3. APLIKASI METODE MLPG PADA ANALISIS PROBLEM ELASTISITAS STRUKTUR DUA DIMENSI. Gambar 3.1 Permodelan Struktur

Pada bab ini akan dibahas detail perhitungan analisis problem elastisitas struktur dua dimensi dengan contoh cantilever beam dan beban yang bekerja sebagai berikut :

Gambar 3.1 Permodelan Struktur

Contoh cantilever beam ini sudah memiliki penyelesaian eksak yang ditemukan oleh Timoshenko dan Goodier, yaitu :

^{y D}

(

^x

(

^{L x}

) ( ) (

^{y y D}

) )

IM E

u P  − + + −



 

 −

= − 3 2 2 υ

2

1 6 (3.1)

( ) ( ) ( )

_^









  + +



 

 −

− +

−

= 4 5 4

3 2 6 3

2 2

2 2

D x y D

x L x

L IM x

E

u P υ υ (3.2)

Dimana u₁ = displacement arah horisontal u₂ = displacement arah vertikal IM = momen inersia

υ = poisson’s ratio

Perletakan dalam cantilever beam ini tidaklah dianggap sebagai jepit sempurna, dimana terdapat stress function yang tidak nol di sepanjang boundary perletakan.

Penyelesaian dari Timoshenko dan Goodier tersebut eksak mulai jarak tertentu dari boundary perletakan dan boundary gaya.

Pada metode MLPG, domain global disebut sebagai Ω dan dibatasi oleh boundary Г , dimana boundary Г terdiri dari boundary Гu (perletakan) dan boundary Гt (tempat dimana gaya bekerja), secara lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 3.2.

Г

_t

Г

_u

Ω Г

_t

Г

t

Gambar 3.2 Penamaan dari Model Struktur yang Ditinjau

Untuk penyelesaian contoh cantilever beam ini, diambil titik nodal arah x sebanyak 11 buah, dan arah y sebanyak 7 buah (untuk contoh dalam studi ini), yang terletak didalam domain global Ω dan pada boundary Г.

Gambar 3.3 Titik Nodal pada Domain Global Ω dan pada Boundary Г

Setelah itu menentukan parameter-parameter yang dipakai yaitu : a. Radius of influence

b. Basis function dan weight function

Basis function yang digunakan adalah basis function dengan polinomial (P) tingkat 2.

Weight function yang digunakan adalah weight function Gaussian (Exponential).

c. Modulus elastisitas (E) d. Poisson’s ratio (υ) e. Penalty parameter (α)

Sebagai contoh diambil 2 buah titik nodal untuk pembentukan matriks stiffness equation, yaitu titik nodal 21 yang memotong boundary gaya Гt, dan titik nodal 68 yang memotong boundary perletakan Гu.

3.1 Detail Perhitungan untuk Titik Nodal 21.

Titik nodal 21 merupakan titik nodal yang memotong boundary gaya Гt. Berikut ini akan ditampilkan perhitungan secara detail untuk titik nodal 21.

3.1.1 Menentukan Subdomain Lokal ΩIte dan Boundary Lokal ∂ΩIte yang Bersangkutan (Titik Nodal 21)

a) Melihat apakah ada perpotongan antara subdomain lokal ∂ΩIte dengan boundary Г.

Г

Ω

∂Ω

_I^te

Ω

_I^te 21

Gambar 3.4 Perpotongan antara Boundary Subdomain Lokal ∂ΩIte dengan Boundary Г

b) Memodifikasi boundary subdomain lokal ∂ΩIte jika berpotongan dengan boundary Г.

Г

Ω

∂Ω

Ite

Ω

Ite

21

Gambar 3.5 Hasil Modifiksi Boundary Subdomain Lokal ∂ΩIte jika Berpotongan dengan Boundary Г

3.1.2 Menentukan Titik Kuadratur Gauss yang Terdiri dari :

• Titik kuadratur yang terletak pada subdomain lokal ΩIte (xip).

• Titik kuadratur yang terletak pada boundary subdomain lokal ∂ΩIte

yang berhimpit dengan boundary gaya (traction) Гt (xipt).

• Titik kuadratur yang terletak pada boundary subdomain lokal ∂ΩIte

yang berhimpit dengan boundary perletakan Гu (xipu).

serta menentukan Jacobian x weight-nya di setiap titik kuadraturnya:

• Jacobian x weight untuk titik kuadratur yang terletak pada subdomain lokal ΩIte (vip).

• Jacobian x weight untuk titik kuadratur yang terletak pada boundary subdomain lokal ∂ΩIte yang berhimpit dengan boundary gaya (traction) Гt (vipt).

• Jacobian x weight untuk titik kuadratur yang terletak pada boundary subdomain lokal ∂ΩIte yang berhimpit dengan boundary perletakan Гu (vipu).

Langkah-langkah untuk menentukan titik-titik kuadratur Gauss adalah sebagai berikut :

a) Mendiskretkan dan menentukan titik-titik batas partisi menjadi segitiga dan segiempat.

21

Gambar 3.6 Batas-batas Partisi Subdomain Lokal ΩIte yang telah Didiskretkan

b) Menentukan titik kuadratur (xip) beserta Jacobian x weight-nya (vip)

- Untuk partisi segitiga.

Langkah-langkah untuk menentukan titk-titik kuadratur Gauss untuk partisi segitiga adalah sebagai berikut :

• Mencari titik batas partisi pada setiap partisi segitiga (xpoint) = xp1, xp2, xp3, xp4, xp5, xp6.

^{xp6 xp3} 21 xp5

^xp1xp4 xp2

Gambar 3.7 Titik-titik Batas Partisi pada Partisi Segitiga (xpoint) yang Diarsir pada Gambar 3.6

• Mencari titik kuadratur (xip) pada setiap partisi segitiga dengan aturan 7 titik beserta 0,5 x Jacobian x weight-

nya (vip).

xp3

xp6 xp5

21

xp1 xp4 xp2 Keterangan : * = xip.

Gambar 3.8 Titik Kuadratur (xip) pada Partisi Segitiga yang Diarsir pada Gambar 3.6, dengan Aturan 7 Titik

- Untuk partisi segiempat.

Langkah-langkah untuk menentukan titk-titik kuadratur Gauss untuk partisi segiempat adalah sebagai berikut :

• Mencari titik batas partisi pada partisi segiempat (xpoint) = xp1, xp2, xp3, xp4, xp5, xp6, xp7, xp8.

21

Gambar 3.9 Titik-titik Batas Partisi pada Partisi Segiempat (xpoint) yang Diarsir pada Gambar 3.6

• Mencari titik kuadratur (xip) pada setiap partisi segiempat dengan aturan 3 x 3 titik beserta Jacobian x weight-nya (vip).

xp4

xp8

xp1 xp7

xp5

21 xp2 xp6 xp3 Keterangan : * = xip

Gambar 3.10 Titik-titik Kuadratur (xip) pada Partisi Segiempat yang Diarsir pada Gambar 3.6, dengan Aturan 3 x 3 Titik

21

Keterangan : * = titik titik kuadratur xip o = xpoint

Gambar 3.11 Titik-titik Kuadratur (xip) pada Partisi Segitiga dan Segiempat (xip Total)

c) Menentukan titik kuadratur xipt dan xipu dengan memakai aturan 15 titik. Kemudian dihitung Jacobian dan weight-nya (vipt dan vipu) di setiap titik-titik kuadratur tersebut. Dalam contoh ini boundary subdomain lokal ∂ΩIte pada titik nodal 21 hanya memotong boundary gaya Гt, jadi nilai xipu dan vipu tidak ada.

Г

u

Ω Г

t

21

Keterangan : o = xipt

Gambar 3.12 Titik–titik Kuadratur (xipt) pada Batas Boundary Lokal ∂ΩIte di Tempat Dimana Gaya Bekerja

3.1.3 Mencari Nilai Prescribed Displacement Arah Vertikal (u_1i) dan Horisontal (u_2i) di Setiap Titik Kuadratur xipu

Dalam contoh ini perletakannya adalah jepit.

^{y D}

(

^x

(

^{L x}

) ( ) (

^{y y D}

) )

IM E

u P  − + + −



 

 −

= − 3 2 2 υ

6 2

1

( ) ( ) ( )

_^









  + +



 

 −

− +

−

= 4 5 4

3 2 6 3

2 2

2 2

D x y D

x L x

L IM x

E

u P υ υ

u=









i i

u u

2

1

i = jumlah titik kuadratur xipu

u= nilai prescribed displacement pada titik kuadratur xipu

Dalam nodal 21 ini, nilai u_1i, u_2i tidak ada karena tidak ada titik kuadratur xipu yang terdapat dalam nodal 21. Hal ini disebabkan subdomain lokal ΩIte tidak berpotongan dengan boundary perletakkan Гu.

Selain itu juga menentukan vektor normal (n).

Vektor normal (n) adalah vektor yang besarnya 1 unit pada arah tegak lurus (normal) terhadap bidang kerjanya.





 



= 1 n 0





 



=−

0

n 1 



 



= 0 n 1





 





= − 1 n 0

Gambar 3.13 Vektor Normal pada Model Struktur

3.1.4 Mencari Nilai Traction ( t ) di Setiap Titik Kuadratur (xipt)

= σ_xy

Gambar 3.14 Gaya (Traction) yang Bekerja pada Struktur yang Ditinjau

Dalam hal ini traction ( t ) yang terjadi dalam 2 dimensi yaitu traction arah x dan arah y, dimana dalam contoh ini traction arah x = 0

t = 



 





xyi xy

xy σ σ

σ ...

0 ...

0 0

2 1

i = jumlah titik kuadratur xipt

t = nilai gaya (traction) yang bekerja pada titik kuadratur xipt

3.1.5 Aproksimasi Moving Least Squares (MLS) (for Trial function) (xip), untuk Mengevaluasi Term Matriks BJ Didalam Persamaan Local Symetric Weak Form

(

∑

= N

J 1

∫

Ω^s_I

( )

B^vI ^T E BJ uˆ_J dΩ +α

∑

= N

J1

∫

Γ^su_I VI φJuˆ_J dΓ –

∑

= N

J1

∫

Γ^su_I VI N E BJuˆ_J dΓ =

∫

Γ_I^st VI t dΓ + α

∫

Γ^su_I VI u dΓ +

∫

Ω_I^s VI F dΩ )

- Memeriksa semua titik nodal untuk menentukan n titik nodal xJ

yang berpengaruh terhadap titik kuadratur yang ditinjau (domain of definition dari titik-titik kuadratur), dengan J = 1,…,n. Dalam nodal 21 ini ada 192 titik kuadratur xip. Contoh lihat gambar 3.15.

- Menentukan nilai weight serta turunan arah x dan y, untuk setiap titik nodal yang berpengaruh (mempunyai nilai) pada titik kuadratur yang ditinjau (xip).

- Menghitung shape function dan turunannya arah x dan y (φ_Q, φ_Q,1, φ_Q,2) untuk setiap titik nodal yang berpengaruh (mempunyai nilai) pada setiap titik kuadratur (192 buah). Dengan Q adalah titik kuadratur (xip) pada nodal 21.

xip1

Gambar 3.15 Ilustrasi Pengaruh Titik Nodal terhadap Titik Kuadratur xip1

Pada Gambar 3.15 dapat dilihat bahwa xip1 tidak berpengaruh pada subdomain lokal ΩIte titik nodal 1, namun xip1 berpengaruh pada subdomain lokal ΩIte titik nodal 10. Pada kasus titik nodal 21 ini, titik-titik nodal yang berpengaruh pada xip1 antara lain : titik nodal 8, 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 44, 54, 55. Jadi n = 18 (n>m), dimana m (monomial basis function) = 6.

3.1.6 Aproksimasi Moving Least Squares (MLS) untuk Trial Function (xipu) Untuk Mengevaluasi Term Matriks φ_j, BJ Dalam Persamaan Local Symetric Weak Form (LSWF)

- Memeriksa semua titik nodal untuk menentukan n titik nodal xJ

yang berpengaruh terhadap titik kuadratur yang ditinjau (domain of definition dari titik-titik kuadratur), dengan J = 1,…,n.

- Menentukan nilai weight serta turunan arah x dan y, untuk setiap titik nodal yang berpengaruh (mempunyai nilai) pada titik kuadratur yang ditinjau (xipu).

- Menghitung shape function dan turunannya arah x dan y (φ_Q, φ_Q,1, φ_Q,2) untuk setiap titik nodal yang berpengaruh

(mempunyai nilai) pada setiap titik kuadratur. Dengan Q adalah titik kuadratur (xipu) pada nodal 21.

Dalam nodal 21 ini tidak ada titik kuadratur xipu, hal ini disebabkan, subdomain lokal ΩIte tidak berpotongan dengan boundary perletakan Гu.

3.1.7 Weight Function (untuk Test Function) Untuk Mengevaluasi Term Matriks BIv dan VI Dalam Persamaan Local Symetric Weak Form (LSWF)

Mencari nilai weight function (ψ_I ) dan turunan weight function arah x dan y (ψ_I,1, ψ_I,2) untuk titik nodal 21 pada semua titik kuadratur (xip, xipu,dan xipt).

3.1.8 Membentuk Matrik Kekakuan Global dan Gaya Global (K dan f) - Membentuk E untuk kondisi plane stress

E = ₋

−

− ² 1 v

E



















 

 −⁻

−

−

2 / 1 0 0

0 1

0 1

v v

v

E = adalah modulus elastisitas ⁻ v = adalah poison’s ratio ⁻

Apabila untuk kondisi plane strain maka rumus matriks Enya berubah, dengan mengisi E dan v sebagai berikut :

₂ 1 v E E

= −

v v v

= − 1

- Membentuk matriks BIv dan BJ untuk tiap titik kuadratur xip (untuk matriks BJ, pada setiap titik kuadraturnya dilakukan pengecekan terhadap semua titik nodal) .

BIv =

















1 , 2 ,

2 , 1 ,

0 0

I I

I I

ψ ψ

ψ ψ

, BJ =

















1 , 2 , 1

, 1 2 , 1

2 , 2

, 1

1 , 1

, 1

...

...

0 ...

...

0

0 ...

...

0

Q Q

Q Q

φ φ φ

φ

φ φ

φ φ

,

dengan Q = jumlah titik nodal (77 titik nodal) VI = 



 





I I

ψ ψ

0

0

F = 



 



 0

0 , body force F, dalam hal ini tidak ada, karena beban

yang ditinjau hanya pada ujung cantilever beam

Kxip = BIv’ . E . BJ . vip

2x154 (3x2)’ 3x3 3x154 skalar

fxip = VI. . F . vip

2x1 2x2 2x1 skalar

Dengan Kxip dan fxip beturut-turut adalah matrik kekakuan dan gaya untuk titik kuadratur xip saja.

Setelah semua matrik kekakuan dan gaya (Kxip1,Kxip2,...Kxip192 dan fxip,fxip2,...fxip192) pada titik kuadratur xip dicari, maka matriks Kxip1,

Kxip2,...Kxip192 dijumlahkan dan didapat matrik Kxip pada titik nodal

21. Begitu juga dengan fxip1,fxip2,...fxip192 dijumlahkan dan didapat matrik fxip pada titik nodal 21.

Dalam contoh ini fxip tidak memiliki nilai karena titik kuadratur xip tidak terletak dimana tempat gaya (traction) bekerja.

- Membentuk matriks VI, S, φ_J, N, BJ, u , untuk tiap titik kuadratur xipu (untuk matriks φ_J dan BJ pada setiap titik kuadraturnya dilakukan pengecekan terhadap semua titik nodal).

VI = 



 





I I

ψ ψ

0 0

φ_J = 



 





Q Q

φ φ

φ φ

0 ...

...

0

0 ...

...

0

1 1

BJ =

















1 , 2 , 1

, 1 2 , 1

2 , 2

, 1

1 , 1

, 1

...

...

0 ...

...

0

0 ...

...

0

Q Q

Q Q

φ φ φ

φ

φ φ

φ φ

dengan Q = jumlah titik nodal (77 titik nodal).

N = 



 





1 2

2 1

0 0

n n

n n

S = 



 



 1 0

0 1

u =









i i

u u

2

1 , dengan i = titik kuadratur xipu

Dengan :

Matriks S adalah matriks pembantu sehingga translasi arah x dan y dapat dimasukkan dalam matriks kekakuan secara bersama-sama.

n1, n2 adalah vektor normal pada boundary.

Kxipu = α . VI. S . φ_J . vipu - VI. S . N . E . BJ . vipu 2x154 skalar 2x2 2x2 2x154 skalar 2x2 2x2 2x3 3x3 3x154 skalar

fxipu = α . VI. S . u . vipu 2x1 skalar 2x2 2x2 2x1 skalar

Karena subdomain lokal ΩIte pada titik nodal 21 tidak memotong boundary perletakan, maka Kxipu, dan fxipu tidak ada nilainya.

- Membentuk matriks VI, t , untuk tiap titik kuadratur xipt VI = 



 





I I

ψ ψ

0

0 ,

t = 



 





xyi

σ

0 , dengan i = titik kuadratur xipt

fxipt = VI . t . vipt 2x1 2x2 2x1 skalar

Dengan cara yang sama seperti di atas, semua titik kuadratur xipt dicari matriks gayanya (fxipt1, fxipt2,…, fxipt60) lalu dijumlahkan dan didapat matriks fxipt pada titik nodal 21.

Jadi matriks K = Kxip + Kxipu dan, f = fxip + fxipu + fxipt

- Merakit matriks kekakuan dan gaya dari titik-titik kuadratur pada nodal 21 menjadi matriks kekakuan global dan gaya global (K dan f)

Ilustrasi matriks kekakuan gobal dan gaya global dapat dilihat sebagai berikut :

1 2 ... ... 153 154

K =

























. . ...

...

. .

: : : : : :

K K ...

...

K K

K K ...

...

K K

: : : : : :

. . ...

...

. .

21 21 21

21

21 21 21

21

154 : 42 41 : 1

f =

154 : 42 41 : 1

. : f

f : .

21 21

























Baris ke-41 dan 42 berturut-turut adalah matriks kekakuan dan vektor gaya dari nodal 21 untuk arah horisontal dan vertikal.

3.2 Detail Perhitungan untuk Titik Nodal 68

Titik nodal 68 merupakan titik nodal yang memotong boundary perletakan Гu. Berikut ini akan ditampilkan perhitungan secara detail untuk titik nodal 68.

3.2.1 Menentukan Subdomain Lokal ΩIte dan Boundary Lokal ∂ΩIte yang Bersangkutan (Titik Nodal 68)

a) Melihat apakah ada perpotongan antara subdomain lokal ∂ΩIte dengan boundary Г.

Ω

Ite

∂Ω

Ite

68

Gambar 3.16 Perpotongan antara Boundary Subdomain Lokal ∂ΩIte dengan Boundary Г

b) Memodifikasi boundary subdomain lokal ∂ΩIte jika berpotongan dengan boundary Г.

68

Ω

Ite

∂Ω

Ite

Γ

Ω

Gambar 3.17 Hasil Modifiksi Boundary Subdomain Lokal ∂ΩIte jika Berpotongan dengan Boundary Г

3.2.2 Menentukan Titik Kuadratur Gauss

Langkah-langkah untuk menentukan titik-titik kuadratur Gauss adalah sebagai berikut :

a) Mendiskretkan dan menentukan titik-titik batas partisi menjadi segitiga dan segiempat.

68

Gambar 3.18 Batas-batas Partisi Subdomain Lokal ΩIte yang telah Didiskretkan

b) Menentukan titik kuadratur (xip) beserta Jacobian x weight-nya (vip)

- Untuk partisi segitiga.

Langkah-langkah untuk menentukan titk-titik kuadratur Gauss untuk partisi segitiga adalah sebagai berikut :

• Mencari titik batas partisi pada setiap partisi segitiga (xpoint) = xp1, xp2, xp3, xp4, xp5, xp6.

Gambar 3.19 Titik-titik Batas Partisi pada Partisi Segitiga (xpoint) yang Diarsir pada Gambar 3.18

• Mencari titik kuadratur (xip) pada setiap partisi segitiga dengan aturan 7 titik beserta 0,5 x Jacobian x weight-

nya (vip).

xp2 xp4 xp1

xp5 xp6

xp3

Keterangan : * = xip.

o = xpoint.

Gambar 3.20 Titik Kuadratur (xip) pada Partisi Segitiga yang Diarsir pada Gambar 3.18, dengan Aturan 7 Titik

- Untuk partisi segiempat.

Langkah-langkah untuk menentukan titk-titik kuadratur Gauss untuk partisi segitiga adalah sebagai berikut :

• Mencari titik batas partisi pada partisi segiempat (xpoint) = xp1, xp2, xp3, xp4, xp5, xp6, xp7, xp8.

68

Gambar 3.21 Titik-titik Batas Partisi pada Partisi Segiempat (xpoint) yang Diarsir pada Gambar 3.18

• Mencari titik kuadratur (xip) pada setiap partisi segiempat dengan aturan 3 x 3 titik beserta Jacobian x weight-nya (vip)

xp3 xp6 xp2

xp5

xp7 xp1

xp8

xp4 Keterangan : * = xip o = xpoint

Gambar 3.22 Titik-titik Kuadratur (xip) pada Partisi Segiempat yang Diarsir pada Gambar 3.18, dengan Aturan 3 x 3 Titik

68

Keterangan : * = titik titik kuadratur xip o = xpoint

Gambar 3.23 Titik-titik Kuadratur (xip) pada Partisi Segitiga dan Segiempat (xip Total)

c) Menentukan titik kuadratur xipt dan xipu dengan memakai aturan 15 titik. Kemudian dihitung Jacobian dan weight-nya (vipt dan vipu) di setiap titik-titik kuadratur tersebut. Dalam contoh ini boundary subdomain lokal ∂ΩIte pada titik nodal 68 hanya memotong boundary perletakan Гu, jadi nilai xipt dan vipt tidak ada.

68

Г

u

Ω

Г

t

Keterangan : o = xipu

Gambar 3.24 Titik–titik Kuadratur (xipu) pada Batas Boundary Lokal ∂ΩIte di Tempat Dimana Gaya Bekerja

3.2.3 Mencari Nilai Prescribed Displacement Arah Vertikal (u_1i) dan Horisontal (u_2i) di Setiap Titik Kuadratur xipu

Dalam contoh ini perletakannya adalah jepit.

^{y D}

(

^x

(

^{L x}

) ( ) (

^{y y D}

) )

IM E

u P  − + + −



 

 −

= − 3 2 2 υ

2

1 6

( ) ( ) ( )

_^









  + +



 

 −

− +

−

= 4 5 4

3 2 6 3

2 2

2 2

D x y D

x L x

L IM x

E

u P υ υ

u =









i i

u u

2

1

i = jumlah titik kuadratur xipu

u= nilai prescribed displacement pada titik kuadratur xipu

Selain itu juga menentukan vektor normal (n).

Vektor normal (n) adalah vektor yang besarnya 1 unit pada arah tegak lurus (normal) terhadap bidang kerjanya.





 



= 1 n 0





 



=−

0

n 1 



 



= 0 n 1





 





= − 1 n 0

Gambar 3.25 Vektor Normal pada Model Struktur

3.2.4 Mencari Nilai Traction ( t ) di Setiap Titik Kuadratur (xipt) Penjelasan dapat dilihat pada subbab 3.1.4.

Dalam nodal 68 ini, nilai σ_xy tidak ada karena subdomain lokal ΩIte titik nodal 68 tidak berpotongan dengan boundary traction.

3.2.5 Aproksimasi Moving Least Squares (MLS) (for Trial function) (xip), untuk Mengevaluasi Term Matriks BJ Didalam Persamaan Local Symetric Weak Form

(

∑

= N

J 1

∫

Ω^s_I

( )

B^vI ^T E BJuˆ_J dΩ +α

∑

= N

J 1

∫

Γ^su_I VI φJuˆ_J dΓ –

∑

= N

J 1

∫

Γ^su_I VI N E BJuˆ_J dΓ =

∫

Γ_I^st VI t dΓ + α

∫

Γ_I^su VI u dΓ +

∫

Ω_I^s VI F dΩ )

- Memeriksa semua titik nodal untuk menentukan n titik nodal xJ

yang berpengaruh terhadap titik kuadratur yang ditinjau (domain of

definition dari titik-titik kuadratur), dengan J = 1,…,n. Dalam nodal 68 ini ada 96 titik kuadratur xip. Contoh lihat gambar 3.26.

- Menentukan nilai weight serta turunan weight arah x dan y, untuk setiap titik nodal yang berpengaruh (mempunyai nilai) pada titik kuadratur yang ditinjau (xip).

- Menghitung shape function dan turunan shape function arah x dan y (φ_Q, φ_Q,1, φ_Q,2) untuk setiap titik nodal yang berpengaruh (mempunyai nilai) pada setiap titik kuadratur (96 buah). Dengan Q adalah titik kuadratur (xip) pada nodal 68.

xip1

Gambar 3.26 Ilustrasi Pengaruh Titik Nodal terhadap Titik Kuadratur xip1

Pada Gambar 3.15 dapat dilihat bahwa xip1 tidak berpengaruh pada subdomain lokal ΩIte titik nodal 1, namun xip1 berpengaruh pada subdomain lokal ΩIte titik nodal 67. Pada kasus titik nodal 68 ini, titik-titik nodal yang berpengaruh pada xip1 antara lain : titik nodal 34, 35, 45, 46, 47, 48, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 70. Jadi n = 14 (n>m), dimana m (monomial basis function) = 6.

3.2.6 Aproksimasi Moving Least Squares (MLS) untuk Trial Function (xipu) Untuk Mengevaluasi Term Matriks φ_j, BJ Dalam Persamaan Local Symetric Weak Form (LSWF)

- Memeriksa semua titik nodal untuk menentukan n titik nodal xJ

yang berpengaruh terhadap titik kuadratur yang ditinjau (domain of definition dari titik-titik kuadratur), dengan J = 1,…,n.

- Menentukan nilai weight serta turunan weight arah x dan y, untuk setiap titik nodal yang berpengaruh (mempunyai nilai) pada titik kuadratur yang ditinjau (xipu).

- Menghitung shape function dan turunan shape function arah x dan y (φ_Q, φ_Q,1, φ_Q,2) untuk setiap titik nodal yang berpengaruh (mempunyai nilai) pada setiap titik kuadratur. Dengan Q adalah titik kuadratur (xipu) pada nodal 68.

3.2.7 Weight Function (untuk Test Function) Untuk Mengevaluasi Term Matriks BIv dan VI Dalam Persamaan Local Symetric Weak Form (LSWF)

Mencari nilai weight function (ψ_I ) dan turunan weight function arah x dan y (ψ_I,1, ψ_I,2) untuk titik nodal 68 pada semua titik kuadratur (xip, xipu,dan xipt).

3.2.8 Membentuk Matrik Kekakuan Global dan Gaya Global (K dan f) - Membentuk E untuk kondisi plane stress

E = ₋

−

− ² 1 v

E



















 

 −⁻

−

−

2 / 1 0 0

0 1

0 1

v v

v

E = adalah modulus elastisitas ⁻ v = adalah poison’s ratio ⁻

Apabila untuk kondisi plane strain maka rumus matriks Enya berubah, dengan mengisi E dan vsebagai berikut :

₂ 1 v E E

= −

v v v

= − 1

- Membentuk matriks BIv dan BJ untuk tiap titik kuadratur xip (untuk matriks BJ, pada setiap titik kuadraturnya dilakukan pengecekan terhadap semua titik nodal) .

BIv =

















1 , 2 ,

2 , 1 ,

0 0

I I

I I

ψ ψ

ψ ψ

, BJ =

















1 , 2 , 1

, 1 2 , 1

2 , 2

, 1

1 , 1

, 1

...

...

0 ...

...

0

0 ...

...

0

Q Q

Q Q

φ φ φ

φ

φ φ

φ φ

,

dengan Q = jumlah titik nodal (77 titik nodal) VI = 



 





I I

ψ ψ

0

0

F = 



 



 0

0 , body force F, dalam hal ini tidak ada, karena beban

yang ditinjau hanya pada ujung cantilever beam

Kxip = BIv’ . E . BJ . vip

2x154 (3x2)’ 3x3 3x154 skalar

fxip = VI. . F . vip

2x1 2x2 2x1 skalar

Dengan Kxip dan fxip beturut-turut adalah matrik kekakuan dan gaya untuk titik kuadratur xip saja.

Setelah semua matrik kekakuan dan gaya (Kxip1,Kxip2,...Kxip96 dan fxip,fxip2,...fxip96) pada titik kuadratur xip dicari, maka matriks Kxip1,

Kxip2,...Kxip96 dijumlahkan dan didapat matrik Kxip pada titik nodal

68. Begitu juga dengan fxip1,fxip2,...fxip96 dijumlahkan dan didapat matrik fxip pada titik nodal 68.

Dalam contoh ini fxip tidak memiliki nilai karena titik kuadratur xip tidak terletak dimana tempat gaya (traction) bekerja.

- Membentuk matriks VI, S, φ_J, N, BJ, u , untuk tiap titik kuadratur xipu (untuk matriks φ_J dan BJ pada setiap titik kuadraturnya dilakukan pengecekan terhadap semua titik nodal).

VI = 



 





I I

ψ ψ

0 0

φ_J = 



 





Q Q

φ φ

φ φ

0 ...

...

0

0 ...

...

0

1 1

BJ =

















1 , 2 , 1

, 1 2 , 1

2 , 2

, 1

1 , 1

, 1

...

...

0 ...

...

0

0 ...

...

0

Q Q

Q Q

φ φ φ

φ

φ φ

φ φ

dengan Q = jumlah titik nodal (77 titik nodal).

N = 



 





1 2

2 1

0 0

n n

n n

S = 



 



 1 0

0 1

u=









i i

u u

2

1 , dengan i = titik kuadratur xipu

Dengan :

Matriks S adalah matriks pembantu sehingga translasi arah x dan y dapat dimasukkan dalam matriks kekakuan secara bersama-sama.

n1, n2 adalah vektor normal pada boundary.

Kxipu = α . VI. S . φ_J . vipu - VI. S . N . E . BJ . vipu 2x154 skalar 2x2 2x2 2x154 skalar 2x2 2x2 2x3 3x3 3x154 skalar

fxipu = α . VI. S . u . vipu 2x1 skalar 2x2 2x2 2x1 skalar

Dengan cara yang sama seperti di atas, semua titik kuadratur xipu dicari matriks kekauan dan gayanya (Kxipu1, Kxipu2,…, Kxipu45 dan

fxipu1, fxipu2,…, fxipu45) lalu dijumlahkan dan didapat matriks Kxipu

dan fxipu pada titik nodal 68.

- Membentuk matriks VI, t , untuk tiap titik kuadratur xipt

VI = 



 





I I

ψ ψ

0

0 ,

t = 



 





xyi

σ

0 , dengan i = titik kuadratur xipt

fxipt = VI . t . vipt 2x1 2x2 2x1 skalar

Karena subdomain lokal ΩIte pada titik nodal 68 tidak memotong boundary gaya, maka fxipt tidak ada nilainya

Jadi matriks K = Kxip + Kxipu dan, f = fxip + fxipu + fxipt

- Merakit matriks kekakuan dan gaya dari titik-titik kuadratur pada nodal 68 menjadi matriks kekakuan global dan gaya global (K dan f)

Ilustrasi matriks kekakuan gobal dan gaya global dapat dilihat sebagai berikut :

1 2 ... ... 153 154

K =

























. . ...

...

. .

: : : : : :

K K ...

...

K K

K K ...

...

K K

: : : : : :

. . ...

...

. .

68 68 68

68

68 68 68

68

154 : 136 135 : 1

f =

154 : 136 135 : 1

. : f

f : .

68 68

























Baris ke-135 dan 136 berturut-turut adalah matriks kekakuan dan vektor gaya dari nodal 68 untuk arah horisontal dan vertikal.

3.3 Mencari Matriks Displacement Fiktif ( u) ) dari Matriks Kekakuan Global dan Gaya Global

Setelah semua titik nodal didapat matriks kekakuan dan gayanya, maka dicari nilai displacement fiktif ( u) )-nya sebagai berikut :

K . u) = f

3.4 Mencari Matriks Displacement Real (u^h(x)) untuk Semua Titik Nodal dari Displacement Fiktif ( u) )

Nilai displacement sesungguhnya dari suatu titik nodal akan didapatkan dengan menambahkan seluruh pengaruh dari titik nodal lain dengan shape function yang tidak nol di titik nodal yang ditinjau. Sehingga untuk mencari nilai nodal sesungguhnya dapat dicari sebagai berikut :

u^h

( )

x = u =

( )

J N

J

J uˆ

1

∑

x

=

φ

dimana N = banyaknya titik nodal (77 buah) x = titik nodal yang ditinjau.

J = banyaknya titik nodal yang mempengaruhi titik nodal yang ditinjau.