HUKUM OPERASI YANG MESTI DISELESAIKAN DAHULU
B
BRACKET ( ) 6 725–(563+918) D
DIVISION ÷ 2 560 + 235 ÷ 5
M
MULTIPLICATION × 8 291+6×9
A
ADDITION + 7 203+636-1 999 S
SUBTRACTION 8 082–1288+651 Posted by ZANAINAH BI
Definisi 'congak'
Indonesian to Indonesian
adjective
1.
men·co·ngak
v
mengangkat muka (kepala) ke atas;
mendongak:
dia ~ memandang kpd saya;
men·co·ngak·kan
v
mendongakkan muka (kepala):
kerbau ~
kepalanya ketika melihat musuhnya
source: kbbi3
noun
2. taksiran yg dibuat dl kepala saja, tidak ditulis:
biaya pembelian
barang baru dibuat dng -- saja;
men·co·ngak
v
menghitung di luar kepala (dng ingatan saja, yg ditulis
hanya hasilnya)
source: kbbi3
Related Word(s)
congak-cangit
,
mencongak,
mencongakkan,
congak,
Visual ArtiKata
Explore
congak
in SinonimKata.com >
http://artikata.com/arti-323946-congak.htmlDaripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Pencongakan di sekolah S.Rachinsky oleh Nikolay Bogdanov-Belsky. 1895. Congak ialah satu kaedah pengiraan yang hanya menggunakan otak manusia, tanpa bantuan kalkulator, komputer, atau pen dan kertas.
Secara praktikalnya, pencongakan bukan sahaja membantu apabila tiada alat pengiraan, tetapi ia juga membantu dalam keadaan pengiraan cepat mesti dilakukan. Apabila sesuatu kaedah dibuat dengan lebih pantas dari kaedah konvensional (seperti yang diajar di sekolah), ia dipanggil kaedah pendek. Walaupun tujuan utamanya ialah untuk mempercepatkan pengiraan, pencongakan juga dipraktikkan dan ditambah dengan helah-helah untuk menunjukkan kemahiran pengiraan pantas.
Hampir semua kaedah sebegini menggunakan sistem angka perpuluhan. Pemilihan radiks menentukan kaedah yang sesuai dan pengiraan yang mudah untuk dilakukan dalam fikiran. Contohnya, mendarab atau membahagi dengan 10 adalah sangat mudah untuk angka perpuluhan (cuma alihkan titik
perpuluhan), sementara mendarab dan membahagi dengan enam belas adalah sukar; tetapi keadaan berbeza berlaku apabila asas perenambelasan digunakan. Terdapat banyak teknik berbeza untuk melakukan congakan, kebanyakannya adalah khusus untuk jenis-jenis masalahnya.
Isi kandungan [sorokkan] 1 Buang sembilan
1.1 Penganggaran 1.2 Faktor-faktor
2 Mengira perbezaan: a − b 2.1 Pengiraan langsung 2.2 Pengiraan tidak langsung
2.3 Kaedah peminjaman lihat ke depan 3 Mengira hasil darab: a × b
3.1 Mendarab dengan 2 atau nombor kecil yang lain 3.2 Mendarab dengan 5
3.3 Mendarab dengan 9
3.4 Mendarab dengan 10 (dan kuasa 10) 3.5 Mendarab dengan 11
3.6 Mendarab 2 nombor antara 11 dan 19 3.7 Mendarab sebarang nombor 2 digit
3.8 Menggunakan tangan: 6–10 didarab dengan nombor 6–10 3.9 Menggunakan nombor kuasa dua
3.10 Mengkuasa duakan nombor 3.10.1 Kuasa dua nombor di bawah 50
3.10.2 Kuasa dua nombor yang berakhir dengan 5 3.10.3 Kuasa dua integer dari 26 hingga 75
3.10.4 Kuasa dua integer dari 76 hingga 99 3.10.5 Kuasa dua untuk sebarang nombor 3.10.6 Kuasa dua sebarang integer 2 digit 4 Mencari punca kuasa
4.1 Menganggarkan punca kuasa dua
4.2 Mengekstrak punca kuasa untuk kuasa-kuasa yang sempurna 4.2.1 Mengekstrak punca kuasa tiga
5 Menganggarkan logaritma umum (logaritma asas 10) 6 Sistem lain
7 Piala Dunia Pengiraan Congak 8 Lihat juga
9 Pautan luar 10 Kumpulan
Buang sembilan[sunting | sunting sumber]
Tambah digit kendalian pertama; sebarang 9 (atau set digit yang jika ditambah mendapat hasil 9) dianggap mempunyai nilai 0.
Jika hasil tambah memiliki dua atau lebih digit, tambah digit-digit tersebut seperti langkah pertama; ulang langkah ini sehingga mendapat hasil satu digit. Ulang langkah satu dan dua untuk kendalian kedua. Sekarang akan terdapat dua nombor digit, satu adalah hasil dari kendalian pertama dan satu lagi hasil dari kendalian kedua. (nombor-nombor digit ini juga merupakan baki jika kendalian asal dibahagikan dengan 9; dalam bahasa matematik, ia dikenali sebagai kendalian asal modulo 9.)
Gunakan operasi asal (tambah, tolak, bahagi dan darab) untuk kedua-dua hasil kendalian, kemudian tambah digit-digit dari hasil operasi tersebut.
Tambah kesemua digit dari hasil pengiraan asal (sebelum buang sembilan dilakukan) seperti dalam langkah pertama.
Jika hasil dari langkah 4 tidak sama dengan hasil dari langkah 5, jadi jawapan dari pengiraan asal adalah salah. Jika kedua-dua hasil adalah sama, jawapan asal mungkin benar, tetapi tidak dijamin.
Contoh
Katakan pengiraan asal 6338 × 79 bersamaan dengan 500702. 6338 ialah kendalian pertama, 79 ialah kendalian kedua dan operasi asalnya ialah pendaraban.
Tambah digit-digit 6338: (6 + 3 = 9, dianggap 0) + 3 + 8 = 11 Ulang jika perlu (untuk dapatkan 1 digit): 1 + 1 = 2
Tambah digit-digit 79: 7 + (9 dikira 0) = 7
Lakukan operasi asal pada kedua-dua hasil kendalian, dan tambah digit-digit dari hasilnya: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
Tambah digit-digit hasil pengiraan asal 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9, dianggap 0) = 5
5 = 5, jadi terdapat kemungkinan yang hasil pengiraan asal 6338 × 79 bersamaan 500702, adalah benar.
Penganggaran[sunting | sunting sumber]
jawapan memiliki lebih bilangan digit dari jumlah digit dalam nilai anggaran, jawapan itu adalah salah.
Faktor-faktor[sunting | sunting sumber]
Apabila mendarab, perlu diingat yang faktor-faktor kepada kendalian akan kekal. Contohnya, adalah tidak munasabah jika hasil darab 14 × 15 ialah 211 kerana 15 adalah satu nilai gandaan 5, jadi hasil darabnya sepatutnya gandaan lima juga. Jawapan yang betul ialah 210.
Mengira perbezaan: a − b[sunting | sunting sumber]
Pengiraan langsung[sunting | sunting sumber]
Apabila digit-digit b adalah semuanya lebih kecil dari digit-digit "a", pengiraan boleh dibuat secara langsung antara digit dengan digit. Contohnya, pengiraan 872 − 41 dibuat dengan menolak 1 dari 2 di tempat "sa", dan 4 dari 7 di tempat "puluh", mendapatkan jawapan:831
Pengiraan tidak langsung[sunting | sunting sumber]
Apabila keadaan seperti di atas tidak berlaku, masalah ini kadang-kadang boleh diubah suai:
Jika hanya satu digit dalam b yang lebih besar dari digit-digit a, kurangkan digit besar dalam b itu sehingga ia sama dengan digit a yang bertentangan.
Kemudian dapatkan hasil operasi. Akhir sekali, tolakkan jumlah yang dikurangkan dari digit besar b sebelum ini pada hasil operasi untuk mendapatkan hasil akhir. Contohnya, untuk mengira 872 − 92, tukarkan masalah ini menjadi 872 − 72 = 800, kemudian tolakkan 20 dari 800 untuk mendapatkan hasil akhir:780.
Jika lebih dari satu digit dalam b yang lebih besar dari digit bertentangan dalam a, ia akan menjadi mudah jika jumlah yang patut ditambah pada b untuk
mendapatkan a dicari. Contohnya, untuk mengira 8192 − 732, nilai 8 boleh ditambah pada 732 (menghasilkan 740), kemudian tambah 60 (menghasilkan 800), kemudian 200 (menghasilkan 1000). Selepas itu, tambah 192 untuk mendapatkan 1192, dan akhir sekali, tambah 7000 untuk mendapatkan 8192. Jadi, jumlah yang patut ditambah pada b untuk mendapatkan nilai a adalah 7000 + 192 + 200 + 60 + 8 = 7460. Jadi 8192 − 732 = 7460.
Ia mungkin lebih mudah pengiraan dimulakan dari kiri (nombor besar) dahulu. Anda boleh meneka apa yang perlu dan kumpulkan semua tekaan anda, tekaan anda adalah baik selagi ia tidak melangkaui nombor "sasaran".
Kaedah peminjaman lihat ke depan[sunting | sunting sumber]
Kaedah ini boleh digunakan untuk menolak nombor dari kiri ke kanan, dan
Satu tempat dikendalikan pada masa yang sama, kiri ke kanan. Contoh:
4075 - 1844
---Ribu: 4 - 1 = 3, lihat ke kanan, 075 < 844, perlu dipinjam. 3 - 1 = 2, disebut "dua ribu"
Ratus: 0 - 8 = nombor negatif tidak dibenarkan di sini, 10 - 8 = 2, 75 > 44, jadi tidak perlu dipinjam, disebut "dua ratus"
Puluh: 7 - 4 = 3, 5 > 4 jadi tidak perlu dipinjam, disebut "tiga puluh"
Sa: 5 - 4 = 1, disebut "satu"
Mengira hasil darab: a × b[sunting | sunting sumber]
Banyak kaedah ini berhasil disebabkan oleh sifat penaburan.
Mendarab dengan 2 atau nombor kecil yang lain[sunting | sunting sumber] Apabila satu nombor yang didarab adalah cukup kecil untuk didarab dengan mudah oleh mana-mana digit tunggal, hasil darabnya boleh dikira dengan mudah antara digit dengan digit dari kanan ke kiri. Ini khususnya mudah untuk pendaraban dengan 2 kerana digit bawa tidak boleh lebih dari 1.
Contohnya, untuk mengira 2 × 167: 2x7=14, jadi digit akhirnya ialah 4, dengan 1 dibawa dan ditambah pada 2x6=12 untuk mendapatkan 13, jadi digit
seterusnya ialah 3 dengan 1 dibawa dan ditambah pada 2x1=2 untuk mendapatkan 3. Jadi hasil darabnya ialah 334.
1. Pertama, darab nombor tersebut dengan 10, kemudian bahagikan hasilnya dengan 2.
Algoritma berikut ialah cara pantas untuk menghasilkan keputusan ini: 2. Tambahkan sifar pada bahagian kanan nombor kendalian pertama. (A.)
3. Kemudian, bermula dari angka paling kiri, bahagikan setiap digit dengan 2 (B) dan gabungkan semua hasilnya menjadi satu nombor baru; (jawapan dengan titik perpuluhan perlu dibundarkan menjadi nombor bulat).
CONTOH: Darabkan 176 dengan 5.
A. Tambahkan sifar pada 176 menjadikannya 1760. B. Bahagikan setiap digit dengan 2 bermula dari kiri.
1. Bahagikan 1 dengan 2 = 0.5, dibundarkan kepada 0. 2. Bahagikan 7 dengan 2 = 3.5, dibundarkan kepada 3. 3. Bahagikan 6 dengan 2 = 3
4. Bahagikan 0 dengan 2 = 0
Gabungan nombor-nombor di atas menghasilkan nombor baru 0330. (Ini
bukanlah jawapan akhir, tetapi satu anggaran pertama yang akan dilaras dalam langkah berikut:)
C. Tambahkan 5 kepada nombor yang mengikut mana-mana angka tunggal di dalam nombor baru ini
(yang sebelum ia dibahagikan dengan 2, merupakan nombor ganjil); CONTOH: 176 (Dalam tempat PERTAMA, KEDUA, KETIGA):
1.Tempat PERTAMA ialah 1, yang merupakan angka ganjil.
Tambahkan 5 kepada nombor selepas tempat pertama dalam nombor baru (0330) iaitu 3; 3+5=8.
2.Tempat KEDUA ialah 7, juga angka ganjil.
Hasil dari langkah pertama (0830) akan bertambah dengan 5 juga, menjadi 0880.
3.Tempat KETIGA ialah 6, satu angka genap, jadi nombor akhir, 0 tidak akan berubah.
Sifar paling kiri boleh dibuang, meninggalkan 880. Jadi 176 didarab 5 bersamaan dengan 880.
Mendarab dengan 9[sunting | sunting sumber]
Oleh kerana 9 = 10 - 1, untuk mendarab dengan 9, darabkan nombor itu dengan 10 dan tolakkan nombor asal dari hasil ini. Contohnya, 9 × 27, ubahkan menjadi 10 × 27 = 270 ; jadi 9 × 27 = (270 - 27) = 243.
Menggunakan tangan: nombor 1-10 didarab dengan 9[sunting | sunting sumber] Tandakan setiap jari (pada kedua-dua belah tangan) dengan nombor dari 1 hingga 10, dari kiri ke kanan. Simbol "|" dalam rajah berikut mewakili setiap jari yang diangkat, manakala tanda "-" mewakili jari yang dibengkokkan.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | | | | | | | | | |
tangan kiri tangan kanan
Bengkokkan jari yang mewakili nombor yang akan didarab dengan sembilan Contoh: 6 didarab dengan 9
| | | | | - | | | |
Jari yang keenam dari kiri telah dibengkokkan. Ambil jumlah jari yang masih diangkat di sebelah kiri jari keenam dan gabungkannya dengan jumlah jari yang masih diangkat di sebelah kanan jari keenam untuk mendapatkan hasil darab. Contoh: Terdapat 5 jari yang masih diangkat di sebelah kiri jari ke-6 dan 4 jari yang masih diangkat di sebelah kanan. Jadi 6 didarab dengan 9 = 54.
5 4 | | | | | - | | | |
Mendarab dengan 10 (dan kuasa 10)[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab satu integer dengan 10; cuma tambahkan angka 0 pada hujung kanan nombor tersebut.
Untuk mendarab satu bukan integer dengan 10, cuma alihkan titik perpuluhan ke kanan satu digit.
Untuk algoritma asas 10, mendarab dengan 10n (n ialah satu integer), alihkan titik perpuluhan digit-digit n ke kanan. Jika n ialah nombor negatif, alihkan perpuluhan digit-digit |n| ke kiri.
Mendarab dengan 11[sunting | sunting sumber]
Hasil darab 11 dengan mana-mana integer bukan sifar yang lebih besar boleh didapati dengan beberapa penambahan pada setiap digit-digitnya dari kanan ke kiri, dua pada satu masa.
Mulanya ambil digit "sa" pada pendarab dan letakkan pada hasil sementara. Kemudian, bermula dengan digit sa pada pendarab, tambah setiap digit dengan digit seterusnya ke kiri. Setiap hasil tambah 10 atau lebih akan membawa digit "puluh", yang akan sentiasa menjadi 1, dan bawanya ke penambahan
seterusnya. Akhir sekali, salin digit paling kiri pendarab (nilai paling besar) ke depan (kiri sekali) hasil tersebut, tambah 1 yang dibawa ke hadapan jika perlu, untuk mendapat hasil darab akhir.
Dalam kes negatif 11, pendarab, atau kedua-duanya, letakkan tanda pada hasil darab seperti pendaraban biasa kedua-dua nombor.
Contoh langkah pengiraan untuk 759 × 11:
Digit "sa" untuk pendarab, 9, diletakkan pada hasil sementara. hasil: 9
Tambah 5 + 9 = 14, jadi 4 diletakkan pada bahagian kiri hasil dan membawa digit "1" ke hadapan.
hasil: 49
Tambah 7 + 5 = 12, kemudian tambah dengan 1 (yang dibawa dari pengiraan kedua) untuk dapatkan 13. Letakkan 3 di bahagian kiri hasil dan bawa 1 ke hadapan.
hasil: 349
Tambah 1 yang dibawa ke hadapan pada digit tertinggi dalam pendarab tersebut, 7+1=8, dan salin pada hasil untuk medapatkan hasil akhir. Hasil darab akhir untuk 759 × 11: 8349
Contoh lain
−54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989 Pengiraan 9+1 adalah digit paling tinggi nilainya.
−3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203
Kaedah lain ialah dengan cuma mendarab dengan nombor 10, dan tambah nombor asal (pendarab) pada hasil tersebut.
17 × 11
17 × 10 = 170 + 17 = 187 17 × 11 = 187
Mendarab 2 nombor antara 11 dan 19[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab dengan mudah 2 nombor antara 11 dan 19 dalam algoritma ringkas seperti berikut
Rumus:
(10+a) × (10+b)
100 + 10 * (a+b) + a*b
Contoh:
17 * 16
(10+7) × (10+6)
100 + 10(7+6) + (7 × 6) 100 + 10(13) + (42)
=272
Mendarab sebarang nombor 2 digit[sunting | sunting sumber]
Untuk mendarab dengan mudah sebarang nombor 2 digit bersama dengan menggunakan algoritma ringkas adalah seperti berikut:
(10a+b) \cdot (10c+d)
23\cdot 47 =
= [10(2) + 3]*[10(4) + 7]
= 100(2×4) + 10(3×4) + 10(2×7) + (3×7) = 800 + 120 + 140 + 21 = 1081
Perlu diingat yang ini adalah sama dengan penambahan konvensional hasil darab separa, cuma ia dinyatakan kembali secara ringkas. Untuk
meminimumkan jumlah elemen yang berada dalam memori, ia mungkin lebih mudah dengan melakukan penambahan hasil darab dari pendaraban "silang" dahulu, dan kemudian tambah 2 elemen yang lain:
(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10 + b\cdot d
+ a\cdot c\cdot 100 i.e., sebagai contoh [(2 × 7) + (3 × 4)] × 10 (12+14) × 10
26 × 10 = 260 + (b*d = 3 × 7) + (a*c*100 = 2 × 4 × 100)
akan menjadi mudah dengan menambah kemudian 21: 281 dan 800: 1081 Satu kaedah nemonik untuk mengingati pencongakan ini ialah FOIL. F
bermaksud first (pertama), O bermaksud outer (luar), I bermaksud inner (dalam) dan L bermaksud last (akhir).
Sebagai contoh: 75\cdot 23 dan
ab\cdot cd
7 mewakili a, 5 mewakili b, 2 mewakili c dan 3 mewakili d. Gunakan persamaan
a\cdot c\cdot 100 + (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10 + b\cdot d
Persamaan ini adalah bersamaan dengan mana-mana nombor dalam asas 10 dengan tempat digit ratus, puluh dan sa. FOIL boleh juga dilihat sebagai satu nombor, dengan F adalah ratus, OI adalah puluh dan L adalah sa.
(a\cdot d+b\cdot c) adalah penambahan hasil darab antara digit luar (digit paling kiri dan paling kanan) dan digit dalam; OI.
b\cdot d adalah hasil darab digit akhir (paling kiri) untuk kedua-dua nombor; L. Menggunakan tangan: 6–10 didarab dengan nombor 6–10[sunting | sunting sumber]
Teknik ini membenarkan nombor dari 6 hingga 10 didarab dengan nombor lain dari 6 hingga 10.
Tentukan 6 kepada jari kelingking, 7 kepada jari manis, 8 kepada jari tengah, 9 kepada jari telunjuk, dan 10 kepada ibu jari. Sentuh kedua - dua jari yang mewakili dua nombor yang hendak didarab. Titik sentuh antara dua jari dan semua jari di bawah berada dalam seksyen "bawah", dan kesemua jari di atas 2 jari yang bersentuhan berada dalam seksyen "atas". Sebagai contoh, 6 × 9 akan kelihatan seperti ini:
--8-- (atas) -10--
--7--====================
--9-- --6-- jari telunjuk kiri dan jari kelingking kanan sedang bersentuhan --8-- (bawah)
--7-- --6-- (9 × 6) -10-- -10-- --9-- --9-- --8-- --8-- --7-- --7--
--6--Berikut adalah contoh-contohnya: 9 × 6
--8---10-- --7--bawah: --9-- --6----8-- --7-- --6--
- 5 jari di bawah mewakili 5 puluh - 4 jari di atas ke kanan (4) - 1 jari di atas ke kiri (1)
Hasilnya: 9 × 6 = 50 + 4 × 1 = 54 6 × 8
atas: -10----9-- --8-- -10----7-- --9--bawah: --6--
- 4 jari di bawah mewakili 4 puluh - 2 jari di atas ke kanan - 4 jari di atas ke kiri Hasilnya: 6 × 8 = 40 + 2 × 4 = 48
Menggunakan nombor kuasa dua[sunting | sunting sumber]
Hasil darab antara nombor-nombor kecil boleh dikira dengan menggunakan integer kuasa dua; sebagai contoh, untuk mengira 13 × 17, 15 sebagai purata kepada kedua-dua faktor boleh diambil, dan fikirkannya sebagai (15 − 2) × (15 + 2), atau 15² − 2². Dengan mengetahui 15² adalah 225 dan 2² adalah 4,
penolakan mudah menunjukkan yang 225 − 4 = 221, yang merupakan hasil darab yang dikehendaki.
Kaedah ini memerlukan pengetahuan beberapa nombor kuasa dua: 12 = 1
232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900
