1
TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS
Galih Gusti Suryaning Akbar, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika FMIPA UNS
ABSTRAK. Penjadwalan merupakan masalah yang penting untuk meningkatkan kinerja operasi. Untuk menentukan jadwal dari suatu sistem produksi diperlukan data lama waktu operasi yang menghasilkan persamaan nonlinier. Untuk menyelesaikan persamaan nonlinier ini dapat digunakan aljabar maks-plus. Sistem produksi di Perusahaan Roti Ganep menggunakan sistem produksi tipe assembly. Dengan menerapkan model tersebut diperoleh periode sistem untuk memulai fase selanjutnya yaitu 1200 (dalam satuan menit) dan waktu yang baik untuk memulai produksi pada masing-masing sitem produksi (dalam satuan menit) yaitu 0, 30, 210, 300, 510, 510, 590, 630, 690, 900, 1020, 1050.
Kata kunci : penjadwalan, sistem produksi, aljabar maks-plus.
1. P
ENDAHULUANSeiring dengan perkembangan dunia industri di Indonesia saat ini selaras dengan berkembangnya beberapa sektor usaha. Untuk mengembangkan usaha perusahaan harus melakukan berbagai usaha untuk meningkatkan kinerja operasi, salah satunya adalah peningkatan kemampuan produksi barang atau jasa yang dapat memenuhi permintaan konsumen secara efektif dan efisien. Pada umumnya sebelum dilakukan proses produksi, perlu diadakan penyusunan perencanaan, pengawasan, dan penjadwalan dengan baik agar proses produksi berjalan dengan tepat.
Proses produksi membentuk suatu sistem yang kompleks, sistem ini termasuk dalam Sistem Kejadian Diskrit (SKD). SKD merupakan klasifikasi dari masalah suatu sistem buatan manusia dengan sumber daya dan pengguna yang terbatas untuk mencapai tujuan bersama (Schutter dan Boom [6]). Pada umumnya model matematika yang diperoleh dari masalah SKD merupakan sistem persamaan nonlinier sehingga tidak mudah untuk diselesaikan. Untuk mengubah persamaan nonlinier menjadi persamaan linier dapat digunakan aljabar maks-plus.
Aljabar maks-plus adalah himpunan dilengkapi dengan operasi maksimum (maks) yang dinotasikan dan penjumlahan (plus) yang dinotasikan
2
(Heidergott [2]). De Schutter [5] mengatakan bahwa terdapat kesamaan antara aljabar maks-plus dan aljabar konvensional sehingga beberapa teori dalam aljabar konvensional juga berlaku dalam aljabar maks-plus.
Penelitian yang dilakukan oleh de Schutter menjelaskan tentang sistem produksi sederhana yang selanjutnya dikembangkan menjadi 5 tipe sistem produksi yaitu sistem produksi tipe serial, assembly, splitting, parallel, dan flexible dengan aktivitas barisan tertentu. Sebelumnya pada tahun 1992, Bacelli et al. [1] menjelaskan aplikasi aljabar maks-plus pada sistem produksi sederhana. Kemudian Kuswanto [3] meneliti tentang jadwal pengoperasian mesin pada pabrik jamu Air Mancur dan Muntohar [4] meneliti tentang penentuan jadwal produksi harian di PT. Solo Grafika Utama.
Terkait dengan penelitian sistem produksi tipe assembly ini akan diambil data berupa alur dan waktu tiap-tiap unit pemroses pada sistem produksi di Perusahaan Roti Ganep Solo. Adapun produk andalan dari perusahaan roti Ganep adalah Roti Kecik. Dalam pelaksanaan proses produksi diperlukan perencanaan dan penjadwalan yang baik agar proses produksi dapat berjalan secara efisien. Pada umumnya perusahaan ini hanya mengandalkan waktu perkiraan selama melakukan proses produksi, hal ini menyebabkan pemenuhan pesanan yang tidak tepat waktu.
Berdasarkan uraian yang telah dijelaskan, penelitian ini akan mengambil data proses produksi roti kecik di Perusahaan Roti Ganep Solo lalu mencari efisiensi waktu produksi menggunakan aljabar maks-plus.
2
.ALJABAR MAKS-PLUS
Menurut Heidergott [2], aljabar maks-plus atau adalah himpunan { } yang dilengkapi dengan operasi dan yang dinotasikan sebagai
dengan dan . Operasi dasar dari aljabar maks-plus adalah maksimum yang dinotasikan dan penjumlahan yang dinotasikan sehingga
dan untuk semua
3
3. MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
Himpunan matriks berukuran untuk dalamdinotasikan sebagai , adalah himpunan bilangan asli dalam aljabar maks-plus. Matriks dapat ditulis
( ).
Untuk matriks , penjumlahan matriks didefinisikan sebagai
[ ] ( )
Untuk matriks dan , perkalian matriks didefinisikan sebagai
[ ] { } Untuk matriks dan skalar
, perkalian skalar dengan matriks didefinisikan sebagai
[ ] .
4. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Subiono[7] juga menjelaskan suatu algoritme untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linear
(4.1)
1. Mulai dari sembarang nilai awal
2. Iterasi persamaan (4.1) hingga terdapat bilangan bulat dan dengan serta bilangan real sehingga terjadi suatu perilaku periodik atau memenuhi
3. Hitung nilai eigen , 4. Hitung vektor eigen
4
( )
5.
M
ETODE PENELITIANDalam penelitian ini diterapkan aljabar maks-plus pada penentuan jadwal sistem produksi roti kecik di Perusahaan Roti Ganep Solo. Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah melakukan pengamatan serta pengambilan data yang berupa alur dan waktu pemrosesan tiap-tiap mesin produksi roti kecik Ganep. Kemudian menyusun bagan sistem produksi roti kecik Ganep, setelah itu menyusun persamaan sistem produksi roti kecik Ganep dalam bentuk dan . Lalu menentukan matriks ̅, dengan ̅ . Berikutnya menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks ̅. Langkah yang terakhir adalah menyusun jadwal sistem produksi roti kecik Ganep dengan nilai eigen digunakan untuk menentukan periode waktu sistem produksi agar berjalan secara periodik, sedangkan waktu awal yang baik untuk mengawali sistem dapat diketahui dengan menentukan vektor eigen.
6.
H
ASIL DAN PEMBAHASANSistem produksi roti kecik di Perusahaan roti Ganep terdiri dari 12 mesin pemroses yang disusun seperti pada Gambar 1. Misalkan unit-unit pemroses dinotasikan .
Waktu proses yang dibutuhkan untuk setiap unit pemroses dinotasikan dan masing-masing adalah 30, 180, 90, 210, 4, 80, 40, 60, 210, 120, 30,dan 150 dalam satuan menit. Didefinisikan sistem produksi roti Kecik sebagai berikut.
1. adalah waktu saat beras ketan dan bahan baku lainnya dipersiapkan. 2. adalah waktu saat pemroses ke mulai bekerja untuk proses ke- , 3. adalah waktu saat produk meninggalkan sistem untuk proses ke- , untuk semua dan .
Selanjutnya, waktu saat mulai bekerja untuk proses ke sebagai berikut. Ditentukan waktu saat mulai bekerja untuk proses . Jika bahan baku beras ketan sudah masuk ke sistem untuk proses , maka bahan baku beras ketan ini sebagai input pada waktu .
5
Akan tetapi hanya dapat mulai bekerja untuk proses pemasukan bahan apabila telah menyelesaikan proses sebelumnya, yaitu proses ke- . Karena waktu proses yang dibutuhkan untuk adalah 30 satuan dalam menit sehingga waktu proses akan selesai pada saat .
Gambar 1. Sistem produksi roti Kecik
6
Waktu saat mulai bekerja untuke proses ke- serta waktu saat produk meninggalkan sistem untuk proses ke- mempunyai langkah sama pada .
Dari sistem persamaan tersebut diperoleh bentuk persamaan umum sistem produksi roti Kecik yang dinyatakan sebagai
Diasumsikan jika waktu saat bahan utama masuk ke sistem sama dengan waktu saat produk meninggalkan sistem atau dapat dituliskan sebagai berikut , maka persamaan dapat dinyatakan sebagai ̅ dengan ̅ .
Berikutnya ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks ̅ dengan menggunakan scilab 5.4.1. Diperoleh . Jadi nilai eigen dari matriks ̅ dinyatakan sebagai
dan vektor eigen dari matriks ̅ dinyatakan sebagai
Dengan memilih , diperoleh vektor eigen , unit pemroses masing-masing bekerja untuk proses pertama pada menit datuan dalam menit. Untuk proses selanjutnya, yakni setiap unit pemroses bekerja secara periodik dengan periodenya adalah 1200 satuan dalam menit.
5.1 Jadwal Sistem Produksi Roti Kecik. Berikut ini diberikan jadwal untuk sistem
produksi roti Kecik di Perusahaan Roti Ganep Solo. Jadwal sistem produksi agar berjalan secara periodik, ditentukan periode dan waktu awal yang baik untuk
7
mengawali sistem, yaitu dengan menentukan nilai eigen dan vektor eigen. Dari sistem produksi roti Kecik diperoleh nilai eigen dan vektor eigen sebagai berikut.
dan Tabel 1. dibawah ini menunjukkan keadaan saat waktu awal yang terbaik untuk memulai masing-masing proses hingga aktif bekerja.
Setelah diterapkan jadwal periodik sistem produksi seperti ditunjukkan jadwal produksi pada Tabel 1, sistem produksi roti Kecik di Perusahaan Roti Ganep menjadi lebih efektif dan diperoleh waktu awal yang baik untuk mengawali sistem produksi sehingga produksi berjalan secara teratur atau periodik serta memenuhi batas waktu yang ditetapkan.
Proses
Fase ke-(dalam menit)
1 2 3 4 0 1200 2400 3600 30 1230 2430 3630 210 1410 2610 3810 300 1500 2700 3900 510 1710 2910 4110 510 1710 2910 4110 590 1790 2990 4190 630 1830 3030 4230 690 1890 3090 4290 900 2100 3300 4500 1020 2220 3420 4620 1050 2250 3450 4650
Tabel 1. Jadwal produksi saat waktu awal sistem aktif
7.
K
ESIMPULANDari hasil dan pembahasan yang telah dilakukan diperoleh waktu mulai untuk mesin ke 1, 2, 3,..., 12 bekerja pada fase ke-1 yaitu pada menit ke 0, 30, 210, 300, 510, 510, 590, 630, 690, 900, 1020, 1050. Untuk fase selanjutnya dapat dimulai
8
dengan periode 1200. Jadwal sistem produksi roti Kecik di Perusahaan Roti Ganep Solo tersebut diperoleh berdasarkan persamaan .
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bacelli, F.,G. Cohen, G., J. Olsder, and J. P. Quadrat, Synchronization and Linearity,, An Algebra for Liscrete Event System, John Wiley and Sons, New York, 1992
[2] Heidergott, B., Max-Plus Algebra and Queues, EURANDOM research fellow, Department of Econometrics and Operation Research, Vrije Universiteit, The Netherlands, 2006.
[3] Kuswanto, H., Penentuan Jadwal Pengoperasian Mesin pada Pabrik Jamu Air Mncur dengan Aljabar Maks-Plus, Tugas Akhir S1 Matematika Fakultas MIPA UNS, 2014.
[4] Muntohar, A., Penerapan Aljabar Maks-Plus pada Penjadwalan Sistem Produksi Harian Umum Solopos di PT. Solo Grafika Utama, Tugas Akhir S1 Matematika Fakultas MIPA UNS, 2015.
[5] Schutter, B. D., Max-Algebraic System Theory for Discrete Event System, Ph.D. thesis, Katholieke Universiteit Leuven, Departement Elektrotecniek, Belgium, 1996.
[6] Schutter, B. D., and T. van den Boom, Max-Plus Algebra and Max-Plus Linear Discrete Event System: An Introduction, Proceedings of The 9th International Workshop on DiscreteEvent Systems (WODES’08)(2008), 36-42.
[7] Subiono, Aljabar Maks-Plus dan Terapannya, 3.0.0 ed., Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2015.
