BAB II DINAMIKA KISI
Dalam bab yang lalu, telah dibahas bahwa kristal tersusun oleh atom-atom yang “diam” pada posisinya di titik kisi. Sesungguhnya, atom-atom tersebut tidaklah diam, tetapi bergetar pada posisi kesetimbangannya. Getaran atom-atom pada suhu ruang adalah sebagai akibat dari energi termal, yaitu energi panas yang dimiliki atom-atom pada suhu tersebut.
Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada kristal. Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pedekatan gelombang panjang. Disebut pendekatan gelombang pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini, gelombang akan “melihat” kristal sebagai tersusun oleh atom-atom yang diskrit; sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit. Sebaliknya, bila dipakai gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi akan “nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disbut sebagai pendekatan kisi malar.
2.1. GELOMBANG ELASTIK DAN FONON
Dalam pendekatan gelombang panjang, tinjau sebuah batang berpenampang A dengan rapat massa ρ, yang dirambati gelombang mekanik ke arah memanjang batang x. Pada setiap titik x dalam batang terjadi perubahan panjang u (x) sebagai akibat adanya tegangan σ(x) dari gelombang, lihat gambar 2.1.
x x x+dx
dx
Dapat dituliskan regangan pada batang : Gambar 2.1
karena tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut :
σ = E∈
(2.2.)
dengan E menyatakan Modulus elastik atau Modulus Young. Selanjutnya, menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :
F = A {σ(x+dx) - σ(x)} (2.3.)
akan menyebabkan massa elemen batang tersebut (ρAdx) mendapatkan percepatan sebesar
(
∂2u/∂t2)
Perhatikan lebih lanjut ruas kanan persamaan (2.4), dapat dijabarkan :
=
Masukkan kembali hasil (2.5) ke persamaan semula (2.4) memberikan :
ρ ∂
yaitu persamaan gelombang elastik. Dan bila dibandingkan dengan persamaan gelombang
akan diperoleh ungkapan bagi kecepatan gelombang elastik :
ν
Jelas bahwa kecepatan gelombang mekanik dalam batang (secara umum pada zat padat) bergantung pada “besaran elastik” bahan tersebut, yakni modulus Young. Karena perambatan gelombang tersebut bergantung pada besaran elastik maka gelombang yang bersangkutan disebut gelombang elastik.
Bentuk penyelesaian dari persamaan gelombang, persamaan (2.6), dapat dipilih solusi gelombang bidang :
u(x) = u0 exp (iqx - iωt) (2.8)
dengan q bilangan gelombang (= 2π
λ ), ω frekuensi sudut dan λ panjang gelombang. Bila hanya diperhatikan bergantung gelombang terhadap posisi (x), dengan mengabaikan faktor waktu (t), maka fungsi gelombang bidang dapat ditulis :
u(x) = u0 exp (iqx) (2.9) Dengan menganggap panjang batang L, fungsi gelombang harus memenuhi syarat periodik, yaitu nilai pada ujung kiri (x = 0) harus sama dengan nilainya pada ujung kanan (x = L), jadi :
u (x = 0) = u (x = L) (2.10) u0 = u0 exp (iqL)
Ini berarti,
atau :
iqL = ln 2π dan :
. q = 2 n
(2.11)
π L
dengan n = 0, ±1, ±2, ... Persamaan terakhir (2.11) mengungkapkan bahwa gelombang dapat merambat dalam batang yang panjangnya L bilamana bilangan gelombangnya memiliki harga kelipatan bulat (0, 1, 2, ...) dari 2π
L
. Atau dengan kata lain “bilangan gelombang q
berharga diskrit”.
Keadaan di atas bila dituliskan dalam ruang - q (koordinat yang menyatakan bilangan gelombang) akan terlihat seperti pada gambar 2.2a. Titik-titik dalam ruang - q menyatakan ragam (moda) gelombang. Andaikan panjang batang cukup besar (L>>), maka jarak
2π L
akan mendekati nol dan ini berarti titik-titik dalam ruang - q makin berdekatan (ruang -
q mendekati malar/kuasi kontinyu), lihat gambar 2.2b.
Berdasarkan gambar 2.2. dapat didefinisikan jumlah ragam gelombang elastik yang mempunyai bilangan gelombang antara q dan q + dq (dalam interval dq) adalah :
dq
L
L dq
2π 2π
=
(2.12)
dengan :
q = 2π L
Jumlah ragam gelombang seperti pada persamaan (2.2) untuk setiap satuan volume disebut rapat keadaan atau ditulis g(q) dq. Rapat keadaan dapat juga diungkapkan sebagai frekuensi sudut ω, yaitu g(ω) dω; yang menyatakan jumlah ragam gelombang elastik persatuan volume dengan frekuensi antara ω dan ω+dω (dalam interval dω). Di pihak lain, q dan ω berhubungan satu sama lain melalui hubungan dispersi, lihat gambar 2.3., yaitu bahwa ω berbanding lurus terhadap q untuk kisi malar :
ω = vs 2 (2.13)
dengan vs adalah kecepatan gelombang pada medium yang bersangkutan. Melalui hubungan
Angka 2 pada persamaan tersebut muncul karena ragam gelombang meliputi 2 daerah (positif dan negatif), yaitu berhubungan dengan gelombang yang merambat ke arah kanan dan kiri.
Lebih lanjut, perubahan gelombang di atas dapat diperluas untuk kasus tiga-dimensi. Dalam ruang tiga-dimensi, fungsi gelombang dengan mengabaikan faktor waktu ditulis :
u(x,y,z) = u0 exp {i(qxx + qyy + qzz)} (2.15)
Syarat batas periodik menghasilkan :
exp {iL(qx + qy + qz)} (2.16)
Hal ini dapat dipenuhi oleh :
n
Setiap titik dalam ruang - q dinyatakan oleh :
yang merupakan satu ragam gelombang. Pada gambar 2.4. dilukiskan ruang - q tiga-dimensi, proyeksi pada bidang qy-qz dan besarnya volume yang ditempati oleh satu titik (qx, qy, qz) dalam ruang - q tersebut.
Gambar 2.4. Ruang - q tiga dimensi : a. ruang - q dalam kuadran I (qx, qy, qz > 0); b. proyeksi ruang - q pada bidang qy - qz; c. volume yang ditempati
oleh satu titik dalam ruang - q
N =
Turunkan (diferensiasi) N terhadap q akan memberikan g(ω) dω : dN = L2 q dq g d Gunakan hubungan dispersi :
ω = vsq ; q2 =
Sehingga diperoleh :
g V
V = L3, yaitu volume medium apabila berbentuk kubus. Dengan hasil rumusan terakhir, dapat diperluas hubungan antara jumlah ragam gelombang yang dinyatakan oleh titik-titik dalam ruang - q. Dalam pengertian ini, satu titik (qx, qy, qz) setara dengan 3 (tiga) ragam gelombang dalam ruang (koordinat) tiga-dimensi. Anggap, misalnya, gelombang merambat ke arah - x, maka ragam ke arah x ini menjadi gelombang longitudinal (1 ragam) sedangkan ragam ke arah y dan z menjadi gelombang tronsversal (2 ragam), sehingga :
(qx, qy, qz) - 1 ragam longitudinal
- 2 ragam transversal
g V
vs L vs T ( )
, ,
ω
π ω
= +
2
1 2
2 2
3 3 (2.20)
dengan vs,L dan vs,T adalah kecepatan gelombang longitudinal dan kecepatan gelombang transversal.
Sampai sejauh ini, kita telah membahas rambatan gelombang elastik pada bahan padat. Gelombang elastik pada zat padat ini dapat disebabkan baik oleh gelombang mekanik (bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua gelombang tersebut dapat menyebabkan getaran kisi. Untuk selanjutnya, paket-paket energi getaran kisi disebut fonon. Fonon dapat dipandang sebagai “kuasi partikel” seperti halnya foton pada gelombang cahaya/elektromagnet. Melalui konsep yang mirip “dualisme partikel-gelombang” ini, rambatan getaran kisi dalam zat padat dapat dianggap sebagai aliran fonon.
Beberapa konsep dualisme gelombang-pertikel ditunjukkan pada tabel 2.1.
Tabel 2.1. Beberapa eksitasi elementer pada zat padat.
GELOMBANG PARTIKEL
Gel. Elektromagnet Foton
Gel. Elastik/getaran Kisi Fonon
Gel. Elektron Kolektif Plasmon
Gel. Magnetisasi Magnon
Gel. Elektron + deformasi elastik Polaron
Gel. Polarisasi Eksiton
2.2. VIBRASI KISI
2.2.1. Kisi Eka-atom Satu Dimensi
titik kisi. Kemudian, atom-atom akan menyimpang dengan simpangan sebesar ….un-1, un, un +1, ...dst.
Gambar 2.5. Kisi eka-atom satu dimensi dalam keadaan seimbang (atas) dan dirambati gelombang longitudinal (bawah).
Menurut hukum kedua Newton, persamaan gerak atom ke-n dapat diungkapkan sebagai berikut :
md u
d t C u u u
n
n n
2
2 = ( +1+ −1+2 n) (2.21)
m massa atom, C tetapan elastik ikatan antar atom (semacam tetapan pegas), dan t menyatakan waktu. Terhadap persamaan gerak itu dapat diambil penyelesaian berbentuk :
un = A exp [i (qxn - ωt) ] (2.22)
A amplitudo dan xn adalah posisi atom ke-n terhadap pusat-pusat koordinat sembarang dan dapat dituliskan :
xn = na (2.13)
n bilangan bulat dan a tetapan kisi. Masukkan solusi (2.22) ke dalam persamaan gerak (2.21), dan dengan menggunakan hubungan Euler :
diperoleh solusi ω :
ω = ωm sin qa
2
(2.24)
dengan
ωm = ±2 c m
1 2
Hasil (2.24) menyatakan hubungan antara ω dan q, jadi jelas bahwa persamaan tersebut menyatakan hubungan dispersi yang dalam kasus ini berbentuk/bersifat sinusoida. Dalam pembahasan di atas secara implisit telah digunakan pendekatan gelombang pendek, karena medium “tampak” sebagai deretan atom-atom diskrit. Dari hasil dapat dikatakan bahwa untuk kisi diskrit atau pendekatan gelombang pendek, hubungan dispersinya sinusoida (tidak linier); lihat gambar 2.6.
Gambar 2.6. Hubungan dispersi, ω vs q, sinusoida dari kisi diskrit (pendekatan gelombang pendek).
2.2.2. Kecepatan Gelombang
ω3, ... Perhatikan gelombang paket pada gambar 2.7c, gelombang tersebut mempunyai dua komponen; yaitu gelombang “isi” yang frekuensinya lebih besar dan gelombang “sampul” yang mempunyai frekuensi lebih kecil. Kedua komponen gelombang merambat dengan kecepatan yang berbeda secara umum.
Gelombang “isi” merambat dengan apa yang disebut kecepatan fasa (vf); sedangkan gelombang “sampul” merambat dengan kecepatan kelompok/grup (vg). Kedua kecepatan ini didefinisikan sebagai berikut :
v
q dan v d
dq
f = g =
ω ω
(2.25)
Gambar 2.7. a. Gelombang murni merambat dengan satu nilai kecepatan. b. Superposisi gelombang dengan nilai q dan ω berbeda-beda menghasilkan gelombang seperti
pada c.c. Gelombang paket dengan dua komponen, masing-masing merambat dengan kecepatan vf dan vg.
Untuk kisi malar, panjang gelombang (λ) besar sedemikian sehingga :
λ >>
menghasilkan q 0 q = 2π
λ
}
Dari hubungan dispersi secara umum, lihat persamaan (2.24) sebagai berikut :
ω ω= msinqa 2 oleh karena q→ 0, maka :
sin qa qa
2 2
≈
dan ini berarti
ω≈ω
=
m
s a
v q
2 2 (2.26)
dengan
vs=ωma
2
Tampak bahwa untuk kisi malar, kecepatan rambat gelombang baik kecepatan fasa maupun kecepatan kelompok sama dengan kecepatan rambat vs. Kisi malar, sebagai medium perambatan gelombang yang bersifat demikian (hubungan dispersi linier, vf = vg = vs) disebut medium dispersif.
v
Terlihat bahwa
vf≠ vg≠ vs
Medium yang bersifat sebagai kisi diskrit adalah medium tak-dispersif. Perhatikan ungkapan untuk kecepatan kelompok, bahwa untuk nilai q = ± (π/a) menghasilkan kecepatan kelompok vg = 0. Bila hal ini terjadi akan dapat diamati bahwa gelombang “isi” tetap merambat sedangkan gelombang “sampul” diam (menghasilkan gelombang berdiri).
2.2.3. Kisi Dwi-atom Satu Dimensi
Pembahasan untuk kisi eka-atom seperti yang telah diuraikan di atas dapat diterapkan untuk kisi dwi-atom. Pada gambar 2.8, atom-atom yang berukuran lebih kecil, dengan massa m, diberi nomer genap, sedangkan atom-atom yang lebih besar, dengan massa M, diberi nomer ganjil. Apabila kisi dirambati gelombang, atom-atom akan mengalami penyimpangan sebesar ... U2r-1, U2r, U2r+1 ...dan seterusnya.
Gambar 2.8. Kisi dwi-atom satu dimensi Persamaan gerak untuk atom bernomer ganjil adalah :
dan untuk atom bernomer genap :
Selanjutnya, kita ambil fungsi gelombang berbentuk :
Uer+1 = A1 exp [iqa (2r+1) - iωt]
(2.31)
U2r = A2 exp [iqa (2r) - iωt]
dan substitusikan ke persamaan gerak di atas : (2.29) dan (2.30), menghasilkan :
(2c - Mω2) A1 - (2c cos qa) A2 = 0 (-2c cos qa) A1 + (2c - mω2) A2 = 0
yang dapat ditulis dalam bentuk matrik :
(2.32)
Persamaan matrik ini akan mempunyai penyelesaian “non-trivial” (solusi yang tidak nol) bila determinannya dama dengan nol. Jadi,
2 2
Bila diperhatikan, persamaan (2.33), untuk kisi dwi-atom satu dimensi. Pada gambar 2.9, titik
Gambar 2.9. Hubungan dispersi kisi dwi-atom satu dimensi.
Persamaan (2.33) menghasilkan dua penyelesaian, yaitu penyelesaian I :
ω2
ω2
2 2
1 1 1 1 4
1 2
= + − + −
c
M m c M m
qa Mm
sin
(2.36)
yang disebut frekuensi cabang akustik, karena sifatnyaseperti gelombang bunyi : q → 0,
ω→0, dan q meningkat, ω juga meningkat secara “hampir” linier.
Bagaimanakah atom-atom bergetar oleh rambatan gelombang ini ? untuk melihat gerakan atom-atom, perhatikan amplitudo A1 dan A2 pada persamaan (2.31). A1 adalah amplitudo bagi getaran atom nomer ganjil dan A2 untuk atom-atom nomer genap. Dapat dibuktikan bahwa untuk cabang akustik A1 dan A2 sefasa, sedangkan untuk cabang optik A1 berlawanan fasa dengan A2. Lihat gambar 2.10.
Gambar 2.10. Getaran atom pada cabang optik dan akustik : a. longitudinal optik b. longitudinal akustik
c. transversal optik c. transversal akustik.
Pada kurva dispersi dalam gambar 2.9, untuk daerah frekuensi antara ω1 dan ω2 tidak ada kurva ω(q) yang memenuhi dalam selang nilai −π < < π
2a q 2a . Daerah frekuensi ini (antara
2.3. KAPASITAS PANAS DAN STATISTIK FONON
Sejumlah panas ( Q) yang diperlukan per mol zat untuk menaikkan suhunya disebut kapasitas panas. Bila kenaikan suhu zat
∆
∆T, maka kapasitas panas adalah :
C=∆Q
∆Τ (2.37)
Jika proses penyerapan panas berlangsung pada volume tetap, maka panas yang diserap sama dengan peningkatan energi dalam zat, ∆Q = ∆E, E menyatakan energi dalam. Kapasitas panas pada volume tetap (Cv) dapat dinyatakan :
Cv
v v
=
=
∆Ε
∆Τ
Ε Τ ∂
∂ (2.38)
Kapasitas panas zat bergantung pada suhu, lihat gambar 2.11. Kapasitas panas zat pada suhu tinggi mendekati nilai 3R; R menyatakan tetapan gas umum. Karena R ≅ 2 kalori/K-mol, maka pada suhu tinggi kapasitas panas zat padat :
Gambar 2.11. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu
Nilai di atas berlaku dalam selang suhu termasuk suhu ruang. Kenyataannya Cv memiliki nilai 3R pada suhu tinggi untuk semua zat, ini yang dikenal sebagai hukum Dulong-Petit.
Pada suhu rendah, Cv menyimpang dari hukum Dulong-Petit, Nilai Cv menurun seiring dengan berkurangnya suhu T, dan Cv menuju nol untuk T = 0. Di sekitar T = 0 nilai Cv sebanding dengan T3. Bagaimanakah kebergantungan Cv terhadap T ini dapat diterangkan ? Berikut akan dibahas tiga buah model untuk menjelaskan Cv tersebut.
2.3.1. Model Teori Klasik
Apabila zat padat penyerap energi panas akan terjadi gejala termal, yaitu atom-atom bergetar di sekitar posisi setimbangnya. Menurut fisika klasik, getaran atom-atom zat padat dapat dipandang sebagai osilator harmonik. Satu getaran atom identik dengan sebuah osilator harmonik. Osilator harmonik merupakan suatu konsep/model yang secara makroskopik dapat dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas C. Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan :
ε = energi kinetik + energi potensial
=1 +
2
2 1
2 2
mv cx (2.39)
(
)
=m v + x
2
2 ω2 2
dengan v laju getaran osilator, x simpangan osilator dan ω frekuensi sudut getaran osilator
=
c
ε
dengan k tetapan Boltzmann dan T suhu osilator. Faktor exp (-ε/kT) disebut bobot Boltzmann atau lengkapnya fungsi distribusi Maxwell - Boltzmann.
Energi rata-rata osilator seperti pada persamaan (2.40) dapat juga ditentukan melalui prinsip ekuipartisi energi. Menurut prinsip ini, setiap sistem yang mempunyai satu derajad bebas yang berbentuk kuadrat dari besaran gerak (v2, x2, ω2 ....) mempunyai energi rata-rata yang setara dengan 1
2 kT.
Jadi untuk osilator harmonik satu dimensi yang mempunyai dua derajad bebas (persamaan 2.39) mempunyai energi rata-rata :
ε=1 + =
2 1 2
kT kT kT (2.41)
Selanjutnya, karena atom-atom dalam kristal membentuk susunan tiga-dimensi, maka untuk satu mol osilator harmonik tiga-dimensi, energi dalamnya :
E =3NAε=3N kTA =3RT
Dengan demikian kapasitas panasnya :
Dari hasil (2.42) ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas zat padat tidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum Dulong-Petit yang hanya berlaku untuk suhu tinggi. Sedangkan untuk suhu rendah jelas teori ini tidak berlaku.
2.3.2. Model Einstein
Dalam model ini, atom-atom dianggap sebagai osilator-osilator bebas yang bergetar tanpa terpengaruh oleh osilator lain di sekitarnya. Energi osilator dirumuskan secara kuantum (berdasarkan teori kuantum) yang berharga diskrit :
εn n ω n
= =
h
0 1 2 3, , , ,...
(2.43)
dengan h= h
2π; h tetapan Planck. Pada tingkat dasar n = 0, energi osilator ε0 = 0. Tingkat berikutnya n = 1, 2 dan seterusnya. Perbedaan energi antar tingkat adalah hω; lihat gambar 2.12.
Gambar 2.12. Spektrum energi osilator satu dimensi menurut teori kuantum.
ε
faktor (bobot) Boltzmann exp(-εn/kT) menyatakan kebolehjadian keadaan berenergi εn tertempati. Persamaan (2.44) dalam bentuk deret tersebut ekuivalen dengan ungkapan :
ε = ω ω −
h
h
e kT 1 (2.45)
Selanjutnya, untuk satu mol osilator tiga-dimensi memiliki energi dalam :
E N N
Sehingga kapasitas panasnya :
(
)
Dalam model Einstein frekuensi osilator ω biasa ditulis ωE yang disebut frekuensi Einstein. Untuk menyederhana persamaan (2.46) didefinisikan suhu Einstein (θE) menurut :
kθE = hωE (2.47)
dan persamaan (2.46) tereduksi menjadi :
Cv menurut persamaan terakhir ini bila dilukiskan sebagai fungsi T akan menghasilkan kurva yang secara kualitatif menyerupai kurva eksperimen dalam gambar 2.11.; terutama untuk suhu rendah dimana Cv→ 0 bila T → 0K. Suatu hal yang tidak dihasilkan oleh model fisika klasik pada pembahasan terdahulu. Tetapi, apakah benar bahwa hasil (2.48) cocok secara kuantitatif dengan kurva eksperimen ?
Pada suhu tinggi (T>>), maka nilai (θE/T) berharga kecil; sehingga exp (θE/T) dapat diuraikan ke dalam deret sebagai berikut :
C R
Menurut hasil ini jelas bahwa model Einstein cocok pada suhu tinggi. Bagaimana untuk suhu rendah ? Pada suhu rendah (T<<) nilai (θE/T) besar. Hal ini berdampak pada penyebut dalam persamaan (2.48); yaitu :
eθE /T - 1 ≅ eθE /T sehingga ungkapan kapasitas panas menjadi :
Jadi, pada suhu rendah Cv sebanding dengan e−
θE
T dan jelas ini tidak cocok dengan hasil
eksperimen, dimana Cv sebanding dengan T3. Sekali lagi, model inipun gagal menjelaskan Cv pada suhu rendah.
2.3.3. Model Debye
Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom akan saling berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Seperti dalam kasus penjalaran gelombang mekanik dalam zat padat, oleh karena rambatan gelombang tersebut atom-atom akan bergerak kolektif. Frekuensi getaran atom bervariasi dari ω = 0 sampai dengan ω = ωD. Batas frekuensi ωD disebut frekuensi potong Debye.
Menurut model Debye ini, energi total getaran atom pada kisi diberikan oleh ungkapan :
E g
D
=ω
∫
ε ω( ) ( )ω ω0
d (2.51)
ε ω( ) adalah energi rata-rata osilator seperti pada model Einstein, lihat persamaan (2.45), sedangkan g (ω) adalah rapat keadaan seperti pada persamaan (2.19). Dalam selang frekuensi antara ω = 0 dan ω = ωD, g(ω) memenuhi :
(2.52)
g d NA
D
( )ω ω ω
=
∫
30
ωD s π A
v N
V
=
6 2
1 3
(2.53)
Gambar 2.13. Rapat keadaan menurut Model Debye.
Apabila kita menggambarkan kontur yang berhubungan dengan ω = ωD dalam ruang - q seperti pada gambar 2.4. akan diperoleh sebuah bola yang disebut bola Debye, dengan jejari qD yang disebut jejari Debye dan memenuhi (lihat gambar 2.14) :
( )
VqD nA 2
4 3
3
π
π =
(2.53a)
Gambar 2.14. Bola Debye dengan jejari qD.
E V
Turunan pertama terhadap suhu persamaan (2.45) menghasilkan kapasitas panas :
(
)
Penampilan persamaan (2.55) dapat disederhanakan dengan mendefinisikan :
X kT
=hω
dan suhu Debye (θD) :
kθD=hωD
sehingga bentuknya menjadi :
(
)
Apakah hasil terakhir ini sesuai dengan eksperimen ?
Pada suhu tinggi (T>>θD), batas atas integral (θD/T) sangat kecil, demikian juga variabel x. Sebagai pendekatan dapat diambil :
ex ≅ 1 + x sehingga integral yang bersangkutan menghasilkan :
x dx
masukkan hasil ini ke persamaan (2.56) :
Sesuai dengan hukum Dulong-Petit, sehingga pada suhu tinggi model ini cocok dengan hasil eksperimen.
Pada suhu rendah (T<<θD), batas integral pada persamaan (2.56) menuju tak berhingga; dan integral tersebut menghasilkan 4
15
Tabel 2.1. Suhu Debye untuk beberapa zat.
Zat Struktur Kristal Laju gel.Elastik (ms-1)
Suhu Debye (oK)
Pada subbab 2.1. telah dibahas bahwa getaran atom dapat dipandang sebagai paket energi yang disebut fonon. Bila dihubungkan dengan model Debye, energi fonon terkuantisasi yang diberi bentuk :
ε=hω (2.60)
analog dengan foton, maka momentum fonon dapat ditulis :
r r
p=hq
dengan (2.61)
r
q = 2π
λ
Dalam hal ini dapat dibayangkan bahwa bila gelombang elektromagnet merambat identik dengan adanya arus foton, sedangkan pada rambatan gelombang mekanik atau gelombang suara identik dengan adanya aliran arus fonon yang membawa energi dan momentum seperti pada persamaan (2.60) dan (2.61).
Jumlah fonon dalam suatu moda gelombang pada keseimbangan termal dapat diprediksi dari persamaan (2.45). Karena energi setiap fonon adalah hω dan energi rata-rata fonon diberikan oleh persamaan (2.45), maka jumlah rata-rata fonon dalam suatu moda gelombang adalah :
n
e kT =
−
1 1
hω (2.62)
Jadi, jumlah fonon bergantung suhu, pada T = 0, n=0 , tetapi bila T meningkat, n akan bertambah. Pada suhu tinggi n ≅ kT/ . Dengan demikian dapat dikatakan fonon tercipta dengan menaikkan suhu; dan hal ini berbeda dengan partikel lain (proton, elektron) yang jumlahnya tetap meskipun suhunya berubah.
2.4. KONDUKSI TERMAL
Bila pada ujung-ujung suatu bahan padat berada pada suhu yang berbeda T1 dan T2, dengan T2 > T1 maka panas akan mengalir dari ujung yang bersuhu tinggi ke ujung yang bersuhu rendah, lihat gambar 2.15.
Gambar 2.15. Konduksi termal oleh gelombang kisi (fonon). Tanda panah menyatakan fonon-fonon.
Rapat arus panas Q, yaitu arus panas per satuan luas, sebanding dengan gradien suhu (∂T/∂x) dan dituliskan sebagai :
Q
x
= − Κ∂Τ
∂ (2.63)
Tetapan K menyatakan kemudahan perambatan panas dalam zat padat yang disebut konduktivitas termal. Tanda minus (-) diberikan agar K merupakan bilangan positif.
Dalam pembahasan rambatan panas oleh fonon sangat tepat untuk membayangkan fonon-fonon sebagai suatu gas seperti pada gambar 2.15. Pada setiap daerah dalam ruang selalu terdapat fonon yang bergerak acak ke segala arah. Penggunaan model gas ini memungkinkan diterapkan teori kinetik gas. Pada keadaan tertentu, konduktivitas termal dapat dinyatakan sebagai berikut :
K =1C vv l
dengan Cv kapasitas bebas rata-rata fonon (lintasan yang ditempuh fonon tanpa menumbuk). Pada tabel 2.2. diberikan data konduktivitas termal dan lintasan bebas rata-rata fonon untuk beberapa bahan.
Tabel 2.2. Konduktivitas termal dan lintasan bebas rata-rata fonon.
T = 2730K T = 200K Bahan
K (watt/m.0K)
l
(angstrom )
K (watt/m.0K)
l (cm)
Si02 14 97 760 7,5 x
10-3
CaF2 11 72 85 1,0 x
10-3
NaCl 6,4 67 45 2,3 x
10-4
Si 150 430 4200 4,1 x
10-2
Ge 70 330 1300 4,5 x
