81
Pada bab ini akan dibahas detail perhitungan analisis problem elastisitas struktur dua dimensi dengan contoh cantilever beam dan beban yang bekerja sebagai berikut :
Gambar 1. Permodelan Struktur
Contoh cantilever beam ini sudah memiliki penyelesaian eksak yang ditemukan oleh Timoshenko dan Goodier, yaitu :
y D
(
x(
L x) (
) (
y y D)
)
IM E P u − + + − − − = 3 2 2 υ 2 6 1(
)
(
)
(
)
+ + − − + − = 4 5 4 2 3 3 6 2 2 2 2 x D D y x L x L x IM E P u υ υDimana u1 = displacement arah vertikal
u2 = displacement arah horisontal IM = momen inersia
υ = poisson’s ratio
Pada metode MLPG, domain global disebut sebagai Ω dan dibatasi oleh
boundary Г , dimana boundary Г terdiri dari boundary Гu (perletakkan) dan
boundary Гt (tempat dimana gaya bekerja), secara lebih jelas dapat dilihat pada
Гt
Г
uΩ Г
tГ
tGambar 2. Penamaan dari Model Struktur yang Ditinjau
Untuk penyelesaian contoh cantilever beam ini, diambil titik nodal arah x sebanyak 11 buah, dan arah y sebanyak 7 buah (untuk contoh dalam studi ini), yang terletak didalam domain global Ω dan pada boundary Г.
Gambar 3. Titik Nodal pada Domain Global Ω dan pada Boundary Г
Setelah itu menentukan parameter-parameter yang dipakai yaitu :
a. Radius of influence R = 1,5 m
b. Basis function dan weight function
Basis function yang digunakan adalah basis function dengan
polinomial tingkat 2 yaitu : P = [ 1, x, y, x2, xy, y2 ]
Weight function yang digunakan adalah weight function Gaussian (Exponential) > ≤ − − = − − − , , 0 , , ) 1 ( ) ( 2 2 2 ) / ( ) / ( ) / ( I I I I c r c r c d I r d r d e e e x w k I I k I I k I I
wI(x)= weight untuk setiap titik x yang berjarak dI terhadap
titik nodal I.
dI =jarak antara titik kuadratur dan titik nodal
rI = radius of influence dari semua titik nodal = 1,5 m
cI dan k konstanta pendefinisian fungsi dalam hal ini diambil :
cI = rI /4= 0,3750 k = 1 c. Modulus elastisitas (E) E = 1000 t/m2
d. Poisson’s ratio (υ)
υ= 0,25
e. Penalty parameter (α) α = 109
Sebagai contoh perhitungan diambil titik nodal 21 untuk pembentukan
matriks stiffness equation, dimana titik tersebut memotong boundary gaya Гt.
Detail Perhitungan untuk Titik Nodal 21.
Titik nodal 21 merupakan titik nodal yang memotong boundary gaya Гt.
Berikut ini akan ditampilkan perhitungan secara detail untuk titik nodal 21.
1. Menentukan Subdomain Lokal ΩIte dan Boundary Lokal ∂ΩIte yang Bersangkutan (Titik Nodal 21)
a) Melihat apakah ada perpotongan antara subdomain lokal ∂ΩIte
Г
Ω
∂Ω
IteΩ
Ite21
Gambar 4. Perpotongan antara Boundary Subdomain Lokal ∂ΩIte
dengan Boundary Г
b) Memodifikasi boundary subdomain lokal ∂ΩIte jika berpotongan
dengan boundary Г.
Г
Ω
∂Ω
IteΩ
Ite 21Gambar 5. Hasil Modifiksi Boundary Subdomain Lokal ∂ΩIte jika
2. Menentukan Titik Kuadratur Gauss (xip di ΩIte serta xipu dan xipt di ∂ΩIte), Beserta jacobian x weight-nya (vip di ΩIte serta vipu dan vipt di ∂ΩIte)
Langkah-langkah untuk menentukan titik-titik kuadratur Gauss adalah sebagai berikut :
a) Mendiskretkan dan menentukan titik-titik batas partisi menjadi segitiga dan segiempat.
21
Gambar 6. Batas-batas Partisi Subdomain Lokal ΩIte yang
telah Didiskretkan
b) Menentukan titik kuadratur beserta jacobian dan weight-nya.
Pada contoh ini, titik kuadratur pada partisi segitiga memakai aturan 7 titik, sedangkan pada partisi segiempat memakai aturan 3 x 3 titik. Kemudian dihitung Jacobian dan weight-nya pada masing-masing titik-titik kuadratur tersebut.
Tabel 1. Sampling Points (sp) dan Weights untuk Kuadratur Gauss
untuk Segitiga Aturan 7 Titik dalam Interval ξ = 0
sampai ξ = +1 dan η = 0 sampai η = +1
sp1 sp2 sp3 weight 0,3333 0,3333 0,3333 0,2250 0,7974 0,1013 0,1013 0,1259 0,1013 0,1013 0,7974 0,1259 0,1013 0,7974 0,1013 0,1259 0,4701 0,4701 0,0597 0,1324 0,4701 0,0597 0,4701 0,1324 0,0597 0,4701 0,4701 0,1324
Mencari titik batas partisi pada partisi segitiga (xpoint) = xp1, xp2, xp3, xp4, xp5, xp6. xp3 21 xp6 xp5 xp1 xp4 xp2
Gambar 7. Titik-titik Batas Partisi pada Partisi Segitiga (xpoint), yang Diarsir
Tabel 2. Koordinat Titik-titik Batas Partisi pada Partisi Segitiga (xpoint)
batas boundary lokal x y batas boundary lokal x y 1 sampai 2 4,5000 0,5000 7 sampai 8 4,5000 0,5000 4,7500 0,5000 3,7500 0,5000 4,7500 0,7500 3,7929 0,2500 4,6250 0,5000 4,1250 0,5000 4,7500 0,6250 3,7608 0,3732 4,6250 0,6250 4,1464 0,3750 2 sampai 3 4,5000 0,5000 8 sampai 9 4,5000 0,5000 4,7500 0,7500 3,7929 0,2500 4,7500 1,0000 4,0000 0,2500 4,6250 0,6250 4,1464 0,3750 4,7500 0,8750 3,8964 0,2500 4,6250 0,7500 4,2500 0,3750 3 sampai 4 4,5000 0,5000 9 sampai 10 4,5000 0,5000 4,7500 1,0000 4,0000 0,2500 4,7500 1,2071 4,2500 0,2500 4,6250 0,7500 4,2500 0,3750 4,7500 1,1036 4,1250 0,2500 4,6250 0,8536 4,3750 0,3750 4 sampai 5 4,5000 0,5000 10 sampai 11 4,5000 0,5000 4,7500 1,2071 4,2500 0,2500 4,5000 1,2500 4,5000 0,2500 4,6250 0,8536 4,3750 0,3750 4,6268 1,2392 4,3750 0,2500 4,5000 0,8750 4,5000 0,3750 5 sampai 6 4,5000 0,5000 11 sampai 12 4,5000 0,5000 4,5000 1,2500 4,5000 0,2500 3,9697 1,0303 4,7500 0,2500 4,5000 0,8750 4,5000 0,3750 4,2130 1,1929 4,6250 0,2500 4,2348 0,7652 4,6250 0,3750 6 sampai 7 4,5000 0,5000 12 sampai 1 4,5000 0,5000 3,9697 1,0303 4,7500 0,2500 3,7500 0,5000 4,7500 0,5000
Tabel 2. (sambungan) batas boundary lokal x y batas boundary lokal x Y 4,2348 0,7652 4,6250 0,3750 3,8071 0,7870 4,7500 0,3750 4,1250 0,5000 4,6250 0,5000
Turunan shape function (DN) dari setiap titik-titik batas partisi segitiga (xp) (6 titik) sebagai berikut :
− − + − − − − + − − = 1 4 ) 2 3 ( 4 1 4 1 3 4 1 2 4 0 1 3 ( 4 2 4 2 4 1 3 4 0 1 1 4 sp sp sp sp sp sp sp sp sp sp sp sp DN
[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
1x7 2x1 1x7 2x1 1x7 2x1 2x7 sp3 x xp3 + sp2 x xp2 + sp1 x xp1 = xipdengan xip = titik-titik kadratur pada partisi segitiga xp = titik-titik batas partisi pada partisi segitiga sp = sampling point
jacobian = DN x xpoint J = det (jacobian)
vip = 0,5 x J x weight
Contoh mencari titik kuadratur (xip) dan (0,5 x Jacobian x weight) (vip) pada partisi segitiga pada titik batas boundary 1 sampai 2.
xpoint dalam matrik : y koordinat x koordinat xpo →→ = | 625 , 0 625 , 0 5 , 0 75 , 0 5 , 0 5 , 0 625 , 4 75 , 4 625 , 4 75 , 4 75 , 4 5 , 4 int xp1 xp2 xp3 xp4 xp5 xp6
Titik-titik kuadratur (xip) yang ke-1 :
Koordinat x = xp1 x sp1 + xp2 x sp2 + xp3 x sp3
= 4,5 x 0,3333 + 4,75 x 0,3333 + 4,75 x 0,3333 = 4,6667
Koordinat y = xp1 x sp1 + xp2 x sp2 + xp3 x sp3 = 0,5 x 0,3333 + 0,5 x 0,3333 + 0,75 x 0,3333 = 0.5833 − − − − = 3333 , 1 0 3333 , 1 3333 , 0 3333 , 0 0 0 3333 , 1 3333 , 1 3333 , 0 0 3333 , 0 DN jacobian = DN x xpoint = − − − 25 , 0 0 25 , 0 25 , 0 J = Determinan (jacobian) = 0,0625 vip = 0,5 x J x weight = 0,5 x 0,0625 x 0,2250 = 0,0070
Titik-titik kuadratur (xip) yang ke-2 :
Koordinat x = xp1 x sp1 + xp2 x sp2 + xp3 x sp3 = 4,5 x 0,7974 + 4,75 x 0,1013 + 4,75 x 0,1013 = 4,5506 Koordinat y = xp1 x sp1 + xp2 x sp2 + xp3 x sp3 = 0,5 x 0,7974 + 0,5 x 0,1013 + 0,75 x 0,1013 = 0,5253 − − − − = 1897 , 3 0 1897 , 3 5949 , 0 5949 , 0 0 7846 , 2 4051 , 0 4051 , 0 5949 , 0 0 1897 , 2 DN jacobian = DN x xpoint = − − − 25 , 0 0 25 , 0 25 , 0 J = Determinan (jacobian) = 0,0625 vip = 0,5 x J x weight = 0,5 x 0,0625 x 0,1259 = 0,0039
Dengan cara yang sama akan didapat titik kuadratur 3 sampai 7 pada partisi segitiga pada titik batas boundary 1 sampai 2.
xp3 xp6 xp5 21 xp1 xp4 xp2 Keterangan : * = xip.
Gambar 8. Titik-titik Kuadratur (xip) pada Partisi Segitiga yang Diarsir pada
Gambar 6, pada Batas Boundary Lokal ΩIte 1 sampai 2
Tabel. 3. Hasil Titik Kuadratur (xip) dan (0,5 x Jacobian x Weight) (vip) untuk Semua Partisi Segitiga
Koordinat xip Koordinat xip
No
xip x y vip No xip x y vip
1 4,6667 0,5833 0,0070 43 4,0143 0,4167 0,0215 2 4,5506 0,5253 0,0039 44 4,3524 0,4747 0,0119 3 4,7247 0,6994 0,0039 45 3,8602 0,3006 0,0121 4 4,7247 0,5253 0,0039 46 3,8303 0,4747 0,0121 5 4,6325 0,5149 0,0041 47 4,1052 0,4851 0,0126 6 4,6325 0,6175 0,0041 48 4,1228 0,3825 0,0126 7 4,7351 0,6175 0,0041 49 3,8150 0,3825 0,0128 8 4,6667 0,7500 0,0070 50 4,0976 0,3333 0,0058 9 4,5506 0,5760 0,0039 51 4,3777 0,4494 0,0033 10 4,7247 0,9240 0,0039 52 4,0297 0,2753 0,0033 11 4,7247 0,7500 0,0039 53 3,8855 0,2753 0,0033 12 4,6325 0,6474 0,0041 54 4,1377 0,3675 0,0034 13 4,6325 0,7500 0,0041 55 4,2227 0,3675 0,0034 14 4,7351 0,8526 0,0041 56 3,9325 0,2649 0,0034 15 4,6667 0,9024 0,0058 57 4,2500 0,3333 0,0070 16 4,5506 0,6223 0,0033 58 4,4240 0,4494 0,0039 17 4,7247 1,1145 0,0033 59 4,2500 0,2753 0,0039
Tabel. 3. (sambungan)
No
xip Koordinat xip vip No xip Koordinat xip vip 18 4,7247 0,9703 0,0033 60 4,0760 0,2753 0,0039 19 4,6325 0,7773 0,0034 61 4,2500 0,3675 0,0041 20 4,6325 0,8623 0,0034 62 4,3526 0,3675 0,0041 21 4,7351 1,0675 0,0034 63 4,1474 0,2649 0,0041 22 4,5833 0,9857 0,0215 64 4,4167 0,3333 0,0070 23 4,5253 0,6476 0,0119 65 4,4747 0,4494 0,0039 24 4,5253 1,1697 0,0121 66 4,4747 0,2753 0,0039 25 4,6994 1,1398 0,0121 67 4,3006 0,2753 0,0039 26 4,6175 0,8772 0,0126 68 4,3825 0,3675 0,0041 27 4,5149 0,8948 0,0126 69 4,4851 0,3675 0,0041 28 4,6175 1,1850 0,0128 70 4,3825 0,2649 0,0041 29 4,3232 0,9268 0,0497 71 4,5833 0,3333 0,0070 30 4,4463 0,6297 0,0259 72 4,5253 0,4494 0,0039 31 4,0771 0,9989 0,0288 73 4,6994 0,2753 0,0039 32 4,4463 1,1518 0,0288 74 4,5253 0,2753 0,0039 33 4,4683 0,8843 0,0286 75 4,5149 0,3675 0,0041 34 4,2507 0,7941 0,0286 76 4,6175 0,3675 0,0041 35 4,2507 1,1019 0,0304 77 4,6175 0,2649 0,0041 36 4,0732 0,6768 0,0497 78 4,6667 0,4167 0,0070 37 4,3703 0,5537 0,0259 79 4,5506 0,4747 0,0039 38 3,8482 0,5537 0,0288 80 4,7247 0,4747 0,0039 39 4,0011 0,9229 0,0288 81 4,7247 0,3006 0,0039 40 4,2059 0,7493 0,0286 82 4,6325 0,3825 0,0041 41 4,1157 0,5317 0,0286 83 4,6325 0,4851 0,0041 42 3,8981 0,7493 0,0304 84 4,7351 0,3825 0,0041
- Untuk partisi segiempat
Tabel 4. Sampling Points (sp) dan Weights untuk Kuadratur Gauss untuk
Segiempat Aturan 3 x 3 Titik dalam Interval ξ = -1
sampai ξ = +1 dan η = -1 sampai η = +1
sp1 sp2 weight -0,7746 -0,7746 0,3086 0,0000 -0,7746 0,4938 0,7746 -0,7746 0,3086 -0,7746 0,0000 0,4938 0,0000 0,0000 0,7901 0,7746 0,0000 0,4938 -0,7746 0,7746 0,3086 0,0000 0,7746 0,4938 0,7746 0,7746 0,3086
Mencari titik batas partisi pada partisi segiempat (xpoint) = xp1, xp2, xp3, xp4, xp5, xp6, xp7, xp8. 21
Gambar 9. Titik-titik Batas Partisi pada Partisi Segiempat (xpoint) yang Diarsir
pada Gambar 6, pada Batas Boundary Lokal ΩIte 1 sampai 2
Tabel 5. Koordinat Titik-titik Batas Partisi pada Partisi Segiempat (xpoint)
batas boundary x y batas boundary x y
1 sampai 2 4,7500 0,7500 7 sampai 8 3,7929 0,2500 4,7500 0,5000 3,7500 0,5000 5,0000 0,5000 3,0000 0,5000 5,0000 1,0000 3,0858 0,0000 4,7500 0,6250 3,7608 0,3732 4,8750 0,5000 3,3750 0,5000 5,0000 0,7500 3,0216 0,2463 4,8750 0,8750 3,4393 0,1250 2 sampai 3 4,7500 1,0000 8 sampai 9 4,0000 0,2500 4,7500 0,7500 3,7929 0,2500 5,0000 1,0000 3,0858 0,0000 5,0000 1,5000 3,5000 0,0000 4,7500 0,8750 3,8964 0,2500 4,8750 0,8750 3,4393 0,1250 5,0000 1,2500 3,2929 0,0000 4,8750 1,2500 3,7500 0,1250 3 sampai 4 4,7500 1,2071 9 sampai 10 4,2500 0,2500 4,7500 1,0000 4,0000 0,2500
Tabel 5. (sambungan)
batas boundary x y batas boundary x y
5,0000 1,5000 3,5000 0,0000 5,0000 1,9142 4,0000 0,0000 4,7500 1,1036 4,1250 0,2500 4,8750 1,2500 3,7500 0,1250 5,0000 1,7071 3,7500 0,0000 4,8750 1,5607 4,1250 0,1250 4 sampai 5 4,5000 1,2500 10 sampai 11 4,5000 0,2500 4,7500 1,2071 4,2500 0,2500 5,0000 1,9142 4,0000 0,0000 4,5000 2,0000 4,5000 0,0000 4,6268 1,2392 4,3750 0,2500 4,8750 1,5607 4,1250 0,1250 4,7537 1,9784 4,2500 0,0000 4,5000 1,6250 4,5000 0,1250 5 sampai 6 3,9697 1,0303 11 sampai 12 4,7500 0,2500 4,5000 1,2500 4,5000 0,2500 4,5000 2,0000 4,5000 0,0000 3,4393 1,5607 5,0000 0,0000 4,2130 1,1929 4,6250 0,2500 4,5000 1,6250 4,5000 0,1250 3,9260 1,8858 4,7500 0,0000 3,7045 1,2955 4,8750 0,1250 6 sampai 7 3,7500 0,5000 12 sampai 1 4,7500 0,5000 3,9697 1,0303 4,7500 0,2500 3,4393 1,5607 5,0000 0,0000 3,0000 0,5000 5,0000 0,5000 3,8071 0,7870 4,7500 0,3750 3,7045 1,2955 4,8750 0,1250 3,1142 1,0740 5,0000 0,2500 3,3750 0,5000 4,8750 0,5000
Shape function (N) dan turunan shape function (DN) dari setiap titik-titik batas partisi segiempat (xp) (8 titik) sebagai berikut :
N5 = 0,5 . (1-sp12) . (1-sp2) N6 = 0,5 . (1+sp1) . (1-sp22) N7 = 0,5 . (1-sp12) . (1+sp2) N8 = 0,5 . (1-sp1) . (1-sp22) N1 = 0,25 . (1-sp1) . (1-sp2)-0,5 . (N8+N5) N2 = 0,25 . (1+sp1) . (1-sp2)-0,5 . (N5+N6) N3 = 0,25 . (1+sp1) . (1+sp2)-0,5 . (N6+N7) N4 = 0,25 . (1-sp1) . (1+sp2)-0,5 . (N7+N8) N =
[
N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8]
DN1 = + + + + + + sp2) sp1) -(1 ) sp1 -(1 2 1 ( 2 1 sp1) (-1 4 1 )) sp2 -(1 2 1 sp2) -(1 (sp1 2 1 sp2) (-1 4 1 2 2 DN2 = + + + + + + sp2) sp1) (1 ) sp1 -(1 2 1 ( 2 1 sp1) -(-1 4 1 )) sp2 (-1 2 1 sp2) -(1 (sp1 2 1 4 sp2) -(1 2 2 DN3 = + + + + + + + + + + sp2) sp1) (1 ) sp1 (-1 2 1 ( 2 1 4 sp1) (1 )) sp2 (-1 2 1 sp2) (1 (sp1 2 1 4 sp2) (1 2 2 DN4 = + + + + + + sp2) sp1) -(1 ) sp1 (-1 2 1 ( 2 1 4 sp1) -(1 )) sp2 -(1 2 1 sp2) (1 (sp1 2 1 sp2) -(-1 4 1 2 2 DN5 = +sp1 ) (-1 2 1sp1 (1-sp2) -2 DN6 = +sp1) sp2 (1 -) sp2 -(1 2 1 2 DN7 = + ) sp1 -(1 2 1 (1 sp2) sp1 -2 DN8 = + sp2 sp1) -(1 -) sp2 (-1 2 1 2 DN =
[
DN1 DN2 DN3 DN4 DN5 DN6 DN7 DN8]
jacobian = DN x [ xp1 xp2 xp3 xp4 xp5 xp6 xp7 xp8 ]' J = determinan (jacobian) vip = weight x J Koordinat xip = (N x [xp1 xp2 xp3 xp4 xp5 xp6 xp7 xp8]')'Contoh mencari titik kuadratur (xip) dan (Jacobian x weight) (vip) pada
xpoint dalam matriks : y koordinat x koordinat xpo = 875 , 0 750 , 0 500 , 0 625 , 0 000 , 1 500 , 0 500 , 0 750 , 0 875 , 4 000 , 5 875 , 4 750 , 4 000 , 5 000 , 5 750 , 4 750 , 4 int xp1 xp2 xp3 xp4 xp5 xp6 xp7 xp8 N5 = 0,5 . (1-(-0,7746)2) . (1-(-0,7746)) = 0,3549 N6 = 0,5 . (1-0,7746) . (1-(-0,7746)2) = 0,0451 N7 = 0,5 . (1-(-0,7746)2) . (1-0,7746) = 0,0451 N8 = 0,5 . (1+0,7746) . (1-(-0,7746)2) = 0,3549 N1 = 0,25 . (1+0,7746) . (1+0,7746)-0,5 . (0,3549+0,3549) = 0,4324 N2 = 0,25 . (1-0,7746) . (1+0,7746)-0,5 . (0,3549+0,0451) = -0,1000 N3 = 0,25 . (1-0,7746) . (1-0,7746)-0,5 . (0,0451+0,0451) = -0,0324 N4 = 0,25 . (1+0,7746) . (1-0,7746)-0,5 . (0,0451+0,3549) = -0,1000
[
0,4324 −0,1000 −0,0324 −0,1000 0,3549 0,0451 0,0451 0,3549]
= N Koordinat xip = (N x [xp1 xp2 xp3 xp4 xp5 xp6 xp7 xp8]')' Koordinat xip yang ke-1 = absis (x) = 4,7782ordinat (y) = 0,7468 DN1= + + + + + + (-0,7746)) (-0,7746)) -(1 ) (-0,77446) -(1 2 1 ( 2 1 (-0,7746) (-1 4 1 )) (-0.7746) -(1 2 1 (-0,7746)) -(1 (-0,7746 2 1 (-0,7746)) (-1 4 1 2 2 = 1,0309 -1,0309 -DN2= + + + + + + (-0,7746)) (-0,7746)) (1 ) (-0,7746) -(1 2 1 ( 2 1 (-0,7746)) -(-1 4 1 )) (-0,7746) (-1 2 1 (-0,7746)) -(1 (-0,7746 2 1 4 (-0,7746)) -(1 2 2 = 0,0436 -0,3436
-DN3= + + + + + + + + + + (-0,7746)) (-0,7746)) (1 ) (-0,7746) (-1 2 1 ( 2 1 4 (-0,7746)) (1 )) (-0,7746) (-1 2 1 (-0,7746)) (1 ((-0,7746) 2 1 4 (-0,7746)) (1 2 2 = 1,0309 -1,0309 -DN4= + + + + + + (-0,7746)) (-0,7746)) -(1 ) (-0,7746) (-1 2 1 ( 2 1 4 (-0,7746)) -(1 )) (-0,7746) -(1 2 1 (-0,7746)) (1 ((-0,7746) 2 1 (-0,7746)) -(-1 4 1 2 2 = 0,3436 -0,0436 -DN5 = +(-0,7746) ) (-1 2 1 (-0,7746)) -(1 (-0,7746) -2 = 0,2000 -1,3746 DN6 = +(-0,7746)) (-0,7746) (1 -) (-0,7746) -(1 2 1 2 = 0,1746 0,2000 DN7 = + ) (-0,7746) -(1 2 1 (1 (-0,7746)) (-0,7746) -2 = 0,2000 0,1746 DN8 = + (-0,7746) (-0,7746)) -(1 -) (-0,7746) (-1 2 1 2 = 1,3746 0,2000
-DN= 1,3746 0,2000 0,1746 0,2000 -0,3436 -1,0309 -0,0436 -1,0309 -0,2000 -0,1746 0,2000 1,3746 0,0436 -1,0309 -0,3436 -1,0309 jacobian = DN x [ xp1 xp2 xp3 xp4 xp5 xp6 xp7 xp8 ]' = 0,1109 0,1250 0,1391 -0 J = determinan (jacobian) = 0,0174 vip = weight x J = 0,3086 x 0,0174 = 0,0054
Dengan cara yang sama akan didapat titik kuadratur 2 sampai 9 pada partisi segiempat yang diarsir pada gambar 6.
xp4 xp8 xp1 xp7 xp5 21 xp2 xp6 xp3 Keterangan : * = xip
Gambar 10. Titik-titik Kuadratur (xip) pada Partisi Segiempat yang Diarsir pada
Tabel 6. Hasil Titik–titik Kuadratur (xip) dan (Jacobian x Weight) (vip) Untuk Semua Partisi Segiempat
No koordinat xip No koordinat xip
xip x y vip xip x y vip
1 4,7782 0,7468 0,0054 55 3,7031 0,2524 0,0165 2 4,7782 0,6391 0,0086 56 3,6775 0,3589 0,0261 3 4,7782 0,5314 0,0054 57 3,6661 0,4678 0,0165 4 4,8750 0,8327 0,0116 58 3,4257 0,1662 0,0355 5 4,8750 0,6875 0,0185 59 3,3912 0,3098 0,0564 6 4,8750 0,5423 0,0116 60 3,3759 0,4566 0,0355 7 4,9718 0,9186 0,0091 61 3,1483 0,0800 0,0279 8 4,9718 0,7359 0,0146 62 3,1049 0,2606 0,0443 9 4,9718 0,5532 0,0091 63 3,0856 0,4454 0,0279 10 4,7782 1,0250 0,0054 64 3,9177 0,2218 0,0044 11 4,7782 0,9173 0,0086 65 3,8284 0,2218 0,0071 12 4,7782 0,8095 0,0054 66 3,7392 0,2218 0,0044 13 4,8750 1,2077 0,0116 67 3,7150 0,1250 0,0096 14 4,8750 1,0625 0,0185 68 3,5947 0,1250 0,0153 15 4,8750 0,9173 0,0116 69 3,4744 0,1250 0,0096 16 4,9718 1,3905 0,0091 70 3,5123 0,0282 0,0075 17 4,9718 1,2077 0,0146 71 3,3609 0,0282 0,0121 18 4,9718 1,0250 0,0091 72 3,2095 0,0282 0,0075 19 4,7782 1,2608 0,0044 73 4,1905 0,2218 0,0054 20 4,7782 1,1716 0,0071 74 4,0827 0,2218 0,0086 21 4,7782 1,0823 0,0044 75 3,9750 0,2218 0,0054 22 4,8750 1,5256 0,0096 76 4,0827 0,1250 0,0116 23 4,8750 1,4053 0,0153 77 3,9375 0,1250 0,0185 24 4,8750 1,2850 0,0096 78 3,7923 0,1250 0,0116 25 4,9718 1,7905 0,0075 79 3,9750 0,0282 0,0091 26 4,9718 1,6391 0,0121 80 3,7923 0,0282 0,0146 27 4,9718 1,4877 0,0075 81 3,6095 0,0282 0,0091 28 4,5322 1,3339 0,0165 82 4,4686 0,2218 0,0054 29 4,6411 1,3225 0,0261 83 4,3609 0,2218 0,0086 30 4,7476 1,2969 0,0165 84 4,2532 0,2218 0,0054 31 4,5434 1,6241 0,0355 85 4,4577 0,1250 0,0116 32 4,6902 1,6088 0,0564 86 4,3125 0,1250 0,0185 33 4,8338 1,5743 0,0355 87 4,1673 0,1250 0,0116 34 4,5546 1,9144 0,0279 88 4,4468 0,0282 0,0091 35 4,7394 1,8951 0,0443 89 4,2641 0,0282 0,0146 36 4,9200 1,8517 0,0279 90 4,0814 0,0282 0,0091 37 3,9667 1,1411 0,0387 91 4,7468 0,2218 0,0054 38 4,1806 1,2710 0,0591 92 4,6391 0,2218 0,0086 39 4,4238 1,3305 0,0387 93 4,5314 0,2218 0,0054 40 3,7810 1,3643 0,0834 94 4,8327 0,1250 0,0116 41 4,0695 1,5394 0,1276 95 4,6875 0,1250 0,0185 42 4,3972 1,6195 0,0834 96 4,5423 0,1250 0,0116 43 3,5954 1,5874 0,0656 97 4,9186 0,0282 0,0091 44 3,9583 1,8077 0,1003 98 4,7359 0,0282 0,0146 45 4,3707 1,9086 0,0656 99 4,5532 0,0282 0,0091 46 3,6695 0,5762 0,0387 100 4,7782 0,4686 0,0054
Tabel 6. (sambungan)
No koordinat xip No koordinat xip
xip x y vip xip x y vip
47 3,7290 0,8194 0,0591 101 4,7782 0,3609 0,0086 48 3,8589 1,0333 0,0387 102 4,7782 0,2532 0,0054 49 3,3805 0,6028 0,0834 103 4,8750 0,4577 0,0116 50 3,4606 0,9305 0,1276 104 4,8750 0,3125 0,0185 51 3,6357 1,2190 0,0834 105 4,8750 0,1673 0,0116 52 3,0914 0,6293 0,0656 106 4,9718 0,4468 0,0091 53 3,1923 1,0417 0,1003 107 4,9718 0,2641 0,0146 54 3,4126 1,4046 0,0656 108 4,9718 0,0814 0,0091 21
Keterangan : * = titik titik kuadratur xip
o = xpoint
Gambar 11. Titik-titik Kuadratur (xip) pada Partisi Segitiga dan
Segiempat (xip total)
c) Menentukan titik kuadratur xipt dan xipu dengan memakai aturan
15 titik. Kemudian dihitung Jacobian dan weight-nya (vipt dan
vipu) di setiap titik-titik kuadratur tersebut. Dalam contoh ini
boundary subdomain lokal ∂ΩIte pada titik nodal 21 hanya
Tabel 7. Sampling Points (sp) dan Weights (W) untuk Kuadratur Gauss Satu Dimensi dalam Interval ξ = -1 sampai ξ = +1
n sp W 1 0 2 2 ± 0,5774 1 3 ± 0,7746 0,5556 0 0,8889 4 ± 0,8611 0,3479 ± 0,3400 0,6521 15 ± 0,9880 0,0308 ± 0,9373 0,0704 ± 0,8482 0,1072 ± 0,7244 0,1396 ± 0,5710 0,1663 ± 0,3942 0,1862 ± 0,2012 0,1984 0 0,2026
Dalam contoh ini gaya yang bekerja hanya pada boundary vertikal, maka
rumus xipt adalah :
xipt = 0,5 (1 – sp) y1 + 0,5 (1 + sp) y2 Jacobian = 0,5 (y2 – y1)
Jika gaya yang bekerja pada boundary horisontal, maka rumus xipt adalah
xipt = 0,5 (1 – sp) x1 + 0,5 (1 + sp) x2 Jacobian = 0,5 (x2 – x1)
Misal ditinjau untuk boundary Гt 12-1.
y1 = 0 dan y2 = 0,5 xipt 1
koordinat x nya adalah 5
koordinat y = 0,5 (1 – sp) y1 + 0,5 (1 + sp) y2 = 0,5 (1+0,9880) 0 + 0,5 (1-0,9880)0,5 = 0,0030 Jacobian = 0,5 (y2 – y1) = 0,5 (0,5-0) = 0,25
Jacobian x weight (vipt) = 0,25 x 0,0308 = 0.0077
xipt 2
koordinat x nya adalah 5
koordinat y = 0,5 (1 – sp) y1 + 0,5 (1 + sp) y2 = 0,5 (1+0,9373) 0 + 0,5 (1-0,9373)0,5 = 0,0157 Jacobian = 0,5 (y2 – y1) = 0,5 (0,5-0) = 0,25
Jacobian x weight (vipt) = 0,25 x 0,0704
= 0.0176
xipt 14
koordinat x nya adalah 5
koordinat y = 0,5 (1 – sp) y1 + 0,5 (1 + sp) y2 = 0,5 (1-0,9373) 0 + 0,5 (1+0,9373)0,5 = 0,4843 Jacobian = 0,5 (y2 – y1) = 0,5 (0,5-0) = 0,25
Jacobian x weight (vipt) = 0,25 x 0,0704
= 0,0176
xipt 15
koordinat x nya adalah 5
koordinat y = 0,5 (1 – sp) y1 + 0,5 (1 + sp) y2 = 0,5 (1-0,9880) 0 + 0,5 (1+0,9880)0,5 = 0,4970 Jacobian = 0,5 (y2 – y1) = 0,5 (0,5-0) = 0,25
Jacobian x weight (vipt) = 0,25 x 0,0308 = 0,0077
Tabel 8. Koordinat Titik Kuadratur pada Batas Boundary Lokal ∂ΩIte di Tempat
Dimana Gaya Bekerja (xipt) dan Jacobian x Weight-nya (vipt) di Setiap
Titik-titik Kuadratur (xipt) Tersebut (pada Boundary Гt 12-1)
no. xipt x y Jacobian Weight vipt
1 5 0,0030 0,25 0,0308 0,0077 2 5 0,0157 0,25 0,0704 0,0176 3 5 0,0379 0,25 0,1072 0,0268 4 5 0,0689 0,25 0,1396 0,0349 5 5 0,1073 0,25 0,1663 0,0416 6 5 0,1515 0,25 0,1862 0,0466 7 5 0,1997 0,25 0,1984 0,0496 8 5 0,2500 0,25 0,2026 0,0507 9 5 0,3003 0,25 0,1984 0,0496 10 5 0,3485 0,25 0,1862 0,0466 11 5 0,3927 0,25 0,1663 0,0416 12 5 0,4311 0,25 0,1396 0,0349 13 5 0,4621 0,25 0,1072 0,0268 14 5 0,4843 0,25 0,0704 0,0176 15 5 0,497 0,25 0,0308 0,0077 21 1 12 Keterangan o = xipt
Gambar 12. Titik Kuadratur pada Batas Boundary Lokal ∂ΩIte di Tempat
Pada boundary Гt 1-2, 2-3, dan 3-4 dilakukan perhitungan dengan cara
yang sama dengan boundary Гt 12-1.
Tabel 9. Koordinat Titik Kuadratur pada Batas Boundary Lokal ∂ΩIte di Tempat
Dimana Gaya Bekerja (xipt) dan Jacobian x Weight-nya (vipt) Setiap Titik-titik
Kuadratur (xipt) Tersebut (pada Boundary Гt 1-2, 2-3, dan 3-4)
No. xipt x y Jacobian Weight vipt
1 5 0,5030 0,2500 0,0308 0,0077 2 5 0,5157 0,2500 0,0704 0,0176 3 5 0,5379 0,2500 0,1072 0,0268 4 5 0,5689 0,2500 0,1396 0,0349 5 5 0,6073 0,2500 0,1663 0,0416 6 5 0,6515 0,2500 0,1862 0,0466 7 5 0,6997 0,2500 0,1984 0,0496 8 5 0,7500 0,2500 0,2026 0,0507 9 5 0,8003 0,2500 0,1984 0,0496 10 5 0,8485 0,2500 0,1862 0,0466 11 5 0,8927 0,2500 0,1663 0,0416 12 5 0,9311 0,2500 0,1396 0,0349 13 5 0,9621 0,2500 0,1072 0,0268 14 5 0,9843 0,2500 0,0704 0,0176 15 5 0,9970 0,2500 0,0308 0,0077 1 5 1,0030 0,2500 0,0308 0,0077 2 5 1,0157 0,2500 0,0704 0,0176 3 5 1,0379 0,2500 0,1072 0,0268 4 5 1,0689 0,2500 0,1396 0,0349 5 5 1,1073 0,2500 0,1663 0,0416 6 5 1,1515 0,2500 0,1862 0,0466 7 5 1,1997 0,2500 0,1984 0,0496 8 5 1,2500 0,2500 0,2026 0,0507 9 5 1,3003 0,2500 0,1984 0,0496 10 5 1,3485 0,2500 0,1862 0,0466 11 5 1,3927 0,2500 0,1663 0,0416 12 5 1,4311 0,2500 0,1396 0,0349 13 5 1,4621 0,2500 0,1072 0,0268 14 5 1,4843 0,2500 0,0704 0,0176 15 5 1,4970 0,2500 0,0308 0,0077
Tabel 9. (sambungan)
No. xipt x y Jacobian Weight vipt
1 5 1,5025 0,2071 0,0308 0,0064 2 5 1,5130 0,2071 0,0704 0,0146 3 5 1,5314 0,2071 0,1072 0,0222 4 5 1,5571 0,2071 0,1396 0,0289 5 5 1,5889 0,2071 0,1663 0,0344 6 5 1,6255 0,2071 0,1862 0,0386 7 5 1,6654 0,2071 0,1984 0,0411 8 5 1,7071 0,2071 0,2026 0,0420 9 5 1,7488 0,2071 0,1984 0,0411 10 5 1,7887 0,2071 0,1862 0,0386 11 5 1,8254 0,2071 0,1663 0,0344 12 5 1,8571 0,2071 0,1396 0,0289 13 5 1,8828 0,2071 0,1072 0,0222 14 5 1,9012 0,2071 0,0704 0,0146 15 5 1,9117 0,2071 0,0308 0,0064
Г
uΩ
Г
t 21 Keterangan : o = xiptGambar 13. Titik Kuadratur pada Batas Boundary Lokal ∂ΩIte di
Tempat Dimana Gaya Bekerja (xipt) pada Boundary
3. Mencari Nilai Prescribed Displacement Arah Vertikal (u1i) dan
Horisontal (u2i) di Setiap Titik Kuadratur xipu
Dalam contoh ini perletakannya adalah jepit.
y D
(
x(
L x) (
) (
y y D)
)
IM E P u − + + − − − = 3 2 2 υ 2 6 1(
)
(
)
(
)
+ + − − + − = 4 5 4 2 3 3 6 2 2 2 2 x D D y x L x L x IM E P u υ υ u = i i u u 2 1i = jumlah titik kuadratur xipu
u = nilai prescribed displacement yang bekerja pada titik kuadratur
xipu
Vektor normal (n) adalah vektor yang besarnya 1 unit pada arah tegak
lurus (normal) terhadap bidang kerjanya.
= 1 0 n − = 0 1 n = 0 1 n − = 1 0 n
Gambar 14. Vektor Normal pada Model Struktur
Misal : Jika titik kuadratur terletak pada segmen garis horisontal atas yang terdapat pada boundary Г , maka :
= 1 0 n
Dalam nodal 21 ini, nilai u1i, u2i tidak ada karena tidak ada titik
kuadratur xipu yang terletak pada boundary perletakkan Гu. Hal ini
disebabkan subdomain lokal ΩIte tidak berpotongan dengan boundary
perletakkan Гu.
4 Mencari Nilai Traction ( t ) di Setiap Titik Kuadratur (xipt)
= σxy
Gambar 15. Gaya (Traction) yang Bekerja pada Struktur yang Ditinjau
Dalam contoh ini tractionnya ( t ) berupa σxy
IM D y y P xy 2 ) ( − − = σ
Untuk titik kuadratur yang pertama: Koordinat (x,y) xipt1 = (5 , 0,003)
25 , 2 . 2 ) 3 003 , 0 .( 003 , 0 . 10 − − = xy σ = 0,0200
Untuk titik kuadratur yang kedua:
Koordinat (x,y) xipt2 = (5 , 0,0157)
25 , 2 . 2 ) 3 0157 , 0 .( 0157 , 0 . 10 − − = xy σ = 0,1040
Tabel 10. Hasil σxy pada Setiap Titik Kuadratur (xipt)
No σxyi No σxy No σxyi
1 0,0200 21 3,4000 41 4,9744 2 0,1040 22 3,5767 42 4,9895 3 0,2498 23 3,7500 43 4,9968 4 0,4488 24 3,9120 44 4,9995 5 0,6895 25 4,0569 45 5,0000 6 0,9588 26 4,1805 46 5,0000 7 1,2427 27 4,2808 47 4,9996 8 1,5278 28 4,3569 48 4,9978 9 1,8016 29 4,4090 49 4,9928 10 2,0536 30 4,4378 50 4,9825 11 2,2755 31 4,4511 51 4,9650 12 2,4610 32 4,4787 52 4,9392 13 2,6059 33 4,5256 53 4,9047 14 2,7075 34 4,5870 54 4,8625 15 2,7644 35 4,6572 55 4,8147 16 2,7911 36 4,7300 56 4,7648 17 2,8469 37 4,7996 57 4,7166 18 2,9432 38 4,8611 58 4,6744 19 3,0734 39 4,9114 59 4,6423 20 3,2289 40 4,9490 60 4,6233
Dalam hal ini traction ( t ) yang terjadi dalam 2 dimensi yaitu traction arah x dan arah y, dimana dalam contoh ini traction arah x = 0
t = xyi xy xy σ σ σ ... 0 ... 0 0 2 1 i = jumlah titik kuadratur xipt
5. Aproksimasi Moving Least Squares (MLS) (for Trial function) (xip), untuk Mengevaluasi Term Matriks BJ Didalam Persamaan Local Symetric Weak Form
(
∑
= N J 1∫
Ω s I( )
v T I B E BJ uˆJ dΩ +α∑
= N J 1∫
Γ su I VIφJuˆJ dΓ–∑
= N J 1∫
Γ su I VI N E BJuˆJ dΓ =∫
Γst I VI t dΓ + α∫
Γsu I VIu dΓ +∫
Ωs I VI F dΩ)Memeriksa semua titik nodal untuk menentukan m titik nodal xJ yang
berpengaruh terhadap titik kuadratur yang ditinjau (domain of
definition dari titik-titik kuadratur), dengan J = 1,…,m. Dalam nodal
- Untuk xip1
Koordinat (x,y) xip1 = (4,6667 , 0,5833)
Dicek jaraknya terhadap titik nodal xI, dimana I = 1 sampai 77
kemudian dicari weight serta turunan weight arah x dan y. > ≤ − − = − − − , , 0 , , ) 1 ( ) ( 2 2 2 ) / ( ) / ( ) / ( I I I I c r c r c d I r d r d e e e x w k I I k I I k I I
wI = weight untuk setiap titik nodal yang berpengaruh terhadap titik
kuadratur xip1
dI =jarak antara titik kuadratur xip1 dan titik nodal
rI = radius of influence dari semua titik nodal = 1,5
cI = rI /4= 0,3750 k = 1
turunan weight (dweidx) = -
(
)
I I c r c d I I d x xip e e c d k I I k I I − − − − 1 ) / ( ) / ( 2 ) 1 ( 2 2 2
• Perhitungan weight serta turunan weight arah x dan y untuk
nodal 1.
dI = (4,6667−0)2+(0,5833−0)2 = 4,7030
dI > r I wI(x) = 0
dweidx arah x dan y = 0
• Perhitungan weight serta turunan weight arah x dan y untuk
nodal 10.
dI = (4,6667−4,5)2+(0,5833−0)2 = 0,6067
dI < r I
wI(x) = ) 1 ( 2 2 2 ) 375 , 0 / 5 , 1 ( ) 375 , 0 / 5 , 1 ( ) 375 , 0 / 6067 , 0 ( − − − − − e e e = 0,0730
Turunan weight arah x (dweidx(x))
= -
(
)
6067 , 0 5 , 4 6667 , 4 ) 1 ( 375 , 0 6067 , 0 2 2 2 ) 375 , 0 / 5 , 1 ( ) 375 , 0 / 6067 , 0 ( 2 − − − − e e = - 0,1730Turunan weight arah y (dweidx(y))
= -
(
)
6067 , 0 0 5833 , 0 ) 1 ( 375 , 0 6067 , 0 2 2 2 ) 375 , 0 / 5 , 1 ( ) 375 , 0 / 6067 , 0 ( 2 − − − − e e = - 0,6056 xip1Gambar 16. Ilustrasi Pengaruh Titik Nodal terhadap Titik Kuadratur xip1
Pada Gambar 3.15 dapat dilihat bahwa xip1 tidak berpengaruh pada
subdomain lokal ΩIte titik nodal 1, namun xip1 berpengaruh pada
Tabel.11. Nilai Weight serta turunan Weight Arah x dan y untuk Nodal 1 sampai
77 yang Berpengaruh pada xip1
dweidx dweidx
titik nodal weight x y titik nodal weight x y
1 0 0 0 40 0 0 0 2 0 0 0 41 0,0000 0,0000 0,0000 3 0 0 0 42 0,0001 -0,0010 0,0014 4 0 0 0 43 0,0021 -0,0049 0,0272 5 0 0 0 44 0,0012 0,0055 0,0150 6 0 0 0 45 0 0 0 7 0 0 0 46 0 0 0 8 0,0000 -0,0001 0,0000 47 0 0 0 9 0,0038 -0,0358 -0,0313 48 0 0 0 10 0,0730 -0,1730 -0,6056 49 0 0 0 11 0,0404 0,1913 -0,3349 50 0 0 0 12 0 0 0 51 0 0 0 13 0 0 0 52 0 0 0 14 0 0 0 53 0 0 0 15 0 0 0 54 0,0000 0,0000 0,0000 16 0 0 0 55 0,0000 0,0000 0,0000 17 0 0 0 56 0 0 0 18 0 0 0 57 0 0 0 19 0,0001 -0,0010 -0,0001 58 0 0 0 20 0,0404 -0,3827 -0,0478 59 0 0 0 21 0,7812 -1,8518 -0,9259 60 0 0 0 22 0,4319 2,0476 -0,5119 61 0 0 0 23 0 0 0 62 0 0 0 24 0 0 0 63 0 0 0 25 0 0 0 64 0 0 0 26 0 0 0 65 0 0 0 27 0 0 0 66 0 0 0 28 0 0 0 67 0 0 0 29 0 0 0 68 0 0 0 30 0,0000 -0,0003 0,0001 69 0 0 0 31 0,0123 -0,1170 0,0731 70 0 0 0 32 0,2388 -0,5661 1,4152 71 0 0 0 33 0,1320 0,6259 0,7824 72 0 0 0 34 0 0 0 73 0 0 0 35 0 0 0 74 0 0 0 36 0 0 0 75 0 0 0 37 0 0 0 76 0 0 0 38 0 0 0 77 0 0 0 39 0 0 0
Basis function yang digunakan adalah basis function dengan polinomial tingkat 2 yaitu :
P = [ 1, x, y, x2, xy, y2 ]’
Turunan P terhadap y (P,y) = [0, 0, 1, 0, x, 2y]’
Shape function dihitung untuk nodal yang mempunyai nilai weight. Tabel.12. Nilai Weight serta Turunan Weight Arah x dan y yang Ada Nilainya
dweidx Nodal weight x y 8 0,0000 -0,0001 0,0000 9 0,0038 -0,0358 -0,0313 10 0,0730 -0,1730 -0,6056 11 0,0404 0,1913 -0,3349 19 0,0001 -0,0010 -0,0001 20 0,0404 -0,3827 -0,0478 21 0,7812 -1,8518 -0,9259 22 0,4319 2,0476 -0,5119 30 0,0000 -0,0003 0,0001 31 0,0123 -0,1170 0,0731 32 0,2388 -0,5661 1,4152 33 0,1320 0,6259 0,7824 41 0,0000 0,0000 0,0000 42 0,0001 -0,0010 0,0014 43 0,0021 -0,0049 0,0272 44 0,0012 0,0055 0,0150 54 0,0000 0,0000 0,0000 55 0,0000 0,0000 0,0000 Untuk nodal 10 : Koordinat (x, y) = (4,5 , 0) P10= [ 1 4,5 0 20,25 0 0 ]’ Turunan P terhadap x (P10,x) = [ 0 1 0 9 0 0 ]’ Turunan P terhadap y (P10,y) = [ 0 0 1 0 4,5 0 ]’ B10 = P10 . weight10 = [ 1 4,5 0 20,25 0 0 ]’ . 0,0730 = [ 0,0730 0,3285 0 1,4782 0 0]’ B10,x = P10 . dweidx(1)10 = [ 1 4,5 0 20,25 0 0 ]’ . -0,1730 = [ -0,1730 -0,7785 0 -3,5032 0 0]’ B10,y = P10 . dweidx(2)10 = [ 1 4,5 0 20,25 0 0 ]’ . -0,6056 = [ -0,6056 -2,7252 0 -12,2634 0 0]’
Bentuk matriks B dan P adalah sebagai berikut : B =
[
{ } { }
B1 B2 ...{ }
B77]
[ ]
[ ]
[ ]
= ' 77 ' 2 ' 1 ' P : P P PSetelah P, B, B,x, dan B,y pada semua titik nodal yang mempunyai nilai weight
dihitung, maka dihitung A, A,x, A,y sebagai berikut :
A = (B . P’)-1 A,x = -A . B,x . P’. A A,y = -A. B,y . P’. A A =
0,4785 2,5664 15,3141 0,5512 3,2785 0,7041 2,5664 15,3141 103,4495 3,2785 22,0755 4,7259 15,3141 103,4495 841,9772 22,0755 179,0998 38,2189 0,5512 3,2785 22,0755 0,7041 4,7259 1,0150 3,2785 22,0755 179,0998 4,7259 38,2189 8,1819 0,7041 4,7259 38,2189 1,0150 8,1819 l7572 1, A,x = 0,0001 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0000 0,0008 0,0002 0,0005 0,0000 0,0000 0,0067 0,0000 0,0641 0,1520 0,0001 0,0008 0,0000 0,0021 0,0005 0,0011 0,0000 0,0002 0,0641 0,0005 0,6098 1,4457 0,0000 0,0005 0,1520 0,0011 1,4457 3,4278 . 105 A,y = 0,1594 0,0000 0,0000 0,3161 0,0000 0,1188 0,0000 0,1125 0,0000 0,5237 0,0510 0,2371 0,0000 0,0000 0,0074 0,0000 0,0691 0,1609 0,3161 0,5237 0,0000 1,9107 0,2374 1,2905 0,0000 0,0510 0,0691 0,2374 0,7426 1,9556 0,1188 0,2371 0,1609 1,2905 1,9556 5,6710 . 103
Untuk xip1 :
Koordinat (x, y) = (4,6667 , 0,5833)
Pxip1 = [ 1 4,6667 0,5833 9,3334 2.7221 0.3402 ]’
Turunan P terhadap x (Pxip1,x) = [ 0 1 0 9,3334 0,5833 0 ]’ Turunan P terhadap y (Pxip1,y) = [ 0 0 1 0 4,6667 1,1666 ]’
Setelah Pxip, Pxip,x, dan Pxip,y pada titik kuadratur xip1 dihitung, maka dihitung
shape function dan turunannya arah x dan y (φQ, φQ,1, φQ,2) sebagai berikut :
φQ = (Pxip' . A . B)'
(77x1) ((1x6) (6x6) (6x77))
φQ,1= (Pxip,x' . A . B + Pxip' . A,x . B + Pxip' . A . B,x)';
(77x1) ((1x6) (6x6) (6x77) (1x6) (6x6) (6x77) (1x6) (6x6) (6x77))’ φQ,2= (Pxip,y' . A . B + Pxip' . A,y . B + Pxip' . A . B,y)';
(77x1) ((1x6) (6x6) (6x77) (1x6) (6x6) (6x77) (1x6) (6x6) (6x77))’ dengan Q adalah titik-titik kuadratur pada nodal 21
Tabel.13. Hasil φQ, φQ,1, φQ,2 pada xip1 pada Nodal 21
Nodal φQ φQ,1 φQ,2 Nodal φQ φQ,1 φQ,2 1 0 0 0 40 0 0 0 2 0 0 0 41 0,0000 0,0000 0,0000 3 0 0 0 42 -0,0005 0,0018 -0,0065 4 0 0 0 43 -0,0035 0,0089 -0,0508 5 0 0 0 44 -0,0024 -0,0108 -0,0347 6 0 0 0 45 0 0 0 7 0 0 0 46 0 0 0 8 0,0000 0,0004 0,0004 47 0 0 0 9 -0,0114 0,0157 0,0589 48 0 0 0 10 -0,0217 0,0918 -0,5024 49 0 0 0 11 -0,0299 -0,1079 -0,1313 50 0 0 0 12 0 0 0 51 0 0 0 13 0 0 0 52 0 0 0 14 0 0 0 53 0 0 0 15 0 0 0 54 0,0000 0,0000 -0,0001 16 0 0 0 55 0,0000 0,0000 0,0000 17 0 0 0 56 0 0 0 18 0 0 0 57 0 0 0 19 -0,0005 0,0031 0,0005 58 0 0 0 20 -0,0701 -0,32 0,0812 59 0 0 0
Tabel.13. (sambungan) Nodal φQ φQ,1 φQ,2 Nodal φQ φQ,1 φQ,2 21 0,7822 -1 -0,7943 60 0 0 0 22 0,2415 2 -0,2308 61 0 0 0 23 0 0 0 62 0 0 0 24 0 0 0 63 0 0 0 25 0 0 0 64 0 0 0 26 0 0 0 65 0 0 0 27 0 0 0 66 0 0 0 28 0 0 0 67 0 0 0 29 0 0 0 68 0 0 0 30 -0,0001 0,0011 -0,0008 69 0 0 0 31 -0,0271 -0,045 -0,1336 70 0 0 0 32 0,1299 -0,1475 1,3475 71 0 0 0 33 0,0137 0,1914 0,3968 72 0 0 0 34 0 0 0 73 0 0 0 35 0 0 0 74 0 0 0 36 0 0 0 75 0 0 0 37 0 0 0 76 0 0 0 38 0 0 0 77 0 0 0 39 0 0 0
Untuk xip 2 sampai 192 dapat dicari dengan cara yang sama dengan cara
diatas.
6. Moving Least Squares (MLS) untuk Trial Function (xipu). Untuk Mengevaluasi Term Matriks φj Dalam Persamaan Local Symetric
Weak Form (LSWF)
Memeriksa semua titik nodal untuk menentukan m titik nodal xJ yang
berpengaruh terhadap titik kuadratur yang ditinjau (domain of
definition dari titik-titik kuadratur), dengan J = 1,…,n. Dalam nodal 21
ini tidak ada titik kuadratur xipu.
7. Weight Function (untuk Test Function) Untuk Mengevaluasi Term Matriks BIv dan VI Dalam Persamaan Local Symetric Weak Form
(LSWF)
Mencari nilai weight function (ψI ) dan turunan weight function arah x
dan y (ψI,1, ψI,2) untuk titik nodal 21 pada semua titik kuadratur (xip,
- Weight function dan turunannya untuk titik kuadratur xip (1, 2, …192) terhadap titik nodal 21.
* Perhitungan weight serta turunan weight arah x dan y untuk xip1.
dI = (4,6667−4,5)2+(0,5833−0,5)2 = 0,1864 dI < r I wI(x) = ) 1 ( 2 2 2 ) 375 , 0 / 5 , 1 ( ) 375 , 0 / 5 , 1 ( ) 375 , 0 / 1864 , 0 ( − − − − − e e e = 0,7812
Turunan weight arah x (dweidx(x))
= -
(
)
1864 , 0 5 , 4 6667 , 4 ) 1 ( 375 , 0 1864 , 0 2 2 2 ) 375 , 0 / 5 , 1 ( ) 375 , 0 / 1864 , 0 ( 2 − − − − e e = - 1.8518Turunan weight arah y (dweidx(y))
= -
(
)
1864 , 0 5 , 0 5833 , 0 ) 1 ( 375 , 0 1864 , 0 2 2 2 ) 375 , 0 / 5 , 1 ( ) 375 , 0 / 1864 , 0 ( 2 − − − − e e = - 0,9259Dilakukan cara yang sama pada titik kuadratur xip 2, 3, …, 192, untuk
mendapatkan weight function dan turunannya. Setelah itu dengan cara yang sama didapat nilai weight function dan turunannya untuk titik
kuadratur xipu dan xipt. Dalam contoh ini nilai weight function dan
turunannya pada titik-titik kuadratur xipu tidak ada, karena tidak ada
perpotongan antara boundary lokal ∂ΩIte nodal 21 dengan boundary
perletakan Гu.
Tabel 14. Hasil Weight Function dan Turunannya pada
Titik-titik Kuadratur xip pada Nodal 21
xip ψI ψI,1 ψI,2 xip ψI ψI,1 ψI,2 1 0,7812 -1,8518 -0,9259 97 0,1778 1,2284 0,2108 2 0,9775 -0,7040 -0,3520 98 0,8526 1,7896 0,3071 3 0,5265 -1,6822 -1,4927 99 0,0410 0,3732 0,1163 4 0,6952 -2,2215 -0,2504 100 0,0410 0,3907 0,0148 5 0,8813 -1,6603 -0,1871 101 0,3295 1,8503 0,0700 6 0,8001 -1,5073 -1,3375 102 0,3295 1,7678 0,5508 7 0,6119 2,0457 -1,0229 103 0,0322 0,3138 0,0538 8 0,3740 -1,4797 -1,3129 104 0,0071 0,0801 0,0249 9 0,5027 -1,9887 -0,9943 105 0,0071 0,0827 0,0142 10 0,5728 -2,2661 -0,2554 106 0,0071 0,0838 0,0032 11 0,1674 -0,8929 -0,7922 107 0,0001 0,0019 0,0006 12 0,2865 -1,5280 -0,7640 108 0,0001 0,0019 0,0003 13 0,3632 -1,9373 -0,2183 109 0,0001 0,0020 0,0001 14 0,0590 -0,3962 -0,3516 110 0,0000 0,0000 0,0000 15 0,1382 -0,9276 -0,4638 111 0,0000 0,0000 0,0000 16 0,2013 -1,3505 -0,1522 112 0,0000 0,0000 0,0000 17 0,5263 -1,2474 -1,8711 113 0,2595 1,4853 0,6152 18 0,9424 -0,6788 -1,0182 114 0,8829 1,5352 0,6359 19 0,1944 -0,6213 -1,1727 115 0,1449 0,9689 0,4629 20 0,4478 -1,4309 -1,5922 116 0,0476 0,4163 0,1522 21 0,7563 -1,4249 -1,5855 117 0,3471 1,7884 0,6539 22 0,5660 -1,0662 -2,0123 118 0,5109 2,0149 0,9625 23 0,2788 -0,9323 -1,3984 119 0,0683 0,5516 0,2285 24 0,0812 -0,3214 -0,6066 120 0,0517 0,4285 0,2047 25 0,1672 -0,6616 -0,9924 121 0,0233 0,2230 0,0924 26 0,2918 -1,1546 -1,2847 122 0,0094 0,1018 0,0372 27 0,0104 -0,0557 -0,1051 123 0,0046 0,0513 0,0245 28 0,0388 -0,2068 -0,3102 124 0,0011 0,0139 0,0058 29 0,1067 -0,5689 -0,6330 125 0,0002 0,0030 0,0011 30 0,0007 -0,0049 -0,0093 126 0,0002 0,0028 0,0013 31 0,0058 -0,0391 -0,0587 127 0,0000 0,0003 0,0001 32 0,0289 -0,1941 -0,2160 128 0,0000 0,0000 0,0000 33 0,2595 -0,6152 -1,4853 129 0,5263 1,8711 1,2474 34 0,8829 -0,6359 -1,5352 130 0,9424 1,0182 0,6788 35 0,0476 -0,1522 -0,4163 131 0,4478 1,5922 1,4309 36 0,1449 -0,4629 -0,9689 132 0,1944 1,1727 0,6213 37 0,5109 -0,9625 -2,0149 133 0,5660 2,0123 1,0662 38 0,3471 -0,6539 -1,7884 134 0,7563 1,5855 1,4249 39 0,0683 -0,2285 -0,5516 135 0,2788 1,3984 0,9323 40 0,0094 -0,0372 -0,1018 136 0,2918 1,2847 1,1546 41 0,0233 -0,0924 -0,2230 137 0,1672 0,9924 0,6616 42 0,0517 -0,2047 -0,4285 138 0,0812 0,6066 0,3214 43 0,0002 -0,0011 -0,0030 139 0,1067 0,6330 0,5689 44 0,0011 -0,0058 -0,0139 140 0,0388 0,3102 0,2068 45 0,0046 -0,0245 -0,0513 141 0,0104 0,1051 0,0557 46 0,0000 0,0000 0,0000 142 0,0289 0,2160 0,1941 47 0,0000 -0,0001 -0,0003 143 0,0058 0,0587 0,0391
Tabel 14. (sambungan) xip ψI ψI,1 ψI,2 xip ψI ψI,1 ψI,2 48 0,0002 -0,0013 -0,0028 144 0,0007 0,0093 0,0049 49 0,1778 -0,2108 -1,2284 145 0,7812 0,9259 1,8518 50 0,8526 -0,3071 -1,7896 146 0,9775 0,3520 0,7040 51 0,0410 -0,0148 -0,3907 147 0,6952 0,2504 2,2215 52 0,0410 -0,1163 -0,3732 148 0,5265 1,4927 1,6822 53 0,3295 -0,5508 -1,7678 149 0,8001 1,3375 1,5073 54 0,3295 -0,0700 -1,8503 150 0,8813 0,1871 1,6603 55 0,0322 -0,0538 -0,3138 151 0,6119 1,0229 2,0457 56 0,0071 -0,0032 -0,0838 152 0,5728 0,2554 2,2661 57 0,0071 -0,0142 -0,0827 153 0,5027 0,9943 1,9887 58 0,0071 -0,0249 -0,0801 154 0,3740 1,3129 1,4797 59 0,0001 -0,0001 -0,0020 155 0,3632 0,2183 1,9373 60 0,0001 -0,0003 -0,0019 156 0,2865 0,7640 1,5280 61 0,0001 -0,0006 -0,0019 157 0,1674 0,7922 0,8929 62 0,0000 0,0000 0,0000 158 0,2013 0,1522 1,3505 63 0,0000 0,0000 0,0000 159 0,1382 0,4638 0,9276 64 0,0000 0,0000 0,0000 160 0,0590 0,3516 0,3962 65 0,2193 0,5513 -1,3309 161 0,7812 -0,9259 1,8518 66 0,8693 0,6641 -1,6032 162 0,9775 -0,3520 0,7040 67 0,0478 0,2873 -0,3389 163 0,5265 -1,4927 1,6822 68 0,0478 0,0365 -0,4428 164 0,6952 -0,2504 2,2215 69 0,3474 0,1565 -1,8988 165 0,8813 -0,1871 1,6603 70 0,3474 1,2320 -1,4533 166 0,8001 -1,3375 1,5073 71 0,0489 0,1733 -0,4184 167 0,6119 -1,0229 2,0457 72 0,0071 0,0540 -0,0649 168 0,3740 -1,3129 1,4797 73 0,0071 0,0321 -0,0775 169 0,5027 -0,9943 1,9887 74 0,0071 0,0077 -0,0840 170 0,5728 -0,2554 2,2661 75 0,0001 0,0013 -0,0015 171 0,1674 -0,7922 0,8929 76 0,0001 0,0008 -0,0018 172 0,2865 -0,7640 1,5280 77 0,0001 0,0002 -0,0020 173 0,3632 -0,2183 1,9373 78 0,0000 0,0000 0,0000 174 0,0590 -0,3516 0,3962 79 0,0000 0,0000 0,0000 175 0,1382 -0,4638 0,9276 80 0,0000 0,0000 0,0000 176 0,2013 -0,1522 1,3505 81 0,2193 1,3309 -0,5513 177 0,7812 -1,8518 0,9259 82 0,8693 1,6032 -0,6641 178 0,9775 -0,7040 0,3520 83 0,0478 0,4428 -0,0365 179 0,6952 -2,2215 0,2504 84 0,0478 0,3389 -0,2873 180 0,5265 -1,6822 1,4927 85 0,3474 1,4533 -1,2320 181 0,8001 -1,5073 1,3375 86 0,3474 1,8988 -0,1565 182 0,8813 -1,6603 0,1871 87 0,0489 0,4184 -0,1733 183 0,6119 -2,0457 1,0229 88 0,0071 0,0840 -0,0077 184 0,5728 -2,2661 0,2554 89 0,0071 0,0775 -0,0321 185 0,5027 -1,9887 0,9943 90 0,0071 0,0649 -0,0540 186 0,3740 -1,4797 1,3129 91 0,0001 0,0020 -0,0002 187 0,3632 -1,9373 0,2183 92 0,0001 0,0018 -0,0008 188 0,2865 -1,5280 0,7640 93 0,0001 0,0015 -0,0013 189 0,1674 -0,8929 0,7922 94 0,0000 0,0000 0,0000 190 0,2013 -1,3505 0,1522 95 0,0000 0,0000 0,0000 191 0,1382 -0,9276 0,4638 96 0,0000 0,0000 0,0000 192 0,0590 -0,3962 0,3516
Tabel 15. Hasil Weight Function dan Turunannya pada
Titik-titik Kuadratur xipt pada Nodal 21
xipt ψI ψI,1 ψI,2 xipt ψI ψI,1 ψI,2 1 0,0292 -0,2075 0,2063 31 0,0280 -0,1988 -0,2000 2 0,0319 -0,2267 0,2196 32 0,0255 -0,1814 -0,1871 3 0,0370 -0.2633 0,2434 33 0,0216 -0,1535 -0,1652 4 0,0451 -0,3205 0,2764 34 0,0169 -0,1203 -0,1369 5 0,0564 -0,4013 0,3152 35 0,0123 -0,0873 -0,1060 6 0,0712 -0,5066 0,3532 36 0,0083 -0,0588 -0,0766 7 0,0890 -0,6329 0,3801 37 0,0052 -0,0370 -0,0517 8 0,1084 -0,7706 0,3853 38 0,0031 -0,0220 -0,0330 9 0,1273 -0,9051 0,3615 39 0,0018 -0,0126 -0,0202 10 0,1436 -1,0210 0,3093 40 0,0010 -0,0072 -0,0122 11 0,1557 -1,1075 0,2376 41 0,0006 -0,0042 -0,0074 12 0,1634 -1,1620 0,1601 42 0,0004 -0,0025 -0,0047 13 0,1673 -1,1896 0,0903 43 0,0002 -0,0017 -0,0032 14 0,1687 -1,1998 0,0376 44 0,0002 -0,0012 -0,0024 15 0,1690 -1,2018 0,0072 45 0,0001 -0,0010 -0,0020 16 0,1690 -1,2018 -0,0072 46 0,0001 -0,0009 -0,0019 17 0,1687 -1,1998 -0,0376 47 0,0001 -0,0008 -0,0016 18 0,1673 -1,1896 -0,0903 48 0,0001 -0,0006 -0,0013 19 0,1634 -1,1620 -0,1601 49 0,0001 -0,0004 -0,0009 20 0,1557 -1,1075 -0,2376 50 0,0000 -0,0003 -0,0006 21 0,1436 -1,0210 -0,3093 51 0,0000 -0,0001 -0,0003 22 0,1273 -0,9051 -0,3615 52 0,0000 -0,0001 -0,0002 23 0,1084 -0,7706 -0,3853 53 0,0000 0,0000 -0,0001 24 0,0890 -0,6329 -0,3801 54 0,0000 0,0000 0,0000 25 0,0712 -0,5066 -0,3532 55 0,0000 0,0000 0,0000 26 0,0564 -0,4013 -0,3152 56 0,0000 0,0000 0,0000 27 0,0451 -0,3205 -0,2764 57 0,0000 0,0000 0,0000 28 0,0370 -0,2633 -0,2434 58 0,0000 0,0000 0,0000 29 0,0319 -0,2267 -0,2196 59 0,0000 0,0000 0,0000 30 0,0292 -0,2075 -0,2063 60 0,0000 0,0000 0,0000
8. Membentuk Matrik Kekakuan Global dan Gaya Global (K dan f)
- Membentuk matriks E untuk kondisi plane stress
E = − − − 2 1 v E −− − − 2 / 1 0 0 0 1 0 1 v v v
E = adalah modulus elastisitas − v = adalah poison’s ratio −
Apabila untuk kondisi plane strain maka rumus matriks Enya
berubah, dengan mengisi E dan vsebagai berikut :
2 1 v E E − = v v v − = 1
- Membentuk matriks BIv dan BJ untuk tiap titik kuadratur xip (untuk
matriks BJ, pada setiap titik kuadraturnya dilakukan pengecekan
terhadap semua titik nodal).
BIv = 1 , 2 , 2 , 1 , 0 0 I I I I ψ ψ ψ ψ , BJ = 1 , 2 , 1 , 1 2 , 1 2 , 2 , 1 1 , 1 , 1 ... ... 0 ... ... 0 0 ... ... 0 Q Q Q Q φ φ φ φ φ φ φ φ , VI = I I ψ ψ 0 0
dengan Q = jumlah titik nodal (77 titik nodal)
Kxip = BIv’ . E . BJ . vip 2x154 (3x2)’ 3x3 3x154 skalar fxip = VI. . F . vip
2x1 2x2 2x1 skalar
Dalam contoh ini fxip tidak memiliki nilai karena titik kuadratur xip
tidak terletak dimana tempat gaya (traction) bekerja.
Misal untuk titik kuadratur xip1
BIv = 1,8518 -0,9259 -0,9259 -0 0 1,8518 -, BJ = 1 2 ... 15 16 17 18 19 ... 154 0 ... 0,5024 -0,0157 0,0589 0004 , 0 0004 , 0 ... 0 0 0 ... 0 0,0589 0 0004 , 0 0 ... 0 0 0 ... 0,0918 0 0,0157 0 0004 , 0 ... 0 0 , VI = 7812 , 0 0 0 7812 , 0
F = 0 0
, body force F, dalam hal ini tidak ada, karena beban yang ditinjau hanya pada ujung cantilever beam
Kxip1 = BIv ‘ . E . BJ . vip Kxip1 = 1 2 .... 15 16 17 18 19 ... 154 0 ... 2,4571 0,4911 -0,3342 -0,0047 -0,0026 -... 0 0 0 ... 0,0337 0,2455 -0,3720 -0,0023 -0,0068 -... 0 0 fxip1 = VI . F . vip fxip1 = 0 0
Dengan cara yang sama seperti di atas, semua titik xip dicari matriks K
dan f-nya lalu dijumlahkan dan didapat matriks K dan f untuk xip
pada titik nodal 21. Kxip = 1 2 .... 15 16 17 18 19 ... 154 0 ... 0.0468 0.3222 -0.2486 -0.0066 -0.0017 ... 0 0 0 ... 0.0866 0.2336 -0.2784 -0.0018 0.0179 -... 0 0 .103 fxip = 0 0
- Membentuk matriks VI, S, φJ, N, BJ, u , untuk tiap titik kuadratur
xipu. VI = I I ψ ψ 0 0 φJ = Q Q φ φ φ φ 0 ... ... 0 0 ... ... 0 1 1
BJ = 1 , 2 , 1 , 1 2 , 1 2 , 2 , 1 1 , 1 , 1 ... ... 0 ... ... 0 0 ... ... 0 Q Q Q Q φ φ φ φ φ φ φ φ
dengan Q = jumlah titik nodal (77 titik nodal)
N = 1 2 2 1 0 0 n n n n S = 1 0 0 1 u = i i u u 2
1 , dengan i adalah titik kuadratur xipu
Dengan :
Matriks S adalah matriks pembantu sehingga translasi arah x dan y
dapat dimasukkan dalam matriks kekakuan secara bersama-sama.
n1, n2 adalah vektor normal pada boundary.
Kxipu = α . VI . S . φJ . vipu - VI . S . N . E . BJ . vipu 2x154 skalar 2x2 2x2 2x154 skalar 2x2 2x2 2x3 3x3 3x154 skalar
fxipu = α . VI . S . u . vipu 2x1 skalar 2x2 2x2 2x1 skalar
Karena subdomain lokal ΩIte titik nodal 21 tidak memotong
boundary perletakan, maka Kxipu = 0 ,dan fxipu = 0.
- Membentuk matriks VI, t , untuk tiap titik kuadratur xipt
VI = I I ψ ψ 0 0 , t = i xy σ 0
, dengan i = titik kuadratur xipt
fxipt = VI . t . vipt
2x1 2x2 2x1 skalar
Misal untuk titik kuadratur xipt1 VI = 0,0292 0 0 0,0292 t = 0200 , 0 0 fxipt1 = VI . t . vipt fxipt1 = 0,0292 0 0 0,0292 . 0200 , 0 0 . 0,0077 = 485 , 4 0 .10-6
Dengan cara yang sama seperti di atas, semua titik xipt dicari matriks
f-nya lalu dijumlahkan dan didapat matriks f untuk xipt pada titik
nodal 21. fxipt = 0,2969 0
Jadi matriks K = Kxip + Kxipu K= 1 2 .... 15 16 17 18 19 ... 154 0 ... 0,0468 0,3222 -0,2486 -0,0066 -0,0017 ... 0 0 0 ... 0,0866 0,2336 -0,2784 -0,0018 0,0179 -... 0 0 .103 Jadi matriks f = fxip + fxipu + fxipt
f = 0,2969 0
- Mengassembly matriks kekakuan dan gaya dari titik-titik kuadratur
pada nodal 21 menjadi matriks kekakuan global dan gaya global
K = 1 2 ... 15 16 17 18 19 ... 154 − − . ... . . . . . ... . . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 ... 0468 , 0 3222 , 0 2486 , 0 0,0066 -0,0017 ... 0 0 0 ... 0,0866 0,2336 -0,2784 -0,0018 0,0179 -... 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : . ... . . . . . ... . . .103 154 : : : 42 41 : : : 1 f = 154 : : 42 41 : : 1 . : : 2969 , 0 0 : : .
Baris ke-41 dan 42 berturut-turut adalah matriks kekakuan dan vektor gaya dari nodal 21 untuk arah horisontal dan vertikal.
9. Mencari Matriks Displacement Fiktif ( u) ) dari Matriks Kekakuan Global dan Gaya Global.
Setelah semua titik nodal didapat matriks kekakuan dan gayanya, maka
dicari nilai displacement fiktif ( u) )-nya sebagai berikut :
K . u) = f
u) = 154 : : 42 41 : : 1 . : : 0,1832 0,0493 : : .
Baris ke-41 dan 42 berturut-turut adalah displacement fiktif ( u) ) dari
nodal 21 untuk arah horisontal dan vertikal.
10. Mencari Matriks Displacement Real (uh(x)) untuk Semua Titik Nodal dari Displacement Fiktif ( u) )
Memeriksa semua titik nodal untuk menentukan n titik nodal xJ yang
berpengaruh terhadap titik nodal yang ditinjau (titik nodal 21). Nilai shape function dari nodal yang ditinjau tersebut dapat dicari seperti pada subbab 5.
Tabel 16. Nilai Shape Function yang Mempengaruhi Titik Nodal 21
Nodal φJ Nodal φJ 1 0 40 0 2 0 41 -0,0000 3 0 42 -0,0004 4 0 43 -0,0016 5 0 44 -0,0004 6 0 45 0 7 0 46 0 8 -0,0004 47 0 9 -0,0148 48 0 10 0,0328 49 0 11 -0,0154 50 0 12 0 51 0 13 0 52 0 14 0 53 0 15 0 54 0 16 0 55 0 17 0 56 0 18 0 57 0 19 -0,0016 58 0 20 0,0363 59 0 21 0,9256 60 0
Tabel 16. (sambungan) Nodal φJ Nodal φJ 22 0,0328 61 0 23 0 62 0 24 0 63 0 25 0 64 0 26 0 65 0 27 0 66 0 28 0 67 0 29 0 68 0 30 -0,0004 69 0 31 -0,0142 70 0 32 0,0363 71 0 33 -0,0148 72 0 34 0 73 0 35 0 74 0 36 0 75 0 37 0 76 0 38 0 77 0 39 0
Setelah didapat nilai shape function tersebut (titik nodal 21) maka
dapat dicari displacement real (uh
( )
x) sebagai berikut :uh
( )
x = u =( )
J N J J uˆ 1 x∑
=φ
Dimana N = jumlah titik nodal (77 buah)
x = titik nodal yang ditinjau (titik nodal 21)
J = banyaknya titik nodal yang mempengaruhi titik nodal yang ditinjau (titik nodal 21).
h
( )
x u = 154 : : 42 41 : : 1 . : : 0,1832 0,0493 : : . Baris ke-41 dan 42 berturut-turut adalah displacement real ( h
( )
xu ) dari
