DESAIN DAN ANALISIS SPLAY TREE PADA PENYELESAIAN PERSOALAN SPOJ KLASIK 19543

(1)

i

HALAMAN JUDU L

TUGAS AKHIR – KI1502

DESAIN DAN ANALISIS SPLAY TREE PADA

PENYELESAIAN PERSOALAN SPOJ KLASIK

19543

M. Kemal Darmawan NRP. 5111 100 173

Dosen Pembimbing 1

Arya Yudhi Wijaya, S.Kom., M.Kom. Dosen Pembimbing 2

Rully Soelaiman, S.Kom., M.Kom.

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

Fakultas Teknologi Informasi

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya 2015

(2)

iii FINAL PROJECT – KI1502

DESIGN AND ANALYSIS SPLAY TRE FOR

SOLVING SPOJ CLASSIC PROBLEM 19543

M. Kemal Darmawan NRP. 5111 100 173

Supervisor 1

Arya Yudhi Wijaya, S.Kom., M.Kom. Supervisor 2

Rully Soelaiman, S.Kom., M.Kom.

DEPARTMENT OF INFORMATICS Faculty of Information Technology

Sepuluh Nopember Institute of Technology

Surabaya 2015

(3)

(4)

vii

Nama : Muhammad Kemal Darmawan

NRP : 5111100173

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas Teknologi Informasi ITS Dosen Pembimbing I : Arya Yudhi Wijaya, S.Kom., M.Kom. Dosen Pembimbing II : Rully Soelaiman, S.Kom., M.Kom.

ABSTRAK

ABSTRAK

Diberikan sejumlah barisan bilangan integer non negatif awal dan diberikan sejumlah operasi untuk memodifikasi barisan bilangan tersebut atau melakukan perhitungan pada barisan bilangan tersebut. Operasi-operasi tersebut ialah penyisipan bilangan, penghapusan bilangan, perubahan bilangan dan query dengan jarak tertentu pada bilangan.

Splay Tree merupakan salah satu struktur data binary search tree yang menerapkan konsep self balancing. Tree ini menggunakan cara mendekatkan node-node yang sering diakses menuju root untuk mengefisienkan waktu pengaksesan, cara tersebut dinamakan operasi splay. Splay melakukan perpindahan suatu node menuju root pada tree.

Pada penelitian ini akan didesain dan diimplementasikan solusi untuk permasalahan query barisan dinamis dengan menggunakan Splay Tree. Penggunaan Splay Tree ditujukan untuk merepresentasikan barisan bilangan yang diberikan dan menangani operasi-operasi yang ditujukan pada barisan tersebut. Solusi yang dikembangkan berjalan dengan kompleksitas waktu 𝑂(𝑀 𝑙𝑜𝑔 𝑁), di mana M adalah jumlah operasi dan N ada jumlah node pada tree dan solusi mendapat umpan balik dari persoalan SPOJ 19543-GSS8, Can you answer these queries VIII

(5)

viii

adalah Accepted dengan waktu rata-rata 18.16 detik dan memori 25 MB dari 20 kali pengumpulan.

Kata kunci: Splay Tree, Self Balancing Binary Search Tree, Query Barisan Dinamis.

(6)

ix 19543

Name : Muhammad Kemal Darmawan

NRP : 5111100173

Department : Department of Informatics

Faculty of Information Technology ITS Supervisor I : Arya Yudhi Wijaya, S.Kom., M.Kom. Supervisor II : Rully Soelaiman, S.Kom., M.Kom.

ABSTRACT

ABSTRACT

Given a number of initial non negative integers and a number of operations to modify the array or to calculate the array. The operations consist of insertion of number, deletion of number, replacement of number and calculation of range in array.

Splay Tree is one of the binary search tree data structures which holds the concept of self balancing. This tree makes the frequently accessed node become near to the root of the tree for resulting the efficiency of the access, that operation is called Splay operation. Splay operation moves a node to the root.

In this undergraduate thesis, the problem of dynamic range query will be designed and be implemented by using Splay Tree. The purpose of use of Splay Tree is to represent the given array of numbers and handle or maintain the operations that is given for the array.

The time complexity of the solution is 𝑂(𝑀 𝑙𝑜𝑔 𝑁), where M is the number of operation and N is the number of node in the tree and the solution got Accepted feedback from problem in SPOJ 19543-GSS8, Can you answer these queries VIII with 18.16 seconds as average time and 25 MB as memory from 20 submissions.

(7)

x

Key words: Splay Tree, Self Balancing Binary Search Tree, Dynamic Range Query.

(8)

xi

Puji syukur kepada Allah Yang Maha Esa atas segala karunia dan rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan penelitian yang berjudul:

DESAIN DAN ANALISIS SPLAY TREE PADA PENYELESAIAN PERSOALAN SPOJ KLASIK 19543

Penelitian ini dilakukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Komputer di Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknologi Informasi Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Dengan selesainya penelitian ini saya harap apa yang telah saya kerjakan dapat memberikan manfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan serta bagi saya sendiri selaku penulis penelitian ini.

Saya selaku penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan dukungan baik secara langsung maupun tidak langsung selama saya menyelesaikan penelitian antara lain:

1. Allah SWT atas segala nikmat dan rahmat yang telah diberikan selama ini.

2. Ayah, ibu dan keluarga penulis yang tiada henti-hentinya mencurahkan kasih sayang, perhatian dan doa kepada penulis selama ini.

3. Bapak Rully Soelaiman, S.Kom., M.Kom. selaku dosen pembimbing yang telah sabar memberikan bimbingan, motivasi, nasihat dan meluangkan waktu yang sangat berharga bagi penulis untuk membantu pengerjaan penelitian ini. 4. Bapak Arya Yudhi Wijaya, S.Kom., M.Kom. selaku dosen

pembimbing yang telah memberi nasihat, arahan dan bantuan sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian ini.

(9)

xii

5. Seluruh teman saya dalam menempuh perkuliahan di Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknologi Informasi Institut Teknologi Sepuluh Nopember

6. Seluruh pihak yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu yang telah memberikan dukungan yang telah memberikan dukungan selama saya menyelesaikan penelitian.

Saya mohon maaf apabila terdapat kekurangan dalam penelitian ini. Kritik dan saran saya harapkan untuk perbaikan dan pembelajaran di kemudian hari. Semoga penelitian ini dapat memberikan manfaat yang sebaik-baiknya.

Surabaya, Juli 2015 Penulis

(10)

xiii

LEMBAR PENGESAHAN ... v

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ... xi

DAFTAR ISI ...xiii

DAFTAR GAMBAR ... xvii

DAFTAR TABEL ... xix

DAFTAR KODE SUMBER ... xxi

BAB I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 2 1.3 Batasan Masalah ... 2 1.4 Tujuan ... 2 1.5 Metodologi ... 3

BAB II DASAR TEORI ... 5

2.1 Definisi Umum ... 5

2.2 Binary Search Tree (BST) ... 6

2.3 Self Balancing Binary Search Tree ... 7

2.4 Teknik Implicit Key ... 9

2.5 Splay Tree ... 11

2.5.1 Splaying Step ... 13

(11)

xiv

2.6 Sistem Penilaian Daring ... 18

2.7 Permasalahan Can you answer these queries VIII Pada SPOJ ... 20

2.7.1 Penyelesaian Operasi Dasar ... 23

2.7.2 Penyelesaian Operasi Perhitungan pada suatu Jarak ... 25

2.8 Pembuatan Data Generator Untuk Uji Coba ... 26

BAB III DESAIN ... 31

3.1 Definisi Umum Sistem ... 31

3.2 Desain Algoritma ... 32

3.2.1 Desain Fungsi Preprocess ... 32

3.2.2 Desain Fungsi Rotate ... 33

3.2.3 Desain Fungsi Splay ... 34

3.2.4 Desain Fungsi FindPosition ... 34

3.2.5 Desain Fungsi Insert ... 35

3.2.6 Desain Fungsi Delete ... 37

3.2.7 Desain Fungsi Replace ... 39

BAB IV IMPLEMENTASI ... 41

4.1 Lingkungan Implementasi ... 41

4.2 Implementasi Fungsi Preprocess ... 41

4.3 Implementasi Struct Node ... 42

4.4 Implementasi Fungsi Query... 49

BAB V UJI COBA DAN EVALUASI ... 51

(12)

xv

5.2.1 Uji Coba Kebenaran ... 51

5.2.2 Uji Coba Kinerja ... 54

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN ... 59

6.1 Kesimpulan ... 59 6.2 Saran ... 60 DAFTAR PUSTAKA... 61 LAMPIRAN A ... 63 BIODATA PENULIS... 67 DAFTAR GAMBAR

(13)

xix

DAFTAR TAB EL

DAFTAR TABEL

Tabel A.1 Hasil Uji Coba pada Situs SPOJ Sebanyak 20 Kali ... 63 Tabel A.2 Hasil Uji Coba Pengaruh Banyaknya Node Terhadap Waktu ... 64 Tabel A.3 Hasil Uji Coba Pengaruh Banyaknya Operasi Terhadap Waktu ... 64 Tabel A.4 Hasil Uji Coba Pengaruh Banyak Node dan Operasi Terhadap Waktu ... 65

(14)

xvii

Gambar 2.1 Ilustrasi Binary Search Tree ... 6

Gambar 2.2 Penggunaan Implicit Key. (a) Contoh Deret Bilangan. (b) Representasi Deret pada Binary Search Tree Sesuai Indeks. (c) Representasi Deret dengan Implicit Key pada Binary Search Tree. ... 10

Gambar 2.3 Ilustrasi Rotasi Kanan dan Rotasi Kiri pada Node. . 12

Gambar 2.4 Pseudocode Fungsi Rotate... 12

Gambar 2.5 Splaying Step. (a) Zig. (b) Zig-zig. (c) Zig-zag ... 13

Gambar 2.6 Ilustrasi Splay pada Tree. (a) Splay pada Node 1. (b) Splay pada Node 4 ... 15

Gambar 2.7 Pseudocode dari Fungi Splay ... 15

Gambar 2.8 Ilustrasi Penyisipan Node ... 16

Gambar 2.9 Ilustrasi Pencarian Node ... 17

Gambar 2.10 Ilustrasi Operasi Penghapusan ... 18

Gambar 2.11 Deskripsi permasalahan Can you answer these queries VIII ... 21

Gambar 2.12 Batasan-batasan pada Persoalan ... 22

Gambar 2.13 Contoh Masukkan dan Keluaran pada Permasalahan. ... 23

Gambar 2.14 (a) Contoh Masukkan dengan Operasi Dasar. (b) Ilustrasi Tree Awal Sesuai dengan Kasus Uji pada Masukkan ... 23

Gambar 2.15 Ilustrasi Operasi Penyisipan. (a) Tree setelah Dilakukan Operasi Splay pada Posisi 3. (b) Bentuk Tree setelah Dimasukan Nilai 4 pada Posisi . ... 24

Gambar 2.16 Ilustrasi operasi penghapusan. (a) Kondisi tree setelah dilakukan operasi splay. (b) Bentuk tree setelah dilakukan operasi penghapusan... 25

(15)

xviii

Gambar 2.17 Ilustrasi Operasi Perubahan Nilai pada Barisan. (a) Bentuk Tree setelah Dilakukan Perubahan Nilai Pada Node. (b)

Kondisi Tree Setelah Operasi Splay ... 25

Gambar 2.19 Pseudocode Data Generator Skenario Pertama... 27

Gambar 2.20 Pseudocode Data Generator Skenario Kedua ... 28

Gambar 2.21 Pseudocode Data Generator Skenario Ketiga ... 29

Gambar 3.1 Pseudocode Fungsi Main. ... 32

Gambar 3.2 Pseudocode Fungsi Preprocess ... 32

Gambar 3.3 Pseudocode Fungsi Rotate ... 33

Gambar 3.4 Pseudocode Fungsi Splay ... 34

Gambar 3.5 Pseudocode Fungsi FindPosition ... 35

Gambar 3.6 Pseudocode Fungsi Insert ... 36

Gambar 3.7 Pseudocode Fungsi InsertBefore ... 37

Gambar 3.8 Pseudocode Fungsi InsertAfter ... 37

Gambar 3.9 Pseudocode Fungsi Delete ... 38

Gambar 3.10 Pseudocode Fungsi Replace ... 39

Gambar 5.1 Hasil Keluaran Program Sesuai Contoh Masukkan pada Permasalahan ... 52

Gambar 5.2 Contoh Masukkan dan Keluaran pada Permasalahan ... 52

Gambar 5.3 Hasil Uji Coba pada Situs SPOJ ... 53

Gambar 5.4 Grafik Hasil Uji Coba pada Situs SPOJ Sebanyak 20 Kali ... 53

Gambar 5.5 Grafik Hasil Uji Coba Pengaruh Banyaknya Node Terhadap Waktu ... 55

Gambar 5.6 Grafik Hasil Uji Coba Pengaruh Banyaknya Operasi Terhadap Waktu ... 55

Gambar 5.7 Grafik Hasil Komparasi Kedua Uji Coba yang Sudah Dilakukan ... 56

(16)

xxi

Kode Sumber 4.1 Implementasi Fungsi Preprocess ... 41

Kode Sumber 4.2 Implementasi Struct Node (1) ... 42

(17)

1

BAB I

PENDAHULUAN

Bagian ini akan dijelaskan hal-hal yang menjadi latar belakang, permasalahan yang dihadapi, batasan masalah, tujuan dan manfaat, metodologi dan sistematika penulisan yang digunakan dalam pembuatan penelitian.

1.1 Latar Belakang

Permasalahan query barisan dinamis adalah salah satu masalah dengan penyelesaian yang sangat bergantung akan struktur data yang digunakan. Permasalahan tersebut ialah suatu barisan yang dilakukan beberapa operasi, di mana operasi tersebut meliputi operasi perhitungan pada suatu jarak pada barisan dan operasi operasi-operasi yang membuat barisan tersebut menjadi dinamis. Struktur data di sini berperan untuk memodelkan barisan seefektif mungkin untuk dilakukan operasi-operasi terhadap barisan tersebut. Struktur data yang digunakan juga harus memiliki kompleksitas waktu yang mendukung untuk menangani operasi dengan jumlah yang banyak.

Salah satu penyelesaian query barisan dinamis ialah dengan struktur data binary search tree, namun dengan hanya mengimplementasikan binary search tree yang biasa tidak memungkinkan untuk menangani permasalahan secara efisien dari sisi kompleksitas waktu. Pada penelitian ini akan diimplementasikan solusi untuk permasalahan query barisan dinamis dengan struktur data dengan konsep binary search tree dengan lebih mengefisienkan kompleksitas waktu yaitu self

balancing binary search tree. Struktur data tersebut tetap menjaga

kedalaman pada suatu binary search tree untuk membuat kompleksitas waktu untuk setiap operasi lebih efisien.

(18)

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang diangkat dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Merepresentasikan permasalahan dynamic range query menjadi permasalahan self balancing binary search tree. 2. Menyusun perancangan algoritma dan implementasi metode

permasalahan self balancing binary search tree dalam menyelesaikan permasalahan dynamic range query.

3. Mengimplementasikan data generator untuk pengujian kinerja.

4. Membuat skenario pengujian untuk mengetahui kebenaran dan efisiensinya.

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang dibahas pada penelitian ini memiliki beberapa batasan, yaitu sebagai berikut:.

1. Implementasi dilakukan dengan bahasa pemrograman C++. 2. Batasan masalah sesuai dengan batasan-batasan yang terdapat

pada soal SPOJ 19543-GSS8, Can you answer these queries

VIII.

1.4 Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Melakukan analisis dan mereduksi permasalahan dynamic

range query menjadi permasalahan self balancing binary search tree.

2. Melakukan perancangan algoritma dan implementasi metode

self balancing binary search tree.

(19)

3 4. Mengevaluasi hasil dan kinerja algoritma yang telah dirancang pada permasalahan self balancing binary search

tree.

1.5 Metodologi

Metodologi yang dilakukan pada pengerjaan penelitian ini memiliki beberapa tahapan, yaitu sebagai berikut:

1. Penyusunan proposal penelitian

Tahap awal untuk memulai pengerjaan penelitian adalah penyusunan proposal penelitian. Pada proposal tersebut, penulis mengajukan gagasan desain dan analisis struktur data

self balancing binary search tree pada penyelesaian persoalan

SPOJ klasik 19543 GSS8. 2. Studi literatur

Pada tahap ini dilakukan pencarian informasi dan studi literatur yang diperlukan untuk penyelesaian persoalan yang akan dikerjakan. Informasi didapatkan dari materi-materi yang berhubungan dengan algoritma yang digunakan dalam pengerjaan penelitian ini, materi-materi tersebut didapatkan dari buku acuan maupun internet.

3. Implementasi perangkat lunak

Implementasi merupakan tahap untuk membangun algoritma yang digunakan. Pada tahap ini dilakukan implementasi dari rancangan algoritma self balancing binary search tree yang direpresentasikan sesuai dengan permasalahan dan diterapkan pada sebuah program. Implementasi ini dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman.

4. Pengujian dan evaluasi

Pada tahap ini dilakukan uji coba dengan menggunakan kasus uji yang dibuat dan juga dilakukan percobaan pada online

(20)

telah sesuai dengan keluaran yang seharusnya. Pada tahap ini evaluasi sekaligus dilakukan pada online judge SPOJ. Perbaikan akan dilakukan hingga hasil evaluasi yang diberikan oleh online judge tersebut adalah diterima.

5. Penyusunan buku penelitian

Dalam tahap akhir ini, penulis melakukan penyusunan laporan yang berisikan dokumen pembuatan dan hasil pengerjaan pada perangkat lunak yang telah dibuat.

(21)

5

2

BAB II

DASAR TEORI

Bab ini akan membahas mengenai dasar teori dan literatur yang menjadi dasar pengerjaan penelitian.

2.1 Definisi Umum

Subbab ini akan dibahas definisi-definisi umum yang selanjutnya akan sering digunakan dalam buku ini.

Suatu graf adalah himpunan objek yang disebut simpul (vertex atau node) yang terhubung oleh sisi (edge). Pohon (tree) merupakan salah satu jenis graf yang tidak mengandung cycle atau suatu lintasan yang berawal dan berakhir pada node yang sama di mana setiap edge yang dilalui tepat satu kali. Sebuah pohon biner (binary tree) adalah sebuah struktur data tree di mana setiap node memiliki paling banyak dua anak (child). Secara khusus anaknya dinamakan anak kiri (left child) dan anak kanan (right child). Beberapa definisi lain yang perlu diketahui antara lain:

1. Parent u ialah node yang berhubung langsung dengan node u dan membuat node u menjadi child dari node tersebut, baik itu

left child ataupun right child.

2. Root ialah node pada tree yang tidak memiliki node lain sebagai parent.

3. Depth atau level dari suatu node yang diukur dari jarak node tersebut pada root.

4. Subtree u adalah bagian tree yang menempatkan u sebagai root pada sebagian tree tersebut.

5. Left subtree dari u ialah subtree yang menjadikan left child dari

node u sebagai root dari subtree tersebut.

6. Right subtree dari u ialah subtree yang menjadikan right child dari node u sebagai root dari subtree tersebut.

(22)

7. Size dari tree atau subtree ialah banyaknya jumlah node yang dimiliki oleh tree atau subtree tersebut.

2.2 Binary Search Tree (BST)

Binary search tree ialah binary tree yang terorganisasi.

Sebuah tree dapat direpresentasikan dengan data struktur yang terhubung di mana setiap node ialah sebuah objek. Tidak hanya key yang disimpan oleh setiap node, setiap node menyimpan atribut

left, right, dan parent di mana menunjuk node lain yang sesuai

dengan left child, right child, dan parent berturut-turut dari node tersebut.

Gambar 2.1 Ilustrasi Binary Search Tree

Key pada binary search tree selalu disimpan dengan cara yang

memenuhi binary-search-tree property:

Misal x ialah sebuah node pada binary search tree. Jika y terletak pada left subtree dari x maka y.key ≤ x.key. Jika y terletak pada right subtree dari x maka y.key ≥ x.key [1].

Pada Gambar 2.1 key dari root pada ialah 6 dan node-node yang memiliki key 2, 5 dan 5 terdapat pada left subtree dari root tersebut di mana tidak ada yang lebih besar dari 6 dan node yang mempunyai key 7 dan 8 terdapat pada right subtree dari root di mana tidak ada yang lebih kecil dari 6. Semua node pada binary

search tree menerapkan properti yang sama. Contohnya node yang

(23)

7 mempunyai key tidak lebih besar dari 5 dan memiliki right child yang key nya tidak kurang dari 5.

Dengan binary-search-tree property, struktur data ini dapat digunakan dalam hal memudahkan operasi pencarian key pada elemen yang ada pada tree tersebut dan dapat menampilkan semua

key yang terdapat pada binary search tree dalam keadaan terurut

dengan algoritma rekursif sederhana yang disebut inorder

traversal.

2.3 Self Balancing Binary Search Tree

Self balancing binary search tree adalah binary search tree

yang dapat menyesuaikan atau menyeimbangkan tree itu sendiri, yaitu meminimalkan kedalaman atau depth pada tree pada saat tree tersebut dilakukan operasi penambahan node atau penghapusan

node. Pada umumnya self balancing binary search tree

mempunyai tinggi maksimal sebesar 𝑙𝑜𝑔(𝑛) dengan n adalah jumlah node. Hal ini menyebabkan sebagian algoritma self

balancing binary search tree mempunyai kompleksitas 𝑙𝑜𝑔(𝑛)

untuk tiap operasi nya.

Terdapat banyak macam data struktur yang mengimplementasikan konsep self balancing binary search tree. Semua macam tersebut bertujuan sama yaitu meminimalkan kedalaman pada suatu tree agar mempercepat kinerja operasi-operasi yang dilakukan pada tree tersebut. Contoh data struktur yang populer yang mengimplementasikan self balancing binary

search tree antara lain:

1. Red-black tree

Red-black tree termasuk self balancing binary search tree yang diciptakan oleh Rudolf Bayer di tahun 1972 dan bernama

Symmetric binary B-tree, lalu pada tahun 1978 diperbarui

(24)

Sedgewick. Pada struktur data ini memiliki aturan-aturan seperti menandakan sebuah node dengan merah atau hitam. 2. AA tree

AA Tree adalah salah satu jenis self balancing binary search

tree yang ditemukan oleh Arne Andersson. Tree ini merupakan

varian dari Red-black Tree. Dalam tree ini terdapat beberapa syarat seperti Red-black Tree.

3. AVL tree

AVL Tree adalah salah satu jenis self balancing binary search

tree yang ditemukan oleh G.M Adelson-Velskii dan E.M

Landis pada tahun 1961. Pada tree ini terdapat balance factor yaitu nilai ketinggian anak pohon di kiri dikurang ketinggian anak pohon kanan. Pohon dianggap seimbang bila balance

factor bernilai -1, 0 atau 1.

4. Scapegoat tree

Scapegoat tree adalah salah satu jenis self balancing binary

search tree yang diciptakan oleh Igal Galperin, Jacob Tepec

dan Ronald L. Rivest. Pada tree ini dikatakan seimbang jika jumlah node di subtree kanan sama dengan jumlah node di

subtree kiri.

5. Splay tree

Splay tree ialah self balancing binary search tree yang ditemukan oleh Daniel Dominic Sleator dan Robert Endre Tarjan. Tree ini memegang properti di mana elemen yang baru diakses akan lebih cepat waktu pengaksesannya untuk pengaksesan selanjutnya.

Pada penelitian ini akan digunakan Splay Tree untuk penyelesaian permasalahan. Pemilihan struktur data Splay Tree untuk diterapkan pada penelitian ini dikarenakan implementasi pada struktur data tersebut pada persoalan yang berkaitan pada penelitian ini tidak diperlukan binary search tree yang selalu

(25)

9

balance melainkan hanya dibutuhkan efisiensi waktu pengaksesan

suatu node.

2.4 Teknik Key Secara Implisit

Atribut key pada setiap node dalam binary search tree adalah satu hal yang sangat penting dan harus diperhatikan. Di mana key pada node yang terdapat pada binary search tree sangat menentukan di mana posisi node tersebut berada. Key sangat bergantung pada permasalahan yang dihadapi dan bagaimana cara hal tersebut disimpan. Umumnya key pada node disimpan secara eksplisit dan key tersebut dapat langsung diakses dengan mudah.

Untuk permasalahan yang diberikan sebuah deret atau barisan bilangan dan diharuskan tetap mengatur bilangan tersebut sesuai urutan deretan, deret bilangan tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk binary search tree dan menggunakan indeks dari tiap bilangan sebagai key untuk tiap node dan menyimpannya nilai indeks itu secara eksplisit, namun jika pada permasalahan tersebut terdapat operasi-operasi yang membuat deret tersebut menjadi dinamis seperti penyisipan atau penghapusan bilangan, penerapan pengaksesan key secara eksplisit membuat pengaturan untuk mempertahankan node-node pada tree tetap menyimpan indeks yang seharusnya menjadi sulit dan sangat memakan waktu karena dibutuhkan pembaruan key yang dimiliki oleh node-node yang terkena dampak dari operasi penyisipan atau penghapusan.

Terdapat teknik yang dapat digunakan untuk kasus permasalahan seperti itu dan teknik ini dapat memudahkan pengaturan untuk mempertahankan informasi yang dimiliki node akan letak dari bilangan yang dimiliki node tersebut sesuai urutan dari barisan bilangan. Teknik ini bisa disebut teknik implicit key. Teknik ini tetap menggunakan urutan indeks sebagai key nya namun diterapkan secara implisit, di mana informasi tambahan

(26)

yang disimpan oleh setiap node ialah size dari subtree pada node tersebut [2].

Teknik ini tetap mempertahankan binary-search-tree property di mana untuk kasus ini left subtree dari sebuah node u yang mewakilkan bilangan pada indeks x memiliki indeks kurang dari x dan right subtree dari node u tersebut memiliki indeks lebih dari x. Pada Gambar 2.2 (a) diberikan contoh deret bilangan yang mempunyai informasi nilai dan indeks dan contoh representasi deret tersebut dalam binary search tree dapat dilihat pada Gambar 2.2 (b) dengan nilai indeks pada tiap node nya di mana tiap node memiliki left subtree yang mempunyai indeks lebih kecil dan right

subtree yang mempunyai nilai indeks lebih besar.

Gambar 2.2 Penggunaan Implicit Key. (a) Contoh Deret Bilangan. (b) Representasi Deret pada Binary Search Tree Sesuai Indeks. (c) Representasi Deret dengan Implicit Key pada Binary Search Tree.

Gambar 2.2 (c) menunjukkan representasi deret tersebut dalam binary search tree namun tidak menyimpan informasi indeks tersebut secara eksplisit, informasi yang diperlukan hanya

size dari setiap subtree pada node. Informasi akan indeks pada

sebuah node bergantung pada size left subtree pada node tersebut. Dapat dilihat pada root dari tree tersebut dengan value = 20

(27)

11 memiliki size left subtree = 2 maka root tersebut memiliki indeks = size left subtree yaitu bernilai 2. Untuk mengetahui right child dari root dilakukan hal yang sama namun ditambahkan dengan nilai size left subtree root + 1, nilai 1 didapat dari node root itu sendiri, untuk menganggap node yang sudah terlewati. Ini dilakukan setiap melakukan perjalanan ke right child pada tiap

node. Sebaliknya, untuk perjalanan ke left child tidak dilakukan

demikian.

2.5 Splay Tree

Splay Tree merupakan salah satu struktur data self balancing

binary search tree, karena itu Splay Tree mendukung semua

operasi yang ada pada binary search tree. Pada dasarnya semua operasi pada Splay Tree dilakukan dengan operasi splaying.

Splaying digunakan untuk memindahkan node yang baru diakses

menuju root. Hal ini bertujuan untuk membuat waktu akses pada

node yang

sering diakses menjadi lebih efisien, karena operasi splaying membuat node-node yang sering diakses terletak dekat dengan

root. Untuk memenuhi kebutuhan splaying di mana membuat suatu node berpindah menuju root maka dilakukan rotasi terhadap node

di mana rotasi tersebut tetap mempertahankan urutan dari sebuah

tree.

Pada Gambar 2.3 diberikan ilustrasi rotasi kanan dan rotasi kiri dan dapat dilihat rotasi kanan dapat dilakukan pada sebuah

node jika node tersebut merupakan left child dari parent-nya dan

rotasi kiri dilakukan jika node tersebut merupakan right child dari

parent-nya. Pseudocode fungsi rotasi ditunjukkan pada Gambar

(28)

Gambar 2.3 Ilustrasi Rotasi Kanan dan Rotasi Kiri pada Node. Gambar 2.4 menunjukkan pseudocode dari fungsi rotate, di mana fungsi tersebut sudah menangani fungsi rotasi kanan dan rotasi kiri.

/**

* x is the element to be rotated */ Rotate(x) 01. y = parent of x 02. z = parent of y 03. parent of x = z 04. parent of y = x 05. if x is left child of y 06. b = right child of x 07. else 08. b = left child of x 09. if b is not null 10. parent of b = y 11. if z is not null 12. if left child of z = y 13. left child of z = x 14. else 15. right child of z = x 16. if x = left child of y 17. right child of x = y 18. left child of y = b 19. else 20. left child x = y 21. right child of y = b

(29)

13 Splaying Step

Gambar 2.5 Splaying Step. (a) Zig. (b) Zig-zig. (c) Zig-zag

Untuk melakukan splay suatu tree pada node x, splaying step terus dilakukan hingga x menjadi root pada tree tersebut, untuk ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 2.5. Terdapat tiga kasus pada

(30)

1. Zig, jika p(x) atau parent x adalah root lakukan rotasi pada x sehingga x menjadi root. (Kasus ini merupakan proses akhir.) 2. Zig-zig, jika p(x) bukan root dan baik x maupun p(x) keduanya

merupakan left child atau keduanya merupakan right child, lakukan rotasi pada p(x) terlebih dahulu lalu lakukan rotasi pada x.

3. Zig-zag, jika p(x) bukan root dan x merupakan left child dan

p(x) merupakan right child atau sebaliknya, maka lakukan

rotasi pada x lalu lakukan rotasi lagi pada x [2].

Splaying pada node 𝑥 dengan kedalaman 𝑑 memakan waktu

𝛳(𝑑), waktu tersebut merupakan waktu untuk mengakses item pada node 𝑥. Splaying tidak hanya memindahkan node 𝑥 menuju

root tetapi juga memotong kedalaman untuk setiap node yang

terdapat pada path saat diakses.

Gambar 2.6 mengilustrasikan suatu tree yang melakukan operasi splay. Pada tree tersebut dapat dilihat setelah dilakukan operasi splay, tree tersebut tetap mempertahankan binary search

tree property dan kedalaman dari node-node yang terpengaruh

operasi splay mayoritas memiliki kedalaman yang lebih pendek dari sebelumnya, hal ini sangat berpengaruh untuk membuat efisien dari pengaksesan node atau operasi lainnya.

Pada Gambar 2.7 menunjukkan pseudocode dari fungsi splay yang di dalamnya sudah termasuk kasus zig-zig, zig-zag dan zig di mana pada baris tiga hingga baris tujuh ialah kasus untuk zig-zig dan zig-zag dan kasus tersebut ditentukan pada kondisi yang terdapat pada baris empat, untuk kasus zig ditentukan pada kondisi pada baris tiga, jika tidak memenuhi baris ke tiga maka hanya dilakukan satu rotasi dan hal tersebut ialah kasus zig. Pada fungsi tersebut memanggil juga fungsi dari rotasi yang sebelumnya sudah dibahas.

(31)

15

Gambar 2.6 Ilustrasi Splay pada Tree. (a) Splay pada Node 1. (b) Splay pada Node 4

/**

* x is the element to be splayed */

Splay(x)

1. while parent of x is not null

2. y = parent of x

3. if parent of y is not null

4. if left child y = x and left child of parent of y=y

5. rotate y

6. else

7. rotate x

8. rotate x

(32)

Operasi Dasar Splay Tree

Operasi-operasi dasar pada Splay Tree umumya sama dengan operasi binary search tree pada umumnya, yaitu antara lain:

Operasi Penyisipan

Gambar 2.8 Ilustrasi Penyisipan Node

Operasi penyisipan pada Splay Tree dapat dilakukan dengan berbagai cara yang intinya membuat node yang baru disisipkan menjadi root pada tree. Salah satu cara yang sederhana ialah dengan penyisipan seperti penyisipan pada binary search tree biasa dan dilakukan operasi splay pada node tersebut.

Ilustrasi dari penyisipan dapat dilihat pada Gambar 2.8. Pada ilustrasi ini akan dilakukan penyisipan node bernilai 3 pada contoh

(33)

17

binary tree di mana sesuai dengan penyisipan binary search tree, node tersebut disisipkan pada anak kiri dari node yang bernilai 4.

Setelah dilakukan penyisipan dilakukan operasi splay pada

node tersebut, dengan kasus yang dimiliki pada node yang baru

disisipkan maka langkah pertama dilakukan zig-zag, ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 2.8 (b), setelah zig-zag dilakukan, langkah selanjutnya dilakukan zig, ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 2.8 (c), sehingga node bernilai 3 yang di mana baru disisipkan berada di posisi root pada tree.

Operasi Pencarian

Gambar 2.9 Ilustrasi Pencarian Node

Operasi pencarian pada Splay Tree dilakukan sama seperti pencarian binary search tree. Setelah didapatkan node yang dicari maka dilakukan operasi splay pada node tersebut.

Ilustrasi dari operasi pencarian dapat dilihat pada Gambar 2.9. Pada ilustrasi tersebut node yang dicari ialah yang bernilai 8, setelah ditemukan node tersebut dilakukan operasi splay pada node tersebut, di mana pada kasus yang dimiliki node bernilai 8 harus dilakukan langkah zig-zig. Pada akhirnya node yang ditemukan menjadi root pada tree.

(34)

Operasi Penghapusan

Operasi penghapusan pada Splay Tree dilakukan dengan operasi pencarian seperti yang dijelaskan pada subbab sebelumnya sehingga membuat node yang akan dihapus menjadi root pada tree dan dilakukan penghapusan pada node tersebut seperti penghapusan pada binary search tree.

Ilustrasi dari operasi penghapusan dapat dilihat pada Gambar 2.10. Pada ilustrasi ini dilakukan penghapusan pada node bernilai 4. Langkah awal yang dilakukan ialah pencarian pada node tersebut dan dilakukan operasi splay pada node tersebut sehingga membuat

node tersebut menjadi root pada tree dan setelah itu node tersebut

dihapus. Setelah node tersebut dihapus dilakukan pencarian node pengganti untuk menempati node yang telah dihapus, pada kasus ini diambil node yang memiliki nilai maksimum pada anak kiri dari

node yang telah dihapus.

Gambar 2.10 Ilustrasi Operasi Penghapusan 2.6 Sistem Penilaian Daring

Sistem penilaian daring atau online judge ialah sebuah sistem yang bekerja untuk melakukan pengujian suatu program. Pada

(35)

19 sistem penilaian daring terdapat berbagai soal yang masing-masing terdiri atas deskripsi soal, berkas data masukan dan berkas data keluaran. Deskripsi soal berisi deskripsi tugas yang harus dilakukan oleh program milik pengguna, batasan waktu eksekusi program, batasan memori program, serta batasan dan format masukan yang diterima dan format keluaran yang dihasilkan. Berkas data masukan berisi data masukan yang akan diberikan pada program, sesuai dengan batasan pada deskripsi soal. Berkas data keluaran berisi data keluaran yang akan dicek kesamaan dengan hasil keluaran program pengguna.

Sistem penilaian daring menerima program pengguna berupa berkas kode sumber yang dikumpulkan oleh pengguna melalui antarmuka sistem, kemudian melakukan kompilasi dan menjalankan program yang dihasilkan. Program hasil kompilasi dari kode pengguna dijalankan dan diuji dengan berkas data masukan soal. Kemudian sistem melakukan pengecekan hasil keluaran program dengan berkas data keluaran soal. Berkas data masukan dan data keluaran soal merupakan hasil studi pembuat soal dan telah diuji kebenarannya oleh tim ahli, sehingga kesesuaian antara deskripsi soal dengan berkas data masukan dan data keluaran dapat dipertanggungjawabkan.

Pada tahap pengujian program, pengguna tidak dapat mengetahui isi berkas data masukan dan berkas data keluaran. Pengguna hanya mendapatkan umpan balik dari sistem berupa total waktu eksekusi program dan frase yang menunjukkan kebenaran program pengguna. Program pengguna dianggap benar jika dan hanya jika hasil keluaran program pengguna sama persis dengan data keluaran soal dan memenuhi kriteria batas waktu eksekusi program. Jika program pengguna benar maka sistem akan memberikan umpan balik berupa frase “Accepted”. Sedangkan

(36)

jika program pengguna tidak benar, maka sistem akan memberi umpan balik berupa salah satu dari frase-frase berikut:

1. “Wrong Answer”, yaitu jika hasil keluaran program pengguna tidak sama persis dengan berkas data keluaran soal.

2. “Time Limit Exceeded”, yaitu jika waktu eksekusi program pengguna melebihi batasan waktu yang diberikan pada deskripsi soal.

3. “Memory Limit Exceeded”, yaitu jika memori yang dibutuhkan program pengguna melebihi batasan waktu yang diberikan pada deskripsi soal.

4. “Runtime Error”, yaitu jika terjadi galat ketika program pengguna sedang berjalan dan menyebabkan program berhenti sebelum selesai di eksekusi.

5. “Compile Error”, yaitu ketika sistem tidak dapat melakukan kompilasi pada berkas kode sumber dari pengguna.

Pada awal pengembangannya, sistem penilaian daring hanya digunakan pada kontes pemrograman untuk menguji kebenaran jawaban peserta yang dikumpulkan. Namun seiring perkembangan kuantitas kontes pemrograman di dunia, sistem penilaian daring dapat digunakan di luar kontes pemrograman melalui situs penilaian daring. Pada situs penilaian daring terdapat server yang berisi sistem penilaian daring. Pengguna dapat mengumpulkan berkas kode sumber melalui web untuk diuji di server, kemudian mendapat umpan balik dari server pada situs yang sama.

2.7 Permasalahan Can you answer these queries VIII Pada SPOJ

Salah satu permasalahan yang terdapat pada SPOJ adalah Can

you answer this queries VIII yang mempunyai nomor 19543 dan

kode GSS8. Deskripsi permasalahan ditunjukkan pada Gambar 2.11.

(37)

21 Deskripsi singkat persoalan tersebut ialah diberikan barisan bilangan sebanyak N bilangan dan operasi pada bilangan tersebut sebanyak Q operasi. Operasi-operasi tersebut ialah:

 Memasukan bilangan pada posisi yang ditentukan  Menghapus bilangan pada posisi yang ditentukan  Mengubah nilai bilangan pada posisi yang ditentukan  Menampilkan hasil query pada jarak yang ditentukan

Gambar 2.11 Deskripsi permasalahan Can you answer these queries VIII Berikut merupakan format masukan yang diminta dari permasalahan:

1. Baris pertama terdiri dari satu bilangan integer N yang merepresentasikan jumlah bilangan pada barisan.

2. Baris kedua terdiri dari N bilangan integer yang merepresentasikan barisan awal 𝐴[0]… 𝐴[𝑁−1].

3. Baris ketiga terdiri dari satu buah integer Q yang merepresentasikan banyaknya operasi yang akan dilakukan.

4. Q baris selanjutnya merupakan perintah operasi sesuai dengan format yang diberikan. Adapun format tersebut ialah:

 ‘I’ pos val, yang artinya memasukan bilangan bernilai val pada posisi pos, jika pos merupakan panjang

(38)

barisan saat ini maka bilangan tersebut diletakkan pada akhir barisan

 ‘D’ pos, yang artinya menghapus bilangan pada posisi pos

 ‘R’ pos val, yang artinya mengubah bilangan pada posisi pos dengan nilai val

 ‘Q’ l r k, yang artinya hitung hasil query dari ∑𝑟𝑖=𝑙𝐴[𝑖] × (𝑖 − 𝑙 + 1)𝑘 modulo 232

Format keluaran dari permasalahan tersebut ialah untuk setiap operasi ‘Q’, cetak satu integer per-baris sesuai hasil yang diminta. Batasan-batasan masalah pada persoalan dapat dilihat pada Gambar 2.11 dan Gambar 2.12.

Gambar 2.12 Batasan-batasan pada Persoalan Berikut merupakan batasan dari permasalahan tersebut: 1. 1 ≤ 𝑁 ≤ 100.000 2. 0 ≤ 𝐴[𝑖] ≤ 232 3. 0 ≤ 𝑣𝑎𝑙 ≤ 232 4. 0 ≤ 𝑝𝑜𝑠 ≤ 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 5. 0 ≤ 𝑙 , 𝑟 ≤ 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 6. 0 ≤ 𝐾 ≤ 10

Contoh masukan dan keluaran pada permasalahan tersebut ditunjukkan pada Gambar 2.13. Untuk mengilustrasikan penggunaan Splay Tree pada permasalahan ini maka akan diberikan masukan yang hanya menggunakan operasi-operasi

(39)

23 dasar saja. Operasi-operasi tersebut ialah pemasukan bilangan, penghapusan bilangan dan perubahan bilangan pada barisan bilangan. Berikut ialah contoh masukan dan bentuk tree awal.

Gambar 2.13 Contoh Masukan dan Keluaran pada Permasalahan. Penyelesaian Operasi Dasar

Gambar 2.14 (a) Contoh Masukan dengan Operasi Dasar. (b) Ilustrasi Tree Awal Sesuai dengan Kasus Uji pada Masukkan

Pada Gambar 2.14 (a) diberikan masukan dengan 4 integer awal pada barisan yang terdiri dari 1, 2, 3 dan 5 dan terdapat 3 operasi yaitu memasukan bilangan pada posisi 3 dengan nilai 4, hapus bilangan pada posisi 0, ubah bilangan pada posisi 1 dengan

(40)

nilai 2. Pada Gambar 2.14 (b) dapat dilihat ilustrasi tree awal dengan menggunakan implicit key di mana menyimpan nilai dan

size dari tiap subtree.

Untuk melakukan penyisipan bilangan pada barisan pada suatu posisi maka dilakukan operasi splay pada posisi tersebut. Maka dilakukan splay pada posisi 3 dan Gambar 2.15 (a) menunjukkan hasil splay pada tree. Setelah dilakukan operasi splay maka dilakukan penambahan node pada posisi tersebut dan Gambar 2.15 (b) menunjukkan hasil dari penambahan node baru pada tree.

Gambar 2.15 Ilustrasi Operasi Penyisipan. (a) Tree setelah Dilakukan Operasi Splay pada Posisi 3. (b) Bentuk Tree setelah Dimasukan Nilai 4 pada Posisi .

Untuk melakukan penghapusan bilangan pada barisan maka dilakukan operasi splay pada node yang akan dihapus. Pada Gambar 2.16 (a) dapat dilihat bentuk tree setelah dilakukan operasi

splay pada node yang merepresentasikan posisi 0. Setelah

dilakukan operasi splay maka dilakukan operasi penghapusan node yang akan dihapus. Gambar 2.16 (b) menunjukkan hasil tree setelah dilakukan penghapusan node.

Untuk melakukan perubahan nilai pada barisan di suatu posisi maka dilakukan pencarian node yang merepresentasikan posisi tersebut dan dilakukan perubahan nilai. Gambar 2.17 (a) menunjukkan hasil dari perubahan nilai pada suatu node. Setelah

(41)

25 dilakukan perubahan nilai tersebut maka pada node tersebut dilakukan operasi splay di mana hasil dari operasi splay pada tree tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.17 (b).

Gambar 2.16 Ilustrasi operasi penghapusan. (a) Kondisi tree setelah dilakukan operasi splay. (b) Bentuk tree setelah dilakukan operasi penghapusan

Gambar 2.17 Ilustrasi Operasi Perubahan Nilai pada Barisan. (a) Bentuk Tree setelah Dilakukan Perubahan Nilai Pada Node. (b) Kondisi Tree Setelah

Operasi Splay

Penyelesaian Operasi Perhitungan pada suatu Jarak Untuk operasi perhitungan pada suatu jarak dengan batas kiri 𝑙 dan batas kanan 𝑟 dengan nilai 𝑘 yang ditentukan dapat disimbolkan dengan 𝑄 dengan Persamaan ( 2.1 )

(42)

𝑄 = ∑𝑟𝑖=𝑙𝐴𝑖× (𝑖 − 𝑙 + 1)𝑘 𝑚𝑜𝑑 232 ( 2.1 )

Diperlukan penyimpanan pada setiap node yang mewakili suatu segmen dari batas kiri 𝑙 dan batas kanan 𝑟 untuk setiap 𝑘 bernilai 0 hingga 10 di mana 𝑆𝑘 ialah jumlah dari suatu perhitungan

dengan Persamaan ( 2.2 )

𝑆𝑘 = ∑𝑟−𝑙𝑖=0𝐴𝑙+𝑖 𝑖𝑘 ( 2.2 )

Untuk menjawab perhitungan 𝑄 dibutuhkan perhitungan untuk sub query sebagai berikut atau disimbolkan dengan 𝑞 dari suatu jarak 𝑙 hingga 𝑟 dan memiliki delta atau selisih dari batas kiri pada query dengan batas kiri yang dimiliki suatu node dan disimbolkan sebagai 𝑑 dapat dirumuskan dengan Persamaan ( 2.3 ). 𝑞 = ∑𝑟−𝑙𝑖=0𝐴𝑙+𝑖 (𝑑 + 𝑖)𝑘 ( 2.3 )

Di mana (𝑑 + 𝑖)𝑘 dapat dihitung dengan konsep binomial koefisien

menjadi persamaan pada Persamaan( 2.4 ). (𝑑 + 𝑖)𝑘_{= ∑} ₍𝑘

𝑗)𝑑 𝑘−𝑗_𝑖𝑗

𝑘

𝑗=0 ( 2.4 )

Dari persamaan diatas 𝑞 dapat disusun menjadi persamaan pada Persamaan ( 2.5 )

𝑞 = ∑𝑘𝑖=0(𝑘_𝑖)𝑑𝑘−𝑖 𝑆𝑖 ( 2.5 )

Maka untuk setiap node yang merepresentasikan suatu segmen dengan batas kiri l dan batas kanan r akan melakukan perhitungan sesuai persamaan tersebut.

2.8 Pembuatan Data Generator Untuk Uji Coba

Pembuatan data generator dilakukan untuk membuat kasus uji yang akan digunakan untuk pengujian pada uji coba yang akan dijelaskan pada bab V. Data generator ini disesuaikan dengan format masukan yang sudah dijelaskan pada subbab 2.7.

Terdapat 3 skenario yang akan dilakukan untuk uji coba, skenario tersebut ialah pengaruh waktu terhadap jumlah node,

(43)

27 pengaruh waktu terhadap jumlah operasi dan pengaruh waktu terhadap jumlah node dan operasi.

Untuk skenario pertama akan dibuat data generator dengan banyak bilangan awal 100 bilangan dan terdapat banyak operasi penyisipan pada suatu posisi dari 0 hingga 900 dengan rentang 100, sehingga hasil akhir jumlah bilangan pada barisan ialah 100 hingga 1000 dengan rentang 100. Pada skenario ini operasi hanya melibatkan operasi penyisipan. Untuk pseudocode dari data generator untuk skenario pertama dapat dilihat pada Gambar 2.18. Pada pseudocode tersebut digunakan bilangan acak untuk membuat nilai-nilai yang dibutuhkan kecuali nilai dari banyaknya bilangan awal dan banyaknya operasi. Dapat dilihat pada baris ke-10 di pseudocode dilakukan pengeluaran ke dalam file dengan format operasi penyisipan saja. Hasil dari program ini ialah file berjumlah 10 file dengan nama “0.txt” hingga “900.txt” sesuai banyaknya operasi.

Scenario1() 01. N = 100

02. for Q = 0 to 900 increment by 100 03. filename = Q + ".txt"

04. myfile = open file filename 05. printonmyfile N

06. for i = 0 to N

07. printonmyfile random modulo 4294967297 08. printonfile Q

09. for i = 0 to Q

10. printonmyfile "I " + random modulo N + " " + random modulo 4294967297

11. close myfile

Gambar 2.18 Pseudocode Data Generator Skenario Pertama

Untuk skenario kedua akan dibuat data generator dengan banyak bilangan awal yang tetap seperti sebelumnya yaitu 100 bilangan dan terdapat banyak operasi perubahan nilai pada suatu posisi dari 1.000 hingga 10.000 dengan rentang 1.000, sehingga

(44)

hasil akhir jumlah bilangan pada barisan ialah tetap 100. Pada skenario ini operasi hanya melibatkan operasi perubahan bilangan. Untuk pseudocode dari data generator untuk skenario pertama dapat dilihat pada Gambar 2.19.

Scenario2() 01. N = 100

04. myfile = open file filename 05. printonfile N

06. for i = 0 to N

07. printonmyfile random modulo 4294967297 08. printonfile Q

09. for i = 0 to Q

10. printonmyfile "R " + random modulo N + " " + random modulo 4294967297

11. close myfile

Gambar 2.19 Pseudocode Data Generator Skenario Kedua

Untuk skenario kedua mirip dengan skenario pertama namun perbedaan pada skenario ini ialah banyaknya operasi yang dimulai dari 1.000 hingga 10.000 dengan rentang 1.000 dan dapat dilihat pada baris 10 dilakukan pencetakan dengan format untuk operasi perubahan nilai bilangan pada suatu posisi. Hasil dari program ini ialah 10 file dengan nama “1000.txt” hingga “10000.txt”

Untuk skenario ketiga akan dibuat data generator dengan banyak bilangan awal yang tetap seperti sebelumnya yaitu 100 bilangan dan terdapat banyak operasi penyisipan bilangan dan perubahan nilai pada suatu posisi dari 0 hingga 1800 dengan rentang 200 di mana rasio banyaknya operasi penyisipan dan operasi perubahan ialah 1:1. Untuk pseudocode dari data generator untuk skenario pertama dapat dilihat pada Gambar 2.20.

Perbedaan yang terdapat pada skenario ini ialah banyaknya operasi yang dua kali lipat dari skenario sebelumnya yang dapat dilihat pada baris 8, di mana Q dikalikan dengan 2 dan terdapat 2

(45)

29 format operasi yang dicetak pada baris 10 dan baris 11 di mana format sesuai dengan operasi penyisipan dan operasi perubahan nilai.

Scenario3() 01. N = 100

04. myfile = open file filename 05. printonfile N

06. for i = 0 to N

07. printonmyfile random modulo 4294967297 08. printonfile 2*Q

09. for i = 0 to Q

10. printonmyfile "I " + random modulo N + " " + random modulo 4294967297

11. printonmyfile "R " + random modulo N + " " + random modulo 4294967297

12. close myfile

(46)

31

DESAIN

Pada bab ini penulis menjelaskan desain algoritma dan struktur data yang digunakan dalam penelitian.

3.1 Definisi Umum Sistem

Sistem akan melakukan fungsi preprocess untuk kebutuhan kalkulasi pada saat operasi query. Setelah itu sistem akan menerima input banyaknya bilangan pada barisan awal atau banyaknya node awal dan menerima input bilangan-bilangan pada barisan tersebut, setiap bilangan yang dimasukan akan dilakukan fungi insert pada Splay Tree. Setelah itu sistem akan menerima input banyaknya jumlah operasi dan diikutkan deskripsi dari operasi tersebut. Terdapat empat jenis operasi, yaitu:

1. Penyisipan bilangan pada barisan dengan diberikan deskripsi bilangan tersebut dan posisi di mana bilangan tersebut akan disisipkan.

2. Penukaran bilangan pada barisan dengan diberikan deskripsi nilai bilangan dan posisi bilangan yang akan ditukar.

3. Penghapusan bilangan pada barisan dengan diberikan deskripsi posisi bilangan yang akan dihapus.

4. Query barisan dengan diberikan deskripsi batas kiri, batas kanan barisan dan nilai konstanta yang diperlukan untuk kalkulasi pada query.

Barisan tersebut akan direpresentasikan menjadi sebuah Splay Tree dan setiap terjadi modifikasi pada barisan akan dilakukan fungsi insert, delete atau replace. Pseudocode fungsi Main ditunjukkan pada Gambar 3.1. Pada fungsi tersebut dilakukan penerimaan masukan sesuai format masukan pada persoalan yang berkaitan.

(47)

32

Main()

01. root = null 02. preprocess()

03. input number of sequence 04. input each value of sequence 05. input number of operation 06. while number of operation > 0

07. input command type of operation

08. if type of operation is 'insert'

09. input position and value

10. Insert(position, value)

11. else if type of operation is 'delete'

12. input position

13. Delete(position)

14. else if type of operation is 'replace'

15. input position and value

16. Replace(position, value)

17. else if type of operation is 'query'

18. input lower bound, upper bound and a constant

19. output the result of the query

20. decrement number of operation by one

Gambar 3.1 Pseudocode Fungsi Main. 3.2 Desain Algoritma

Pada subbab ini akan dijelaskan fungsi-fungsi yang digunakan untuk penyelesaian masalah.

Desain Fungsi Preprocess

Preprocess() 01. for i = 0 to 10 02. for j = 0 to min(i,10) 03. if j = 0 or j = i 04. coeff[i][j] = 1 05. else

06. coeff[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];

07. for i = 0 to 200000

08. power[i][0] = 1

09. for i = 0 to 200000

10. for j = 0 to 200000

11. power[i][j] = power[i][j-1] * i

(48)

Pada fungsi Preprocess dilakukan perhitungan yang disimpan pada suatu variabel yang dibutuhkan untuk perhitungan query barisan dinamis. Pada dasarnya dilakukan perhitungan segitiga pascal dan perhitungan pangkat. Pseudocode dari fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.2.

Desain Fungsi Rotate

Pada fungsi Rotate didesain seperti yang dijelaskan pada bab 2.5 dan dilakukan update size dari node yang mengalami perubahan. Pada fungsi ini sudah termasuk kondisi rotasi kiri dan rotasi kanan. Untuk pseudocode dari fungsi tersebut dapat dilihat pada .

/**

* _node is the element to be rotated */

Rotate(_node)

01. nodeParent = parent of _node

02. nodeGrandParent = parent of nodeParent 03. if node is a left child

04. nodeChild = right child of _node

05. else

06. nodeChild = left child of _node

07. parent of _node = nodeGrandParent 08. parent of nodeParent = _node 09. if nodeChild is not null

10. parent of nodeChild = nodeParent

11. if nodeGrandParent is not null

12. if nodeParent is a left child

13. left child of nodeGrandParent = _node

14. else

15. right child of nodeGrandParent = _node

16. if _node is a left child

17. right child of _node = nodeParent

18. left child of nodeParent = nodeChild

19. else

20. lef child of _node = nodeParent

21. right child of nodeParent = nodeChild

22. update nodeParent 23. update _node

(49)

34

Desain Fungsi Splay /**

* _node is the element to be splayed */

Splay(_node)

01. while _node is not root

02. if parent of _node is root

03. rotate _node

04. else if _node is a left child and parent of _node is a

left child

05. rotate parent of _node

07. else if _node is a right child and parent of _node is a

right child

08. rotate parent of _node

10. else

13. root = node

Gambar 3.4 Pseudocode Fungsi Splay

Dalam fungsi Splay akan diterapkan sesuai dengan yang sudah dijelaskan pada Bab 2.5.1 di mana terdapat 3 kondisi yaitu zig-zig, zig-zag dan zig.

Pada baris 1 menunjukkan kondisi node selama belum menjadi root. Pada baris 2 hingga baris 3 ialah kondisi zig di mana hanya dilakukan lokasi terakhir. Pada baris 4 hingga baris 9 ialah kondisi zig-zig, sehingga dilakukan rotasi pada parent node dan rotasi pada node tersebut dan pada baris 10 hingga 12 ialah kondisi zig-zag dan dilakukan rotasi dua kali pada node tersebut. Pada baris akhir dilakukan perubahan pointer root pada node yang baru dilakukan operasi splay.

Desain Fungsi FindPosition

Karena pada tree yang dibuat menggunakan konsep key yang implisit maka digunakan fungsi pencarian node pada suatu posisi,

(50)

fungsi tersebut ialah FindPosition, pada fungsi ini menerima input parameter sebuah node yang menjadi awal pencarian dan pos di mana nilai posisi yang akan dicari. Fungsi ini mengembalikan alamat node yang dicari Pseudocode dari fungsi FindPosition dapat dilihat pada .

/**

* _node is the element to be checked * pos is the destination of position */

FindPosition(_node, pos)

1. sizeOfNode = size of left child of _node 2. if sizeOfNode = pos

3. return _node

4. else if sizeOfNode > pos

5. return FindPosition(left child of _node, pos)

6. else

7. return FindPosition(right child of _node, pos

-sizeOfNode - 1)

Gambar 3.5 Pseudocode Fungsi FindPosition Desain Fungsi Insert

Pada fungsi insert yaitu dilakukan penyisipan sebuah node pada suatu posisi yang ditentukan, langkah awal pada fungsi tersebut ialah mengecek apakah tree sudah memiliki sebuah node atau belum dan menentukan apakah node baru akan disisipkan sebelum root, atau disisipkan setelah root. Untuk pseudocode dari fungsi Insert dapat dilihat pada Gambar 3.2 di mana pada fungsi tersebut menerima posisi untuk lokasi di mana node tersebut akan disisipkan dan key sebagai nilai pada node tersebut.

Pada baris 1 ialah kondisi di mana tree sudah memiliki node di dalamnya dan akan disisipkan sebuah node baru pada posisi pos, untuk baris 2 hingga 5 ialah kondisi di mana node baru akan disisipkan sebelum posisi yang ditentukan dan pada baris 6 hingga baris 10 dilakukan penyisipan node pada akhir barisan atau setelah

(51)

36

sama sekali. Setiap node yang baru disisipkan dibuat menjadi root pada tree.

Pada fungsi Insert tersebut membutuhkan 2 fungsi penyisipan yang berbeda, yaitu InsertBefore dan InsertAfter, di mana InsertBefore dibutuhkan untuk penyisipan bilangan ditengah barisan atau awal barisan dan InsertAfter dibutuhkan untuk penyisipan bilangan di akhir barisan.

Pada fungsi InsertBefore dibutuhkan parameter sebuah alamat dari node tujuan atau node yang akan disisipkan node baru sebelum

node yang dijadikan parameter sehingga node tujuan menjadi anak

kanan dari node baru. Fungsi ini mengembalikan nilai alamat dari

node baru.

Pada fungsi InsertAfter dibutuhkan parameter yang sama dengan fungi InsertBefore dan mengembalikan alamat dari node baru namun fungsi ini menghasilkan node tujuan menjadi anak kiri dari node baru.

/**

* pos is the position where node is tobe inserted * key is the value of the node

*/

Insert(pos, key) 01. if root is not null

02. if pos < size of root

03. _node = find node with position pos

04. splay _node to the root

05. root = insert new node with key as its value before

root

06. else

07. rootSize = size of root - 1

08. _node = find node with position rootSize

09. splay _node to the root

10. root = insert new node with key as its value after

root 11. else

12. root = new node with key as its value

(52)

/**

* _node is the next element after new element inserted * key is the value of new element

*/

InsertBefore(_node, key)

1. newNode = new node with value key 2. right child of newNode = _node

3. left child of newNode = left child of _node 4. parent of _node = newNode

5. left child of _node = null 6. update _node

7. update newNode 8. return newNode

Gambar 3.7 Pseudocode Fungsi InsertBefore /**

* _node is the previous element after new element inserted * key is the value of new element

*/

InsertAfter(_node, key)

1. newNode = new node with key as its value 2. left child of newNode = _node

3. parent of _node = newNode 4. update newNode

5. return newNode

Gambar 3.8 Pseudocode Fungsi InsertAfter Desain Fungsi Delete

Fungsi Delete dilakukan dengan langkah awal yaitu mencari

node yang akan dihapus dan dilakukan operasi splay pada node

tersebut sehingga node tersebut menjadi root pada tree. Setelah dilakukan operasi splay, dicari node pengganti untuk menempatkan posisi node yang akan dihapus, node pengganti tersebut bisa dari node maksimum yang berada pada anak kiri node atau node minimum yang berada pada anak kanan node.

Pada baris 1 dan 2 dilakukan pencarian node sesuai posisi dan dilakukan operasi splay pada node tersebut. Setelah node tersebut menjadi root pada tree dilakukan penentuan node pengganti untuk

(53)

38

menempati posisi node yang akan dihapus dengan kondisi seperti pada baris 3 dan 14 di mana pada baris 3 menentukan node pengganti ialah node maksimum yang ada pada anak kiri, dan baris 14 menentukan node pengganti ialah node minimum yang ada pada anak kanan. Pada baris 7 dan 18 ialah melakukan perpindahan pada

node pengganti menjadi salah satu anak dari node yang akan

dihapus dengan konsep splay. Setelah itu dilakukan update pada

node untuk memperbarui informasi-informasi pada node

pengganti. /**

* pos is the position of node to be deleted */

Delete(pos)

01. node = find node with position pos 02. splay node to the root

03. if left child of node is not null

04. maxNode = left child of node

05. while right child of maxNode is not null

06. maxNode = right child of maxNode

07. splay maxNode to left child of node

08. right child of maxNode = right child of node

09. if right child of node is not null

10. parent of right child of node = maxNode

11. parent of maxNode = null

12. update maxNode

13. root = maxNode

14. else if right child of node is not null

15. minNode = right child of node

16. while left child of minNode is not null

17. minNode = left child of minNode

18. splay minNode to right child of node

19. left child of minNode = left child of node

20. if left child of node is not null

21. parent of left child of node = minNode

22. parent of minNode = null

23. update minNode

24. root = minNode

(54)

Desain Fungsi Replace

Pada fungsi Replace dilakukan perubahan nilai pada sebuah

node yang ditentukan, langkah awalnya ialah mencari node pada

posisi yang ditentukan, setelah ditemukan nilai pada node tersebut diubah dengan suatu nilai yang diberikan dan dilakukan operasi

splay pada node tersebut. Untuk pseudocode dari fungsi Replace

dapat dilihat pada Gambar. /**

* pos is the position where node is tobe changed * key is the next value of node

*/

Replace(pos, key)

1. _node = find node at position pos 2. value of _node = key

3. splay _node to root

(55)

41

4

BAB IV

IMPLEMENTASI

Pada bab ini penulis menjelaskan implementasi sesuai dengan desain algoritma yang serta struktur data yang telah dilakukan. 4.1 Lingkungan Implementasi

Lingkungan implementasi yang digunakan ialah sebagai berikut: 1. Perangkat Keras:

Processor Inter® Core(TM) i5-2410M CPU @ 2.30Ghz RAM 4.00 GB

64-bit Operating System, x64 based processor 2. Perangkat Lunak:

Operating System Windows 8.1 Pro 64 bit Text Editor Sublime Text 3

Compiler g++ (tdm64-2) 4.8.1 4.2 Implementasi Fungsi Preprocess

Fungsi preprocess diterapkan sesuai dengan yang sudah dibahas pada subbab 3.2.1. Implementasi dapat dilihat pada Kode Sumber 4.1.

01. inline void preprocess(){

02. for(int i=0 ; i <= 10 ; i++){

03. for(int j=0 ; j <= min(i,10) ; j++){

04. if(j == 0 || j == i)

05. c[i][j] = 1;

06. else

07. c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];

08. }

09. }

10. for(int i=0 ; i<200000 ; i++) power[i][0] = 1;

11. for(int i=0 ; i<200000 ; i++)

12. for(int j=1 ; j<= 10 ; j++)

13. power[i][j] = (power[i][j-1] *

(unsigned)i);

14. }

(56)

4.3 Implementasi Struct Node

Struct Node digunakan untuk merepresentasikan sebuah node pada tree. Terdapat beberapa member dan fungsi pada struct tersebut sesuai dengan kebutuhan penyelesaian masalah, sebagian fungsi sesuai dengan apa yang sudah dijelaskan pada bab 3.

01. typedef struct Node{

02. ui key;

03. ui sum[11];

04. int size;

05. Node *left, *right, *parent;

06. Node(){}

07. Node(ui key) : key(key), size(1), left(0),

right(0), parent(0){} 08. void UpdateSize(); 09. void UpdateSum(); 10. void Update(); 11. bool isLeftChild(); 12. bool isRightChild(); 13. bool isRoot(); 14. void Rotate(); 15. void Zig(); 16. void ZigZig(); 17. void ZigZag(); 18. void Splay();

19. void SplayUntil(Node* until);

20. Node* FindPosition(int pos);

21. Node* InsertBefore(ui key);

22. Node* InsertAfter(ui key);

23. void Insert(int pos, ui key);

24. void Delete();

25. void Delete(int pos);

26. void Replace(ui key);

27. }Node;

Kode Sumber 4.2 Implementasi Struct Node (1)

Pada kode sumber diatas dilihat atribut-atribut dari struct Node dan prototype dari fungsi-fungsi yang dimiliki oleh struct Node. Terdapat variabel key yang berguna untuk menyimpan nilai yang merepresentasikan bilangan pada barisan, variabel sum ialah untuk penyimpanan perhitungan dari penjumlahan untuk setiap pangkat, size untuk merepresentasikan size dari sub tree pada node