝑍] = ∑ 𝑣𝑘+1
𝑛−1
𝑘=0
𝑓𝑍
𝐴 1 𝑥:𝑛̅⌉
= 𝐸[𝑍] = ∑ ∑ 𝑣𝑠+1 𝑘𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘
𝑘
𝑠=0 𝑛−1
𝑘=0
𝐴 1 𝑥:𝑛̅⌉
= 𝐸[𝑍] = ∑ ∑ 𝑣𝑠+1 𝑘|𝑞𝑥
𝑘
𝑠=0 𝑛−1
𝑘=0 (2.61)
2.6.2 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏 −tahun untuk Joint Life
Asuransi jiwa berjangka 𝑛-tahun dengan benefit yang telah ditentukan akan diberikan jika peserta asuransi meninggal dalam jangka waktu 𝑛-tahun sejak kontrak asuransi dimulai. Benefit tersebut akan dibayarkan dari pihak asuransi kepada ahli waris yang ditunjuk oleh peserta asuransi pada akhir tahun kematian peserta pertama asuransi. Premi tunggal dari benefit dimana benefit diasumsikan sebesar satu satuan adalah
𝐴
𝑥𝑦⏞ :𝑛|1 ̅̅̅= ∑ ∑𝑣𝑠+1
𝑘
𝑠=0
𝑞𝑥𝑦
𝑘|
𝑛−1
𝑘=0
𝐴
𝑥𝑦⏞ :𝑛|1 ̅̅̅= ∑ ∑𝑣𝑠+1
𝑘
𝑠=0
( 𝑝𝑥𝑦 −
𝑘 𝑝𝑥𝑦)
𝑘+1 𝑛−1
𝑘=0 (2.62)
19 2.7 Anuitas Hidup
Anuitas hidup (life Annuity) adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan terus menerus atau pada interval yang sama (seperti bulan, kuartal, semester, tahun) selama seseorang tersebut masih hidup, yaitu terbatas pada jangka waktu tertentu atau dibayarkan untuk seumur hidup [7].
2.7.1 Anuitas Jiwa Berjangka 𝒏 −tahun untuk Single Life
Anuitas hidup berjangka adalah anuitas hidup dimana pembayaran dilakukan pada suatu jangka waktu tertentu. Anuitas hidup awal dinotasikan dengan 𝑎̈𝑥:𝑛̅| dan dapat dituliskan dalam persamaan berikut:
𝑎̈𝑥:𝑛̅| = ∑ 𝑣𝑘
𝑛−1
𝑘=0
𝑘𝑝𝑥
(2.63) 2.7.2 Anuitas Jiwa Berjangka 𝒏 −tahun untuk Joint Life
Anuitas jiwa berjangka 𝑛-tahun dapat digunakan untuk mencari nilai pembayaran yang dilakukan mulai dari menyetujui kontrak pembayaran sampai dengan jangka waktu tertentu. Anuitas jiwa berjangka 𝑛-tahun dari joint life untuk dua orang yang berusia 𝑥 tahun dan 𝑦 tahun dapat ditulis seagai berikut.
𝑎̈𝑥𝑦:𝑛|̅̅̅= ∑ 𝑣𝑘
𝑛−1
𝑘=0
𝑝𝑥𝑦
𝑘
(2.64) 2.8 Copula
Salah satu metode pendekatan yang dapat digunakan untuk memahami dan mendeteksi struktur dependensi variabel yang tidak berdistribusi normal yaitu pendekatan Copula. Copula adalah suatu fungsi dimana beberapa fungsi marginal digabungkan menjadi distribusi bersama. Konsep copula pertama kali diperkenalkan oleh A. Sklar pada tahun 1959. Kelebihan dari pendekatan copula adalah distribusi marginalnya tidak harus sama [14]
20
Definisi. Copula berdimensi 𝑛 yang dinotasikan dengan 𝐶 adalah fungsi distribusi multivariate 𝐹 dari variabel-variabel random 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dengan distribusi marginalnya 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑛 berdistribusi uniform standar yaitu 𝑋𝑖~𝑈𝑁𝐼𝐹(0,1), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Fungsi copula ini merupakan fungsi yang memiliki domain [0,1]𝑛 dan range [0,1], yang dilambangkan dengan 𝐶: [0,1]𝑛 → [0,1].
2.9 Copula Archimedean
Keluarga Copula Archimedean memiliki kebergantungan parameter (𝛼) dan dapat dibentuk dari fungsi pembangkit copula 𝜑. Copula ini mudah dikonstruksikan, banyak variasi keluarga copula yang masuk ke dalam kelas ini, dan struktur dependensinya bervariasi. Copula Archimedean sering digunakan diberbagai bidang aplikasi, diantaranya pada bidang keuangan dan bidang asuransi.
Secara umum, bentuk Copula Archimedean adalah [14] :
𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝜑[−1](𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣)), (2.65) dengan 0 ≤ 𝑢, 𝑣 ≤ 1. Dengan demikian, 𝐶(𝑢, 𝑣) adalah Copula Archimedean dan 𝜑 merupakan fungsi pembangkit (generator) dari copula 𝐶 dengan 𝜑(0) = ∞ dan 𝜑(1) = 0 sehingga 𝜑[−1]= 𝜑−1.
2.9.1 Copula Frank
Copula Archimedean merupakan salah satu copula yang dikonstruksikan dari fungsi generator 𝜑. Dengan memilih satu fungsi generator, maka akan diperoleh subkelas bagian dari copula Archimedean, diantaranya yaitu Gumbel, Clayton, Frank, dan lain sebagainya [14]
Fungsi generator untuk Copula Frank adalah : 𝜑(𝑢) = ln𝑒𝛼𝑢− 1
𝑒𝛼− 1 (2.66)
Dan fungsi inversnya adalah :
𝜑−1(𝑢) =ln(1 + 𝑒𝑢(𝑒𝛼− 1))
𝛼 (2.67)
21
Maka dengan mensubstitusikan fungsi generator dan fungsi invers dari Copula Frank ke dalam persamaan (2.65), diperoleh persamaan Copula Frank sebagai berikut :
𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝜑[−1](𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣))
= 𝜑[−1][(ln𝑒𝛼𝑢− 1
𝑒𝛼− 1) + (ln𝑒𝛼𝑣− 1
𝑒𝛼− 1)]
= 𝜑[−1](𝑙𝑛 (𝑒𝛼𝑢− 1
𝑒𝛼− 1 ∙𝑒𝛼𝑣− 1
𝑒𝛼− 1))
= 𝜑[−1](𝑙𝑛 ((𝑒𝛼𝑢− 1)(𝑒𝛼𝑣− 1)
(𝑒𝛼− 1)2 ))
=
ln (1 + 𝑒(𝑙𝑛(
(𝑒𝛼𝑢−1)(𝑒𝛼𝑣−1) (𝑒𝛼−1)2 ))
(𝑒𝛼− 1))
𝛼
= 1
𝛼𝑙𝑛 (1 + ((𝑒𝛼𝑢− 1)(𝑒𝛼𝑣− 1)
(𝑒𝛼− 1)2 ) (𝑒𝛼− 1)) =1
𝛼𝑙𝑛 (1 + ((𝑒𝛼𝑢− 1)(𝑒𝛼𝑣− 1)
(𝑒𝛼− 1) )) = 1
𝛼𝑙𝑛 (1 − ((1 − 𝑒𝛼𝑢)(1 − 𝑒𝛼𝑣)
1 − 𝑒𝛼 )) (2.68) Maka persamaan Copula Frank yang dihasilkan yaitu :
𝐶(𝑢, 𝑣) =1
𝛼𝑙𝑛 (1 − ((1 − 𝑒𝛼𝑢)(1 − 𝑒𝛼𝑣)
1 − 𝑒𝛼 )) , −∞ < 𝛼 < ∞
(2.69) Kemudian menurut Shemyakin [15] parameter untuk beberapa kelas dari Copula Archimedean adalah sebagai berikut :
Tabel 2. 1 Fungsi Copula Archimedean dan Parameter
Kelas Copula
Fungsi Copula Para
meter
22 Frank
𝐶𝐹(𝑢, 𝑣; 𝛼) = −1
𝛼𝑙𝑜𝑔 [1 +(exp(−𝛼𝑢) − 1)(exp(−𝛼𝑣) − 1)
exp(−𝛼) − 1 ] 𝛼 ≠ 0
Clayton 𝐶
𝑐(𝑢, 𝑣; 𝛼) = (𝑢−𝛼+ 𝑣−𝛼− 1 )−1𝛼 𝛼 > 0
Gumbel 𝐶
𝐺(𝑢, 𝑣; 𝛼) = 𝑒𝑥𝑝 {−[(− log 𝑢)𝛼+ (− log 𝑣)𝛼]1𝛼} 𝛼 ≥ 1
Peluang salah satu tertanggung dari suami ataupun istri akan hidup mencapai usia 𝑥 + 𝑘 dan 𝑦 + 𝑘 tahun dinotasikan dengan 𝑝𝑘 𝑥𝑦̅̅̅̅ berdasarkan Copula Frank dinyatakan sebagai [5]:
𝑝𝑥𝑦̅̅̅̅
𝑘 = 1 − [1
α× loge[1 −(1 − 𝑒𝛼𝑘𝑞𝑥)(1 − 𝑒𝛼𝑘𝑞𝑦)
1 − 𝑒𝛼 ]] (2.70)
Anuitas awal berjangka 𝑛 tahun untuk status joint life dinotasikan dengan 𝑎̈𝑥𝑦:𝑛|̅̅̅
menggunakan Copula Frank, yang besarnya adalah
𝑎̈𝑥𝑦:𝑛|̅̅̅ = ∑ 𝑣𝑘[ 𝑝𝑘 𝑥+ 𝑝𝑦 − (1 − (−1
𝛼𝑙𝑛 (1 +(𝑒−𝛼𝑘𝑝𝑥−1)(𝑒−𝛼𝑘𝑝𝑦−1)
𝑒−𝛼 )))
𝑘 ]
𝑛−1𝑘=0
(2.71) Nilai tunai manfaat asuransi berjangka 𝑛 tahun atau premi tunggal bersih asuransi joint life menggunakan Copula Frank adalah
𝐴
𝑥𝑦⏞ :𝑛|1 ̅̅̅= ∑ ∑ 𝑣𝑠+1 {[ 𝑝𝑘 𝑥+ 𝑝𝑦− (1 − (−1
𝛼𝑙𝑛 (1 +(𝑒−𝛼𝑘𝑝𝑥− 1)(𝑒−𝛼𝑘𝑝𝑦− 1) 𝑒−𝛼− 1 )))
𝑘 ]
𝑘
𝑠=0 𝑛−1
𝑘=0
− [𝑘+1𝑝𝑥+𝑘+1𝑝𝑦− (1 − (−1
𝛼𝑙𝑛 (1 +(𝑒−𝛼𝑘+1𝑝𝑥− 1)(𝑒−𝛼𝑘+1𝑝𝑦− 1) 𝑒−𝛼− 1 )))]}
(2.72) Dan besar preminya adalah
𝑃 = 𝐴
𝑥𝑦⏞ :𝑛|1 ̅̅̅
𝑎̈𝑥𝑦:𝑛|̅̅̅ (2.73)
23
BAB III
METODOLOGI PENELITIANMETODOLOGI PENELITIAN
3.1 Data Penelitian
Penelitian ini akan menghitung nilai premi pada asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun dengan lama perjanjian 10 tahun. Peserta asuransi diasumsikan pasangan suami istri dimana rentang usia dari 55 tahun sampai 70 tahun dengan usia suami 5 tahun lebih tua dari usia istri. Besar benefit yang akan diterima jika peserta asuransi meninggal diasumsikan sebesar Rp. 100.000.000,-. Suku bunga yang digunakan merupakan suku bunga stokastik yaitu Vasicek, Langevin, dan CIR.
Medikasari(2020) telah menghitung parameter untuk suku bunga stokastik, dimana nilai 𝑘 = 0.4971336415426081, 𝜃 = 0.04816609335331848, 𝜎 = 0.10618739412245386. Kemudian untuk menentukan peluang hidup dan peluang kematian pasangan suami istri digunakan Tabel Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011 untuk laki-laki dan perempuan. Dan nilai suku bunga awal 𝑟(0) diasumsikan sebesar 4.5%, 4.75%, 5%, 5.55%, dan 6%..
3.2 Pengolahan Data
Penelitian ini menggunakan bantuan software Rstudio dalam perhitungan anuitas, premi tunggal dan premi tahunan. Berikut langkah-langkah dalam menghitung premi pada asuransi jiwa joint life :
1. Menentukan usia peserta, jangka waktu perjanjian, dan mengasumsikan besar benefit.
2. Menentukan suku bunga stokastik yaitu Vasicek, Langevin, dan CIR dan mengasumsikan parameter 𝑘, 𝜃 dan 𝜎.
3. Mengasumsikan parameter untuk Copula Frank.
4. Menghitung nilai premi tunggal 𝐴
𝑥𝑦⏞ :𝑛|1 ̅̅̅asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun menggunakan persamaan (2.72)
5. Menghitung nilai anuitas 𝑎̈𝑥𝑦:𝑛|̅̅̅ asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun menggunakan persamaan (2.71)
24
6. Menghitung premi tahunan 𝑃 asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun menggunakan persamaan (2.73)
7. Membandingkan premi asuransi jiwa joint life pasangan suami istri antar suku bunga stokastik.
8. Membandingkan premi asuransi jiwa joint life pasangan suami istri berdasarkan perbedaan nilai suku bunga awal 𝑟(0).
9. Membandingkan premi asuransi jiwa joint life pasangan suami istri menggunakan Copula Frank berdasarkan parameter 𝛼.
10. Selesai
3.3 Alur Penelitian
Prosedur dalam penelitian ini adalah : Mulai
Menentukan usia peserta, jangka waktu perjanjian, dan asumsi besar benefit Menentukan suku bunga stokastik, yaitu Vasicek, Langevin, dan CIR
Mengasumsikan parameter untuk Copula Frank
Menghitung nilai 𝐴
𝑥𝑦⏞ :𝑛|1 ̅̅̅
Menghitung nilai 𝑎̈𝑥𝑦:𝑛|̅̅̅
Memperoleh premi asuransi jiwa joint life menggunakan Copula Frank
Membandingkan premi antar suku
bunga stokastik
Membandingkan premi berdasarkan
perbedaan 𝑟(0)
Membandingkan premi berdasarkan
parameter 𝛼
Selesai
![Tabel mortalita adalah tabel yang memuat peluang hidup dan mati seseorang berdasarkan kelompok usia dalam jumlah besar dalam jangka waktu tertentu [7]](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/3338462.3803111/21.892.164.768.343.1179/tabel-mortalita-memuat-peluang-berdasarkan-kelompok-jumlah-jangka.webp)
