TESIS – SS14 2501
PENGUJIAN HIPOTESIS SIMULTAN
DALAM REGRESI SEMIPARAMETRIK
SPLINE TRUNCATED
(Studi Kasus: Angka Partisipasi Kasar SLTA
Tahun 2015 di Provinsi Jawa Timur)
KIKI FERDIANA NRP.1315201707
DOSEN PEMBIMBING
Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si. R. Mohamad Atok, S.Si., M.Si., Ph.D.
PROGRAM MAGISTER JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA 2017
THESIS – SS14 2501
SIMULTANEOUS HYPOTHESIS TESTING IN
TRUNCTED SPLINE SEMIPARAMETRIC
REGRESSION
(Case Study: Gross Enrolment Ratio at Upper
Secondary School in East Java 2015)
KIKI FERDIANA NRP.1315201707
SUPERVISOR
Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si. R. Mohamad Atok, S.Si., M.Si., Ph.D.
MASTER PROGRAM
DEPARTMENT OF STATISTICS
FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCE INSTITUTE OF TECHNOLOGY SEPULUH NOPEMBER SURABAYA
iii
PENGUJIAN HIPOTESIS SIMULTAN DALAM REGRESI
SEMIPARAMETRIK SPLINE
TRUNCATED
(Studi Kasus: Angka Partisipasi Kasar SLTA Tahun 2015 di
Provinsi Jawa Timur)
Nama Mahasiswa : Kiki Ferdiana
NRP : 1315201707
Dosen Pembimbing I : Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si Dosen Pembimbing II : R. Mohamad Atok, S.Si, M.Si, Ph.D
ABSTRAK
Pengujian hipotesis dalam inferensi statistik sangat penting untuk dilakukan. Salah satu pendekatan dalam analisis regresi adalah regresi semiparametrik spline truncated. Kajian teoritis tentang pengujian hipotesis dilakukan untuk mendapatkan statistik uji dan distribusi statistik uji. Kajian teoritis tentang pengujian hipotesis pada regresi semiparametrik spline truncated belum pernah dilakukan. Oleh karena itu pada penelitian ini dilakukan kajian pengujian hipotesis secara simultan baik itu secara teori maupun terapan. Kajian terapan dilakukan pada data Angka Partisipasi Kasar (APK) SLTA di Provinsi Jawa Timur pada Tahun 2015. Karena APK SLTA di Provinsi Jawa Timur masih rendah, sedangkan Provinsi Jawa Timur merupakan provinsi yang maju baik dari segi perekonomian maupun infrastrukturnya. Dari kajian teori dihasilkan bahwa statistik uji pada pengujian hipotesis simultan adalah
̃ ( ̃) . ( ̃) ( ̃)/
( ̃) ̃ ,( ) ( ) -⁄ ̃ [ ( ̃) . ( ̃) ( ̃)/ ( ̃)] ̃ , ( ) ( )
-dan distribusi statistik uji yang dihasilkan mengikuti distribusi
(( ) ( ) ( ) ( ) ). Metode yang digunakan adalah metode
Likelihood Ratio Test (LRT). Pada kajian terapan yang diaplikasikan pada data APK SLTA di Provinsi Jawa Timur Tahun 2015, model yang didapatkan adalah dengan menggunakan kombinasi knot (3,1,2,3) dengan koefisien determinasi ( )
sebesar 83,19 persen. Variabel yang signifikan adalah jumlah penduduk miskin, rasio jenis kelamin, rata-rata anggota rumah tangga (ART), tingkat pengangguran terbuka (TPT) dan Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) perkapita. Dari hasil penelitian ini diharapkan dapat dijadikan masukan untuk mengambil kebijakan bagi Provinsi Jawa Timur dalam meningkatkan APK SLTA.
Kata kunci : Angka Partisipasi Kasar (APK), Likelihood Ratio Test (LRT), uji hipotesis simultan, semiparametrik, spline truncated
iv
v
SIMULTANEOUS HYPOTHESIS TESTING
OF SPLINE TRUCATED SEMIPARAMETRIC REGRESSION
(Case Study: Gross Enrolment Ratio at Upper Secondary School
2015 in East Java)
By : Kiki Ferdiana
Student Identity Number : 1315201707
Supervisor : Prof. Dr.Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si Co Supervisor : R. Mohamad Atok, S.Si, M.Si, Ph.D
ABSTRACT
Hypothesis testing in statistical inference is very important. An approach in the regression analysis is truncated spline semiparametric regression. Theoretical study of hypothesis testing was done to obtain test statistics and distributions of test statistical. Theoretical study of hypothesis testing in truncated spline semiparametric regression has not been done. Therefore, in this research was conducted both the theoretical and applied study on simultaneous hypothesis testing. Applied study conducted on upper secondary school gross enrollment rate (GER) data in East Jawa Province in 2015. The GER of upper secondary school in East Java is still low, while East Jawa Province is advanced in terms of both the economy and infrastucture. From the theoretical study resulted that test statistical of simultaneous hypothesis testing is
̃ ( ̃) . ( ̃) ( ̃)/
( ̃) ̃ ,( ) ( ) -⁄ ̃ [ ( ̃) . ( ̃) ( ̃)/ ( ̃)] ̃ , ( ) ( )
-and distribution of test statictics generated following the distribution
(( ) ( ) ( ) ( ) ). The method used is the Likelihood Ratio Test
(LRT). In the applied study of APK upper secondary school in East Jawa Province in 2015, a model which is obtained by using a combination of knots (3,1,2,3) with the coefficient of determination (R2) is 83,19 percent. Significant variables are the number of poor people, sex ratio, the average members of the household, unemployment rate and Gross Domestic Product (GDP) per capita. This result is expected to be used as input for taking policy for East Java Province in improving APK upper secondary school.
Key words : Gross Enrolment Ratio (GER), Likelihood Ratio Test (LRT), simultaneous hypothesis testing, semiparametric, spline truncated
vi
vii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis diperkenankan menyelesaikan tesis yang berjudul “Pengujian Hipotesis Simultan dalam Regresi Semiparametrik
Spline Truncated (Studi Kasus: Angka Partisipasi Kasar SLTA Tahun 2015 di Provinsi Jawa Timur” dengan baik dan tepat waktu.
Dalam penyusunan tesis ini, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Untuk itu pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan penghargaan dan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Badan Pusat Statistik (BPS) Republik Indonesia, Kepala BPS Provinsi Kalimantan Tengah dan Kepala BPS Kabupaten Kapuas yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk melanjutkan studi program pascasarjana di ITS Surabaya.
2. Bapak Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si. dan Bapak R. Mohamad Atok, S.Si., M.Si., Ph.D. selaku dosen pembimbing yang ditengah segala kesibukannya dapat meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, saran, masukan serta motivasi selama penyusunan tesis ini.
3. Ibu Dr. Vita Ratnasari, S,Si., M.Si., Bapak Dr. I Nyoman Latra, M.S. dan Bapak Dr. Heru Margono, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan masukan untuk menjadikan tesis ini menjadi lebih baik.
4. Bapak Dr. Suhartono, M.Sc. selaku Ketua Jurusan Statistika, Bapak Dr. rer. pol. Heri Kuswanto, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi Pascasarjana Jurusan Statistika, Ibu Dr. Kartika Fithriasari, M.Si. selaku dosen wali, dan seluruh Bapak/Ibu dosen pengajar yang telah memberikan ilmu, saran, masukan dan pengalaman yang bermanfaat bagi penulis, serta segenap karyawan keluarga besar Jurusan Statistika FMIPA ITS Surabaya atas segala dukungan dan bantuannya selama ini.
viii
5. Alm. Bapak dan Ibu tersayang serta Bapak dan Ibu di Tangerang atas segala doa dan dukungannya dalam proses penulisan tesis ini.
6. Suami tercinta, Papa Harisman, juga anak-anakku tercinta, Maila Riski Azzahra dan Khanza Riski Almaira, terima kasih atas segala doa, pengorbanan, pengertian, dukungan dan cinta yang tak pernah berhenti yang selalu menjadi semangat bagi penulis untuk menyelesaikan studi dengan baik.
7. Teman-teman seperjuangan angkatan 9: Ervin (teman suka dan duka dalam menyelesaikan tesis ini), Tiara, Mbak Nunik, Mbak Ayu, Mbak Dewi, Mbak Ika, Risma, Irva, Mbak Lyla, Mbak Mety, Aty, Mas Agung, Mas Dinu, Mas Arif, Leman, Bayu, Bang Node, Mas Bambang dan Suko, kalian adalah teman yang sangat baik dan hebat. Terima kasih atas kebersamaan dan kekompakan selama menjalani studi di ITS, bersyukur bisa bertemu dan mengenal teman-teman semua, semoga dapat berjumpa lagi di lain kesempatan.
8. Teman-teman reguler angkatan 2015, Mbak Mia, Dik Wawan sekeluarga, Rephy dan semua keluarga besar BPS Kabupaten Kapuas serta semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Penulis menyampaikan terima kasih atas semua dukungan dan bantuan yang diberikan selama menjalani studi.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik maupun saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi perbaikan tesis ini. Akhirnya, penulis berharap mudah-mudahan tesis ini bermanfaat untuk semua pihak yang memerlukan.
Surabaya, Januari 2017
ix
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN...i
ABSTRAK ... iii
ABSTRACT ... v
KATA PENGANTAR ... vii
DAFTAR ISI ... ix
DAFTAR TABEL ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR LAMPIRAN ... xvii
BAB 1 PENDAHULUAN ... 1 1.1. Latar Belakang ... 1 1.2. Rumusan Permasalahan ... 6 1.3. Tujuan Penelitian ... 7 1.4. Manfaat Penelitian ... 7 1.5. Batasan Permasalahan ... 8
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA ... 9
2.1. Analisis Regresi ... 9
2.2. Regresi Parametrik ... 9
2.3. Regresi Nonparametrik ... 10
2.4. Regresi Semiparametrik ... 11
2.5. Spline Truncated dalam Regresi Semiparametrik... 12
2.6. Pemilihan Titik Knot Optimal ... 16
2.7. Likelihood Ratio Test (LRT) ... 16
2.8. Pengujian Parameter Dalam Regresi Parametrik ... 17
2.8.1. Uji Simultan/Serentak ... 17
2.8.2. Uji Parsial/Individu ... 18
x
2.9.1. Uji Normalitas ... 19
2.9.2. Deteksi Independen ... 20
2.9.3. Uji Identik ... 20
2.10. Teorema Dasar Terkait dengan Aljabar Matriks ... 21
2.11. Tinjauan Non Statistik ... 22
2.11.1. Penduduk Usia Sekolah ... 22
2.11.2. Angka Partisipasi Kasar (APK) ... 22
2.11.3. Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Angka Partisipasi Kasar ... 24
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN ... 33
3.1. Sumber Data ... 33
3.2. Variabel Penelitian ... 33
3.3. Tahapan Penelitian ... 33
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN ... 37
4.1. Model Regresi Semiparametrik Spline Truncated ... 37
4.1.1. Estimasi Titik untuk Kurva Regresi Semiparametrik ... 37
4.1.2. Perumusan Uji Hipotesis ... 41
4.1.3. Estimasi Parameter dibawah Ruang ( ) dan ( ) ... 42
4.1.4. Menentukan Statistik Uji Hipotesis ... 44
4.1.5. Mendapatkan Distribusi Statistik Uji Hipotesis ... 50
4.1.6. Menentukan Daerah Penolakan Uji Hipotesis ... 56
4.2. Aplikasi pada Data APK SLTA Tahun 2015 di Provinsi Jawa Timur58 4.2.1. Analisis Deskriptif ... 58
4.2.2. Memodelkan APK SLTA menggunakan Regresi Linier Berganda ... 60
Pengujian Signifikan Parameter secara Simultan ... 60
4.2.2.1. Pengujian Signifikan Parameter secara Parsial ... 61
4.2.2.2. Pengujian Asumsi Residual ... 61
4.2.2.3. Pengujian Asumsi Identik ... 62 4.2.2.3.1.
xi
Pemeriksaan Asumsi Independen ... 62 4.2.2.3.2.
Pengujian Asumsi Distribusi Normal ... 63 4.2.2.3.3.
4.2.3. Memodelkan APK SLTA menggunakan Regresi
Semiparametrik Spline Truncated ... 64 Menentukan Variabel Komponen Parametrik dan 4.2.3.1.
Nonparametrik ... 64 Memodelkan APK SLTA Provinsi Jawa Timur 4.2.3.2.
Menggunakan Satu Titik Knot ... 69 Memodelkan APK SLTA Provinsi Jawa Timur 4.2.3.3.
Menggunakan Dua Titik Knot ... 70 Memodelkan APK SLTA Provinsi Jawa Timur 4.2.3.4.
Menggunakan Tiga Titik Knot ... 71 Memodelkan APK SLTA Provinsi Jawa Timur 4.2.3.5.
Menggunakan Kombinasi Titik Knot ... 72 Memilih Titik Knot Optimum dengan
4.2.3.6.
Menggunakan GCV ... 73 Model Regresi Semiparametrik Spline Truncated 4.2.3.7.
dengan Titik Knot Optimum... 73 Pengujian Signifikansi Parameter secara Simultan 74 4.2.3.8.
Pengujian Signifikansi Parameter secara Parsial .... 75 4.2.3.9.
Pengujian Asumsi Residual ... 76 4.2.3.10.
Pengujian Asumsi Identik ... 76 4.2.3.10.1.
Pemeriksaan Asumsi Independen ... 77 4.2.3.10.2.
Pengujian Asumsi Distribusi Normal ... 77 4.2.3.10.3.
4.2.4. Perbandingan Model ... 79 4.2.5. Interpretasi Model Regresi Semiparametrik Spline
xii
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN ... 87
5.1. Kesimpulan ... 87
5.2. Saran ... 88
DAFTAR PUSTAKA ... 89
LAMPIRAN ... 95
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Analisis Varians Model Regresi ... 18
Tabel 4.1 Statistik Deskriptif Variabel Respon dan Variabel Prediktor ... 58
Tabel 4.2 ANOVA Hasil Regresi Linier Berganda ... 60
Tabel 4.3 Hasil Uji Hipotesis secara Parsial ... 61
Tabel 4.4 Hasil Uji Glejser ... 62
Tabel 4.5 Ringkasan Penentuan Komponen Parametrik dan Nonparametrik ... 68
Tabel 4.6 Nilai GCV dengan Satu Titik Knot ... 69
Tabel 4.7 Nilai GCV dengan Dua Titik Knot ... 70
Tabel 4.8 Nilai GCV dengan Tiga Titik Knot... 71
Tabel 4.9 Nilai GCV dengan Kombinasi Titik Knot ... 72
Tabel 4.10 Nilai GCV Minimum pada Tiap Model ... 73
Tabel 4.11 ANOVA Hasil Regresi Semiparametrik Spline Truncated ... 74
Tabel 4.12 Hasil Uji Hipotesis secara Parsial ... 75
Tabel 4.13 Hasil Uji Glejser ... 76
xiv
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Kerangka Konseptual Determinan Pendidikan Menurut World
Bank (World Bank, 2007) ... 25
Gambar 2.2 Kerangka Konseptual Determinan Pendidikan Menurut Bappenas (Bappenas, 2009) ... 26
Gambar 4.1 Plot ACF Residual ... 63
Gambar 4.2 Probability Plot Residual ... 64
Gambar 4.3 Scatter Plot antara APK SLTA dengan Jumlah Penduduk Miskin . 65 Gambar 4.4 Scatter Plot antara APK SLTA dengan Rasio Jenis Kelamin ... 66
Gambar 4.5 Scatter Plot antara APK SLTA dengan Rata-rata ART ... 66
Gambar 4.6 Scatter Plot antara APK SLTA dengan TPT ... 67
Gambar 4.7 Scatter Plot antara APK SLTA dengan PDRB Perkapita ... 68
Gambar 4.8 Plot ACF Residual ... 77
Gambar 4.9 Probability Plot Residual ... 78
Gambar 4.10 Peta APK SLTA terhadap Rasio Jenis Kelamin ... 81
Gambar 4.11 Peta APK SLTA terhadap rata-rata ART ... 82
Gambar 4.12 Peta APK SLTA terhadap TPT ... 84
xvi
xvii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Data dan Struktur Data yang Digunakan ... 95 Lampiran 2. Program Regresi Semiparametrik Spline Truncated Satu Titik
Knot ... 97 Lampiran 3. Program Regresi Semiparametrik Spline Truncated Dua Titik
Knot ... 100 Lampiran 4. Program Regresi Semiparametrik Spline Truncated Tiga Titik
Knot ... 103 Lampiran 5. Program Regresi Semiparametrik Spline Truncated Kombinasi
Titik Knot ... 106 Lampiran 6. Uji Signifikansi Parameter... 112 Lampiran 7. Uji Glejser ... 115
xviii
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Salah satu metode dalam statistika yang banyak digunakan untuk mengestimasi hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor adalah analisis regresi. Analisis regresi parametrik adalah analisis yang paling banyak digunakan. Dalam regresi parametrik terdapat banyak asumsi yang harus dipenuhi, salah satunya adalah bentuk kurva regresi yang harus diketahui, bisa berbentuk linier, kuadratik, kubik dan lain-lain. Menurut Budiantara (2009) apabila bentuk kurva regresi tidak diketahui polanya, maka analisis regresi nonparametrik lebih disarankan untuk digunakan. Beberapa contoh model regresi nonparametrik yang banyak digunakan antara lain adalah histogram, kernel, spline, deret fourier, wavelets, MARS, dan lain sebagainya.
Diantara beberapa model regresi nonparametrik tersebut, dalam beberapa dekade terakhir model spline lebih banyak diminati dan mendapatkan perhatian dari para peneliti regresi nonparametrik, karena model spline merupakan model yang mempunyai interpretasi statistik dan interpretasi visual sangat khusus dan sangat baik (Eubank, 1999; Budiantara, 2009). Menurut Budiantara (2009), data yang memiliki pola berubah-ubah pada sub-sub interval tertentu sebaiknya dimodelkan dengan menggunakan metode spline.
Budiantara (2005) mengembangkan estimator spline dalam regresi nonparametrik dengan menggunakan basis fungsi keluarga spline truncated. Pendekatan dengan menggunakan basis fungsi spline truncated ini memberikan perhitungan matematik yang lebih mudah dan sederhana, dan optimasi yang digunakan tanpa melibatkan penalty yaitu optimasi least square (LS). Wahba (1990) memberikan metode untuk memilih parameter penghalus optimal dalam estimator spline yaitu dengan Generalized Cross Validation (GCV).
Penelitian yang menggunakan regresi nonparametrik spline truncated antara lain Merdekawati (2013) melakukan pemodelan regresi spline truncated multivariabel pada faktor-faktor yang mempengaruhi kemiskinan di Provinsi Jawa
2
Tengah. Bintariningrum (2014) juga melakukan pemodelan regresi nonparametrik spline truncated pada angka kelahiran kasar di Surabaya. Purnomo (2016) melakukan pemodelan spline truncated campuran dengan kernel dalam regresi nonparametrik pada rata-rata lama sekolah di Provinsi Jawa Tengah. Begitu juga dengan Rory (2016) melakukan penelitian dengan menggunakan regresi campuran nonparametrik spline truncated dan kernel dalam data kemiskinan di Papua.
Pada beberapa penelitian, variabel respon dapat memiliki hubungan linier dengan sebagian variabel prediktor, dan memiliki pola hubungan yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya dengan sebagian variabel prediktor yang lain. Pada kasus seperti ini, lebih disarankan untuk menggunakan pendekatan regresi semiparametrik (Wahba, 1990; Eubank, 1999; Budiantara, 2005). Engle (1986) memperkenalkan regresi semiparametrik untuk mengestimasi hubungan antara cuaca dan penjualan listrik dengan pendekatan spline linier. Wei dan Wang (2016) mempertimbangkan estimasi untuk model semiparametrik dengan adanya multikolinieritas. Penelitian lain yang menggunakan regresi semiparametrik antara lain Sriliana (2012) yang melakukan penelitian dengan menggunakan regresi semiparametrik spline truncated dalam model linier parsial untuk data longitudinal. Solikhin (2014) mengkaji estimator spline truncated linier dalam regresi semiparametrik pada data persentase pengeluaran konsumsi padi-padian di Provinsi Jawa Tengah. Nuryanti (2016) melakukan pemodelan kemiskinan di Provinsi Jawa Barat dengan regresi semiparametrik.
Inferensi statistik, khususnya pengujian terhadap parameter model untuk mengetahui apakah parameter tersebut signifikan terhadap model, sangat penting untuk dilakukan. Kajian tentang pengujian hipotesis khususnya pada regresi semiparametrik spline truncated belum pernah dilakukan. Kajian ini sangat penting karena dapat digunakan untuk mengetahui bentuk dari hipotesis, penurunan untuk mendapatkan statistik uji dan daerah penolakan dari pengujian hipotesis secara simultan khususnya pada regresi semiparametrik spline truncated. Zaki (2007) telah melakukan kajian tentang inferensi uji Generalized Maximum Likelihood (GML) untuk menguji hipotesis dalam model regresi nonparametrik spline dan menyelidiki perilaku uji GML yang dibandingkan dengan uji Locally Most Powerful (LMP) dengan menggunakan data simulasi. Tupen (2011) juga
3
telah melakukan kajian tentang uji hipotesis dalam regresi nonparametrik spline truncated. Ruliana,dkk (2016) melakukan kajian tentang pengujian hipotesis simultan pada model spline pada Structural Equation Modeling (SEM) Nonlinier. Dalam penelitian ini akan dikembangkan model spline truncated pada regresi semiparametrik, khususnya melakukan kajian tentang uji hipotesis secara simultan dalam regresi semiparametrik spline truncated.
Pengujian hipotesis telah banyak dilakukan pada berbagai bidang keilmuan, salah satunya adalah pada bidang sosial. Penelitian bidang sosial, diantaranya penelitian indikator-indikator pendidikan merupakan bidang yang sesuai untuk penerapan regresi semiparametrik spline truncated. Hal ini disebabkan karena hubungan antara variabel respon dengan sebagian variabel prediktor cenderung tidak diketahui pola hubungannya, namun dengan sebagian variabel prediktor lainnya membentuk hubungan linier.
Pada awal tahun 2016, tepatnya mulai 1 Januari 2016, Indonesia memasuki pasar bebas Asia Tenggara atau lebih dikenal dengan sebutan Masyarakat Ekonomi Asean (MEA). Sepuluh negara anggota ASEAN melakukan kesepakatan ini pada tahun 2007 yang akan menciptakan pasar tunggal di kawasan Asia Tenggara. Persaingan perekonomian, terutama masalah perdagangan dan tenaga kerja akan semakin ketat menjelang pemberlakuan MEA. Persaingan di bidang tenaga kerja menjadi salah satu topik menarik untuk dibahas. MEA memberikan peluang untuk membuka pasar tenaga kerja profesional. Ada delapan profesi yang dibuka, yaitu insinyur, arsitek, perawat, tenaga survei, tenaga pariwisata, praktisi medis, dokter gigi, dan akuntan. Persaingan dibidang tenaga kerja ini memberikan dampak positif dan juga negatif bagi penduduk Indonesia. Kesiapan Sumber Daya Manusia (SDM) dalam menghadapi persaingan ini akan berdampak positif, namun jika SDM masih belum siap menghadapi persaingan ini maka akan berdampak negatif, dan bahkan bisa mendorong peningkatan pengangguran. Pendidikan dasar 9 (sembilan) tahun sudah tidak relevan lagi jika Indonesia ingin berpartisipasi dalam pasar tenaga kerja profesional. Dalam era MEA diharapkan penduduk Indonesia minimal berpendidikan SLTA. Hal ini sesuai dengan program yang telah digalakkan pemerintah yaitu wajib belajar 12 tahun.
4
Pendidikan merupakan elemen yang sangat penting untuk meningkatkan kualitas SDM. SDM yang berkualitas dapat mempercepat pembangunan suatu bangsa. Sehingga dapat dikatakan pendidikan merupakan salah satu investasi SDM jangka panjang (long-term human capital investment). Pendidikan juga merupakan aspek dasar yang digunakan dalam penghitungan Indeks Pembangunan Manusia (IPM), yang merupakan indeks yang dapat mengukur keberhasilan dalam upaya membangun kualitas hidup manusia (masyarakat/penduduk). Dalam penghitungan IPM metode baru, ketiga aspek yaitu aspek standar hidup layak, aspek kesehatan dan aspek pendidikan harus menunjukkan kinerja yang bagus, karena ketiga aspek yang digunakan tidak bisa saling menutupi. Oleh karenanya aspek pendidikan juga harus terus ditingkatkan untuk mendapatkan kemajuan dan pemerataan pembangunan. Ada beberapa indikator pendidikan yang dapat dilihat untuk mengetahui kualitas SDM suatu wilayah di bidang pendidikan, diantaranya adalah Angka Partisipasi Sekolah (APS), Angka Partisipasi Kasar (APK) dan Angka Partisipasi Murni (APM). Indikator-indikator ini secara umum merupakan ukuran daya serap sistem pendidikan terhadap penduduk usia sekolah. Untuk mengukur daya serap sistem pendidikan terhadap penduduk usia sekolah di masing-masing jenjang pendidikan dapat dilihat pada nilai APK.
Nilai APK tingkat SLTA di seluruh provinsi di Indonesia masih berada di bawah nilai APK SD dan SLTP. Pada tahun 2015 nilai APK tingkat SLTA Provinsi Jawa Timur menduduki urutan ke-21 dari 34 provinsi di Indonesia, hal ini menjadi menarik karena karakteristik Provinsi Jawa Timur yang merupakan provinsi yang sudah maju dari segi ekonomi, kesehatan dan infrastruktur. Dilihat dari segi ekonomi, distribusi PDRB Provinsi Jawa Timur menduduki urutan kedua setelah Provinsi DKI Jakarta yaitu sebesar 14,4 persen. Dari segi demografi, Provinsi Jawa Timur merupakan provinsi dengan jumlah penduduk terbesar kedua setelah Provinsi Jawa Barat yaitu sebesar 38,8 juta jiwa. Dari segi infrastruktur, Ibukota Provinsi Jawa Timur yaitu Surabaya merupakan ibukota terbesar kedua setelah Jakarta dan merupakan kota metropolitan, sehingga dapat dikatakan infrastruktur Provinsi Jawa Timur sudah cukup maju. Dari segi kesehatan, Angka Harapan Hidup (AHH) saat lahir Provinsi Jawa Timur menduduki peringkat ke-10
5
yaitu sebesar 70,45. Dari bidang pendidikan sendiri, Provinsi Jawa Timur merupakan provinsi dengan jumlah perguruan tinggi terbanyak di Indonesia. Berdasarkan fakta ini menjadikan suatu pertanyaan kenapa pendidikan khususnya di tingkat SLTA di Provinsi Jawa Timur masih rendah.
Provinsi Jawa Timur merupakan salah satu provinsi yang memfokuskan pembangunan pada bidang pendidikan. Seperti tercantum dalam tujuan kedua dari misi pertama Rencana Pembangunan Jangka Menengah Daerah (RPJMD) Provinsi Jawa Timur Tahun 2014-2019 adalah “Meningkatkan Pemerataan dan Perluasan Akses Pendidikan”. Provinsi Jawa Timur telah berhasil mewujudkan wajib belajar 9 tahun yang telah dicanangkan pemerintah sejak tahun 1989, walaupun belum mencapai 100 persen. Hal ini dapat dilihat dari tingginya nilai APS, APK dan APM tingkat Sekolah Dasar (SD) dan Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP). Pencapaian APS pada kelompok umur 7-12 tahun Provinsi Jawa Timur Tahun 2015 mencapai 99,45 dan APS pada kelompok umur 13-15 tahun sebesar 96,53, sementara APK tingkat SD sebesar 108,64 dan APK tingkat SLTP sebesar 91,16, sedangkan untuk APM tingkat SD pada Tahun 2015 sebesar 97,38 dan APM tingkat SLTP sebesar 81,16. Provinsi Jawa Timur juga merupakan salah satu provinsi yang sudah mencanangkan wajib belajar 12 tahun sejak Tahun 2014, namun nilai APS, APK dan APM tingkat Sekolah Lanjutan Tingkat Atas (SLTA) masih belum menunjukkan nilai yang tinggi. Nilai APS, APK dan APM tingkat SLTA Provinsi Jawa Timur Tahun 2015 masih dibawah 90, dimana APS pada kelompok umur 16-18 tahun sebesar 70,44; APK tingkat SLTA sebesar 80,02 dan APM tingkat SLTA sebesar 60,31. Target RPJMD untuk nilai APK Provinsi Jawa Timur pada Tahun 2019 untuk tingkat SD sebesar 113,10; tingkat SLTP sebesar 103,11 sementara tingkat SLTA hanya sebesar 83,44. Dengan program wajib belajar 12 tahun, target APK tingkat SLTA sebesar 83,44 masih sangat kecil, karena hal ini mengindikasikan bahwa masih ada penduduk Provinsi Jawa Timur yang putus sekolah dan tidak mengenyam pendidikan SLTA. Hal ini tentu menjadi tugas berat bagi Provinsi Jawa Timur untuk bisa mewujudkan wajib belajar 12 tahun. Karenanya diperlukan suatu kajian untuk mengetahui faktor penyebab dari rendahnya nilai APK tingkat SLTA di Provinsi Jawa Timur.
6
Penelitian tentang indikator-indikator pendidikan telah banyak sekali dilakukan, terutama di negara-negara berkembang, termasuk di Indonesia. Choiriyah (2009) menyatakan bahwa dari hasil penelitiannya di wilayah Surabaya Utara, jenis kelamin merupakan salah satu faktor yang mempengaruhi tingginya angka putus sekolah. Citra (2008) melakukan penelitian tentang APK dimana variabel yang berpengaruh terhadap APK adalah pengeluaran pemerintah di sektor pendidikan, pendapatan per kapita dan angka kematian bayi (AKB) di Bengkulu dan Sumatra Utara dengan menggunakan regresi linier berganda. Setyawan (2011) melakukan pemodelan determinan tingkat pendidikan di Papua menggunakan regresi nonparametrik birespon spline, dimana dalam penelitiannya didapatkan variabel yang berpengaruh secara signifikan adalah angka harapan hidup, rata-rata pengeluaran rumah tangga perbulan, banyaknya anggota rumah tangga, rasio jenis kelamin, persentase ibu berpendidikan SLTA ke atas, rasio murid dengan sekolah, persentase penduduk perkotaan, persentase penduduk yang tinggal di pesisir dan persentase anggaran pendidikan di APBD. Sahat (2011) juga melakukan penelitian tentang APK, dimana pengeluaran pemerintah di sektor pendidikan, Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) per kapita, dan tenaga pendidik mempunyai pengaruh terhadap APK tingkat SMA di Deli Serdang. Penelitian lainnya yang meneliti tentang indikator pendidikan adalah Sikhan (2013) menyebutkan bahwa di Amerika Serikat, anak usia sekolah dari keluarga berpenghasilan rendah memiliki kemungkinan untuk putus sekolah di tingkat sekolah menengah atas lima kali lebih tinggi daripada yang berasal dari keluarga berpenghasilan menengah dan enam kali lebih tinggi daripada anak usia sekolah yang berasal dari keluarga berpenghasilan tinggi.
1.2. Rumusan Permasalahan
Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan diatas maka terlihat ada rumusan permasalahan yang harus diselesaikan dalam penelitian ini. Yang pertama bahwa pengujian hipotesis sangat penting dalam inferensi statistik, namun masih ada permasalahan mengenai bagaimana bentuk dari hipotesis, bagaimana penurunan untuk mendapat statistik uji dan bagaimana daerah penolakan dari regresi semiparametrik spline truncated. Sehingga diperlukan
7
suatu kajian mengenai pengujian hipotesis secara simultan dalam regresi semiparametrik spline truncated. Yang kedua terdapat permasalahan pada APK tingkat SLTA di Provinsi Jawa Timur yang masih rendah sehingga diperlukan suatu kajian untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhinya. Karena diduga bentuk kurva regresi antara variabel respon dengan sebagian variabel prediktor tidak diketahui polanya, dan dengan sebagian lagi mempunyai pola linier, maka diperlukan pendekatan regresi semiparametrik spline truncated yang dapat digunakan untuk memodelkan APK tingkat SLTA di Provinsi Jawa Timur.
1.3.Tujuan Penelitian
Berdasarkan permasalahan di atas, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengkaji pengujian hipotesis secara simultan dalam model regresi semiparametrik spline truncated.
2. Mengaplikasikan regresi semiparametrik spline truncated pada data APK tingkat SLTA di Provinsi Jawa Timur Tahun 2015.
1.4.Manfaat Penelitian
Manfaat yang ingin dicapai dari hasil penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menghasilkan penurunan uji hipotesis regresi semiparametrik spline truncated sehingga bisa dijadikan tambahan referensi dalam melakukan analisis data.
2. Memberikan informasi yang lebih rinci mengenai APK tingkat SLTA sehingga dapat membantu pemerintah daerah Provinsi Jawa Timur dalam penentuan kebijakan di bidang pendidikan, seperti program Wajib Belajar 12 tahun.
3. Memberikan alternatif bagi Badan Pusat Statistik (BPS) mengenai metode analisis data khususnya untuk data yang sesuai dengan regresi semiparametrik spline truncated.
8
1.5. Batasan Permasalahan
Beberapa batasan permasalahan pada penelitian ini antara lain:
1. Metode yang digunakan untuk menentukan banyaknya titik knot dan lokasi titik knot optimum adalah dengan menggunakan metode Generalized Cross Validation (GCV), karena GCV tidak memerlukan pengetahuan terhadap variansi populasi 2 serta metode GCV invarians terhadap transformasi. Pemilihan banyaknya titik knot dibatasi dengan menggunakan satu, dua, tiga dan kombinasi titik knot.
2. Dalam aplikasi model regresi semiparametrik spine truncated, fungsi spline yang digunakan adalah spline linier, karena sesuai dengan pola data yang digunakan.
9
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1.Analisis Regresi
Analisis regresi merupakan studi ketergantungan dari variabel respon, pada satu atau lebih variabel prediktor. Tujuan analisis regresi adalah untuk memperkirakan atau meramalkan nilai dari variabel respon apabila nilai dari variabel prediktor sudah diketahui (Drapper dan Smith, 1992). Jika variabel respon adalah dan variabel prediktor adalah , 𝑖 = 1, 2, ... , , maka pasangan data , akan memiliki model hubungan fungsional:
( ) 𝑖 ( 2.1 )
dimana ( ) adalah kurva regresi dan adalah error random yang diasumsikan identik, independen dan berdistribusi normal dengan mean nol dan varian (Eubank, 1999).
Jika pola hubungan variabel respon dan variabel prediktor diketahui, maka pendekatan analisis regresi tersebut dinamakan analisis regresi parametrik (Budiantara, 2009). Namun jika pola hubungan antara variabel prediktor dan respon yang tidak diketahui kurva regresinya atau tidak terdapat informasi masa lalu yang lengkap tentang bentuk pola data, salah satu pendekatan yang dapat digunakan adalah regresi nonparametrik (Eubank, 1999). Selain itu, apabila diasumsikan bahwa bentuk kurva regresi sebagian diketahui dan sebagian tidak diketahui, maka digunakan pendekatan regresi semiparametrik (Eubank, 1999; Budiantara, 2005).
2.2.Regresi Parametrik
Regresi parametrik merupakan suatu metode yang sederhana (parsimoni) dalam kajian analisis regresi, namun disisi lain menuntut terpenuhinya berbagai asumsi yang sangat ketat, salah satunya adalah bentuk kurva regresi diketahui, misalnya linear, kuadratik, kubik, polinomial derajat-p, eksponen, dan lain-lain. Pengetahuan terhadap bentuk kurva regresi memudahkan dalam memilih salah satu bentuk keluarga kurva atau fungsi regresi yang memungkinkan dari beberapa
10
alternatif yang ada, kemudian menempatkan fungsi regresi tersebut dalam proses inferensi. Jika bentuk kurva atau fungsi regresi yang dipilih bisa tepat, maka analisis regresi parametrik akan lebih menguntungkan, khususnya metode inferensinya dan interpretasi parameternya akan lebih sederhana. Oleh karena itu analisis regresi parametrik lebih sering digunakan apabila terdapat informasi tentang bentuk kurva regresinya (Eubank, 1999). Pendekatan model regresi parametrik memiliki sifat yang sangat baik dari pandangan Statistika Inferensia seperti misalnya sederhana, mudah interpretasinya, parsimoni, tak bias, estimator linier, efisien, konsisten, dan Best Linier Unbiased Estimator (BLUE) yang tidak dimiliki oleh pendekatan model regresi nonparametrik (Budiantara, 2009).
Secara matematis fungsi regresi parametrik bisa ditulis dengan persamaan sebagai berikut:
( ) 𝑖 ( 2.2 )
fungsi ( ) seringkali disebut sebagai fungsi regresi parametrik atau kurva regresi parametrik yang memiliki error random dan diasumsikan berdistribusi normal independen dengan rata-rata nol dan variansi (Eubank, 1999). Fungsi
( ) dapat dituliskan dalam bentuk:
̃ ̃ ( 2.3 )
Dimana ̃ , -, 𝑖 sedangkan n adalah banyak
data dan p adalah banyak variabel, sementara ̃ [ ]. Sehingga persamaannya
menjadi:
[ ] [ ] ( 2.4 )
𝑖 ( 2.5 )
2.3. Regresi Nonparametrik
Regresi nonparametrik mulai dikenal sekitar abad ke-19, tepatnya pada tahun 1857 (Hardle, 1994). Menurut Eubank (1999), regresi nonparametrik
11
merupakan salah satu pendekatan yang digunakan untuk mengetahui pola hubungan antara variabel prediktor dan respon yang tidak diketahui kurva regresinya atau tidak terdapat informasi masa lalu yang lengkap tentang bentuk pola data. Berdasarkan kenyataan tersebut, maka secara visual pola yang diberikan oleh variabel prediktor z dan variabel respon y tidak mempunyai pola yang jelas. Pendekatan regresi nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi, karena data diharapkan mencari sendiri bentuk estimasi kurva regresinya tanpa dipengaruhi oleh faktor subyektifitas peneliti (Eubank, 1999).
Secara umum model regresi nonparametrik memiliki bentuk fungsi sebagai berikut:
( ) 𝑖 ( 2.6 )
dengan adalah variabel respon ke-i, sedangkan fungsi ( ) merupakan kurva regresi, dengan sebagai variabel prediktor dan adalah error random yang diasumsikan berdistribusi normal independen dengan mean nol dan variansi σ2
(Wahba, 1990).
Regresi nonparametrik persamaan ( 2.6 ) disebut regresi nonparametrik univariabel karena terdiri dari satu variabel respon dan satu variabel prediktor. Jika dalam regresi nonparametrik terdapat satu variabel respon dan lebih dari satu variabel prediktor, maka disebut regresi nonparametrik multivariabel (Budiantara, 2004). Jika diberikan data ( ) hubungan antara ( )
dan dapat dituliskan sebagai berikut:
( ) ( 2.7 )
∑ ( ) 𝑖 ( 2.8 ) dengan adalah variabel respon dan adalah kurva regresi yang tidak diketahui
bentuknya.
2.4.Regresi Semiparametrik
Regresi semiparametrik adalah gabungan antara regresi parametrik dan regresi nonparametrik. Menurut Eubank (1999) dan Budiantara (2005), apabila diasumsikan bahwa bentuk kurva regresi sebagian diketahui dan sebagian tidak
12
diketahui, maka digunakan pendekatan regresi semiparametrik. Model regresi semiparametrik dapat ditulis sebagai berikut:
( ) ( ) 𝑖
dimana adalah variabel respon ke-i, ( ) merupakan fungsi komponen parametrik, ( ) merupakan fungsi komponen nonparametrik yang tidak diketahui dan adalah error random, dimana ( ).
Jika fungsi komponen parametrik ( ) didekati dengan menggunakan regresi linier berganda maka persamaan akan menjadi:
̃ ̃ ( ) 𝑖 ( 2.9 )
dimana adalah variabel respon ke-i , ̃ , - adalah variabel
prediktor untuk komponen parametrik, adalah variabel prediktor untuk
komponen nonparametrik, ̃ ̃ merupakan komponen parametrik,
̃ , - parameter yang tidak diketahui, ( )
merupakan fungsi komponen nonparametrik yang tidak diketahui dan adalah error random, dimana ( ).
2.5. Spline Truncated dalam Regresi Semiparametrik
Spline truncated merupakan pendekatan regresi nonparametrik dan semiparametrik yang banyak digunakan. Spline truncated merupakan potongan-potongan polinomial yang memiliki sifat tersegmen dan kontinu. Salah satu kelebihan spline truncated adalah model ini cenderung mencari sendiri estimasi data kemanapun pola data tersebut bergerak. Kelebihan ini terjadi karena dalam spline truncated terdapat titik-titik knot, yaitu titik perpaduan bersama yang menunjukkan terjadinya perubahan pola perilaku data (Eubank, 1999; Budiantara, 2009).
Jika diberikan data berpasangan ( , ), 𝑖 = 1,2, … , , dimana adalah variabel respon sedangkan adalah variabel prediktor yang mengikuti pola parametrik dan adalah variabel prediktor yang mengikuti pola nonparametrik. Pola hubungan , dan dapat dinyatakan dalam model regresi seperti persamaan ( 2.9 ), yaitu:
13
Selanjutnya jika kurva regresi ( ) pada persamaan ( 2.10 ) dihampiri dengan kurva regresi spline truncated dengan knot K1, K2, ..., Kr maka:
( ) ∑ ∑ ( )
( 2.11 )
dengan adalah parameter-parameter model dan fungsi truncated ( )
diberikan oleh:
( ) { ( )
Kurva regresi ( ) merupakan kurva regresi nonparametrik spline truncated derajat m dengan banyaknya titik knot r. Derajat m merupakan derajat pada persamaan polinomial. Kurva regresi polinomial derajat 1 biasa disebut dengan kurva regresi linier, kurva regresi polinomial derajat 2 biasa disebut dengan kurva regresi kuadratik, sedangkan kurva regresi polinomial derajat 3 biasa disebut dengan kurva regresi kubik. Titik-titik knot K1, K2, …, Kr adalah titik-titik knot
yang menunjukkan perubahan pola perilaku dari kurva pada sub-sub interval yang berbeda, dimana K1 < K2 < < Kr.
Salah satu ilustrasi sederhana diberikan spline linier truncated dengan m = 1, r = 3 atau tiga titik knots yaitu K1, K2 dan K3 dapat disajikan dalam bentuk:
( ) ( ) ( ) ( ) ( 2.12 ) Fungsi Spline ( ) dapat disajikan dalam bentuk (Budiantara, 2005):
1 1 2 1 1 2 1 3 2 1 2 1 3 2 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i z z z K f z z z K z K z z K z K z K ( 2.13 )
Sehingga persamaan regresi semiparametrik spline truncated pada persamaan ( 2.10 ) menjadi:
̃ ̃ ∑ ∑ ( )
( 2.14 )
Regresi semiparametrik spline truncated diatas terdiri dari satu variabel respon dengan satu atau lebih variabel prediktor parametrik, dan hanya satu variabel prediktor nonparametrik. Jika dalam regresi semiparametrik terdiri dari
, 𝑧𝑖 𝐾
, 𝐾 ≤ 𝑧𝑖 𝐾
, 𝐾 ≤ 𝑧𝑖 𝐾
14
satu variabel respon dengan lebih dari satu variabel prediktor parametrik dan lebih dari satu variabel prediktor nonparametrik, dengan komposisi data seperti berikut
( ) maka hubungan antara ( ) dan
dapat dituliskan sebagai berikut:
̃ ̃ ( ) ( 2.15 )
̃ ̃ ∑ ( )
( 2.16 )
dengan adalah variabel respon, 𝑖 ; ̃ ̃ adalah fungsi regresi parametrik dan ( ) adalah kurva regresi yang tidak diketahui bentuknya, dimana
( ) ∑ ∑ ( ) ( )
𝑖 ( 2.17 )
Sehingga persamaan ( 2.16 ) menjadi:
̃ ̃ ∑ .∑ ∑ ( ) ( ) / 𝑖 ( 2.18 )
Persamaan ( 2.18 ) dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
̃ ( ̃) ̃ ̃ ( 2.19 )
Respon merupakan vektor berukuran , matriks ( ̃) ( ), adalah
matriks yang memuat prediktor komponen parametrik yang berukuran
( ), adalah matriks yang memuat komponen nonparametrik berukuran
( ) yang tergantung pada titik knot yang diberikan yaitu ̃ adalah titik knot dari . Vektor parameter ̃ berukuran (( ) ( ))
dimana ̃ ( ( ) ( ) ( ) ) dan ̃merupakan vektor error.
Estimasi parameter model regresi spline truncated diperoleh dengan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS). Berdasarkan model persamaan ( 2.19 ), diperoleh persamaan:
̃ ̃ ( ̃) ̃ ( 2.20 )
15
∑ ̃ ̃
( 2.21 )
∑ ( ̃ ( ̃) ̃) ( ̃ ( ̃) ̃) ( 2.22 ) Dengan menggunakan sifat tranpose suatu matrik yaitu:
( ( ̃) ̃) ̃ ( ̃) ( 2.23 ) Maka, ∑ ( ̃ ( ̃) ̃) ( ̃ ( ̃) ̃) ( 2.24 ) ∑ ̃ ̃ ̃ ( ̃) ̃ ̃ ( ̃) ̃ ̃ ( ̃) ( ̃) ̃ ( 2.25 ) ∑ ̃ ̃ ̃ ( ̃) ̃ ̃ ( ̃) ( ̃) ̃ ( 2.26 ) ∑ ( ̃) ( 2.27 )
Untuk mendapatkan estimator dari parameter ̃, dilakukan derivatif parsial ( ̃)
terhadap ̃: ( ̃) ̃ ( ̃ ̃ ̃ ( ̃) ̃ ̃ ( ̃) ( ̃) ̃) ̃ ( ) ( ̃) ̃ ( ̃) ( ̃) ̃
Jika derivatif parsial di atas disamakan dengan nol, diperoleh persamaan:
( ̃) ̃ ( ̃) ( ̃) ̃̂ ( 2.28 )
Persamaan ( 2.22 ) dapat pula ditulis dalam bentuk:
( ̃) ( ̃) ̃̂ ( ̃) ̃ ( 2.29 )
Sehingga diperoleh estimator ̃̂ adalah sebagai berikut:
̃̂ . ( ̃) ( ̃)/ ( ̃) ̃ ( 2.30 )
Dan estimator kurva regresi semiparametrik adalah sebagai berikut:
̃̂( ) ( ̃) . ( ̃) ( ̃)/ ( ̃) ̃ ( 2.31 )
16
2.6. Pemilihan Titik Knot Optimal
Dalam regresi semiparametrik spline truncated, hal penting yang berperan dalam mendapatkan estimator spline truncated terbaik adalah pemilihan titik knot yang optimal. Salah satu metode yang sering digunakan dalam memilih titik knot optimal adalah Generalized Cross Validation (GCV). Menurut Wahba (1990) jika dibandingkan dengan metode lain, misalnya Cross Validation (CV) dan metode Unbiased Risk (UBR) ataupun Generalized Maximum Likelihood (GML), GCV secara teoritis memiliki sifat optimal asymtotik. Wahba (1990) juga menyatakan bahwa metode GCV juga memiliki kelebihan tidak memerlukan pengetahuan terhadap variansi populasi 2 serta metode GCV invarians terhadap transformasi. Metode GCV merupakan pengembangan dari CV (Wahba, 1990). Fungsi GCV untuk pemilihan titik knot optimal pada regresi semiparametrik dapat ditunjukkan dalam persamaan berikut:
( ̃)
∑ ( ̂)
0 . ( ̃)/1 ( 2.33 )
Dalam mencari titik knot optimal ( ( ) ( )) diperoleh melalui
optimasi: { ( ̃)} { ∑ ( ̂ ) 0 . ( ̃)/1 } ( 2.34 )
Dimana adalah variabel respon, ̂ adalah nilai estimasi variabel respon,
𝑖 yang merupakan jumlah observasi, ̃ ( ) merupakan titik-titik knot, I adalah matriks identitas, dan matrik
( ̃) ( ̃) . ( ̃) ( ̃)/ ( ̃)diperoleh dari persamaan ̃̂ ( ̃) ̃.
2.7. Likelihood Ratio Test (LRT)
Jika adalah sampel random dari populasi dengan probability
density function (pdf) atau probability mass function (pmf) ( | ) ( mungkin suatu vektor), maka fungsi likelihood didefinisikan sebagai berikut
17
( | ) ( | ) ∏ ( | )
( 2.35 )
Selanjutnya likelihood ratio test statistic untuk pengujian melawan
dengan adalah seluruh ruang parameter adalah:
( )
( | ) ( | )
( 2.36 )
LRT adalah uji yang mempunyai daerah penolakan dari bentuk * ( ) ≤ +, dimana c adalah konstanta yang memenuhi ≤ ≤ .
Jika dilakukan maksimalisasi baik itu pada seluruh ruang parameter (unrestricted maximization) maupun pada subset ruang parameter (restricted maximization), maka akan ada hubungan yang jelas antara LRT dan Maximum Likelihood Estimators (MLE). Anggap bahwa ̂ merupakan estimator dari yang diperoleh dari metode Maximum Likelihood Estimators (MLE), dengan unrestricted maximization dari ( | ). Dan juga anggap bahwa ̂ merupakan estimator dari yang diperoleh dari metode MLE, dengan restricted maximization pada ruang parameter dimana ̂ ̂ ( ) adalah nilai dari yang memaksimumkan ( | ). Sehingga formula LRT statistik adalah sebagai berikut:
( ) ( ̂ | ) ( ̂| )
( 2.37 )
2.8.Pengujian Parameter dalam Regresi Parametrik
Untuk mengetahui apakah suatu variabel memberikan pengaruh yang signifikan dalam model regresi parametrik atau tidak maka dilakukanlah suatu uji parameter. Ada dua macam uji parameter, yaitu uji parameter simultan atau serentak dan uji parameter secara parsial atau individu.
2.8.1.Uji Simultan/Serentak
Misalkan diberikan suatu model regresi sebagai berikut:
18
Hipotesis yang digunakan untuk menguji model secara simultan atau serentak adalah sebagai berikut:
Statistik uji yang digunakan adalah uji F yaitu :
∑ ( ̂ ̅) ∑ ( ̂) ( 2.39 )
Banyaknya variabel prediktor adalah p, sedangkan observasi pengamatan sebanyak n. Dengan daerah penolakannya adalah : tolak apabila
( ) atau tolak apabila p-value < α yang mengindikasikan
bahwa paling sedikit ada satu parameter yang tidak sama dengan nol atau paling sedikit ada satu prediktor yang berpengaruh signifikan terhadap respon.
Tabel 2.1 Analisis Varians Model Regresi Sumber
Variasi
Derajat Kebebasan
Jumlah
Kuadrat Rata-rata Kuadrat F Hitung
Regresi p ∑( ̂ ̅) ∑ ( ̂ ̅) Error n-p-1 ∑( ̂) ∑ ( ̂) Total n-1 ∑( ̅) - Sumber: Drapper dan Smith, 1992
2.8.2. Uji Parsial/Individu
Uji parsial atau individu merupakan suatu uji untuk parameter kurva regresi secara individu dengan menggunakan uji t. Hipotesis yang digunakan untuk menguji model secara parsial atau individu adalah sebagai berikut :
19
Statistik uji yang digunakan adalah dengan menggunakan uji t yaitu :
̂
( ̂ ) ( 2.40 )
Dimana ( ̂ ) adalah standart error dari ̂ , dan daerah penolakan pada uji t yaitu tolak apabila | | ( ) atau tolak apabila p-value < α.
2.9.Uji dan Deteksi Asumsi Residual
Pada model regresi semiparametrik spline truncated diasumsikan bahwa error random berdistribusi normal independen dengan mean nol dan variansi σ2 (Wahba, 1990). Oleh karena itu sebelum melakukan analisis dan mengambil keputusan dari hasil pemodelan maka dilakukan uji asumsi residual terlebih dahulu. Uji dan deteksi asumsi residual yang dilakukan adalah uji normalitas, deteksi independen dan uji identik.
2.9.1.Uji Normalitas
Pengujian hipotesis melibatkan distribusi tertentu, yaitu F dan t-Student, kedua distribusi tersebut digunakan untuk menguji signifikansi parameter baik secara simultan maupun parsial. Oleh karena itu diperlukan pengujian distribusi normal pada residualnya, sehingga jika residual tidak memenuhi asumsi normal maka pengujian parameter menjadi tidak akurat. Cara mendeteksi apakah residual berdistribusi normal dapat dilihat pada normal probability plot residual. Apabila plot yang dihasilkan membentuk garis lurus maka residual dari model regresi tersebut cenderung mengikuti distribusi normal.
Pengujian distribusi normal dapat dilakukan dengan metode Uji Kolmogorov-Smirnov yang juga dikenal dengan uji kesesuaian model (Goodness of Fit test). Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut:
( ) ( ) (Residual berdistribusi Normal)
( ) ( ) (Residual tidak berdistribusi Normal). Statistik Uji :
20
( ) adalah fungsi distribusi frekuensi kumulatif teoritis sedangkan
( ) merupakan fungsi peluang kumulatif yang diobservasi dari satu sampel random dengan N observasi. adalah banyaknya observasi yang sama atau kurang dari . Kesimpulan untuk menolak jika ( ) dimana
adalah nilai berdasarkan tabel Kolmogorov-Smirnov.
2.9.2. Deteksi Independen
Pendeteksian independensi residual bertujuan untuk mengetahui korelasi antar residual apakah sama dengan nol atau tidak. Korelasi antar residual yaitu korelasi antara residual pada pengamatan ke-i dengan pengamatan i – 1. Untuk melakukan pengujian independen ini dapat dilakukan dengan cara membuat plot fungsi autokorelasi (ACF) dari residual. Residual saling independen jika tidak ada nilai ( ) melampaui batas √ .
2.9.3. Uji Identik
Uji identik dapat juga disebut uji homogenitas varians residual. Homogenitas varians residual didasarkan pada sifat ( ) dimana ( )
Pada kondisi ini, varians residual konstan. Pelanggaran terhadap asumsi ini disebut heteroskedastis yaitu keadaan dimana variansi residual tidak homogen. Hal ini menyebabkan estimasi koefisien kurang akurat/tidak efisien (Gujarati, 1992). Cara mendeteksi heteroskedastisitas dapat dideteksi dengan membuat scatter plot antara residual dan estimasi respon ( ̂). Apabila plot menunjukkan sebaran data yang tidak random atau membentuk tren/pola tertentu, maka terjadi kasus heteroskedastis residual, sehingga perlu diatasi antara lain dengan transformasi variabel menggunakan Weighted Least Square (WLS) (Gujarati, 1992).
Cara lain yang dapat digunakan dalam mendeteksi adanya heteroskedastisitas adalah dengan menggunakan Uji Glejser. Pengujian ini dilakukan dengan cara meregresikan harga mutlak residual dengan variabel prediktor ( ).
21
Berdasarkan Persamaan ( 2.42 ) jika diketahui terdapat variabel prediktor yang signifikan dalam model maka hal ini mengindikasikan bahwa residual cenderung tidak homogen. Hipotesis yang digunakan dalam uji Glejser sebagai berikut:
𝑖
Statistik uji yang digunakan adalah sebagai berikut:
( ∑ (| ̂| | ̅|) ) ( ∑ (| | | ̂|) ) ( 2.43 )
p adalah banyaknya parameter model glejser. Daerah penolakan jika nilai
(( ) ( )). Apabila pada kesimpulan dihasilkan penolakan ,
maka dapat dinyatakan bahwa artinya terdapat minimal satu dan itu berarti terdapat heteroskedastisitas.
2.10.Teorema Dasar Terkait dengan Aljabar Matriks
Beberapa teorema dasar terkait dengan aljabar matriks yang digunakan untuk menyelesaikan estimasi parameter dan kajian pengujian hipotesis secara simultan berikut ini berdasarkan Rencher dan Scaalje (2007).
1. Inverse.
dan( ) .
2. Idempoten.
Matrik A dikatakan idempoten jika
3. Teorema 2.11
Jika adalah dan adalah , maka ( ) ( )
4. Teorema 2.13d
Jika matrik mempunyai rank serta simetris dan idempotent, maka
( ) ( )
5. Teorema 2.14a.
Jika ̃ ̃ ̃ ̃, dimana ̃ ( ) adalah vektor konstan. Maka ̃ ( ̃ ̃) ̃ ( ̃ ̃) ̃ ̃
22
6. Teorema 2.14b.
Jika ̃ ̃, dimana adalah matrik simetrik konstan. Maka
̃
( ̃ ̃)
̃ ̃
7. Teorema 2.2a.
Jika A dan B adalah matrik dengan ukuran , maka (A + B) = A + B.
8. Teorema 2.2b.
Jika A adalah matrik berukuran dan B adalah matrik berukuran
maka (AB) = BA.
9. Theorema 5.5
Corollary 2 menyatakan bahwa jika ̃ ( ̃ ) dan matrik simetris dengan rank r, maka ̃ ̃ adalah ( ̃ ̃ ) jika dan hanya jika adalah idempotent.
10.Teorema 5.6b
Corollary 1 menyatakan bahwa jika ̃ ( ̃ ) maka ̃ ̃ dan ̃ ̃
adalah independent jika dan hanya jika (atau, ekuivalen, ).
2.11. Tinjauan Non Statistik 2.11.1. Penduduk Usia Sekolah
Penduduk usia sekolah menurut jenjangnya terbagi menjadi lima, antara lain sebagai berikut (BPS, 2013):
a. Usia 3-6 tahun, masuk dalam kelompok anak usia dini.
b. Usia 7-12 tahun, masuk dalam kelompok usia sekolah dasar (SD).
c. Usia 13-15 tahun, masuk dalam kelompok usia sekolah menengah pertama (SLTP).
d. Usia 16-18 tahun, masuk dalam kelompok usia sekolah menengah atas (SLTA).
e. Usia 19-24 tahun, masuk dalam kelompok usia sekolah di perguruan tinggi.
2.11.2. Angka Partisipasi Kasar (APK)
Sumber utama untuk sektor pendidikan adalah Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas), yang setiap tahun dikumpulkan melalui Susenas KOR, dan
23
setiap tiga tahun dikumpulkan melalui Susenas Modul. Dalam Kuesioner Susenas, partisipasi sekolah ditanyakan kepada responden dengan 3 pilihan jawaban, yaitu: 1. Tidak/belum pernah sekolah
Konsep yang digunakan BPS untuk tidak/belum pernah sekolah adalah tidak pernah atau belum pernah terdaftar dan tidak/belum aktif mengikuti pendidikan baik di suatu jenjang pendidikan formal maupun non formal (Paket A/B/C), termasuk juga yang tamat/belum tamat taman kanak-kanak tetapi tidak melanjutkan ke sekolah dasar.
2. Sedang bersekolah
Sedang bersekolah menurut konsep BPS adalah mereka yang terdaftar dan aktif mengikuti pendidikan baik di suatu jenjang pendidikan formal maupun non formal, yang berada di bawah pengawasan Kemdikbud, Kementerian Agama, Instansi Negeri lain maupun Instansi Swasta.
3. Tidak bersekolah lagi
Tidak bersekolah lagi adalah pernah terdaftar dan aktif mengikuti pendidikan baik di suatu jenjang pendidikan formal maupun non formal, tetapi pada saat pencacahan tidak lagi terdaftar dana tidak lagi aktif.
Berkaitan dengan partisipasi sekolah, BPS mengeluarkan tiga ukuran indikator pendidikan, yaitu :
1. Angka Partisipasi Sekolah (APS)
APS adalah proporsi anak yang masih sekolah pada kelompok usia tertentu dalam penduduk kelompok usia tersebut yang sesuai dengan jenjang pendidikan. APS 7-12 tahun merupakan indikator untuk menunjukkan partisipasi penduduk usia sekolah dasar. Untuk partisipasi di SMP digunakan APS 13-15 tahun, dan untuk SMA digunakan APS 16-18 tahun. Penghitungan matematis untuk APS 16-18 tahun dapat ditulis sebagai berikut:
𝑖 𝑖
24 2. Angka Partisipasi Kasar (APK)
APK adalah proporsi anak sekolah pada suatu jenjang tertentu tanpa memandang usia dengan jumlah penduduk yang berusia sesuai dengan jenjang pendidikan tersebut. Penghitungan APK untuk pendidikan menengah atas, yaitu sekolah menengah atas, madrasah aliyah dan paket C dapat digunakan rumus berikut:
𝑖 𝑖
𝑖
( 2.45 )
Untuk jenjang SD/MI/Paket A pada usia 7-12 tahun dan pada jenjang SMP/MTS/Paket B pada usia 13-15 tahun.
Berdasarkan penghitungan tersebut maka APK menunjukkan tingkat partisipasi penduduk secara umum di suatu tingkat pendidikan. APK merupakan indikator yang paling sederhana untuk mengukur daya serap penduduk usia sekolah di masing-masing jenjang pendidikan.
3. Angka Partisipasi Murni (APM)
APM adalah proporsi anak sekolah pada satu kelompok usia tertentu yang bersekolah pada jenjang yang sesuai dengan kelompok usianya. APM menunjukkan partisipasi sekolah penduduk usia sekolah di tingkat pendidikan tertentu, merupakan indikator daya serap penduduk usia sekolah di setiap jejang pendidikan. Formulasi APM untuk SMA/MA/Paket C seperti berikut:
𝑖 𝑖 𝑖
𝑖 ( 2.46 )
2.11.3. Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Angka Partisipasi Kasar
Penelitian tentang indikator-indikator pendidikan telah banyak dilakukan, baik di Indonesia maupun diluar negeri. Namun penelitian mengenai pendidikan khususnya tingkat SLTA masih sangat jarang dilakukan. Pada negara-negara berkembang sampai pada akhir tahun 2015 masih memfokuskan pada pendidikan dasar. Namun semakin ke depan tantangan dan persaingan semakin besar, mulai awal 2016 mulai dikembangkan untuk meningkatkan partisipasi tingkat
25
pendidikan masyarakat ke jenjang yang lebih tinggi. Sehingga dalam mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi APK tingkat SLTA di Provinsi Jawa Timur dapat didekati dengan menggunakan model yang telah digunakan untuk melihat faktor-faktor yang mempengaruhi indikator-indikator pendidikan yang telah dilakukan sebelumnya.
World Bank (2007) melakukan kajian mengenai Investasi Pendidikan di Indonesia. Dalam kajiannya menggunakan satu model dasar yang meneliti sisi penawaran dan permintaan sebagai penentu dari outcomes pendidikan. Dari sisi permintaan faktor yang digunakan sebagai penentu outcomes pendidikan adalah kemiskinan, persentase penduduk usia sekolah (7-18 tahun) yang bekerja, akses jalan, jumlah sekolah dan bencana. Dari sisi penawaran faktor yang digunakan sebagai penentu outcomes pendidikan adalah total pengeluaran pendidikan per jumlah penduduk usia 7-18 tahun, rata-rata belanja pemerintah kabupaten/kota per penduduk usia sekolah, rasio belanja pegawai dengan total belanja pendidikan dan PDRB per kapita.
Gambar 2.1 Kerangka Konseptual Determinan Pendidikan Menurut World Bank (World Bank, 2007)
Badan Perencanaan Pembangunan Nasional (Bappenas) juga melakukan evaluasi pelaksanaan program wajib belajar pendidikan dasar 9 tahun pada tahun 2009. Dalam melakukan evaluasi Bappenas juga mengadopsi dari kerangka konseptual yang dilakukan oleh World Bank. Outcomes yang digunakan Bappenas dalam melakukan evaluasi adalah APM dan APK tingkat SD dan SLTP. Faktor yang digunakan dalam mengevaluasi outcomes pendidikan wajib belajar dasar 9
Sisi Penawaran Sisi Permintaan Outcome pendidikan Determinan pendidikan
26
tahun adalah faktor input dan output program serta faktor eksternal seperti karakteristik sosial ekonomi suatu wilayah.
Gambar 2.2 Kerangka Konseptual Determinan Pendidikan Menurut Bappenas (Bappenas, 2009)
Faktor input yang digunakan adalah alokasi Dana Alokasi Khusus (DAK) untuk pendidikan, rasio Dana Alokasi Umum (DAU) terhadap Anggaran Pendapatan Belanja Daerah (APBD), rasio DAK terhadap APBD dan dana Bantuan Operasional Sekolah (BOS). Faktor output yang digunakan adalah rasio murid dan guru dan rasio murid sekolah. Sedangkan faktor eksternal yang digunakan adalah angka melek huruf, tingkat kemiskinan, pendapatan masyarakat, jumlah angkatan kerja, serta akses terhadap fasilitas umum. Selain itu juga digunakan karakteristik wilayah seperti kabupaten/kota, daerah tertinggal dan keberadaan di Pulau Jawa/luar Pulau Jawa sebagai variabel dummy.
Sementara penelitian tentang indikator pendidikan lebih banyak di lakukan di negara-negara berkembang. Seperti penelitian yang dilakukan oleh Lestari (2014) yang melakukan penelitian tentang APS dan APK tingkat SD dan SMP di Indonesia, dengan menerapkan regresi data panel dalam penelitiannya yang mengaitkan rasio guru murid, angka buta huruf, jumlah penduduk, panjang jalan, angka pengangguran terbuka, jumlah orang miskin dan pengeluaran pemerintah di bidang pedidikan dengan APS dan APK tingkat SD dan SMP. Astuti, dkk (2013) juga melakukan penelitian tentang pemodelan APM jenjang
Faktor input Faktor output Faktor eksternal Faktor sosial Faktor ekonomi Determinan pendidikan Outcomes pendidikan
27
pendidikan SMA di Jawa Tengah, penelitian dilakukan menggunakan Spatial Autoregressive Model (SAR) yang meneliti tentang APM dengan rata-rata jumlah anggota rumah tangga, kepadatan penduduk, rasio PDRB terhadap rata-rata nasional, rasio jenis kelamin dan tingkat kemiskinan.
Rena (2007) melakukan penelitian di sebuah sekolah dasar di India, hasil penelitian menunjukkan bahwa salah satu penyebab anak-anak putus sekolah adalah agar dapat membantu dalam kegiatan rumah tangga dan kegiatan pertanian. Ia juga mengungkapkan bahwa tingkat putus sekolah anak perempuan lebih tinggi dari anak laki-laki. Penelitian ini merekomendasikan bahwa alokasi anggaran harus ditingkatkan sehingga dapat mendorong partisipasi sekolah dasar dan memberikan beberapa bentuk bantuan keuangan kepada siswa. Lloyd (1996) melakukan penelitian di wilayah Sub Saharan Africa menunjukkan bahwa berbagai ukuran tingkat pendidikan memiliki hubungan negatif dengan banyaknya saudara kandung yang dimiliki. Sementara pada peneilitian Brunello, dkk (2005) yang dilakukan pada pasar tenaga kerja Italia pada Tahun 1960-1980 menunjukkan bahwa semakin rendah rasio murid dan guru akan berkorelasi positif dengan pencapaian pendidikan yang lebih tinggi, namun semakin meningkat tingkat pendidikan orang tua akan berkorelasi positif dengan pencapaian pendidikan yang lebih tinggi.
Berdasarkan dari kedua kerangka konseptual yang digunakan World Bank dan Bappenas serta beberapa penelitian dalam melakukan kajian tentang determinan pendidikan, maka pada penelitian ini akan digunakan kerangka konseptual yang ada yaitu melibatkan faktor sosial dan faktor ekonomi, namun dalam pemilihan variabel-variabel yang digunakan telah disesuaikan dengan kondisi di Provinsi Jawa Timur dengan tidak meninggalkan esensinya. Faktor sosial yang digunakan adalah jumlah penduduk miskin, rasio jenis kelamin, rata-rata jumlah anggota rumah tangga (ART) dan tingkat pengangguran terbuka (TPT). Sedangkan untuk merepresentasikan faktor ekonomi variabel yang digunakan adalah PDRB per kapita.
Berikut ini adalah konsep dan definisi operasional variabel prediktor yang digunakan:
28
1. Jumlah Penduduk Miskin
Faktor sosial yang digunakan dalam penelitian ini yang pertama adalah jumlah penduduk miskin. Hipotesis antar jumlah penduduk miskin dengan nilai APK di Jawa Timur memiliki hubungan negatif. Semakin sedikit jumlah penduduk miskin maka diharapkan nilai APK tingkat SLTA di Jawa Timur semakin meningkat. Beberapa penelitian yang menggunakan variabel jumlah penduduk miskin dalam determinan pendidikan adalah Lestari (2014), Astuti, dkk (2013), Setyawan (2001), World Bank (2007) dan Bappenas (2009).
BPS menggunakan konsep kemampuan memenuhi kebutuhan dasar (basic needs approach) dalam mengukur kemiskinan. Dengan pendekatan ini, kemiskinan dipandang sebagai ketidakmampuan dari sisi ekonomi untuk memenuhi kebutuhan dasar makanan dan bukan makanan yang diukur dari sisi pengeluaran (BPS, 2016). Penduduk yang dikategorikan sebagai penduduk miskin adalah penduduk yang memiliki rata-rata pengeluaran perkapita dibawah Garis Kemiskinan (GK). GK adalah merupakan penjumlahan dari Garis Kemiskinan Makanan (GKM) dan Garis Kemiskinan Non-Makanan (GKNM). Tahap pertama dalam penghitungan GK adalah dengan menentukan penduduk referensi yaitu 20 persen penduduk yang berada di atas GKS. GKS sendiri adalah GK periode sebelumnya yang di-inflate dengan inflasi umum (IHK). Dari penduduk referensi kemudian dihitung Garis Kemiskinan Makanan (GKM). GKM adalah jumlah nilai pengeluaran dari 52 komoditi dasar makanan yang riil dikonsumsi penduduk referensi yang kemudian disetarakan dengan 2100 kilokalori perkapita/hari. Penyetaraan nilai pengeluaran kebutuhan minimum makanan dilakukan dengan menghitung harga rata-rata kalori dari ke-52 komoditi tersebut. Selanjutnya GKM tersebut disetarakan dengan 2100 kilokalori dengan mengalikan 2100 terhadap harga implisit rata-rata kalori menurut daerah j dari penduduk referensi. Sementara GKNM merupakan penjumlahan nilai kebutuhan minimum dari komoditi-komoditi non-makanan terpilih yang meliputi perumahan, sandang, pendidikan dan kesehatan. Nilai kebutuhan minimum per komoditi/sub-kelompok non-makanan dihitung dengan menggunakan suatu rasio pengeluaran kelompok tersebut terhadap total pengeluaran komoditi/sub-kelompok yang tercatat dalam data Susenas modul konsumsi. Rasio tersebut
